八年级数学上册第2课时 含30°角的直角三角形的性质 (2)
人教版数学八年级上册13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 课件
又AC= AC ,∴△ABC≌△ADC(SAS),
∴AB= AD ,∴△ABD是 等边 三角形,
∴BC=
1 2
BD=12AB.
·导学建议· 知识点由等边三角形的性质,得到直角三角形中30度角所对 的直角边等于斜边的一半的性质,培养学生学会从已掌握的知 识探究新知识的方法. 定理的证明可以鼓励学生应用不同的方法进行证明,培养学 生的发散思维.
·真实情境· 《2022年版数学课程标准》中指出:情境创设的真实性.本 题以轮船航行为背景,将直角三角形30度角的性质融入其中.
解:如图,过点P作PC⊥BC于点C. ∵∠PAB=15°,∠PBC=30°,∴∠APB=15°,
∴∠PAB=∠APB,∴PB=BA,∴PC=1AB=15,即
2
点C距小岛P只有15海里,而小岛周围18海里
内有暗礁,
∴轮船继续向前航行,会有触礁的危险.
方法归纳交流 当题目中有15°的角出现时,常构造 含30°角的直角 三角形解决问题.
·导学建议· 与实际生活有关的问题,要提醒学生先从实际问题中抽象出 数学问题,然后再借助所学的数学知识加以解决.通过这些题目 可培养学生的数学建模能力及解决问题的能力.
是轴对称图形,沿AD折叠后,B与C重合,则BD= CD =
1 BC
2
,∠ADB=∠ADC= 90°,∠BAD=∠CAD= 30° .又
AB=BC,∴BD= 1 AB.
2
2.上述结果我们也可以采用如下方法证明:
如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°, 则∠B= 60° .
如图3,延长BC至D,使CD=BC,连接AD,
要把一块三角形的土地均匀分给甲 、乙、丙三家农户去 种植,如果∠C=90°,∠B=30°,要使这三家农户所得土地的大 小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.
人教版初中数学八年级上册《13.2.2等边三角形含30°角的直角三角形的性质 》
C
B
思考题：
性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 °，那么
它所对的直角边等于斜边的一半。
逆命题：
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么
它所对的角等于30 °
例2、如图，在 Rt ABC 中，ACB 90, AB 4 AD 于D，求证：
Rt ABC
B 30
B 30, CD AB
证明：在 ∴ AC
中
A
∵ ACB 90,
1 AB, A 60 2 ∵ CD AB
D
∴ ACD 90 A 30
B
C
D
含30 °角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 °，那么 它所对的直角边等于斜边的一半。 A
30°
几何语言：∵ 在Rt△ABC中，∠A=30°
1 ∴ BC AB 2
B
C
例1，下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱
BC,DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱BC,DE要多长?
解:∵BC⊥AC, DE⊥AC, ∠A＝30°
∴BC＝ ∴BC＝ ∴AD＝ ∴DE＝
1 2 1 2 1 2 1 2
B D A E C
AB,DE ＝
×7.4＝3.7(m) AB=3.7(m) AD＝
1 21 AD 2又∵D是 NhomakorabeaB的中点
×3.7＝1.85(m)
答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.
13.2.2 等边三角形
含30°角的直角 三角形的性质
含30 °角的直角三角形的性质
八年级数学上册第2课时 含30°角的直角三角形的性质
编号：76854125658544289374459234学校：麻阳市青水河镇刚强学校*教师：国敏*班级：云云伍班*第2课时含30°角的直角三角形的性质【知识与技能】1.熟练掌握含30°角的直角三角形的性质.2.会利用性质解题.【过程与方法】通过直尺量取得到直观结论，然后加以证明。
【情感态度】本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.【教学重点】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【教学难点】巧妙运用性质解题.一、情境导入，初步认识用两个全等的含30°角的直角三角尺，试着把它们拼在一起，看能否拼成一个等边三角形，然后以小组为单位一起讨论可从中发现什么结论，并予以证明.老师指导拼图，得出结论，并一起证明结论.（1）在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.（2）在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角为30°.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.二、思考探究，获取新知例1在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AM的长为15cm，求BC的长.【分析】要求BC的长，可分别求出BM和CM的长.利用等腰三角形的判定得出BM=AM，利用含30°角的直角三角形的性质得CM=12AM,将所求线段转化为已知线段进行求解.解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC=60°,∴∠B=30°.∵AM平分∠BAC,∴∠CAM=∠BAM=30°.∴∠B=∠BAM,∴AM=BM=15cm.∴在Rt△ACM中，∠CAM=30°.∵CM=12AM=7.5cm.∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5cm.【教学说明】在直接求一条线段不易求的情况下，可以将其转化为求易求的两条线段的和或差进行计算.例 2 在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠A=60°,作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C，已知CD=4cm.（1）求∠CBD的度数；（2）求AB的长.【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余，可知∠DBA的度数，再由DC ∥AB及等腰三角形的性质即可计算∠CBD的度数；（2）可作等腰三角形CBD 底边上的高，延长交AB于点E.根据等腰三角形“三线合一”，可以得出CE平分BD且平分∠DCB,由此可知△BCE是等边三角形，所以BE=4,则DE=BE=4.再证明△ADE是等边三角形即可.解：（1）在Rt△ADB中，∵∠A=60°,∠ADB=90°,∴∠ABD=30°.又∵AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD=30°.∴∠CBD=∠CDB=30°.（2）过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE,则DE=EB,∴∠EDB=∠EBD=30°.∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,∴CM=12CD=2.又∵∠EBM=∠CBM=30°,BM=BM,∠EMB=∠CMB=90°,∴△CBM≌△EBM(ASA),∴EM=CM=2.∴DE=2EM=4.∵∠DEA=∠EDB+∠EBD=60°,∠A=60°,∴AD=DE=4.又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,∴AB=2AD=8.【教学说明】直角三角形30°角的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段间倍分问题的重要依据.例3 如图所示，在△ABC中，AB=AC,D为BC边上的点，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F，∠BAC=120°.求证：DE+DF=12 BC.【分析】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.又DE⊥AB,DF⊥AC,可以构造两个含30°角的直角三角形.【证明】∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=12(180°-120°)=30°.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.在Rt△BDE中，∵∠B=30°,∴DE=12 BD.同理，在Rt△CDF中，DF=12 CD.∴DE+DF=12BD+12CD=12(BD+CD)=12BC.例4 如图所示，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,试求CD的长.【分析】由于CD不是特殊三角形的边长，所以无法利用已知条件直接求出，延长AD、BC，将题中已知条件集中在两个特殊的三角形中.解：延长AD、BC交于点E,在Rt△ABE中，∠E=180°-90°-30°=60°,又∵∠CDE=180°-120°=60°,∴∠DCE=60°.∴△CED是等边三角形.设CD=x,则BE=1+x,AE=4+x,在Rt△ABE中，∵∠A=30°,∴AE=2BE.即4+x=2(1+x),解得x=2,即CD的长为2.三、运用新知，深化理解1.若三角形的三个内角的比为1∶2∶3,则它的最短边与最长边的比为（）.A.1∶3B.1∶2C.2∶3D.1∶42.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°,那么这个三角形是____.【答案】1.B 2.等边三角形四、师生互动，课堂小结特殊直角三角形，运用性质先判断，30°所对的直角边，长度恰为斜边一半.1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.。
人教版初中数学八年级上册《13.3.2等边三角形——含30°角的直角三角形的性质》
AC= .
B
C
D
A
三、新知应用
例、下图是屋架设计的一部分，点D
是斜梁AB 的中点，立柱BC,DE 垂直 于横梁AC,AB=7.4m, ∠A= 30°， 立柱BC, DE 要多长？
D
B
A
E
CБайду номын сангаас
四、拓展提升
1、如图，点O 是直线BC 上一点， ∠AOB= 30°,
PO 平分∠AOC,PM ∥ BC 交AO 于点MP=8cm， PD ⊥ OC 于点D，则PD 等于
1 AB 2
A
30 °
B
C
一、新知探究
证法： A
30 °
A D
30 °
A
30 °
E
B
C
D
B
C
B
C
（延长 至D，使CD=BC ）
（作 BD=BC ）
（作∠ACE=30°）
一、新知探究
证法：
A
30 °
A
D
30 °
A
D
30 °
E D
E
E B C B C
B
C
（作BD平分∠ABC, DE ⊥ AB）
（作DE垂直平分AC, 连接 DC）
这个定理，反映了三角形的边角关系。
二、新知巩固
1、如图，在R t △ A B C 中
∠C=90 °, ∠A=30°，
A B = 6 ，则B C =___.
B
C A
2、如图，在R t △ A B C 中
∠C=90 °,∠B=2 ∠A，AB=12，
B C
A
则B C = ___.
