六年级分数裂项

六年级分数裂项Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。

很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：知识点拨教学目标分数裂项计算裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a ba b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ 。

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛【解析】 原式111111115122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：111113355779+++⨯⨯⨯⨯，计算过程就要变为：111111113355779192⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭． 【答案】56【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式111111111()()......()101111125960106012=-+-++-=-=【答案】112例题精讲【解析】 原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715= 【答案】715【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。

此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。

从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯，112(12)212232==+⨯+⨯，……， 原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【答案】991101【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【答案】50101【巩固】 计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2009年，迎春杯，初赛，六年级【解析】 原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++- ⎪⎝⎭11251225⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2524225=⨯12= 【答案】12【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2008年，台湾，小学数学竞赛，初赛【解析】 原式2511111116122334500501501502⎛⎫=⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭【答案】211532【巩固】 计算：3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式1111111111111255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+12= 【答案】12【例 2】 计算：11111111()1288244880120168224288+++++++⨯=【关键词】2008年，101中学【解析】 原式11111282446681618=++++⨯⨯⨯⨯⨯（） 【答案】4289【巩固】 11111111612203042567290+++++++=_______【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】2008年，第六届，走美杯，初赛，六年级【解析】 根据裂项性质进行拆分为：【答案】25【考点】分数裂项 【难度】6星 【题型】计算 【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛【解析】 原式111111212312341234567=+++++++++++++++++【答案】74【巩固】 计算：1111111112612203042567290--------＝ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2006年，第4届，走美杯，6年级，决赛【解析】 原式111111111()223344556677889910=-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】110 【巩固】 11111104088154238++++= 。

【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111255881111141417=++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】534【例 3】 计算：1111135357579200120032005++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试【解析】 原式11111114133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【答案】100400312048045【关键词】2007年，仁华学校【解析】 原式79161111118290113355779133 1.2540.83-⨯+⎛⎫=⨯+++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭-⨯⨯⨯ 【答案】2336【例 4】 计算：11111123420*********+++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第五届，小数报，初赛【解析】 原式()1111112320261220420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭【答案】2021021【巩固】 计算：11111200820092010201120121854108180270++++= 。

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式1111120082009201020112012366991212151518=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】51005054【巩固】 计算：1122426153577++++= ____。

