泛函2007本科试题A卷答案
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西南科技大学2007年第二学期期末考试试题(A卷)答案
理学院: 课程名称:《泛函分析》课程代码: 1466 命题人:课程组
学院:专业班级:学号:命题共5页
一、填空题:(20个小题,每小题3分,共计60分)
1、(3分)值域为数域的映射叫泛函。
2、(3分)凡与自然数集N等势的集合称为可数集或可列集。
3、(4分)如果有两个映射,且,则称是在集上的延拓或扩张。
4.定义了某种半序关系的集合()就称为半序集。
5.设是线性空间X中的两个点,则集合称为以为端点的区间或线段,记作。
6.设是线性算子,则集合称为f的核或f的零空间,记作kerf或N(f).
7.设是实数或复数域上线形空间,其中定义了一个二元数值函数:,满足下列条件:,
1°对第一变元的线性:;
2°共轭对称性:;
3°正定性:且.
则称是X上的内积。
8.现设A是内积空间X的子集,,如果存在A中的点列,使得,则称是集合A的接触点。
9.如果集合,则称A是闭集。
10.当,称A是X中的稠集。
11.如果内积空间中所有的Cauchy列都收敛,则称此空间为完备的。12.对有界线性泛函定义由有界线性泛函的定义,称为有界线性泛函的范数。
13.设A,BX,如aA, bB,有ab,则称A与B正交。
14.内积空间中的量称为的范数,即表示向量的长度。
15.完备的赋范线性空间称为Banach空间。
17.内积空间X的子集称为标准正交集,如果E中任意两个不同元素互相正交。
18.如是有界线性算子, 称为的范数。
19.设满足的唯一的算子称为算子的伴随算子,记作。
20.设X为一集合,T:XX是空间X上的一个自映射或者自映象(self-map).如果,使得T,则称为映射T的一个不动点(Fixed point)。
二、证明题(2个小题,每小题15分,共计30分):
1、(15分)证明定理(Cauchy-Schwarz不等式) 设是X上内积,则,。
证当时上式显然成立。现设,有。
令,上式化为
=,故(1)式成立。
2、(15分)证明变分引理设H是Hilbert空间,K是H中非空凸集,hH,则K中存在唯一的点k使得
|| h - k|| = inf{ || h - k|| : kK}.
证由于|| h - k|| 0,所以非负数集{ || h - k|| : kK}的下确界是存在的.先假设h = 0,则要证明存在唯一向量kK,
使得
|| k|| = inf {|| k ||: kK } ,
即要找K 中具有最小范数的元素k.记
d = inf {|| k ||: kK } ,
由下确界的性质,序列{k}K , 使得 || k|| d , 用平行四边形公式推出
|| || = ( || k|| + || k||) - || ||.
因K是凸集, ( k+k) K ,所以|| ||d,> 0 ,nN , 使
得当n n时,有
|| k||< d+ .
由上面的等式 , 当 n , m n时 ,有
|| ||< ( 2 d+) - d = ,
即 || k+k|| < , 因而{ k} 是Cauchy列,由于H是Hilbert空间, kH ,k k,由于K是闭集,kK ,且|| k- k||0.
d || k|| = || k- k+ k||
|| k- k|| + || k|| d ,
所以 || k|| = d .
为了证明k的唯一性,设hK , 且 || h|| = d .由凸性,||(k+ h)|| K ,因而
d ||(k+ h)|| ( || k|| + || h|| ) = d ,
所以 || || = d , 由平行四边形公式,
d = || ||= (|| k||+|| h||)- || ||
= d - || ||,
故 || ||= 0 ,即得 k= h.
现考虑h 0 的一般情况 .令
K – h { k – h : kK} ,
则K – h也是闭凸集 . 故存在唯一的kK – h ,
|| k|| = inf { || k – h || : kK} ,
因而存在唯一的kK ,使得k= k- h , 即
|| k- h || = inf { || h – k || : kK} .
三、应用题(本题10分):
压缩映射原理(Banach不动点原理),若d() 即 则称T:XX为
Banach压缩映象.设是一个完备的距离空间,T:XX为Banach压缩映象,则T在X中有唯一的不动点且Picard迭代序列满足,
。
证明:任取一点,定义迭代数列如下: n=0,1,2,…
①先证明是Cauchy列:
即⑴由于,,故时,,这就证明了是Cauchy列,则,固定.
②再证明不动点的存在与唯一:设,此时我们应该首先想到距离空间里的三角不等式,在这里的具体体现就是,对不等两端去极限,即0,则,是T在X中的一个不动点;如果T还有另一个不动点,则,由=,推出,=0,=,故T的不动点唯一。