2017年安徽合肥高三模拟考试(二模)

2017年安徽合肥高三模拟考试（二模）文科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{4,3,2,1,0,1}M =----，2{|30}N x R x x =∈+<，则M N = （ ） A ．{3,2,1,0}--- B ．{2,1,0}-- C ．{3,2,1}--- D ．{2,1}--2.设i 为虚数单位，复数z 满足11ii z+=-，则复数z =（ ） A ．2i B ．2i - C ．i D ．i - 3.角A 是ABC ∆的一个内角，若命题:3p A π<，命题3:sin 2q A <，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件4.我们知道，“心有灵犀”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在{1,2,3,4,5,6}中说一个数，甲说的数记为a ，乙说的数记为b ，若||1a b -≤，则称甲、乙两人“心有灵犀”，由此可以得到甲、乙两人“心有灵犀”的概率是（ ） A ．19 B ．29 C. 13 D ．495.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A ．16B ．32 C. 64 D ．10246.在等比数列{}n a 中，23427a a a =，727a =，则首项1a =（ ） A ．3± B ．1± C. 3 D ．17.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ． 32B ．322 C.323 D ．32238.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120 的三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．52 B ．62C. 3 D ．5 9.若函数3xy ae x =+在R 上有小于零的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(3,)-+∞ B ．(,3)-∞- C. 1(,)3-+∞ D ．1(,)3-∞- 10.函数2sin ln(1)y x x x =++在[,]ππ-上的图象大致为（ ）A ．B ．C. D ．11.设函数sin (0)y x ωω=>的最小正周期是T ，将其图象向左平移14T 后，得到的图象如图所示，则函数sin (0)y x ωω=>的单增区间是（ ）A ．7777[,]()624624k k k Z ππππ-+∈ B ．7777[,]()324324k k k Z ππππ-+∈ C. 7777[,]()312312k k k Z ππππ-+∈ D ．77721[,]()624624k k k Z ππππ++∈ 12.已知实数,x y 满足条件2222x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2y x y x ++的取值范围是（ ）A ．[0,1]B ．1[,1]3 C. 12[,]23 D ．1[,1]2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若抛物线28y x =的准线和圆2260x y x m +++=相切，则实数m 的值是 ．14.已知向量||3a = ，||2b = ，且()0a a b -= ，则a b - 的模等于 ．15.设,A B 是球O 的球面上两点，且90AOB ∠=，若点C 为该球面上的动点，三棱锥O ABC -的体积的最大值为292ππ立方米，则球O 的表面积是 平方米． 16.已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，且2*21()n n S a n N -=∈，若不等式112231111log n n n a a a a a a πλ++++≤ 对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，其外接圆的半径是1，且满足222(sin sin )(2)sin A C a b B -=-.（1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆的面积的最大值.18. 在矩形ABCD 中，将ABC ∆沿其对角线AC 折起来得到1AB C ∆，且顶点1B 在平面ACD 上的射影O 恰好落在边AD 上（如图所示）.（1）证明：1AB ⊥平面1B CD ；（2）若1AB =，3BC =，求三棱锥1B ABC -的体积.19. 为响应阳光体育运动的号召，某县中学生足球活动正如火如荼地展开，该县为了解本县中学生的足球运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全县24000名中学生（其中男生14000人，女生10000人）中抽取120名，统计他们平均每天足球运动的时间，如下表：（平均每天足球运动的时间单位为小时，该县中学生平均每天足球运动的时间范围是[0,3]）.（1）请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间（结果精确到0.1）；（2）若称平均每天足球运动的时间不少于2小时的学生为“足球健将”，低于2小时的学生为“非足球健将”.①请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断，能否有90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关？②若在足球运动时间不足1小时的男生中抽取2名代表了解情况，求这2名代表都是足球运动时间不足半小时的概率.参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥0.05 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.0100k3.841 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.0246.63520. 已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是22，12,F F 是椭圆的左、右焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的上顶点，且1212ABF S ∆+=.