计量经济学 第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型
计量经济学 第三章
3-2．答：变量非线性、系数线性；变量、系数均线性；变量、系数均 线性；变量线性、系数非线性；变量、系数均为非线性；变量、系数均 为非线性；变量、系数均为线性。 3-3．答：多元线性回归模型与一元线性回归模型的区别表现在如下几 方面：一是解释变量的个数不同；二是模型的经典假设不同，多元线性 回归模型比一元线性回归模型多了“解释变量之间不存在线性相关关
方和较大，但相对来说其AIC值最低，所以我们选择该模型为最优的模
型。
（4）随着收入的增加，我们预期住房需要会随之增加。所以可以预
期β3>0，事实上其估计值确是大于零的。同样地，随着人口的增加，
住房需求也会随之增加，所以我们预期β4>0，事实其估计值也是如
此。随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即我们预
其中：——某天慢跑者的人数 ——该天降雨的英寸数 ——该天日照的小时数 ——该天的最高温度（按华氏温度） ——第二天需交学期论文的班级数Байду номын сангаас
请回答下列问题：（1）这两个方程你认为哪个更合理些，为什么？ （2）为什么用相同的数据去估计相同变量的系数得
到不同的符号？ 3-18．对下列模型： （1）
（2） 求出β的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的最小二 乘估计值作比较：
（1） 检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括 号中的值为双边备择p-值）。根据检验结果，你认为应该把 变量保留在模型中还是去掉？
（2） 在模型A中，在10%水平下检验联合假设H0：i =0(i=1,5,6,7)。说明被择假设，计算检验统计值，说明其 在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。说明你 的结论。
（3） ，你认为哪一个估计值更好？ 3-19．假定以校园内食堂每天卖出的盒饭数量作为被解释变量，盒饭 价格、气温、附近餐厅的盒饭价格、学校当日的学生数量（单位：千 人）作为解释变量，进行回归分析；假设不管是否有假期，食堂都营 业。不幸的是，食堂内的计算机被一次病毒侵犯，所有的存储丢失，无 法恢复，你不能说出独立变量分别代表着哪一项！下面是回归结果（括 号内为标准差）：
多元线性回归模型
本节重点内容
1.多元线性回归模型一般形式 2.偏回归系数的含义 3.多元线性回归模型的基本假设（与一元
相比,多元的基本假设的不同点）
多元线性回归模型的一般形式
• P72例3.2.2：考虑2006年中国内地城镇居民家 庭全年人均消费支出与人均可支配收入及其上 一年人均消费支出的关系
总体回归模型——一般采用的形式
• 总体回归模型：总体回归函数的随机表达形式
Y 0 1X1 2 X2 k X k
该模型表示Y可表现为对总体均值的波动。源自样本回归函数与样本回归模型
• 从一次抽样中获得的总体回归函数的近似，称为样 本回归函数（sample regression function）。
3. 理解以一元为基础，注意多元中出现的新概 念及其与一元的不同点。
本章内容
• 多元线性回归模型概述 • 多元线性回归模型的参数估计 • 多元线性回归模型的统计检验 • 多元线性回归模型的预测 • 可化为线性的非线性模型 • 受约束回归 • 注：本章矩阵表述部分不涉及
§3.1 多元线性回归模型概述 (Regression Analysis)
• 样本回归函数：
Yˆ ˆ0 ˆ1X1 ˆ2 X2
• 样本回归模型： Y ˆ0 ˆ1X1 ˆ2X2 e
总体回归函数
• 总体回归函数：描述在给定解释变量X条件下 被解释变量Y的条件均值。
E(Y | X1, X 2, X k ) 0 1X1 2 X 2 k X k
k为解释变量的数目（采用此说法）。 习惯上，把常数项看成为虚变量的系数，该虚 变量的样本观测值始终取1。 于是，模型中解释变量的数目为（k+1）。
• 多元模型（二元） • PRF-某类家庭人均消费支出与两个相关因素之
计量经济学期末考试重点整理
第一章绪论1、什么是计量经济学？由哪三组组成？答：计量经济学是经济学的一个分支学科，是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的分支学科。
统计学、经济理论和数学三者结合起来便构成了计量经济学。
2、计量经济学的内容体系，重点是理论计量和应用计量和经典计量经济学理论方法方面的特征答：1）广义计量经济学和狭义计量经济学 2）初、中、高级计量经济学3）理论计量经济学和应用计量经济理论计量经济学是以介绍、研究计量经济学的理论与方法为主要内容，侧重于理论与方法的数学证明与推导，与数理统计联系极为密切。
除了介绍计量经济模型的数学理论基础、普遍应用的计量经济模型的参数估计方法与检验方法外，还研究特殊模型的估计方法与检验方法，应用了广泛的数学知识。
应用计量经济学则以建立与应用计量经济学模型为主要内容，强调应用模型的经济学和经济统计学基础，侧重于建立与应用模型过程中实际问题的处理。
本课程是二者的结合。
4）、经典计量经济学和非经典计量经济学经典计量经济学（Classical Econometrics）一般指20世纪70年代以前发展并广泛应用的计量经济学。
经典计量经济学在理论方法方面特征是：⑴模型类型—随机模型；⑵模型导向—理论导向；⑶模型结构—线性或者可以化为线性，因果分析，解释变量具有同等地位，模型具有明确的形式和参数；⑷数据类型—以时间序列数据或者截面数据为样本，被解释变量为服从正态分布的连续随机变量；⑸估计方法—仅利用样本信息，采用最小二乘方法或者最大似然方法估计模型。
经典计量经济学在应用方面的特征是：⑴应用模型方法论基础—实证分析、经验分析、归纳；⑵应用模型的功能—结构分析、政策评价、经济预测、理论检验与发展；⑶应用模型的领域—传统的应用领域，例如生产、需求、消费、投资、货币需求，以及宏观经济等。
