六年级第一讲：分数裂项
六年级奥数-.分数的速算与巧算
分母
n个9，其中n等于循环节所含的数字个数
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的 左侧
；
；
2、单位分数的拆分：
例： =
=
=
；
=
=
分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：
=
本题10的约数有:1,10,2,5.。 例如：选1和2，有：
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【解析】 先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式
和连加式
．
则：
如果选10、5、2，那么有：
．
另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分 数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了．比如，要得到
，根据前面的拆分随意选取一组，比如
同，那么最后得到的 和 也是相同的．本题中，从10的约数中任取两个数， 共有
种，但是其中
比值不同的只有5组：(1，1)；(1，2)；(1，5)；(1，10)；(2，5)，所以本题共可拆分成5组．具体的解如下：
．
（2）10的约数有1、2、5、10，我们可选2和5：
另外的解让学生去尝试练习． 【巩固】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
【例 14】
．
【解析】 原式
【巩固】 计算：
．
【解析】 本题可以直接将两个乘积计算出来再求它们的差，但灵活采用平方差公式能收到更好的效果．
原式
【巩固】 计算：
．
【解析】 本题可以直接计算出各项乘积再求和，也可以采用平方差公式．
原式
其中
可以直接计算，但如果项数较多，应采用公式 进行计算．
六年级分数计算技巧一 裂项
小学数学六年级数学分数计算技巧1目录1.分数的计算技巧--裂项法1.11n n +1=1n -1n +1分母是两个数乘积，分子为这两个数的差 1.2d n (n +d )=1n -1n +d 分母是两个数的乘积，分子=这两个数的差 1.31n n +d=1d 1n -1n +d 分母是两个数的乘积，分子=1 1.41n n +1 n +2 =121n n +1 -1n +1 n +2分子为1，分母是三个连续自然数乘积 1.51n n +1 n +2 (n +3)=13⋅[1n n +1 n +2 -1n +1 n +2 n +31.6a +b a ×b =a a ×b +b a ×b =1b +1a =1a +1b 例题1.12+16+112+⋅⋅⋅+19900分母是两个数乘积，分子为这两个数的差 =1-12 +12-13 +13-14 +⋅⋅⋅+199-1100=1-12 +12-13 +13-14 +⋅⋅⋅+198-199 +199-1100(通过裂项，除了首位中间的所有项都消去了)=1-1100=99100例题2.31×4+34×7+37×10+⋅⋅⋅+397×100分母是两个数的乘积，分子=这两个数的差 =1-14 +(14-17)+(17-110)+∙∙∙+(194-197)+(197-1100)=1-14 +(14-17)+(17-110)+∙∙∙+(194-197)+(197-1100)=1-1100=99100例题3.215+235+263+⋅⋅⋅+2143有些时候分母不会直接给出两个数相乘，需要你去仔细观察 =23×5+25×7+27×9+⋅⋅⋅+211×13=13-15 +15-17 +17-19 +⋅⋅⋅+19-111 +111-113 =13-15 +15-17 +17-19 +⋅⋅⋅+19-111 +111-113=13-113=13-339=1039例题4.11×2+12×3+23×5+25×7+37×10+310×13这题看上去分子不怎么统一，但每个分数完全符合分子=分母两数的差 过程同学自己动手操作,最后结果为1-113=1213例题5.32×3+33×4+34×5+⋅⋅⋅+349×50提示：把分子3提到前面来就跟我们之前的题目一样的操作了。
六年级奥数-第一讲[1].分数的速算与巧算.学生版
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第一讲 : 分数的速算与巧算教课目的本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项： 是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项概括是密不行分的，本讲要修业生掌握裂项技巧及找寻通项进行解题的能力2、 换元： 让学生能够掌握等量代换的观点，经过等量代换讲复杂算式变为简单算式。
3、 循环小数与分数拆分： 掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，波及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项概括法通项概括法也要借助于代数，将算式化简，但换元法不过将“形同”的算式用字母取代并参加计算，使计算过程更为简 便，而通项概括法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常有的一般形式． 知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1) 关于分母能够写作两个因数乘积的分数，即1 形式的，这里我们把较小的数写在前方，即 a b ，那么有a b111 1a b b ()a a b(2) 关于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即：1，1形式的，我们有：n (n 1) (n 2) n (n 1) (n 2) (n 3) n (n1 (n 2) 1 [ n 1 1) (n 1]1) 2 (n 1)(n2)1 1 11n (n 1) (n 2) (n 3)[(n 2)(n1) (n]3 n (n 1)2) (n 3)裂差型裂项的三大重点特点：（1）分子所有同样，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为随意自然数 ) 的，但是只需将 x 提拿出来即可转 化为分子都是 1 的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，而且知足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：常有的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）a ba b1 1 （ 2） a 2b 2 a 2b 2 a ba b a b a b b a a ba b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对照：裂差型运算的中心环节是 “两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不单有 “两两抵消” 型的，同时还有转变为 “分 数凑整”型的，以达到简化目的。
