高等数学II (微积分龚德恩范培华) 2.2 函数极限极限的基本性质

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《高等数学极限》课件

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无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链式法则等性质，这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的几何特性等方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行运算和求导。

高等数学II_(微积分_龚德恩_范培华)2.4_极限的运算法则与复合函数的极限

如果 lim f ( x ) A, lim g( x ) B, 那么
x x0 x x0
(1) lim[ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) A B;
x x0 x x0 x x0
(2) lim f ( x ) g( x ) lim f ( x ) lim g( x ) A B;
x u x u
15
例7 求 lim( x 5) 2 .
x3
解 lim( x 5) 2
x3
u x 5, x 3，则u 8
lim u 2
u 8
64
16
例8 求 lim e .
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 x
解 lim e
x
1 x
1 u , x , 则u 0 x
x 1 1 x
20
x2 2 x 8 ( x 2)( x 4) lim lim 2 x 2 ( x 2)( x 2 x 4) x2 ( x 2)( x 2 2 x 4)
x4 2 4 1 lim 2 x2 ( x 2 x 4) 4 4 4 2
x x0 x x0 x x0
lim f ( x ) A f ( x) x x0 (3)当 B 0时, lim . x x0 g ( x ) lim g( x ) B
x x0
注：上述性质只表述了 x x0的情形，事实上对于 x x0 , x x0 , x , x , x 的情形，性质也是成立的。
11
Pn ( x ) 下面全面考察分式函数的极限 lim , 其中 x Q ( x ) m n n 1 Pn ( x ) an x an1 x a1 x a0 ,(an 0);

数分极限知识点总结

数分极限知识点总结1. 极限的定义和性质极限是数学分析中的一个重要概念，用来描述一个函数在某一点附近的表现。

通俗地讲，极限就是描述函数在某一点“接近”的程度。

在数学上，极限可以用严谨的定义来描述，即对于函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，如果函数f(x)的取值趋于某一个常数L，那么就称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(f(x))=L。

极限有许多重要的性质，其中最重要的包括极限的唯一性、极限的局部有界性、极限的保号性等。

这些性质在研究极限时起到了非常重要的作用。

2. 极限的计算方法在实际计算中，我们需要掌握一些常用的计算极限的方法，包括极限的四则运算法则、极限的夹逼定理、极限的放缩定理、极限的L'Hospital法则等。

这些方法对于计算复杂的极限非常有帮助，能够让我们更好地理解函数在某一点的表现。

3. 极限存在性的判定在实际问题中，我们常常会遇到需要判断一个函数在某一点是否存在极限的问题。

对于这类问题，我们需要掌握一些判定极限存在性的方法，包括柯西极限存在准则、极限存在性与函数连续性的关系、函数单调有界准则等。

熟练掌握这些方法能够帮助我们更好地解决实际问题中的极限存在性问题。

4. 极限与无穷大在数分中，我们经常会遇到一些极限涉及到无穷大的问题。

对于这类问题，我们需要掌握无穷大的性质、无穷大的比较定理等方法，来帮助我们更好地理解和计算这类复杂的极限。

5. 极限与级数级数是数学分析中的另一个重要概念，它是无穷多个项的和所组成的一种数列。

在研究级数时，极限起着非常重要的作用，我们需要掌握级数收敛的判定条件、级数与函数极限的关系等，来帮助我们更好地理解和计算级数的性质。

6. 极限与微积分微积分是数学分析中的一个重要分支，而极限是微积分中的基础概念。

在学习微积分时，我们经常会用到极限的概念。

我们需要掌握一些常见函数的极限性质，包括指数函数、对数函数、三角函数的极限等，以及极限在微积分中的应用，比如导数的定义、微分方程的求解等。

极限分析知识点总结图

极限分析知识点总结图1. 极限的概念极限是函数在某一点附近的局部行为，通俗地说就是当自变量趋于某个值时，函数的值会趋于一个确定的值。

数学上通常用“x趋于a时，f(x)趋于L”来表示函数的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。

