高考数学二轮复习第一部分微专题训练第7练解析几何的定点定值范围问题理

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高考满分数学压轴题20 解析几何中的定值与定点问题(可编辑可打印)

解析几何中的定值与定点问题一．方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。

（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

二．解题策略类型一定值问题【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）A ．B ．C．2p D ．【答案】D【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x ﹣），所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则+＝．故选：D．【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）A．2B．2C．1D．【答案】C【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），圆心与焦点重合，半径为1，又由直线过抛物线的焦点F，则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，即有|AB|•|CD|＝x1x2，设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线P A，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，∴k1•k2＝，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），∴k1•k2＝，又k1•k2为定值，∴＝，解得λ＝．故选：C．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝．【答案】2【解析】∵椭圆的离心率为，∴，则，得．又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，，两式作差得，，则，即，同理可得，．∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．类型二定点问题【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A【解析】设A（m，m2），B（0，n），∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2∴直线l的斜率k＝＝﹣∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，设点D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣∴直线AD的斜率为＝＝＝，∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．【举一反三】1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（）A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1【答案】C【解析】设A B ，的坐标为()11x y ，，()22x y ，28x y =，4x y '=， PA PB ，的方程为()1114x y y x x -=-，()2224xy y x x -=- 由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-切线PA PB ，都过点()4P b ，1144x b y ∴=⨯-，2244xb y =⨯-，故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-，当0x =时，4y =∴直线AB 恒过定点()04-，，故选C2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C．4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D．0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB -是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭， ① 又221x y += ， ②①-②得():221AB m x my -+=，可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足上式，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 3．（2020大理一模）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________．【答案】28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由()2221211141616414=+4M x y k x k y k x ⎧+=-⎪⇒=⎨+⎪⎩，同理222122214164641416N k k x k k --==++． 121814M k y k =+，1211616Nk y k -=+,取11k =，由对称性可知，直线MN 经过x 轴上的定点28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【归纳总结】在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，当12k k ⋅为非零常数时，直线MN 经过定点.三．强化训练1．（2020·黑龙江高三模拟）直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距（） A ．为定值3- B ．为定值3 C ．为定值1- D ．不是定值【答案】A【解析】设直线l 的方程为y kx b =+，由题意得22y kx b y x=+⎧⎨=⎩，则得()222220k x kb x b +-+=；设A ，B 两点的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则得12222kb x x k -+=，2122b x x k =；又因为3221=k k ，即121223y y x x =，所以()2222222121222221222222222223k x x kb x x b kb k b k k b k b k k b k k k k x x b b b b +++--+-=++=+=== ，则得3b k =，直线l 的方程为()33y kx b kx k k x =+=+=+；当0y =时，3x =-，所以直线l 的横截距为定值3-.故选A.2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线7ax by +=（0a >，0b >）和函数()1log m f x x =+（0m >，1m ≠）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（）A ．3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可得函数()1log ,(0,1)m f x x m m >≠=+，恒过定点(1,1). 将点(1,1)代入7ax by +=，可得7a b +=.由于(1,1)始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +.又由227,25,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，所以点(,)a b 在以(3,4)和(4,3)为端点的线段上运动，当取点(3,4)时，43b a =，取点(4,3)时，34b a，所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．（2020·全国高三模拟）过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则实数a 的值为（）A.1B.2 C ．3 D ．4 【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x my a =+，代入28y x =，得2880y my a --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12128,8y y m y y a +=⋅=-.()()()2222222111111AP x a y my y m y =-+=+=+，同理，()22221BP m y =+，∴()21212222222221212211111111y y y y m y y m y y AP BP+-⎛⎫+=+= ⋅⎪++⎝⎭ ()()22222264284164114m a m am a a m -⨯-+=+⋅=+，∵2211||||AP BP +为定值，是与m 无关的常数，∴4a =．故选D ．4．（2020•越城区高三期末）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（）A ．充分非必要条件B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若“•＝0”，则设直线AB 方程为x ＝my +b ，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4b ，若•＝0，则•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝b 2﹣4b ＝0，解可得：b ＝4或b ＝0，又由b ≠0，则b ＝4，则直线AB 的方程为x ＝my +4，即my ＝x ﹣4，则直线AB 恒过定点（4，0）， “•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线AB 恒过定点（4，0），设直线AB 的方程为x ＝my +4，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣16＝0，则有y 1y 2＝﹣16，此时•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝0，故“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B ．5．（2020·湖北高考模拟）设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（） A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ∴PQ 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线2222x y a b-=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ∴|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ∴|OQ |＝a ．故选：A ．6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点，若212x y x y a -+++--为定值，则a 的值可能为（）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-【答案】D【解析】圆C 标准方程为22(1)(1)1x y ++-=，圆心为(1,1)C -，半径为1r =，直线:20l x y a --=2115a---=，35a =-当35a =-+C 在直线l 上方，20x y a --≤，当=--35a C 在直线l 下方，20x y a --≥，若212x y x y a -+++--为定值，则20x y a --≥，因此35a ≤-D 满足．故选：D.7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（）A ．48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B ．24,99⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,0 【答案】A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+= 即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上，直线AB 方程为004x x y y +=，又00290x y +-=，所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-= 即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==，直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，选A. 8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2221(1)204k x kbx b +++-=，由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀)9．（2020·浙江高三期末）斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹是圆的一部分【答案】C【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2211222,2,y px y px ==两式做差得，121212()()2()y y y y p x x +-=-，整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值，所以A 正确.因为焦点(,0)2p F ，所以直线AB 方程为()2p y k x =-.由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222244(2)0k x p k x p k -++=，则22121222(2),,4p k p x x x x k ++== 222212121212()()[()]2224p p p p y y k x x k x x x x p =--=-++=-.2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=-为定值.故B 正确. ,OQ AB ⊥∴点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分，故D 正确.本题选择C 选项.10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线2:8C y x =，圆22:(2)4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是（） A ．1324M M M M ⋅ B ．14FM FM ⋅ C ．1234M M M M ⋅ D ．112FM M M ⋅【答案】C 【解析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠，设111422(,),(,)M x y M x y ，则21212248,4k x x x x k++==．过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线，垂足分别为,A B ，则11422,2M F x M F x =+=+．对于A ，13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++，不为定值，故A 不正确．对于B ，14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++，不为定值，故B 不正确．对于C ，12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==，为定值，故C 正确．对于D ，1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+，不为定值，故D 不正确．选C ．11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设12(,0),(,0)F c F c -，再设动点(,)M x y ，动点到定点12,F F 的“L距离”之和等于(20)m m c >>，由题意可得：x c y x c y m ++-++=，即2x c x c y m -+++=，当,0x c y <-≥时，方程化为220x y m -+=；当,0x c y <-<时，方程化为220x y m ++=；当,0c x c y -≤<≥时，方程化为2my c =-；当,0c x c y -≤<<时，方程化为2my c =-；当,0x c y ≥≥时，方程化为220x y m +-=；当,0x c y ≥<时，方程化为220x y m --=；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A ． 12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、，则22122212e e e e +是定值；③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】①双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）上任意一点P ，设为（m ，n ），两条渐近线方程为y=±ba x=222222b m a n a b -+，由b 2m 2﹣a 2n 2=a 2b 2，可得两个距离乘积是定值2222a b a b+； ②双曲线2222x y a b -=1与22221x y b a -=（a ＞0，b ＞0）的离心率分别是e 1，e 2，即有e 12=222a b a +，e 22=222a b b +，可得22122212e e e e +为定值1；③过抛物线x 2=2py （p ＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A ，B ，可设A （s ，22s p），B （t ，22t p ），由OA ⊥OB 可得st+2224s t p=0，即有st=﹣4p 2， k AB =()222t s p t s --=2t s p +，可得直线AB 的方程为y ﹣22s p=2t s p +（x ﹣s ），即为y=2t s p +x+2p ，则直线AB 过定点（0，2p ）．