立体几何之内切球与外接球习题讲义教师版

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高中数学立体几何 2.(第二次修订版)八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(教师版)

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正.一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）. 四、与台体相关的，此略. 五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 解： 162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，π24=S ，选C ；（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：933342=++=R ，ππ942==R S ；（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 .π36 解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，ΘBC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， ΘMN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥，ΘSB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥，ΘSA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，(3)题-1(引理）AC(3)题-2（解答图）AC∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36. （4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ D ）π11.A π7.B π310.C π340.D 解：在ABC ∆中，7120cos 2222=⋅⋅-+=οBC AB AB AC BC ，7=BC ，ABC ∆的外接球直径为372237sin 2==∠=BAC BC r ，∴3404)372()2()2(2222=+=+=SA r R ，340π=S ，选D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为c b a ,,（+∈R c b a ,,），则⎪⎩⎪⎨⎧===6812ac bc ab ，∴24=abc ，∴3=a ，4=b ，2=c ，29)2(2222=++=c b a R ，ππ2942==R S ，（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解：3)2(2222=++=c b a R ，432=R ，23=Rπππ2383334343=⋅==R V 球，类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=， (6)题图（6）题直观图P图2-1补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-. 第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .思考：如何求棱长为a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .解：对棱相等，补形为长方体，如图2-1，设长宽高分别为c b a ,,，110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，π55=S(1)题图B（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 .π229 解：如图2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c ∴291649)(2222=++=++c b a ，291649)(2222=++=++c b a ，229222=++c b a ，22942=R ，π229=S （3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为（3）解答题解：正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，32=R ，23=R ，ππ2383334=⋅=V （4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .(4)题解答图(4)题解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为1PCO ∆，面积是2.类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图3-1图3-2 图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ；第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(hr R +=，解出R例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为解：设正六边形边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ，则21=a ，正六棱柱的底面积为833)21(4362=⋅⋅=S ，89833===h Sh V 柱，∴3=h ，4)3(14222=+=R 也可1)21()23(222=+=R ），1=R ，球的体积为34π=球V ；（2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 . 解：32=BC ，4120sin 322==οr ，2=r ，5=R ，π20=S ；（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 .π16 解：折叠型，法一：EAB ∆的外接圆半径为31=r ，11=OO ，231=+=R ；法二：231=M O ，21322==D O r ，4413432=+=R ，2=R ，π16=表S ；法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略.换一种方式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：162)32()2(222=+=R ，π16=表S ；（4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .π3160解：法一：282164236162=⋅⋅⋅-+=BC ，72=BC ，37423722==r ，372=r ， 3404328)2(2122=+=+=AA r R ，π3160=表S ；法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图4-1图4-2图4-3图4-41．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点. 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；（3）题第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径） 21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=；第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R . 例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 . 解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二：找球心联合勾股定理，72=R ，ππ4942==R S ；（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为解：方法一：找球心的位置，易知1=r ，1=h ，r h =，故球心在正方形的中心ABCD 处，1=R ，34π=V 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC ∆的外接圆，此处特殊，SAC Rt ∆的斜边是球半径，22=R ，1=R ，34π=V . （3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（） A ．433 B ．33 C ．43 D ．123解：高1==R h ，底面外接圆的半径为1=R ，直径为22=R ，设底面边长为a ，则260sin 2==οaR ，3=a ，433432==a S ，三棱锥的体积为4331==Sh V ；（4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为ο60，则该三棱锥外接球的体积为（） A ．π B.3π C. 4π D.43π 解：选D ，由线面角的知识，得ABC ∆的顶点C B A ,,在以23=r 为半径的圆上，在圆锥中求解，1=R ；（5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（）AA．6 BC．3 D．2解：36)33(12221=-=-=r R OO ，362=h ，62362433131=⋅⋅==Sh V 球类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.图5-1图5-2图5-3图5-4图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A ．π3 B ．π2 C ．316πD ．以上都不对解：选C ，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，221)3(R R =+-,32=R ,ππ31642==R S ；法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN 的外接圆是大圆，于是3460sin 22==οR ，下略；第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)俯视图侧视图正视图解答图图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ；第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,；第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+ 注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . 解：如图，3460sin 22221===οr r ，3221==r r ，312=H O ， 35343121222=+=+=r H O R ，315=R ；法二：312=H O ，311=H O ，1=AH ， 352121222=++==O O H O AH AO R ，315=R ；（2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //，ο90=∠A ，ο45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为 π4(2)题-2(2)题-1→A(3)题解：如图，易知球心在BC 的中点处，π4=表S ；（1）题（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为 π6 解：如图，法一：33)2cos(cos 211-=+∠=∠πO OO B SO ， 33sin 21=∠O OO ，36cos 21=∠O OO ， 22cos 21211=∠=O OO O O OO ，232112=+=R ，ππ642==R S ；法二：延长1BO 到D 使111r BO DO ==，由余弦定理得6=SB ，2=SD ，大圆直径为62==SB R ；（4）在边长为32的菱形ABCD 中，ο60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为ο120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为 π28解：如图，取BD 的中点M ，ABD ∆和CBD ∆的外接圆半径为221==r r ，ABD ∆和CBD ∆的外心21,O O 到弦BD 的距离（弦心距）为121==d d ，法一：四边形21MO OO 的外接圆直径2=OM ，7=R ，π28=S ；法二：31=OO ，7=R ；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ,则3==CM AM ， 4=CE ，1=ME ，7=AE ，33=AC ，72147227167cos -=⋅⋅-+=∠AEC ，7233sin =∠AEC ，72723333sin 2==∠=AEC AC R ，7=R ；(5)在四棱锥ABCD 中，ο120=∠BDA ，ο150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角CBD A --(4)题图的平面角的大小为ο120，则此四面体的外接球的体积为解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，→抽象化(5)题解答图-2(5)题解答图-11B32=AB ，22=r ，弦心距32=M O ，13=BC ，131=r ，弦心距321=M O ， ∴2121=O O ，72120sin 21==οO O OM ，法一：∴292222=+==OM MD OD R ，29=R ，∴329116π=球V ；法二：2522222=-=M O OM OO ，∴29222222=+==OO r OD R ，29=R ，∴329116π=球V . 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图7题设：如图7，ο90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 21====，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A ．π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3125解：（1）52==AC R ，25=R ，6125812534343πππ=⋅==R V ，选C（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCDA -的外接球的表面积为．解：BD 的中点是球心O ，132==BD R ，ππ1342==R S .第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高；第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高；第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABC O ABCP S S S S V r -----+++=3例8 （1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是 62a π，解：设正四面体内切球的半径为r ，将正四面体放入棱长为2a的正方体中（即补形为正方体），如图，则 2622313133aa V V ABC P =⋅==-正方体，又Θr a r a Sr V ABC P 223343314314=⋅⋅⋅=⋅=-， ∴263332a r a =，62a r =，∴内切球的表面积为(1)题D图8-1A图8-26422a r S ππ==表（注：还有别的方法，此略）（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为37解：如图，正四棱锥ABCD S -的高7=h ，正四棱锥ABCD S -的体积为374=-ABCD S V 侧面斜高221=h ，正四棱锥ABCD S -的表面积为284+=表S ，正四棱锥ABCD S -的体积为r r S V ABCDS ⋅+==-328431表， ∴3743284=⋅+r ， 771427)122(7221728474-=-=+=+=r （3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则32解：如图，3=∆ABC S ，2==∆∆ACP ABP S S ，7=∆BCP S ，743++=表S ，三棱锥ABC P -的体积为332=-ABCP V ，另一表达体积的方式是r r S V ABC P ⋅++==-347331表， ∴3323473=⋅++r ，∴47332++=r习题： 1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（） A.3 B.6 C.36 D.9 解：【A 】616164)2(2=++=R ，3=R【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2．三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA，则该三(2)题(3)题B棱锥的外接球体积等于 . 332π解：260sin 32==οr ，16124)2(2=+=R ，42=R ，2=R ，外接球体积332834ππ=⋅ 【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .解：ABC ∆外接圆的半径为，三棱锥ABC S -的直径为3460sin 22==οR ，外接球半径32=R ，或1)3(22+-=R R ，32=R ，外接球体积2733233834343πππ=⋅==R V ， 4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .解：PAC ∆的外接圆是大圆，3460sin 22==οR ，32=R ， 5．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .解：973324992cos 222=⋅⋅-+=⋅-+=∠PC PA AC PC PA P ，81216)97(1sin 22⋅=-=∠P ，924sin =∠P ，42922992422===R ，829=R 6．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABCP -外接球的半径为 .解：AC 是公共的斜边，AC 的中点是球心O ，球半径为1=R。

