单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动教程
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第13例谐响应分析实例—单自由度系统的受迫振动
第13例谐响应分析实例—单自由度系统的受迫振动单自由度系统是动力学中的一个基本模型，用于描述质点或弹性系统在其中一方向上的振动。
在实际应用中，往往会遇到系统受到外力作用的情况，这时系统的运动方程称为受迫振动方程。
本文将基于第一章学习的单自由度系统的动力学原理，通过一个实际的例子，展示如何利用谐响应分析方法来解决单自由度系统的受迫振动问题。
假设一个质量为m的小球通过一根无摩擦的弹簧与固定点相连，并受到一个周期性外力的作用。
我们的目标是求解小球的运动方程，并分析系统在谐响应下的特性。
首先我们需要建立系统的动力学方程。
根据牛顿第二定律，可以得到受迫振动方程：m*a + c*v + k*x = F0*sin(ω*t)其中，m是小球的质量，a是小球的加速度，c是阻尼系数，v是小球的速度，k是弹簧的刚度，x是小球与平衡位置的位移，F0是外力的振幅，ω是外力的角频率，t是时间。
根据系统的初始条件，可以得到小球的初始位移和初始速度：x(0)=x0,为了求解受迫振动方程的特解，假设系统在稳态下的解为:x = A*sin(ωt + φ).将上式代入受迫振动方程，可以得到A和φ的关系式：A*[(-mω^2 + k)*sin(ωt + φ) + cω*cos(ωt + φ)] =F0*sin(ωt).由于上式中左右两侧的正弦项和余弦项的系数相等，根据同角正弦和余弦函数的和差公式，可以得到:A*[(-mω^2 + k)*sinφ + cω*cosφ] = F0,为了使得上述两个方程成立，可得到A和φ应满足的条件：解以上方程可以得到稳态下的解A和φ。
得到稳态解之后，我们可以分析系统的振动特性。
首先，可以计算出系统的谐响应函数：谐响应函数H(ω)描述了系统在不同外力频率下的响应强度。
图像的幅频响应特性被称为频率响应曲线。
为了绘制频率响应曲线，我们可以通过改变外力的频率ω来计算不同的稳态解A，进而得到H(ω)的数值。
其次，还可以分析系统的幅频特性。
2-单自由度受迫振动解读
F0 / k
17
≈1（激振频率接近固有频率）时，b 迅速增
大，振幅很大，这种现象称为共振;
• 阻尼比z 的影响: 阻尼越小，共振越厉害。因
此加大阻尼可以有效降低共振振幅。
对b 求导数取极值
b
2 (1 2 ) 2 (2z ) 2
(2z 1 )
2 2
令其等于0得
第2章 单自由度系统的受迫振动
4
因此方程的全解为：
x(t ) e
zwn t
( A cos wn 1 z t
2
2
B sin wn 1 z t ) X sin(w t )
系数A和B由初始条件确定。
设 t＝ 0 时 ,
x 0 x x0 , x
则：
A x0 X sin x0 zwn Xw ( x0 X sin ) cos B wd w d wd
2
2.1 简谐激励下的受迫振动
所谓简谐激励就是正弦或余弦激励。
2.1.1 振动微分方程及其解
设单自由度黏滞阻尼系统受到的激励为 F(t)=F0sinwt ，这里 w为激振频率，利用牛顿 定律并引入阻尼比z 可得到
F0 x 2wnz x w x sin wt m
2 n
第2章 单自由度系统的受迫振动
而强迫振动部分才是我们最关心的。
第2章 单自由度系统的受迫振动
2.1 简谐激励下的受迫振动
7
若为余弦激励, 则响应（解）为：
x0 zwn x0 xe sin wd t x0 cos wd t wd zwnt zwn cos w sin Xe sin wd t cos cos wd t wd
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动_1
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动第一节导引从本章起，讨论系统由外界持续激励引起的振动，称为强迫振动。
激励按来源分：1.力激励：①直接作用于机械运动部件上的力②有旋转机械或往复运动机械中不平衡质量引起的惯性力2. 支承运动而导致的位移激励、速度激励及加速度激励激励按随时间变化规律分：1. 简谐激励2．周期激励3．任意激励外界激励所引起的系统的振动状态称为响应。
对应于不同的外界激励，系统将具有不同的响应。
系统的响应一般以位移形式表示，称为位移响应。
有时也以速度形式或加速度形式表示，分别称为速度响应或加速度响应。
简谐激励是激励形式中最简单的一种，但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对于周期激励或更一般形式激励的响应的基础。
第二节 简谐激励下的响应一、运动方程及其解o sin tω在质量-弹簧-阻尼系统中，质量块上作用有简谐激励力0()sin F t F t ω=其中 0F --- 激励力幅ω --- 激励频率以静平衡位置为坐标原点，建立坐标系。
系统的运动微分方程为0sin mx cx kx F t ω++= （3-1）由高数知，上式是二阶常系数非齐次常微分方程。
该方程的通解()x t 由相应的齐次方程的通解()c x t 和非齐次方程的特解()p x t 两部分组成，即()()()c p x t x t x t =+（1）齐次方程的通解()c x t齐次方程的通解()c x t 对应于有阻尼自由振动的解，在弱阻尼（1ζ<）的情况下为()()()cos sin sin n n t c d d td x te A t B t Aet ζωζωωωωψ--=+=+式中A 和B 为待求常数，由初始条件确定。
