_实验1分治法

实验一分治法
一、实验目的
1．理解分治法的方法；
2. 掌握使用分治法解决一般问题的步骤；
3. 掌握分治算法求解数组的最大值和最小值的方法。

二、实验原理
在一个给定数组中查找最大值和最小值是一类常见的问题，也是解决其他一些算法的基础。

假设给定数组为a，数组中含有n个元素，一般的算法是在数组中进行直接查找，算法伪代码如下：
1. x←a[0]; y←a[0]
2. for i←2 to n
3. if a[i]<x then x←a[i]
4. if a[i]>y then y←a[i]
5. end for
6. return (x,y)
上述代码在第3行和第4行涉及到元素的比较，每次循环进行2次比较，而循环的次数在算法第2行给出，为(n-2)+1=n-1次，因此，算法元素比较总次数为2(n-1)次。

现在采用分治的思想，假设数组的长度为2的整数幂，将数组分割成两半，分别为a[0…(n/2)-1]和a[n/2…n-1]，在每一半中分别查找最大值和最小值，并返回这两个最小值中的最小值以及两个最大值中的最大值。

假设给定数组为a，数组的下标上界和下界分别为low和high，则其算法伪代码如下：
minmax(a,low,high)
1. if high-low=1 then
2. if a[low]<a[high] then return (a[low],a[high])
3. else return (a[high],a[low])
4. end if
5. else
6. mid←|_(low+high)/2_|
7. (x1,y1)←minmax(a,low,mid)
8. (x2,y2)←minmax(a,mid+1,high)
9. x←min{x1,x2}
10. y←max{y1,y2}
11. return (x,y)
12.end if
代码第1行high-low=1表示数组长度为1，此时执行第2行~第4行代码直接比较数组的两个元素，选出最大值和最小值，此为函数的递归终止条件；代码第7行和第8行是两个递归调用，分别在数组的下标范围[low,mid]和
[mid+1,high]查找最小值和最大值，第9行比较两个最大值取其中较大者，第10行比较两个最小值取较大者。

代码的第2、9和10行涉及到元素的比较，第7、8行由于递归也产生元素比较，因此令算法总的元素比较次数为C(n)，则有
⎩
⎨⎧>+==22)2/(221)(n n C n n C 若若 对递推式进行求解
2
2/3 2
2)2/( 2)2(2 2
2...22)2/(2 ...
2
48)8/(824)2)8/(2(4 2
4)4/(42)2)4/(2(22)2/(2)(1
1122111-=-+=+=+++++==+++=+++=++=++=+=∑-=-----n n C n C n C n C n C n C n C n C k k j j
k k k k k 得到minmax 算法的元素比较总次数为3n/2-2，优于直接比较的性能。

三、实验内容及要求
1. 编写程序使用分治算法MINMAX 求解数组的最小值和最大值，并用实际数组对算法进行测试。

2. 要求算法中元素比较的次数为3n/2-2，在程序中元素比较的地方进行记录，并在程序末尾输出数组最大值和最小值以及元素比较次数。

四、实验步骤
1. 定义结构体类型或类，用以在函数的返回值同时返回数组的最大值和最小值。

结构体定义可以参考：
struct T {
int max,min;
};
类的定义可以参考：
class T {
private :
int max,min;
public :
int getMax() {…}
int getMin() {…}
void setMax(int max) {…}
void setMin(int min) {…}
}
2. 编写函数MINMAX 求解数组最大值和最小值，函数头为：
T MINMAX(int a[],int low,int high)
a 为数组名，low 和high 分别为数组的下标上界和下界。

3.
在main 函数中使用给定数组{21,25,49,16,25,6,78,1}测试
MINMAX 函数并输出元素比较次数，效果如下图所示。

五、思考和作业
1. 试修改程序MINMAX ，使得当数组长度n 不是2的整数幂也能运行，并分析修改后算法的元素比较次数。

2. 使用分治算法解决最大子数组和问题，问题描述如下：
给定一个整数序列S ，找出S 中的连续子序列，使得该子序列和最大，要求算法时间复杂性为Θ(nlogn)。

例如：-2, 11, -4, 13, -5, -2; 结果为20: (11, -4, 13)。

提示：
假定要寻找子数组S[low …high]的最大子数组，使用分治法将数组分解成两个尽可能想相等的子数组，找到子数组中点mid ，则S[low …high]中任何连续数组S[i …j]必然是一下三种情况之一：
● 完全位于S[low…mid]中，low≤i≤j≤mid
● 完全位于S[mid+1…high]中，mid<i≤j≤high
● 跨越中点mid ，low≤i≤mid<j≤high
因此，S[low …high]的一个最大子数组所处的位置必然是三种情况之一。

可以通过递归方法求解A[low …mid]和A[mid+1…high]的最大子数组，则剩下的问题就是求解跨越中点的最大子数组，然后在三种情况下选择最大者。

Part 1
Part 2 the sub with largest sum may be in: Part 1
Part 2 or: Part 1 Part 2
recursion
The largest is
the result。