初三相似三角形讲义
相似三角形的性质与判定讲义)
相似三角形的性质与判定讲义)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形详细讲义
知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ，ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ．(2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ．(3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似）6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形知识点九年级
相似三角形知识点九年级相似三角形是几何学中一个重要的知识点，它在解决实际问题和推导其他几何性质时起着关键作用。
相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在初中数学中，我们主要学习三个与相似三角形相关的知识点：相似三角形的判定条件、相似三角形的性质以及相似三角形的应用。
首先，我们来看相似三角形的判定条件。
两个三角形相似的必要条件是它们的对应角相等，即如果两个三角形的三个内角分别相等，那么它们就是相似的。
进一步地，我们还可以通过判断它们的对应边之间的比例关系来确定两个三角形是否相似。
如果两个三角形的对应边比例相等，那么它们也是相似的。
这一判定条件是解决相似三角形问题时的重要思路。
接下来，我们来研究相似三角形的性质。
首先，相似三角形中的对应边比例相等。
也就是说，如果两个三角形相似，那么它们的对应边之间的比例关系是恒定的。
其次，相似三角形的对应角相等。
这个性质与相似三角形的判定条件相呼应。
最后，如果两个三角形相似，那么它们的面积之间的比例关系等于对应边的平方比。
这个性质在解决计算相似三角形面积的问题时非常有用。
最后，让我们来看一下相似三角形的应用。
相似三角形广泛地应用于测量和计算问题中。
比如在测量高建筑物的高度时，我们可以利用相似三角形的原理，通过测量阴影长度和太阳高度的关系来计算建筑物的高度。
此外，在地图制作中，我们也可以利用相似三角形来确定地图上各个地点的实际距离。
在几何推导中，相似三角形也是许多几何性质的基础，如正弦定理和余弦定理等。
相似三角形是初中数学中一个重要的几何概念，它的判定条件、性质和应用广泛地应用于各种实际问题以及数学推导中。
通过学习相似三角形，我们不仅可以提高解决实际问题的能力，还能够在进一步学习几何知识时打下坚实的基础。
因此，在学习数学的过程中，我们应该重视相似三角形的学习和应用。
《相似三角形》最全讲义(完整版).docx
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1・图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位•用、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括•立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.3•相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意:当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a. b的长度分別是m、n,那么就说这两条线段a _ m的比是a： b = m： n （或〃n）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a： b屮。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
兰_ £3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如芦°a _ £4、比例外项：在比例“ d（或a： b=c： d）中a、d叫做比例外项。
a _ c5、比例内项：在比例〃〃（或a： b = c： d）中b、c叫做比例内项。
a _ c6、第四比例项：在比例〃d（或a： b=c： d）中，d叫a、b、c的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为U（或a:b=b:c时，我们把b 叫做a和d的比例中项。
&比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或a： b二c： d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线b d 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质—――o ad = he1•基本性质：b d（两外项的积等于两内项积）a cb d _ "> 2•反比性质： b d ac （把比的前项、后项交换）3. 更比性质（交换比例的内项或外项）:- = 交换内项） c df ?=£,佼换外项）h d b a- = -.（R ］时交换内外项） c a4•合比性质：f = £二字=申（分子加（减）分母，分母不变） b a b a注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间5•等比性质：（分子分母分别相加，比值不变•）=• • • = — (/? + 〃 + f H n 0),那么 n 注意：（1）此性质的证明运用了“设k 法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法.（2） 应用等比性质吋，要考虑到分母是否为零.（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立・知识点三：黄金分割1）定义:在线段AB 上，点C 把线段4B 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ）,如果些=匹，AB AC即AC 2=AB X BC,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割 点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
九年级数学相似三角形知识点
九年级数学相似三角形知识点咱来唠唠九年级数学里的相似三角形知识点哈。
一、相似三角形是啥玩意儿呢？简单来说，相似三角形就像是三角形家族里的“克隆兄弟”，它们形状相同，但大小可能不一样。
就好比你用放大镜看一个小三角形，放大后的三角形和原来的小三角形就是相似的。
二、相似三角形的判定方法1. 两角对应相等- 如果两个三角形有两个角分别相等，那这两个三角形就相似。
这就像是两个人，只要他们在两个关键的地方（角度）长得一样，那他们就有相似之处。
比如说三角形ABC和三角形DEF，要是∠A = ∠D，∠B = ∠E，那这两个三角形就相似啦。