（2）非齐次方程的特解()p x t根据高数，非齐次方程的特解()p x t 假设为()sin()p x t X t ωϕ=- （3-4）将()p x t 及其一阶导数、二阶导数代入式（3-1），得20()sin()cos()sin k m X t c X t F tωωϕωωϕω--+-=利用三角公式，将上式右端改写成如下形式0000sin sin[()]cos sin()sin cos()F t F t F t F t ωωϕϕϕωϕϕωϕ=-+=-+-代入上式，得200()sin()cos()cos sin()sin cos()k m X t c X t F t F t ωωϕωωϕϕωϕϕωϕ--+-=-+-比较方程左右两侧sin()t ωϕ-和cos()t ωϕ-的系数，得200()cos sin k m X F c X F ωϕωϕ⎧-=⎨=⎩ 联立求解，得F X =（3-2）2c tg k m ωϕω=- （3-5） （3）方程的通解()x t ()()()()cos sin sin()n c p td d x t x t x t eA tB t X t ζωωωωϕ-=+=++-（3-6）设000,(0),(0)t x x x x ===，将初始条件代入方程（3-6）和它的一次导数，解出A 和B ，再回代入方程（3-6），得000()cos sin n tn d d d x x x t e x t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+⎪⎝⎭① sin cos sin cos sin nt n d d d Xe t t ζωζωϕωϕϕωωω-⎛⎫-++⎪⎝⎭② sin()X t ωϕ+- ③这就是初始条件为0x 、0x ，在简谐激励力0sin F ϕ作用下系统的响应（系统的强迫振动）。
机械振动单自由度系统的简谐讲义强迫振动1
精品
机械振动单自由度系统的 简谐强迫振动1
§2.4 单自由度系统的简谐强迫振动
简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结构 的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造成的。 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激励 下系统响应的基础。通过分析系统所受的简谐激励与 系统响应的关系，可以估计测定系统的振动参数，从 而确定系统的振动特性（系统识别）。
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
2.4.3 能量关系与等效阻尼
图 2—17
说明： 无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，由
于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成系统的机械能即振动 的能量。外力持续给系统输入能量，使系统的振动能量直线上升，振 幅逐渐增大。
利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分析 其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测试系 统振动特性最常用的方法之一。
2.4.1 系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统示于图2-13。
图 2—13
图 2—14
从波形图可以看出：
2.4.2 复频率响应 幅频特性与相频特性
由此可知，即使是无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积 累振动能量。这在实际中很重要，有些机械结构在起动或停机时无法 避免通过共振区，为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅速通
过共振区的办法来解决。
The end
观感 看谢
稳态响应的幅值和相角是激励频率的非线性函数，在理论分析和 实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响应的影响。
机械振动单自由度系统的 简谐强迫振动1
§2.4 单自由度系统的简谐强迫振动
简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结构 的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造成的。 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激励 下系统响应的基础。通过分析系统所受的简谐激励与 系统响应的关系，可以估计测定系统的振动参数，从 而确定系统的振动特性（系统识别）。
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
2.4.3 能量关系与等效阻尼
图 2—17
说明： 无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固有频率，由
于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成系统的机械能即振动 的能量。外力持续给系统输入能量，使系统的振动能量直线上升，振 幅逐渐增大。
利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分析 其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测试系 统振动特性最常用的方法之一。
2.4.1 系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统示于图2-13。
图 2—13
图 2—14
从波形图可以看出：
2.4.2 复频率响应 幅频特性与相频特性