5）、微观计量经济学和宏观计量经济学3、为什么说计量经济学是经济学的一个分支？（4点和综述）答：（1）、从计量经济学的定义看（2）、从计量经济学在西方国家经济学科中的地位看（3）、从计量经济学与数理统计学的区别看（4）、从建立与应用计量经济学模型的全过程看综上所述，计量经济学是一门经济学科，而不是应用数学或其他。
第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)
Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数 总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下： 价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将 的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
28
cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章 多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节 多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动 可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线 性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt
《计量经济学》期末考试复习资料
《计量经济学》期末考试复习资料第一章绪论参考重点：计量经济学的一般建模过程第一章课后题(1.4。
6)1。
什么是计量经济学?计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别？答:计量经济学是经济学的一个分支学科，是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的分支学科，是由经济学、统计学和数学三者结合而成的交叉学科。
计量经济学方法揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，用随机性的数学方程加以描述；一般经济数学方法揭示经济活动中各个因素之间的理论关系，用确定性的数学方程加以描述。
4。
建立与应用计量经济学模型的主要步骤有哪些?答：建立与应用计量经济学模型的主要步骤如下:(1)设定理论模型，包括选择模型所包含的变量,确定变量之间的数学关系和拟定模型中待估参数的数值范围；（2）收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、准确性、可比性和-致性;（3）估计模型参数;（4)检验模型,包括经济意义检验、统计检验、计量经济学检验和模型预测检验。
6。
模型的检验包括几个方面？其具体含义是什么?答：模型的检验主要包括：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型的预测检验.在经济意义检验中,需要检验模型是否符合经济意义,检验求得的参数估计值的符号与大小是否与根据人们的经验和经济理论所拟订的期望值相符合；在统计检验中，需要检验模型参数估计值的可靠性,即检验模型的统计学性质；在计量经济学检验中，需要检验模型的计量经济学性质，包括随机扰动项的序列相关检验、异方差性检验、解释变量的多重共线性检验等；模型的预测检验主要检验模型参数估计量的稳定性以及对样本容量变化时的灵敏度,以确定所建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围.第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型参考重点：1。
相关分析与回归分析的概念、联系以及区别？2。
总体随机项与样本随机项的区别与联系?3.为什么需要进行拟合优度检验？4．如何缩小置信区间?(P46)由上式可以看出(1）.增大样本容量。
第3章 多元线性回归模型10301(计量经济学)PPT课件
第四节 多元线性回归模型检验
一、常用的检验方法
1. R（复相关系数）检验法
TSS (Yi Y)2 (Y (i Y ˆi)(Y ˆi Y))2 (Yi Y ˆi)22(Yi Y ˆi)Y (ˆi Y)(Y ˆi Y)2
5
总体回归模型n个随机方程的矩阵表达式为
Y 1 1 2 X 2 1 3 X 3 1 . .k . X k 1 u 1 Y 2 1 2 X 2 2 3 X 3 2 . .k . X k 2 u 2 . . . . . . . Y n 1 2 X 2 n 3 X 3 n . .k . X k n u n
一、多元线性回归模型的定义
设所研究的对象（因变量Y）受多个因素X1,X2,…,Xk和随机 干扰项u的影响，假设各因素与Y的关系是线性的，这样就 可把一元线性回归模型自然推广到多元的情形。
Y i X 1 i1 2 X 2 i 3 X 3 i . .k . X k i u i (i1,,n)
ei
ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数
中随机扰动项i的近似替代。
样本回归函数的矩阵表达:
Yˆ XBˆ
或
Y XBˆ E
其中：
ˆ 1
ˆ
Bˆ
2
e1
E
e2
ˆ
en
k
8
二、多元线性回归模型的基本假设条件
⑴Y与X之间的关系是线性的； ⑵所有观测值的随机干扰向量期望值为0：E（u）＝0 ⑶所有观测值的随机干扰项具有同方差：D (u)= E (uuT)=σu2I u ； ⑷不同观测值的随机干扰项之间相互独立： Cov(ui, uj) ＝0 (i≠j)； ⑸随机干扰项ui与解释变量xk不相关：Cov(ui, xj) = 0 (j=1,2,.....k)； ⑹ X不是随机变量，为确定矩阵，且在两个或多个自变量之间没有
计量经济学：一元线性回归模型和多元线性回顾模型习题以及解析
