导数习题课
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导数的基本公式及运算法则习题课
;
(4)
y
1 cos2
x
;
(5) y 6x3 x ; 1 x2
(6)
y
4 x5
;
(7) y 3 x; 2
练习： 求下列函数的导数：
(3)y＝xx－＋11；
(4)y＝x·tan x.
解：(3)法一：y′＝(xx－＋11)′ ＝ ＝xx＋－11x＋－′1xx2－＋11x＋－1x＝2－1x＋2x1＋21. ′
f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g(x)
g ( x)2
(g(x) 0)
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3， (cos x) = - sin x，(ex) = ex，(1) = 0， 故f (x) = (3x4 ex + 5cos x 1)
(1)y＝x(x2＋1x＋x13)；
(2)y＝exsin x；
(3)y＝xx2＋＋33.
解：(1)∵y＝x(x2＋1x＋x13)＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
解：(2)y′＝(exsin x)′＝(ex)′sin x＋ex(sin x)′
＝exsin x＋excos x ＝ex(sin x＋cos x)．
x2 ) ' 1 x2 x(2x) (1 x2 )2
1 x2 (1 x 2 ) 2
(4) y ' (2x3 ) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x 3 )'3(x sin x)'0
人教A版高中同步学考数学选修1精品课件 第三章 习题课——导数运算及几何意义的综合问题
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:(1)由题意得f'(x)=3x2+1,∴曲线y=f(x)在点(3,14)处的切线的斜率
为f'(3)=28.
∴切线的方程为28x-y-70=0.
(2)法一:设切点为(x0,03 +x0-16),
则直线 l 的斜率为 f'(x0)=302 +1,
∴直线 l 的方程为 y=(302 +1)(x-x0)+03 +x0-16.
于
.
解析:因为 f'(x)=aex+ ,
e + = e,
= 1,
1
由已知得
解得
- = e ,
= 0.
e
所以 a,b 的值分别是 1 和 0.
答案:1和0
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
导数几何意义的综合应用
例1已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(3,14)处的切线方程;
=2lim
ℎ→0
答案:B
2ℎ
=2f'(x0).
)
课前篇自主预习
9
【做一做 3】 曲线 y= 在点 M(3,3)处的切线方程是
.
9
解析:∵y'=- 2 ,∴y'|x=3=-1,
∴过点(3,3)的斜率为-1 的切线方程为 y-3=-(x-3),即 x+y-6=0.
答案:x+y-6=0
1
【做一做 4】 设 f(x)=aex+bln x,且 f'(1)=e,f'(-1)=e ,则 a,b 的值分别等
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
解:(1)由题意得f'(x)=3x2+1,∴曲线y=f(x)在点(3,14)处的切线的斜率
为f'(3)=28.
∴切线的方程为28x-y-70=0.
(2)法一:设切点为(x0,03 +x0-16),
则直线 l 的斜率为 f'(x0)=302 +1,
∴直线 l 的方程为 y=(302 +1)(x-x0)+03 +x0-16.
于
.
解析:因为 f'(x)=aex+ ,
e + = e,
= 1,
1
由已知得
解得
- = e ,
= 0.
e
所以 a,b 的值分别是 1 和 0.
答案:1和0
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法
当堂检测
导数几何意义的综合应用
例1已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(3,14)处的切线方程;
=2lim
ℎ→0
答案:B
2ℎ
=2f'(x0).
)
课前篇自主预习
9
【做一做 3】 曲线 y= 在点 M(3,3)处的切线方程是
.
9
解析:∵y'=- 2 ,∴y'|x=3=-1,
∴过点(3,3)的斜率为-1 的切线方程为 y-3=-(x-3),即 x+y-6=0.
答案:x+y-6=0
1
【做一做 4】 设 f(x)=aex+bln x,且 f'(1)=e,f'(-1)=e ,则 a,b 的值分别等
(完整版)导数公式运算习题课
1 xlna
⑧
1 x
⑨f′(x)±g′(x)
⑩f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ⑪f′(x)g(xg)－2(xf)(x)g′(x)
第一章 导数及其应用
1.下列结论正确的个数为
()
①y＝ln2，则y′＝12 ②y＝x12，则y′|x＝3＝－227 ③y
＝2x，则y′＝2xln2 ④y＝log2x，则y′＝xl1n2
第一章 导数及其应用
2．对导数的运算法则的理解： (1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(或差)． (2)两个函数积的函数的求导法则 设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的 导数．
第一章 导数及其应用
5．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋ 1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，
于是有aa＋＋2b＝＋21c＝，4d.
① ②
由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，
∴a＝c.③
由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④
∴由①③可得a＝c＝2.
第一章 导数及其应用
又由④，得b＝－5.再由②，得d＝－12. ∴g(x)＝x2＋2x－12.故g(4)＝16＋8－12＝427.
高中数学《导数与单调性》习题课 课件
★状元笔记 单调区间的求法
(1)求函数的单调区间注意先求定义域． (2)使 f′(x)>0 的区间为 f(x)的单调递增区间， 使 f′(x)<0 的区间为 f(x)的单调递减区间．
思考题 1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝xl1nx； (2)f(x)＝xx2-+11； (3)f(x)＝x+2 1-x.