由此可知，即使是无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积 累振动能量。这在实际中很重要，有些机械结构在起动或停机时无法 避免通过共振区，为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅速通
过共振区的办法来解决。
The end
观感 看谢
稳态响应的幅值和相角是激励频率的非线性函数，在理论分析和 实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响应的影响。
单自由度系统受迫振动
s
0 1 2 3
0
结论：响应的振幅很小
0
F0 i (t ) x e Aei (t ) k
C2.14
§2.1.2 稳态响应的特性
(s)
0
0 .1
( s)
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
5 4 3 2 1
（3）在以上两个领域 s>>1，s<<1
1 0
1 2
0
s
0
阻尼越弱，Q越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭
F0 i (t ) x e Aei (t ) k
C2.19
§2.1.2 稳态响应的特性
( s)
以s为横坐标画出 ( s) 曲线 2 s ( s ) arctan 1 s2 相频特性曲线 （1）当s<<1（ 0） 相位差 0
C2.16
§2.1.2 稳态响应的特性
( s)
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
5 4 3 2
(s)
0
0 .1
max 并不 （5）对于有阻尼系统， 出现在s=1处，而是稍偏左
d 0 ds
max
0.25 0.375 0 .5 1
s 1 2 2
1 2 1 2
180
90
0 0
s
1 2 3
位移与激振力在相位上几乎相同
（2）当s>>1（ 0 ）
π
（3）当
位移与激振力反相
s 1
0
π 共振时的相位差为 2 ，与阻尼无关
F0 i (t ) x e Aei (t ) k C2.20
第三章-单自由度系统的受迫振动
对上述微分方程， 对上述微分方程，设其稳态解为
x = x e iω t
为稳态响应的复振幅。 将其代入问分方程， ， x 为稳态响应的复振幅。 将其代入问分方程，有
x = H (ω ) F0
2 n
H(ω) =
2 iω t n
1 k −m 2 +icω ω
复频响应函数
同时，微分方程可变形为 同时，
引入
F && + 2ξωn x + ω x = Bω e & B= 0 静变形 x k ω ，有 1 1 − s 2 − 2ξsi 1 − iθ s= H (ω ) = [ ] = βe ωn 2 2 2 k (1 − s ) + (2ξs ) k
欧拉公式
显含时间t，非齐次 显含时间 ，
P(cos x+isin x) = Peix
对应齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程
非齐次线性微分方程
通解
=
通解
有阻尼自由振动 逐渐衰减
+
特解
持续等幅振动
稳态响应
暂态响应
振动理论与声学原理
一、谐波激励的受迫振动
c k 仍然记系统的固有频率 ω n = 及相对阻尼系数 ξ = 。 m 2 km
振动理论与声学原理
四、受迫振动的过渡阶段
由于是线性系统， 由于是线性系统，也适用叠加原理
& x t & +ω2x =0 & x n m&+kx= F sin ω 0 = &(0) = x0 x(0) = x0, x(0) = x0 + & & & x(0) = x0, x
x = x e iω t
为稳态响应的复振幅。 将其代入问分方程， ， x 为稳态响应的复振幅。 将其代入问分方程，有
x = H (ω ) F0
2 n
H(ω) =
2 iω t n
1 k −m 2 +icω ω
复频响应函数
同时，微分方程可变形为 同时，
引入
F && + 2ξωn x + ω x = Bω e & B= 0 静变形 x k ω ，有 1 1 − s 2 − 2ξsi 1 − iθ s= H (ω ) = [ ] = βe ωn 2 2 2 k (1 − s ) + (2ξs ) k
欧拉公式
显含时间t，非齐次 显含时间 ，
P(cos x+isin x) = Peix
对应齐次线性微分方程 非齐次线性微分方程
非齐次线性微分方程
通解
=
通解
有阻尼自由振动 逐渐衰减
+
特解
持续等幅振动
稳态响应
暂态响应
振动理论与声学原理
一、谐波激励的受迫振动
c k 仍然记系统的固有频率 ω n = 及相对阻尼系数 ξ = 。 m 2 km
振动理论与声学原理
四、受迫振动的过渡阶段
由于是线性系统， 由于是线性系统，也适用叠加原理
& x t & +ω2x =0 & x n m&+kx= F sin ω 0 = &(0) = x0 x(0) = x0, x(0) = x0 + & & & x(0) = x0, x
结构动力学之单自由度体系简谐荷载作用下的受迫振动
P sin t y( t ) y1 ( t ) y2 ( t ) C1 sin t C2 cos t 2 2 m( )
由初始条件确定 振动由两部分组成： 第一部分按荷载频率 θ 振动，为纯粹的强迫振动； 第二部分按自振频率 ω 振动，为外力引起的自由振动。
变换得： y 2 y
。
即把非直接作用于质体的荷载按照静力位移 等效的条件转换成直接作用于质体的荷载。
等效 12 F (t ) F( t ) 11
2013/12/10
课后练习
F 则运动方程的解为：y 0.6875 2 m 1 1
48 EI ml 3
b）当2 1.2
ymax
F 1 F ml 3 Fl 3 0.6875 0.6875 (2.2727) 0.0326 2 m 1 1.44 m 48EI EI
2013/12/10
有阻尼受迫振动方程解
在外力 p( t ) P sin t 作用下，并且考虑阻尼
2013/12/10
