六年级第一讲：分数裂项

| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编
暑假 Nice Education
分数裂项
| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编
暑假 Nice Education
例1
一、单位分数的拆分：
导入课堂 练习：
()[]
1161+= （）与[ ]中数不同 例1：
()()()()()()()()
11111111201201101+=+=+=+=+=
教学建议：首先要掌握10的因数有哪几个
解：分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：
B
A n m N n n m N m n m N n m N 11)()()()(11+=+++=++= 本题10的约数有:1,10,2,5 …… 例如：选1和2，有：
15
1301)21(102)21(101)21(10)21(1101+=+⨯++⨯=+⨯+⨯= 本题具体的解有：
30
11513511416011211101111101+=+=+=+=
专题解析
典型例题解析
| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编
暑假
Nice Education
练习
1
(1)
()()11121+= 有哪几种情况？ (2)杯望希1
1161++= （“希” “望” “杯”代表不同的整数，一种情况即可）
(3)赛
竞克匹林奥1
1111121+++++= （不同数代表不同的数，一种情况即可）
例2
求：+⨯+⨯+⨯+⨯541431321211 (31)
301
30291⨯+
⨯的值 教学建议：用裂项法求)
1(1
+n n 型分数求和
分析：因为
=+-++=+-)1()1(1111n n n n n n n n )
1(1+n n （n 为自然数） 所以有裂项公式：1
1
1)1(1+-=+n n n n
分析：a n =
1
1
1)1(1+-=+n n n n
所以 原式311
301301291514141313121211-+-+-+-+-+-=
31
3031
11=-
=
练习2
(1)91
901541431321⨯++⨯+⨯+⨯ (2)1
21＋261＋3121＋4201＋……＋20420
1
| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编
暑假 Nice Education
(3)9900
9899
970297017271565542413029201912116521+
+++++++++ (4)12005
20043221=⨯++⨯+⨯x
x x
(5)?,2005
2004
)1(11216121n n n 求已知=+++++
例3
求
100
971
1071741411⨯+
+⨯+⨯+⨯ 的值 教学建议：用裂项法求
)
(1
k n n + 型分数求和
分析：
)
(1
k n n +型。

（n,k 均为自然数）
因为：
)(1])()([1)111(1k n n k n n n k n n k n k n n k +=+-++=+- 所以：
]11[1)(1k n n k k n n +-=+， k
n n k n n k +-=+1
1)(。