所以当 f(x)在[1，2]上为单调函数时 a 的取值范围是(-∞， 0)∪(0，52]∪[1，+∞)．
【答案】 a≤0 时，增区间为(0，+∞)； a>0 时，增区间为(0，1a)，减区间为(1a，+∞)．
题型三 求参数的取值范围
已知函数 f(x)＝x3+ax2+1，a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间(-23，0)内是减函数，求 a 的取值范围； (3)若函数 f(x)的单调减区间是(-23，0)，求 a 的值．
(4)f′(x)＝（2+cosx（）2c+ocsxo-ssxi）nx2（-sinx）＝（22c+ocsoxs+x1）2. 当 2kπ-23π<x<2kπ+23π(k∈Z)时，cosx>-12，即 f′(x)>0； 当 2kπ+23π<x<2kπ+43π(k∈Z)时，cosx<-12，即 f′(x)<0. 因此 f(x)在区间(2kπ-23π，2kπ+23π)(k∈Z)上是增函数， f(x)在区间(2kπ+23π，2kπ+43π)(k∈Z)上是减函数．
f(x)在(2，3)上不单调，则有223a<≠23a0<，3，可得
导数的概念习题课
丝罕见，那种粗俗的墨蓝色鸵鸟模样的神态好像绝无仅有的病态但又露出一种隐约的猜疑。…………那个身穿狼狈的灵冰衫的大叔是
娜哥瓜乌
保镖。他出生在Ｄ．勒西日世界的钢条湖，绰号：八腿病鬼！年龄看上去大约十岁左右，但实际年龄足有一千多岁，身高两米左右，体重足有一百五十
多公斤。此人最善使用的兵器是『紫风摇精牛肝矛』，有一身奇特的武功『蓝雨蚌圣剃须刀爪』，看家的魔法是『黄影缸魔钢筋语录』，另外身上还带
★ 点导数是因变量在点 x0处的变化率 ,它 反映了 因变量随自变量的变化 而变化的快
慢程度.
★
y x
是y在以
x0和x0
x为端点的区间上的
平均变化率
四、导函数
如果函数y f (x)在区间(a ,b)內每一点都可导，就说 函数y f (x)在区间(a,b)內可导。这时，对于(a,b)內每一
个x值，都有唯一确定的导数值与之对应，这就构成了x的
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x)
在点M ( x0 , f ( x0 ))处的
切线的斜率 ,即
f ( x0 ) tan , (为倾角) o
x
若f (x0)存在, 过( x0 , f ( x0 ))的切线方程为
关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所 代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化 率的本质
2. f
'(x0 )
lim y x0 x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
导数计算习题课
法则可以推广到两个以上的中间变量.
求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合 理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个 变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再 选中间变量.
例题选讲
例1:求下列函数的导数:
(1) y (2x 1)5
1 (2) y (1 3x)4
回顾与总结
3.复合函数的求导法则: 复合函数 对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果
通过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函 数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数为 yx ' yu 'ux ' , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的积.
(3) y (1 sin2 x)4
解：（1）设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
解: （2）设y=u-4,u=1-3x,则:
yx
yu
ux
(u4 )u
(1 3x)x
4u5
证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可.
联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨
证明过P点的两条切线互相垂直.
由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得 y x2 5, y x ,
k1
y
|x3
3; 2
同理由4x2+9y2=72得
y
x2 5
8 4 x2 , y 4x ;
1 x2
求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合 理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个 变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再 选中间变量.
例题选讲
例1:求下列函数的导数:
(1) y (2x 1)5
1 (2) y (1 3x)4
回顾与总结
3.复合函数的求导法则: 复合函数 对于两个函数 y f (u) 和 u g(x) ,如果
通过变量 u, y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函 数 y f (u) 和 u g(x) 的复合函数,记作 y f (g(x))
复合函数 y f (g(x)) 的导数为 yx ' yu 'ux ' , 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的积.
(3) y (1 sin2 x)4
解：（1）设y=u5,u=2x+1,则:
yx yu ux (u5 )u (2x 1)x 5u4 2 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4 .
解: （2）设y=u-4,u=1-3x,则:
yx
yu
ux
(u4 )u
(1 3x)x
4u5
证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一 个交点处的切线互相垂直即可.
联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨
证明过P点的两条切线互相垂直.
由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得 y x2 5, y x ,
k1
y
|x3
3; 2
同理由4x2+9y2=72得
y
x2 5
8 4 x2 , y 4x ;
1 x2
1.2导数的计算(4课时)
作业： P18习题1.2A组：1.
1.2
导数的计算
1.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则 第一课时
问题提出 1.如何求函数f(x)的导数？
y= 2.函数y＝c，y=x，y=x2，
，
f (x + Vx ) - f (x ) f¢ (x ) = lim Vx ® 0 Vx 1
x 的导数分别是什么？.
思考3：若y＝c表示路程关于时间的函数， 则y′＝0的物理意义如何解释？
物体的瞬时速度始终为0，即物体处于静 止状态.
探究（二）：函数y＝f(x)＝x的导数 思考1：函数f(x)＝x的图象是什么？相 对于x的函数值增量△y等于什么？ y y ＝x
v= h(0.5) - h(0) = 4.05(m / s ) 0.5 - 0
f¢ (x ) = k
思考5：函数f(x)＝kx(k≠0)的图象是什 么？其导数表示什么？ y＝kx的图象是过原点的一条直线
f¢ (x ) = k 表示直线y＝kx的斜率.