动力系数β
sin t P 即特解部分： y (t ) m 2 (1 2 2 )
令：
p y st p 2 m k
p
1 1Байду номын сангаас 2 / 2
yst为最大静位移，表示将荷载最大值P当作静荷 载作用时结构所产生的位移；
β为动力放大系数或动力系数，表示最大动位移 [y(t)]max 与最大静位移yst 的比值。
课后练习
例2：
F (t ) F sin t 图示跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷载
作用在距离左端l/4处，若
由初始条件确定 振动由两部分组成： 第一部分按荷载频率 θ 振动，为纯粹的强迫振动； 第二部分按自振频率 ω 振动，为外力引起的自由振动。
变换得： y 2 y
。
即把非直接作用于质体的荷载按照静力位移 等效的条件转换成直接作用于质体的荷载。
等效 12 F (t ) F( t ) 11
2013/12/10
课后练习
F 则运动方程的解为：y 0.6875 2 m 1 1
48 EI ml 3
b）当2 1.2
ymax
F 1 F ml 3 Fl 3 0.6875 0.6875 (2.2727) 0.0326 2 m 1 1.44 m 48EI EI
2013/12/10
有阻尼受迫振动方程解
在外力 p( t ) P sin t 作用下，并且考虑阻尼
2013/12/10
动力系数β
sin t P 即特解部分： y (t ) m 2 (1 2 2 )
令：
p y st p 2 m k
p
1 1Байду номын сангаас 2 / 2
yst为最大静位移，表示将荷载最大值P当作静荷 载作用时结构所产生的位移；
β为动力放大系数或动力系数，表示最大动位移 [y(t)]max 与最大静位移yst 的比值。
课后练习
例2：
F (t ) F sin t 图示跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷载
作用在距离左端l/4处，若
第13例谐响应分析实例—单自由度系统的受迫振动
图 13-10
单元属性对话框
128
ANSYS 在机械工程中的应用 25 例
10.3.6 创建弹簧阻尼单元(Create Elements of Spring-Damper) 拾取菜单 Main Menu → Preprocessor → Modeling → Create → Elements → Auto Numbered → Thru Nodes。弹出拾取窗口，拾取节点 1 和 2，单击“Ok” 按钮。
元分析结果进行了验证。谐响应分析时，要求结构上的载荷随时间呈正弦规律变化。
10.1 概述(Summarize)
10.1.1 谐响应分析的定义(Definition of Harmonic response analysis) 谐响应分析主要用于确定线性结构承受随时间按正弦规律变化的载荷时的稳态响应。 谐响应分析主要采用缩减法 （Reduced） 、 模态叠加法 （Mode Superposition） 、 完全法 （Full） 。 完全法是软件的默认方法，是三种方法中最容易使用的方法。它采用完整的系数矩阵计 算谐响应，不涉及质量矩阵的近似，不必关心如何选取主自由度或振型。系数矩阵可以是对 称的，也可以是不对称的。其缺点是预应力选项不可用，有时计算量比较大。 缩减法通过采用主自由度和缩减矩阵来压缩问题的规模。主自由度处的位移计算出来后， 解可以被扩展到初始的完整 DOF 集上。该方法可以考虑预应力效果，但不能施加单元载荷， 所有载荷必须施加在用户定义的主自由度上。 模态叠加法通过对模态分析得到的振型乘以因子并求和来计算结构的响应。对许多问题， 其计算量比前两种方法都少。该方法可以考虑预应力效果，允许考虑阻尼。但不能施加非零 位移。 谐响应分析是线性分析，会忽略掉所有非线性特性。另外还要求所有载荷必须具有相同 的频率。 10.1.2 谐响应分析的步骤(Procedure of Harmonic response analysis) 谐响应分析包括建模、施加载荷和求解、查看结果等几个步骤。 1) 建模(Modeling) 谐响应分析的建模过程与其它分析相似，包括定义单元类型、定义单元实常数、定义材 料特性、建立几何模型和划分网格等。但需注意的是：谐响应分析是线形分析，非线性特性 将被忽略掉；必须定义材料的弹性模量和密度。 2) 施加载荷和求解(Apply force on handle and Obtain solution) 根据谐响应分析的定义，施加的所有载荷都随时间按正弦规律变化，指定一个完整的正 弦载荷需要确定三个参数：幅值（Amplitude，载荷最大值） 、相位角（Phase angle 载荷落后或 超前参考时间的角度） 、载荷频率范围（Forcing Frequency Range） ；或者实部、虚部和载荷频 率范围。
单自由度体系强迫振动.ppt课件
A
动弯矩幅值图(Md图)
例3:求图示体系振幅、动弯矩幅值图。已知： 0.5
解:
FP sint
FPl / 2
m
FP
l
=1
EI
l/2
l/2
y st
11
y st
1 EI
1 FPl 22
l 5l 26
5 48
FPl 3 EI
1
1
2
/
2
4 3
A
yst
5 36
FPl 3 EI
FI
max mA 2
mA 1 2
解: 11 0.722 10 7 m/N M Q 35kN Q 2.53103 m
yst FP11 0.722 10 3 m
1 M st 4 FPl 10kN.m
动位移幅值
A yst 2.45 10 3 m
动弯矩幅值
2n / 60 52.3 1/ S
M D M st 34kN.m
Pl / 2 P
EI
l/2
l/2
y(
1 EI
1 Pl 22
l 5l 26
5 48
Pl 3 EI
l
=1 11
1
4
1 2 /2 3
A
yst
5 36
Pl 3 EI
例4:求图示体系右端的质点振幅