二、新知巩固
【最新版】八年级数学上册课件：11.2.1 三角形的内角(第2课时)
直角三角形
第1题图 第2题图
课堂检测
11.2 与三角形有关的角/
4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另 一
个锐角的度数是（B ）
A．40°
B．50° C．60°
D．70°
5. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ D ） A．∠A+∠B=∠C B．∠A–∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
人教版 数学 八年级 上册
11.2 与三角形有关的角/
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角(第2课时)
导入新知
11.2 与三角形有关的角/
老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二
的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因
而是不可能的. 在这个家里，我 是永远的老大.
素养考点 1 利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数
例1（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D
有什么关系？
AB
方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D.
方法二B=90°，∠D+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠D.
探究新知
11.2 与三角形有关的角/
归纳总结
直角三角形的两个锐角互余．(直角三角形的性质定理）
A
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°． B
C
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
探究新知
人教版数学八年级上册13.3：含30°角的直角三角形的性质(教案)
1.引入新课：通过复习直角三角形的定义和性质，引入含30°角的直角三角形，激发学生的好奇心。
2.探索新知：引导学生观察含30°角的直角三角形的图形，发现并证明30°角所对的直角边是斜边的一半，斜边上的中线等于斜边的一半。
3.应用拓展：设计实际问题，让学生运用含30°角的直角三角形的性质解决问题，巩固所学知识。
-难点四：学生可能难以将含30°角的直角三角形的性质与其他知识点进行有效结合。举例：在解决综合问题时，学生可能不知道如何将含30°角的直角三角形的性质与勾股定理、相似三角形的性质等知识点结合起来。
针对以上教学难点，教师应采取以下措施：
1.利用直观的图形和实际操作，引导学生发现含30°角的直角三角形的性质，帮助学生理解比例关系。
-重点二：掌握含30°角的直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。举例：在直角三角形ABC中，若∠B=30°，则斜边AC上的中线BD等于AC的一半。
-重点三：能够运用含30°角的直角三角形的性质解决实际问题，如计算直角三角形各边长度等。
2.教学难点
-难点一：学生难以理解含30°角的直角三角形性质中的比例关系。举例：为什么30°角所对的直角边是斜边的一半，需要通过直观图形和实际操作引导学生理解。
人教版数学八年级上册13.3：含30°角的直角三角形的性质（教案）
一、教学内容
人教版数学八年级上册13.3：含30°角的直角三角形的性质。本节课我们将学习以下内容：
1.掌握含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半。
2.理解并掌握含30°角的直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使得学生们能够更深入地理解含30°角的直角三角形的性质。每个小学生的合作能力和表达能力。但同时，我也观察到部分学生在讨论过程中过于依赖同伴，缺乏独立思考。针对这一问题，我将在后续教学中注重培养学生的独立思考能力。
2.6 直角三角形第2课时直角三角形的判定 浙教版数学八年级上册课件
（有两个角互余的三角形是直角三角形）.
C
A
D
B
C
A
D
B
1. 已知：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1=∠B，
∠A=∠2. 求证：△ABC是直角三角形.
证明：在△ABC中， ∠A+∠2 +∠1+∠B=180°，
∵ ∠A=∠2 ，∠B=∠1，
C
∴2(∠ A+∠B)=180°， 即∠ A+∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形. A
直角三角形的判定定理
A
①文字语言： 有两个角互余的三角形是直角三角形.
②几何语言：
∵在△ABC中， ∠A＋∠B＝90 ° ，
∴ △ABC为直角三角形.
C
B
做一做：
根据下列条件判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由.
（1）有一个外角为90°
（2）∠A=36°，∠B=54°
C
（3）如图，∠1与∠2互余，∠B=∠1.
C
2
∴BC=EB，
∵ ∠1=∠2，∠2+∠DBE=90° ，
1
∴∠1+∠DBE=90°，
A
B
D
∴∠CBE=180°-（∠1+∠DBE）=90°，
∴△BCE是等腰直角三角形.
这节课我们学到了什么？
判定一个三角形是直角三角形的方法： ① 有一个角是直角的三角形是直角三角形； ② 有两个角互余的三角形是直角三角形.
12
D
B
(有两个角互余的三角形是直角三角形).
2. 已知，如图，A、B、C、D同在一条直线上. ∠A=∠D= 90°，AC=BD，∠1=∠2. 求证：△BCE是等腰直角三角形.
人教版八年级数学上册全部课时小练习(含答案)
第十一章三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是()2.以下列各组线段的长为边长，能组成三角形的是()A．2，3，5 B．3，4，5C．3，5，10 D．4，4，83.下列说法正确的有()①等腰三角形是等边三角形；②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；③等腰三角形至少有两边相等；④三角形按角分应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．A．①②B．①③④C．③④D．①②④4.如图，图中共有________个三角形，在△ABE中，AE所对的角是________，∠ABE所对的边是________；在△ADE中，AD是________的对边；在△ADC中，AD是________的对边．5．若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b满足|a－3|＋(b－2)2＝0.(1)求c的取值范围；(2)若第三边长c是整数，求c的值．11．1.2三角形的高、中线与角平分线11．1.3 三角形的稳定性1．桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构，这是利用三角形的________性．2．如图，在△ABC中，AB边上的高是________，BC边上的高是________；在△BCF中，CF边上的高是________．第2题图第3题图3．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线．已知∠ABC＝80°，则∠DBC＝________°. 4．若AE是△ABC的中线，且BE＝4cm，则BC＝________cm.5．如图，BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长差是________．第5题图第6题图6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，S△ABC＝4cm2，则S△ABD＝________cm2.7．如图，AD，CE是△ABC的两条高．已知AD＝5，CE＝4.5，AB＝6.(1)求△ABC的面积；(2)求BC的长．11．2 与三角形有关的角11．2.1 三角形的内角第1课时三角形的内角和1．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则∠C的度数为()A．80°B．90°C．20°D．100°2．如图所示是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角形木板的另一个角的度数是()A．30°B．40°C．50°D．60°第2题图第3题图3．如图，△ABC中，∠A＝46°，∠C＝74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则∠DBC的度数是________．4．根据下图填空．(1)n＝________；(2)x＝________；(3)y＝________．5．如图，在△ABC中，点D在BA的延长线上，DE∥BC，∠BAC＝65°，∠C＝30°，求∠BDE 的度数．第2课时直角三角形的两锐角互余1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝61°，则∠B的度数为()A．61°B．39°C．29°D．19°2．在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝30°，则△ABC是()A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等边三角形3．直角三角形的一个锐角是另一个锐角的2倍，则较小锐角的度数是() A．60°B．36°C．54°D．30°4．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则与∠A互余的角的个数是() A．1个B．2个C．3个D．4个第4题图第5题图5．如图，在△ABC中，∠A＝25°，∠ACB＝105°，则∠D的度数为________．6．如图，在△ABC中，CE，BF是两条高．若∠A＝70°，∠BCE＝30°，求∠EBF和∠FBC 的度数．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.求证：CD⊥AB.11．2.2三角形的外角1．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为________．2．如图，∠2________∠1(填“＞”“＜”或“＝”)．3．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝70°，∠ACB＝60°，则∠BDC的度数为()A．80°B．90°C．100°D．110°4．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E的度数为()A．30°B．40°C．60°D．70°5．如图，在△ABC中，延长CB到D，延长BC到E，∠A＝80°，∠ACE＝140°，求∠1的度数．11．3多边形及其内角和11．3.1多边形1．下列图形中，凸多边形有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列关于正六边形的说法错误的是()A．边都相等B．对角线长都相等C．内角都相等D．外角都相等3．四边形一共有________条对角线()A．1 B．2 C．3 D．44．已知从一个多边形的一个顶点最多可以引出3条对角线，则它是() A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形5．若一个六边形的各条边都相等，当边长为3cm时，它的周长为________cm.6．