其中a为自变量x的取值，L为函数值f(x)的极限。

在极限概念中，有重要的一点是函数在该点附近可以不被定义。

极限的概念是整个极限分析的基石，理解和掌握好这一概念对于后续的学习至关重要。

2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，可以方便我们进行极限计算和推导。

这些性质包括极限的唯一性、四则运算法则、复合函数法则、夹逼定理等。

其中，四则运算法则指出了函数的和、差、积、商的极限计算法则；复合函数法则用于计算由复合函数构成的整体函数的极限；夹逼定理则用于确定函数极限的存在性。

这些性质在极限计算过程中有着重要的作用，掌握这些性质可以简化问题的处理过程。

3. 极限的计算方法对于不同形式的函数，极限的计算方法也有所不同。

常见的极限计算方法包括有理函数极限、指数函数极限、三角函数极限、对数函数极限、幂函数极限、复合函数极限等。

在计算极限的过程中，需要结合具体的函数形式来选择合适的计算方法，有时还需要进行变量代换、分子有理化、分拆成简单函数等技巧。

熟练掌握各种函数类别的极限计算方法对于进一步深入学习和应用是非常必要的。

4. 无穷小量和无穷大量在极限分析中，无穷小量和无穷大量是重要的概念。

无穷小是指当自变量趋于某一值时，函数值趋于零；无穷大则是指函数的绝对值可以大到任意大。

无穷小和无穷大的概念是极限分析中非常关键的一部分，它们广泛应用于微积分、微分方程等领域，并且有很强的应用性。

5. 极限存在条件对于函数的极限而言，并非所有函数都存在极限。

学习极限分析的过程中，需要注意函数极限存在的一些条件，比如局部有界、单调有界、柯西收敛原理等。

理解这些条件对于确定函数极限的存在性有着重要的指导意义。

6. 夹逼准则夹逼准则是极限分析中的一个非常重要的原理，它通常用于证明极限存在或者计算不确定形式的极限。

成考高等数学(二)重点及解析(详细版)

2、公式

：
lim
x
1

1 x
x
=
e
或
1
lim 1 xx = e
x0
（1）适用范围：一般用于“1 ” 未定式的极限式
（2）解题方法：通常用换元法，先将复杂的变量换元成新变量 t，再将原极限式中的变量 x 用新变量 t 的
进行代换，然后转化为公式的形式，最后进行计算。注意：由于换元时引入了新变量，要求出新变量的变化趋势。
等函数。他是高等数学的主要研究对象！
第二节、无穷小与无穷大（有时选择题会单独考到，也是后面求极限的基础）
一、无穷小
1、定义：以 0 为极限的量称为无穷小量。
注意：（1）一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。（2）只有 0 能能作为无穷小的唯一常量，千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。
（2）求极限时首先考虑用代入法，但是该方法只能针对 x x0 的时候，而 x 时则不能用代入法，
因为是变量，并非实数！
例 1： lim 4 4 ， lim 3 3 ， lim lg 2 lg 2 ， lim ， lim 0 0
x
x1
x

3
=
e3
……将复杂的变量 3x 换元成新变量 t
……求出新变量的变化趋势 ……转换成新变量的极限式后再用公式求
例
2：计算
lim
x
1

1 2x
x 1
.
……1 未定式，先换元然后用公式求解
解：令 t 1 ，得 x 1 ，即 x 1 1 1
注意：这 7 个等价无穷小务必熟记，是我们做一些极限题目的必备“工具”。在使用时要注意这 7 个等价无

高等数学二全部笔记

高等数学二全部笔记(总34页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章函数、极限和连续§ 函数一、主要内容㈠函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n , (n 为实数)3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1)4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1)5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§ 极限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:Ay n n =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限： ⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