三个命题都正确．故选A ．13．已知O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为（） A ．2λB ．λC ．2λD ．无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题【答案】A【解析】设(,)M m n ，即有22m n λ-=，双曲线的渐近线为y x =±，可得MN =，由勾股定理可得ON ===，可得2222m n ON MN λ-⋅=== ．故选：A ．14．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（）.A ．13B ．12C ．2D ．3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题【答案】C 【解析】1a =，2b =，∴c =1(F，2F，设点)P m ，∴2222()(1))1504m OP OFF P m m m +⋅=⋅=+-+=， ∴2165m =，m =，则P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===，故选：C.15．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化【答案】A【解析】由双曲线方程221169x y -=知，28a =，双曲线的渐近线方程为34y x 直线PQ 的倾斜角为60︒，所以334PQ k =>，又直线PQ 过焦点1F ，如图所以直线PQ 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，2128PF PF a -==…………(1)，2128QF QF a -== (2)由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF +-+=，2216PF QF PQ ∴+-=. 故选：A16．已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF 与2MPF 的面积之和为( ) A ．1B ．32C ．2D ．3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题【答案】C【解析】如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，作一圆与线段F 1P ，F 1F 2的延长线都相切，并且与线段PF 2也相切，切点分别为D ，A ，B ，1111221122||||||||||||||||||||F D F A PF PD F F F A PF PB F F F A =⇔+=+⇔+=+， 12122212122||||||||||||||||||2||PF PB F B F F F A F B PF PF F F F A ⇔++=++⇔+=+，所以2||F A a c =-(c 为椭圆半焦距)，从而点A 为椭圆长轴端点，即圆心M 的轨迹是直线x =a (除点A 外). 因点M (2,1)在12PF F ∠的平分线上，且椭圆右端点A (2,0)，所以点M 是上述圆心轨迹上的点，即点M 到直线F 1P ，PF 2，F 1F 2的距离都相等，且均为1，1MPF 与2MPF 的面积之和为1212111||1||1(||||)2222PF PF PF PF ⋅⋅+⋅⋅=+=.故选：C17．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点（） A ．(1,0) B ．(3,0)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设直线BC 的方程为x ky m =+，()()1122,,B x y C x y 、，则由2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2224240k y mky m +++-=，所以212122224,44mk m y y y y k k --+==++， ()22222121212224244m mkx x k y y mk y y m k mk m k k --=+++=++++，因为()0,1A ，()()1122,1,1A x y B C x y A --==,，AB AC ⊥，所以()()()1212121212111x x y y x x y y y y AB AC +-=-=++⋅-+22222222224242125304444m mk m mk k mk m km m k k k k k ---=+++++=+-=++++解得m k =-或35m k =，当m k =-时，直线BC 的方程为()1x ky k k y =-=-，直线过()0,1点而()0,1A ，而,A B C 、不在同一直线上，不合题意；当35m k =时，直线BC 的方程为3355x ky k k y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，直线过30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意.故选：D.18．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（）A ．54B ．45C ．43D ．34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题【答案】D【解析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=，因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=，所以3344(,0),(0,)M N x y ，因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x +=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==，故选：D19．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（） A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题【答案】A【解析】设(),N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线PQ 的方程：4x my =-由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩ ，解得：()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+-1212122623my y y y x y y --∴=-，12121226643my y y y x y y +-+=-，（*）联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2228120m y my +-+=，22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>，12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++，代入（*）得121293433y y x y y -+==-，14y k x =+，22y k x =+ ，122211443k x k x x +∴==-=++.故选：A20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________．【答案】(4,0).【解析】设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=,设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()221212121212OA OB ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+++=++++222444bt bt b b =-++- 24b b =-=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点()4,0．21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =________.【答案】0【解析】设(,)P x y ，PAk PB =k =，整理得222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=，又P 是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22222484168,11k k b k k+-==--，解得0b =. 22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．【解析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则222222221)222tan ,tan ,2tan 141,(4,22tan 3232r a r a rOPA OPB t t a r a rrtt t APB a r t a r t a r a rt tAPB t t r r +-+∠=∠=+--∴∠==-+-++=+∴=-∴∠==-+-+∵∠APB 的大小恒为定值，∴t23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点A ，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________. 【答案】0【解析】取特殊点B ()0,2-，则BC的方程为22y x +=，由22242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C ()所以202AB AC k k +==. 24．（2020·河北定州一中高三月考）P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______．【答案】33,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设()()00,,,,PA P x y B x y PBλ=，则()2215x y -+=，可得2242x y x +=+，① ()()()()222220023x x y y x y y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，②由①②得()2200002224x x y y x y --+++2222617x y λλλ=--+，可得202002220022226417x y x y λλλ⎧-=-⎪-=-⎨⎪++=⎩，解得002323212x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，B ∴点坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________【答案】【解析】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2），即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，∵点M ，N 在双曲线22124x y -=上，所以2211124x y -=，2222124x y -=，故2x 2-y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）-（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2-y 1y 2），设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =2， ∴y 1y 2-2 x 1x 2=0， ∴2x 2-y 2=20，所以P 在双曲线2x 2-y 2=20上；设该双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，由双曲线的定义可推断出12PF PF -为定值，该定值为26．（2020·江苏高三月考）椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________．【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k-+，又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14，则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2，则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k+-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）．此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）．当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14．综上，直线BC 过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．27．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点，若以线段PQ为直径的圆过定点M ，则MF =______．【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题【答案】3【解析】点F 的坐标为()2,0，双曲线的方程可化为2233x y -=，①当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-，此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=；②当直线l 的斜率存在时，设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=，2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠ 有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭，()111,AP x y =+，()221,AQ x y =+，()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦ 22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----．故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -，3MF =．28．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 【答案】34-【解析】设()()()00,,2,02,0P x y A B - 2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥ 易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-. 故答案为：34-29．过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，若1PM MF λ=，2PN NF λ=，规定12λλ+=PM PN MF NF +，则PM PNMF NF +的定值为222a b .类比双曲线这一结论，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，PM PN MF NF+的定值为________. 【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题【答案】222a b-【解析】如图，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，过点(),0F c 的直线为()y k x c =-，代入椭圆的方程得：()2222222222220b a kxa k cx a k c ab +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k-⋅=+，过点,M N 分别作x 轴的垂线，垂足为,D E ，则111x PM x c MF λ==--，222=x PNx c NFλ=--，所以()()()()()1221121212122212121212122x x c x x c x x c x x x x x c x c x x c x x c x x c x x c λλ-+--+⎛⎫+=-+=-=-⎪---++-++⎝⎭将22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k -⋅=+代入化简得：21222a b λλ+=-. 故答案为：222a b-.30．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题【答案】4 【解析】设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==- 31．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________．【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k -+，又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14，则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2，则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k +-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）．此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）．当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14．综上，直线BC 过定点（1，0）．故答案为（1，0）．。