微专题7 立体几何中的“三球”问题归纳课件

PA∩AB＝A，PA⊂平面 PAB，AB⊂平面 PAB，所以 BC⊥
平面 PAB.又 PB⊂平面 PAB，所以 BC⊥PB，所以△PAC，
△PBC 都是以 PC 为斜边的直角三角形．如图，取 PC 的中点 O，连接
OA，OB，则 OA＝OB＝OP＝OC，即点 O 为三棱锥 P－ABC 外接球的球
心．因为在 Rt△PAC 中，PA＝3，AC＝2，所以 PC＝ 32＋22＝ 13，所
【答案】80π
3 已知菱形ABCD的边长为2，且∠DAB＝60°，沿BD把△ABD折起，得到三棱锥A′－BCD，且二面角A′－BD－C的平面角为120°，则三棱锥A′－BCD外接球的表面积为________.
【解析】如图，取BD的中点H，连接A′H，CH.因为ABCD为菱形，所以A′H⊥BD，CH⊥BD，故∠A′HC为二面角A′－BD－C的平面角，即∠A′HC＝120°.由题意，得△A′BD，△BCD为正三角形，则外接球的球心位于过△A′BD，△BCD的中心且和它们所在面垂直的直线上，故分别取△A′BD，△BCD的重心为G1，G2，过点G1，G2分别作两个平面的垂线交于点O，则点O为三棱锥外接球的球心．由题意，得球心到
面 ABC，又因为 OH∥AD，所以 AD⊥平面 ABC.因为
AB⊂平面 ABC，所以 AD⊥AB.在 Rt△ABD 中，AD＝
BD2－AB2＝2.在 Rt△ABC 中，AB＝2BC＝2，所以 AC＝ AB2－BC2＝ 3，
所以
S△ABC＝12AC·BC＝
23，故
VD－ABC＝13AD·S△ABC＝
【答案】C
3 已知在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AA1＝2，BC＝ 3AC，则当该三棱柱的体积最大时，其外接球的体积为( C )

立体几何中球的内切和外接问题完美版

性质
内切球的球心位于旋转体的轴线上，且球的半径等于旋转体半径。
应用
在几何和工程领域中，内切球常用于研究旋转体的体积和表面积。
旋转体的外接球
定义
旋转体的外接球是指与旋转体外侧相切的球。
性质
外接球的球心位于旋转体外侧，且球的半径等于旋转体轴线到旋转体外侧的垂直距离。
应用
在几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ工程领域中，外接球常用于研究旋转体的空间位置和关系。
立体几何中球的内切和外接问题完美版
目录
• 球与多面体的内切和外接问题 • 球与旋转体的内切和外接问题 • 球与几何体的内切和外接问题实例 • 总结与展望
01
CATALOGUE
球与多面体的内切和外接问题
多面体的内切球
01
02
03
04
多面体的内切球是指与多面体的所有顶点和面都相切的
球。
内切球半径的求法：设多面体的每个面为$S_i$，内切球的半径
03
CATALOGUE
球与几何体的内切和外接问题实例
多面体内切球实例
总结词
多面体内切球是指一个球完全内切于一个多面体，且与多面体的每个面都相切。
详细描述
多面体内切球的问题可以通过几何定理和公式来解决，例如欧拉公式和球内切定理。例如，一个正方体的内切球就是其中心，半径等于正方体边长的一半。
旋转体外接球实例
外接球的性质：外接球与多面体的每个顶点都相切，且外接球的直径等于多面体的对角线长度。
外接球的应用：在几何、物理和工程领域中，外接球的概念被广泛应用于研究多面体的性质和计算。
02
CATALOGUE
球与旋转体的内切和外接问题

