不等式和绝对值不等式
讲不等式和绝对值不等式基本不等式
01 Chapter不等式的定义不等式的例子定义和例子重要性质若a>b>0，则a的n次幂>b的n次幂（n为正整数）。
若a>b>0，c>d>0，则ac>bd。
不等式的乘法性质若a>b，c>d，则ac>bd（当且仅当a>b>0，c>d>0时成立）。
不等式的加法性质若a>b，c>d，则a+c>b+d。
02 Chapter定义性质定义和性质解法03020103 Chapter定义基本不等式是数学中的一个重要不等式，它描述了正数的平均值与它们的几何平均值之间的关系。
性质基本不等式具有对称性和传递性，即若a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，则有$(a+b)/2≥\sqrt{ab}$和$(a+b+c)/3≥\sqrt[3]{abc}$。
定义和性质常用基本不等式logo常用基本不等式•柯西不等式：若a i>0,i=1,2,...,n,则$\sqrt{\sum {i=1}^{n}a i^2}\cdot \sqrt{\sum {i=1}^{n}\frac{1}{a_i^2}} \geqslant n$。
应用在求最值、解方程等问题中有广泛应用。
等号成立条件当且仅当$a_1=a_2=...=a_n$时等号成立。
排序不等式若$a_1 \leqslant a_2\leqslant ... \leqslant a_n$，且$b_1 \leqslant b_2 \leqslant ...\leqslant b_n$，则有$\sum_{i=1}^{n}a_ib_i\leqslant\sum_{i=1}^{n}a_ib_{n-i+1}$。
常用基本不等式常用基本不等式等号成立条件应用04 Chapter数学问题中的应用实际生活中的应用投资组合问题01资源分配问题02最大利润问题0305 Chapter不等式的基本性质练习题及解答总结词掌握基础，逐步提升详细描述不等式的基本性质是学习不等式的基础，包括不等式的加法性质、乘法性质、正值性质等。
不等式与绝对值
不等式与绝对值在数学中，不等式是描述数值关系的一种有效工具。
通过不等式，我们可以表达数值的大小比较、范围限制等概念。
而绝对值则是一个非常常见的数学概念，它可以用来表示一个数离原点的距离，也可以用于解决不等式问题。
本文将就不等式与绝对值的相关概念和性质进行论述。
一、不等式不等式是表示两个数或式子大小关系的数学表达式，通常使用符号“<”、“>”、“≤”、“≥”等来表示。
比如，我们常见的“小于”、“大于”、“小于等于”、“大于等于”等符号就是用来表示不等式的关系。
1. 不等式的基本性质不等式具有如下基本性质：- 传递性：如果 a < b，b < c，则有 a < c。
- 对称性：如果 a < b，则有 b > a。
- 反身性：对于任意实数 a，不等式 a < a 不成立。
- 加法性：如果 a < b，则 a + c < b + c，其中 c 是任意实数。
- 乘法性：如果 a < b 且 c > 0，则 ac < bc。
2. 不等式的解集表示解不等式意味着找到满足不等式条件的数的集合。
通常，我们使用集合的描述方法、图示法或区间表示法来表示不等式的解集。
- 集合描述法：用大括号 {} 表示解集，例如解集 {x | x > 0} 表示所有大于 0 的实数。
- 图示法：将解集在数轴上用箭头表示，例如 x > 0 在数轴上表示为一个从 0 开始的右箭头。
- 区间表示法：用括号、方括号表示闭区间和开区间，例如(0, +∞) 表示开区间，[0, +∞) 表示闭区间。
二、绝对值绝对值是一个非常重要的数学概念，它可以用来表示一个数离原点的距离。
对于实数 a，绝对值一般用符号“|a|” 来表示。
1. 绝对值的定义对于实数 a，其绝对值定义如下：- 当a ≥ 0 时，|a| = a；- 当 a < 0 时，|a| = -a。
可以看出，无论 a 的正负性，其绝对值都是非负数。
不等式与绝对值不等式的应用
不等式与绝对值不等式的应用不等式在数学中扮演着重要的角色，它们有着广泛的应用领域，其中包括解决实际问题和证明数学定理等。
在不等式的基础上，绝对值不等式则在解决一些涉及绝对值的问题时非常有用。
本文将探讨不等式与绝对值不等式的应用，并通过例子详细说明其运用方法和效果。
一、不等式的应用不等式的应用涵盖了很多领域，其中包括经济学、物理学、几何学等等。
下面将以一个实际问题为例，展示不等式在解决实际问题时的应用。
例1：假设某公司生产一种产品，每个产品的成本为C元，售价为P元。
设该公司的固定成本为F元，求该公司的盈利情况。
解：首先，我们可以列出该问题的不等式表示形式：P > C + F其中，P表示售价，C表示成本，F表示固定成本。
不等式P > C + F表示售价要大于成本和固定成本的总和，才能够获得盈利。
通过观察不等式，我们可以看到，当售价超过成本和固定成本的总和时，该公司将盈利。
如果售价等于成本和固定成本的总和，该公司将实现收支平衡。
而如果售价低于成本和固定成本的总和，该公司将亏损。
通过这个例子，我们可以看到不等式在实际问题中的应用。
通过建立恰当的不等式关系，我们可以对经济利益进行分析和预测。
二、绝对值不等式的应用绝对值不等式在许多问题中都有重要的应用，尤其是涉及到绝对值的问题。
下面将以一个实际问题为例，展示绝对值不等式的应用。
例2：假设小明家离学校有一段距离为D公里，他每天骑自行车上学，速度为V千米/小时。
他希望能够在t小时内到达学校，求t的取值范围。
解：首先，我们可以列出该问题的绝对值不等式表示形式：|D| ≤ V × t其中，|D|表示距离的绝对值，V表示速度，t表示时间。
绝对值不等式|D| ≤ V × t表示距离的绝对值必须小于等于速度乘以时间的乘积，才能够按时到达学校。
通过观察绝对值不等式，我们可以得出以下结论：当距离小于等于速度乘以时间的乘积时，小明可以按时到达学校；当距离大于速度乘以时间的乘积时，小明无法按时到达学校。
第一讲 不等式和绝对值不等式综合
1 已知： 求函数y=x y=x（ 3x） 1. 已知：0＜x＜ ，求函数y=x（1-3x）的最大值 3 配凑成和成 ， 分析一、 原函数式可化为： 分析一、 原函数式可化为：y=-3x2+x， 定值 利用二次函数求某一区间的最值
分析二、 分析二、 挖掘隐含条件
3x＞ ∵3x+1-3x=1为定值， ∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜1 则1-3x＞0； 为定值 3 1 3x＞ 可用均值不等式法 ∵0＜x＜ ，∴1-3x＞0 ∵0＜ 3 1 3x +1− 3x 2 1 1• ∴y=x（ 3x） 3x（ 3x） ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( )= 3 12
a,b, x, y ∈ R
+
x + y 的最小值 a b ay xb x 解： + y = ( x + y ) ⋅ 1 = ( x + y )( + ) = a + b + +
x y x y
a b ， + =1 且 x y
ay xb ≥ a+b+2 ⋅ = ( a + b)2 x y
ay xb = 当且仅当 x y
当且仅当a = b = c时,等号成立.