同济高数教材数二考点

同济高数教材数二考点
同济高数教材数二的考点主要包括：
1. 函数、极限与连续：
函数的概念、性质和图像。

极限的概念、性质及存在准则。

函数的连续性与间断点。

2. 导数与微分：
导数的概念、几何意义及应用。

微分的概念、几何意义及应用。

导数的计算方法，如基本初等函数的导数公式、复合函数求导法则、隐函数求导法等。

3. 导数的应用：
利用导数研究函数的单调性、极值和最值。

曲线的凹凸性和拐点。

函数图像的描绘。

4. 不定积分：
不定积分的概念和性质。

不定积分的计算方法，如直接积分法、换元积分法、分部积分法等。

5. 定积分及其应用：
定积分的概念、性质和几何意义。

定积分的计算方法，如微积分基本定理、定积分的换元法和分部积分法等。

定积分在几何和物理中的应用，如求面积、体积和力矩等。

6. 微分方程：
微分方程的基本概念和类型。

微分方程的解法，如分离变量法、常数变异法、特征线法等。

7. 多元函数微分学：
多元函数的极限、连续和偏导数。

多元函数的极值和最值。

曲面的切平面和法线。

8. 二重积分：
二重积分的概念、性质和计算方法。

二重积分在平面区域上的应用，如求面积和体积等。

9. 无穷级数：
无穷级数的概念、性质和收敛性。

无穷级数的计算方法，如幂级数展开法、泰勒级数展开法等。

10. 参数方程和极坐标：
参数方程的概念和性质。

极坐标的概念和性质。

参数方程和极坐标在几何和物理中的应用。

高等数学第二章：函数、极限

第二章函数极限与连续性函数反映的是客观世界中各种变量之间的相互依赖关系, 它不仅是贯穿中学<<代数>>的主线，也是高等数学研究对象的主要对象, 极限是研究函数的基本工具, 本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念, 以及它们的一些性质.第一节函数一、数数是一个用作计数、标记或用作量度的抽象概念，起源于原始人类用来数数计数的记号形成自然数“数”的符号，是人类最伟大的发明之一，是人类精确描述事物的基础。

最先认识的当然是自然数1,2,3，……。

从此以后，伴随着人类文明的发展，数的范围得到了进一步的扩张，为什么要扩展呢？一方面，为了满足社会实践的需要，另一方面与数的运算有关系，比如，在自然数范围之内，两个自然数相乘或者相加仍是自然数(也称为对于加法和乘法运算时封闭的)，但是两个自然数相减还是自然数吗？不是，为了保障自然数对减法也是封闭的，引入了负数和零，于是人类对数的认识就扩展到了整数。

然而两个整数的除法不一定是整数，为了使整数对除法也是封闭的，人类把整数拓展到了有理数。

在研究数学时又遇到了这样的问题，一正方形的面积为2，边长为多少？利用面积公式，设边长为x，则有，22x=，解方程得到，x=无理数，于是把数的认识拓展到了无理数。

把有理数和无理数的全体称为实数。

这样就把有理数扩展到了实数。

实数不仅对对四则运算封闭，而且对开方运算也是封闭的。

这就是自然数，整数，有理数，无理数，实数。

所有自然数构成的集合称为自然数集，记为N；同理，所有整数构成的集合称为整数集，记为Z；所有有理数构成的集合称为有理数集，记为Q；所有实数构成的集合称为实数集，记为R；什么是集合？二、集合1、集合的基本概念(1)定义：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象组成的集体；这些对象称为该集合的元素。

(2)性质：集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的）例如：“身材较高”不能构成集合，因为它的元素不是确定的； 2.互异性（集合中的元素互不相同。

高中微积分第二讲(函数的极限)

高中微积分第二讲（函数的极限）定义：设函数在点的某一区邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x 满足不等式时，对应的函数值都满足不等式：那么常数A 就叫做函数当时的极限，记作：左图解释：对于x 的数值，x 属于c 的邻域（或者去心邻域）内，函数值区域一个定值L 。

我们就叫L x =→)(f lim cx函数极限的性质定理1（函数极限的唯一性）如果)(f lim 0x x x →存在，那么这极限唯一。

定理2（函数极限的局部有界性）如果)(f lim 0x x x →=A ，那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<|x-x 0|<δ时，有|f(x)|≤M 。

定理3（函数极限的局部保号性）如果)(f lim 0x x x →=A ，且A>0（或A<0），那么存在常数δ>0,使得0<|x-x 0|<δ时，有f(x)>0(或f(x)<0).定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限)(f lim 0x x x →存在，{x n }为函数f （x ）的定义域内任一收敛域x 0的数列，且满足：x n ≠x 0（n ∈N +），那么相应的函数值数列{f(x n )}比收敛，且）（x f lim )(f lim 0x x n n →∞→=x函数极限的求法：一、利用函数连续性：（即直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0）练习：求下列极限的值：1、）（1-x 3lim 3x →2、）（3x 2lim 4x +→3、6x 23x lim 5x -+→二、恒等变形当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决： ①因式分解，通过约分使分母不会为零例如：2-x 4-lim x 22x →三、采用洛必达法则求极限洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。