第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型一、内容提要本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。
首先，本章从总体回归模型与总体回归函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开始，建立了回归分析的基本思想。
总体回归函数是对总体变量间关系的定量表述，由总体回归模型在若干基本假设下得到，但它只是建立在理论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数，并用它对总体回归函数做出统计推断。
本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）的学习与掌握。
同时，也介绍了极大似然估计法（ML）以及矩估计法（MM）。
本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统计推断，即进行所谓的统计检验。
统计检验包括两个方面，一是先检验样本回归函数与样本点的“拟合优度”，第二是检验样本回归函数与总体回归函数的“接近”程度。
后者又包括两个层次：第一，检验解释变量对被解释变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的t检验完成；第二，检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，通过参数估计值的“区间检验”完成。
本章还有三方面的内容不容忽视。
其一，若干基本假设。
样本回归函数参数的估计以及对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计推断都是建立在这些基本假设之上的。
其二，参数估计量统计性质的分析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性与一致性构成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则。
Goss-markov定理表明OLS估计量是最佳线性无偏估计量。
其三，运用样本回归函数进行预测，包括被解释变量条件均值与个值的预测，以及预测置信区间的计算及其变化特征。
二、典型例题分析例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。
生育率对教育年数的简单回归模型为β+μβkids=educ+1（1）随机扰动项μ包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。
3多元线性回归模型计量经济学
XXβˆ Xe XXβˆ
于是 Xe 0 (*)
或 ei 0 (**)
X jiei 0
i
(*)或（**）是多元线性回归模型正规方程组
的另一种写法。
⃟样本回归函数的离差形式
yi ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆk xki ei
其矩阵形式为： y xβˆ e
i=1,2…n
ˆ1
Q
0
ˆ
2
Q
0
ˆ k
Q
0
n
n
其
Q ei2 (Yi Yˆi )2
i 1
i 1
中n
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
i1
• 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
((ˆˆ00(ˆ0ˆˆ11XX1ˆ1i1i X1ˆiˆ22i XXˆ222ii
(XX)βˆ XY
由假设1，X’X满秩，故有 βˆ (XX)1 XY
• 将上述过程用矩阵表示如下：
即求解方程组： βˆ (Y Xβˆ )(Y Xβˆ ) 0
βˆ (YY βˆ XY YXβˆ βˆ XXβˆ ) 0 βˆ (YY 2YXβˆ βˆ XXβˆ ) 0
XY XXβˆ 0
其中 ：
y1
y
y2 yn
x11 x21
x
x12 x1n
x22 x2n
xk1
xk2
xkn
ˆ1
βˆ
ˆ2
ˆ
k
在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为
βˆ (xx)1 xy
ˆ0 Y ˆ1 X1 ˆk X k
⃟随机误差项的方差的无偏估计
可以证明，随机误差项的方差的无偏估
5、计量经济学【多元线性回归模型】
二、多元线性回归模型的参数估计
2、最小二乘估计量的性质 当 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 为表达式形式时，为随机变量， 这时最小二乘估计量 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 经过证明同样也 具有线性性、无偏性和最小方差性（有效性）。 也就是说，在模型满足那几条基本假定的前提 下，OLS估计量具有线性性、无偏性和最小方差性 （有效性）这样优良的性质， 即最小二乘估计量
用残差平方和 ei2 最小的准则： i
二、多元线性回归模型的参数估计
1、参数的普通最小二乘估计法（OLS） 即：
min ei2 min (Yi Yˆi )2 min Yi (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki )2
同样的道理，根据微积分知识，要使上式最小，只 需求上式分别对 ˆj ( j 0,1, k) 的一阶偏导数，并令 一阶偏导数为 0，就可得到一个包含 k 1 个方程的正 规方程组，这个正规方程组中有 k 1个未知参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk ；解这个正规方程组即可得到这 k 1 个参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 的表达式，即得到了参数的最小 二乘估计量；将样本数据代入到这些表达式中，即可 计算出参数的最小二乘估计值。