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(2021年整理)小学六年级奥数裂项第一讲
小学六年级奥数裂项第一讲编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（小学六年级奥数裂项第一讲）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为小学六年级奥数裂项第一讲的全部内容。
小学六年级奥数裂项第一讲一、教学目标：1. 掌握分数裂项的基本原理。
2．掌握裂差和裂和的联系与区别二、重点难点：裂项的技巧去分数运算三、教学内容：知识梳理1、常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整，这种题目看似结构复杂,但一般无需进行复杂的计算。
一般裂项分为分数裂项和整数裂项，其中分数裂项是重要考点。
2、分数裂项的技巧分数裂项实质是异分母分数加减法的逆运算,关键是找分母上的数和分子上的数的和差倍关系。
第一类:“裂差"型运算。
当分母是两数相乘的形式,分子表示为分母上两数的差（基本型)，则可以进行裂差.两项的裂差非常重要，一定要掌握。
第二类：“裂和”型运算。
当分母是两数相乘形式,分子可表示分母上两数的和（基本型）,则可以进行裂项和.四、归纳总结1、裂差型基本形式：2、裂项和基本形式：3、裂项的实质和意义裂项的实质:实质是异分母分数的逆运算,关键是要找到分母上几个乘数和分子上数的和差倍关系；裂项的意义：裂差与裂和都是为了简便运算，摆脱繁琐的计算。
五、课堂检测～~~～~~~～～～~~~~～～～~～~~～～~~～～~～~~~~~～～~～～~~~～～~～～～~～～～～~～～~~～~～～～～～~~~~～～～~～~～~~例1仿照例题的步骤,计算下列各题,你发现了什么规律？分析:先通分(把分母都变成各分母之积）,分母相同后，再相加或者相减，把两项整理成一项，注意步骤的完整例2 仿照例题的步骤，计算下列各题，你发现了什么规律？在此处键入公式.在此处键入公式。
六年级数学专题：分数的裂项
分数的巧算：裂项知识点分析：特殊的分数加法试题，难以运用课本中固有的运算性质及定律进行巧算。
它们有其特殊的规律及性质，对于这些特殊试题，我们通常要用到以下两种方法：①引用公式法：有特殊的分数加法试题，有其固有的求和公式，计算时可以直接运用这些公式使计算简便。
②裂项法：先将算式中的一些分数按规律作适当拆分，使得拆分后的一些分数可以互相抵消，从而达到巧算的目的。
例题精讲例1：分析：观察发现每一个分数的分母是两个相邻的自然数相乘，分子1就是它们的差，可以运用裂项公式：，先裂项，再求和。
注重：必须弄懂第一种裂项公式：解答：举一反三①（1）（2）（3）例2：分析：这里的每一个分数的分母虽然不是两个相邻的数，但这些自然数都相差2.如果想办法将分子都变成2，就可以利用例1中的公式计算了。
解答：方法一：将分子都扩大两倍，再将它们的和缩小两倍，结果不变。
方法一：先将分数变形，再利用第一种裂项公式：进行计算。
方法二：直接运用另一个裂项公式方法二：引用第二种裂项公式：注重公式的由来！举一反三②（1）（2）（3）例3：（第二届新起点杯数学竞赛试题）分析：观察发现题目中的分母都是可以看作是两个连续自然数的积，且分子都是1，将分母加以变形，再利用裂项公式即可求出和。
解答：先将分母变为两个数相乘的形式，注意要使相乘两数之差相等，再利用第一种裂项公式求和。
举一反三③（1）（2）（3）例4：分析：观察发现每一个分数的分母都是连续三个自然数的和，且分子2是每个数与第三个数的相差数，运用裂项公式先裂项，再求和。
解答：第三种裂项公式：通过代数法先理解公式的推导，再结合题目解题举一反三④（1）（2）（3）例5：分析：观察发现每一个分数的分母都是从1开始的连续若干个自然数的和，因此分母可以运用等差数列求和公式求和，那么。
所以分母就变成了两个数相乘的形式，最后再采用裂项法计算。
运用等差数列的求和公式先将每一个分数变形，再利用第一种裂项公式进行计算。
1六年级奥数-第一讲.分数的速算与巧算.教师版
分数的速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨一、裂项综合 '（一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
~（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
分数裂项公式大全
分数裂项公式大全
分数裂项公式是指将一个分数写成两个或多个分数之和的表达式。
以下是常见的分数裂项公式大全：
1. 一个分数的裂项公式：如果a、b、c均为整数且c ≠ 0，则有：
a/b = (a \cdot c + b \cdot c)/(b \cdot c)
这个公式可以将一个分数拆分为两个分数之和。
2. 分数的倒数裂项公式：如果a、b、c均为整数且b ≠ 0，则有：
1/(a/b) = b/a
这个公式可以将一个分数的倒数拆分为等值的另一个分数。
3. 分数的和的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) + (c/d) = (ad + bc)/(bd)
这个公式可以将两个分数的和拆分为一个分数。
4. 分数的差的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) - (c/d) = (ad - bc)/(bd)
这个公式可以将两个分数的差拆分为一个分数。
5. 分数的积的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) \cdot (c/d) = (ac)/(bd)
这个公式可以将两个分数的积拆分为一个分数。
6. 分数的商的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) ÷ (c/d) = (ad)/(bc)
这个公式可以将两个分数的商拆分为一个分数。
这些是常见的分数裂项公式，可以帮助你在计算和简化分数的过程中进行分数的拆分和合并。