思考6：函数f(x)＝kx(k≠0)增(减)的快 慢与k的取值有什么关系？ k＞0时，k越大，f(x)增加得越快； k＜0时，k越大，f(x)减少得越慢.
= ln x 的
导数是什么？
1 (loga x )¢= x ln a
1 (ln x )¢= x
探究（二）：导数的四则运算法则
[f (x ) + g(x )]¢ (x ) + g (x ) 相等吗？ 思考1： 与 fⅱ 为什么？
[f (x ) + g(x )]ⅱ = f (x ) + g (x )
(x ), g (x ) 有什么关 [f (x ) - g(x )]¢与 f ⅱ 思考2： 系？ [f (x ) - g(x )]ⅱ = f (x ) - g (x )
1.2导数计算习题课
第一章 1.2
导数及其应用 导数的计算 习题课
回顾与总结
1.常见函数的导数公式 常见函数的导数公式. 常见函数的导数公式
为常数) (C )′ = 0 (C 为常数) 为有理数) ( x n )′ = nx n−1 ( n 为有理数) (sin x )′ = cos x (cos x )′ = －sin x (a x )′ = a x ln a (a > 0，a ≠ 1) 特殊地 (e x )′ = e x 1 1 (log a x )′ = log a e = (a > 0, a ≠ 1) 且 x x ln a 1 特殊地 (ln x )′ = x
2 ∴k2 = y′ |x=3 = − . 3 因为k 所以两条切线互相垂直.从而命题成立 因为 1k2=-1,所以两条切线互相垂直 从而命题成立 所以两条切线互相垂直 从而命题成立.
9 8 − x2 9
利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下: 利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下 圆锥曲线的切线方程如下 (1)过圆 过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 0(x0,y0)的切线方程是 上一点P 的切线方程是: 过圆 的切线方程是 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
2 3 2 3
说明:在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤 说明 在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤 在对法则的运用熟练后 就不必再写中间步骤.
y′ = 4(1 + sin x) （1+ sin x） ⋅ x
2 3 2 ’
= 4(1 + sin2 x)3 ⋅ 2sin x ⋅ cos x = 4sin 2x ⋅ (1 + sin2 x)3 .
习题课(导数与微分)
利用 f ( x) 在 x = 1 处可导，则必定连续，从而有 − + a + b = 1 = 1 (a + b + 1) f (1 ) = f (1 ) = f (1) 2 即 a=2 ′ ′ f − (1) = f + (1)
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ax + b ,
f (x) =
1 ( a+ b + 1) , 2
解y = − ln( 1 −源自x ), 令 u = 1 − x .
y = – lnu .
.
u′ −1 1 dy dy du = . =− = − = ⋅ ∴ y′ = 1− x u 1− x dx du dx
.
(4)复合函数求导练习 题 复合函数求导练习23题 复合函数求导练习
1
o o
( sin 2 x ) ′ = 2 cos 2 x (e
1 14 (ln(1 − x ))′ = − 1− x 3 o 3 15 (ln 2 x )′ = x
o o
.
21 (arcsin3 x )′ = 22 (e )′ = 2 xe
o x2 o
x2
3 1 − 9x2
16 (e 17
o o
o
3 x +1
)′ = 3e
3 x +1
2 (arctan2 x )′ = 1 + 4 x 2
0
√
).
( (
× ). √ √
).
(
).
(2)判断是非(是： √ 非： × )： 判断是非( 判断是非
.
已知 y = f ( x )在点 x 0 可导 ：
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) e . f ′( x 0 ) = lim h→ 0 h f ( x 0 − h) − f ( x 0 ) f . f ′( x 0 ) = lim h→ 0 h f ( x 0 + 3h) − f ( x 0 ) 1 g . f ′( x 0 ) = lim h 3 h→ 0
北师版高中数学选择性必修第二册精品课件 第二章 习题课——导数的概念及运算法则
( + Δ)-()
f'(x)= lim
,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为y=f(x)的导函数,
Δ→0
Δ
也简称导数,有时也将导数记作y'.
2.用定义法求函数f(x)=2x2的导数f'(x),并利用f'(x)求f'(0),f'(-1)的值.
2
2(x+x) -2x2
解:f'(x)= lim
又由题图知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图
象在x=x0处的切线的斜率相等,故可排除B.故选D.
答案:D
f(1-2x)-f(1)
3.已知函数 f(x)=2ln 3x+8x,则 lim
的值为(xຫໍສະໝຸດ Δ→0A.10B.-10
C.-20
).
D.20
6
2
解析:∵f(x)=2ln 3x+8x,∴f'(x)=3x+8=8+x .根据导数定义,知
(1-2Δ)-(1)
(1-2Δ)-(1)
=-2 lim
=-2f'(1)=-20.故选 C.
Δ
x→0
-2Δ
-2Δ→0
答案:C
1
4.已知函数f(x)=
3
sin3x+3xf'(0),则f'(0)=
y'=αxα-1
y'=axln a 特别地(ex)'=ex
1
1
y'=x a 特别地(ln x)'=x
1
(2)导数的运算法则
f'(x)= lim
,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为y=f(x)的导函数,
Δ→0
Δ
也简称导数,有时也将导数记作y'.