该样本回归模型与总体回归模型相对应，其中残差 ei Yi Yˆi 可看成是总体回归模型中随机误差项 i 的 估计值。
2、多元线性回归模型的几种形式： 上述几种形式的矩阵表达式： 将多元线性总体回归模型 (3.1) 式表示的 n 个随机方 程写成方程组的形式，有：
Y1 0 1 X11 2 X 21 .Y.2.........0.......1.X...1.2........2.X...2.2. Yn 0 1 X1n 2 X 2n
ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 是总体参数真值的最佳线性无偏估计 量（ BLUE ）；即高斯—马尔可夫定理 (GaussMarkov theorem)。
计量经济学 第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型
第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型一、内容提要本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。
主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。
只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。
本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。
与一元回归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并讨论了F检验与拟合优度检验的内在联系。
本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。
这里需要注意各回归参数的具体经济含义。
本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。
参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。
检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。
参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。
它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然原χ分布为检验统计量理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的2的分布特征。
非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。
二、典型例题分析例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为36.0.+=-10+094medufedu.0sibsedu210131.0R2=0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。
李子奈《计量经济学》(第4版)配套题库-经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型章节题库(圣才出品
第3章经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型一、选择题1．一元回归方程∧Y i＝32.03＋0.22X i，其斜率系数对应的t统计量为2.00，样本容量为20，则在5%显著性水平下，对应的临界值及显著性为（）。
A．临界值为1.734，系数显著不为零B．临界值为2.101，系数显著不为零C．临界值为1.734，系数显著为零D．临界值为2.101，系数显著为零【答案】B【解析】在变量显著性检验中，针对变量βj设计的原假设与备择假设为H0：βj＝0，H1：βj≠0。
给定一个显著性水平α，得到临界值tα/2（n－k－1），于是可根据|t|＞tα/2（n－k－1）（或|t|≤tα/2（n－k－1））来决定拒绝（或接受）原假设H0，从而判定对应的解释变量是否显著为零。
由已知条件可知tα/2（n－k－1）＝t0.025（18）＝2.101＞2.00，故拒绝原假设，系数显著不为零。
2．接上题，该方程对应的方程显著性检验的F统计量为（）。
A．1.85B．4.00C．11.83D．61.92【答案】B【解析】在一元线性回归中，方程总体线性显著性检验的F 统计量与用于斜率参数β1的显著性检验的t 统计量的关系是：F＝t 2，故F＝2.002＝4.00。
二、判断题1．回归平方和是指被解释变量的总体平方和与残差平方和之差。
（）【答案】√2．在满足基本假定的条件下，利用最小二乘法对多元线性回归模型的估计量不具有无偏性。
（）【答案】×【解析】当多元线性回归模型满足基本假设的情况时，其参数的普通最小二乘估计、最大似然估计及矩估计具有线性性、无偏性和有效性。
同时，随着样本容量增加，即当n→∞时，参数估计量具有渐进无偏性、一致性及渐进有效性。
三、证明题1．在经典假定成立条件下，以解释变量样本值为条件，对所有的j＝1，2，…，k，都有：Var（∧βj ）＝σ2/[TSS j （1－R j 2）]式中，()21nj ij j i TSS X X ==-∑为X j 的总样本变异（总离差平方和）；R j 2将X j 对所有其他自变量（并包括一个截距项）进行回归所得到的样本可决系数R 2。
计量经济学 詹姆斯斯托克 第3章 多元线性回归模型
i 2 i
10 21500 21500 53650000
1 X Y X1
1 X2
Y1 1 Y2 Yi 15674 X n X iYi 39468400 Yn
i i
638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530
ˆ 1
x y x
2 i
5769300 0.777 7425000
ˆ Y ˆ X 1567 0.777 2150 103 .172 0 0