2023届高考二轮总复习试题适用于老高考旧教材数学(理) 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题含解析

考点突破练15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题1.(2022·湖南岳阳质检二)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0),F 为上焦点,左顶点P 到F 的距离为√2,且离心率为√22,设O 为坐标原点,点M 的坐标为(0,2). (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,证明:∠OMA=∠OMB.2.(2022·陕西西安四区县联考一)已知抛物线x 2=ay (a>0),过点M 0,a2作两条互相垂直的直线l 1,l 2,设l 1,l 2分别与抛物线相交于A ,B 及C ,D 两点,当A 点的横坐标为2时,抛物线在点A 处的切线斜率为1. (1)求抛物线的方程;(2)设线段AB ,CD 的中点分别为E ,F ,O 为坐标原点,求证:直线EF 过定点.3.(2022·北京石景山一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的短轴长等于2√3,离心率e=12. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过右焦点F 作斜率为k 的直线l ,与椭圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ,判断|PF ||AB |是否为定值,请说明理由.4.(2022·全国乙·理20)已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过A (0,-2),B (32,-1)两点. (1)求E 的方程;(2)设过点P (1,-2)的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明:直线HN 过定点.5.(2022·河南濮阳一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率e=√32,且圆x 2+y 2=2过椭圆C 的上、下顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 的斜率为12,且直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,点P 关于原点的对称点为E ,点A (-2,1)是椭圆C 上一点,若直线AE 与AQ 的斜率分别为k AE ,k AQ ,证明:k AE ·k AQ ≤0.6.(2022·广西柳州三模)已知点A (2,√3),B (-2,-√3),点M 与y 轴的距离记为d ,且点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d24-1,记点M 的轨迹为曲线W. (1)求曲线W 的方程;(2)设点P 为x 轴上除原点O 外的一点,过点P 作直线l 1,l 2,l 1交曲线W 于C ,D 两点,l 2交曲线W 于E ,F 两点,G ,H 分别为CD ,EF 的中点,过点P 作x 轴的垂线交GH 于点N ,设CD ,EF ,ON 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,求证:k 3(k 1+k 2)为定值.考点突破练15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题1.(1)解左顶点P 到F 的距离为√2,可得a=√2,又e=ca=√22,故c=1,从而b=1.∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)证明当l 与y 轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l 与y 轴不重合时,设l 的方程为y=kx+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线MA ,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1-2x 1+y 2-2x 2=kx 1-1x 1+kx 2-1x 2=2k-(1x 1+1x 2)=2k-x 1+x 2x 1x 2,联立方程{y =kx +1,y 22+x 2=1,可得(2+k 2)x 2+2kx-1=0,x 1+x 2=-2k 2+k2,x 1x 2=-12+k2,∴2k-x 1+x 2x 1x 2=2k-2k=0,从而k MA +k MB =0,故直线MA ,MB 的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB. 综上,∠OMA=∠OMB. 2.(1)解 ∵y'=2xa ,由题意得2×2a=1,∴a=4,∴抛物线的方程为x 2=4y. (2)证明由题意得直线l 1,l 2的斜率都存在且都不为0,由M (0,2),可设直线AB 的方程为y=kx+2(k ≠0), 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =kx +2,x 2=4y ,得x 2-4kx-8=0,则x 1+x 2=4k ,∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+4=4k 2+4,∴AB 的中点E (2k ,2k 2+2).∵l 1⊥l 2,∴直线CD 的斜率为-1k,同理可得CD 的中点F -2k ,2k2+2,∴EF 的方程为y-(2k 2+2)=2k 2+2-2k 2-22k+2k(x-2k ),化简整理得y=k-1k x+4, ∴直线EF 恒过定点(0,4).3.解 (1)由题意得b=√3,e=√1-b 2a 2=√1-3a 2=12,解得a=2,所以椭圆的方程为x 24+y23=1.(2)是定值.理由如下:由椭圆的方程x 24+y 23=1,得右焦点F (1,0),设直线l 的方程为y=k (x-1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k (x -1),x 24+y23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0,则x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2, |AB|=√1+k 2|x1-x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=12(1+k 2)3+4k 2,设线段AB 的中点为D (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k2,则y 0=k (x 0-1)=-3k3+4k2,即D (4k 23+4k2,-3k 3+4k 2),所以直线l 的中垂线的方程为y--3k3+4k2=-1k x-4k 23+4k 2.令y=0,得x P =k 23+4k 2,所以|PF|=|x P -1|=|k 23+4k 2-1|=3(k 2+1)3+4k 2,所以|PF ||AB |=3(k 2+1)3+4k 212(1+k 2)3+4k2=14. 4.(1)解设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0), 则{4n =1,94m +n =1,解得{m =13,n =14. 故椭圆E 的方程为x 23+y 24=1. (2)证明由点A (0,-2),B (32,-1),可知直线AB 的方程为y=23x-2.当过点P 的直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为x=1.由{x =1,x 23+y 24=1,解得{x =1,y =2√63或{x =1,y =-2√63,则点M (1,-2√63),N (1,2√63). 将y=-2√63代入y=23x-2,得x=3-√6,则点T (3-√6,-2√63). 又MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点H (5-2√6,-2√63),所以直线HN 的方程为y-2√63=-2√63-2√635-2√6-1x-1),即y=(2√63+2)x-2, 所以直线HN 过点(0,-2).当过点P 的直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y+2=k (x-1),点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由{y +2=k (x -1),x 23+y 24=1,消去y ,得(4+3k 2)x 2-6k (k+2)x+3k (k+4)=0,则Δ>0,x 1+x 2=6k (k+2)4+3k 2,x 1x 2=3k (k+4)4+3k 2. 将y=y 1代入y=23x-2,得x=32(y 1+2),则点T (32(y 1+2),y 1).又MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点H (3y 1+6-x 1,y 1).所以直线HN 的方程为(3y 1+6-x 1-x 2)(y-y 2)=(y 1-y 2)(x-x 2),即(3y 1+6-x 1-x 2)(y-y 2)-(y 1-y 2)(x-x 2)=0.将x=0,y=-2代入上式,整理得12-2(x 1+x 2)+3y 1y 2+6(y 1+y 2)-x 1y 2-x 2y 1=0.(*) 因为x 1+x 2=6k (k+2)4+3k2,x 1x 2=3k (k+4)4+3k2,所以y 1+y 2=k (x 1-1)-2+k (x 2-1)-2=-8k -164+3k 2,x 1y 2+x 2y 1=x 1[k (x 2-1)-2]+x 2[k (x 1-1)-2]=-24k4+3k 2,y 1y 2=[k (x 1-1)-2][k (x 2-1)-2]=-8k 2+16k+164+3k 2,所以(*)式左边=12-12k (k+2)4+3k2+-24k 2+48k+484+3k2+-48k -964+3k2−-24k 4+3k 2=0=右边,即(*)式成立.所以直线HN 过点(0,-2).综上所述,直线HN 恒过定点(0,-2).5.(1)解由题可知{b =√2,c a =√32,a 2=b 2+c 2,解得a=2√2,b=√2,∴椭圆C 的方程为x 28+y 22=1. (2)证明设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则E (-x 1,-y 1).设直线l 为y=12x+t ,代入椭圆方程得x 2+2tx+2t 2-4=0,则Δ=4t 2-4(2t 2-4)>0,解得-2<t<2,x 1+x 2=-2t ,x 1x 2=2t 2-4,则k AE +k AQ =y 2-1x 2+2+-y 1-1-x 1+2=(2-x 1)(y 2-1)-(2+x 2)(y 1+1)(2+x 2)(2-x 1),又y 1=12x 1+t ,y 2=12x 2+t ,∴(2-x 1)(y 2-1)-(2+x 2)(y 1+1)=2(y 2-y 1)-(x 1y 2+x 2y 1)+x 1-x 2-4=x 2-x 1-(x 1x 2+tx 1+tx 2)+x 1-x 2-4=-x 1x 2-t (x 1+x 2)-4=-(2t 2-4)-t (-2t )-4=0,即k AE +k AQ =0,∴k AE =-k AQ .于是k AE ·k AQ =-k AQ 2≤0.6.(1)解设M (x ,y ),由题意得d=|x|,MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,√3-y ),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2-x ,-√3-y ), ∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d 24-1,∴(2-x ,√3-y )·(-2-x ,-√3-y )=d 24-1,∴x 2-4+y 2-3=x 24-1.∴3x24+y 2=6,M 的轨迹方程为x 28+y 26=1. (2)证法一显然GH 斜率存在,设P (x 0,0),设GH 的方程为y=k 4x+m ,由题意知CD 的方程为y=k 1(x-x 0),联立方程{y =k 1(x -x 0),y =k 4x +m ,解得{x =k 1x 0+mk 1-k 4,y =k 1(k 4x 0+m )k 1-k 4,可得G k 1x 0+m k 1-k 4,k 1(k 4x 0+m )k 1-k4,设C (x C ,y C ),D (x D ,y D ),则有x C28+y C26=1,x D28+y D26=1,两式相减得:x C 2-x D28+y C 2-y D26=0,则有k 1=y C -y D x C-x D=-34·x C +xD y C+y D,又G 为CD 中点,则有k 1=-34·k 1x 0+mk1(k 4x 0+m ),将G 坐标代入CD 的方程可得4(k 4x 0+m )k 12+3x 0k 1+3m=0,同理可得4(k 4x 0+m )k 22+3x 0k 2+3m=0,故k 1,k 2为关于k 的方程4(k 4x 0+m )k 2+3x 0k+3m=0的两实根. 由韦达定理得k 1+k 2=-3x 04(k4x 0+m ).将x=x 0代入直线GH :y=k 4x+m ,可得N (x 0,k 4x 0+m ),故有k 3=k 4x 0+m x 0,则k 3(k 1+k 2)=k 4x 0+m x 0[-3x 04(k 4x 0+m )]=-34, 故k 3(k 1+k 2)为定值-34.证法二由题意知直线CD ,EF ,ON 的斜率都存在,分别为k 1,k 2,k 3,设P (t ,0),N (t ,k 3t )(t ≠0),则直线CD ,EF 的方程分别为y=k 1(x-t ),y=k 2(x-t ),两直线分别与曲线W 相交,联立方程{y =k 1(x -t ),x 28+y 26=1,得(6+8k 12)x 2-16k 12tx+8k 12t 2-48=0,解得{x G =x 1+x 22=4k 12t3+4k 12,y G =-3k 1t3+4k 12,可得G (4k 12t3+4k 12,-3k 1t3+4k 12),同理可得H (4k 22t3+4k 22,-3k 2t3+4k 22),。

高考解析几何定点、定值问题例题以及答案详解

解析几何定点、定值问题1、已知椭圆C ：(22221>>0)y x a b a b +=的离心率为21，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P （4，0），A,B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；2、斜率为1的直线l 过抛物线2:2(0)y px p Ω=>的焦点F ，与抛物线交于两点A ，B 。

（1）若|AB|=8，求抛物线Ω的方程；（2）设P 是抛物线Ω上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交抛物线的准线于M ，N 两点，证明M ，N 两点的纵坐标之积为定值（仅与p 有关）。

3、在平面直角坐标系中，点(,)P x y 为动点，已知点A，(B ，直线PA 与PB的斜率之积为12-.（I ）求动点P 轨迹E 的方程;（II ）过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (Q M 、不重合)，求证：直线MQ 过定点.4、如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1、F 2为焦点的椭圆的一部分，曲线C 2是以原点O为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，3(2A 是曲线C 1和C 2的交点.(Ⅰ)求曲线C 1和C 2所在的椭圆和抛物线的方程；(Ⅱ)过F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1、C 2依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点，H 为BE 中点，问22||||||||BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.5、已知抛物线)0(22>-=p px y 的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于P 点，交抛物线于,A B 两点，其中A 在第二象限。

（1）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；（2）若12FA AP,BF FA λλ==，求21λλ-的值.6、已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ,焦点为F .⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上,且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线,交l 于点A , 交⊙M 于另一点B ,且2AO OB ==.（Ⅰ）求⊙M 和抛物线C 的方程；（Ⅱ）过圆心M 的直线交抛物线C 于P 、Q 两点,求OP OQ ⋅的值。

2019高考数学二轮复习专题四解析几何微专题7解析几何中定点与定值问题课件

化简,得(a2-r2)y2-2ty(ax-r2)+t2(x2-r2)=0.①
又P(x1,y1),Q(x2,y2)在圆C上,圆C:x2+y2-r2=0.②
由①-t2×②,得(a2-r2)y2-2ty(ax-r2)+t2(x2-r2)-t2(x2+y2-r2)=0.
化简,得(a2-r2)y-2t(ax-r2)-t2y=0.
解析 (1)当r=2,M(4,2)时,A1(-2,0),A2(2,0), 直线MA1的方程为x-3y+2=0.
由

x
x2
y2 3y
24,0,得P 85 ,
6 5
.
直线MA2的方程为x-y-2=0.由

x2

y2

4,
x y 2 0,
得Q(0,-2).
1-1 已知圆O:x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:x-2y=0. (1)求与圆O相切,且与直线l垂直的直线方程;
(2)若在直线OA上存在定点B(不同于点A),满足:对于圆O上任一点P,都有 | PB | | PA |
为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标.
解析 (1)设所求直线方程为y=-2x+b,即2x+y-b=0.
(3)设点D的坐标为(x3,y3).由C(0,1),M(x1,0)可得直线CM的方程y=- x11 x+1,
与椭圆方程联立,得

y 1 x1
x2 y2 2
1,
1.解得x3= x142 x1
2
,y3=
x12 x12

2 2
.
由B( 2 ,0),得直线BD的方程为y=

解析几何中的定点、定值问题(含答案)

