选修4-5-不等式选讲(绝对值不等式)

∴－3≤x＜－25.
③当 x≥12时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜x2＋1，解得 x＞2，∴x＞2.
综上可知，原不等式的解集为xx＜－52，或x＞2

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考点二 含参数的绝对值不等式问题 [典例] 1、(2012·山东卷)若不等式|kx－4|≤2的解集为 {x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法：
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|<a
{x|－a<x<a}
∅
∅
|x|>a {x|x>a，或 x<－a} {x|x∈R，且 x≠0} R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔___－__c_≤_a_x_＋__b_≤_c__； ②|ax＋b|≥c⇔___a_x_＋__b_≥_c_或__a_x_＋__b_≤_－__c__.
4，x≤4， (4)令 f(x)＝|x－8|－|x－4|＝－2x＋12，4＜x≤8，
－4，x＞8，
当 x≤4 时，f(x)＝4＞2； 当 4＜x≤8 时，f(x)＝－2x＋12＞2，得 x＜5，∴4＜x＜5； 当 x＞8 时，f(x)＝－4＞2 不成立． 故原不等式的解集为：{x|x＜5}．
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合 的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与 方程的思想．
考点一 含绝对值不等式的解法
解析：∵|kx－2|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
考点二 含参数的绝对值不等式问题
[典例] 2、已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中 a的取值范围：
(1)不等式有解； (2)不等式的解集为R； (3)不等式的解集为∅.
【针对训练】：
1.不等式|x－5|＋|x＋3|≥10 的解集是( )
A.[－5,7]
B.[－4,6]
C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)
D.(－∞，－4]∪[6，＋∞)
2、资料选修 4 系列 P16[练一练]：1
解析：解法一：当 x≤－3 时，5－x＋(－x－3)≥10，∴x≤－4； 当－3<x<5 时，5－x＋x＋3≥10,8≥10 无解，舍去； 当 x≥5 时，x－5＋x＋3≥10，∴x≥6. 综上 x∈(－∞，－4]∪[6，＋∞). 选 D. 解法二：用特殊值检验，取 x＝5 不符合题意，排除 A、B，
解：法一：因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点 A(－1)，B(3)距离的差，即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB.
[典例] 解下列不等式：
(1)1＜|x＋1|＜3
(2)|x－2|－|x －1|＞0
(3)|x－1|＋|x＋2|≥5
(4)|x－8|－|x－4|＞2
解：(1) (－4，－2)∪(0,2)
(2)
(,
3 )
2
平方法
基本性质法
(3)法一：（几何法）如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A， B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的 点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向 左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移 动一个单位到点B化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0. －2x－6，x≤－2，
令 f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝－2，－2＜x＜1， 2x－4，x≥1.
作出函数的图像，如图所示．
由图像可知，当 x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
第三节
绝对值不等式
[最新考纲] 1．理解绝对值的几何意义；理解绝对值三角不等式的代数证
明和几何意义，并了解其等号成立的条件；能利用绝对值 三角不等式证明一些简单的绝对值不等式． 2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解 法．
1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ |a|＋|b| ，当且仅当 ab≥0 时，等号成立； (2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ |a－b|＋|b－c，| 当且 仅当 (a－b)(b－c)≥时0 ，等号成立． (3)性质：_|_a_|－__|_b_| _≤|a±b|≤___|a_|_＋__|b_|；
【规律方法】： 形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法： (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞， a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值 号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和 x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|. (3)图像法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图像，结合图像求解．
故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
法二：（零点分段法）
原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔
x≤－2， －x－1－x＋2≥5
或－－2x＜－x1＜＋1，x＋2≥5
或xx≥－11，＋x＋2≥5， 解得 x≥2 或 x≤－3，
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
取 x＝6 符合，排除 C，选 D.
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
3、 解不等式|x＋3|－|2x－1|＜x2＋1.
解 ①当 x＜－3 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜x2＋1，解得 x＜10，
∴x＜－3.
②当－3≤x＜12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜x2＋1，解得 x＜－25，