因此，由该样本估计的回归方程（样本回归函数） 为：
i 1
n
2
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ))2 Q (Yi ( 0 1 1i 2 2i k ki
i 1
n
于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) Y ( 0 1 1i 2 2i k ki i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X Y X ( 0 1 1i 2 2i k ki 1i i 1i ˆ ˆ X ˆ X ˆ X ) X Y X ( 0 1 1i 2i 2i k ki 2i i 2i ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki ) X ki Yi X ki
习惯上：把常数项看成为一个虚变量的系 数，该虚变量的样本观测值始终取1。这样： 模型中解释变量的数目为（k +1）。
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
也被称为 总体回归函数 的 随机表达形式 。它的 非随机表达式为:
计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验
这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少 AIC值或AC值时才在原模型中增加该解释变量。
举例说明：拟合优度、修正拟合优度、与 增加解释变量之间的关系。
在第二章第四节讲义中，我们考察中国居民收入
与消费支出的关系，建立了以人均国内生产总值 为解释变量X，以人均消费支出为被解释变量Y的 一元线性回归模型。 数据采用1978～2000年23年的人均国内生产总值 X和人均消费支出Y的时间序列数据，且都转换成 1990年的不变价，且剔除了物价上涨因素的影响。
ˆ b ˆ X b ˆY ˆ b Y t 0 1 t 2 t 1 ˆ b ˆ X b ˆ Y b ˆY ˆ b Y
t 0 1 t 2 t 1
3 t 2
其中t为当前期变量，t-k称为k期滞后变量。
1) 使用软件估计模型
将之前已经建立的Workfile文件打开 点击菜单中的“Quick”→“Estimate Equations”
3 4 5 6 7 8 9 10
3 4 5 6 7 8 9
3 4 5 6 7 8
2) 模型的估计表达式
ˆ 201.1189 0.3862 X Y
ˆ 120.7253 0.2214 X 0.4514Y Y t t t 1
ˆ 138.943 0.243X 0.630Y 0.261Y Y t t t 1 t 2
2
2
2
*赤池信息准则和施瓦茨准则
• 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的 拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） e e 2( k 1) AIC ln n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
计量经济学多元线性回归模型及参数估计
-973 1314090 1822500 947508
-929 975870 1102500 863784
-445 334050 562500 198381
-412 185580 202500 170074
-159 23910 22500 25408
28 4140 22500
762
402 180720 202500 161283
2.多元线性回归模型的基本假定（矩阵形式）
V
ar
Cov( N
)
E
N
E(N
)N
E(
N
)
E(
NN
)
1
E
n2 1
2
12
n
E
2 1
n1
12 22
n2
1n
2n
n2
2
0
0
0
2
0
2
I
0
0
2
2.多元线性回归模型的基本假定（矩阵形式）
E(X
N )
E
1 X 11
ei 0 X i1ei 0 X i2ei 0
X ik ei 0
(*) (*)或（**）是多 元线性回归模型正
(**) 规方程组的另一种 写法。
离差形式的样本回归方程
由于
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi1 ˆ2 Xi2 ˆk Xik
[Yi (ˆ0 ˆ1Xi1 ˆ2 Xi2 ˆk Xik )] 0
????eemm??所以有???eem??mnnee???ee?????????????????????????????????????????????nnnnnnnnmmmmmmmmme??????????????2121222211121121????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnmmmmmmmmme?????????????????21221122221121221111因为xxxxim?????1为对称等幂矩阵即mm??mmmm???2????????nnnnnnnnnnmmmmmmmmme?????????????????????????????22112222211211221111??nnnnnmmmememem??????????22112222222111?????1212122??????????????kntrtrtrmtr????????xxxxixxxxi其中符号tr表示矩阵的迹其定义为矩阵主对角线元素的和
第三章 多元回归模型
r0i,12i1i1k
r r r 0i,12i1i1k 1 0k ,12k 1 ik ,12i1i1k 1
1 r02k,12k1
1
r2
ik ,12i1i1k
1
问题：在多元回归中 r12(i1)(i1)k ,0 是越大越好，
还是越小越好？
17
模型显著性检验（F检验）: F统计量
核心思想：残差平方和最小准则
min ei2 min yi yˆi 2