从七边形的一个顶点出发，最多可以引________条对角线，这些对角线可以将这个多边形分成________个三角形．7．如图，请回答问题：(1)该多边形如何表示？指出它的内角；(2)作出这个多边形所有过顶点A的对角线；(3)在这个多边形的一个顶点处作出它的一个外角．11．3.2多边形的内角和1．五边形的内角和是()A．180°B．360°C．540°D．720°2．已知一个多边形的内角和为900°，则这个多边形为()A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形3．若一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的边数为() A．3 B．4 C．5 D．84．若正多边形的一个内角是120°，则该正多边形的边数是()A．12 B．6 C．16 D．85．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠D＝40°，则∠B＋∠C的度数为________．第5题图第6题图6．图中x的值为________．7．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则它是几边形？8．如果四边形ABCD的四个外角的度数之比为3∶4∶5∶6，那么这个四边形各内角的度数分别是多少？第十二章全等三角形12．1全等三角形1．下列各组的两个图形属于全等图形的是()2．如图，△ABD≌△ACE，则∠B与________，∠AEC与________，∠A与________是对应角；则AB与________，AE与________，EC与________是对应边．第2题图第3题图3．如图，△ABC≌△CDA，∠ACB＝30°，则∠CAD的度数为________．4．如图，若△ABO≌△ACD，且AB＝7cm，BO＝5cm，则AC＝________cm.第4题图第5题图5．如图，△ACB≌△DEB，∠CBE＝35°，则∠ABD的度数是________．6．如图，△ABC≌△DCB，∠ABC与∠DCB是对应角．(1)写出其他的对应边和对应角；(2)若AC＝7，DE＝2，求BE的长．12．2三角形全等的判定第1课时“边边边”1．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是()A．①B．②C．③D．④2．如图，已知AB＝AD，CB＝CD，∠B＝30°，则∠D的度数是()A．30°B．60°C．20°D．50°第2题图第3题图3．如图，AB＝DC，请补充一个条件：________，使其能由“SSS”判定△ABC≌△DCB. 4．如图，A，C，F，D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF.求证：△ABC≌△DEF.5．如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.求证：∠ADE＝∠AED.第2课时“边角边”1．如图，已知点F、E分别在AB、AC上，且AE＝AF，请你补充一个条件：________，使其能直接由“SAS”判定△ABE≌△ACF.第1题图第2题图2．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是________．3．如图，AB＝AD，∠1＝∠2，AC＝AE. 求证：△ABC≌△ADE.4．如图，AE∥DF，AE＝DF，AB＝CD.求证：(1)△AEC≌△DFB；(2)CE∥BF.第3课时“角边角”“角角边”1．如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，若直接推得△ABD≌△ACD，则其根据是() A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS第1题图第2题图2．如图，在△ABD与△ACD中，已知∠CAD＝∠BAD，在不添加任何辅助线的前提下，直接由“ASA”证明△ABD≌△ACD，需再添加一个条件，正确的是()A．∠B＝∠C B．∠CDA＝∠BDAC．AB＝AC D．BD＝CD3．如图，已知MA∥NC，MB∥ND，且MB＝ND.求证：△MAB≌△NCD.4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的两点，连接BE，CF，且BE∥CF.求证：(1)△CDF≌△BDE；(2)DE＝DF.第4课时“斜边、直角边”1．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是() A．HL B．ASA C．SAS D．AAS第1题图第2题图2．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是________．3．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.求证：∠AEB＝∠F.4．如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝BF.12．3 角的平分线的性质第1课时 角平分线的性质1．如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E .若CD ＝6，则DE 的长为( )A ．9B ．8C ．7D ．6第1题图 第2题图2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以小于BC 的长为半径画弧，分别交AB ，BC 于点E ，F ；②分别以点E ，F 为圆心，以大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线BG ，交AC 边于点D .若CD ＝4，则点D 到斜边AB 的距离为________. 3．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB ＝10，S △ABD ＝15，求CD 的长．4．如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE ，CD 相交于点O ，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .第2课时角平分线的判定1．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF.若∠DBC＝50°，则∠ABC的度数为()A．50°B．100°C．150°D．200°第1题图第3题图2．在三角形内部，到三角形的三边距离都相等的点是()A．三角形三条高的交点B．三角形三条角平分线的交点C．三角形三条中线的交点D．以上均不对3．如图，∠ABC＋∠BCD＝180°，点P到AB，BC，CD的距离都相等，则∠PBC＋∠PCB 的度数为________.4．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，AE＝AF.求证：(1)PE＝PF；(2)AP平分∠BAC.5．如图，B是∠CAF内的一点，点D在AC上，点E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF 的面积相等．求证：AB平分∠CAF.第十三章轴对称13．1轴对称13．1.1轴对称1．下列图形中，是轴对称图形的是()2．下列轴对称图形中，对称轴条数是四条的图形是()3．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论中正确的有()①△ABC≌△A′B′C′；②∠BAC＝∠B′A′C′；③直线l垂直平分CC′；④直线BC和B′C′的交点不一定在直线l上．A．4个B．3个C．2个D．1个第3题图第4题图4．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B的度数为() A．25°B．45°C．30°D．20°5．如图，△ABC关于直线MN对称的三角形的顶点分别为A′，B′，C′，其中∠A＝90°，A ＝8cm，A′B′＝6cm.（1）求AB，A′C′的长；（2）求△A′B′C′的面积．13．1.2线段的垂直平分线的性质第1课时线段垂直平分线的性质和判定1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点P，P A＝5，则线段PB的长度为() A．3 B．4 C．5 D．6第1题图第2题图2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分ABC．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB3．如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段________的垂直平分线上．第3题图第4题图4．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交边AC于点D，交边AB于点E，且∠CBD ＝∠ABD，则∠A＝________°.5．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，连接AD.若AC＝4cm，△ADC的周长为11cm，求BC的长．第2课时 线段垂直平分线的有关作图1．如图，已知线段AB ，分别以点A ，点B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧交于点C 和点D ，作直线CD ，在CD 上取两点P ，M ，连接P A ，PB ，MA ，MB ，则下列结论一定正确的是( ) A ．P A ＝MA B ．MA ＝PE C ．PE ＝BE D ．P A ＝PB2．已知图中的图形都是轴对称图形，请你画出它们全部的对称轴．3．已知下列两个图形关于直线l 成轴对称．(1)画出它们的对称轴直线l ；(2)填空：两个图形成轴对称，确定它们的对称轴有两种常用方法，经过两对对称点所连线段的________画直线；或者画出一对对称点所连线段的____________．4．如图，在某条河l 的同侧有两个村庄A 、B ，现要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？13．2画轴对称图形第1课时画轴对称图形1．已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的轴对称图形，将作图步骤补充完整(如图所示)．(1)分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点________；(2)分别延长DM，EP，FN至________，使________＝________，________＝________，________＝________；(3)顺次连接________，________，________，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHI. 2．如图，请画出已知图形关于直线MN对称的部分．3．如图，以AB为对称轴，画出已知△CDE的轴对称图形．第2课时用坐标表示轴对称1．在平面直角坐标系中，点P(－2，3)关于x轴对称的点的坐标是() A．(2，3) B．(2，－3)C．(－2，－3) D．(3，－2)2．在平面直角坐标系中，点P(－3，4)关于y轴的对称点的坐标为() A．(4，－3) B．(3，－4)C．(3，4) D．(－3，－4)3．平面内点A(－2，2)和点B(－2，－2)的对称轴是()A．x轴B．y轴C．直线y＝4 D．直线x＝－24．已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，若△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，则点A 的对称点A′的坐标是()A．(－3，2) B．(3，2)C．(－3，－2) D．(3，－2)第4题图第5题图5．如图，点A关于x轴的对称点的坐标是________．