与球有关的内切、外接问题

(2)三棱锥A－BCD，侧棱长为2 5 ，底面是边长为2 3 的等边三角形， 125
则该三棱锥外接球的体积为___6__π__.
解析如图所示，该三棱锥为正三棱锥，O为底面 BCD的中心且AO垂直于底面BCD，O′在线段AO上， O′为外接球球心，令 O′A＝O′D＝R，OD＝23DE＝23×2 3× 23＝2， AD＝2 5，
(2) 三棱锥 A － BCD 的四个面都是直角三角形，且侧棱 AB 垂直于底面
BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝
4 3
，则该三棱锥A－BCD外接
球的体积为__4___3_π__.
解析因为AB⊥BC，BC⊥CD，构造如图所示的长方体，则AD为三棱锥A－BCD的外接球的直径. 设外接球的半径为R. ∵VA－BCD＝13×12×BC×CD×AB＝16×2×CD×2＝43， ∴CD＝2，∴该长方体为正方体，∴AD＝2 3，∴R＝ 3，外接球体积为 V＝43πR3＝4 3π.
B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为___3__.
解析如图，设正四棱锥的底面中心为O1， ∴SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O， ∴△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在△ASC 中，由 SA＝SC＝ 2，AC＝2，
得SA2＋SC2＝AC2. ∴△ASC是以AC为斜边的直角三角形. ∴A2C＝1 是外接圆的半径，也是外接球的半径. 故 V 球＝43π.
∴AO＝ AD2－OD2＝4，∴OO′＝4－R，
又OO′2＋OD2＝O′D2， ∴(4－R)2＋4＝R2，解得 R＝52，∴V 球＝43πR3＝1625π.
反思感悟

立体几何外接球及内切球问题

立体几何外接球及内切球问题一、球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1球与正方体如图1所示，正方体1111D C B A ABCD -,设正方体的棱长为a ，G H F E ,,,为棱的中点，O 为球的球心。

常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG 和其内切圆，则2a r OJ ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG 和其外接圆，则a R OG 22==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11A ACC 和其外接圆，则23'1a R O A ==. 例 1：棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（） A ．B ．C ． D1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间1111ABCD A B C D -O E F ，1AA 1DD EF O 2112+,,,a b c l 2l R ==部分的体积为( ) A.10π3B.4πC.8π3D.7π31.3球与正棱柱：①结论：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. ②球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.本类题目的解法：构造直角三角形法：设正三棱柱111C B A ABC -的高为h ，底面边长为a ；如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心。

根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，a AD R AO h OD 33,,2===，借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求22332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a h R 。

2023届高三数学一轮复习专题空间几何体的外接球与内切球问题讲义 (解析版)

空间几何体的外接球与内切球问题高考分析：球与几何体的切接问题是近几年高考的高频考点，常以选择题和填空题的形式出现，以中档题和偏难题为主. 一、几种常见几何体的外接与内切球 1.长方体的外接球 (1)球心：体对角线的交点；(2)半径：R ＝a 2＋b 2＋c 22(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径R ＝32a(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝2a(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径=2r a (a 为正方体的棱长)． 3.正四面体的外接球与内切球(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径R (a 为正四面体的棱长)；(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r (a 为正四面体的棱长)．求外接球问题常用方法：1.补体法。

将几何体补形成长方体正方体等常见模型去求解2.外接球的球心都在过底面外接圆圆心的垂线上（注意球体可以滚动所以可以选择较为方便计算的那一面作为底面）3.利用外接球球心到几何体各顶点距离都等于半径4.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆求外接球的关键是确定球心位置，进而计算出外接球半径。

题型一：柱体的外接球1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_________．2.已知三棱柱111ABC A B C －的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12 ，则该三棱柱的体积为_________．3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π4.已知圆柱的底面半径为12，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4 C.π2 D.π4题型二：锥体的外接球5.求棱长为1的正四面体外接球的体积为_________．6.已知正四棱锥P －ABCD 内接于一个半径为R 的球，则正四棱锥P －ABCD 体积的最大值是( )A.16R 381B.32R 381C.64R 381 D ．R 3 7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB ＝1，∠APB ＝∠BAD ＝π3，则三棱锥P －AOB 的外接球的体积是_________．8.已知△ABC 是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（） A.B.C. 1D.9.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π10.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均是直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝5，AB ＝3，BC ＝4，则阳马C 1－ABB 1A 1的外接球的表面积是( )A ．25πB ．50πC ．100πD ．200π11.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π12.已知正三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E,F ,G 分别为为侧棱AB,AC,AD 的中点.若O 在三棱锥A -BCD 内，且三棱锥A -BCD 的体积是三棱锥O -BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为微专题球与几何体的切接问题——内切球1.半径为R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为_________，体积为_________．2.若正四面体的棱长为a ，则其内切球的半径为_________．3.已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( ) A ．18 B ．12 C ．6 3 D ．434.将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为( )A.2π3 B.3π3 C.4π3D ．2π 5.如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66π B.π3 C.π6 D.33π题型三最值问题6.已知底面是正六边形的六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为3，则球O 的表面积为_________．7.四棱锥S －ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，则球O 的体积等于( )A.32π3B.322π3 C ．16π D.162π38.已知SAB 是边上为2的等边三角形，045ACB ∠=，则三棱锥体积最大时，CA = ;其外接球的表面积为。