(2)a + b + c为定值时
a + b + c ≥ 3 abc
3
a+b+c 3 abc ≤ ( ) 3 当且仅当a = b = c时,等号成立.
关于“平均数”的概念： 关于“平均数”的概念： 1．如果 a1 , a2 ,L , an ∈ R , n > 1且n ∈ N
3
2
3x=1当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y
人教版数学七年级下册第九章《不等式的性质及绝对值不等式》优课件
2x－3，x>2 画出此函数的图象可知，f(x)≥1， ∴要使关于 x 的不等式x－1＋x－2≤a2＋a＋1 的解 集为空集，则需 a2＋a＋1<1，解得－1<a<0.
规律总结
1．运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条 件，若弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论．使 用不等式性质解题时，要搞清性质成立的条件，明确各步推 理的依据，以防出现解题失误．
命题趋势
本单元的内容，是对必修5的补充和深化，预计2011年， 考查的重点一是绝对值不等式的解法；二是利用不等式的 性质求最值；三是柯西不等式和数学归纳法的应用．考查 知识面比较广，有一定的技巧．
使用建议
本单元内容是作为高考的选考内容，在考试中所占的 分值较少，但对提高同学们的逻辑思维能力、分析解决问 题的能力、数形结合的能力和抽象思维能力作用很大．为 此，在复习中建议注意以下几点：
【点评】 本例较好地体现了利用基本不等式求 最值时应充分考虑成立条件，即一正二定三等．不过 首先需由三点共线推出a、b的关系式，利用斜率公式 可得．
变 式 题 已 知 cos2α ＋ cos2β ＋ cos2γ ＝ 1 ， 则 sinαsinβsinγ 的最大值为________．
【思路】利用均值不等式求最值时，一定要注意 “一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧， 积极创造条件利用均值不等式．常用的初等变形有均 匀裂项、增减项、配系数等. 利用均值不等式还可以证 明条件不等式，关键是如何恰当地利用好条件．本题 中目标函数为积式，而cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1为隐含 的条件等式，故需创造条件使各因式之和为定值．
高中数学中的不等式与绝对值
高中数学中的不等式与绝对值在高中数学中，不等式和绝对值是重要的概念和工具。
它们在解决实际问题、证明数学定理以及推导其他数学结论时起到了至关重要的作用。
本文将介绍不等式和绝对值的定义、性质，以及它们在数学中的应用。
一、不等式的定义和性质不等式是指含有大小关系的数学表达式，通常用不等号（<、>、≤、≥）表示。
【举例】通过以下例子来了解不等式的定义和性质：1. x + 2 > 5：表示x加上2的和大于5。
2. 3x - 4 ≤ 10：表示3x减去4的差小于或等于10。
不等式可通过一系列的代数运算进行求解。
在运算过程中，需要遵守不等式的运算规则：1.相同的不等式符号（<、>、≤、≥）可同时加减一个相同的数，不等式不会改变。
2.相同的不等式符号可同时乘或除一个正数，不等式不会改变。
但如果是乘或除一个负数，不等式符号会颠倒。
3.两个不等式可相加或相减，不等式的符号不变。
但需要注意运算过程中的符号规定，以确保不等式成立。
二、绝对值的定义和性质绝对值是指一个数到原点的距离，通常用 "|" 符号表示。
绝对值始终是非负的。
【举例】通过以下例子来了解绝对值的定义和性质：1. |3| = 3：绝对值3等于3。
2. |-5| = 5：绝对值-5等于5。
对于任意实数x和y，绝对值具有以下性质：1.非负性质：|x| ≥ 0，绝对值始终是非负的。
2.零绝对值性质：|x| = 0 当且仅当 x = 0。
3.同号绝对值等式：|xy| = |x|·|y| 当且仅当 x、y同号。
4.异号绝对值等式：|xy| = -|x|·|y| 当且仅当 x、y异号。
5.三角不等式：|x+y| ≤ |x| + |y|，任意两个数之和的绝对值小于等于它们绝对值之和。
三、不等式与绝对值的应用1.求解不等式：不等式与绝对值经常被用来求解数学问题。
例如，求解一个含有不等式的方程，确定一个变量的取值范围等。
不等式与绝对值不等式的变形
不等式与绝对值不等式的变形不等式在数学中起到了重要的作用，它是比较大小关系的一种数学表示形式。
在解决实际问题中，我们经常会遇到需要将不等式进行变形的情况，以便更好地进行分析和求解。
而绝对值不等式是一类特殊的不等式，其中包含绝对值运算，对于这类不等式的变形也需要一定的技巧和方法。
本文将对不等式与绝对值不等式的变形进行详细介绍。
一、不等式的基本变形方法不等式的基本变形方法包括合并同类项、移项与交换，以下将对其进行详细介绍。
1. 合并同类项在解决不等式问题时，常常需要将具有相同变量的项进行合并以简化计算过程。
例如，对于不等式2x + 3 > 5x - 2，我们可以将2x和5x合并为7x，于是不等式可以变形为7x + 3 > -2。
2. 移项在不等式中，我们可以将含有变量的项从一侧移动到另一侧，从而改变不等式的形式。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，我们可以将3移到不等号的另一侧，于是不等式变为2x > 5 - 3，即2x > 2。
3. 交换在不等式问题中，我们可以通过交换不等式两侧的表达式来改变不等式的形式。
例如，对于不等式3x < 7，我们可以将式子两侧的3x和7交换位置，得到7 > 3x。
以上是不等式的基本变形方法，在解决问题时可以根据实际情况选择合适的变形方法进行变形。
下面将介绍绝对值不等式的变形方法。
二、绝对值不等式的变形方法绝对值不等式是含有绝对值运算的不等式，为了求解这类不等式，我们需要将绝对值不等式进行适当的变形。
下面将分别介绍绝对值不等式的两种基本变形方法。
1. 分类讨论法对于含有绝对值的不等式，我们可以根据绝对值内部的表达式的符号进行分类讨论。
例如，对于不等式|3x - 7| < 5，我们可以将3x - 7分别大于0和小于0的情况进行讨论。
当3x - 7 > 0时，不等式可以变形为3x - 7 < 5，解得x < 4。
不等式和绝对值不等式
小结：理解并熟练掌握基本不等式及 其应用，特别要注意利用基本不等式 求最值时， 一定要满足“一正二定三 相等”的条件。
作业：课本P10第7、8、10题，第11题为选
做题。
3、三个正数的算术-几何平均不等式
abc 3 定理3 如果a, b, c R，那么 abc，当且仅 3 当a b c时，等号成立。 即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
a b （1）若c>a>b>0，则 （真命题） c a c b 1 1 （2）若a>b, ，则a>0，b<0。 （真命题） a b