6．已知点M(a，1)和点N(－2，b)关于y轴对称，则a＝________，b＝________．7．如图，在平面直角坐标系中有三点A(－1，5)，B(－1，0)，C(－4，3)．(1)在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；(2)写出点A1，B1，C1的坐标；(3)△A1B1C1的面积是________．13．3等腰三角形13．3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质1．已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为________．2．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分∠BAC，则BD＝________cm.第2题图第3题图3．如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为() A．35°B．45°C．55°D．60°4．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为()A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°5．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，求∠C的度数．6．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.第2课时等腰三角形的判定1．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形2．已知△ABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝________．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，使其可以确定△ABC为等腰三角形，则添加的条件是________．第3题图第4题图4．如图，已知△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有________个等腰三角形．5．如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE＝DF.求证：AB＝AC.6．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G.求证：△EFG是等腰三角形．13．3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定1．如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为________．第1题图第3题图2．在△ABC中，∠A＝60°，现有下面三个条件：①AB＝AC；②∠B＝∠C；③∠A＝∠B.能判定△ABC为等边三角形的有________．3．如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB＝4，则AD＝________．4．如图，△ABC是等边三角形，∠CBD＝90°，BD＝BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD 的度数．5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD.求证：(1)△ABE≌△ACD；(2)△ADE为等边三角形．第2课时含30°角的直角三角形的性质1．如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，则BC的长度为( ) A．3 B．4 C．5 D．6第1题图第2题图第3题图2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．73．如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，BD＝2，DE⊥BC交AB于点E，则BE的长为________．4．如图，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，求BE＋CF的值．5．如图所示是某种帐篷支架屋顶的侧面示意图，它是底角为30°的等腰三角形．已知中柱BD垂直于底边AC，支柱DE垂直于腰AB，测得BE＝1米，求AB的长．13．4 课题学习最短路径问题1．已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA＋PB 的值最小，则下列作法正确的是( )2．如图，已知直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( )A．转化思想B．三角形两边之和大于第三边C．两点之间，线段最短D．三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角第2题图第3题图3．如图，点P是直线l上的一点，线段AB∥l，能使PA＋PB取得最小值的点P的位置应满足的条件是( )A．点P为点A到直线l的垂线的垂足B．点P为点B到直线l的垂线的垂足C．PB＝PAD．PB＝AB4．如图，在直线l的两侧分别有A和B两点，试在直线l上确定一点P，使点P到点A和到点B的距离之和最短，并说明理由．第十四章 整式的乘法与因式分解14．1 整式的乘法14．1.1 同底数幂的乘法1．化简a 2·a 的结果是( )A ．a 2B ．a 3C ．a 4D ．a 5 2．下列计算正确的是( )A ．x 2·x 2＝x 4B ．x 3·x ·x 4＝x 7C ．a 4·a 4＝a 16D ．a ·a 2＝a 2 3．填空：(1)(－a )5·(－a )2＝________；(2)(a －b )·(a －b )2＝________(结果用幂的形式表示)； (3)a 3·a 2·(________)＝a 11. 4．计算：(1)a 2·a 5＋a ·a 3·a 3； (2)⎝⎛⎭⎫1104×⎝⎛⎭⎫1103.5．(1)若2x ＝3，2y ＝5，求2x ＋y 的值；(2)若32×27＝3n ，求n 的值．1．计算(x3)4的结果是()A．x7B．x12C．x81D．x642．下列运算正确的是()A．(x3)2＝x5B．(－x)5＝－x5C．x3·x2＝x6D．3x2＋2x3＝5x53．已知5y＝2，则53y的值为()A．4 B．6 C．8 D．94．计算：(1)a6·(a2)3＝________；(2)(－a3)2＝________．5．计算：(1)(x3)2·(x2)3; (2)(－x2)3·x5；(3)－(－x2)3·(－x2)2－x·(－x3)3.6．若(27x)2＝36，求x的值．1．计算(x 2y )2的结果是( )A ．x 6yB ．x 4y 2C ．x 5yD ．x 5y 2 2．计算(－2a 2b )3的结果是( )A ．－6a 6b 3B ．－8a 6b 3C ．8a 6b 3D ．－8a 5b 3 3．若m 2·n 2＝25，且m ，n 都为正实数，则mn 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 4．计算：(1)(mn 3)2＝________； (2)(2a 3)3＝________； (3)(－2x 2y )3＝________；(4)⎝⎛⎭⎫－12x 3y 3＝________． 5．计算：(1)(ab 2c 4)3; (2)(3a 2)3＋(a 2)2·a 2；(3)(x n y 3n )2＋(x 2y 6)n; (4)(－2×103)2；(5)4100×0.25100.14．1.4整式的乘法第1课时单项式与单项式、多项式相乘1．计算x3·4x2的结果是()A．4x5B．5x6C．4x6D．5x52．化简x(2－3x)的结果为()A．2x－6x2B．2x＋6x2C．2x－3x2D．2x＋3x23．下列各式中，计算正确的是()A．3a2·4a3＝12a6B．2xy(3x2－4y)＝6x3－8y2C．2x3·3x2＝6x5D．(3x2＋x－1)(－2x)＝6x3＋2x2－2x4．计算：(1)(6ab)·(3a2b)＝__________；(2)(－2a2)2·a＝__________；(3)(－2a2)(a－3)＝__________．5．若一个长方形的长、宽分别是3x－4、2x，则它的面积为________．6．计算：(1)ab·(－3ab)2; (2)(－2a2)·(3ab2－5ab3)．7．已知a＝1，求代数式a(a2－a)＋a2(5－a)－9的值．第2课时多项式与多项式相乘1．计算(x－1)(x－2)的结果为()A．x2＋3x－2 B．x2－3x－2C．x2＋3x＋2 D．x2－3x＋22．若(x＋3)(x－5)＝x2＋mx－15，则实数m的值为()A．－5 B．－2 C．5 D．23．下列各式中，计算结果是x2＋7x－18的是()A．(x－2)(x＋9) B．(x＋2)(x＋9)C．(x－3)(x＋6) D．(x－1)(x＋18)4．计算：(1)(2x＋1)(x＋3)＝________________；(2)(y＋3x)(3x－2y)＝________________．5．一个长方形相邻的两条边长分别为2a＋1和3a－1，则该长方形的面积为____________．6．计算：(1)(a＋1)(2－b)－2a；(2)x(x－6)－(x－2)(x＋1)．7．先化简，再求值：(2a－3b)(a＋2b)－a(2a＋b)，其中a＝3，b＝1.第3课时 整式的除法1．计算a 6÷a 2的结果为( )A ．4a 4B ．3a 3C ．a 3D ．a 4 2．下列计算正确的是( )A ．x 8÷x 2＝x 4B ．(－x )6÷(－x )4＝－x 2C ．36a 3b 4÷9a 2b ＝4ab 3D ．(2x 3－3x 2－x )÷(－x )＝－2x 2＋3x 3．计算：(1)20180＝________； (2)a 8÷a 5＝________； (3)a 6b 2÷(ab )2＝________； (4)(14a 3b 2－21ab 2)÷7ab 2＝________． 4．当m ________时，(m －2019)0的值等于1. 5．计算：(1)(－6m 4n 5)÷⎝⎛⎭⎫12m 2n 2； (2)(x 4y ＋6x 3y 2－x 2y 3)÷3x 2y .6．一个等边三角形框架的面积是4a 2－2a 2b ＋ab 2，一边上的高为2a ，求该三角形框架的边长．14．2 乘法公式14．2.1 平方差公式1．计算(4＋x )(4－x )的结果是( )A ．x 2－16B ．16－x 2C ．x 2＋16D ．x 2－8x ＋162．下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是( )A ．(b －a )(a －b )B ．(x ＋2)(x ＋2)C.⎝⎛⎭⎫y ＋x 3⎝⎛⎭⎫y －x 3 D ．(x －2)(x ＋1)3．若m ＋n ＝5，m －n ＝3，则m 2－n 2的值是( )A ．2B ．8C ．15D ．164．计算：(1)(a ＋3)(a －3)＝________；(2)(2x －3a )(2x ＋3a )＝________；(3)(a ＋b )(－a ＋b )＝________；(4)98×102＝(100－______)(100＋______)＝(______)2－(______)2＝______．5．计算：(1)⎝⎛⎭⎫16x －y ⎝⎛⎭⎫16x ＋y ； (2)20182－2019×2017；(3)(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)．6．先化简，再求值：(2－a )(2＋a )＋a (a －4)，其中a ＝－12.14．2.2完全平方公式第1课时完全平方公式1．计算(x＋2)2正确的是()A．x2＋4 B．x2＋2 C．x2＋4x＋4 D．2x＋42．下列关于962的计算方法正确的是()A．962＝(100－4)2＝1002－42＝9984B．