六年级+分数裂项

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项

一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b

=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)

n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)

n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+

分数裂项计算

教学目标

知识点拨

裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【例 1】 111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ 。 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】美国长岛，小学数学竞赛 【解析】 原式111111115122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：

111113355779+++⨯⨯⨯⨯，计算过程就要变为： 111111113355779192

⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭． 【答案】56

【巩固】 111 (101111125960)

+++⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】 原式111111111()()......()101111125960106012

=-+-++-=-= 【答案】112

例题精讲

【巩固】 2222109985443

++++=⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715

= 【答案】715

【例 2】 111111212312100

++++++++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单

的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的

代入有112(11)11122==+⨯⨯，112(12)21223

2

==+⨯+⨯，……， 原式22221200992(1)1122334100101101101101

=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【答案】991101

【例 3】 111113355799101

++++=⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【解析】 111111111150(113355799101233599101101++++=⨯-+-++-=⨯⨯⨯⨯…） 【答案】50101

【巩固】 计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级

【解析】 原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++- ⎪⎝⎭11251225⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2524225

=⨯12= 【答案】12 【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008

+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛

【解析】 原式2511111116122334500501501502⎛⎫=

⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 251111111111622334

501502⎛⎫=⨯-+-+-++

- ⎪⎝⎭ 2515015012115165023232

=⨯== 【答案】211532