解析：a n=
)31
1(31)3(1+-⨯=+n n n n
100971
1071741411⨯+
+⨯+⨯+⨯ =)1001971(31)10171(31)7141(31)4111(31-⨯++-⨯+-⨯+-⨯ =)1001
9711017171414111(31-++-
+-+-⨯ =)1001
1(31-
⨯ =100
9931⨯
| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编
暑假 Nice Education
=100
33
练习3
(1)
15
131
131111191971751⨯+
⨯+⨯+⨯+⨯ (2)120
1
80148124181+
+++ (3)27
221
22171171211271721⨯+
⨯+⨯+⨯+⨯ (4)
+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯9788756653443122 (211920)
20⨯⨯
提示 a n=1
1
11222-+=-n n n 然后再分组裂项
(5)1
999914413312222
222222-⨯⨯-⨯-⨯-
例4
50
49481
6541543143213211⨯⨯+
+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 教学建议：用裂项法求
)
2)(1(1
++n n n 型分数求和
因为 ：)
2)(1(2
)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)1(1++=++-+++=++-+n n n n n n n n n n n n n n n
所以：])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n
| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编
暑假 Nice Education
原式)5049149481(21)431321(21)321211(21⨯-⨯⨯++⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯=
)5049149481431321321211(21⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯⨯=
)50491211(21⨯-⨯⨯=
1225
306
=
练习4
(1)101100991
654154314321⨯⨯+
+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
(2)84
83
2102091201196059242365+
++++ (3)
20
19181737
5432743215⨯⨯⨯+
+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ （竞赛题） 提示：
a n )
3)(2)(1(3
)3)(2)(1()3)(2)(1(32+++++
+++=++++=
n n n n n n n n n n n n n n n )
2)(1(1
)3)(2)(1(1++++++=n n n n n n 然后分组拆项
例5
例5：
100
98961
1086186416421⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
教学建议：用裂项法求)
2)((1
k n k n n ++型分数求和
分析：
| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编
暑假 Nice Education
)
2)((1
])
2)(()2)((2[21])2)((1)(1[21k n k n n k n k n n n k n k n n k n k k n k n k n n k ++=
++-+++=++-+ 所以：
])
2)((1
)(1[21)2)((1k n k n k n n k k n k n n ++-+=++
解析：
10098961
1086186416421⨯⨯+
+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ =)10098198961(41)1081861(41)861641(41)641421(41⨯-⨯⨯++⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ =)100981989611081861861641641421(41⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯⨯ =)100981421(41⨯-⨯⨯ =39200
2449
练习5
(1)2005200320011
975175315311⨯⨯+
+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ (2)103101991
97517531⨯⨯+
+⨯⨯+⨯⨯ (3)55
53511
975175315311⨯⨯+
+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
例6
求
20
1918171
654315432143211⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 的值
学习建议: 用裂项法求)
3)(2)((1
k n k n k n n +++型分数求和
分析： 因为：
| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编
暑假 Nice Education
)
3)(2)((1
)
3)(2)((331])
3)(2)(()3)(2)((3[31])3)(2)((1)2)((1[31k n k n k n n k n k n k n n k k k n k n k n n n k n k n k n n k n k k n k n k n k n k n n k +++=
+++⨯
=+++-++++=+++-++
所以：
])
3)(2)((1
)2)((1[31)3)(2)((1k n k n k n k n k n n k k n k n k n n +++-++=+++ 解析：
20
1918171
654315432143211⨯⨯⨯+
+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯
)2019181191817165415431432143213211(31⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯= 20520
1139)20
191813211(31=
⨯⨯-⨯⨯⨯=
练习6
(1)630
1
840136011201241+
+++
例7
求
11
97531
1197531097538753653431⨯⨯⨯⨯+
⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+的值 学习建议：用拆项法求b
a 1
1±型分数求和
ab b
a b a +=+11 ab a b b a -=-11
| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编
暑假 Nice Education
b a ab b a 11+=+ b a ab
a b 1
1-=-
解析： 原式1197531
11975311197531975317531531⨯⨯⨯⨯+
⨯⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯-+⨯-+=
11
9753111975319753197531753175315315313131⨯⨯⨯⨯+
⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯-+=
3
2
=
（或从后往前算）
练习7
（1）4
323
32221⨯⨯+
⨯+ （2）654325
54324432332221⨯⨯⨯⨯+
⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+ （3）
9
7538
753653431⨯⨯⨯+
⨯⨯+⨯+
（4）56
15
42133011209127311-
+-+-+ （5）
12530171582091275141++++++ （拔高题）
（6）
2
22222228715
437325213⨯+
+⨯+⨯+⨯
专题小结
| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编
暑假 Nice Education
（1）
45441
44431541431⨯+
⨯++⨯+⨯
（2）
1
312
－＋
1
512
－＋
1
712
－＋
1
912
－＋
1
1112
－＋
1
1312
－
（3）101
99507535323112
222⨯++⨯+⨯+⨯
（4）
42
41401
654154314321⨯⨯+
+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
（5）53＋76＋65＋127＋209＋3011＋4213
（6）10
910
99898878776766565⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+
（7）35
19241121102098775524331++++++++
掌握单位分数的拆分，以及五大分数模式的裂项求和。