962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024C．962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136D．962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝92163．计算：(1)(3a－2b)2＝____________；(2)(－3x＋2)2＝________；(3)(－x＋y)2＝____________；(4)x(x＋1)－(x－1)2＝________．4．计算：(1)(－2m－n)2; (2)(－3x＋y)2；(3)(2a＋3b)2－(2a－3b)2; (4)99.82.5．已知a＋b＝3，ab＝2.(1)求(a＋b)2的值；(2)求a2＋b2的值．第2课时添括号法则1．下列添括号正确的是()A．a＋b－c＝a－(b＋c)B．－2x＋4y＝－2(x－4y)C．a－b－c＝(a－b)－cD．2x－y－1＝2x－(y－1)2．若运用平方差公式计算(x＋2y－1)(x－2y＋1)，下列变形正确的是() A．[x－(2y＋1)]2B．[x＋(2y＋1)]2C．[x＋(2y－1)][x－(2y－1)]D．[(x－2y)＋1][(x－2y)－1]3．填空：(1)a＋b－c＝a＋(________)；(2)a－b＋c－d＝(a－d)－(________)；(3)(x＋y＋2z)2＝[(________)＋2z]2＝________________________．4．已知a－3b＝3，求代数式8－a＋3b的值．5．运用乘法公式计算：(1)(2a＋3b－1)(1＋2a＋3b); (2)(x－y－2z)2.14．3因式分解14．3.1提公因式法1．下列变形，是因式分解的是()A．x(x－1)＝x2－x B．x2－x＋1＝x(x－1)＋1C．x2－x＝x(x－1) D．2a(b＋c)＝2ab＋2ac2．多项式12ab3c＋8a3b中各项的公因式是()A．4ab2B．4abc C．2ab2D．4ab3．把多项式m2－9m分解因式，结果正确的是()A．m(m－9) B．(m＋3)(m－3)C．m(m＋3)(m－3) D．(m－3)24．分解因式：(1)5a－10ab＝____________；(2)x4＋x3＋x2＝________________；(3)m(a－3)＋2(3－a)＝________________．5．计算：20182－2018×2017.6．分解因式：(1)2mx－6my; (2)3x(x＋y)－(x＋y)2. 7．先分解因式，再求值：a2b＋ab2，其中a＋b＝3，ab＝2.14.3.2公式法第1课时运用平方差公式分解因式1．多项式x2－4分解因式的结果是()A．(x＋2)(x－2) B．(x－2)2C．(x＋4)(x－4) D．x(x－4)2．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A．a2＋b2B．5m2－20mnC．x2＋y2D．x2－93．分解因式3x3－12x，结果正确的是()A．3x(x－2)2B．3x(x＋2)2C．3x(x2－4) D．3x(x－2)(x＋2)4．因式分解：(1)9－b2＝____________；(2)m2－4n2＝____________．5．利用因式分解计算：752－252＝________．6．若a＋b＝1，a－b＝2007，则a2－b2＝________．7．因式分解：(1)4x2－9y2; (2)－16＋9a2；(3)9x2－(x＋2y)2; (4)5m2a4－5m2b4.第2课时 运用完全平方公式分解因式1．把多项式x 2－8x ＋16分解因式，结果正确的是( )A ．(x －4)2B ．(x －8)2C ．(x ＋4)(x －4)D ．(x ＋8)(x －8)2．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )A ．x 2－2x －2B ．x 2＋1C ．x 2－4x ＋4D ．x 2＋4x ＋13．若代数式x 2＋kx ＋49能分解成(x －7)2的形式，则实数k 的值为________．4．若x 2＋kx ＋9是完全平方式，则实数k ＝________．5．因式分解：(1)x 2－6x ＋9＝________；(2)－2a 2＋4a －2＝________．6．因式分解：(1)4m 2－2m ＋14； (2)2a 3－4a 2b ＋2ab 2；(3)(x ＋y )2－4(x ＋y )＋4.7．先分解因式，再求值：x 3y ＋2x 2y 2＋xy 3，其中x ＝1，y ＝2.第十五章 分 式15．1 分 式15．1.1 从分数到分式1．下列各式不是分式的是( )A.x yB.y π＋yC.x 2D.1＋x a 2．若分式x ＋1x －1有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ≠1 B ．x ≠－1 C ．x ＝1 D ．x ＝－13．如果分式|x |－1x －1的值为零，那么x 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．±14．某人种了x 公顷的棉花，总产量为y 千克，则棉花的单位面积产量为________千克/公顷．5．当x ＝________时，分式x 2－9x －3的值为零． 6．x 取何值时，下列分式有意义？(1)x ＋22x －3； (2)6（x ＋3）|x |－12；(3)x ＋6x 2＋1； (4)x （x －1）（x ＋5）.15．1.2 分式的基本性质1．下列分式是最简分式的是( )A.x －13x －3B.3（x 2－y 2）x －yC.x －12x ＋1D.2x 4－2x2．分式x 5y 与3x 2y 2的最简公分母是( ) A ．10xy B ．10y 2 C ．5y 2 D ．y 23．根据分式的基本性质填空：(1)a ＋b ab ＝（ ）a 2b； (2)x 2＋xy x 2＝x ＋y （ ）； (3)a －2a 2－4＝1（ ）. 4．下列式子变形：①b a ＝b ＋1a ＋1；②b a ＝b －1a －1；③b －2a ＝2b －42a ；④a 2＋a a 2－1＝a a －1.其中正确的有________(填序号)．5．约分：(1)－4x 2y 6xy 2＝________； (2)a 2＋2a a 2＋4a ＋4＝________． 6．通分：(1)x ac ，y bc ； (2)24－x 2，x x ＋2； (3)1x 2－6x ＋9，13x －9.15．2 分式的运算15．2.1 分式的乘除第1课时 分式的乘除1．计算a bc ·c 2a 2的结果是( )A.c 2a 2b B.c ab C.c 2ab D.a 2bc2．计算2x 3÷1x 的结果是( )A ．2x 2B ．2x 4C ．2xD ．43．化简：(1)a 2＋aba －b ÷aba －b ＝________；(2)2x ＋2y 5a 2b ·10ab 2x 2－y 2＝________．4．计算：(1)xx 2－1÷1x ＋1； (2)x 2－9x 2＋6x ＋9·3x 3＋9x 2x 2－3x .5．先化简，再求值：x －2x ＋3·x 2－9x 2－4x ＋4，其中x ＝－1.第2课时 分式的乘方1．计算⎝⎛⎭⎫x2y 3的结果是( )A.x 38y 3 B.x 36y 3 C.x 8y 3 D.x 38y2．计算a 2·⎝⎛⎭⎫1a 3的结果是( )A ．aB ．a 5 C.1a D.1a 53．已知⎝⎛⎭⎫x3y 22·⎝⎛⎭⎫－y3x 2＝6，则x 4y 2的值为( )A ．6B ．36C ．12D ．34．计算：(1)⎝⎛⎭⎫3b2a 2＝________；(2)a 2b ·b2a ＝________；(3)⎝⎛⎭⎫－y 2ax 2÷y 24x ＝________．5．计算：(1)⎝⎛⎭⎫－3ac 2b 2； (2)a －b b ·b a 2－b 2； (3)－a 32b ÷⎝⎛⎭⎫－a 2b 3·b 2.6.先化简，再求值：a －a 2a 2－1÷a a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －12，其中a ＝2.15．2.2 分式的加减第1课时 分式的加减1．计算x －1x ＋1x的结果是( )A.x ＋2xB.2xC.12 D ．12．化简4x x －2－x2－x的结果是( )A.3x x －2B.5x 2－xC.5x x －2D.3x 2－x 3．计算： (1)1a 2－1＋aa 2－1＝________； (2)1a －1－1a （a －1）＝________． 4．计算：(1)5a ＋3b a 2－b 2－2a a 2－b 2； (2)m m ＋n ＋m m －n －m 2m 2－n 2.5．先化简：x 2＋x x 2＋2x ＋1＋1－xx 2－1，然后从－1≤x ≤2的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．第2课时 分式的混合运算1．化简⎝⎛⎭⎫1＋1x －2·x 2－2xx －1的结果为( )A ．4xB ．3xC ．2xD ．x2．化简：(1)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＋11－a ÷a 1－a＝________；(2)x 2－4x 2－2x ＋1·x －1x －2－x x －1＝________． 3．计算：(1)a 2－16a ＋64a －8÷⎝⎛⎭⎫1－8a ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2－2x ＋1＋x ＋1x －1·1－x 1＋x ；(3)⎝⎛⎭⎫x －1x ÷⎝⎛⎭⎫2x －1＋x 2x ； (4)⎝⎛⎭⎫b 2a 2÷⎝⎛⎭⎫b a －14a ·23b .4．先化简，后求值：⎝⎛⎭⎫1x －1－1x ＋1÷xx 2－1，其中x ＝2.15．2.3 整数指数幂第1课时 负整数指数幂1．计算5－2的值是( )A ．－125 B.125 C ．25 D ．－252．计算⎝⎛⎭⎫－12－1的结果是( ) A ．－12 B.12 C ．2 D ．－23．计算a 3·a －5的结果是( )A ．a 2B ．a －2C ．－a 2D ．－a －2 4．若b ＝－3－2，c ＝⎝⎛⎭⎫13－2，d ＝⎝⎛⎭⎫－130，则( ) A ．b ＜c ＜d B ．b ＜d ＜c C ．d ＜c ＜b D ．c ＜d ＜b 5．计算：(1)(－2)0×3－2＝________；(2)(x －1)2·x 3＝________． 6．计算：(1)⎝⎛⎭⎫23－2×3－1＋(π－2018)0÷⎝⎛⎭⎫13－1；(2)(ab －2)－2·(a －2)3；(3)(2xy －1)2·xy ÷(－2x －2y )．第2课时用科学记数法表示绝对值小于1的数1．0.000012用科学记数法表示为()A．120×10－4B．1.2×10－5C．－1.2×10－5D．－1.2×1052．生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为()A．0.432×10－5B．4.32×10－6C．4.32×10－7D．43.2×10－73．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm(0.0000025m)的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物．若将0.0000025用科学记数法表示为2.5×10n(n为整数)，则n 的值为()A．－7 B．－6 C．－5 D．64．用科学记数法把0.000009405表示成a×10－6，则a＝________．5．用科学记数法表示下列各数：(1)0.0000314; (2)－0.0000064.6．用小数表示下列各数：(1)2×10－7; (2)2.71×10－5.7．纳米是一种长度单位，常用于度量物质原子的大小，1纳米＝10－9米．已知某种植物孢子的直径约为45000纳米，用科学记数法表示该孢子的直径约为多少米？15．3 分式方程第1课时 分式方程及其解法1．下列方程是分式方程的是( )A.12－x 3＝0B.4x ＝－2 C ．