2. 两边对应成比例且夹角相等- 想象一下，两个三角形的两条边的长度比例是一样的，而且这两条边所夹的角也相等。
就像两根一样比例的小棍，它们夹着相同角度的话，那这两个三角形也是相似的。
比如在三角形ABC和三角形DEF中，AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D，那这两个三角形就相似喽。
3. 三边对应成比例- 这个就更好理解啦，三个边的长度比例都一样的两个三角形肯定相似。
就好比三个小伙伴，他们的身高、臂长、腿长的比例都相同，那他们就是相似的三角形啦。
如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么三角形ABC和三角形DEF就是相似三角形。
三、相似三角形的性质1. 对应边成比例- 相似三角形的对应边的比例是相等的。
就像前面说的那些判定方法里的边的比例一样。
如果三角形ABC相似于三角形DEF，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF，这个比例是固定的哦。
2. 对应角相等- 因为相似三角形形状相同嘛，所以它们的对应角肯定是相等的。
∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 相似三角形的周长比等于相似比- 相似比就是对应边的比例。
比如说相似三角形ABC和DEF的相似比是k （AB/DE = k），那么它们的周长比也是k。
就好比两个相似的图形，一个大一个小，大的图形的周长是小的图形周长的k倍。
初三相似三角形知识点
初三相似三角形知识点在初三数学中，相似三角形是一个重要的知识点。
相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
接下来，我们将介绍一些与相似三角形相关的重要概念和定理。
1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
对于两个相似三角形ABC和DEF来说，它们的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
而且，它们的对应边长之比相等，也就是AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 相似三角形的性质相似三角形具有一些重要的性质：- 对应角和对应边的比例相等。
即∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F，以及AB/DE = BC/EF = AC/DF。
- 如果两个三角形相似，它们的对应边长之比等于它们的对应边长的平均数与对应角的正弦比之积。
即AB/DE = (BC + AC)/(EF + DF) = sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠F。
3. 判断相似三角形的方法判断两个三角形是否相似的方法有几种：- AA准则：如果两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似的。
- SAS准则：如果两个三角形的一个角相等，两个边成比例，且不在这个角的两边上，则它们是相似的。
- SSS准则：如果两个三角形的三个边成比例，则它们是相似的。
4. 相似三角形的应用相似三角形有很多应用场景，其中一个重要的应用是解决实际问题中的长度或距离问题。
通过相似三角形定理，我们可以利用一些已知的长度或距离来求解未知的长度或距离。
例如，通过测量一个高楼的阴影长度和同一时间地面上的阴影长度，我们可以利用相似三角形的性质来计算出这个高楼的高度。
5. 相似三角形定理相似三角形定理是判断相似三角形的重要定理之一。
根据相似三角形定理，如果在两个三角形中，两个角相等，则这两个三角形相似。
根据这个定理，我们可以利用相似三角形定理来求解一些长度或角度相关的问题。
通过对初三相似三角形知识点的了解，我们可以更好地理解和运用这个概念，解决实际问题中的相关数学计算。
相似三角形教学讲义
一、 课堂检测1．已知3)(4)2(y x y x -=+，则=y x : ，=+xyx 2．543z y x ==，则=++xzy x ，=+-++z y x z y x 532323. 若线段AB=10cm ，C 是AB 的黄金分割点，则较短线段CB= cm 。
4.如图，直线321////l l l ，已知AG=1.2cm ，BG=2.4cm ，EF=4cm ，CD=3cm ，则CH= ，KF= 。
5.比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际距离是 公里。
6.梯形的两腰AD ，BC 延长后相交于点M ， (1) 如果AD=3.3cm ，BC=2cm ，DM=2.1cm ，则MC= cm 。
(2) 如果95=AB CD ，AD=16cm ，则DM= cm 。
7. 若b a b +＝53，那么ba＝ 8. 若3:2:1::=c b a ，求cb a cb a +---的值。
参考答案：1. 1:10 ；1011 2. 4 ；1926 3. 555- 4. CH=1 ;KF=385. 106.1114 7.358. -2 二、知识梳理1. 相似三角形的性质 （1）相似图形与相似变换相似图形的本质是形状相同，与图形的大小、位置没有关系。
如果两个三角形相同并且大小相同时，它们是全等图形，也就是全等是相似的一种特殊情况。
两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形按照一定的比例放大或缩小得到的。
（2）相似三角形定义：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，读作相似于。
（3）有定义得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（4）相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比。
注意：求两个相似三角形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序.全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1.2.相似三角形的引理及判定（1）相似三角形的引理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
北师大版九年级数学(上)第四章图形的相似：相似三角形讲义
相似三角形综合运用讲义【考点剖析】相似三角形是几何中较难的部分，也是每年中考的热点，相似三角形对圆的学习以及各种类型的综合性问题的解决都有很大的帮助。
在此，我们对相似三角形中经常出现的解答方法与技巧进行讲解。
【例题巧解点拨】一、运用三角形相似的条件进行解答。