2.2 函数极限

x
lim e ,
x
x
lim e ,
x
lim e .
x
x
解由 y e x 的图形我们得到
x
lim e
x
0,
x
lim e
x
,
而 x 等价于
x ,
这时包括两个过程
x
x 和 x ,
因此 lim e 不存在且不为无穷大
x
1
和 1 之间无限“振荡”
因此
x
.
lim sin x ,
x
lim sin x ,
lim sin x 都不存在 .
三、由函数值认识函数的极限
例6 由函数 y
lim x 1
2
x 1
2
2x 1
2
的值的变化趋势考察极 x 1
2 2
限 x 1
x
2x 1
f ( x ) f ( x0 ) , 即
x x0
, x 0 在 f ( x ) 的定义域过程），
内 , 那么 x x 0 时（有时候只能是单侧
lim f ( x ) f ( x 0 )
( 2 ) lim f ( x ) A 的充要条件是
x x0
x x
lim f ( x ) lim f ( x ) A
, lim
x 1 2x 1
x
, lim
x
2x 1
2
, lim
x1
2x 1
.
解
x 时，
x 1
2
2x 1

因此 lim

高等数学函数极限知识点总结

高等数学函数极限知识点总结《高等数学函数极限知识点总结：一场有趣的思维冒险》嘿呀，一提到高等数学里的函数极限知识点，那可真是像一场刺激又充满挑战的思维大冒险！咱先说说函数极限这个概念，它就好像是一个神奇的“边界探索者”。

想象一下函数就像个调皮的小精灵，在定义域里跑来跑去，而极限呢，就是要找出它跑到边缘时的那种趋势。

有时候它会偷偷靠近某个值，然后又突然拐弯，真像是在跟咱捉迷藏。

学习极限的计算法则，那真像是掌握了一套武林秘籍。

什么加减法法则啦，乘法法则啦，简直酷到不行！就像打游戏里的连招，一套接一套，把那些看起来很难缠的极限题目打得落花流水。

还有重要极限公式，那可是我们的秘密武器。

背熟了它们，遇到难题就像找到了通关密码，“刷刷”几下就能解出来，那感觉简直爽翻了。

比如那个sin x / x 在x 趋近于0 时的极限等于1，就像是隐藏在数学世界里的一把钥匙，找到了就能打开好多难题的大门。

不过，这可不容易啊！每次面对那些复杂的题目，感觉自己的脑袋都要转不过来了。

有时候会想，这数学咋这么难搞呢！但咱不能放弃呀，就跟打怪兽一样，一次不行再来一次。

自带函数极限在实际中有很多应用呢，像物理呀，工程呀，都少不了它。

感觉自己学会了这些知识点，就像掌握了超能力，能解决好多实际问题，超有成就感的。

最有趣的是和同学们一起讨论函数极限的时候，你有你的方法，我有我的思路，争得面红耳赤的，最后发现其实都对，哈哈！那感觉就像一起在数学的海洋里探险，找到了不同的宝藏。

总之，高等数学的函数极限知识点虽然有时候让人头疼，但也充满了乐趣和挑战。

它就像一个神秘的宝藏，等待我们去探索，去发现其中的奥秘。

只要我们坚持不懈，勇于挑战，就能在这场思维冒险中收获满满，成为数学世界里的英雄！加油吧，小伙伴们！让我们一起在函数极限的世界里尽情遨游！。

数学极限公式总结知识点

数学极限公式总结知识点1. 数数列极限在数学中，数列极限是数学分析中的一个重要概念，指的是数列中的元素随着项数无限增多时，趋于某一特定值或趋于无穷大或无穷小。

数列极限的计算方法和判断标准有许多种，但都符合一定的规律和性质。

(1) 数列极限的定义设数列${a_n}$，如果对于任何一个正实数ε，总存在自然数N，使得当n>N时，对于任何n，都有|an-L|<ε，则称数列{an}以L为极限，记为lim(n→∞)an=L。

(2) 无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是指数列中项数趋于无穷时，数列趋向于0或者正无穷或者负无穷的情况。