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| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education分数裂项| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education例1一、单位分数的拆分：导入课堂 练习：()[]1161+= （）与[ ]中数不同 例1：()()()()()()()()11111111201201101+=+=+=+=+=教学建议：首先要掌握10的因数有哪几个解：分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：BA n m N n n m N m n m N n m N 11)()()()(11+=+++=++= 本题10的约数有:1,10,2,5 …… 例如：选1和2，有：151301)21(102)21(101)21(10)21(1101+=+⨯++⨯=+⨯+⨯= 本题具体的解有：3011513511416011211101111101+=+=+=+=专题解析典型例题解析| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假Nice Education练习1(1)()()11121+= 有哪几种情况？ (2)杯望希11161++= （“希” “望” “杯”代表不同的整数，一种情况即可）(3)赛竞克匹林奥11111121+++++= （不同数代表不同的数，一种情况即可）例2求：+⨯+⨯+⨯+⨯541431321211 (31)30130291⨯+⨯的值 教学建议：用裂项法求)1(1+n n 型分数求和分析：因为=+-++=+-)1()1(1111n n n n n n n n )1(1+n n （n 为自然数） 所以有裂项公式：111)1(1+-=+n n n n分析：a n =111)1(1+-=+n n n n所以 原式311301301291514141313121211-+-+-+-+-+-=31303111=-=练习2(1)91901541431321⨯++⨯+⨯+⨯ (2)121＋261＋3121＋4201＋……＋204201| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education(3)99009899970297017271565542413029201912116521++++++++++ (4)1200520043221=⨯++⨯+⨯xx x(5)?,20052004)1(11216121n n n 求已知=+++++例3求1009711071741411⨯++⨯+⨯+⨯ 的值 教学建议：用裂项法求)(1k n n + 型分数求和分析：)(1k n n +型。
（n,k 均为自然数）因为：)(1])()([1)111(1k n n k n n n k n n k n k n n k +=+-++=+- 所以：]11[1)(1k n n k k n n +-=+， kn n k n n k +-=+11)(。
解析：a n=)311(31)3(1+-⨯=+n n n n1009711071741411⨯++⨯+⨯+⨯ =)1001971(31)10171(31)7141(31)4111(31-⨯++-⨯+-⨯+-⨯ =)10019711017171414111(31-++-+-+-⨯ =)10011(31-⨯ =1009931⨯| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education=10033练习3(1)15131131111191971751⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ (2)120180148124181++++ (3)2722122171171211271721⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ (4)+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯9788756653443122 (211920)20⨯⨯提示 a n=1111222-+=-n n n 然后再分组裂项(5)1999914413312222222222-⨯⨯-⨯-⨯-例450494816541543143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 教学建议：用裂项法求)2)(1(1++n n n 型分数求和因为 ：)2)(1(2)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)1(1++=++-+++=++-+n n n n n n n n n n n n n n n所以：])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education原式)5049149481(21)431321(21)321211(21⨯-⨯⨯++⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯=)5049149481431321321211(21⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯⨯=)50491211(21⨯-⨯⨯=1225306=练习4(1)101100991654154314321⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯(2)84832102091201196059242365+++++ (3)20191817375432743215⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ （竞赛题） 提示：a n )3)(2)(1(3)3)(2)(1()3)(2)(1(32++++++++=++++=n n n n n n n n n n n n n n n )2)(1(1)3)(2)(1(1++++++=n n n n n n 然后分组拆项例5例5：100989611086186416421⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯教学建议：用裂项法求)2)((1k n k n n ++型分数求和分析：| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education)2)((1])2)(()2)((2[21])2)((1)(1[21k