2.用定义法求函数f(x)=2x2的导数f'(x),并利用f'(x)求f'(0),f'(-1)的值.
2
2(x+x) -2x2
解:f'(x)= lim
又由题图知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,说明y=f(x)与y=g(x)的图
象在x=x0处的切线的斜率相等,故可排除B.故选D.
答案:D
f(1-2x)-f(1)
3.已知函数 f(x)=2ln 3x+8x,则 lim
的值为(xຫໍສະໝຸດ Δ→0A.10B.-10
C.-20
).
D.20
6
2
解析:∵f(x)=2ln 3x+8x,∴f'(x)=3x+8=8+x .根据导数定义,知
(1-2Δ)-(1)
(1-2Δ)-(1)
=-2 lim
=-2f'(1)=-20.故选 C.
Δ
x→0
-2Δ
-2Δ→0
答案:C
1
4.已知函数f(x)=
3
sin3x+3xf'(0),则f'(0)=
y'=αxα-1
y'=axln a 特别地(ex)'=ex
1
1
y'=x a 特别地(ln x)'=x
1
(2)导数的运算法则
导数的定义和计算习题课
f
'(1)
2 ，则 lim x
x
f
x
x
3
f
x 2 x
。
4．已知 y f ( 3x2) ， f ( x)arctanx2 ，则 dy 。
3x2
dx x0
5．设 f (t) lim t( xt )x ，则 f (t)
。
x xt
6．设 f ( x) 是 g( x) 的反函数，且 g(1) 2 ， g(1) 3 ，
2
2．
f
(
x)
1
cos x
x
,
x 0, 其中 g( x) 是有界函数，
x2 g( x), x 0,
则 f ( x) 在 x0 处（ ）
（A）极限不存在；
（B）极限存在但不连续；
（C）连续但不可导； （D）可导。
3．设 f ( x) x x2 x ，则 f ( x) （ ）
（A）处处不可导；
f (0) 2 ，求 f ( x) 及 f ( x) 。
5．设
f
(x)
x
k
sin
1 x
,
x 0 ，问：
0,
x0
(1) 当 k 为何值时， f ( x) 在 x 0处连续但不可导；
(2) 当 k 为何值时， f ( x) 在 x 0处可导，但导函数不连续； (3) 当 k 为何值时， f ( x) 的导函数在 x 0处连续。
习题课 五 导数的定义和计算
一、选择题
1．设
F(
x)
f
(x) x
,
x 0,
f (0), x 0.
其中 f ( x) 在 x0 处可导，
f (0)0 ， f (0)0 ，则 x0 是 F( x)的（ ）
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则习题课 PPT
第一章 导数及其应用
2．对导数的运算法则的理解： (1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(或差)． (2)两个函数积的函数的求导法则 设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的 导数．
第一章 导数及其应用
5．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋ 1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，
于是有aa＋＋2b＝＋21c＝，4d.
第一章 导数及其应用
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④
均正确，直接利用公式即可验证．
答案：D
第一章 导数及其应用
2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，解得n＝3. 答案：C
第一章 导数及其应用
第一章 导数及其应用
练 3 在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率 最小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时， 切 线 的 斜 率 最 小 ， 最 小 斜 率 为 3 ， 此 时 ， y ＝ ( － 1)3 ＋ 3×( － 1)2 ＋ 6×( － 1) － 10 ＝ － 14 ， 切 点 为 ( － 1 ， － 14)．∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
2．对导数的运算法则的理解： (1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(或差)． (2)两个函数积的函数的求导法则 设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的 导数．
第一章 导数及其应用
5．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋ 1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，
于是有aa＋＋2b＝＋21c＝，4d.
第一章 导数及其应用
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④
均正确，直接利用公式即可验证．
答案：D
第一章 导数及其应用
2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，解得n＝3. 答案：C
第一章 导数及其应用
第一章 导数及其应用
练 3 在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率 最小的切线方程．
[解] y′＝3x2＋6x＋6＝3(x＋1)2＋3，∴当x＝－1时， 切 线 的 斜 率 最 小 ， 最 小 斜 率 为 3 ， 此 时 ， y ＝ ( － 1)3 ＋ 3×( － 1)2 ＋ 6×( － 1) － 10 ＝ － 14 ， 切 点 为 ( － 1 ， － 14)．∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
高中数学第二章导数及其应用习题课用导数研究函数的单调性极值最值课件北师大版选择性必修第二册
若a≤0,则f'(x)=ln x-2ax+1>0在x>1时恒成立,从而f(x)在区间(1,+∞)上单调
递增,
所以f(x)>f(1)=0在区间(1,+∞)上恒成立,与已知矛盾,
故a≤0不符合题意.
若a>0,设φ(x)=f'(x)=ln x-2ax+1,x>1,
1
1
则 φ'(x)= -2a,且 ∈(0,1).
(3)注意区分“在区间上恒成立”与“在区间上存在x值使不等式成立”的区别.
分离参数后对应不同的最值类型.
【变式训练1】 已知函数f(x)=x2+aln x.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
2
(2)若g(x)=f(x)+ 在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
2 2(2 -1)
∴函数f(x)在区间(0,π)上单调递减.
答案:D
).