解析几何中的定点和定值问题【教学目标】学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态图形中的几何对象，探究、证明其不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中的作用．【教学难、重点】解题思路的优化．【教学方法】讨论式【教学过程】一、基础练习1、过直线4x =上动点P 作圆224O x y +=：的切线PA PB 、，则两切点所在直线AB 恒过一定点．此定点的坐标为_________．【答案】(1,0)【解析】设动点坐标为(4,t P ），则以OP 直径的圆C 方程为：(4)()0x x y y t -+-= ，故AB 是两圆的公共弦，其方程为44x ty +=．注：部分优秀学生可由200x x y y r += 公式直接得出．令4400x y -=⎧⎨=⎩得定点(1,0).2、已知PQ 是过椭圆22:21C x y +=中心的任一弦，A 是椭圆C 上异于P Q 、的任意一点．若AP AQ 、分别有斜率12k k 、，则12k k ⋅=______________．【答案】-2【解析】设00(,),(,)P x y A x y ，则(,)Q x y --220001222000y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，又由A 、P 均在椭圆上，故有：2200222121x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减得2222002()()0x x y y -+-= ，220122202y y k k x x-⋅==-- 3，过右焦点F 作不垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点， AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则_______.1=24e【解析】设直线AB 斜率为k ，则直线方程为()3y k x =-,与椭圆方程联立消去y 整理可得()22223424361080k x k x k +-+-=,则221212222436108,3434k k x x x x k k -+==++, 所以1221834ky y k-+=+, 则AB 中点为222129,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 所以AB 中垂线方程为22291123434k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭, 令0y =,则22334k x k =+,即223,034k N k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭, 所以222239(1)33434k k NF k k+=-=++.()2236134k AB k +==+,所以14NF AB =.F A ,是其左顶点和左焦点，P 是圆222b y x =+上的动点，若PAPF=常数，则此椭圆的离心率是【答案】e =215- 【解析】因为PAPF=常数，所以当点P 分别在（±b，0）时比值相等，2b ac =，又因为222b ac =-，所以220a c ac --=同除以a 2可得e 2+e -1=0，解得离心率e =215-．二、典例讨论例１、如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22142x y +=的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．分析一：设PQ 的方程为y kx =，设点()00,P x y （00x >），则点()00,Q x y --．联立方程组22,24y kx x y =⎧⎨+=⎩消去y 得22412x k =+．所以0x，则0y =．所以直线AP的方程为)2y x =+．从而M ⎛⎫⎝同理可得点N ⎛⎫ ⎝．所以以MN为直径的圆的方程为2(0x y y ++=整理得：2220x y y +--=由22200x y y ⎧+-=⎨=⎩，可得定点(0)F 分析二：设P （x 0，y 0），则Q （﹣x 0，﹣y 0），代入椭圆方程可得220024x y +=．由直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，可得0020,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理由直线QA 方程可得0020,2y N x ⎛⎫⎪-⎝⎭，可得以MN 为直径的圆为2000022022y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅-= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，整理得：2220020002240224y y y x y y x x x ⎛⎫+-++= ⎪+--⎝⎭由于220042x y -=-，代入整理即可得2200204204x y x y y x ⎛⎫+--=⎪-⎝⎭此圆过定点(0)F ．分析三：易证：2212AP AQb k k a =-=-，故可设直线AP 斜率为k ，则直线AQ 斜率为12k-.直线AP 方程为(2)y k x =+，从而得(0,2)M k ，以12k -代k 得10,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭故知以MN 为直径的圆的方程为21(2)()0x y k y k+-+= 整理得：2212(2)0x y k y k+-+-=由22200x y y ⎧+-=⎨=⎩，可得定点(0)F .分析四、设(0,),(0,)M m N n ，则以MN 为直径的圆的方程为2()()0x y m y n +--=即22()0x y m n y mn +-++= 再由221=2AP AQAM AN b k k k k a =-=-得2mn =-，下略例2、已知离心率为e 的椭圆C (1)e ，和()20，. (1) 求椭圆C 的方程；(2) 已知AB MN 、为椭圆C 上的两动弦，其中M N 、关于原点O 对称，AB 过点(1,0)E ，且AB MN 、斜率互为相反数. 试问：直线AM BN 、的斜率之和是否为定值？证明你的结论.解析：(1)由题意：22222111a e eb a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (2) 设AB 方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则MN 方程为y kx =-又设33(,)M x kx -，33(,)N x kx -1323132313231323(1)(1)AM BN y kx y kx k x kx k x kx k k x x x x x x x x +--+--+=+=+-+-+则整理得：[]132323131323(1)()(1)()()()AM BN k x x x x x x x x k k x x x x +-++---+=-+212312132322()()()AM BN k x x x x x k k x x x x ⎡⎤+-+⎣⎦+=-+ ①由22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩消元整理得：2222(41)8440k x k x k +-+-=，所以22121222844,4141k k x x x x k k -+==++ ② 又由2244y kx x y =-⎧⎨+=⎩消元整理得：22(41)4k x +=，所以232441x k =+ ③将②、③代入①式得：0AM BN k k +=.例2(变式)、已知离心率为e 的椭圆C (1)e ，和()20，. (3) 求椭圆C 的方程；(4) 已知AB MN 、为椭圆C 上的两动弦，其中M N 、关于原点O 对称，AB 过定点(,0),(22)E m m -<<，且AB MN 、斜率互为相反数. 试问：直线AM BN 、的斜率之和是否为定值？证明你的结论.解析：(3)由题意：22222111a e e b a b ⎧=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⎪=⎩⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (4) 设AB 方程为()y k x m =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则MN 方程为y kx =-又设33(,)M x kx -，33(,)N x kx -1323132313231323()()AM BN y kx y kx k k x x x x k x m kx k x m kx x x x x +-+=+-+-+--=+-+则整理得：[]132323131323()()()()()()AM BN k x x m x x x x m x x k k x x x x +-++---+=-+212312132322()()()AM BN k x x x m x x k k x x x x ⎡⎤+-+⎣⎦+=-+ ①由22()44y k x m x y =-⎧⎨+=⎩消元整理得：22222(41)8440k x k mx k m +-+-=，所以222121222844,4141k m k m x x x x k k -+==++ ② 又由2244y kxx y =-⎧⎨+=⎩消元整理得： 22(41)4k x +=，所以232441x k =+ ③将②、③代入①式得：0AM BN k k +=.三、课外作业1、已知椭圆22+142x y =，A 、B 是其左、右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连结AM 交椭圆于点P ，在x轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP 、MQ 的交点，则点Q 的坐标为____________．【答案】（0,0）【解析】试题分析：设(2,),M t 则:(2)4tAM y x =+，与椭圆方程联立消y 得2222(8)44320t x t x t +++-=，所以221628P tx t -=+，288P t y t =+，因此22282816228BP tt k t tt +==---+，即1BP OM k k =-，点Q 的坐标为O （0,0）2、已知PA 、右顶点B 的任意一点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1212,,k k k k ⋅则的值为．【答案】13- 【解析】设(,)P x y ，因为P 在椭圆上，所以3、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =12，A,B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB 的动点，直线PA,PB 的倾斜角分别为,αβ，则cos()cos()αβαβ+-= .【答案】7 【解析】试题分析：因为A,B 是椭圆的左右顶点，P 为椭圆上不同于AB 的动点，22PA PBb k k a ∴⋅=-2222211132244c a b b e a a a -=∴=∴=∴=，2234PA PBb k k a ∴⋅=-=-，31cos()cos cos sin sin 1tan tan 473cos()cos cos sin sin 1tan tan 14αβαβαβαβαβαβαβαβ++--====-++- 4、如图所示，已知椭圆CC 上任取不同两点A ，B ，点A 关于x 轴的对称点为'A ，当A ，B 变化时，如果直线AB 经过x 轴上的定点T (1，0)，则直线'A B 经过x 轴上的定点为________．【答案】(4，0)【解析】设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my－3＝0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－224m m +，y 1y 2＝－234m +，当m ≠0时，经过点A′(x 1，－y 1)，B(x 2，y 2)的直线方程为121y y y y ++＝121x x x x --.令y ＝0，得x ＝2121x x y y -+y 1＋x 1＝2121my my y y -+y 1＋my 1＋1＝2212112121my y my my y my y y －＋＋＋＋1＝12212my y y y ＋＋1＝2232424m m m m ⋅+-+－＋1＝4，所以y ＝0时，x ＝4. 当m ＝0时，直线AB 的方程为x ＝1，此时A′，B 重合，经过A′，B 的直线有无数条，当然可以有一条经过点(4，0)的直线．当直线AB 为x 轴时，直线A ′B 就是直线AB ，即x 轴，这条直线也经过点(4，0)．综上所述，当点A ，B 变化时，直线A ′B 经过x 轴上的定点(4，0)．5、的右焦点2F 的直线交椭圆于于,M N 两点，令【解析】试题分析：不失一般性，不妨取MN 垂直x 轴的情况，此时MN ：x=1,联立221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得M （1，32）,N （1，-32），∴m=n=32，∴34mn m n =+6、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(B 在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解析：（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(2B 在椭圆C 上，由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以2a ==．所以a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=．解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①因为点(2B 在椭圆C 上，所以22421a b+=． ②由①②解得，a =2b =．所以椭圆C 的方程为22184x y +=．（Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+．所以0x =，则0y =．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得y =，即点M ⎛⎫⎝．同理可得点N ⎛⎫ ⎝．所以MN ==．设MN的中点为P ，则点P 的坐标为0,P ⎛⎝⎭．则以MN 为直径的圆的方程为22x y k ⎛++= ⎝⎭2，即224x y y k++=．令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．解法二：因为椭圆C 的左端点为A ，则点A 的坐标为()-．设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE的方程为y x =+．因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得y =M ⎛⎫⎝．同理可得点N ⎛⎫ ⎝．所以020168yMN x ==-．因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=．所以08MN y =．设MN 的中点为P ，则点P的坐标为000,P y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．则以MN为直径的圆的方程为2200x y y ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭2016y ．即220+x y y y +=4．令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A的坐标为()-．因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ，设点(),2sin E θθ（0θ<<π），则点(),2sin F θθ--．所以直线AE 的方程为y x =+．因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．所以2sin 2sin 4cos 1cos 1sin MN θθθθθ=-=+-．设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ⎛⎫-⎪⎝⎭．则以MN 为直径的圆的方程为222cos sin x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭24sin θ，即224cos 4sin x y y θθ++=．令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．7、已知椭圆C: 2222x y a b+=1（a >0，b >0）的离心率为2，点A (1，2)在椭圆C 上．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交于两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+，又因为点(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=，解得2a =，1b =，c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=.证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=.由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ，因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+.由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=，则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->. 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221kmx x k -+=+，2y x b =-+，设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ，所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++===222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+，将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-. 要使得12k k 为定值，则224141r r -=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-.8、已知椭圆C 1：22221(0)y x a b a b+=>>M (1)．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：1()3y kx k =-∈R 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点？若存在，求出P 点的坐标，若不存在，说明理由． (1)解：由已知222222252511142c e a a b c a b a b ⎧==⎪⎧=⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪=+=⎩⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为2224155y x +=(2)解：由221324155y kx y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：229(24)12430k x kx +--= ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根∴12122212439(24)9(24)k x x x x k k +==-++，设P (0，p )，则1122()()PA x y p PB x y p =-=-，，， 22121212121212112()()()()333pPA PB x x y y p y y p x x kx kx pk x x p ⋅=+-++=+---+++2222(1845)3624399(24)p k p p k -++-=+若PA PB ⊥，则0PA PB ⋅=即222(1845)3624390p k p p -++-=对任意k ∈R 恒成立∴22184503624390p p p ⎧-=⎨+-=⎩此方程组无解，∴不存在定点满足条件。