例5、已知f(x)=ax2+c，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5， 求f(3)的取值范围。 f(3)的取值范围是[-1, 20]
例6、已知a>0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试比较a、b、c 的大小。 解：因为bc>a2>0，所以b、c同号；又a2+c2=2ab>0，且
第一讲 不等式和绝对值不等式 1、不等式
1、不等式的基本性质：
a a b, b c ①、对称性： b b a 传递性：_________ a c
②、 a b, c R ，a+c＞b+c
③、a＞b， c 0 ， 那么ac＞bc；
a＞b，
c 0 ，那么ac＜bc
a b
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面 积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长 最短。
结论：已知x, y都是正数。（1）如果积xy是定值p， p 那么当x=y时，和x+y有最小值2 ；（2）如果 和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值 1 2 s 4
不等式与绝对值
不等式与绝对值不等式是数学中常见的一种数值关系表示方式，它将两个数进行比较，指出它们的大小关系。
绝对值则是数的非负值，表示数与零的距离。
本文将探讨不等式与绝对值之间的关系，以及它们在数学问题中的应用。
一、不等式的基本概念不等式是数学中一种常见的关系表达方式，用于比较两个数的大小关系。
假设有两个实数a和b，若满足以下条件之一，则称a与b之间存在不等关系：1. a>b：表示a大于b，也可以理解为a在b的右边。
2. a<b：表示a小于b，也可以理解为a在b的左边。
3. a≥b：表示a大于或等于b，也可以理解为a在b的右边或与b重合。
4. a≤b：表示a小于或等于b，也可以理解为a在b的左边或与b重合。
二、绝对值的定义与性质绝对值是表示一个实数与零之间的距离。
假设有一个实数a，则它的绝对值记作|a|，定义如下：1. 若a≥0，则|a|=a。
2. 若a<0，则|a|=-a。
绝对值具有以下重要性质：1. |a|≥0，绝对值非负。
2. 若a≥0，则|a|=a；若a<0，则|a|=-a。
3. |-a|=|a|，绝对值对称性。
4. |ab|=|a|·|b|，绝对值的乘积等于绝对值的乘积。
5. |a+b|≤|a|+|b|，绝对值的和不大于各个绝对值之和。
三、不等式中的绝对值在解不等式问题时，常常涉及到绝对值的运算。
当不等式中存在绝对值时，我们需要根据绝对值的性质进行分类讨论。
1. 不等式形式为：|a|<b。
当b≥0时，此不等式等价于-a<b且a<b，即-a<b。
当b<0时，此不等式恒不成立。
2. 不等式形式为：|a|>b。
当b>0时，此不等式等价于a>b或a<-b，即a>b或a<-b。
当b≤0时，此不等式等价于a>b或a<-b，即a>b或a<-b。
3. 不等式形式为：|a|≤b。
当b>0时，此不等式等价于-a≤b且a≤b，即-a≤b。
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不
1.2.2 绝对值不等式的解法课堂导学三点剖析一、绝对值不等式的典型类型和方法(一) 【例1】 解下列不等式: (1)1<|x+2|<5; (2)|3-x|+|x+4|>8.解析：(1)法一:原不等式⇔⎩⎨⎧<<--<->⇔⎩⎨⎧<+<->+⇔⎩⎨⎧<+>+.37,31525125|2|1|2|x x x x x x x 或 故原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<-3}.法二:原不等式⎩⎨⎧<--<<+⎩⎨⎧<+<≥+⇔521,02521,02x x x x 或, ⇔⎩⎨⎧-<<--<⎩⎨⎧<<--≥⇔37,231,2x x x x 或-1<x<3或-7<x<-3.∴原不等式的解集为{x|-1<x<3或-7<x<3}.(2)法一:原不等式⎩⎨⎧>++-<<-⎩⎨⎧>---≤⇔,843,34843,4x x x x x x 或⎩⎨⎧>≥⎩⎨⎧><<-⎩⎨⎧>---≤⇔⎩⎨⎧>++-≥.72,387,34821,4843,3x x x x x x x x 或或或 ∴x>27或x<29-. ∴原不等式的解集为{x|x<29-或x>27}.法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<---≤--.3,72,34,1,492x x x x作出函数的图象如图.从图象可知当x>27或x<29-时,y>0,故原不等式的解集为{x|x>27或x<29-}. 温馨提示在本例中主要利用了绝对值的概念,|x|<a(或|x|>a)的解集以及数形结合的方法,这些方法都是解绝对值不等式的典型方法. 各个击破 类题演练1 解下列不等式:(1)|432-x x|≤1; (2)|x+3|-|2x-1|>2x+1.解析:(1)原不等式⎩⎨⎧≥+-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≤≠-⇔016172)4(904242222x x x x x x ⇔⎩⎨⎧≥≤±≠⇔161222x x x 或-1≤x≤1或x≤-4或x≥4. 故原不等式的解集为{x|-1≤x≤1或x≤-4或x≥4}. (2)由x+3=0,得x 1=-3, 由2x-1=0,得x 2=21. ①当x<-3时,不等式化为x-4>2x+1,解得x>10,而x<-3,故此时无解; ②当-3≤x<21时,不等式化为3x+2>2x +1,解得x>52-,这时不等式的解为52-<x<21;③当x≥21时,不等式化为-x+4>2x +1,即x<2,这时不等式的解为21≤x<2.综合上述,原不等式的解集为{x|52-<x<2}.变式提升1(1)解不等式|x 2-5x+5|<1.解析:不等式可化为-1<x 2-5x+5<1,即⎪⎩⎪⎨⎧->+-<+-.155,15522x x x x解之,得1<x<2或3<x<4.所以原不等式的解集为{x|1<x<2或3<x<4}.(2)求使不等式|x-4|+|x-3|<a 有解的a 的取值范围. 解法一:将数轴分为(-∞,3),［3,4］,(4,+∞)三个区间. 当x<3时,得(4-x)+(3-x)<a,x>27a -有解条件为27a-<3,即a>1; 当3≤x≤4,得(4-x)+(x-3)<a,即a>1; 当x>4时,得(x-4)+(x-3)<a,则x<27+a有解条件为27+a >4.∴a>1. 以上三种情况中任何一个均可满足题目要求,故是它们的并集,即仍为a>1.解法二:设数x 、3、4在数轴上对应的点分别为P 、A 、B,由绝对值的几何意义,原不等式即求|PA|+|PB|<a 成立.因为|AB|=1,故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于(等于)1,即|x-4|+|x-3|≥1,故当a>1时,|x-4|+|x-3|<a 有解.