【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【答案】11【巩固】 计算：1111111315356399143195++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：232113=-=⨯，2154135=-=⨯，……，21951411315=-=⨯，所以原式11111111335577991111131315=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】715【巩固】 计算：15111929970198992612203097029900+++++++= ． 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2008年，四中【解析】 原式1111111126129900⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】198100【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 首先分析出()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+--==-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式11111111121223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【答案】35144【巩固】 计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111111()21223233434989999100=⨯-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】494919800【巩固】 计算：1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式＝1135⨯⨯＋1357⨯⨯＋…+1192123⨯⨯+1246⨯⨯+…+1202224⨯⨯ ＝14(113⨯－12123⨯)＋14(124⨯－12224⨯) ＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032＝38625340032 【答案】38625340032【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【答案】32009603【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 99123⨯⨯＝1001123-⨯⨯＝100123⨯⨯－123⨯＝100123⨯⨯－123⨯98234⨯⨯＝1002234-⨯⨯＝100234⨯⨯－2234⨯⨯＝100234⨯⨯－134⨯ 97345⨯⨯＝1003345-⨯⨯＝100345⨯⨯－3345⨯⨯＝100345⨯⨯－145⨯…… 199100101⨯⨯＝1009999100101-⨯⨯＝10099100101⨯⨯－9999100101⨯⨯＝10099100101⨯⨯－1100101⨯原式100100100100111...(...)123234345991001012334100101=++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】5124101【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式111111131232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++-⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭【答案】1192160【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111113[(...)]3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】11396840【例 5】 计算：57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算． 原式32343161232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+，再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【答案】2315【巩固】 计算：5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2009年，迎春杯，初赛，五年级【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式：571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．观察可知523=+，734=+，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以所以原式31115565155=⨯=． （法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为a nd +，其中d 为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将a 与nd 分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．11223413112220311422055=-+-=-=， 所以原式31115565155=⨯=．（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的： 所以原式31115565155=⨯=． （法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：21(1)(2)n n a n n n +=++（2n =，3， (9)如果将分子21n +分成2n 和1，就是上面的法二；如果将分子分成n 和1n +，就是上面的法一． 【答案】651【巩固】 计算：3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：23154=⨯+，24264=⨯+，25374=⨯+……原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】75616【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式12349223234234523410=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】36287993628800【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式131********121231234123451234561234567-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】50395040【巩固】 计算：23993!4!100!+++= . 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．原式23991231234123100=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】112100!-【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋5012251275⨯ ＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-11275）＝12741275 【答案】12741275【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2111(12)112=-⨯++，311(12)(123)12123=-+⨯+++++，……， 10011(1299)(12100)129912100=-+++⨯+++++++++，所以 原式1112100=-+++【答案】50495050【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】 原式234101()133********=-++++⨯⨯⨯⨯【答案】155【例 6】 22222211111131517191111131+++++=------ .【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】仁华学校【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-⨯+，原式111111()()()()()()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】314【巩固】 计算：222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-= 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2111131(1)(1)22222-=-⨯+=⨯，2111241(1)(1)33333-=-⨯+=⨯，……所以， 原式1324485022334949=⨯⨯⨯⨯⨯⨯1502524949=⨯=【答案】2549【巩固】 计算：222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式22222222222222222132438712233478----=++++⨯⨯⨯⨯【答案】6364【巩固】 计算：222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式2222222222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【答案】9979971996【巩固】 计算：22222222222213243598100213141991++++++++=---- ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 2221310213+=-，2222420318+=-，22235344115+=-，……由于104233=，204288=，34421515=，可见原式222244442222213141991=++++----【答案】47511984950【巩固】 计算：22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-，241-，261-，……，21001-，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．原式22222222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭【答案】6312101【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【答案】310【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中【解析】 原式=36233445566736111111 (57233445566757233467)+++++++++++=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯=4【答案】4【巩固】计算：1325791011193457820212435++++++++= 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式13257111111213457845373857=++++++++++++111115=++++=【答案】5【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式12311111121133573445475667=++++++++++++【答案】334【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】127【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式5791113153718612203042568⎡⎤⎛⎫=-+-+-⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 【答案】10【巩固】 计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式23344556677889910123344556677889910++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】35【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式111111112111453445355646=+++++++++++ 【答案】3【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式1232341918192021919 (217362123431819201912020)=++++++++++=+⨯+=【答案】193620【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式=2008111200711(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =2008111200711(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =1200820082008120072007(...)(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯ =11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++ =11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++ =1111()2008200720072015028⨯+=【答案】12015028【例 7】 计算：11111123459899515299+++++++=⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算【解析】 原式11111111124983599515299⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111224503549525498⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 11111111124503549262749⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111122424352526284850⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 11111111112424352513142450⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111112241235111416245025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111112412351178125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1111111111224635810125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⨯+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1111111111246354565025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 11491502550=+-=【答案】4950【例 8】 计算：24612335357357911++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 原式31517113133535735791113----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 111111133535791133535791113⎛⎫⎛⎫=+++-+++⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭【解析】 1135791113=-⨯⨯⨯⨯⨯【解析】 135134135135=【答案】135134135135【例 9】 计算：28341112222221335571719135357171921⎛⎫++++-+++= ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算【解析】 3411992222244221353571719211335355717191921+++=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 892242213355717191921=++++-⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 所以原式889122224221335171913355717191921⎛⎫=+++-++++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭【解析】 921512133379192113399399-=-==⨯⨯ 【答案】379399。