人教B版高中数学选择性必修第一册专题7定点、定值、最值(范围)问题课件

QM
=
x,
y0 x0 1
y
,QN
=
x,
y0 x0 1
y
,
∴QM
·QN
=x2-
y0 x0 1
y
y0 x0 1
y
=x2+y2- y02
x02 1
+
2 x02
y0
1
y=0,
易知
x02
-
y02 2
=1,∴x2+y2-2+
4 y0
y=0,
∴
y 0, x2 y
2
2
解得
0,
x y
0,
2,
∴定点Q的坐标为( 2,0)或(- 2,0).
∴双曲线C:x2- y2 =1,∴A(-1,0),B(1,0),
2
设P(x0,y0)(y0≠0),则kPA= y0 ,kPB= y0 ,
x0 1
x0 1
∴直线PA:y= y0 (x+1),直线PB:y= y0 (x-1),
x0 1
x0 1
∴M
0,
y0 x0
1
,N
0,
y0 x0
1
,
设Q(x,y),则
9.(2023浙江宁波市镇海中学期中)已知椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0),两条直线l1:x-3y=0,
l2:x+3y=0,过椭圆上一点P作l1,l2的平行线,分别交l2,l1于点M,N,若|MN|为定值,则
a b
= (A )
A.9
B.4
C.3
D.2
解题思路
当点P坐标为(0,b)时,过点P作l1,l2的平行线分别为直线y=

高考数学二轮专题训练2-53课时突破解析几何解答题第2课时圆锥曲线中的定点定值问题课件

4
(2)由题意可知,直线PQ的斜率存在,故设直线PQ的方程为y=kx+2,
点P(x1,y1),Q(x2,y2),
则直线BP的方程为y=y1 1x-1,令y=0,
x1
得点M的横坐标xM=y1x1 1 ,……………………………………………………5分
直线BQ的方程为y=y2 1 x-1,令y=0,
x2
得点N的横坐标xN=y2x2 1 ,……………………………………………………6分
2
(2)因为点B(1,-2)在抛物线C上,
所以由(1)可得抛物线C的方程是y2=4x.
易知直线BP,BQ的斜率均存在,设直线BP的方程为y+2=k(x-1),
将直线BP的方程代入y2=4x,消去y,
得k2x2-(2k2+4k+4)x+(k+2)2=0.
设P(x1,y1),则x1=（k
2）2 ， k2
由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为
(t， 4 t2 ),(t，
4 t2 ).
2
2
则k1+k2=
4 t2 2t
2
4 =t2-12,得t=2,不符合题设.
2t
a2 4,
b
2
1.
从而可设l:y=kx+m(m≠1).
将y=kx+m代入x2 +y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
所以 1×(2+b)×a=3, ……………………………………………………1分
2
又因为e= c ,3所以a=2b,
a2
所以 ×1 (2+b)×2b=3,……………………………………………………2分

解析几何中定值和定点问题

解析几何中的定值定点问题(一)与直线x -y 2=0相切. ⑴求椭圆C 的方程；⑵设P(4, 0) , M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结 PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线 ME 与x 轴相交于定点. 解：⑴由题意知e =£3，所以e 2 =与=a ;b=3，即玄2 =4b 2，又因为b ! 1,所以a 2a a 4J l +1222X2a =4,b =1，故椭圆C 的方程为C : - y =1 .4⑵由题意知直线 PN 的斜率存在，设直线 PN 的方程为y =k(x _4)①+y 二k(x 一4)联立 X 2 2 消去 y 得：(4k 2 -1)x 2 -32k 2x 4(16k 2-1) =0 ,4 y T由,;=(32k 2)2 _4(4k 2 1)(64k 2 —4) 0 得 12k 2 -1 ：：:0,又k =0不合题意，所以直线PN 的斜率的取值范围是3::: k ：:：0或0 :：: k 3 .6 6⑶设点 N(N ,yj E(X 2, y 2)，则 M (为，-yj ，直线 ME 的方程为 y-y ?二一(x-x ?),X 2 —X 1令 y=0，得 x=X 2——X^) , 将射=k(X 1 - 4), y 2 = k(X 2 - 4)代入整理，得 x = _4(XX 2). ②y 2 +y 1X 1 +血一82 2由得①X 1 X 2二卫!J, X 1X 2二竺 4代入②整理，得X=1 ,4k -+1 4k +1 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1, 0).【针对性练习1]在直角坐标系xOy 中，点M 到点F 1 i 、3,0 , F 2 .3,0的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点 A ，不过点A 的直线l : ^ kx b 与轨迹C 交于不同的两点 P 和Q . ⑴求轨迹C 的方程；⑵当AP AQ =0时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点.解：⑴•••点M 到.[73,0 , . 3 ,0的距离之和是4 , ••• M 的轨迹C 是长轴为4 ,焦点在x 轴上焦中为2 32的椭圆，其方程为-y 2 =1 .、定点问题【例1 ].已知椭圆C : 2 2孚 Z =1(a b 0)的离心率为a b仝，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 2AO J7—⑵将y=kx・b，代入曲线C的方程，整理得(1 4k2)x28 2kx ^0，因为直线|与曲线C交于不同的两点P 和Q，所以厶=64kb -4(1 4k )(4b — 4) =16(4k -b 1) 0 ①设P X i , y i ，Q| x2 , y2 ，则X i :' X? 2 ，X i X? 2 ②f' 1+4k 1+4k且y i y^(kX i b)(kX? ■ b^(k2X i X?) kb(X i X?)b2，显然，曲线C与X轴的负半轴交于点 A -2 , 0，所AP = X 2 , y ，AQ = X? 2 , y?.由AP AQ = 0，得(x「2)(x? 2) y y? = 0 .将②、③代入上式，整理得12k? -16kb • 5b? =0.所以(2k -b) (6k -5b) = 0 ,即b = 2k或b .经检验,5都符合条件①，当b=2k时，直线I的方程为y =kx・2k •显然，此时直线I经过定点-2 , 0点•即直线|b =6k时，直线I的方程为y = kx ■ 6k =k经过点A，与题意不符.当5 5b = @ k，且直线I经过定点5【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆? ?—-匚=1的左、右顶点为A、B，右焦点9 5为F。

全国高考数学复习微专题：定点定直线问题

定点定直线问题一、基础知识：1、处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ）（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y = 的联系，得到有关k 与,x y 的等式（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立。

此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y 。

常见的变形方向如下： ① 若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括号内的部分为零即可② 若等式为含k 的分式， 00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式） 2、一些技巧与注意事项：（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）。