空间几何体的外接球内切球问题

ＰＤS ＣAＯ空间几何体的外接球、内切球问题外接球问题一.棱锥的外接球三棱锥都有外接球；底面有外接圆的任意棱锥都有外接球。

1.确定棱锥外接球球心的通法先找到棱锥底面的外接圆的圆心D ，过D 作底面的垂线ＤＰ交一侧棱的中垂面于O ，点O 即为外接球的球心。

练习：1.三棱锥S-ABC 的各顶点都在同一球面上，若SB ⊥平面ABC ,SB=6，AB=AC=2120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于。

2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为。

3.四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为（）A ． π14 B.π15 C.π16 D.π182.补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一结论求解。

练习：1.三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（）A ．26a πB ．29a πC ．212a πD ．224a π2.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 表面积等于（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π3.,四个顶点在同一个球面上,则此球的表面积为( )A.3πB.4πD.6π4.3.公共边所对的两个角为直角确定球心法练习1.在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2.空间四边形ABCD中，1,AB BC AD DC ====ABCD 的外接球的表面积为4.利用轴截面截球为大圆确定球半径正四、六、八棱锥的外接球的一个轴截面为大圆，该圆的半径等于外接球的半径. 练习：1.正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .2.正六棱锥EF S ABCD -的底面边长为1S A B C D 、、、、、E 、F 都在同一球面上，则此球的表面积为 .3.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_ C_ A_ O_ D _ BA．3B．13π C．23π D．3二.棱柱的外接球底面有外接圆的直棱柱才有外接球。

高考数学复习基础知识专题讲解与练习17 立体几何外接球与内切球(解析版)