min yi ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki 2
求解原理
ei2
ˆ j
0
结论
j 0,1,2,, k
ˆ X ' X 1 X 'Y
8
例子
经过研究，发现家庭书刊消费水平受家庭 收入及户主教育年数的影响。现对某地区 的家庭进行抽样调查，得到的样本数据如 表所示，其中 y 表示家庭书刊消费水平
其中，n k 1为 ei2 的自由度，n 1 为 yi y2
的自由度
引入修正的样本决定系数R 2的作用：
用自由度调整后，可以消除拟合优度评价中解释变量多 少对决定系数计算的影响
对于包含的解释变量个数不同的模型，可以用调整后的 决定系数直接比较它们的拟合优度的高低，但不能用原 来未调整的决定系数来比较
零阶偏相关系数、一阶偏相关系数、k 1 阶偏相关系数
r01 为零阶偏相关系数、 r02,1 称为一阶偏相关系数、 r01,23 称
为二阶偏相关系数、r01,234 称为三阶偏相关系数，依此类推
16
偏相关系数：一般公式
一般地，在研究多个变量的偏相关系数时，因变量 y
与解释变量 xi i 1,2,, k 的k 1 阶偏相关系数时，
(NEW)李子奈《计量经济学》(第3版)课后习题详解
目 录第1章 绪 论第2章 经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型第3章 经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型第4章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型第5章 经典单方程计量经济学模型：专门问题第6章 联立方程计量经济学模型：理论与方法第7章 扩展的单方程计量经济学模型第8章 时间序列计量经济学模型第9章 计量经济学应用模型第1章 绪 论1什么是计量经济学？计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别？答：（1）计量经济学是经济学的一个分支学科，以揭示经济活动中客观存在的数量关系为主要内容，是由经济理论、统计学和数学三者结合而成的交叉学科。
（2）计量经济学方法通过建立随机的数学方程来描述经济活动，并通过对模型中参数的估计来揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，是对经济理论赋予经验内容；而一般经济数学方法是以确定性的数学方程来描述经济活动，揭示的是经济活动中各个因素之间的理论关系。
2计量经济学的研究对象和内容是什么？计量经济学模型研究的经济关系有哪两个基本特征？答：（1）计量经济学的研究对象是经济现象，主要研究的是经济现象中的具体数量规律，即是利用数学方法，依据统计方法所收集和整理到的经济数据，对反映经济现象本质的经济数量关系进行研究。
（2）计量经济学的内容大致包括两个方面：一是方法论，即计量经济学方法或理论计量经济学；二是应用计量经济学。
任何一项计量经济学研究和任何一个计量经济学模型赖以成功的三要素是理论、方法和数据。
（3）计量经济学模型研究的经济关系的两个基本特征是随机关系和因果关系。
3为什么说计量经济学在当代经济学科中占据重要地位？当代计量经济学发展的基本特征与动向是什么？答：（1）计量经济学自20世纪20年代末30年代初形成以来，无论在技术方法还是在应用方面发展都十分迅速，尤其是经过20世纪50年代的发展阶段和60年代的扩张阶段，使其在经济学科占据重要的地位，主要表现在：①在西方大多数大学和学院中，计量经济学的讲授已成为经济学课程表中最具有权威的一部分；②从1969～2003年诺贝尔经济学奖的53位获奖者中有10位是与研究和应用计量经济学有关；③计量经济学方法与其他经济数学方法结合应用得到了长足的发展。
【计量经济学】3 多元回归模型
是否满足需要检验。
• 序列不相关假设。The correlation between any two μi and μj is zero.
Cov(i, j Xi , X j ) 0, i, j 1,2, , n, i j
是否满足需要检验。
4、随机项的正态性假设
i ~ N (0, 2 ) i ~ NID(0, 2 )
5、CLRM 和 CNLRM
• 以上假设（正态性假设除外）也称为线性回归 模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该 假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模 型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。
• 在采用OLS进行参数估计时，不需要正态性假设。 在利用参数估计量进行统计推断时，需要假设 随机项的概率分布。 • 一般假设随机项服从正态分布。可以利用中心 极限定理（central limit theorem, CLT）进行证明。 • 正态性假设。The μ’s follow the normal distribution.
第三章 经典单方程计量经济学模型：多 元线性回归模型 Multiple Linear Regression Model
说明
• 考虑到一些学校将一元回归模型作为自学内容， 直接从多元回归模型开始讲授，所以本章课件 有一部分内容与第2章重复。（主要出现在基本 假设和估计方法部分）
• 如果从一元回归模型开始讲授，可以将本章课 件的重复内容略去。
• 同时满足正态性假设的线性回归模型，称为经 典正态线性回归模型（Classical Normal Linear Regression Model, CNLRM）。
计量经济学第三章
多元线性回归模型及其古典假设 参数估计 最小二乘估计量的统计特性 统计显著性检验 解释变量的选择 中心化和标准化回归方程 利用多元线性回归方程进行预测
山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室
第一节 多元线性回归模型 及其古典假设
一、多元线性回归模型的一般形式 二、多元线性回归模型的基本假定