然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合。

属于“先猜再证”。

（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件。

所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点。

尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件。

例如：直线:1l y kx k =+-，就应该能够意识到()11y k x =+-，进而直线绕定点()1,1--旋转二、典型例题：例1：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，其左焦点到点()2,1P （1）求椭圆C 的标准方程（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标解：（1）1::22c e a b c a ==⇒=，设左焦点()1,0F c -1PF ∴==1c =2,a b ∴==∴椭圆方程为22143x y +=（2）由（1）可知椭圆右顶点()2,0D设()()1122,,,A x y B x y ，Q 以AB 为直径的圆过()2,0DDA DB ∴⊥即DA DB ⊥u u u r u u u r0DA DB ∴⋅=u u u r u u u r()()11222,,2,DA x y DB x y =-=-u u u r u u u rQ()()()121212*********DA DB x x y y x x x x y y ∴⋅=--+=-+++=u u u r u u u r①联立直线与椭圆方程：223412y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()()222348430k x mkx m +++-= ()2121222438,4343m mkx x x x k k -∴+=-=++ ()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m ∴=++=+++()22222222438312434343k m mk mk m k m k k k -⋅-=-+=+++，代入到① ()222222438312240434343m mk m k DA DB k k k --⋅=+⋅++=+++u u u r u u u r 22222412161612312043m mk k m k k -++++-∴=+ ()()22716407220m mk k m k m k ∴++=⇒++= 27m k ∴=-或2m k =-当27m k =-时，22:77l y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ l ∴恒过2,07⎛⎫ ⎪⎝⎭当2m k =-时，():22l y kx k k x =-=- l ∴恒过()2,0，但()2,0为椭圆右顶点，不符题意，故舍去l ∴恒过2,07⎛⎫⎪⎝⎭例2：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点2-⎭，且椭圆的离心率为12e = （1）求椭圆的方程（2）过椭圆的右焦点F 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于,A C 和,B D ，设线段,AC BD 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点解：（1）12c e a ==::2a b c ∴= 2222143x y c c ∴+=代入2-⎭可得：2233111443c c c +⋅=⇒=2,a b ∴==∴椭圆方程为22143x y +=（2）由（1）可得：()1,0F当直线AC 斜率不存在时，:1,:0AC x BD y == 所以可得：()()1,0,0,0P Q PQ ∴为x 轴当AC 斜率存在时，设():1,0AC y k x k =-≠，则()1:1BD y x k=-- 设()()1122,,,A x y C x y ，联立方程可得：()()222222143841203412y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩ 2122843k x x k ∴+=+()()()1212122611243ky y k x k x k x x k k ∴+=-+-=+-=-+ 212122243,,224343x x y y kk P k k ⎛⎫++-⎛⎫∴= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭同理，联立()22113412y x kx y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩，可得：22222114343,,3443114343k k k Q k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪∴== ⎪ ⎪++⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222222337434344414334PQk k k k k k k k k k --++∴==--++ PQ ∴的方程为：()222374434341k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪++-⎝⎭，整理可得： ()()()224744044740yk x k y y k k x +--=⇒-+-= 470x y ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩时，直线方程对k R ∀∈均成立 ∴直线PQ 恒过定点4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭而AC 斜率不存在时，直线PQ 也过4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭∴直线PQ 过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭例3：如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，其上顶点为A ，已知12F AF V 是边长为2的正三角形（1）求椭圆C 的方程（2）过点()4,0Q -任作一动直线l 交椭圆C 于,M N 两点，记MQ QN λ=u u u u r u u u r，若在线段MN上取一点R 使得MR RN λ=-u u u r u u u r ，试判断当直线l 运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线；若不在请说明理由解：（1）由椭圆方程可得()()()12,0,,0,0,F c F c A b -12F AF Q V 为边长是2的三角形122221FF c c ∴=⇒=⇒=OA b ==2224a b c ∴=+= 22143x y ∴+= （2）设():4MN y k x =+设()()1122,,,M x y N x y ， ()()11224,,4,MQ x y QN x y =---=+u u u u r u u u r由MQ QN λ=u u u u r u u u r 可得：()()11224444x x x x λλ+--=+⇒=-+设()00,R x y ，则()()01012020,,,MR x x y y RN x x y y =--=--u u u r u u u r由MR RN λ=-u u u r u u u r可得：()0120x x x x λ-=-()()()112212121201122442441814x x x x x x x x x x x x x x x λλ++⋅+++-∴===+-++++ ① 联立方程组()2234124x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 整理可得：()2222343264120k xk x k +++-=22121222326412,3434k k x x x x k k --∴+==++代入到①可得：22222022264123224243434341243283434k k k k k x k k k ---⋅+⋅+++===--+++ R ∴在定直线1x =-上例4：已知椭圆C 的中心在坐标原点，左，右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上的动点，12PF F V 的面积最大值为，以原点为中心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3450x y -+=相切（1）求椭圆的方程（2）若直线l 过定点()1,0且与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点，直线,AM BM 分别与y 轴交于,P Q 两点，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由解：（1）()1212max12PF F S F F b bc =⋅==V 因为圆与直线相切1O l d b b -∴==⇒=c ∴=2224a b c ∴=+=∴椭圆方程为：2214x y +=（2）当直线l 的斜率存在时，设():1l y k x =-，由椭圆方程可得点()2,0M设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程可得：()22441x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩()2222148440k xk x k +-+-=22121222844,1414k k x x x x k k-∴+==++ 由()2,0M ，()()1122,,,A x y B x y 可得：()()1212:2,:222y yAM y x BM y x x x =-=---，分别令0x =，可得： 1212220,,0,22y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，设x 轴上的定点为()0,0N x若PQ 为直径的圆是否过()0,0N x ，则0PN QN ⋅=u u u r u u u r12001222,,,22y y PN x QN x x x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r Q∴问题转化为()()212124022y y x x x +=--恒成立即()212012124024y y x x x x x +=-++ ①由22121222844,1414k k x x x x k k -+==++及()1y k x =-可得：()()()2212121212111y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦22341k k -=+代入到①可得：2220222234410448241414k k x k k k k -⋅++=--+++2220212304k x x k-⇒+=-=解得：03x =± ∴圆过定点()3,0±当直线斜率不存在时，直线方程为1x =，可得PQ 为直径的圆223x y +=过点()3,0± 所以以线段PQ 为直径的圆过x 轴上定点()3,0±例5：如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为22的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点，当直线PQ 的斜率为22时，23PQ = （1）求椭圆C 的标准方程（2）试问以MN 为直径的圆是否过定点（与PQ 的斜率无关）？请证明你的结论解：（1）由22PQ k =可得：2:2PQ y x =002,2P x x ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭由对称性可知：132OP PQ ==0x ==)P∴由2c e a ==可得::a b c = ∴椭圆方程为222212x y b b +=代入)P，可得：222,4b a ==22:142x y C ∴+=（2）设()00,P x y 由对称性可知()00,Q x y --，由（1）可知()2,0A - 设():2AP y k x =+，联立直线与椭圆方程：()()22222222424y k x x k x x y ⎧=+⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，整理可得： ()2222218840kx k x k +++-=2028421A k x x k -∴=+解得：2022421k x k -=+，代入()2y k x =+可得：202224422121k k y k k k ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭ 222244,2121k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭ 从而222244,2121k k Q k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭22222244012121822422121AQk k k k k k k k k k ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭+∴===--⎛⎫---- ⎪++⎝⎭()1:22AQ y x k∴=-+，因为,M N 是直线,PA QA 与y 轴的交点 ()10,2,0,M k N k ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ ∴以MN 为直径的圆的圆心为2210,2k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径2212k r k += ∴圆方程为：22222212122k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：222222222221212121222k k k k x y y x y y k k k k ⎛⎫⎛⎫--+-+-+=⇒+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以令0y =，解得x =∴以MN为直径的圆恒过()例6：已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切，过点()4,0P 且不垂直x 轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点（1）求椭圆C 的方程（2）若B 点关于x 轴的对称点是E ，求证：直线AE 与x 轴相交于定点解：（1）12c e a == 已知圆方程为：222x y b += 因为与直线相切d b b ∴==⇒=222212a a c b c a c=⎧-=⎧∴⇒⎨⎨==⎩⎩ ∴椭圆C 的方程为：22143x y += （2）设直线():4l y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ()22,E x y ∴-联立方程可得：()221434x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得： ()22234412x k x +-=()2222433264120k x k x k ∴+-+-=22121222326412,4343k k x x x x k k -∴+==++ 考虑直线:AE ()12121212AE y y y y k x x x x --+==--∴直线AE 的方程为：()121112y y y y x x x x +-=--令0y =可得：()()()112121y x x y y x x --=+-()122112x y x y x y y ∴+=+122112x y x y x y y +=+，而()()11224,4y k x y k x =-=-，代入可得：()()()()()1221121212124424448x k x x k x x x x x x k x k x x x -+--+==-+-+-，代入22121222326412,4343k k x x x x k k -+==++可得：2222222264123224244343431243284343k k k k k x kk k --⋅-⋅+++===--++ AE ∴与x 轴交于定点()1,0例7：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线():l x m m R =∈，四个点()()()(3,1,,3,1,---中有三个点在椭圆C 上，剩余一个点在直线l 上（1）求椭圆C 的方程（2）若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于,M N 两点，使得PM PN =，再过P 作直线'l MN ⊥，求证：直线'l 恒过定点，并求出该定点的坐标解：（1）因为四个点中有三点在椭圆上，由椭圆的对称性可知：()()3,1,3,1--必在椭圆上若()-在椭圆上，则为椭圆的左顶点。

