六年级分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1

a b

⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有

1111()a b b a a b

=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1

(1)(2)(3)

n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：

裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11a b a b a b a b a b b a

+=+=+⨯⨯⨯ （2）

2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

知识点拨

教学目标

分数裂项计算

【例 1】

111111223344556

++++=⨯⨯⨯⨯⨯ 。 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

【解析】 原式111111115122356166

⎛⎫⎛⎫

⎛⎫=-+-+

+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭ 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：1111

13355779

+++

⨯⨯⨯⨯，计算过程就要变为： 111111113355779192⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭． 【答案】5

6

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】 原式111111111

()()......()101111125960106012=-+-++-=-=

【答案】1

12

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】 原式1111

1111291089

4534⎛⎫=⨯-+-+

+

-+- ⎪⎝⎭112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715

= 【答案】7

15

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项

开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯，112(12)21223

2

==+⨯+⨯，……， 原式222

2120099

2(1)1

122334

100101101101101

=

++++

=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【答案】99

1

101

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【答案】

50101

【巩固】 计算：1111251335572325⎛⎫

⨯++++

= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝

⎭

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级

【解析】 原式1111

112512335

2325⎛⎫=⨯⨯-+-+

+

- ⎪⎝⎭

11251225⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2524225=⨯12=

【答案】12

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛

【解析】 原式251111

1116122334

500501501502⎛⎫

=

⨯++++

+ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭

【答案】2115

32

【巩固】 计算：

3245671

255771111161622222929

++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 例题精讲

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式

1111111111111 255771111161622222929

=-+-+-+-+-+-+

1

2

=

【答案】1 2

【例 2】计算：

11111111

()128 8244880120168224288

+++++++⨯=

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，101中学

【解析】原式

1111

128 2446681618

=++++⨯⨯⨯⨯⨯

（）

【答案】

4 28

9

【巩固】11111111 612203042567290

+++++++=_______

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级

【解析】根据裂项性质进行拆分为：

【答案】2 5

【考点】分数裂项【难度】6星【题型】计算【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛

【解析】原式

1111

1

1212312341234567 =+++++

++++++++++++

【答案】7 4

【巩固】计算：111111111 2612203042567290 --------＝

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛

【解析】原式

111111111 () 223344556677889910 =-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【答案】

1 10

【巩固】

11111 104088154238

++++=。

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式

11111 255881111141417 =++++

⨯⨯⨯⨯⨯

【答案】5 34

【例 3】计算：

1111 135357579200120032005 ++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试

【解析】原式

1111111 4133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-

⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

【答案】1004003 12048045

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【关键词】2007年，仁华学校