n k n n k n k n n n k n k n n k n k k n k n k n n k ++=++-+++=++-+ 所以：])2)((1)(1[21)2)((1k n k n k n n k k n k n n ++-+=++解析：100989611086186416421⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ =)10098198961(41)1081861(41)861641(41)641421(41⨯-⨯⨯++⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ =)100981989611081861861641641421(41⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯⨯ =)100981421(41⨯-⨯⨯ =392002449练习5(1)2005200320011975175315311⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ (2)10310199197517531⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ (3)5553511975175315311⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯例6求201918171654315432143211⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ 的值学习建议: 用裂项法求)3)(2)((1k n k n k n n +++型分数求和分析： 因为：| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education)3)(2)((1)3)(2)((331])3)(2)(()3)(2)((3[31])3)(2)((1)2)((1[31k n k n k n n k n k n k n n k k k n k n k n n n k n k n k n n k n k k n k n k n k n k n n k +++=+++⨯=+++-++++=+++-++所以：])3)(2)((1)2)((1[31)3)(2)((1k n k n k n k n k n n k k n k n k n n +++-++=+++ 解析：201918171654315432143211⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯)2019181191817165415431432143213211(31⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯= 205201139)20191813211(31=⨯⨯-⨯⨯⨯=练习6(1)6301840136011201241++++例7求11975311197531097538753653431⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+的值 学习建议：用拆项法求ba 11±型分数求和ab ba b a +=+11 ab a b b a -=-11| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Educationb a ab b a 11+=+ b a aba b 11-=-解析： 原式119753111975311197531975317531531⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯-+⨯-+=119753111975319753197531753175315315313131⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯-+=32=（或从后往前算）练习7（1）432332221⨯⨯+⨯+ （2）65432554324432332221⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+ （3）97538753653431⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+（4）561542133011209127311-+-+-+ （5）12530171582091275141++++++ （拔高题）（6）222222228715437325213⨯++⨯+⨯+⨯专题小结| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编暑假 Nice Education（1）4544144431541431⨯+⨯++⨯+⨯（2）1312－＋1512－＋1712－＋1912－＋11112－＋11312－（3）10199507535323112222⨯++⨯+⨯+⨯（4）4241401654154314321⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯（5）53＋76＋65＋127＋209＋3011＋4213（6）1091099898878776766565⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+（7）3519241121102098775524331++++++++掌握单位分数的拆分，以及五大分数模式的裂项求和。
对于分数如何拆分、裂项要有较为熟练地应用，尤其是分母中是两个连乘分数的裂项要有准确的把控。
最后要对abba b a ±=±11模式的运用要达到非常好的水平，这个关系到初中因式分解部分的知识。
家庭作业| 六年级·提高班 教师版 | 第1讲 李斌老师主编11 暑假 Nice Education （8）422530172811209127735231+++++++ （9）1242712338120261191051204113113013121+++++++++（10）81]831)561054291307720631249635[(÷--+-+-（11）90197217561542133011209127651+-+-+-+-（12）101119901177211556113421113019201712156531+++++++++（13）21+41+81+161+321+641+1281练习1（1）12的因数有：1,2,3,4,6,12. 选择其中两个因数，共有15种情况。