(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题七解析几何7.4.3圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题课件理

7.4.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题
考向一考向二考向三
圆锥曲线中的定点问题例 1(2019 全国卷 3,理 21)已知曲线 C:y=��2��2,D 为直线 y=-12上的动点,过 D 作 C 的两条切线,切点分别为 A,B.
(1)证明:直线 AB 过定点;
(2)若以 E
0,
=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
=(1+��22��)��(22+��12 -12 )
−
4�� 2��2 2�� 2 +1
+m2
=3��
2-12�� 2 2�� 2+1
-12
=3(4+42��2�� 2)-+121�� 2-12=0,
整理得 2tx1-2y1+1=0.
设 B(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0.
故直线 AB 的方程为 2tx-2y+1=0.
所以直线 AB 过定点
0,
1 2
.
(2)解由(1)得直线 AB 的方程为 y=tx+12.
�� = �� + 1 , 由 �� = ��2 2 可得 x2-2tx-1=0.
|y0|= 22b,∴ ��△��1 = 12|y0||F1A|= 42b2(1+ 2). ∴ 42b2(1+ 2)=3+32 2,

解析几何中的定点和定值问题

解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

解析：设A 〔121,2y p y 〕，B 〔222,2y py 〕，则 212tan ,2tan y py p==βα，代入1)tan(=+βα得221214)(2p y y y y p -=+ 〔1〕又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入〔1〕式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点〔-)2,2p p说明：此题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=，由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<，又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =，所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解：⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k=+ ②且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

解析几何中定值与定点问题(最新整理)

y2 b2
1上的点( x0 , y0 )处的椭圆切线方程是
x0 x a2
y0 y b2
1,证明直线
AB 恒过椭圆的右
焦点 F2 ;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，试探究 1 1 的值是否恒为常数,若是,求出此常数;若不是,请 | AF2 | | BF2 |
说明理由.
x2 4、椭圆 C : a2
y2 b2
【实例探究】题型 1：定值问题:
例 1：已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线
的
焦点，离心率等于（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；（Ⅱ）过椭圆 C 的右焦点作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若
为定值.
解：（I）设椭圆 C 的方程为
，则由题意知 b = 1.
解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】
(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．
(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．
( 3
k2
t,
1 k
1)
1 1 1 ( 1 1) k 2
k 3k
直线SA的方程为y 2x 1 A(1 ,0) 2
同理 B( 3 ,0) 2
cos CSD cos ASB SA2 SB2 AB2 3
sin CSD 4
2SB SA
3 ,过 F1 且垂直 2
于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1, PF2 ,设 F1PF2 的角平分线 PM 交

新高考数学二轮总复习专题七解析几何 7.4.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题学案(含解析)

7.4.3 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题必备知识精要梳理圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. 2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值;(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.3.解决存在性问题的注意事项存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法.关键能力学案突破热点一圆锥曲线中的定点问题【例1】(2020全国Ⅰ,理20)已知A ,B 分别为椭圆E :x 2a 2+y 2=1(a>1)的左、右顶点,G 为E 的上顶点,AG⃗⃗⃗⃗⃗ ·GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8.P 为直线x=6上的动点,PA 与E 的另一交点为C ,PB 与E 的另一交点为D.(1)求E 的方程;(2)证明:直线CD 过定点.解题心得证明直线或曲线过定点,如果定点坐标没有给出,一般可根据已知条件表示出直线或曲线的方程,然后根据方程的形式确定其过哪个定点;如果得到的方程形如f (x ,y )+λg (x ,y )=0,且方程对参数的任意值都成立,则令{f (x ,y )=0,g (x ,y )=0,解方程组得定点.【对点训练1】(2020山东临沂二模,21)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√32,其左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 为坐标平面内的一点,且|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=32,PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-34,O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程;(2)设M 为椭圆C 的左顶点,A ,B 是椭圆C 上两个不同的点,直线MA ,MB 的倾斜角分别为α,β,且α+β=π2.证明:直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.热点二圆锥曲线中的定值问题【例2】(2020山东泰安三模,21)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,点O到直线AB的距离为2√55,△OAB的面积为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线l与椭圆交于C,D两点,若直线l∥直线AB,设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,证明:k1k2为定值.解题心得定值问题常见的2种求法(1)特例法:从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)引进变量法:其解题流程为【对点训练2】(2020山东淄博一模,21)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的短轴长为2√3,左右焦点分别为F 1,F 2,点B 是椭圆上位于第一象限的任一点,且当BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0时,|BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若椭圆C 上点A 与点B 关于原点O 对称,过点B 作BD 垂直于x 轴,垂足为D ,连接AD 并延长交椭圆C 于另一点M ,交y 轴于点N.①求△ODN 面积的最大值;②证明:直线AB 与BM 斜率之积为定值.热点三圆锥曲线中的存在性问题【例3】(2020山东,22)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率为√22,且过点A (2,1).(1)求C 的方程;(2)点M ,N 在C 上,且AM ⊥AN ,AD ⊥MN ,D 为垂足.证明:存在定点Q ,使得|DQ|为定值.解题心得有关存在性问题的求解策略(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定的问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在并设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.(3)解决存在性问题时要注意解题的规范性,一般先作出结论,后给出证明(理由).【对点训练3】(2020山东泰安二模,21)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e满足2e2-3√2e+2=0,以坐标原点为圆心,椭圆C的长轴长为半径的圆与直线2x-y+4√5=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(0,1)的动直线l(直线l的斜率存在)与椭圆C相交于A,B两点,问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q,使得|QA||QB|=S△APQS△BPQ恒成立?若存在,求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由.7.4.3圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题关键能力·学案突破【例1】(1)解由题设得A (-a ,0),B (a ,0),G (0,1).则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,-1).由AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ·GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8得a 2-1=8,即a=3.所以E 的方程为x 29+y 2=1.(2)证明设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),P (6,t ).若t ≠0,设直线CD 的方程为x=my+n ,由题意可知-3<n<3.由于直线PA 的方程为y=t9(x+3),所以y 1=t9(x 1+3).直线PB 的方程为y=t3(x-3),所以y 2=t3(x 2-3).可得3y 1(x 2-3)=y 2(x 1+3).由于x 229+y 22=1,故y 22=-(x 2+3)(x 2-3)9,可得27y 1y 2=-(x 1+3)(x 2+3),即(27+m 2)y 1y 2+m (n+3)(y 1+y 2)+(n+3)2=0.① 将x=my+n 代入x 29+y 2=1得(m 2+9)y 2+2mny+n 2-9=0.所以y 1+y 2=-2mnm 2+9,y 1y 2=n 2-9m 2+9.代入①式得(27+m 2)(n 2-9)-2m (n+3)mn+(n+3)2·(m 2+9)=0. 解得n=-3(舍去),n=32.故直线CD 的方程为x=my+32,即直线CD 过定点(32,0).若t=0,则直线CD 的方程为y=0,过点(32,0).综上,直线CD 过定点(32,0).对点训练1解(1)设P 点坐标为(x 0,y 0),F 1(-c ,0),F 2(c ,0),则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-c-x 0,-y 0),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c-x 0,-y 0),由题意得{x 02+y 02=94,(x 0+c )(x 0-c )+y 02=-34,解得c 2=3,∴c=√3.又e=ca =√32, ∴a=2.∴b 2=a 2-c 2=1,∴所求椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设直线AB 方程为y=kx+m ,点A ,B 的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由方程组{x 24+y 2=1,y =kx +m ,得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0,∴x 1+x 2=-8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1.又由α+β=π2,∴tan α·tan β=1.设直线MA ,MB 斜率分别为k 1,k 2,则k 1k 2=1,∴y 1x1+2·y 2x2+2=1.即(x 1+2)(x 2+2)=y 1y 2,(x 1+2)(x 2+2)=(kx 1+m )(kx 2+m ).∴(k 2-1)x 1x 2+(km-2)(x 1+x 2)+m 2-4=0,∴(k 2-1)4m 2-44k 2+1+(km-2)(-8km4k 2+1)+m 2-4=0,化简得20k 2-16km+3m 2=0.得m=2k ,或m=103k.当m=2k 时,y=kx+2k ,过点(-2,0),不合题意(舍去),当m=103k 时,y=kx+103k ,过点(-103,0),∴直线AB 恒过定点(-103,0).【例2】解(1)直线AB 的方程为xa +yb =1,即bx+ay-ab=0,则√a 2+b 2=2√55.因为△OAB 的面积为1,所以12ab=1,即ab=2,解得a=2,b=1,所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)直线AB 的斜率为-12,设直线l 的方程为y=-12x+t ,C (x 1,y 1),D (x 2,y 2), 与x 24+y 2=1联立,消去x ,得2y 2-2ty+t 2-1=0,则y 1+y 2=t ,y 1y 2=t 2-12,所以k 1k 2=y 1x 1-2·y 2-1x 2=y 1y 2-y 1x 1x 2-2x 2,所以x 1x 2-2x 2=4(t-y 1)(t-y 2)-4(t-y 2)=4[t 2-t (y 1+y 2)+y 1y 2-t+y 2]=4[(y 1+y 2)2-(y 1+y 2)(y 1+y 2)+y 1y 2-(y 1+y 2)+y 2]=4(y 1y 2-y 1).所以k 1k 2=14,为定值.对点训练2解(1)设F 2(c ,0),由BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得BF 2⊥F 1F 2,将x=c 代入x 2a2+y 2b2=1,得y=b2a,即|BF 2|=b 2a=32,由b=√3,解得a=2,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)设B (x 1,y 1),M (x 2,y 2),则A (-x 1,-y 1),D (x 1,0).①易知ON 为△ABD 的中位线,所以N (0,-y12),所以S △ODN =12|x 1|·-y12=14|x 1|·|y 1|=14x 1y 1.又B (x 1,y 1)满足x 24+y 23=1,所以x 124+y 123=1≥2·x 121√3=11√3,得x 1y 1≤√3,故S △ODN =14x 1y 1≤√34,当且仅当x 12=1√3=√22时,即x 1=√2,y 1=√62时取等号, 所以△ODN 面积的最大值为√34.②记直线AB 斜率为k=y 1x 1(k>0),则直线AD 的斜率为y 12x 1=k2,所以直线AD 的方程为y=k2(x-x 1).由{y =k2(x -x 1),x 24+y 23=1,消去y ,整理得(3+k 2)x 2-2k 2x 1x+k 2x 12-12=0,由韦达定理得(-x 1)+x 2=2k 2x 13+k 2,所以x 2=2k 2x 13+k 2+x 1=(3k 2+3)x 13+k 2,代入直线AD 的方程,得y 2=k 3x 13+k 2,于是,直线BM 斜率为y 2-y 1x 2-x 1=k 3x 13+k 2-kx 1(3k 2+3)x 13+k 2-x 1=-32k ,则k ·(-32k )=-32,所以直线AB 与BM 斜率之积为定值-32.【例3】解(1)由题设得4a 2+1b 2=1,a 2-b 2a 2=12,解得a 2=6,b 2=3,所以C 的方程为x 26+y 23=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).若直线MN 与x 轴不垂直,设直线MN 的方程为y=kx+m ,代入x 26+y 23=1得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-6=0.于是x 1+x 2=-4km1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2.①由AM ⊥AN 知AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故(x 1-2)(x 2-2)+(y 1-1)(y 2-1)=0, 可得(k 2+1)x 1x 2+(km-k-2)(x 1+x 2)+(m-1)2+4=0.整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.因为A (2,1)不在直线MN 上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k ≠1.于是MN 的方程为y=k x-23-13(k ≠1).所以直线MN 过点P23,-13.若直线MN 与x 轴垂直,可得N (x 1,-y 1).由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得(x 1-2)(x 1-2)+(y 1-1)(-y 1-1)=0.又x 126+y 123=1,可得3x 12-8x 1+4=0.解得x 1=2(舍去),x 1=23. 此时直线MN 过点P (23,-13). 令Q 为AP 的中点,即Q (43,13).若D 与P 不重合,则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边,故|DQ|=12|AP|=2√23.若D 与P 重合,则|DQ|=12|AP|.综上,存在点Q (43,13),使得|DQ|为定值. 对点训练3解(1)由题意知2a=√5|√4+1,∴a=2.由2e 2-3√2e+2=0,解得e=√22或e=√2(舍),即ca =√22,∴c=√2,∴b=√2.∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1.(2)存在.假设y 轴上存在与点P 不同的定点Q ,使得|QA ||QB |=S △APQ S △BPQ恒成立.设Q (0,m )(m ≠1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线l 的方程为y=kx+1.由{x 24+y 22=1,y =kx +1,可得(2k 2+1)x 2+4kx-2=0,∴x 1+x 2=-4k 2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1.Δ=16k 2+8(2k 2+1)=32k 2+8>0,S △APQ S △BPQ=12|x P ||QA |sin∠PQA 12|QP ||QB |sin∠PQB =|QA |sin∠PQA |QB |sin∠PQB.∵|QA ||QB |=S △APQ S △BPQ,∴sin ∠PQA=sin ∠PQB , ∴∠PQA=∠PQB , ∴k QA =-k QB ,∴y 1-m x 1=-y 2-m x 2,∴(m-1)(x 1+x 2)=2kx 1x 2,即-(m-1)4k2k 2+1=-2k 22k 2+1,S△APQ S△BPQ 恒成立.解得m=2.∴存在定点Q(0,2),使得|QA||QB|=。