x 2－1＝3 D ．2x ＋1＝3x2．以下是解分式方程1－x 2－x －3＝1x －2时，去分母后的结果，其中正确的是( )A ．1－x －3＝1B ．x －1－3x ＋6＝1C ．1－x －3x ＋6＝1D ．1－x －3x ＋6＝－1 3．分式方程12x ＝2x ＋3的解是________．4．当实数m ＝________时，方程2m －1x ＝3的解为x ＝1.5．若关于x 的方程3x －1＝1－k1－x 无解，则k 的值为________．6．解方程：(1)3x ＝2x ＋1； (2)3x ＋5－1x －1＝0；(3)1x －2＝4x 2－4； (4)1－13x －1＝56x －2.第2课时 分式方程的应用1．某工程队要铺建一条长2000米的管道，采用新的施工方式，工作效率提高了25%，结果比原计划提前2天完成了任务．设这个工程队原计划每天要铺建x 米管道，则依题意所列方程正确的是( )A.2000x ＋2＝20001.25xB.2000x ＝20001.25x －2C.2000x ＋20001.25x ＝2D.2000x －20001.25x＝22．某特快列车在最近一次的铁路大提速后，平均时速提高了30千米/时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时．若该列车提速前的速度是x 千米/时，下列所列方程正确的是( )A.350x －350x －30＝1B.350x －350x ＋30＝1C.350x ＋30－350x ＝1D.350x －30－350x＝13．学校最近新配备了一批图书需要甲、乙两人进行整理，若甲单独整理完成需要4小时；若甲、乙共同整理2小时后，乙再单独整理2小时才能完工，则乙单独整理完成需要多少小时？4．某校初二年级的同学乘坐大巴车去北京展览馆参观“砥砺奋进的五年”大型成就展，北京展览馆距离该校12千米，1号车出发3分钟后，2号车才出发，结果两车同时到达．已知2号车的平均速度是1号车的平均速度的1.2倍，求2号车的平均速度．第十一章 三角形 11．1 与三角形有关的线段11．1.1 三角形的边1．C 2.B 3.C 4.6 ∠B AE ∠AED ∠C5．解：(1)∵|a －3|＋(b －2)2＝0，∴a －3＝0，b －2＝0，∴a ＝3，b ＝2.由三角形三边关系得3－2＜c ＜3＋2，即1＜c ＜5.(2)∵c 为整数，1＜c ＜5，∴c ＝2或3或4.11．1.2 三角形的高、中线与角平分线11．1.3 三角形的稳定性1．稳定 2.CE AD BC 3.40 4.8 5.2 6.2 7．解：(1)S △ABC ＝12AB ·CE ＝12×6×4.5＝13.5.(2)∵S △ABC ＝12BC ·AD ，∴BC ＝2S △ABC AD ＝2×13.55＝5.4.11．2 与三角形有关的角11．2.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和1．D 2.B 3.30° 4.(1)27 (2)29 (3)595．解：∵∠BAC ＝65°，∠C ＝30°，∴∠B ＝85°.∵DE ∥BC ，∴∠BDE ＝180°－∠B ＝180°－85°＝95°.第2课时 直角三角形的两锐角互余1．C 2.A 3.D 4.B 5.40° 6．解：∵∠A ＝70°，CE ，BF 是△ABC 的两条高，∴∠EBF ＝20°，∠ECA ＝20°.又∵∠BCE ＝30°，∴∠ACB ＝50°，∴在Rt △BCF 中，∠FBC ＝40°. 7．证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°.∵∠ACD ＝∠B ，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠ADC＝90°，∴CD ⊥AB .11．2.2 三角形的外角1．70° 2.＞ 3.C 4.A 5．解：∵∠ACE ＝140°，∴∠ACB ＝40°.∵∠A ＝80°，∴∠1＝40°＋80°＝120°.11．3 多边形及其内角和11．3.1 多边形1．A 2.B 3.B 4.B 5.18 6.4 57．解：(1)六边形ABCDEF ，它的内角是∠A ，∠B ，∠C ，∠D ，∠E ，∠F .(2)如图所示．(3)如图，∠DCG 即为点C 处的一个外角(答案不唯一)．11．3.2 多边形的内角和1．C 2.A 3.D 4.B 5.230° 6.1307．解：设该多边形是n 边形．由题意可得(n －2)·180°＝3×360°，解得n ＝8.故该多边形为八边形．8．解：根据题意，设四边形ABCD 的四个外角的度数分别为3x ，4x ，5x ，6x ，则3x ＋4x ＋5x ＋6x ＝360°，解得x ＝20°.∴这四个外角的度数分别为60°，80°，100°，120°，则这个四边形各内角的度数分别为120°，100°，80°和60°.第十二章 全等三角形 12．1 全等三角形1．D 2.∠C ∠ADB ∠A AC AD DB 3．30° 4.7 5.35°6．解：(1)对应边：AB 与DC ，AC 与DB ，BC 与CB .对应角：∠A 与∠D ，∠ACB 与∠DBC .(2)由(1)可知DB ＝AC ＝7，∴BE ＝BD －DE ＝7－2＝5.12．2 三角形全等的判定第1课时 “边边边”1．C 2.A 3.AC ＝BD4．证明：∵AF ＝DC ，∴AF －CF ＝DC －CF ，即AC ＝DF .在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DF ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，∴△ABC ≌△DEF (SSS)．5．证明：在△ABD 与△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE (SSS)，∴∠ADB ＝∠AEC .∵∠ADB ＋∠ADE ＝180°，∠AEC ＋∠AED ＝180°，∴∠ADE ＝∠AED .第2课时 “边角边”1．AB ＝AC 2.SAS3．证明：∵∠1＝∠2，∴∠BAC ＝∠DAE .在△ABC 与△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAE ，AC ＝AE ，∴△ABC ≌△ADE (SAS)．4．证明：(1)∵AE ∥DF ，∴∠A ＝∠D .∵AB ＝CD ，∴AC ＝DB .在△AEC 与△DFB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，AC ＝DB ，∴△AEC ≌△DFB (SAS)． (2)由(1)知△AEC ≌△DFB ，∴∠ECA ＝∠FBD ，∴CE ∥BF .第3课时 “角边角”“角角边”1．D 2.B3．证明：∵MB ∥ND ，∴∠MBA ＝∠D .∵MA ∥NC ，∴∠A ＝∠NCD .在△MAB 与△NCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MBA ＝∠D ，∠A ＝∠NCD ，MB ＝ND ，∴△MAB ≌△NCD (AAS)． 4．证明：(1)∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD .∵BE ∥CF ，∴∠FCD ＝∠EBD .在△CDF和△BDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧ ∠FCD ＝∠EBD ，CD ＝BD ，∠CDF ＝∠BDE ，∴△CDF ≌△BDE (ASA)．(2)由(1)知△CDF ≌△BDE ，∴DF ＝DE .第4课时 “斜边、直角边”1．A 2.AB ＝DB (答案不唯一)3．证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠CBF ＝90°.在Rt △ABE 和Rt △CBF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CF ，AB ＝CB ，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF (HL)．∴∠AEB ＝∠F .4．证明：∵AB ⊥CF ，DE ⊥CF ，∴∠ABC ＝∠DEF ＝90°.在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DF ，AB ＝DE ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL)，∴BC ＝EF ，∴BC －BE ＝EF －BE ，即CE ＝BF . 12．3 角的平分线的性质第1课时 角平分线的性质1．D 2.43．解：∵S △ABD ＝15，AB ＝10，∴点D 到AB 的距离h ＝2×1510＝3.∵AD 平分∠BAC ，∠C＝90°，∴DC ＝h ＝3. 4．证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，AO 平分∠BAC ，∴OD ＝OE ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°.在△DOB与△EOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DOB ＝∠EOC ，OD ＝OE ，∠ODB ＝∠OEC ，∴△DOB ≌△EOC (ASA)，∴OB ＝OC .第2课时 角平分线的判定1．B 2.B 3.90°4．证明：(1)∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠AEP ＝∠AFP ＝90°.在Rt △AEP 和Rt △AFP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AP ，AE ＝AF ，∴Rt △AEP ≌Rt △AFP (HL)，∴PE ＝PF . (2)∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PE ＝PF ，∴点P 在∠BAC 的平分线上，故AP 平分∠BAC . 5．证明：∵DC ＝EF ，△DCB 和△EFB 的面积相等，∴点B 到AC ，AF 的距离相等，∴AB平分∠CAF .第十三章 轴对称 13．1 轴对称13．1.1 轴对称1．A 2.A 3.B 4.B5．解：(1)∵AB 与A ′B ′是对应线段，∴AB ＝A ′B ′＝6cm.又∵AC 与A ′C ′是对应线段，∴A ′C ′＝AC ＝8cm.(2)∵∠A ′与∠A 是对应角，∴∠A ′＝∠A ＝90°，∴S △A ′B ′C ′＝A ′B ′·A ′C ′÷2＝24(cm 2)．13．1.2 线段的垂直平分线的性质 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定1．C 2.C 3.AC 4.305．解：∵AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，∴AD ＝BD .∵△ADC 的周长为11cm ，∴AC ＋CD ＋AD ＝AC ＋CD ＋BD ＝AC ＋BC ＝11cm.∵AC ＝4cm ，∴BC ＝7cm.第2课时 线段垂直平分线的有关作图1．D2．解：如图所示．。
含30°角的直角三角形的性质(教学课件)-八年级数学上册(人教版)
如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边 缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧 立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的 最大宽度． 解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
斜边的一半.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°. 证法②截半法
求证：BC=
1 2
AB.