另外,本题还可利用绝对值不等式性质求函数的最值方法处理: ∵|x -4|+|x-3|=|x-4|+|3-x| ≥|x -4+3-x|=1,∴a 的取值范围是a>1.二、绝对值不等式的典型类型和方法(二)【例2】 解不等式|x 2-9|≤x+3.解析：方法一:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-⇔39,0922x x x ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-39,0922x x x 或 由①得x=-3或3≤x≤4,由②得2≤x<3,∴原不等式解集是{x|2≤x≤4或x=-3}.方法二:原不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥⇔⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+⇔433339)3(032x x x x x x x x ⇔或2≤x≤4. ∴原不等式的解集为{x|x=-3或2≤x≤4}. 温馨提示对于|f(x)|≤g(x)型的不等式,通常有两种思路,一种是利用绝对值的意义,将其转化为f(x)≥0,⎩⎨⎧≤-<⎩⎨⎧≤≥).()(,0)()()(,0)(x g x f x f x g x f x f 或 另一种则是转化为⎩⎨⎧≤≤-≥)()()(,0)(x g x f x g x g 来求.当然也可直接转化为-g(x)≤f(x)≤g(x)来解(为什么?请同学们思考). 类题演练2解不等式|2x-1|>3x.解析:①当x<0时,原不等式显然成立;②当x≥0时,两端平方,得(2x-1)2>9x 2,即5x 2+4x-1<0,解之,得-1<x<51, ∴0≤x<51. 由①②知原不等式的解集为{x|x<51}. 变式提升2(1)解不等式|x 2-3x+2|>x 2-3|x|+2.解析:在同一坐标系内分别画出函数y=|x 2-3x+2|和y=x 2-3|x|+2=|x|2-3|x|+2的图象(如图所示).由图可知,原不等式的解集为{x|x<0或1<x<2}. (2)解不等式|x+1|(x-1)≥0. 解析:1° x+1=0,适合不等式;2° x+1≠0,则|x+1|>0,故原不等式等价于x-1≥0,∴x≥1,显然x+1≠0. ∴原不等式的解集为{x|x≥1或x=-1}. 三、绝对值不等式的证明【例3】 设f(x)=ax 2+bx+c,当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7. 证明:由于f(x)是二次函数,|f(x)|在［-2,2］上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(a b 2-)|,故只要证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7;当|a b 2-|≤2时,有|f(ab 2-)|≤7. 由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1.由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--+=⎪⎩⎪⎨⎧+-=-++==).0()],1()1([21)],0(2)1()1([21,)1(,)1(,)0(f c f f b f f f a c b a f c b a f c f 得∴|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, |f(-2)|=|4a-2b+c|=|f(1)+3f(-1)-3f(0)|≤|f(1)|+3|f(-1)|+3|f(0)|≤1+3+3=7. ∵|b|=21|f(1)-f(-1)|≤21(|f(1)|+|f(-1)|)≤21(1+1)=1, ∴当|ab2-|≤2时,|f(a b 2-)|=|a b ac 442-|=|c a b 42-|=|c a b 2-·2b |≤|c|+|a b 2|·2||b ≤1+2×21=2<7.因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.类题演练3已知f(x)=x 2+ax+b(x 、a 、b∈R ,a 、b 是常数),求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|全都小于21,即有|f(1)|<21,|f(2)|<21,|f(3)|<21. 于是|f(1)+f(3)-2f(2)|≤|f(1)|+|f(3)|+2|f(2)|<21+21+2×21=2.又f(1)+f(3)-2f(2)=2,二者产生矛盾,故|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于21. 变式提升3已知函数f(x)=ax+b,满足|x|≤1,a 2+b 2=1,求证:|f(x)|≤2.证法一:|f(x)|≤2⇔2-≤f(x)≤2⇔f(x)min ≥2-且f(x)max ≤2.若a>0,则f(x)max =f(1)=a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(-1)=-a+b≥2])[(222-=+--b a . 若a=0,则f(x)=b 且b 2=1, ∴|f(x)|≤2.若a<0,则f(x)max =f(-1)=-a+b≤2)(222=+b a ,f(x)min =f(1)=a+b≥2)(222-=+-b a . 综上,知不等式成立. 证法二:|f(x)|2-(2)2=(ax+b)2-2(a 2+b 2)=a 2x 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)≤a 2+b 2+2abx-2(a 2+b 2)=2abx-a 2-b 2≤2abx -a 2x 2-b 2=-(ax-b)2≤0, ∴|f(x)|≤2.。
不等式和绝对值不等式归纳总结课件
专题五 ⇨放缩法
● 在证明不等式时，有时我们要把所证不等式的一边适当地放大(或缩小)以方便化简，并使它与不 等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证的不等式成立，这种证明的方法称为放缩法. 它是证明不等式的特殊方法.
典例试做 5 已知 a、b、c 为三角形的三边，求证：
1＋a a，1＋b b，1＋c c也可以构成一个三角形. [解析] 设f(x)＝1＋x x，x∈(0，＋∞)，0<x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝1＋x2x2－1＋x1x1＝1＋xx22－1x＋1 x1>0，f(x2)>f(x1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上为单调增函数.
②
又ax＋ay≥2a18 .
③
由于①、②等号不能同时成立，
所以③式等号不成立，即ax＋ay>2a1<18＋loga2成立.