无穷小量和无穷大量在函数极限的计算和研究中有重要的应用，例如在求导、求极限等方面。

2. 函数极限函数极限是微积分中的核心概念之一，它描述了当自变量趋向某个特定值时，函数值的趋势和表现。

计算函数极限涉及到一系列性质和定理，需要掌握一定的计算方法和判断标准。

(1) 函数极限的定义设函数y=f(x)，x→x₀时，对于任意ε>0，存在δ>0，当0<|x-x₀|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，那么称函数f(x)在点x₀处有极限L，记为lim(x→x₀)f(x)=L。

(2) 函数极限的性质函数极限有一系列的性质和定理，包括函数极限的唯一性、夹逼定理、函数极限的四则运算法则、函数极限的复合函数等。

这些性质为计算函数极限提供了重要的工具和方法，也帮助我们更深入地理解函数的性质和行为。

(3) 函数极限的计算方法计算函数极限的方法有很多，常用的包括利用夹逼定理、利用无穷小量、利用泰勒级数展开等。

这些方法在实际计算中都能发挥作用，需要根据具体的函数形式和极限形式来选择合适的计算方法。

3. 极限的应用极限在数学中有着广泛的应用，不仅在微积分中起着核心的作用，还在实际问题的建模和求解过程中有重要的意义。

例如在物理学、经济学、工程学等领域，都能看到极限的身影。

(1) 极限在导数和微分中的应用在求导和微分的过程中，极限是求解的基础，它描述了函数在某一点的局部变化率。

2_2函数的极限

f (1 0) lim f ( x ) lim 1 1,
x 1 x 1
f (1 0) f (1 0)
lim f ( x ) 1
x 1
微积分二①
18/28
x1 3 x 例7.设f ( x ) 3x k x 1 1)求 : lim f ( x ) 2) 若 lim f ( x )存在求 k 的值. x0
x x0
例如一次函数的极限
x x0
lim(ax b) ax0 b
3.结论:如果 f ( x ) 为初等函数, 且x0 D( f ) 内点, 则 lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
例如： lim sin x sin 0 0
x 0
lim ln( x 1) ln(0 1) 0
128微积分微积分二二020220222228微积分微积分二二第二节函数的极限数列的自变量变化趋势函数的自变量变化趋势的极限从几何上看如果fx向右方延伸越来越接近于一条水平直线ya则称常数a为x趋向正无穷大时函数fx的极限记为lim328微积分微积分二二极限是否存在对于抽象的指数函数必须对a进行讨论
一. x 时f ( x )的极限 1. x 时f ( x )的极限
从几何上看，如果f(x)向右方延伸，越来越接近于一条水平直线y=A，则称常数A为x趋向正无穷大时函数 f(x)的极限，记为
x
lim f ( x) A 或 f ( x) A( x )
微积分二①
3/28
x x0 x x0
使得当0 | x x0 | d 时, 有f ( x) () g ( x), 则A B.
推论:若 lim f ( x) A, 且在x0的某空心邻域内f ( x) 0

高等数学2-2函数的极限

f ( x ) A(当x )
" X " 定义 lim X时, 恒有 f ( x ) A .
2. 另两种情形:
10 . x 情形 : lim f ( x ) A
x
例9 解
f ( x ) 1 2 1 , 求 lim f ( x ). 设 x0 1 2x
f ( x ) 在 x 0 处没有定义, 而
1 x
lim0 f ( x ) xlim0 2 1 1 1 0 x 0 2 x 1 lim0 f ( x ) xlim0 1 2 1 1 0 x 0 1 2x
例8
证取 x n 1 , n lim x n 0, 且 x n 0; n
1 取 xn , 1 (2n ) 2
1 证明 lim sin 不存在. x 0 x
y sin 1 x
lim x 0, n
过程过时程刻
x x0
xx
0
x x0
从此时刻以后 0 x x 0
0 x x0
x x0 0
f ( x)
f ( x) A
思考题
1 x sin x , x 0 x0 试问函数 f ( x ) 10, 2 x0 5 x , 在 x 0处的左、右极限是否存在？当 x 0 时，
定义，对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在正数 X ,使得当 x 满足不等式 x X 时，对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) A , 那么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限, 记作 lim f ( x ) A 或