山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室
一、多元线性回归模型的一般形式
如果被解释变量（因变量）y与k个解释变量（ 自变量）x1, x2, … , xk 之间有线性相关关系，那么 他们之间的多元线性总体回归模型可以表示为：
y 0 1x1 2 x2 k xk u
(3.1)
(
k
1)1
en
n1
对样本回归模型的系统分量的系数进行估计可得样本回归
方程：
yˆi ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki
yˆ i
其中， 是y的系统分量，即由自变量决定的理论值， ˆ0,ˆ1,ˆ2,,ˆk
分别是0 ,1 ,…,k的无偏估计量。
方程表示：各变量x值固定时y的平均响应。
j也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量
保持不变的情况下，xj每变化1个单位时，y的均 值E(y)的变化;
或者说j给出了xj的单位变化对y均值的“直
接”或“净”（不含其他变量）影响。
山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室
总体回归模型n个随机方程的为：
y1 0 1x11 2 x21 k xk1 u1 y2 01x12 2x22 kxk2 u2 yn 0 1x1n 2 x2n k xkn un
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计量经济学第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型一、内容提要本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。
主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。
只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。
本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。
与一元回归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并讨论了F检验与拟合优度检验的内在联系。
本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。
这里需要注意各回归参数的具体经济含义。
本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。
参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。
检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。
参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。
它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然原理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的2χ分布为检验统计量的分布特征。
非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。
二、典型例题分析例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为.10+36+=-.0.0medufedusibsedu210131.0094R2=0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。
问（1）sibs是否具有预期的影响？为什么？若medu与fedu保持不变，为了使预测的受教育水平减少一年，需要sibs增加多少？（2）请对medu的系数给予适当的解释。
（3）如果两个劳动力都没有兄弟姐妹，但其中一个的父母受教育的年数为12年，另一个的父母受教育的年数为16年，则两人受教育的年数预期相差多少？解答：（1）预期sibs对劳动者受教育的年数有影响。
因此在收入及支出预算约束一定的条件下，子女越多的家庭，每个孩子接受教育的时间会越短。
根据多元回归模型偏回归系数的含义，sibs 前的参数估计值-0.094表明，在其他条件不变的情况下，每增加1个兄弟姐妹，受教育年数会减少0.094年，因此，要减少1年受教育的时间，兄弟姐妹需增加1/0.094=10.6个。
（2）medu的系数表示当兄弟姐妹数与父亲受教育的年数保持不变时，母亲每增加1年受教育的机会，其子女作为劳动者就会预期增加0.131年的教育机会。
（3）首先计算两人受教育的年数分别为10.36+0.131⨯12+0.210⨯12=14.45210.36+0.131⨯16+0.210⨯16=15.816因此，两人的受教育年限的差别为15.816-14.452=1.364例2．以企业研发支出（R&D）占销售额的比重为被解释变量（Y），以企业销售额（X1）与利润占销售额的比重（X2）为解释变量，一个有32容量的样本企业的估计结果如下：099 .0)046.0()22.0()37.1(05.0)log(32.0472.022 1=++ =RX XY其中括号中为系数估计值的标准差。
（1）解释log(X1)的系数。
如果X1增加10%，估计Y会变化多少个百分点？这在经济上是一个很大的影响吗？（2）针对R&D强度随销售额的增加而提高这一备择假设，检验它不虽X1而变化的假设。
分别在5%和10%的显著性水平上进行这个检验。
（3）利润占销售额的比重X2对R&D 强度Y 是否在统计上有显著的影响？解答：（1）log(x1)的系数表明在其他条件不变时，log(x1)变化1个单位，Y 变化的单位数，即∆Y=0.32∆log(X1)≈0.32(∆X1/X1)=0.32⨯100%，换言之，当企业销售X1增长100%时，企业研发支出占销售额的比重Y 会增加0.32个百分点。