专题四 ⇨反证法
● 运用反证法证明不等式，主要有以下两个步骤：①作出与所证不等式相反 的假设；②从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论， 否定假设，从而证明原不等式成立.
典例试做 3
＋loga2.
设实数 x、y 满足 y＋x2＝0，且 0<a<1，求证：loga(ax＋ay)<18
1
[分析] 1.根据对数函数的单调性，将要证不等式转化为证明：ax＋ay>2a8 .
2. 利用综合法及基本不等式证明该不等式.
[解析] 由于0<a<1，则t＝logax(x>0)为减函数.
典例试做 2 已知 a、b、c 为△ABC 的三条边，求证：a2＋b2＋c2<2(ab
＋bc＋ca).
● [提示] 应用余弦定理解决.
[解析] 设a、b两边的夹角为θ，则由余弦定理，得cosθ＝a2＋2ba2b－c2. ∵0<θ<π，∴cosθ<1，∴a2＋2ba2b－c2<1， 即a2＋b2－c2<2ab. 同理可证：b2＋c2－a2<2bc，c2＋a2－b2<2ac， 将上面三个同向不等式相加，即得 a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca).
不等式的性质及绝对值不等式讲义
不等式的性质及绝对值不等式课前双击巩固1.不等式的性质(1)如果a>b,那么;如果b<a,那么,即a>b⇔b<a.(2)如果a>b,b>c,那么,即a>b,b>c⇒.(3)如果a>b,那么a+c>,即a>b⇒a+c>.推论:如果a>b,c>d,那么,即a>b,c>d⇒.(4)如果a>b,c>0,那么ac>;如果a>b,c<0,那么ac<.(5)如果a>b>0,那么a n b n(n∈N,n≥2).(6)如果a>b>0,那么√a n√b n(n∈N,n≥2).2.基本不等式(1)如果a,b∈R,那么a2+b2,当且仅当时,等号成立.,当且仅当时,等号成立.(2)如果a>0,b>0,那么a+b2(3)如果a>0,b>0,那么a+b称为a,b的平均,√ab称为a,b的平均.2,当且仅当时,等号成立. (4)如果a>0,b>0,c>0,那么a+b+c3(5)对于n个正数a1,a2,…,a n,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.3.绝对值不等式(1)如果a,b是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当时,等号成立.(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当时,等号成立.课堂考点探究探究点一绝对值三角不等式的应用1 若对于实数x ,y ,有|x+y+1|≤13,|y -13|≤23,求证:|23x +1|≤79.[总结反思](1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中取等号的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时,要检验等号是否能取到.该定理可以强化为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式.(2)求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题时,利用绝对值三角不等式更方便. 式题 若x ,y 满足|x-3y|<12,|x+2y|<16,求证:|x|<310.探究点二 绝对值不等式的解法 2 已知函数f (x )=|x+2|-|2x-2|. (1)解不等式f (x )≥-2;(2)设g (x )=x-a ,若对任意x ∈[a ,+∞),都有 g (x )≥f (x ),求a 的取值范围.[总结反思]式题已知函数f(x)=|2x+1|-|x|+a.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥0;(2)若方程f(x)=2x有三个不同的解,求a的取值范围.探究点三绝对值不等式的证明与应用|+|x-2m|(m>0).3]设函数f(x)=|x+8m(1)求证:f(x)≥8恒成立;(2)求使得不等式f(1)>10成立的实数m的取值范围.[总结反思]式题已知f(x)=|ax-1|,若实数a>0,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.(1)求a的值;(2)若f(x)+f(-x)<|k|存在实数解,求实数k的取值范围.3参考答案【课前双基巩固】 知识聚焦1. (1)b<a a>b (2)a>c a>c (3)b+c b+c a+c>b+d a+c>b+d (4)bc bc (5)> (6)>2. (1)≥2ab a=b (2)≥√ab a=b(3)算术 几何 (4)≥√abc 3a=b=c(5)a 1+a 2+⋯+a nn≥√a 1a 2…a n n3. (1)ab ≥0 (2)(a-b )(b-c )≥0 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 借助绝对值三角不等式进行证明. 证明:|23x +1|=23|x +32|=23x+y+1-y+13+16≤23|x+y+1|+|y -13|+16≤23×(13+23+16)=79,所以|23x +1|≤79.变式题 证明:由绝对值三角不等式的性质得|x|=15|2(x-3y )+3(x+2y )|≤15[|2(x-3y )|+|3(x+2y )|]<15×(2×12+3×16)=310.例2 [思路点拨] (1)分类讨论,去掉绝对值,分别求得不等式f (x )≥-2的解集,再取并集,即得所求;(2)作出f (x )的图像,数形结合求得满足x ∈[a ,+∞)时g (x )≥f (x )的a 的取值范围. 解:(1)f (x )={x -4,x ≤−2,3x,-2<x <1,-x +4,x ≥1,当x ≤-2时,x-4≥-2,即x ≥2,∴x ∈⌀; 当-2<x<1时,3x ≥-2,即x ≥-23,∴-23≤x<1; 当x ≥1时,-x+4≥-2,即x ≤6,∴1≤x ≤6.综上,f (x )≥-2的解集为{x|−23≤x ≤6}. (2)函数y=f (x )的图像如图所示.∵g (x )=x-a ,-a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,-a=2,∴当-a ≥2,即a ≤-2时,符合题意;当-a<2,即a>-2时,令-x+4=x-a ,得x=2+a2,∴a ≥2+a2,即a ≥4.综上,a ≤-2或a ≥4.变式题 解:(1)当a=-1时,不等式f (x )≥0可化为|2x+1|-|x|-1≥0,∴{x <−12,-(2x +1)−(−x)-1≥0或{-12≤x <0,(2x +1)−(−x)-1≥0或{x ≥0,(2x +1)−x -1≥0,解得x ≤-2或x ≥0,∴不等式f (x )≥0的解集为(-∞,-2]∪[0,+∞).