例1.已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点．求证：△ADQ ∽△QCP ．目标训练1.已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．2.如图，BD 、CE 为△ABC 的高，求证∠AED ＝∠ACB ．二、相似与函数的运用。
例2.在△ABC 中，∠C ＝90°，P 为AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 作PE ⊥AB ，交AC 边于E 点，点E 不与点C 重合，若AB=10，AC=8，设AP 的长为x ，四边形PECB 的周长为y ，求y 与x 之间的函数关系式。
目标训练1.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC=25，斜边AB 在x 轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点A 的坐标为（2，0），求直角边BC 所在直线的解析式。
2.已知梯形ABCD 中，AD//BC （AD<BC ），AD=5，AB=DC=2。
（1）如图1，P 为AD 上一点，满足∠BPC=∠A 。
①求证：△ABP ∽△DPC ； ②求AP 的长。
（2）如图2，若点P 在AD 上移动（与A 、D 点不重合），且满足∠BPE=∠A ，PE 交BC 于点E ，交DC 的延长线于点Q ，设AP=x ，CQ=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
三、阅读理解类问题。
例3.阅读下列材料，补全证明过程：（1）已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点． （2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．目标训练1.如图1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．2.已知：△ABC 中，AB ＝10 ⑴如图①，若点D 、E 分别是AC BC 边的中点，求DE 的长； ⑵如图②，若点A 1、A 2把AC 边三等分，过A 1、A 2作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2，求A 1B 1＋A 2B 2的值； P A C E A B CO B A C D P B A C D P E D F O N D EF O N C OD ( F )⑶如图③，若点A 1、A 2、…、A 10把AC 边十一等分，过各点作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2、…、B 10。
相似三角形的性质讲义
相似三角形的性质一、知识点讲解1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线比等于相似比。
相似三角形对应周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
二、典例分析(一)相似三角形对应线段的比例1如图，i∆ABCs^k A'B'C',相似比为k,AD、N D z分别是边BC、B'C'上的中线，求证:AD, =K OA,D,变式练习：1、∆ABC</>∆A,B'C',AD和A'D'分别是aABC和aA'B'C,的中心，假设BC=IoCm,B zC f=6cm,AD=7cm,那么A'D'=()16 21 35A、12cmB、——cmC、——cmD、——cm3 5 32、如图，在aABC中，点D在线段BC上，且aABCsaDBA,那么以下结论一定正确的选项是()A、AB2=BC∙BDB、AB2=AC-BDC、AB・AD=BD・BCD、AB・AD=AD・CD3、如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光的影子长为CD,AB〃CD,AB=2cm,CD=5cm,点P到CD的距离是3cm,那么点P到AB的距离是O5 6 6 10A、—mB、—m C^—m D、一tn6 7 5 34、如下图，在Rt△ABC中，NACB=90°,CD_1.AB于D,E为AC的中点，F为BC的中点，NDCB=30°,求DE：DF的值。
(二)相似三角形对对应周长与面积的比例2如图，在正方形网格上有ZXABC和4DEF0(1)求证：^ABC S∕∖DEF;(2)计算这两个三角形的周长比；(3)根据上面的计算结果，你有何猜测？变式练习：1、假设^ABCsaDEF,Z∖ABC与ADEF的相似比为2：3,那么S MB C：S ADEF为0A、2：3B、4：9C、72:73D、3：2ΔΓ)12、如图，在AABC中，DE/7BC,——=-,那么以下结论中正确的选项是0DB2AE1 A、 --- =—AC2DE 1 ZXADE的周长 1 ZXADE的面积 1 B、= Cx ,. ,—Ds —BC 2 4ABC的周长 3 ZXABC的面积 3第2题第3题第4题第5题3、如图，在aABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE〃BC,且那么aADE的周长3与aABC的周长之比为。
初三数学：《相似三角形》知识点归纳
初三数学：《相似三角形》知识点归纳
所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法有：
平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
射影定理
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的判定讲义
相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。
（2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。
二、典例分析（一）运用判定定理判定三角形相似例1 在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F 。
（1）求证：△ABE ∽△DFA ；（2）若AB=6，AD=12,AE=10,求DF 的长。
变式练习：1、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似的三角形一共有（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ）A 、有一个角是40°两个等腰三角形B 、两个等腰直角三角形C 、有一个角为100°的两个等腰三角形D 、两个等边三角形例2 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6,BC=4,AC=5,CD=217,求AD 的长。
变式练习：1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中不能判定△ABC ∽△AED 的是（ ）A 、∠AED=∠B B 、∠ADE=∠C C 、AB AC AE AD = D 、AC AE AB AD = 2、已知，P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP=3PC ，M 是CD 的中点，求证：△ADM∽△MCP 。