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过右焦点2F 且交椭圆E 于,P Q 两点，点M 是直线2x =上的任意一点，直线2,,MP MF MQ 的斜率分别为123,,k k k ，问是否存在常数λ，使得132k k k λ+=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 21. 设函数32()23(1)6f x x a x ax =-++，a R ∈. （1）讨论()f x 的导函数'()f x 在[1,3]-上的零点个数；（2）若对于任意的[3,0]a ∈-，任意的12,[0,2]x x ∈，不等式212|()()|m am f x f x -≥-恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l 的极坐标方程是sin()224πρθ+=，且点P 是曲线C ：3cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）上的一个动点. （1）将直线l 的方程化为直角坐标方程； （2）求点P 到直线l 的距离的最大值与最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知()|1||2|f x x x =-++.（1）若不等式2()f x a >对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值的集合T ； （2）设,m n T ∈，证明：3|||3|m n mn +<+.试卷答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12答案D C A D C D B B B AA C1、D 解析：{}03<<-∈=x R x N ，所以=N M {}1,2-- 2、C.解析：由题意可知,i iiz =-+=11 3、A 解析：由题意知命题q ：03A π<<或ππ<<A 32，所以p 是q 的充分不必要条件. 4、D 解析:若,1=a 则2,1=b ；若,6=a 则6,5=b ；若2,3,4,5a =，则b 都有3种取值．所以，甲、乙两人“心有灵犀”的事件数是.163422=⨯+⨯基本事件总数是3666=⨯． 因此他们“心有灵犀”的概率是.943616= 5、C 解析： 1110=⨯==S n ，;2211=⨯==S n ，; 8422=⨯==S n ，;64883=⨯==S n ，.6、D 解析：4732343123327,3,9,13a a a a a a q a a q =∴===∴=== 又. 7、B 解析：几何体为直三棱柱．.232442421=⨯⨯⨯=V 8、B 解析：根据双曲线的对称性知：.26,32,360tan 22=∴=∴==e a c b c 9、B 解析:a e ae y xx 3,03-==+=',则03>-a ，且,13<-a所以.3-<a 10、A 解析：显然y 是偶函数.当x π=时，0>y ，排除B,D.12)cos (sin 2+++='x x x x x y .∴当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，0>'y ,y 在⎥⎦⎤ ⎝⎛2,0π单调递增，排除C.11、A. 解析：由已知图象知，sin (0)y x ωω=>的最小正周期是,671272ππ=⨯所以,672πωπ=解得.712=ωx y 712sin =.由2271222ππππ+≤≤-k x k 得到，单增区间是 )(24767,24767Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 或：因为,2ωπ=T 所以将sin (0)y x ωω=>的图象向左平移T 41后，所对应的解析式为)2(sin ωπω+=x y .由图象知，,23)2127(πωππω=+所以.712=ωx y 712sin =. 由2271222ππππ+≤≤-k x k 得到，单增区间是)(24767,24767Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 12、C 解析：方法1：设k x=y ，画出可行域如右下图所示，易求出 ]1,0[∈k ，]2,34[∈x ，∴]1,0[,21121212∈+-=++=++=++k k k k xy x yx y x y ∴]32,21[2∈++x y x y 方法2：设m xy x y =++2.∵]2,34[∈x ，∴1m ≠∴由x mm y m x y x y --=⇒=++1122令k mm =--112，由kx y =，易求出]1,0[∈k ∴32m 2111120≤≤⇒≤--≤m m ，∴]32,21[2∈++x y x y注：教师在评讲此题时，可拓展此题为：“求322++++x y x y 的取值范围”．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13、8 14、1 15、36 16、2113、.8解析：0622=+++m x y x 的圆心为)0,3(-，半径为m -9，抛物线x y 82=的准线是直线,2-=x 所以m -=+-932，得.8=m14、.1解析：因为⇒=-⋅0)(b a a b a a ⋅=2，所以22222)(b b a a b a b a +⋅-=-=-,14322=+-=+-=b a ∴.1=-b a15、.36【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时.9,296121312232πππ===⨯⨯==--R R R R V V ABO C ABC O 则球O 的表面积为.3642==R S π16、21【解析】.12)12(2))(12(22121-=⇒=-⇒=+--n a a a n a a a n n n n n n .12)12112171515131311(2111113221+=+--+⋅⋅⋅+-+-+-=+⋅⋅⋅+++n n n n a a a a a a n n λ8113221log 111n a a a a a a n n ≤+⋅⋅⋅+++对任意*∈N n 恒成立，也就是121log 81+≥n λ对任意*∈N n 恒成立，所以.21,31)121(log max 81≤=+≥λλn 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17、（本小题满分12分） 解析:（Ⅰ）将22sin ,22sin ,22sin cR c C b R b B a R a A ======代入已知等式得到，,2)2()44(222bb ac a ⋅-=- 即2222b ab c a -=-，ab c b a 2222=-+. 