(2)由f (x )=2x 得a=2x+|x|-|2x+1|, 令g (x )=2x+|x|-|2x+1|,则g (x )={ 3x +1(x <−12),-x -1(-12≤x <0),x -1(x ≥0),作出函数y=g (x )的图像,如图所示,易知A -12,-12,B (0,-1),结合图像知,当-1<a<-12时,函数y=a 与y=g (x )的图像有三个不同的交点,即方程f (x )=2x 有三个不同的解,∴a 的取值范围为(-1,-12).例3 [思路点拨] (1)先根据绝对值三角不等式可得|x +8m |+|x-2m|≥|8m +2m|,再根据基本不等式可得8m +2m ≥2√16=8,即证f (x )≥8恒成立;(2)原问题等价于解|1+8m |+|1-2m|>10,分1-2m ≥0和1-2m<0两种情况进行讨论,分别求解不等式再取并集即可.解:(1)证明:由m>0,得f (x )=|x +8m |+|x-2m|≥|(x +8m )-(x -2m)|=|8m +2m|=8m +2m ≥2√8m ×2m =8,当且仅当8m =2m 且(x +8m )(x-2m )≤0,即m=2且-4≤x ≤4时取等号,所以f (x )≥8恒成立.(2)f (1)=|1+8m|+|1-2m|(m>0).当1-2m<0,即m>12时,f (1)=1+8m-(1-2m )=8m+2m ,由f (1)>10,得8m+2m>10,化简得m 2-5m+4>0,解得m<1或m>4,所以12<m<1或m>4.当1-2m ≥0,即0<m ≤12时,f (1)=1+8m +(1-2m )=2+8m -2m , 由f (1)>10,得2+8m -2m>10,此不等式在0<m ≤12时恒成立. 综上,实数m 的取值范围是(0,1)∪(4,+∞).变式题 解:(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax ≤4. 因为a>0,所以-2a ≤x ≤4a ,因为不等式f (x )≤3的解集是{x|-1≤x ≤2}, 所以{-2a =−1,4a =2,解得a=2.(2)因为f(x)+f(-x)3=|2x -1|+|2x+1|3≥|(2x -1)-(2x+1)|3=23,所以要使f(x)+f(-x)3<|k|存在实数解,只需|k|>23,解得k>23或k<-23,所以实数k的取值范围是(-∞,-23)∪(23,+∞).。
三角不等式与绝对值不等式
三角不等式与绝对值不等式三角不等式和绝对值不等式是数学中常见且重要的概念。
它们在不同的数学领域中广泛应用，包括代数、几何和数论等。
本文将详细介绍三角不等式和绝对值不等式的定义、性质和应用。
一、三角不等式三角不等式是指在任意三角形中，任意两边之和必大于第三边。
具体而言，对于一个三角形的三边a、b、c，满足以下不等式：a +b > cb +c > ac + a > b三角不等式的证明可以使用几何方法、代数方法或三角函数方法。
无论哪种方法，都能够证明三角不等式的正确性。
三角不等式还可以推广到更一般的形式，即对于任意的a、b，有：|a + b| ≤ |a| + |b|其中，|a| 表示数a的绝对值。
这个不等式称为绝对值不等式。
二、绝对值不等式绝对值不等式是指在不等式中含有绝对值的表达式。
解绝对值不等式的关键是根据绝对值的定义找出各种情况并进行分析。
1. 绝对值的定义：对于一个实数a，其绝对值定义如下：当a≥0时，|a| = a；当a<0时，|a| = -a。
2. 绝对值不等式的解法：对于一个绝对值不等式，可以通过以下方法来解答：（1）情况讨论法：将绝对值表达式中的正负情况进行分情形讨论，并根据实际条件进行求解。
（2）不等式性质法：利用绝对值不等式的性质进行数学推导和计算。
（3）化简法：通过适当的变量替换或等式转换，将绝对值不等式化简为其他形式的不等式。
（4）区间法：绘制实数的数轴，根据绝对值的定义和不等式的性质得出绝对值不等式的解集。
三、三角不等式与绝对值不等式的应用三角不等式在几何领域中的应用非常广泛，如判定三角形的存在性、计算三角形的周长和面积等。
同时，在证明数学定理和不等式时，三角不等式也经常起到重要的作用。
绝对值不等式在代数中具有重要的应用，涉及到绝对值函数的性质和不等式的解法。
在求解问题时，我们常常需要通过绝对值不等式来确定变量的取值范围，或者通过绝对值不等式将问题转化为更容易求解的形式。
第一讲 不等式和绝对值不等式(3)
五: 绝对值不等式
绝对值的几何意义
|a|
0
o
a
A
x
表示数轴上坐标为a 表示数轴上坐标为a 的点A 的点A到原点的距离
A B 表示数轴上坐标为a 表示数轴上坐标为a、b 的两点A 的两点A、B之间的距离
a
|a-b|
b
x
定理1 绝对值三角不等式) 定理1 (绝对值三角不等式) ------如果 如果a 是实数, |a+b|≤ ------如果a、b是实数,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当ab≥0时 当且仅当ab≥0 ------当且仅当ab≥0时,等号成立
综合1 知定理成立. 综合10,20知定理成立.
定理1 绝对值三角不等式) 定理1 (绝对值三角不等式) ------如果 如果a 是实数, |a+b|≤ ------如果a、b是实数,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当ab≥0时 当且仅当ab≥0 ------当且仅当ab≥0时,等号成立
uuuur a+b r a r b
r a
uuuur a+b
r b
如果a 是向量, |a+b|≤ 定理 如果a、b是向量,则|a+b|≤|a|+|b| ------当且仅当 当且仅当a 同向时, ------当且仅当a、b 同向时,等号成立
定理2 如果a 是实数, 定理2 如果a、b、c是实数, -------那么|a-c|≤|a-b|+|b那么|a -------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| -------当且仅当(a-b)(b当且仅当(a ≥0时 等号成立. -------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立. 定理3 如果a 是实数, 定理3 如果a、b是实数, -------那么||a|-|b||≤ 那么||a| -------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| 当且仅当ab 当且仅当ab ≤0时, 等号成立. 等号成立. -
不等式和绝对值不等式
解法二:不等式|x-1|+|x+2|<5的几何意义为数 轴上到-2,1两个点的距离之和小于5的点组成的集合,而-2,1两 端点之间的距离为3,由于分布在-2,1以外的点到-2,1的距 离在-2,1外部的距离要计算两次,而在-2,1内部的距离则只
计算一次,因此只要找出-2左边到-2的距离等于
53 53 1的点 3,以及1右边到1的距离等于 1 2 2 的点2, 这样就得到原不等式的解集 x | 3 x 2 .
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解法三 : 原不等式的解集就是1 x 2 ≤9的解集,
2 2 ( x 2) ≤9 即 , 2 ( x 2) 1 1≤x≤5 解得 , x 1或 x 3 1≤x 1或3 x≤5.
原不等式的解集是{x | 1≤x 1或3 x≤5}.
当x<-2时,原不等式为1-x-2-x<5.