FP sint
m EI
k
m
l
l
l
解:
Mo 0
mA 2
FP
o A
1 mA 2
3
计算步骤:
1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的
位移、内力；
yst , Mst
2.计算动力系数；
第3章 单自由度系统的受迫振动
值得注意，系统共振时，阻尼对相位差无影响，即无论阻尼多大，当ω ＝ pn 时，相位差ϕ 总是等
于 90°。在振动实验中，常以此作为判断振动系统是否处于共振状态的一种标志。 (3) 高频区。当λ>>1, ϕ＝180°。表明当激振力频率远远高于固有频率时，受迫振动的相位差接
近与 180°。这说明受迫振动的位移与激振力是反相位的。 应当指出，对于λ＝0，当λ<1 时，λ =0；λ>1 时，ϕ＝180°；λ＝1 时，ϕ角从 0 跳到 180°。 对于不同的阻尼值，相位差ϕ角在 0 到180° 之间变化。 例 3-1 质量为 M 的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质
pn
(3-10)
绘出对应不同的阻尼比ζ，相位差ϕ随λ变化的曲线族如图 3-2 中的右上角所示，即相频特性曲线。
(1) 低频区。当λ<<1时，ϕ≈0，表明当激振力频率很低或ω<< pn 时，相位差ϕ接近于零，即受
迫振动的位移与激振力几乎同相位。
(2) 共振区。当λ=1时，ϕ＝90°。表明当激振力频率等于振动系统的固有频率时，相位差为 90°。
根据达朗贝尔原理，有
− cx& + Mg − k(x + δ st ) − M&x& − meω 2 sin ωt = 0
∴ M&x& + cx& + kx = −meω 2 sin ωt
令
p
2 n
=
k M
，2n
=
c M
，则上式可写成
&x& +
2nx&
+
pn2 x
于 90°。在振动实验中，常以此作为判断振动系统是否处于共振状态的一种标志。 (3) 高频区。当λ>>1, ϕ＝180°。表明当激振力频率远远高于固有频率时，受迫振动的相位差接
近与 180°。这说明受迫振动的位移与激振力是反相位的。 应当指出，对于λ＝0，当λ<1 时，λ =0；λ>1 时，ϕ＝180°；λ＝1 时，ϕ角从 0 跳到 180°。 对于不同的阻尼值，相位差ϕ角在 0 到180° 之间变化。 例 3-1 质量为 M 的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质
pn
(3-10)
绘出对应不同的阻尼比ζ，相位差ϕ随λ变化的曲线族如图 3-2 中的右上角所示，即相频特性曲线。
(1) 低频区。当λ<<1时，ϕ≈0，表明当激振力频率很低或ω<< pn 时，相位差ϕ接近于零，即受
迫振动的位移与激振力几乎同相位。
(2) 共振区。当λ=1时，ϕ＝90°。表明当激振力频率等于振动系统的固有频率时，相位差为 90°。
根据达朗贝尔原理，有
− cx& + Mg − k(x + δ st ) − M&x& − meω 2 sin ωt = 0
∴ M&x& + cx& + kx = −meω 2 sin ωt
令
p
2 n
=
k M
，2n
=
c M
，则上式可写成
&x& +
2nx&
+
pn2 x
单自由度系统在简谐激励下的受迫振动
它与鼓励同频，但有一个相位差 ψ
简谐鼓励下的全解、瞬态振动和稳态振动
可见，对于工程实际来说，更关心的是稳态振动， 因为瞬态振动只在振动开场后的一段时间内才有 意义。
By substituting the particular solution to
be determinx e2 d( t) B sω it n ψ into
对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差 0或π 。因此， 每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。
2.
粘性阻尼力
FR
cdx dt
做的功
W R T 0 F R d d x t( t)d t T 0 c2 B 2 c2 o (t s)d t
微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解
d d2t2 x2nd dx tpn 2x0
x ( 0 x 0 和 v ) ( 0 v 0 )
齐次解: x1(t)
d d2 t2 x2nd dx tpn 2xhsin t
x ( 0 x 0 和 v ) ( 0 v 0 )
特解: x2(t)
有阻尼系统在简谐鼓励下，运动微分方程的全解 x x 1 (t) x 2 (t)
2
品质因子与半功率带宽
在 ＝1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对 称的。放大因子为 Q 2 的两个点称为半功率点。 对应于这两个点的鼓励频率分别为1 和2 ，它们
的差 21 称为半功率带宽。利用放大因
子
的表达式，可以求得两个半功1 率 点2对2应pn的频率
比，即外鼓励频率，Q注1意到pn
可得
2
zZ sin t() Z m 2Y
(km 2)2(c)2
tankcm 2
Response of a damped system under the harmonic motion of the base
简谐鼓励下的全解、瞬态振动和稳态振动
可见，对于工程实际来说，更关心的是稳态振动， 因为瞬态振动只在振动开场后的一段时间内才有 意义。
By substituting the particular solution to
be determinx e2 d( t) B sω it n ψ into
对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差 0或π 。因此， 每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。
2.