高考数学复习基础知识专题讲解与练习专题17 立体几何外接球与内切球一、单选题1．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，且正四棱锥P ABCD -的底面面积为6，侧面积为O 的体积为（）A ．323πBC ．1254πD 【答案】A【分析】根据几何体的性质，转化为平面问题，利用勾股定理求解得出球的半径即可求出球的体积【详解】设底面边长为a ，侧棱长为b ，因为底面面积为6，所以26a =，得a =因为侧面积为所以142⨯=b = 连接,AC BD 交于点1O ，连接1PO ，则可得1PO ⊥平面ABCD ，，所以四棱锥P ABCD -的高13PO =，点O 在1PO 上，连接OA ，设球的半径为R ，则222(3)R R =-+，解得2R =，所以球O 的体积为3344322333R πππ=⨯=，故选：A2．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，4PA BC，3AB =，AB BC ⊥，若三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 上，则球O 的半径为（）A B ．34 C ．38 D ．32【答案】A【分析】将鳖臑补形为长方体,求出长方体的外接球的半径即可.【详解】由题意,将鳖臑补形为长方体如图,则三棱锥P ABC -的外接球即为长方体的外接球. 外接球的半径为12R PC ===故选：A3．已知ABC∆是以BC为斜边的直角三角形，P为平面ABC外一点，且平面PBC⊥平面ABC，3 BC=，PB=PC=P ABC-外接球的体积为（）A．10πBC．53πD【答案】D【分析】由ABC为直角三角形，可知BC中点M为ABC外接圆的圆心，又平面PBC⊥平面ABC，所以球心在过M与平面ABC垂直的直线上，且球心为PBC的外心.利用正余弦定理求出PBC外接圆的半径即为球的半径，从而求出球的体积.【详解】解：取BC中点M，过点M做直线l垂直BC，因为ABC为直角三角形，所以点M为ABC 外接圆的圆心，又平面PBC⊥平面ABC，所以l⊂平面ABC，根据球的性质，球心一定在垂线l上，且球心为PBC的外心.在PBC中，222 cos2PB BC PCPBCPB BC+-∠==⋅所以sin PBC∠=，则PBC外接圆的半径为12V=故选：D4．三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ∠=∠=∠=︒，1BC BD ==，ACD △此三棱锥外接球的表面积为（）A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π 【答案】A【分析】利用三角形全等和三角形的面积公式求出高AE ，求解直角三角形得,AC AD ，利用余弦定理得出90ACB ADB ∠=∠=，可得AB 为三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的表面积.【详解】1BC BD ==，60CBD ∠=︒，1CD ∴=，又,60,AB AB ABC DBA BC BD ====，ABC ABD ∴≅，则AC AD =，取CD 中点E ，连接AE ，又由ACD △ACD △的高AE =则可得AC AD ==在ABC 中，由余弦定理2222cos60AC AB BC AB BC ⋅⋅-=+，2131212AB AB ∴=+-⨯⨯⨯，解得2AB =，则222AC BC AB +=，可得90ACB ∠=，90ADB ∴∠=，,AC BC AD BD ∴⊥⊥，根据球的性质可得AB 为三棱锥外接球的直径，则半径为1，故外接球的表面积为2414ππ⨯=.故选：A.5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào ）．已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，4MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球的表面积为（） A ．12πB ．24πC ．48πD ．96π【答案】C【分析】将问题转化为棱长为4的正方体的外接球的求解问题，根据正方体外接球半径为体对角线长一半可得所求外接球半径，根据球的表面积公式可求得结果.【详解】如图所示，鳖臑M ABC -的外接球即为棱长为4的正方体的外接球，∴该鳖臑的外接球半径R == ∴该外接球表面积2448S R ππ==.故选：C .6．已知三棱锥B ACD -中，2AB BC AC ===，CD BD ==BC 的中点为E ，DE 的中点恰好为点A 在平面BCD 上的射影，则该三棱锥外接球半径的平方为（）A ．1415BC ．2511D ．1511【答案】D【分析】如图，设点A 在面BCD 上的射影为点F ，根据题意和勾股定理求出BF 、AF ，设球心到平面BCD 的距离为h ，利用勾股定理求出h ，进而可得出结果.【详解】由题意知，如图，BCD △为等腰直角三角形，E 是外接圆的圆心，设点A 在面BCD 上的射影为点F ，则点F 为DE 的中点，所以BF =，所以2AF =，设球心到平面BCD 的距离为h ，由BO =AO ，在Rt BOE △和Rt AOM 中，可得2211)4h h +=+，解得h =2215111r h =+=. 故选：D7．如图，把两个完全相同的直三角尺SBC ，SAC 斜边重合，沿其斜边SC 折叠形成一个120°的二面角，其中2SA SB ==，且AB =SABC 外接球的表面积为（）A ．4πB ．163πC ．3πD ．203π 【答案】B【分析】过点B 作BD SC ⊥于D ，连接DA ，证得BDA ∠为二面角B SC A --的平面角，进而求出SC 的长度，然后取SC 的中点O ,证得O 为空间四边形SABC 外接球的球心，从而可知SC 为球直径，从而结合球的表面积的公式即可求出结果.【详解】过点B 作BD SC ⊥于D ，连接DA ，由于Rt SBC △和Rt SAC △全等，所以AD SC ⊥，AD BD =，所以BDA ∠为二面角B SC A --的平面角，即120BDA ∠=，在ABD △中，结合余弦定理得2222cos AB BD AD BD AD BDA =+-⋅⋅∠，即221322BD BD BD BD ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，因此233BD =，因为0BD >，所以1BD =，在Rt SBD △中，1sin 2BSD ∠=，从而6BSD ∠=π，在Rt SBC △中，cos SB BSD SC∠==，又因为2SB =，所以SC =SC 的中点O ，连接,OB OA ，由于SC 是Rt SBC △和Rt SAC △的斜边，所以OB OA OS OC ===，故O 为空间四边形SABC 外接球的球心，SC 为球直径，所以空间四边形SABC SABC 外接球的表面积为21643ππ⨯=⎝⎭，故选：B.8．已知直三棱柱的各棱长都相等，三棱柱的所有顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为28π，则该三棱柱的体积为（）A ．6B ．18C ．D ．【答案】B【分析】根据球的表面积求出外接球的半径，设出三棱柱的棱长，确认球心位置，结合勾股定理列出方程，解之即可求出结果.【详解】设球O 的半径为r ，则2428r ππ=，则r =设三棱柱111ABC A B C -的棱长为a ，连接111,A A C C B B 的外心21,O O ，则21O O 的中点O 即为球心，且22,2a O C OO ==,则2222a r ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则a =2318V a =⨯==．故选：B.9．已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π 【答案】C【分析】首先对平面图形进行转换，进一步求出外接球的半径，最后带入表面积公式求解.【详解】边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行折叠，使折后的2BDC π∠=，构成以D 为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1，12R =245S ππ==，故选:D.10．已知正四面体ABCD 的表面积为A 、B 、C ，D 四点都在球O 的球面上，则球O 的体积为（）A ．B C D ．3π【答案】C【分析】由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a ，则根据正四面体ABCD 的表面积即可得出a =1，而正方体的外接球即为该正四面体的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径. 