解得-3<x<-2; 当-2≤x≤1时,原不等式为1-x+2+x<5, 因为3<5恒成立,则-2≤x≤1;
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当x>1时,原不等式为x-1+2+x<5, 解得1<x<2. 综上,原不等式的解集为{x|-3<x<2}.
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点值.
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类型三
含绝对值不等式的证明
解题准备:含绝对值不等式的证明主要分两类:一类是比较简 单的不等式可以通过平方法或换元法等去掉绝对值转化为 常见的不等式的证明,另一类是利用绝对值三角不等式
:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添加､拆项证明或利用
不等式和绝对值不等式 (共43张PPT)
ac<bc
(5)乘方:a>b>0⇒_a_n_>_b_n,n∈N*,且n≥2. (6)开方:a>b>0⇒_________,n∈N*,且n≥2.
na nb
2.基本不等式
(1)定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥____(当且仅当a=b 2ab
时,等号成立).
(2)定理2:如果a,b>0,那么 ≥____(当且仅当a=b
【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≤g(x), 即|2x-1|+|2x+1|≤x+2,
等价于
x
1 2
,
①
4x x 2
或
1 2Βιβλιοθήκη x1 2,
②
2 x 2
或
x
1 2
,
③
4x x 2
解①求得x无解,解②求得0≤x< 1 , 2
解③求得 1 x 2 , 综上,不等式2的解集3 为
1,
x
1 2
,
3x
1,
1 2
x
0,
故xh(1x,)xmin0，=
,故可得到实数a的范围为
h( 1) 1 22
[ 1， ). 2
第一课 不等式和绝对值不等式
【网络体系】
【核心速填】
1.不等式的基本性质
(1)对称性:a>b⇔____. b<a
(2)传递性:a>b,b>c⇒____. (3)加(减):a>b⇒_____a_>_c_. (4)乘(除):a>b,c>a0+⇒c>_b_+_c___;a>b,c<0⇒______.
不等式与绝对值不等式的应用
不等式与绝对值不等式的应用不等式和绝对值不等式是数学中重要的概念和工具，在各个领域都有广泛的应用。
本文将探讨不等式和绝对值不等式在问题求解中的具体应用。
一、不等式的应用1. 几何问题不等式在几何问题中经常被使用。
例如，当我们需要证明两个三角形面积的大小关系时，可以利用不等式进行推导。
又如，在证明一个图形的边长和半径等数值关系时，也可以运用不等式来帮助证明。
2. 经济学中的需求曲线在经济学中，需求曲线通常可以用不等式来表示。
需求曲线的方程式将价格与需求量联系起来，通过解不等式可以确定价格和需求量的取值范围，从而帮助决策者做出合理的经济决策。
3. 最优化问题在最优化问题中，不等式起到了重要的作用。
例如，在生产问题中，当我们希望最大化或最小化某个特定目标函数时，可以通过不等式约束来确定可行解的范围，并找到最优解。
二、绝对值不等式的应用1. 方程组的求解绝对值不等式在解决方程组的问题中扮演着重要角色。
通过将待求变量的绝对值表达式与已知条件的绝对值表达式进行比较，可以得到方程的解的范围或条件。
2. 数学建模在数学建模中，绝对值不等式可以用于描述现实生活中的问题。
例如，在汽车行驶过程中，我们常常需要限制行驶速度不能过快或过慢，这就可以通过绝对值不等式来表示。
3. 函数图像的研究绝对值不等式也可以应用于研究函数图像。
通过对绝对值不等式进行变形和拆分，可以得到更具体的图像特征，帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
综上所述，不等式和绝对值不等式在数学中具有广泛的应用。
无论是在几何问题、经济学、最优化问题，还是在方程组的求解、数学建模以及函数图像的研究中，它们都发挥着重要的作用。
熟练掌握不等式和绝对值不等式的应用，对于解决实际问题、提高数学建模水平具有重要意义。
因此，我们应该加强对不等式和绝对值不等式的学习和应用，提升自己的数学素养。
不等式与绝对值
不等式与绝对值不等式是数学中常见的一种表示关系的符号语言，用于描述两个数或两个表达式之间的大小关系。
而绝对值则是一个数的非负值。
本文将通过介绍不等式和绝对值的基本概念、性质以及应用场景，来探讨它们在数学中的重要性和实际运用。
一、不等式的基本概念和性质不等式是通过不等号（>、<、≥、≤）来表示两个数或两个表达式之间的大小关系。
对于一个不等式，其中的符号表示两个数的大小关系，可以理解为“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”的意思。
不等式的解是使得不等式成立的数值或数值范围。
对于一元不等式（只涉及一个变量），解可以是一个具体的数值，也可以是表示数值范围的表达式。
对于多元不等式（涉及多个变量），解表示一个满足所有变量关系的数值组合。
不等式具有以下性质：1. 若 a > b，那么 a + c > b + c，其中 c 表示任意实数。
2. 若 a > b，且 c > 0，那么 ac > bc。
3. 若 a > b，且 c < 0，那么 ac < bc。
4. 若 a > b，且c ≤ 0，那么ac ≥ bc。
5. 若 a > b，且c ≥ 0，那么ac ≤ bc。
二、绝对值的基本概念和性质绝对值表示一个数（实数）的非负值，即一个数到原点的距离。
用符号 |x| 来表示。
对于一个实数 x，如果x ≥ 0，则 |x| = x；如果 x < 0，则 |x| = -x。
绝对值具有以下性质：1. |x| ≥ 0，对于任意实数 x。
2. |x| = 0 的充分必要条件是 x = 0。
3. |xy| = |x| |y|，其中 x 和 y 是任意实数。
4. |x + y| ≤ |x| + |y|，其中 x 和 y 是任意实数。
三、不等式中的绝对值在不等式中，绝对值的运用可以使得问题更加简洁和清晰。
具体可以分为以下几种情况：1. |x| > a，其中 a > 0。
不等式和绝对值不等式
AM=y米 解:设AM= 米
200 - x 2 因而 4 xy + x 2 = 200 y = 4x
D A
Q
P C B
于是S = 4200 x 2 + 210 × 4 xy + 80 × 2 y 2 0 < x < 10 2
M
N
E
F
课堂练习: 课堂练习: 练习
3 的最大值. 1.⑴已知 0 < x < ,求函数 y = x(3 2 x) 的最大值. 2 x2 +3 2x2 的最小值. 的最小值. (x > 3) 的最小值.⑶求函数 y = ⑵求函数 y = 的最小值. 2 x 3 x +2
2
= x +2+
2
1 x2 + 2
1 时是增函数. 又∵ x + 2 ≥ 2 ,又∵函数 y = t + 在 t ∈ [1, +∞ ) 时是增函数. t 3 2 1 2 ∴当 x = 0 时,函数 y = x + 2 + 取得最小值 . 2 x2 + 2
x2 + 2 x2 + 3 x2 + 2 + 1 1 2 = = x +2+ 解 : ⑶∵ y = ≥2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 3 ∴函数 y = 的最小值为 2. x2 + 2
a+b+c 3 ≥ abc , 定理 3:如果 a,b,c ∈ R ,那么 3 等号成立. 当且仅当 a = b = c 时,等号成立
+
推广: 对于 n 个正数 a1 , a2 , a3 ,L an, 推广 : 它们的算术平均值 不小于它们的几何平均值, 不小于它们的几何平均值, a1 + a2 + a3 + L + an 即 ≥ n a1 a2 a3 L an n 时取等号. (当且仅当 a1 = a2 = a3 = L = a x
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不等式的性质及绝对值不等式
1．求不等式|x＋1|＋|2x－1|>4的解集．
2．已知a，b∈R＋，且a3－b3＝a2－b2，求a＋b的取值范围．3．[2013·邯郸一模] 已知函数f(x)＝log2(|x－1|＋|x＋2|－a)．
(1)当a＝7时，求函数f(x)的定义域；
(2)若关于x的不等式f(x)≥3的解集是R，求a的取值范围．
4．[2013·辽宁卷] 已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．
(1)求a 的值；
(2)若⎪⎪⎪
⎪f （x ）－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．
不等式的性质及绝对值不等式
1．[2013·浙大附中月考] 解不等式|log 2x －3|＋|2x －8|≥9.