解析几何题型2——《解析几何中的定值定点问题》

分析几何题型2——《分析几何中的定值定点问题》题型特色：定值、定点问题必定是在变化中所表现出来的不变的量，那么就能够用变化的量表示问题中的直线方程、数目积、比率关系等，这些直线方程、数目积、比率关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点。

解决这种问题的重点就是引进参数表示直线方程、数目积、比率关系等，依据等式的恒建立、数式变换等找寻不受参数影响的量。

这种试题考察的是在运动变化过程中找寻不变量的方法。

典例 1 如图，已知双曲线 C :x2 y 2 1(a 0) 的右焦点为 F ，点 A ， B 分别在 C 的两条渐近线上，a2AF x 轴， AB OB ， BF // OA （ O 为坐标原点）。

（ 1）求双曲线C的方程；（ 2）过C上一点P( x0, y0)的直线l :xxy0 y 1与直线 AF 订交于点 M ，与直线 x 3 订交于点 N ，a2 2MF恒为定值，并求此定值。

证明：当点 P 在 C 上挪动时，NF典例 2已知动圆过定点A(4,0) ，且在 y 轴上截得的弦MN 的长为8。

（ 1）求动圆圆心的轨迹 C 的方程；（ 2）已知点B(1,0) ，设不垂直于x 轴的直线l与轨迹C交于不一样的两点P ， Q ，若x轴是PBQ 的角均分线，证明直线l 过定点。

典例 3 已知直线 l : y x 6 ，圆O : x2 y 2 5，椭圆 E :y2 x2 1(a b 0) 的离心率 e 3 ，a 2 b2 3 直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等。

（1）求椭圆E的方程；（2）过圆O上随意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值。

典例 4 椭圆的两焦点坐标分别为F1 ( 3,0) 和 F2 ( 3,0) ,且椭圆过点(1, 3 ) 。

2（ 1）求椭圆方程；（ 2）过点(6 ,0) 作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左极点，试判断5 MAN 的大小能否为定值，并说明原因。

近年高考数学二轮复习专题七解析几何专题对点练24圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题文(2021年整

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专题对点练24 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.已知动圆M恒过点(0,1）,且与直线y=-1相切。

(1）求圆心M的轨迹方程;(2）动直线l过点P(0,—2),且与点M的轨迹交于A,B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点.2。

已知椭圆Γ：+y2=1(a〉1）与圆E:x2+=4相交于A,B两点,且｜AB|=2,圆E交y轴负半轴于点D.（1)求椭圆Γ的离心率；(2)过点D的直线交椭圆Γ于M，N两点,点N与点N’关于y轴对称,求证:直线MN’过定点,并求该定点坐标。

3。

已知抛物线E:y2=4x的焦点为F，圆C:x2+y2-2ax+a2-4=0,直线l与抛物线E交于A,B两点，与圆C切于点P.（1)当切点P的坐标为时，求直线l及圆C的方程；(2)当a=2时,证明：｜FA｜+|FB|-|AB|是定值,并求出该定值.4.设点M是x轴上的一个定点,其横坐标为a(a∈R）,已知当a=1时，动圆N过点M 且与直线x=-1相切,记动圆N的圆心N的轨迹为C.（1）求曲线C的方程;(2)当a>2时，若直线l与曲线C相切于点P（x0，y0)（y0>0),且l与以定点M为圆心的动圆M也相切,当动圆M的面积最小时,证明:M，P两点的横坐标之差为定值. 5。

解析几何定点、定值问题答案

解析几何定点、定值问题答案1、解：（Ⅰ）由题意知e=a c =21，所以e 2=22c a =222cb -a =41．即a 2=43b 2．又因为b=116+=3，所以a 2=4，b 2=3．故椭圆的方程为3422y x +=1.…4分（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y=k(x-4)．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)4(22y x x k y ,得（4k 2+3）x 2-32k 2x+64k 2-12=0． ①…6分设点B(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，则A(x 1,-y 1)．直线AE 的方程为y-y 2=1221x x y y -+(x-x 2)．令y=0，得x=x 2-12122)(y y x x y +-．将y 1=k(x 1-4)，y 2=k(x 2-4)代入，整理，得x=8)(42212121-++-x x x x x x ． ②…8分由①得x 1+x 2=34k 3222+k ，x 1x 2=3412k 6422+-k …10分代入②整理，得x=1．所以直线AE 与x 轴相交于定点Q(1,0)．……12分2、（1）解：设),,(),,(2211y x B y x A （1）由条件知直线.2:px y l -=．……1分由⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x y 2,22消去y ，得.04322=+-p px x …………2分由题意，判别式.044)3(22>⋅--=∆p p （不写，不扣分）由韦达定理，.4,322121p x x p x x ==+．……………………………3分由抛物线的定义，.43)2()2(||21p p p px p x AB =+=+++= 从而.42,84==p p 所求抛物的方程为.42x y =．…………………6分（2）易得.2,21221p y y p y y =+-=．……………………………7分设),(00y x P 。