【详解】解：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a ，所以该正四面体的表面积为2142S a =⨯⨯== 所以a =，可得正方体的棱长为1，所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，O 的体积为343π⨯=⎝⎭．故选：C .11．在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为4的正方形，且2,PA PB PD ===外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．36πD ．144π【答案】C【分析】利用勾股定理判断PA ⊥平面ABCD ，过正方形ABCD 的中心O '作垂线，再过PA 中点作此垂线的垂线，交点O 即为外接球的球心，求出外接球半径，由表面积公式即可求解.【详解】由题意可知222PA AB PB +=，222PA AD PD +=，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，又AB AD A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD ，过正方形ABCD 的中心O '作垂线，再过PA 中点作此垂线的垂线，交点为O ，此点即为外接球的球心，则外接球半径R =3OA ，所以四棱锥外接球的表面积2436S R ππ==.故选：C12．三棱锥D -ABC 中，AB =DC =3，AC =DB =2，AC ⊥CD ，AB ⊥DB .则三棱锥D -ABC 外接球的表面积是（）.A ．9πB ．13πC ．36πD ．52π【答案】B【分析】由题可得球心为AD 的中点，即求.【详解】OC OB，因为AC⊥CD，AB⊥DB取AD的中点为O，连接,∴OC OA OD OB===即O为棱锥D-ABC外接球的球心，又AB=DC=3，AC=DB=2，∴AD∴三棱锥D-ABC外接球的表面积为13π.故选：B.13．已知一个圆锥的母线长为的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（）A．36πB．48πC．36D．【答案】A【分析】先利用圆锥的侧面展开图为扇形求出圆锥的底面半径r和圆锥的高h，设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R,利用勾股定理求出R，即可求出球的体积.【详解】设圆锥的底面半径为r2r π=，解得：r =作出圆锥的轴截面如图所示：设圆锥的高为h ，则4h ==.设该圆锥的外接球的球心为O ，半径为R ,则有R =即R =R =3，所以该圆锥的外接球的体积为334433633R πππ==. 故选：A.14．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点全部在球O 的表面上，AB AC =，120BAC ∠=︒，三棱柱111ABC A B C -的侧面积为8+O 表面积的最小值是（）A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π 【答案】B【分析】设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==，根据题意得出4ah =，设ABC 的外接圆半径为r 、球O 的半径为R ，根据勾股定理得出2R 的表达式，结合基本不等式即可得出结果.【详解】设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==.因为120BAC ∠=︒，所以BC =，则该三棱柱的侧面积为(28ah =+4ah =.设ABC 的外接圆半径为r ，则2sin BC r a BAC==∠. 设球O 的半径为R ，则2222222164244h h h R r a h ⎛⎫=+=+=+≥ ⎪⎝⎭（当且仅当h =等号成立），故球O 的表面积为2416R ππ≥.故选：B15．三棱锥P ABC -的顶点均在一个半径为4的球面上，ABC 为等边三角形且其边长为6，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（）A．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据球的性质，结合线面垂直的性质、三棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】如图所示：点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当PM ⊥平面ABC 时，三棱锥P ABC -体积最大，此时，4OP OB R ===，因为6AB =，所以24ABCS AB == 点M 为三角形ABC 的中心，23BM BE ∴===Rt OMB ∴中，有2OM =，426PM OP PM ∴=+=+=，()max 163P ABC V -∴=⨯= 故选：B.第II 卷（非选择题）二、填空题16．已知D ，E 分别是边长为2的等边ABC 边AB ，AC 的中点，现将ADE 沿DE 翻折使得平面ADE ⊥平面BCDE ，则棱锥A BCDE -外接球的表面积为_________．【答案】133π 【分析】取BC 的中点G ，连接,DG EG ，可得G 为等腰梯形BCED 的外接圆的圆心，再过折起后的ADE 的外心作平面ADE 的垂线，得出两垂线的交点O 为棱锥A BCDE -外接球的球心，求出半径，利用球的表面积公式即可求解.【详解】取BC 的中点G ，连接,DG EG ，可知DG EG BG CG ===，则G 为等腰梯形BCED 的外接圆的圆心，过G 作平面BCED 的垂线，再过折起后的ADE 的外心作平面ADE 的垂线，设两垂线的交点为O ，则O 为四棱锥A BCDE -外接球的球心，ADE 的边长为1，OG HK ∴=则四棱锥A BCDE -外接球的半径OB =，∴四棱锥A BCDE -外接球的表面积为21343ππ⨯=⎝⎭. 故答案为：133π 17．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，1AB BM ==，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M （1B 不在平面AMCD 内），连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是_________.①//CN 平面1AB M ；②存在某个位置，使得CN AD ⊥；③当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π.【答案】①③【分析】取1AB 中点，可判断①；通过1AD B D ⊥不成立，可判断②；当平面1AB M ⊥平面ADM 时，体积最大，此时AD 中点为外接球球心，可判断③.【详解】取1AB 中点P ，连接PM ，PN ，故//PN AD ，//PN MC ，四边形PMCN 为平行四边形，故//NC PM ，即//CN 平面1AB M ，①正确；由底面ABCD 为矩形，可知AD CD ⊥，若CN AD ⊥，则需1AD B D ⊥，由已知可得1AD B D ⊥不成立，故②错误；当平面1AB M ⊥平面ADM 时，体积最大，此时AD 中点O 为外接球球心，则该球的半径1r =，表面积244S r ππ==，故③正确；故答案为：①③.18．如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的边长为2，则半球的表面积为____________.【答案】18π【分析】过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，将问题转化为半圆与矩形的内接问题，进而求出半球的半径r，再利用球的表面积公式进行求解.【详解】设该半球的半径为r，过正方体与半球底面垂直的对角面作截面α，则面α截半球面得半圆，截正方体得一个矩形，且矩形内接于半圆（如图所示），在矩形ABCD中，2AB=，BC==,则r所以半球的表面积为2222ππ3π18πS r r r=+==.故答案为：18π.19．已知球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，O在CD上，若三棱锥A BCD-的体积的最大值为83，则该球O的体积为________．【答案】32 3π【分析】易知CD为该球的直径，由顶点A在底面的射影为球心O，且底面BCD为等腰直角三角形时，三棱锥A BCD-体积最大求解.【详解】如图所示：因为球心O在CD上，所以CD 为该球的直径，由此易知，当顶点A 在底面的射影为球心O 时，且底面BCD 为等腰直角三角形时，三棱锥A BCD -体积最大，所以1182323R R R ⨯⋅⋅⨯=，解得2R =，故所求球O 的体积为343233S R ππ==. 