二、函数的极值、最值与导数
【问题思考】
1.(1)函数的极大值与极小值:
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递增,在区间(x0,b)上单调递减,则x0是极大
值点,f(x0)是极大值.
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递减,在区间(x0,b)上单调递增,则x0是极小
2 2
则 g'(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立,即 a≤ -2x 在[1,+∞)上恒成立.
因为φ(x)没有最小值,不满足题意,
所以实数a的取值范围为[0,+∞).
探究二
用导数求函数的极值、最值
【例2】 已知函数f(x)= 1x2+aln x.
递增,
所以f(x)>f(1)=0在区间(1,+∞)上恒成立,与已知矛盾,
故a≤0不符合题意.
若a>0,设φ(x)=f'(x)=ln x-2ax+1,x>1,
1
1
则 φ'(x)= -2a,且 ∈(0,1).
(3)注意区分“在区间上恒成立”与“在区间上存在x值使不等式成立”的区别.
分离参数后对应不同的最值类型.
【变式训练1】 已知函数f(x)=x2+aln x.
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
2
(2)若g(x)=f(x)+ 在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
2 2(2 -1)
∴函数f(x)在区间(0,π)上单调递减.
答案:D
).
二、函数的极值、最值与导数
【问题思考】
1.(1)函数的极大值与极小值:
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递增,在区间(x0,b)上单调递减,则x0是极大
值点,f(x0)是极大值.
若函数y=f(x)在区间(a,x0)上单调递减,在区间(x0,b)上单调递增,则x0是极小
2 2
则 g'(x)≤0 在[1,+∞)上恒成立,即 a≤ -2x 在[1,+∞)上恒成立.
因为φ(x)没有最小值,不满足题意,
所以实数a的取值范围为[0,+∞).
探究二
用导数求函数的极值、最值
【例2】 已知函数f(x)= 1x2+aln x.
导数与微分习题课
18
例8 设 y y( x) 是由方程 exy x y 所确定的
隐函数,求: y(0), y(0) .
解 方程两边关于 x 求导,得 ( y xy)exy 1 y ， (1)
而 y(0) 1 , y(0) 0 .
(1)式两边再关于x求导：
e xy ( y xy)2 e xy (2 y xy) y ，
lim x sin 1 0 .
x0
x
10
例3 设 f (x) x(x 1)( x 2)(x 100), 求 f (0).
解 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
lim x( x 1)( x 2)( x 100)
x0
x
lim( x 1)( x 2)( x 100) x0
x 1 处处可导，求 x1
a,
b 的值.
解 f ( x) 在 x 1 处连续， 1 a b ， b 1 a ，
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
x2 1 lim
x1 x 1
2，
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
ax b 1 lim
x1 x 1
二阶可导,且 f (t ) 0
,
求 d2 y
.
dx 2
t 1
8.
已知
x
e
y
3t 2 2t sint y
1
0
,求 dy , dy . dx dx t 0
9. 设 y x(sin x)cosx , 求 y.
28
练习题答案
29
设 f ( x) 3x3 x2 x ,则 f ( x) 在 x 0处可
例8 设 y y( x) 是由方程 exy x y 所确定的
隐函数,求: y(0), y(0) .
解 方程两边关于 x 求导,得 ( y xy)exy 1 y ， (1)
而 y(0) 1 , y(0) 0 .
(1)式两边再关于x求导：
e xy ( y xy)2 e xy (2 y xy) y ，
lim x sin 1 0 .
x0
x
10
例3 设 f (x) x(x 1)( x 2)(x 100), 求 f (0).
解 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
lim x( x 1)( x 2)( x 100)
x0
x
lim( x 1)( x 2)( x 100) x0
x 1 处处可导，求 x1
a,
b 的值.
解 f ( x) 在 x 1 处连续， 1 a b ， b 1 a ，
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
x2 1 lim
x1 x 1
2，
f(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
ax b 1 lim
x1 x 1
二阶可导,且 f (t ) 0
,
求 d2 y
.
dx 2
t 1
8.
已知
x
e
y
3t 2 2t sint y
1
0
,求 dy , dy . dx dx t 0
9. 设 y x(sin x)cosx , 求 y.
28
练习题答案
29
设 f ( x) 3x3 x2 x ,则 f ( x) 在 x 0处可
高等数学课件第二章导数的计算 习题课ppt
lim
3a
x1 x 1
f (1)
lim
x1
f ( x) f (1)
3 x 1 1
lim
Hale Waihona Puke x1x1 x 1 3
3a 1 , 3
f (1) 1
3
a 1, b 8.
9
9
当x 1时,
f
( x)
1 (
x3
8 )
1
x2;
9 93
当x 1时, f ( x) (3 x ) 1 .
33 x2
又 f 0 e ，证明 f x在 , 内处处可导．
解： 取 x y 0 代入恒等式，得 f 0 2 f 0 ，
因此 f 0 0 ．
f x lim f x x f x
x 0
x
lim e x f x ex f x f x
x0
x
ex f
lim
0
x
f
0
f
x ex
1
x0
例3.
解:
1
x
2 3
3
所以 y x0 , 即在原点处有垂直切线.