粘性阻尼力
FR
cdx dt
做的功
W R T 0 F R d d x t( t)d t T 0 c2 B 2 c2 o (t s)d t
微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解
d d2t2 x2nd dx tpn 2x0
x ( 0 x 0 和 v ) ( 0 v 0 )
齐次解: x1(t)
d d2 t2 x2nd dx tpn 2xhsin t
x ( 0 x 0 和 v ) ( 0 v 0 )
特解: x2(t)
有阻尼系统在简谐鼓励下，运动微分方程的全解 x x 1 (t) x 2 (t)
2
品质因子与半功率带宽
在 ＝1两侧，幅频特性曲线可以近似地看成是对 称的。放大因子为 Q 2 的两个点称为半功率点。 对应于这两个点的鼓励频率分别为1 和2 ，它们
的差 21 称为半功率带宽。利用放大因
子
的表达式，可以求得两个半功1 率 点2对2应pn的频率
比，即外鼓励频率，Q注1意到pn
可得
2
zZ sin t() Z m 2Y
(km 2)2(c)2
tankcm 2
Response of a damped system under the harmonic motion of the base
第3章单自由度系统受迫振动(2)资料
并不出现在s=1处，而 且稍偏左 .对应的ω 值
1 0
0 .5 1
s
0
1 2 3
幅频特性曲线
0
2018年10月14日 <<振动力学>>
2 1 2
6
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
在共振频率下的振幅为：
X max
F0 k 2 1
2
F0 c d
在一般情况下，阻尼比ζ <<1，这时可以认为共振频率
e m
t
x
x e sin t
系统在垂直方向的动力学方程：
k 2
c
k 2
2018年10月14日 <<振动力学>>
d2 m 2 ( x e sint ) cx kx 0 ( M m ) x dt
17
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
d2 m 2 ( x e sin t ) cx kx 0 ( M m) x dt
0.25
0.375
0 .5 1
F (t ) F0 cost
从左到右：
0
0
0
s
1 2
3
0 0
0.4, 1.01, 1.6
2018年10月14日 <<振动力学>>
9
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
幅频特性与相频特性
1、s ＝ 0 的附近区域 (低频区或弹性控制区) ， β 1，＝0， 响应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不大。
2
3
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
1 0
0 .5 1
s
0
1 2 3
幅频特性曲线
0
2018年10月14日 <<振动力学>>
2 1 2
6
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
在共振频率下的振幅为：
X max
F0 k 2 1
2
F0 c d
在一般情况下，阻尼比ζ <<1，这时可以认为共振频率
e m
t
x
x e sin t
系统在垂直方向的动力学方程：
k 2
c
k 2
2018年10月14日 <<振动力学>>
d2 m 2 ( x e sint ) cx kx 0 ( M m ) x dt
17
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
d2 m 2 ( x e sin t ) cx kx 0 ( M m) x dt
0.25
0.375
0 .5 1
F (t ) F0 cost
从左到右：
0
0
0
s
1 2
3
0 0
0.4, 1.01, 1.6
2018年10月14日 <<振动力学>>
9
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
幅频特性与相频特性
1、s ＝ 0 的附近区域 (低频区或弹性控制区) ， β 1，＝0， 响应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不大。
2
3
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
机械动力学——单自由度受迫振动
7
响应分析
F0 A2 cos 0 m F 2 0 A2 0 sin 0 m
2 0 2
A2
F0
2 m 0 2 2 0 2 2
tan 1
2 0 2 2 0
A2
阻尼固有频率 特解:
d 0 1 2 ，幅度(A )和相位(θ )与初始条件相关
x2 (t ) A2 sin(t )
式中，A2 和ϕ 是待定常数
6
响应分析
将特解公式带入振动微分方程可以得到:
F0 A2 sin(t ) 2 0 A2 cos(t ) sin t 1 m
14
稳态响应的特性——幅频特性
(s)
1 (1 s 2 ) 2 (2 s) 2
Q
品质因数：
Q s1 2
1 2
Q/ 2
2
带宽：
km c
在共振峰的两侧取与 Q / 2 对应 的两点， 1 2
2 1
Q与 有关系 ：
1 0
1 2
Ω cx kx cy my
检测轴(y) mx ky 驱动轴(x)
17
例题
科氏力的计算公式为： F 2my x
Ω cx kx cy my 检测轴(y) mx ky 驱动轴(x)
为驱动轴的振动速度 Ω 为角速度， x
设驱动轴的驱动力为 求： （1）驱动轴的振动微分方程； （2）分析驱动轴的稳态响应，计算科氏力； （3）为了增大科氏力，应该增大增大阻尼还 是减小阻尼？是否需要使驱动轴发生共振？
结论： （ 1 ）受迫振动的响应由衰减响应和 稳态响应组成; （ 2 ）稳态响应是频率等同于激励频 率、而相位滞后激励的简谐振动; （ 3 ）稳态响应的振幅及相位只取决 于系统本身的物理性质（m, k, c）和 激励的频率及幅度，而与系统进入运 动的方式（即初始条件）无关 .