由余弦定理得，=C cos ,22222222==-+ab ab ab c b a .45 =C（Ⅱ）ab c b a 2222=-+就是ab b a 2)45sin 2(222=-+ ,即222222-≥=-+ab ab b a , 所以,22+≤ab 当且仅当b a =时等号成立.所以,21245sin 21+≤=∆ ab S ABC 故ABC ∆面积的最大值是.212+ 18、（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）⊥O B 1 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴1B O CD ⊥. 又 CD AD ⊥，AD ⋂1B O =O , ∴CD ⊥平面1AB D . 而1AB ⊂平面1AB D ,∴.1CD AB ⊥ 又 11AB B C ⊥，且1B C ⋂CD =C ，1AB ∴⊥平面1B CD .（Ⅱ）由于1AB ⊥平面1B CD ，1B D ⊂平面1B CD ，所以11AB B D ⊥.在1Rt AB D ∆中，22112B D AD AB =-=.由111B O AD AB B D ⋅=⋅得,111AB B D B O AD ⋅=.36=所以11111621333236B ABC ABC V S B O -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=19、（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由分层抽样得：男生抽取的人数为14000120=7014000+10000⨯人，女生抽取人数为1207050-=人，故x =5，y =2. ………………2分则该校男生平均每天足球运动的时间为,6.170575.21025.22275.12825.1375.0225.0≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯故该校男生平均每天足球运动的时间约为6.1小时； （Ⅱ）①由表格可知：足球健将 非足球健将总 计 男 生 15 55 70 女 生 5 45 50 总 计20100120故2K的观测值706.2743.23596705010020)5554515(12022>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯=k 因此有90%的把握认为是否为“足球健将”与性别有关.②记不足半小时的两人为a 、b ，足球运动时间在[0.51)，内的三人为1,2,3，则总的基本事件个数是（ab ），（a1），（a2），（a3），（b1），（b2），（b3），（12），（13）,（23），其中2名代表足球运动时间都不足半小时的是（ab ），∴.101=P 20、（本小题满分12分）解析：(Ⅰ)),0(),0,(),0,(1b B a A c F -，则b c a S ABF )(212121+=+=∆， ,12)(+=+b c a 即.12)(22+=-+c a c a ……2分又c a a c e 2,22===，代入上式中得到， .1,122)2(22=+=-+c c c c c 于是.1,2==b a故椭圆E 的方程为.1222=+y x（Ⅱ）由(Ⅰ)知2F 的坐标为)0,1(2F .设),(11y x P ，),(22y x Q ，),2(t M . （1）当直线l 的斜率不为零时，设l 的方程为1+=my x .联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122y x m y x 消去x 得,012)2(22=-++my y m .∴22221+-=+m m y y ，.21221+-=m y y ∴22221131--+--=+x t y x t y k k 112211--+--=my ty my t y )1)(1()1)(()1)((211221----+--=my my my t y my t y 1)(2))(1(2212122121++-+++-=y y m y y m t y y mt y my 122222)1(222222222++++-+++++-=m m m m t m mt m m m t m t t m 2224422=++=.又∵t tk =-=122，∴2312k k k =+ . （2）当直线l 的斜率为零时，显然有：231222222k t tt k k ==-++=+∴2312k k k =+仍成立.综上知,存在2=λ，使得231k k k λ=+成立. 21. （本小题满分12分）解析：（1）2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--，当31>-<a a 或时，)(x f '在[]3,1-上有1个零点； 当1a =时，)(x f '在[]3,1-上有1个零点；当31≤≤-a 且1a ≠时，)(x f '在[]3,1-上有2个零点. (Ⅱ)对于任意的[]12,0,2x x ∈，不等式212()()m am f x f x -≥-恒成立，等价于212max()()m am f x f x -≥-易得，()f x 在[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增，(0)0,(2)4f f ==，12max ()()(2)(1)53f x f x f f a ∴-=-=-.则问题转化为对于任意的[]3,0a ∈-，253m am a -≥-恒成立，即对于任意的[]3,0a ∈-，2(3)50m a m --+≤恒成立．令[]2()(3)5,3,0g a ma m a =--+∈-，只需(3)0(0)0g g -≤⎧⎨≤⎩55372≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≥⇒m m m m 或故实数m 的取值范围是[).,5∞+ 22. （本小题满分10分） 解析：(Ⅰ)由 22)4sin(=+πθρ22)cos 22sin 22=+⇒θθρ（． 将θρθρsin ,cos ==y x 代入，即可得到直线l 的直角坐标方程是04=-+y x .(Ⅱ) P 到直线l 的距离2|4sin cos 3|-+=θθd 2)3sin(24πθ+-=.∴2min =d ，23max =d .23. （本小题满分10分）解析:（Ⅰ）由绝对值不等式的性质知，.3)2()1(21=+--≥++-x x x x …2分 因为2()f x a >恒成立，所以23a <，即33a -<<，所以().3,3-=T （Ⅱ）2222)3()(3)3()3(+-+=+-+mn n m mn n m).3)(3(96363222222---=---++=n m mn n m n mn m因为,,T n m ∈所以,3,322<<n m 故,0)3)(3(22<---n m 所以,)3()3(22+<+mn n m 即.33+<+mn n m。