2．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1，求M 的取值范围．
3．[2013·长春调研] 已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.
4．[2013·课程标准卷] 已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
1．(1)x ≤－1时，原不等式可化为－x －1－2x ＋1>4，解得x <－43，此时解为x <－43
；(2)－1<x <12
时，原不等式可化为x ＋1－2x ＋1>4，解得x <－2，此时无解； (3)x ≥12时，原不等式可化为x ＋1＋2x －1>4，解得x >43
. 综上原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪
⎪x <－43或x >43. 2．解：由a 3－b 3＝a 2－b 2变形得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，整理得(a ＋b )2－(a ＋b )＝ab ，
而0<ab <（a ＋b ）24
. 所以0<(a ＋b )2－(a ＋b )<（a ＋b ）24
， 得1<a ＋b <43
. 3．解：(1)由题设知|x －1|＋|x ＋2|>7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集．
⎩
⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋x ＋2>7或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－x ＋1＋x ＋2>7 或⎩
⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－x ＋1－x －2>7， 解得函数f (x )的定义域为(－∞，－4)∪(3，＋∞)．
(2)不等式f (x )≥3，即|x －1|＋|x ＋2|≥a ＋8，
因为x ∈R 时，恒有|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x ＋2)|＝3，
又|x －1|＋|x ＋2|≥a ＋8解集是R ，
所以a ＋8≤3，即a ≤－5.
所以a 的取值范围是(－∞，－5]．
4．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．
当a >0时，－4a ≤x ≤2a
，又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，得a ＝2. (2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，
则h (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12
， 所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.
课时作业(六十八)B
1．(1)当0<x <3时，3－log 2x ＋8－2x ≥9⇔log 2x ＋2x ≤2⇔0<x ≤1；
(2)当3≤x <8时，3－log 2x ＋2x －8≥9⇔2x －log 2x ≥14⇒x ≥4，∴4≤x <8.
(3)当x ≥8时，log 2x －3＋2x －8≥9⇔log 2x ＋2x ≥20.
因为f (x )＝log 2x ＋2x 在[8，＋∞)上是增函数，所以f (x )≥f (8)＝3＋28>20.
即当x ≥8时，恒有log 2x ＋2x ≥20.
综上，原不等式的解集为{x |0<x ≤1或x ≥4}．
2．解：由a ＋b ＋c ＝1，
得M ＝a ＋b ＋c a －1a ＋b ＋c b －1a ＋b ＋c c
－1
＝
（b ＋c ）（a ＋c ）（a ＋b ）abc
≥8ab bc ac abc ＝8. 3．证明：因为|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2| ＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2
＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b
2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |
＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，
所以|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2
<1. 因为a ≠b ，所以|a －b |>0.
所以|f (a )－f (b )|<|a －b |.
4．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－2x ＋5，x ≤2，
1，2<x <3，2x －5，x ≥3.
当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；
当2<x <3时，f (x )≥3无解；
当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；
所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}．
(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.
当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |
⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |
⇔－2－a ≤x ≤2－a .
由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.
故满足条件的a 的取值范围为[－3，0]．
课时作业(六十九)A
1．解：由柯西不等式得，(mx ＋ny )2≤(m 2＋n 2)(x 2＋y 2)＝3，故mx ＋ny 的最大值为 3.
2．证明：因为a a b b
（ab ）a ＋b 2
＝aa －a ＋b 2·bb －a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝a b a －b 2，当a >b >0时，a b >1，a －b 2
>0， 由指数函数的性质知a b a －b 2>1，所以a a b b >(ab )a ＋b 2
. 当b >a >0时，0<a b <1，a －b 2
<0， 由指数函数的性质知a b a －b 2>1，所以a a b b >(ab )a ＋b 2
. 综上知a a b b >(ab )a ＋b 2
. 3．证明：因为A －B ＝2x 2＋y 2＋1－2x (y －1)
＝(x 2－2xy ＋y 2)＋(x 2＋2x ＋1)
＝(x －y )2＋(x ＋1)2≥0，
所以A ≥B ，
当且仅当x ＝y ＝－1时，等号成立．
4．解：∵⎣⎡⎦
⎤1x （x ＋1）＋1y （y ＋1）＋1z （z ＋1）· ⎝⎛⎭⎫x ＋1x
＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＋1z 2 即⎣⎡⎦
⎤1x （x ＋1）＋1y （y ＋1）＋1z （z ＋1）·4≥1. ∴
1x （x ＋1）＋1y （y ＋1）＋1z （z ＋1）≥14
，此时1x ＝1y ＝1z 即x ＝y ＝z ＝3. 因此1x （x ＋1）＋1y （y ＋1）＋1z （z ＋1）的最小值为14.。