故答案为：323π. 20．圆台的上、下底面的圆周都在一个直径为6的球面上，上、下底面半径分别为1和3,则该圆台的体积为_______．【答案】3【分析】由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积. 【详解】圆台的下底面半径为3，故下底面在外接球的大圆上，如图所示，设球的球心为O ，圆台上底面的圆心为'O ，则圆台的高'OO =据此可得圆台的体积：()22133113V π=⨯+⨯+=.故答案为：3. 21．已知三棱锥S -ABC 中，SA ⊥平面ABC ，且SA ＝4，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120︒，则三棱锥S -ABC 的外接球的表面积为_____．【答案】32π 【分析】把三棱锥S -ABC 中补形成一个直三棱柱，找出球心，求出球的半径即可求解. 【详解】如图，把三棱锥S -ABC 中补形成一个直三棱柱，设上、下底面外接圆的圆心分别为21,O O ，球的半径为R ，则外接球的球心O 为12O O 的中点，由正弦定理11224,2sin 30O A O A ⋅==∴=，又112,2OO SA OA R ==∴==，则其外接球的表面积为224432R πππ==．故答案为：32π.22．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的表面积为_________．【答案】9π 【分析】易知球心O '在正四棱锥的高OP 上，可利用勾股定理构造出关于外接球的半径R ，解方程求得R 后，利用球的表面积公式可得结果. 【详解】如图所示，O 为底面正方形的中心，则2OP =，2AB =，则正四棱锥的外接球的球心O '在OP 上，则外接球的半径R 满足()2222R R -+=，解得：32R =，∴该球的表面积249S R ππ==．故答案为：9π.23．已知在四面体ABCD 中，AB CD AD AC BC BD ======ABCD 的外接球表面积为______. 【答案】9π 【分析】把四面体ABCD 补成为一个长方体，利用长方体求出外接球的半径，即可求出外接球表面积. 【详解】对于四面体ABCD 中，因为AB CD AD AC BC BD ====== 所以可以把四面体ABCD 还原为一个长方体，如图：设从同一个顶点出发的三条边长分别为x 、y 、z ，则有：222222855x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：221x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 点A 、B 、C 、D 均为长、宽、高分别为2，2，1的长方体的顶点，且四面体ABCD 的外接球即为该长方体的外接球，于是长方体的体对角线即为外接球的直径，不妨设外接球的半径为R，∴2R ， ∴外接球的表面积为224ππ(2)9πR R ==. 故答案为：9π.24．已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，又324AB BC BD ===，，，且60CBD ∠=，则球O 的体积为__________【答案】1256π 【分析】由题可证AB ⊥平面,BCD BC CD ⊥，因此可把四面体ABCD 放入长方体中，则易求其外接球的体积. 【详解】∵四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，又324AB BC BD ===，，，且60CBD ∠=， ∴cos6023CD = ∴222BC CD BD +=， ∴AB ⊥平面,BCD BC CD ⊥，∴以BC CD AB 、、为长方体的长、宽、高构造长方体，则球O 的半径为522AD =， ∴球O 的体积为345=632125ππ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭. 故答案为：1256π. 25．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑A BCD -中，满足AB ⊥平面BCD ，且有,2,1BD CD AB BD CD ⊥===，则此时它外接球的体积为_______. 【答案】9π2. 【分析】根据题意，将图形还原成长方体，进而求该长方体外接球的体积即可. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，AB ⊥BD ，又BD ⊥CD ，即AB ，BD ，CD 三条直线两两垂直，如图，将鳖臑还原为长方体111BMCD AM C D -，则问题转化为求该长方体外接球的体积.设外接球的半径为R ，则32R 3R 2=⇒=.所以外接球的体积3439π×π322V ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为：9π2.26．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面,,1,ABC AB BC SA AB BC ⊥===，则球O 的表面积是_______；【答案】4π 【分析】先确定外接球的球心，再根据勾股定理得到半径，进而计算表面积得到答案. 【详解】如图，取AC 中点H ，则H 为ABC ∆的外接圆的圆心易知球心O 在点H 的上方，且12OH =，此时球的半径1r OC ====， 244S r ππ∴==球.故答案为：4π27．一个正四面体表面积为1S ，其内切球表面积为S 2.则12S S =___________.【分析】设正四面体的棱长为a ，用a 表示正四面体表面积为1S ，求得正四面体的高，再利用等体积法求得其内切球的半径为r 即可. 【详解】如图所示：设正四面体的棱长为a ，因为正四面体表面积为1S ，所以221142S =⨯=，正四面体的高为h ，设正四面体的内切球的半径为r ，则正四面体的体积为2211433V r ==⨯⨯，解得r =，所以22246a S r ππ==，所以126S S28．已知四面体ABCD 中，AB ＝AD ＝6，AC ＝4，CD ＝AB ⊥平面ACD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为______．【答案】88π．【分析】首先四面体补体为长方体，借助长方体求外接球的半径，求四面体的外接球的表面积. 【详解】解：因为AD ＝6，AC ＝4，CD ＝222AD AC CD +=，所以AD AC ⊥又因为AB ⊥平面ACD ，由题意可知几何体是长方体的一部分，如图，长方体的对角线的长为l所以球的表面积为：2488ππ⋅=⎝⎭．故答案为：88π29．设体积为P ABC -外接球的球心为O ，其中O 在三棱锥P ABC -内部．若球O 的半径为R ，且球心O 到底面ABC 的距离为3R，则球O 的半径R =__________．【答案】3 【分析】根据等边三角形的性质，结合球的几何性质、棱锥的体积公式进行求解即可. 【详解】取ABC 的中心G ．连接PG ，则PG ⊥平面ABC 且球心O 在PG 上．由条件知，3R OG =，连接OA ，AG ，则AG =，设等边ABC 的边长为a ，所以等边ABC ，因此23AG ==，所以有R a 362=，于是ABC R ．又OP R =，故三棱锥P ABC -的高是：1433R R R +=，所以223148)333P ABC V R R R -=⋅⋅=⋅==3R =．故答案为：330．在边长为6的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将菱形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，则所得三棱锥D ABC -外接球的表面积等于___________.【答案】60π【分析】过ABC 的外心1O 作平面ABC 的垂线，过ADC 的外心2O 作平面ADC 的垂线，两垂线交于O ，则点O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，然后根据已知的数据求出球的半径，从而可求得球的表面积【详解】解：如图，取AC 的中点E ，连接,BE DE ，因为边长为6的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，所以ABC 和ADC 均为正三角形，所以,BE AC DE AC ⊥⊥,因为二面角B AC D --为直二面角，所以BE DE ⊥，设1O ，2O 分别是ABC 和ADC 的外心，过1O 作平面ABC 的垂线，过2O 作平面ADC 的垂线，两垂线交于O ，则O 到,,,A B C D 的距离相等，所以点O 为三棱锥D ABC -外接球的球心，因为2111633OO O E BE ====, 222633DO DE ===所以OD =所以三棱锥D ABC -外接球的表面积为2460ππ=，故答案为：60π。