令 1 1 1, 3 3 x2 3
得 x 1, 对应 y 1,
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与已知直线平行. 平行的切线方程分别为
y
x 31y
20 y3
x
1
x
3
y
2
0O 1
y
1 1
x
x 1
3
例4.
f
二
阶
可
导, 求
u v
uv uv v2
(v
0) ．
复合函数的导数: 设函数 y f (u),均u 可导( ,x)
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导数与微分习题课
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一、基本要求
1. 理解导数（含左导数、右导数）和微分的定义及其几何意义. 2. 熟悉掌握函数的求导法则（四则运算求导法则、复合函数求 导法则）. 3. 掌握策分的运算法则及一阶微分形式不变性. 4. 牢记基本求导公式 5. 了解高阶导数的概念, 能熟练地求出初等函数的二阶导数及 某些函数的阶导数. 6. 掌握隐函数的求导法及由参数方程表示的函数的求导法. 7. 知道一元函数可微、可导、连续、极限存在之间的关系： 可微 ⇔ 可导 ⇒ 连续 ⇒ 极限存在. 本章的计算重点是求函数的导数.
(3) 导数的四则运算
sin 3 x cos3 x ∵ f ( x) = + + sin x cos x; sin x + cos x sin x + cos x sin 3 x + cos 3 x = + sin x cos x; sin x + cos x
= sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x + sin x cos x ≡ 1
f ′( x) − f ′(0) f ′( x) 6x f +′′(0) = lim = lim = lim =6 x →0 − 0 x →0 − 0 x →0 x x−0 x
f ′( x) − f ′(0) f ′( x) 2x ′′(0) = lim = lim f− = lim =2 x →0 − 0 x →0 − 0 x →0 x x−0 x
⎧2 x 2 + x x f ( x) = ⎨ ⎩0,
x < 0, 0≤ x
f ( 0) = 0
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解（c）
⎧x2 ⎪ f ( x) = ⎨ 2 ⎪3 x , ⎩
⎧2 x ⇒ f ′( x ) = ⎨ ⎩6 x ,
x < 0, 0≤ x
x < 0, 且 f ′( 0 ) = 0 0 < x,
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(3) 导数的四则运算
1 解（a） (1) ∵ f ( x) = [ln sin x − ln( x + 1) − ln( x − 1)] 3
1 cos x 1 1 ∴ f ′( x) = [ − − ] 3 sin x x + 1 x − 1
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解（b）
f ′(a) = lim
x →a
f ( x) − f (a ) x−a
f (a + ∆x) − f (a) f ′(a) = lim ∆x →0 ∆x
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导数与微分习题课
处可导, 试用导数
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⎡ xf ( x0 ) − x0 f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) ⎤ − x0 解（4）原式 = lim ⎢ ⎥ x → x0 x − x0 x − x0 ⎣ ⎦
µ >1
x ≠ 0, x = 0,
类似于(a )可解得
当 µ > 2时， f ′( x )在 x = 0时连续
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处可导, 试用导数
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练习2 设函数 （2）
(2)用导数定义求导
f ( x) = 2 x 2 + x x
f ( x ) 在点0处连续? 显然连续
问下列结论成立?
（a）
f (a + ∆x) − f (a) f ′(a) = lim ∆x →0 ∆x
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处可导, 试用导数
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⎡ ⎛ ⎤ 1⎞ （3） lim n ⎢ f ⎜ x0 + ⎟ − f ( x0 )⎥ n →∞ n⎠ ⎣ ⎝ ⎦
1⎞ ⎛ f ⎜ x0 + ⎟ − f ( x0 ) n⎠ ⎝ = lim = f ′( x0 ) n →∞ 1 n
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处可导, 试用导数
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解 （c）
(2)用导数定义求导
当 x ≠ 0时，
1 − x µ − 2 cos 1 ′( x ) = µ x µ −1 sin f x x
当 x = 0时，f ′( 0 ) = 0
µ >1
1 1 ⎧ µ −1 µ −2 ⎪µx sin − x cos , ⇒ f ′( x) = ⎨ x x ⎪0, ⎩
f (x ) 在 x 0 处可导, 试用导数 f ′( x 0 ) 表示下列极限：
f ( x0 + 3h) − f ( x0 ) （1）lim h →0 h
解 解 解
f ( x0 + 3h) − f ( x0 − 2h) （2） lim h →0 h ⎡ ⎛ ⎤ 1⎞ （3） lim n ⎢ f ⎜ x0 + ⎟ − f ( x0 )⎥ n →∞ n⎠ ⎣ ⎝ ⎦
f ( x) − f (2005) lim 证法 2 f ′(2005) = x→2005 x − 2005
f ( x) ( x − 2005)φ ( x) = lim = lim = lim φ ( x) x → 2005 x − 2005 x → 2004 x → 2005 x − 2005
lim ∵ φ ( x)在x = 2005处连续。 ∴ x →2005 φ ( x) = φ (2005) ∴ f ′(2005) = lim φ ( x) = φ (2005)
t
x f ( x) = 2 1− x
f ′(sin t )
解
解
（d） 设f 、g可导且f >0 证明：
[ f ( x)
g ( x)
]′ = f ( x)
g ( x)
f ′( x) g ( x) + g ′( x) ln f ( x)] [ f ( x)
解
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解（a）
1 − x 2 − x(−2 x) 1+ x2 , f ′( x) = = 2 2 2 2 (1 − x ) (1 − x )
f ( x ) 在点0处连续, 但不可导. 解 （c） f ′( x ) 在点0处连续.