对于分数如何拆分、裂项要有较为熟练地应用，尤其是分母中是两个连乘分数的裂项要有准确的把控。

最后要对ab
b
a b a ±=
±11模式的运用要达到非常好的水平，这个关系到初中因式分解部分的知识。

家庭作业
| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编
11 暑假 Nice Education （8）
42
2530172811209127735231+++++++ （9）1242712338120261191051204113113013121+++++++++
（10）81]831)561054291307720631249635[(
÷--+-+-
（11）90197217561542133011209127651+-+-+-+-
（12）10111990117721155611342111301920171215
6531+++++++++
（13）
21+41+81+161+321+641+128
1
练习1
（1）12的因数有：1,2,3,4,6,12. 选择其中两个因数，共有15种情况。

但是其中有重复的情况。

比如：因为：1:2=2:4=3:6=6:12.所以选择1、2与2、4还有3、6，6、12重复。

去除重复共有6种情况。

（2）希=12，望=18，杯=36 答案不唯一
（3）奥=3，林=12，匹=18，克=72，竞=108，赛=216 答案不唯一
练习2
（1）182
89 （2）提示 a n =)1(1++
n n n 分组 2120210 （3）提示 a n =)1(11+-
n n 100198 （4）x=2004
11 （5）n=2004
参
考 答 案
| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编
12 暑假 Nice Education
练习3
（1）
15
1 （2）24
5 （3）545 （4）提示 a n=1
111222-+=-n n n 然后再分组裂项 211010
（5）19800
1465198 练习4
（1）
60600
5047 （2）84196 （3）提示：
a n )
3)(2)(1(3)3)(2)(1()3)(2)(1(32++++++++=++++=
n n n n n n n n n n n n n n n )2)(1(1)3)(2)(1(1++++++=n n n n n n 然后分组拆项 360119 练习5
（1）
120480*********
（2）156045
2597 （3）8745728 练习6
（1）18
1 练习7
| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编
13 暑假 Nice Education (1)
2423 (2)720719 (3)945629 (4)87 (5)分析：
b
a a
b b a 11+=+ 原式6
141151215131514141315141+++++++++++= 5
33= (6)6463
数学小故事
小熊的妈妈生病了，为了能挣钱替妈妈治病，小熊每天天不亮就起床下河捕鱼，赶早市到菜场卖鱼。

一天，小熊刚摆好鱼摊，狐狸、黑狗和老狼就来了。

小熊见有顾客光临，急忙招呼：“买鱼吗，我这鱼刚捕来的，新鲜着呢！”狐狸边翻弄着鱼边问：“这么新鲜的鱼，多少钱一千克？”小熊满脸堆笑：“便宜了，四元一千克。

”老狼摇摇头：“我老了，牙齿不行了，我只想买点鱼身。

”小熊面露难色：“我把鱼身卖给你，鱼头、鱼尾卖给谁呢？ ”狐狸甩甩尾巴道：“是呀，这剩下的谁也不愿意买，不过，狼大叔牙不好，也只能吃点鱼肉。

这样吧，我和黑狗牙好，咱俩一个买鱼头，一个买鱼尾，不就既帮了狼大叔，又帮了你熊老弟了吗？” 小熊一听直拍手，但仍有点迟疑："好倒好，可价钱怎么定？”狐狸眼珠一转，答道：“鱼身2元1千克，鱼头、鱼尾各1元1千克，不正好是4元1千克吗？”小熊在地上用小棍儿画了画，然后一拍大腿：“好，就这么办！”四人一齐动手，不一会儿就把鱼头、鱼尾、鱼身分好了，小熊一过秤，鱼身35千克70元；鱼头15千克15元，鱼尾10千克10元。

老狼、狐狸和黑狗提着鱼，飞快地跑到林子里，把鱼头鱼身鱼尾配好，重新平分了，…… 小熊在回家的路上，边走边想：我60千克鱼按4元1千克应卖240元，可怎么现在只卖了95元……小熊怎么也理不出头绪来。

你知道这是怎么一回事吗？。