证明：在BA上截取BD=BC，连接DC. ∵ ∠B=90°-∠A=60°，BD=BC
∴ △BCD是等边三角形 ∴ ∠BDC=60°，BD=DC=BC ∴ ∠DCA=∠BDC-∠A=30°=∠A
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点）
用两个含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼成 一个等边三角形吗？说说你的理由.
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小 关系？能证明你的结论吗？
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作
DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明
理由． 解： CD 1 DB.
2
理由如下：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵DE是∠ADB的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE， ∴△AED≌△BED(ASA)，
2020年人教版数学八年级上册学案13.3.2《等边三角形》(含答案)
13．3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定学习目标理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法．预习阅读教材“思考及例4”，完成预习内容．知识探究1．等边三角形的性质：(1)定义：等边三角形的________都相等；(2)等边三角形的三个内角都________，并且每一个角都等于________．2．等边三角形的判定：(1)定义：________都相等的三角形为等边三角形；(2)三个角都________的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的____________为等边三角形．自学反馈1．在等边三角形ABC中，∠______=∠______=∠______=______.2．在三角形ABC中，AB=AC=2，∠A=60°，则BC=________.3．课本练习第1、2小题．活动1小组讨论如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BFD的度数．解：(1)证明：∵△ABC为等边三角形∴∠BAE=∠DCA=60°，AB=AC.在△ABE与△CAD中，∵AB=AC，∠BAE=∠ACD，AE=CD，∴△ABE≌△CAD.(2)∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠DAC.∵∠BAF＋∠DAC=∠BAC=60°，∠BFD=∠ABE＋∠BAF，∴∠BFD=∠BAF＋∠DAC=60°.点拨：由等边三角形的性质，根据SAS证全等，然后利用全等的性质求∠BFD的度数．课堂小结对于等边三角形，它属于特殊的等腰三角形，特殊到三条边相等，三个角都等于60°，“三线合一”的性质就更能不受限制，淋漓尽致地发挥了．第2课时 含30°角的直角三角形的性质学习目标掌握含30°角的直角三角形的性质，并会运用．预习阅读教材P80～81“探究及例5”，完成预习内容．知识探究在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的________等于________________． 自学反馈1．在Rt △ABC 中，若∠BCA=90°，∠A=30°，AB=4，则BC=________.2．Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=2∠A ，∠B 和∠A 各是多少度？边AB 与BC 之间有什么关系？活动1 小组讨论如图，∠ACB=90°，∠B=30°，CD ⊥AB.求证：AD=14AB.证明：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=12AB.∵CD ⊥AB ，∴∠CDB=90°.∴∠DCB=60°. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=30°.在Rt △ACD 中，∠ACD=30°.∴AD=12AC=14AB. 课堂小结含30°角的直角三角形中存在线段的比例关系，是证明线段倍数关系的重要途径．课堂小练一、选择题1.如图，在△ABC 中，D 、E 在BC 上，且BD=DE=AD=AE=EC ，则∠BAC 的度数是（ ）A.30°B.45°C.120°D.15°2.已知∠AOB=30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三角形是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形3.如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于E ，垂足为D.若ED=5，则CE 的长为（ ）A.10B.8C.5D.2.54.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A.4cmB.2cmC.1cmD.0.5m5.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是（）A.BD=ABB.BD=ABC.BD=ABD.BD=AB6.如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC的长度是（）A.5mB.8mC.10mD.20m7.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A.6米B.9米C.12米D.15米8.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A.60°B.90°C.120°D.150°9.如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1=20°，则∠2的度数是( )A.100°B.80°C.60°D.40°10.下列推理错误的是( )A.在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形B.在△ABC中，∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC为等边三角形C.在△ABC中，∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形D.在△ABC中，∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形二、填空题11.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8 cm，BD=________，BE=________.12.等腰三角形的底角为15°，腰长是2 cm，则腰上的高为________.13.等腰三角形一底角是30°，底边上的高为9 cm，则其腰长为________，顶角为________.14.在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC=________.15.如图，将边长为5 cm的等边△ABC，沿BC向右平移3 cm，得到△DEF，DE交AC于M，则△MEC是________三角形，DM=________cm.参考答案1.答案为：C2.答案为：D3.答案为：A4.答案为：C5.答案为：C6.答案为：A7.答案为：B8.答案为：A9.答案为：A10.答案为：B.11.答案为：4 cm 2 cm12.答案为：1 cm13.答案为：18 cm 120°14.答案为：515.答案为：等边 3。
直角三角形的性质与判定人教版八年级数学上册完美课件
图 11－2－15
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【解析】 由角平分线的性质，得∠ABC＝50°，由三角形内角和的知识，得∠C＝70°，
又∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＝20°.
11.2.1 第2课时 直角三角形的性质与判定-2020秋人教版 八年级 数学上 册课件 (共24 张PPT)
11.2.1 第2课时 直角三角形的性质与判定-2020秋人教版 八年级 数学上 册课件 (共24 张PPT)
11.2.1 第2课时 直角三角形的性质与判定-2020秋人教版 八年级 数学上 册课件 (共24 张PPT)
11.2.1 第2课时 直角三角形的性质与判定-2020秋人教版 八年级 数学上 册课件 (共24 张PPT)
【解析】 A．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝2∠B＝3∠C， ∴13∠A＋12∠A＋∠A＝180°，解得∠A＝1 01810°≠90°，错误； B．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝2∠B，不能得出∠C＝90°，错误； C．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，∴∠C＝75°≠90°，错误； D．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝∠C， ∴∠C＝90°，正确．故选 D.
11.2.1 第2课时 直角三角形的性质与判定-2020秋人教版 八年级 数学上 册课件 (共24 张PPT)
8．如图 11－2－16 所示，在△ABC 中，∠A＝90°，点 D 在 AC 边上，DE∥BC，若
65°
∠1＝155°，则∠B 的度数为________.
图 11－2－16
11.2.1 第2课时 直角三角形的性质与判定-2020秋人教版 八年级 数学上 册课件 (共24 张PPT)
13.3.2(2) 含30度角的直角三角形的性质(课件)八年级数学上册(人教版)
120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝
∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，BD＝10，
∴AD= BD=5
∴CD＝AD＝5．
一半，反之亦然．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，AC＝8，点D在边AB
上，且BD＝ ，点P是△ABC边上的一个动点，若AP＝2PD时，则PD的
长是 3
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，
且BD＝1，则AD的长是 3 ．
图1
图3
当堂测试
4.如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、
证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
1
∴∠BAC＝60°，AC= AB
2
∵DE是AB的垂直平分线
∴AD=DB= AB
∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形；
分层作业
【基础达标作业】
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、
BC于点D、E连接CD、AE．求证：点E在线段CD的垂直平分线上．
∵∠C=90º，
1
1
∴AC= 2 AE=2
BE=2.5.
B
E
C
随堂练习
2.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120º,D是BC的中点,DE⊥AB于E
点,求证：BE=3EA.
证明∵AB=AC,∠BAC=120º,
∴∠B=∠C=30º.
∵D是BC的中点, ∴AD⊥BC
B
∴∠ADC=90º,∠BAD=∠DAC=60º.
人教版八年级上册数学课时课件 第十一章 三角形 三角形的内角(第2课时)
数学
8年级/上
第十一章 三角形
学习新知
检测反馈
学习新知
1.观察图形，找出 图中所包含的直角 三角形； 2.回顾已学习的直 角三角形知识，如： 直角三角形及相关 概念——直角边、 斜边等.
一、直角三角形的表示方法
三角形ABC表示△ABC，直角三角形应该
如何表示呢？
直角三角形可以用符号“Rt△”
检测反馈
1．一个三角形三个内角之比为1：1：2，则三角形 的形状是 等腰直角三角形 .
解析：设三角形三个内角度数分别为x，x， 2x，则x+x+2x=180°，解得x=45°，所以三 角形三个内角分别为45°，45°，90°，故此 三角形为等腰直角三角形.
2．直角三角形两锐角的平分线所成的夹角的度数
4.如图所示，从观测点C处看高山顶点A的 仰视角为30°，走进一段距离后再在D处观 测仰视角为45°，请你求出从A处观测 C、 D两处视角∠CAD的度数.
解析：过点A作AB⊥CD的延长线于点B，
构造直角三角形，然后利用直角三角形中
两个锐角互余求角∠CAB和∠DAB的度数，
再利用角的差即可求出∠CAD.
画一个直角三角形ABC，其中∠C= 90°，用量 角器分别量出∠A、∠B的度数，并且求出∠A+∠B的
值.