响应分析
F0 A2 cos 0 m F 2 0 A2 0 sin 0 m
2 0 2
A2
F0
2 m 0 2 2 0 2 2
tan 1
2 0 2 2 0
A2
阻尼固有频率 特解:
d 0 1 2 ，幅度(A )和相位(θ )与初始条件相关
x2 (t ) A2 sin(t )
式中，A2 和ϕ 是待定常数
6
响应分析
将特解公式带入振动微分方程可以得到:
F0 A2 sin(t ) 2 0 A2 cos(t ) sin t 1 m
14
稳态响应的特性——幅频特性
(s)
1 (1 s 2 ) 2 (2 s) 2
Q
品质因数：
Q s1 2
1 2
Q/ 2
2
带宽：
km c
在共振峰的两侧取与 Q / 2 对应 的两点， 1 2
2 1
Q与 有关系 ：
1 0
1 2
Ω cx kx cy my
检测轴(y) mx ky 驱动轴(x)
17
例题
科氏力的计算公式为： F 2my x
Ω cx kx cy my 检测轴(y) mx ky 驱动轴(x)
为驱动轴的振动速度 Ω 为角速度， x
设驱动轴的驱动力为 求： （1）驱动轴的振动微分方程； （2）分析驱动轴的稳态响应，计算科氏力； （3）为了增大科氏力，应该增大增大阻尼还 是减小阻尼？是否需要使驱动轴发生共振？
结论： （ 1 ）受迫振动的响应由衰减响应和 稳态响应组成; （ 2 ）稳态响应是频率等同于激励频 率、而相位滞后激励的简谐振动; （ 3 ）稳态响应的振幅及相位只取决 于系统本身的物理性质（m, k, c）和 激励的频率及幅度，而与系统进入运 动的方式（即初始条件）无关 .
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2 0 2
F0 x20 2 2 M 0
所以方程的解为：
x(t ) A e
j(0t )
F0 jt e 2 2 M (0 )
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 所以，实际位移为：
F0 x(t ) Re x(t ) A cos(0t ) cos t 2 2 M (0 )
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
零初始条件的振动位移
F0 x t cos t cos 0t 2 2 M 0
三角变换
2 F0 0 0 x t sin t sin t 2 2 M 0 2 2
1、无阻尼系统的强迫振动
质量元件M受两个作用力 ①弹性力
Dx
②外加推力 f(x)
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
运动方程式
~ ~ 用复数表示：x(t ) Re( x (t )) ， f (t ) Re( f (t ))
则运动方程化为：
d 2 x(t ) M Dx(t ) f (t ) F0 cos t 2 dt
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
1.1 单自由度机械系统的振动
1.1.2 单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动
内容提要
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
2、有阻尼系统的强迫振动
二、强迫振动的过渡过程 三、强迫振动的稳态振动 1、机械阻抗 2、频率特性 3、激励力对振动系统的输入功率
一、强迫振动方程及其解
一个振动系统受到阻力作用后振动不能永 远维持，它要渐渐衰减到停止，因此要使 振动持续不停，就要不断从外部获得能量。
外力作用下的振动-强迫振动（受迫振动) （forced vibration ）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 谐合函数——正弦、余弦函数。
无阻尼强迫振动示意图
一、强迫振动方程及其解
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动 运动方程：
d 2 x(t ) dx(t ) jt M R Dx ( t ) F e m 0 2 dt dt
其解：
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
t
其中： x1 (t ) Ame
e
j( t 1 )
d x(t ) jt M Dx(t ) F0e 2 dt
2
（*）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程，其一
般解应表示为该方程的一个特解与相应的齐次方
程一般解之和。
~ ~ ~ x t x1 t x2 t
方程的解=一般解＋特解
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
0 0
时‘拍’现象明 显 形成‘拍’振 动
0 ~ 0
时‘拍’现象不明 显
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
无阻尼系统的拍频振动规律 ①振动频率近似等于 ②“振幅”作慢周期变化，拍周期
2π 0
为齐次方程的解，已
在前面解出。此解数学上称为“通解”；物理中 称为“暂态解”。
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动 当
0 时,
2 0 2 0
x1 t Ame
t
cos 0t 1
, 0 系统的固有频率，决定于系统本身的参数 Am ,1 由系统的初始条件确定
1、无阻尼系统的强迫振动
结论：无阻尼振子在谐和力激励下是两个简谐振 动的合振动，一个是自由振动，另一个是强迫振 动；形成拍频振动。由于无阻尼，所以自由振动
总也不消失。
特例：当 0 时，振子振幅逐渐 (共振) 实际上，由于阻的存在，自由振动随时间增加会逐 渐消失，振动仅有强迫振动项，而达到稳态振动。
式中的
A
和
由初条件决定。
第一项：自由振动分量 第二项：强迫振动分量
结论：无阻尼系统在谐合力作用下的振动为两个
简谐振动的迭加。
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 取零初始条件
xt t 0 0
；
dx 0 dt t 0
F0 A cos 0 带入上式得 2 2 M 0 A0 sin 0 F0 ; 0 求得 A 2 2 M 0
~ 其中： x1 (t )为方程（*）所对应的齐次方程的解（通解） ~ x (t )为方程（*）的特解
2
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
据前，方程（*）的通解为：
x1 (t ) Ae
其中
j(0t )
0
D M
（1-1-1节已解出）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
有阻尼时，运动方程
