厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查理科参考解答

在 HON 中： NH = 1 NF = 3 ， OH = 1 BM = 1 AN = 3 ， NO = 6
2
2
2
所以 cos HON = 6 + 3 − 3 = 2 ------------------------------------------------------------------------------ 11 分 2 6 3 2
2
2
2
所以 sin B = 2sin B cos B ------------------------------------------------------------------------------------------- 3 分
2
22
又 sin B 0 ，所以 cos B = 1 -------------------------------------------------------------------------------------- 4 分
所以二面角 N − BE − M 的余弦值为 2 .------------------------------------------------------------------------12 分 2
19．本题考查直线的方程、直线与椭圆的位置关系等知识；考查运算求解能力、推理论证能力等；考查数
厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检查
数 学（理科）试题参考解答
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案 B
D
C
A
C
D
B
A
B
A
B
D
第 12 题解答提示：
如图，作出函数 y = ex 、 y = ln x 和 y = x 的草图，因为 A, B 关于 C 对称，
2
22
又 0 B ，所以 B = ，即 B = 2 ----------------------------------------------------------------------- 5 分
22
23
3
第2页 共14页
（2）因为 B = 2 ， A =
3
6
所以 C = − A − B = ------------------------------------------------------------B---------------------------------- 6 分 6
第3页 共14页
则 A(0, 6,0) ， B(− 3,0,0) ， E( 3,0,0) ，
F (0, − 6,0) ， N (0,0, 6)
OM = ON + NM = ON + AB = (0,0, 6) + (− 3, − 6,0) ， = (− 3,− 6, 6)
所以 M (− 3, − 6, 6)
Mz
N
C D
F
B
O
E
x
Ay
所以 BM = (0,− 6, 6) ， BE = (2 3,0,0) （亦可不求 M ，由 BM = AN = (0,− 6, 6) ）
设 a = (x, y, z) 是平面 MBE 的法向量，则
a
BM
=
0
0
−
6y +
a BE = 0 2 3x = 0
6z
=0
x = 0
② l : y = kx +1, k 0 ，
y = kx + 1
联立方程
x
2
+
2y2
=
2
，化简得 (2k 2
+ 1)x2
+
4kx
=
0
A PLeabharlann 解得 x = 0 或 x =
−4k 2k 2 +
1
，所以
B(
−4k 2k 2 +
1
,
1− 2k 2k 2 +
2
) 1
BD
O
x
-------------------------------------------------------------- 3 分
13． 4 3
14． −128
第 16 题解答提示：
15．1, +)
16． 2
解法 1：
取 PF1 另一三等分点 N ，则有 ON / /MF2 ，又 M 是 PN 中点，则有 Q 是 OP 中点，所以 | PF2 |=| OF2 |= c ，
第1页 共14页
则 | PF1 |= 2a + c ，由平行四边形法则 2 | PF1 |2 +2 | PF2 |2 =| F1F2 |2 +4 | PO |2 ，化简得 e = 2 ．
M
故 ABC 为等腰三角形.
则 c = a ， BM
=a
A
C
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 分
2
在 MBC 中由余弦定理可得， MC2 = BM 2 + BC2 − 2BM BC cos B
B1
所以 AB =
1 + k 2 −4k − 0 = 2k2 +1
15 ，化简得 4k4 + 4k2 −15 = 0 2
---------- 4 分
解得 k 2 = 3 或 k 2 = − 5 （舍去），即 k = 6 --------------------------------------------------------------------- 5 分
，
则
f
(
x
)
=
1
− ln x2
x
，故
0
x 1时，
f (x) 0 ，所以
f
(x) =
ln x x
在 (0,1)
上单调递增，所以
ln 1
f
( x1 )
f
1 x2
，即
ln x1 x1
x2 1
=
−
x2
ln
x2
，即
ln x1 x1
+ x2 ln x2
0 ，C 正确.
x2
( ) 记 g ( x) = 2 − x − ln x ，则 g(1) = 1 0 ， g
18．本题考查直线与平面垂直、二面角、空间向量等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理
论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分 12 分．
（1）证明：记 AF BE = O ，连接 NO 可知四边形 ABFE 是菱形，所以 AF ⊥ BE 且 O 为 AF、BE 的中点 又 NF = NA ，所以 AF ⊥ NO
（2）因为 BE = 2 3 ，所以 EO = 3 ， NF = 2 3
所以 FO = EF 2 − EO2 = 6
所以 NO = NF 2 − FO2 = 6 所以 NO2 + EO2 = 9 = NE2 ，所以 NO ⊥ BE --------------------------------------------------------------------- 6 分 解法一： 又由（1）可知： NO ⊥ AF ，且 AF BE = O ， AF、BE 平面 ABFE 所以 NO ⊥ 平面 ABFE 以直线 OE 为 x 轴，直线 OA 为 y 轴，直线 ON 为 Z 轴建立空间直角坐标系----------------------------- 7 分
即 (2
7)2
=
a 2
2
+ a2
−2
a 2
a cos
2 3
，解得 a
=
4 ------------------------------------------------------10
分
所以 SABC
=
1 2
ac sin
B
=
1 4 4 2
3 =4 2
3 ---------------------------------------------------------------12 分
解：（1）依题设及正弦定理可得， sin Acos A + C = sin B sin A ------------------------------------------------ 1 分 2
因为 sin A 0，所以 cos A + C = cos − B = sin B --------------------------------------------------------- 2 分
且 0 x1 1 x2 ，
因为 C (1,1) ，所以 x1 + x2 =2 ，A 正确；
由基本不等式，ex1 + ex2 2 ex1+x2 =2e ，因为 x1 x2 ，所以等号不成立，
B 正确；
因为 0
x1x2
x1
+ 2
x2
2
= 1，所以 0
x1
1 x2
1 ，记
f
(x)
=
ln x x
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答。