通过对问题的计算你发现∠A和∠B
有什么关系？
直角三角形的两个锐角互余.
结合图形你能写出已知、求证和证明吗？
证明过程
A
已知：Rt△ABC， ∠C= 90°
求证： ∠A+∠B= 90°. C
B
证明：如图，在Rt△ABC中． ∵∠A+∠B +∠C=180°,
参照直角三角形性质的几何推理过程，判定 定理几何推理过程又该怎样表示呢？
人教版八年级数学上册 13.3.2 等边三角形 同步练习(附答案)
13．3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定知识点1 三角形的性质1．如图，过等边△ABC的顶点A作射线，若∠1＝20°，则∠2的度数是( )A．100° B．80°C．60° D．40°2．如图，等边△ABC的边长如图所示，那么y＝．第2题图第3题图3．如图，△ABC为等边三角形，AC∥BD，则∠CBD＝．4．如图，点D，E分别在等边△ABC边BC，CA的延长线上，且CD＝AE，连接AD，BE.求证：BE＝AD.知识点2等边三角形的判定5．已知等腰三角形的一个外角是120°，则它是( )A．等腰直角三角形B．一般的等腰三角形C．等边三角形D．等腰钝角三角形6．如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，且AD＝DC＝DB，∠B＝30°.求证：△ADC 是等边三角形．7．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC.求证：△CEB 为等边三角形．8．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )A．15° B．30° C．45° D．60°第8题图第9题图9．如图，在等边△ABC中，M，N分别在BC，AC上移动，且BM＝CN，AM与BN相交于点Q，则∠BAM＋∠ABN的度数是( )A．60° B．55°C．45° D．不能确定10．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是cm.11．如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形ODC，连接AC和BD，相交于点E，连接BC.求∠AEB的大小．12．如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动．设运动时间为t s，当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由．13．如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.(1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由；(2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断过程．第2课时含30°角的直角三角形的性质知识点含30°角的直角三角形的性质1．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最小边BC＝4 cm，则最长边AB的长是( ) A．5 cm B．6 cm C. 5 cm D．8 cm2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD等于( )A．3 B．4 C．5 D．6第2题图第3题图3．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8 cm，则BD＝，BE＝．4．等腰三角形顶角为30°，腰长是4 cm，则三角形的面积是．5．如图是某房屋顶框架的示意图，其中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5 m，求∠B，∠C，∠BAD的度数和AB的长度．6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，连接BD.若DE＝2，则AC的长为( )A．4 B．6 C．8 D．10第6题图第7题图7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．68．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，连接AE，BE＝6 cm，则AC的长为．9．如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M.(1)求∠E的度数；(2)求证：M是BE的中点．10．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°.求：(1)此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里？(2)小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东航行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．参考答案：13．3.2 等边三角形第1课时 等边三角形的性质与判定1．B 2．3． 3．120°．4．证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠ACB ＝60°. ∴∠BAE ＝∠ACD ＝120°. 在△BAE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CD ，∠BAE ＝∠ACD ，AB ＝CA ，∴△BAE ≌△ACD(SAS)．∴BE ＝AD.5．C6．证明：∵DC ＝DB ，∴∠B ＝∠DCB ＝30°.∴∠ADC ＝∠DCB ＋∠B ＝60°. 又∵AD ＝DC ，∴△ADC 是等边三角形． 7．∴BC ＝BE.∵AC ＝BC ，∠ACB ＝120°，CE ⊥AB ， ∴∠ECB ＝60°. 又∵BC ＝BE ，8．A 9．A 10．18.11．解：∵△DOC 和△ABO 都是等边三角形，且点O 是线段AD 的中点，∴OD ＝DC ＝OC ＝OB ＝OA ，∠ADC ＝∠DAB ＝60°. 在△DBA 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠DAB ＝∠ADC ，AD ＝DA ，∴△DBA ≌△ACD(SAS)．∴∠BDA ＝∠CAD. ∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD.又∵∠BDA ＋∠OBD ＝∠BOA ＝60°， ∴∠BDA ＝30°. ∴∠CAD ＝30°.∵∠AEB ＝∠BDA ＋∠CAD ， ∴∠AEB ＝60°.12．解：△BPQ 是等边三角形．理由：当t ＝2时， AP ＝2×1＝2(cm)， BQ ＝2×2＝4(cm)．∴BP ＝AB －AP ＝6－2＝4(cm)． ∴BQ ＝BP.∴∠B＝60°.∴△BPQ是等边三角形．13．解：(1)△ODE是等边三角形．理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵OD∥AB，OE∥AC.∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.∴△ODE是等边三角形．(2)BD＝DE＝EC.理由：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，∴∠ABO＝∠OBD＝30°.∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°.∴∠DBO＝∠DOB.∴DB＝DO.同理：EC＝EO.∵△ODE是等边三角形，∴DE＝OD＝OE.∴BD＝DE＝EC.第2课时含30°角的直角三角形的性质1．D2．A3．2__cm．4．4__cm2．5．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝12×(180°－120°)＝30°.∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∠BAD ＝12∠BAC ＝60°.又∵∠B ＝30°， ∴AB ＝2AD ＝7 m. 6．B 7．C 8．3__cm ． 9．解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°. 又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE. 又∵∠ACB ＝∠E ＋∠CDE ， ∴∠E ＝12∠ACB ＝30°.(2)证明：连接BD ，∵等边△ABC 中，D 是AC 的中点， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝12×60°＝30°.由(1)知∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°，∴DB ＝DE. 又∵DM ⊥BC ，∴M 是BE 的中点． 10．解：(1)过点P 作PD ⊥AB 于点D.∵∠PBD ＝90°－60°＝30°，∠PAB ＝90°－75°＝15°， ∴∠APB ＝30°－15°＝15°.∴∠PAB ＝∠APB.∴BP ＝AB ＝7海里． (2)∵∠PBD ＝30°，∠PDB ＝90°， ∴PD ＝12PB ＝3.5海里．∵3.5>3，∴该轮船继续向东航行，没有触礁的危险．。
湘教版八年级下册数学第1章 直角三角形 含30°角的直角三角形的性质及其应用(2)
1.1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ) 第2课时 含30°角的直角三角形的性质
及其应用
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新知笔记 1 斜边的一半
2 30°
答案显示
1A 6D
2A 7B
3D 8C
4D
5 23
9 15° 10 C
11 D
12 C
13 3
16 见习题 17 见习题
14 见习题 15 见习题
【点拨】∵DE 是 AB 的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠BAD. 又 BD＝18，AC＝9，∴AC＝12AD.又∠ACB＝90°，∴∠ADC＝ 30°.∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠ADC＝2∠B，∴∠B＝15°.
【答案】15°
10．设计一张折叠型方桌如图所示，若 AO＝BO＝50 cm，CO＝ DO＝30 cm，将桌子放平后，要使 AB 离地面的高度为 40 cm， 则两条桌腿需要叉开的∠AOB 应为( ) A．60° B．90° C．120° D．150°
1．在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角 边等于__斜__边__的__一__半____．
2．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的角等于__3_0_°____．它揭示了由边的关系求角 的度数的方法．
1．【中考·百色】如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB
(2)若 CD＝2，求 DF 的长．
解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB＝60°， 由(1)知∠EDC＝60°，∴△EDC 是等边三角形．∴ED＝DC＝2. ∵EF⊥DE，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.
17．如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，点 D 为 AC 的中点，点 E 为 AB 边上一动点，AE＝DE，延长 ED 交 BC 的延长线于点 F.
八年级数学上册教学课件《含30°角的直角三角形的性质》
∴∠B=60°，∠A=30°. ∴ AB=2BC.
随堂演练
1. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°， AD=2cm，则AB的长度是（ C ） A.2cm B.4 cm C.8 cm D.16cm 2.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1∶2，则 等腰三角形的顶角为（ D ）
（2）能运用30°角的直角三角形的性质 解决相关问题.
推进新课
知识点1 直角三角形的性质
探究
将两个全等的含30°角的直 角三角尺摆放在一起.你能借助这 个图形，找到Rt △ABC 的直角边 BC 与斜边AB 之间的数量关系吗？
猜想 在直角三角形中，如果一个锐角等 于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A.30° B.60° C.150° D.30°或150°
3. 在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C， BD是∠ABC的平分线．求证：DC = 2AD.
证明：∵∠A = 90°，∠ABC = 2∠C,
∴∠C = 30°，∠ABC = 60°.
又BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=
∵ ∠ACB=90°，∠A =30°，
∴ ∠B =60°．
在△BCE 中，
E
∵ ∠BCE=60°，∠B =60°，
∴ △BCE 是等边三角形．
∴ BC =BE =CE．
B
C
在△ACE 中，
A
∵ ∠A=30°，∠ACE =30°，
∴ △AEC是等腰三角形．
∴ CE =AE．
∴ BC =BE =CE =AE．
A
符号语言：
∵ 在Rt△ABC 中，