d 2 x(t ) dx(t ) M Rm Dx(t ) f (t ) dt dt
外力为谐和力
F t F0 cost
复数表示：
~ x(t ) Re( x (t ))
~ F (t ) Re(F (t ))
设方程（*）特解的一般形式为
x2 t x20 e
jt
特解含义：按外力的振动规律而变，其振动频率
等于外力jt M Dx ( t ) F e 0 2 dt
2
（ *）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
得
F0 x20 M
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
0 sin t F0t 2 0 x t sin t 0 M 0 2 t 2
当 0
F0t x t sin t 2M
一、强迫振动方程及其解
F0 x20 2 2 M 0
所以方程的解为：
x(t ) A e
j(0t )
F0 jt e 2 2 M (0 )
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 所以，实际位移为：
F0 x(t ) Re x(t ) A cos(0t ) cos t 2 2 M (0 )
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
零初始条件的振动位移
F0 x t cos t cos 0t 2 2 M 0
三角变换
2 F0 0 0 x t sin t sin t 2 2 M 0 2 2
1、无阻尼系统的强迫振动
质量元件M受两个作用力 ①弹性力
Dx
②外加推力 f(x)
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
运动方程式
~ ~ 用复数表示：x(t ) Re( x (t )) ， f (t ) Re( f (t ))
则运动方程化为：
d 2 x(t ) M Dx(t ) f (t ) F0 cos t 2 dt
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
1.1 单自由度机械系统的振动
1.1.2 单自由度机械振动系统谐和力激励的受迫振动
内容提要
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
2、有阻尼系统的强迫振动
二、强迫振动的过渡过程 三、强迫振动的稳态振动 1、机械阻抗 2、频率特性 3、激励力对振动系统的输入功率
一、强迫振动方程及其解
一个振动系统受到阻力作用后振动不能永 远维持，它要渐渐衰减到停止，因此要使 振动持续不停，就要不断从外部获得能量。
外力作用下的振动-强迫振动（受迫振动) （forced vibration ）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 谐合函数——正弦、余弦函数。
无阻尼强迫振动示意图
一、强迫振动方程及其解
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动 运动方程：
d 2 x(t ) dx(t ) jt M R Dx ( t ) F e m 0 2 dt dt
其解：
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
t
其中： x1 (t ) Ame
e
j( t 1 )
d x(t ) jt M Dx(t ) F0e 2 dt
2
（*）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 强迫振动方程是二阶的非齐次常微分方程，其一
般解应表示为该方程的一个特解与相应的齐次方
程一般解之和。
~ ~ ~ x t x1 t x2 t
方程的解=一般解＋特解
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
0 0
时‘拍’现象明 显 形成‘拍’振 动
0 ~ 0
时‘拍’现象不明 显
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
无阻尼系统的拍频振动规律 ①振动频率近似等于 ②“振幅”作慢周期变化，拍周期
2π 0
为齐次方程的解，已
在前面解出。此解数学上称为“通解”；物理中 称为“暂态解”。
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动 当
0 时,
2 0 2 0
x1 t Ame
t
cos 0t 1
, 0 系统的固有频率，决定于系统本身的参数 Am ,1 由系统的初始条件确定
1、无阻尼系统的强迫振动
结论：无阻尼振子在谐和力激励下是两个简谐振 动的合振动，一个是自由振动，另一个是强迫振 动；形成拍频振动。由于无阻尼，所以自由振动
总也不消失。
特例：当 0 时，振子振幅逐渐 (共振) 实际上，由于阻的存在，自由振动随时间增加会逐 渐消失，振动仅有强迫振动项，而达到稳态振动。
式中的
A
和
由初条件决定。
第一项：自由振动分量 第二项：强迫振动分量
结论：无阻尼系统在谐合力作用下的振动为两个
简谐振动的迭加。
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动 取零初始条件
xt t 0 0
；
dx 0 dt t 0
F0 A cos 0 带入上式得 2 2 M 0 A0 sin 0 F0 ; 0 求得 A 2 2 M 0
~ 其中： x1 (t )为方程（*）所对应的齐次方程的解（通解） ~ x (t )为方程（*）的特解
2
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
据前，方程（*）的通解为：
x1 (t ) Ae
其中
j(0t )
0
D M
（1-1-1节已解出）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
一、强迫振动方程及其解
2、有阻尼系统的强迫振动
有阻尼时，运动方程
d 2 x(t ) dx(t ) M Rm Dx(t ) f (t ) dt dt
外力为谐和力
F t F0 cost
复数表示：
~ x(t ) Re( x (t ))
~ F (t ) Re(F (t ))
设方程（*）特解的一般形式为
x2 t x20 e
jt
特解含义：按外力的振动规律而变，其振动频率
等于外力jt M Dx ( t ) F e 0 2 dt
2
（ *）
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
得
F0 x20 M
一、强迫振动方程及其解
1、无阻尼系统的强迫振动
0 sin t F0t 2 0 x t sin t 0 M 0 2 t 2
当 0
F0t x t sin t 2M
一、强迫振动方程及其解