由此，如果X1增加10%，Y 会增加0.032个百分点。
这在经济上不是一个较大的影响。
（2）针对备择假设H1：01>β，检验原假设H0：01=β。
易知计算的t 统计量的值为t=0.32/0.22=1.468。
在5%的显著性水平下，自由度为32-3=29的t 分布的临界值为1.699（单侧），计算的t 值小于该临界值，所以不拒绝原假设。
意味着R&D 强度不随销售额的增加而变化。
在10%的显著性水平下，t 分布的临界值为1.311，计算的t 值小于该值，拒绝原假设，意味着R&D 强度随销售额的增加而增加。
（3）对X2，参数估计值的t 统计值为0.05/0.46=1.087，它比在10%的显著性水平下的临界值还小，因此可以认为它对Y 在统计上没有显著的影响。
例3．下表为有关经批准的私人住房单位及其决定因素的4个模型的估计量和相关统计值（括号内为p-值）（如果某项为空，则意味着模型中没有此变量）。
数据为美国40个城市的数据。
模型如下：μββββββββ++++++++=statetax localtax unemp popchangincome value density g hou 76543210sin式中housing ——实际颁发的建筑许可证数量，density ——每平方英里的人口密度，value ——自由房屋的均值（单位：百美元），income ——平均家庭的收入（单位：千美元），popchang ——1980~1992年的人口增长百分比，unemp ——失业率，localtax ——人均交纳的地方税，statetax ——人均缴纳的州税变量模型A 模型B 模型C 模型D C 813 -392 -1279 -973(0.74) (0.81) (0.34) (0.44)Density 0.075(0.43) 0.062(0.32)0.042(0.47)Value -0.855(0.13) -0.873(0.11)-0.994(0.06)-0.778(0.07)Income 110.41(0.14) 133.03(0.04)125.71(0.05)116.60(0.06)Popchan g 26.77(0.11)29.19(0.06)29.41(0.001)24.86(0.08)Unemp -76.55(0.48) Localtax -0.061(0.95)Statetax -1.006(0.40) -1.004 (0.37)RSS 4.763e+7 4.843e+74.962e+75.038e+7R20.349 0.338 0.322 0.3122ˆ 1.488e+6 1.424e+61.418e+61.399e+6AIC 1.776e+6 1.634e+61.593e+61.538e+6（1）检验模型A中的每一个回归系数在10%水平下是否为零（括号中的值为双边备择p-值）。
根据检验结果，你认为应该把变量保留在模型中还是去掉？（2）在模型A中，在10%水平下检验联合假设H0： i =0(i=1,5,6,7)。
说明被择假设，计算检验统计值，说明其在零假设条件下的分布，拒绝或接受零假设的标准。
说明你的结论。
（3）哪个模型是“最优的”？解释你的选择标准。
（4）说明最优模型中有哪些系数的符号是“错误的”。
说明你的预期符号并解释原因。
确认其是否为正确符号。
解答：（1）直接给出了P-值，所以没有必要计算t-统计值以及查t分布表。
根据题意，如果p-值<0.10,则我们拒绝参数为零的原假设。
由于表中所有参数的p-值都超过了10%，所以没有系数是显著不为零的。
但由此去掉所有解释变量，则会得到非常奇怪的结果。
其实正如我们所知道的，多元回去归中在省略变量时一定要谨慎，要有所选择。
本例中，value 、income 、popchang 的p-值仅比0.1稍大一点，在略掉unemp 、localtax 、statetax 的模型C 中，这些变量的系数都是显著的。
（2）针对联合假设H 0：βi =0(i=1,5,6,7)的备择假设为H1：βi =0(i=1,5,6,7) 中至少有一个不为零。
检验假设H0，实际上就是参数的约束性检验，非约束模型为模型A ，约束模型为模型D ，检验统计值为462.0)840/()7763.4()37/()7763.47038.5()1/()/()(=-+-+-+=----=e e e k n RSS k k RSS RSS F U U R U U R显然，在H0假设下，上述统计量满足F 分布，在10%的显著性水平下，自由度为（4，32）的F 分布的临界值位于2.09和2.14之间。
显然，计算的F 值小于临界值，我们不能拒绝H0，所以βi (i=1,5,6,7)是联合不显著的。
(3）模型D 中的3个解释变量全部通过显著性检验。
尽管R2与残差平方和较大，但相对来说其AIC 值最低，所以我们选择该模型为最优的模型。
（4）随着收入的增加，我们预期住房需要会随之增加。
所以可以预期β3>0，事实上其估计值确是大于零的。
同样地，随着人口的增加，住房需求也会随之增加，所以我们预期β4>0，事实其估计值也是如此。
随着房屋价格的上升，我们预期对住房的需求人数减少，即我们预期β3估计值的符号为负，回归结果与直觉相符。
出乎预料的是，地方税与州税为不显著的。
由于税收的增加将使可支配收入降低，所以我们预期住房的需求将下降。
虽然模型A 是这种情况，但它们的影响却非常微弱。
4、在经典线性模型基本假定下，对含有三个自变量的多元回归模型：μββββ++++=3322110X X X Y你想检验的虚拟假设是H0：1221=-ββ。
（1）用21ˆ,ˆββ的方差及其协方差求出)ˆ2ˆ(21ββ-Var 。
（2）写出检验H0：1221=-ββ的t 统计量。
（3）如果定义θββ=-212，写出一个涉及β0、θ、β2和β3的回归方程，以便能直接得到θ估计值θˆ及其标准误。
解答：（1）由数理统计学知识易知)ˆ(4)ˆ,ˆ(4)ˆ()ˆ2ˆ(221121ββββββVar Cov Var Var +-=-（2）由数理统计学知识易知)ˆ2ˆ(1ˆ2ˆ2121ββββ---=se t ，其中)ˆ2ˆ(21ββ-se 为)ˆ2ˆ(21ββ-的标准差。