解
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处可导, 试用导数
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解 （a）
1 x sin f ( x ) − f ( 0) x f ′(0) = lim = lim x →0 x →0 x x
µ
(2)用导数定义求导
= lim x
⎛ 3[ f ( x0 + 3h) − f ( x0 )] 2[ f ( x0 − 2h) − f ( x0 )] ⎞ = lim⎜ + ⎟ h →0 3h − 2h ⎝ ⎠
= 3 f ′( x0 )+ 2 f ′( x0 ) = 5 f ′( x0 )
f ( x) − f (a) f ′(a) = lim x→a x−a
⇒ f ′( x) ≡ (1)′ = 0
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处可导, 试用导数
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练习4 求下列 函数的导数: （a）设
(4)复合函数求导 求
⎛1⎞ 2 求 g ′⎜ ⎟ , g ′( x ) （b）设 g (t ) = a log a t , a > 0, a ≠ 1, ⎝a⎠ 2 2 解 （c）设f可导, 求 y = sin f ( x) + f (cos x) 的导数.
x → 2005
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下一页Βιβλιοθήκη 练习3 求下列 函数的导数:
(3) 导数的四则运算
(a)
sin x 解 f ( x) = ln 3 2 ; x −1
(b)
sin 2 x cos 2 x f ( x) = + + sin x cos x; 1 + cot x 1 + tan x
解
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2 2
x = sin t
1 + sin t 1 + sin t ⇒ f ′(sin t ) = = 2 2 4 [1 − sin t ] cos t
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解（b）
1 ∵ g ′(t ) = a ln a log a t + a log a e t 1 1 1 ⎛1⎞ a ∴ g ′⎜ ⎟ = a ln a log a + a a ⋅ a ⋅ log a e a ⎝a⎠
xf ( x0 ) − x0 f ( x) （4） lim x → x0 x − x0
解
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3[ f ( x0 + 3h) − f ( x0 )] = 3 f ′( x ). 解（1）原式 = lim 0 h →0 3h
(2) 原式
分项
( f ( x0 + 3h) − f ( x0 )) − [ f ( x0 − 2h) − f ( x0 )] == lim h →0 h
′(cos2 x)(−2 cos x sin x) +f
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证（d）
[ f ( x)
.
g ( x)
]′ = [e
g ( x ) ln f ( x )
f ′( x) + g ′( x) ln f ( x)] =e [ g ( x) f ( x) f ′( x) g ( x) = f ( x) [ g ( x) + g ′( x) ln f ( x)] f ( x)
（b） f （c）
(x )
在点0处可导?
解 解
f ′′( 0 ) ∃ ?
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一、基本要求
1. 理解导数（含左导数、右导数）和微分的定义及其几何意义. 2. 熟悉掌握函数的求导法则（四则运算求导法则、复合函数求 导法则）. 3. 掌握策分的运算法则及一阶微分形式不变性. 4. 牢记基本求导公式 5. 了解高阶导数的概念, 能熟练地求出初等函数的二阶导数及 某些函数的阶导数. 6. 掌握隐函数的求导法及由参数方程表示的函数的求导法. 7. 知道一元函数可微、可导、连续、极限存在之间的关系： 可微 ⇔ 可导 ⇒ 连续 ⇒ 极限存在. 本章的计算重点是求函数的导数.
(3) 导数的四则运算
sin 3 x cos3 x ∵ f ( x) = + + sin x cos x; sin x + cos x sin x + cos x sin 3 x + cos 3 x = + sin x cos x; sin x + cos x
= sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x + sin x cos x ≡ 1
f ′( x) − f ′(0) f ′( x) 6x f +′′(0) = lim = lim = lim =6 x →0 − 0 x →0 − 0 x →0 x x−0 x
f ′( x) − f ′(0) f ′( x) 2x ′′(0) = lim = lim f− = lim =2 x →0 − 0 x →0 − 0 x →0 x x−0 x
⎧2 x 2 + x x f ( x) = ⎨ ⎩0,
x < 0, 0≤ x
f ( 0) = 0
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解（c）
⎧x2 ⎪ f ( x) = ⎨ 2 ⎪3 x , ⎩
⎧2 x ⇒ f ′( x ) = ⎨ ⎩6 x ,
x < 0, 0≤ x
x < 0, 且 f ′( 0 ) = 0 0 < x,
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(3) 导数的四则运算
1 解（a） (1) ∵ f ( x) = [ln sin x − ln( x + 1) − ln( x − 1)] 3
1 cos x 1 1 ∴ f ′( x) = [ − − ] 3 sin x x + 1 x − 1
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解（b）
f ′(a) = lim
x →a
f ( x) − f (a ) x−a
f (a + ∆x) − f (a) f ′(a) = lim ∆x →0 ∆x
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处可导, 试用导数
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⎡ xf ( x0 ) − x0 f ( x0 ) f ( x) − f ( x0 ) ⎤ − x0 解（4）原式 = lim ⎢ ⎥ x → x0 x − x0 x − x0 ⎣ ⎦
µ >1
x ≠ 0, x = 0,
类似于(a )可解得
当 µ > 2时， f ′( x )在 x = 0时连续
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处可导, 试用导数
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练习2 设函数 （2）
(2)用导数定义求导
f ( x) = 2 x 2 + x x
f ( x ) 在点0处连续? 显然连续
问下列结论成立?