立体几何中球的内切和外接问题(完美版)

C 1
注意：①割补法，② V多面体 3 S全 r内切球
变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）
①
②
③
④
• A ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①②③ Ｄ．②③④
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
变式训练：已知正四面体内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，
的动点，当弦 MN 的长度最大时， PM • PN 的取值范围是
．
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球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体的棱长a有什么关系？
.r
a
一、球体的体积与表面积
①
②
二、球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球多是面这体个的外接球
。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
，即为该四面体的外接球的球心
A
O
C
所以该外接球的体积为
03
破译规律-特别提
醒
2 例题剖析-针对讲解
04
举一反三-突破提
升
4 举一反三-突破提升 1、（2015 海淀二模）已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为 ______.
4 举一反三-突破提升
2、（2015 郑州三模）正三角形ABC的2 边3 长
5 正棱锥的外接球的球心是在其高上

立体几何中的外接球内切球棱切球问题

立体几何中的外接球内切球棱切球问题1. 概述在立体几何中，外接球、内切球和棱切球是常见的几何问题。

它们在工程、建筑、数学等领域都有重要的应用。

本文将围绕外接球、内切球和棱切球展开讨论，探究它们的性质和相关问题。

2. 外接球的定义和性质外接球是指一个球与一个或多个其他物体外接，外接球的半径等于所外接物体相应部分的长度，在立体几何中有着重要的应用。

外接球的性质1）外接球的圆心在被外接物体向外伸出的法线上。

2）外接球的半径等于被外接物体的相应部分的长度。

3）对于凸体而言，外接球存在且唯一。

3. 内切球的定义和性质内切球是指一个球恰好与另一个物体相切，内切球在立体几何中也有着重要的应用。

内切球的性质1）内切球的圆心在被内切物体向内伸出的法线上。

2）对于凸体而言，内切球存在且唯一。

3）内切球在不同物体中的位置可能不同，但其存在性是唯一的。

4. 棱切球的定义和性质棱切球是指一个球与多个物体之间棱切的情况，在立体几何中也有着重要的应用。

棱切球的性质1）棱切球的圆心在被棱切物体所在的平面上。

2）对于凸体而言，棱切球存在且唯一。

3）棱切球在不同物体中的位置可能不同，但其存在性是唯一的。

5. 实际应用举例外接、内切和棱切球在实际应用中有着广泛的应用。

比如在建筑工程中，常常需要计算建筑物的外接球、内切球和棱切球，以确定其结构和稳定性。

在数学建模中，外接、内切和棱切球也常常出现，用于解决各种数学问题。

6. 结论外接球、内切球和棱切球是立体几何中重要的概念，它们的性质和应用涉及到广泛的领域。

对这些几何问题的深入研究和应用可以帮助我们更好地理解立体几何的性质，并且为实际问题的解决提供理论支持。

希望本文能够帮助读者更好地理解外接球、内切球和棱切球的相关问题，并且激发更多人对立体几何的兴趣和研究。

外接球、内切球和棱切球作为立体几何中的重要概念，其性质和应用不仅仅局限于几何学。

它们的相关问题还涉及到数学建模、工程设计、建筑结构等领域，对于实际问题的解决提供了理论支持和指导。

高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)

高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .27π.例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.43π.2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.14π.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. CA. 16πB. 20πC. 24πD. 32π3.求多面体的外接球的有关问题例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 .解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,84x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⨯⎪⎪=⎩⎩∴正六棱柱的底面圆的半径21=r ，球心到底面的距离23=d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：334R V π=. 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法) 1、构造正方体例5，则其外接球的表面积是_______________.9π.例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，，则其外接球的表面积是 .故其外接球的表面积249S R ππ==.小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

立体几何中的与球有关的内切外接问题分解课件

公式
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时，圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时，圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球面相切，所以底面圆心到球心的距离等于底面圆的半径，顶面圆心到球心的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面半径为$R_2$，高为$h$，则球的半径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$，其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切

球的内切和外接问题课件[1]2

A. 4 3
27
D
B. 6
2
C
C. 6 8
D. 6 24
P
A
E
B
D
C
E
图3
2、构造长方体已知A点B A、6,BA、C=C2、1D3在,A同D一=8个，球则面B上、，CA两B点间平的面A 球BC面D距离B是C 34DC.
O
B C
D 图 5
三、确定球心位置法
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形
正四面体的体积
S表
4
3 a2 4
3a 2
1 3
S表
r
VABCD
V A BCD
1 3
3 a 2 AE 3 a 2
4
12
r 3VABCD
3 2 a3 12
6a
S表
3a 2 12
AB 2 BE 2
图1
3 a2 12
a2 Βιβλιοθήκη 3 3a22 a3 12
RtBEO
在得中得，即， R 6 a
② S球面 4 R2
图3
图4
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球图面5 上，
则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，
则称这个多面体是这个球的外切多面体，
这个球是这个多面体的内切球。
棱切：一个几何体各个面分别与另一个几何体各条棱相切。
D
C
解
设正四棱锥的底面中心为 O1 ，外接球的球
O1 A 图3 B
心为O，如图3所示.∴由球的截面的性质， 2
可得 OO1 平面ABCD

【高中数学】立体几何中外接球内切球专题课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

A．4π B．3π C．2π D．π
答案 A 解析由已知， 2R 12 12 ( 2)2 2 ， S球 4 R2 4 π．
(4)在正三棱锥 S－ABC 中，M，N 分别是棱 SC，BC 的中点，
且 AM MN ，若侧棱 SA 2 3 ，则正三棱锥 S－ABC 外接球的表面
积是________．
2
空间几何体的外接球与内切球十大模型
1．墙角模型； 2．对棱相等模型； 3．汉堡模型； 4．垂面模型； 5．切瓜模型； 6．斗笠模型； 7．鳄鱼模型； 8．已知球心或球半径模型； 9．最值模型； 10．内切球模型．
3
一、墙角模型墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模
型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝a2＋b2＋c2。可求出球的半径
4
2
7a 2
7
， a 2
．在正四面体
A BCD 的边长为 2，外接球的半径 R
6a 4
6
2 ，外接球的体积
V 4 R3
3
6 ．
12
(5) 已知三棱锥 A BCD ，三组对棱两两相等，且
AB CD 1 ， AD BC 3 ，若三棱锥 A BCD 的外接球表面
足为 BC 的中点 M．又 AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，
所以球 O 的半径 R＝OA＝
5 2
2＋62＝13． 2
另解过 C 点作 AB 的平行线，过 B 点作 AC 的
平行线，交点为 D，同理过 C1 作 A1B1 的平行线，过 B1 作 A1C1 的平行线，交点为 D1，连接 DD1，则 ABCD－A1B1C1D1 恰好成为球