（a）
f (a + ∆x) − f (a) f ′(a) = lim ∆x →0 ∆x
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处可导, 试用导数
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⎡ ⎛ ⎤ 1⎞ （3） lim n ⎢ f ⎜ x0 + ⎟ − f ( x0 )⎥ n →∞ n⎠ ⎣ ⎝ ⎦
1⎞ ⎛ f ⎜ x0 + ⎟ − f ( x0 ) n⎠ ⎝ = lim = f ′( x0 ) n →∞ 1 n
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导数与微分习题课
处可导, 试用导数
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解 （c）
(2)用导数定义求导
当 x ≠ 0时，
1 − x µ − 2 cos 1 ′( x ) = µ x µ −1 sin f x x
当 x = 0时，f ′( 0 ) = 0
µ >1
1 1 ⎧ µ −1 µ −2 ⎪µx sin − x cos , ⇒ f ′( x) = ⎨ x x ⎪0, ⎩
f (x ) 在 x 0 处可导, 试用导数 f ′( x 0 ) 表示下列极限：
f ( x0 + 3h) − f ( x0 ) （1）lim h →0 h
解 解 解
f ( x0 + 3h) − f ( x0 − 2h) （2） lim h →0 h ⎡ ⎛ ⎤ 1⎞ （3） lim n ⎢ f ⎜ x0 + ⎟ − f ( x0 )⎥ n →∞ n⎠ ⎣ ⎝ ⎦
f ( x) − f (2005) lim 证法 2 f ′(2005) = x→2005 x − 2005
f ( x) ( x − 2005)φ ( x) = lim = lim = lim φ ( x) x → 2005 x − 2005 x → 2004 x → 2005 x − 2005
lim ∵ φ ( x)在x = 2005处连续。 ∴ x →2005 φ ( x) = φ (2005) ∴ f ′(2005) = lim φ ( x) = φ (2005)
t
x f ( x) = 2 1− x
f ′(sin t )
解
解
（d） 设f 、g可导且f >0 证明：
[ f ( x)
g ( x)
]′ = f ( x)
g ( x)
f ′( x) g ( x) + g ′( x) ln f ( x)] [ f ( x)
解
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解（a）
1 − x 2 − x(−2 x) 1+ x2 , f ′( x) = = 2 2 2 2 (1 − x ) (1 − x )
f ( x ) 在点0处连续, 但不可导. 解 （c） f ′( x ) 在点0处连续.
解
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处可导, 试用导数
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解 （a）
1 x sin f ( x ) − f ( 0) x f ′(0) = lim = lim x →0 x →0 x x
µ
(2)用导数定义求导
= lim x
⎛ 3[ f ( x0 + 3h) − f ( x0 )] 2[ f ( x0 − 2h) − f ( x0 )] ⎞ = lim⎜ + ⎟ h →0 3h − 2h ⎝ ⎠
= 3 f ′( x0 )+ 2 f ′( x0 ) = 5 f ′( x0 )
f ( x) − f (a) f ′(a) = lim x→a x−a
⇒ f ′( x) ≡ (1)′ = 0
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处可导, 试用导数
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练习4 求下列 函数的导数: （a）设
(4)复合函数求导 求
⎛1⎞ 2 求 g ′⎜ ⎟ , g ′( x ) （b）设 g (t ) = a log a t , a > 0, a ≠ 1, ⎝a⎠ 2 2 解 （c）设f可导, 求 y = sin f ( x) + f (cos x) 的导数.
x → 2005
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下一页Βιβλιοθήκη 练习3 求下列 函数的导数:
(3) 导数的四则运算
(a)
sin x 解 f ( x) = ln 3 2 ; x −1
(b)
sin 2 x cos 2 x f ( x) = + + sin x cos x; 1 + cot x 1 + tan x
解
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2 2
x = sin t
1 + sin t 1 + sin t ⇒ f ′(sin t ) = = 2 2 4 [1 − sin t ] cos t
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解（b）
1 ∵ g ′(t ) = a ln a log a t + a log a e t 1 1 1 ⎛1⎞ a ∴ g ′⎜ ⎟ = a ln a log a + a a ⋅ a ⋅ log a e a ⎝a⎠
xf ( x0 ) − x0 f ( x) （4） lim x → x0 x − x0
解
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3[ f ( x0 + 3h) − f ( x0 )] = 3 f ′( x ). 解（1）原式 = lim 0 h →0 3h
(2) 原式
分项
( f ( x0 + 3h) − f ( x0 )) − [ f ( x0 − 2h) − f ( x0 )] == lim h →0 h
′(cos2 x)(−2 cos x sin x) +f
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证（d）
[ f ( x)
.
g ( x)
]′ = [e
g ( x ) ln f ( x )
f ′( x) + g ′( x) ln f ( x)] =e [ g ( x) f ( x) f ′( x) g ( x) = f ( x) [ g ( x) + g ′( x) ln f ( x)] f ( x)
（b） f （c）
(x )
在点0处可导?
解 解
f ′′( 0 ) ∃ ?
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