例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ） 变式练习：1、在△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，AB=3cm ，BC=6cm ，CA=5cm ，A ＇B ＇=3cm ，B ＇C ＇=2.5cm ，A ＇C ＇=1.5cm ，则下列说法中，错误的是（ ）A 、△ABC 与△A ＇B ＇C ＇相似 B 、AB 与A ＇B ＇是对应边 C 、相似比为2：1D 、AB 与A ＇C ＇是对应边2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A 、B 、C 、D 、E 、F 都是格点，试证明：△ABC ∽△DEF 。
初三相似三角形讲义
相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△与△相似，记作: △∽△。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：〔1〕相似比是有顺序的。
〔2〕对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比拟容易找到相似三角形的对应角和对应边。
〔3〕顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，假设△∽△，相似比为k，那么△与△的相似比是1k 知识点2、相似三角形与全等三角形的关系〔1〕两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
〔2〕两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
〔3〕二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段分成两条线段和，使2·，叫做把线段黄金分割，C 叫做线段的黄金分割点。
2. 比例性质：①基本性质：a b c dad bc =⇔=②合比性质：±±a b c d a b b c dd =⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理〔1〕平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.〔2〕推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.AD EB C由∥可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.〔3〕推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.〔4〕定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4：相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
初三相似三角形讲义(同名530)
初三相似三角形讲义(同名530)ABC知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
点拨：在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三个角。
注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐含的相等的角，我们应注意公共角的运用。
两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
注意：这个角必须是两边的夹角，而不能是其他的角，其他的角则不可以识别两个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS ”三边对应成比例的两个三角形相似。
知识点六：摄影定理AD 2=B D ·CD AB 2=BD ·AC 2=CD ·BC特殊图形（双垂直模型） ∵∠BAC=90°∴AD 2=B D ·CD AB 2=BD ·BC AC 2=CD ·BC知识点七：相似三角形的周长和面积（1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。
(3)相似三角形的周长比等于相似比； (4)相似三角形的面积比等于相似比的平方补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
注意：适用此方法的基本图形，(简记为A 型，X 型) (3)三边对应成比例的两个三角形相似。
相似三角形讲义人教版数学九年级下册
第二十七章 相似（二）相似三角形知识点一 相似三角形 要点1.相似三角形的概念三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形.若△ABC 和△A'B'C'相似，则记作△ABC △△A'B'C'.相似三角形对应边的比叫做相似比，通常用“k ”表示.要点2.全等三角形与相似三角形的比较全等三角形相似三角形定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 三个角分别相等、三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形特征 形状相同且大小相等形状相同但大小不一定相等图 形 表 示对应边 相等 成比例 对应角 相等 相等相似比 1 可以是1，也可以是其他正实数注意：△相似三角形的对应性：在记两个三角形相似时，表示对应顶点的字母需写在对应位置. △相似三角形的传递性：若△ABC △△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1△△A 2B 2C 2，则△ABC △△A 2B 2C 2.△相似比的顺序性：相似比与两多边形前后顺序有关，若四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1的相似比为2，则四边形A 1B 1C 1D 1与四边形ABCD 的相似比为21.知识点二 平行线分线段成比例 要点1.平行线分线段成比例（1）基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例由l 3//l 4//l 5，得EF DE BC AB =，DF DE AC AB =，DFEFAC BC =，（2）常见基本图形（3）应用：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.由DE //BC ， 得ACAEAB AD =课堂练习1.如图，直线a //b //c ，它们依次交直线AE 和BF 于点A 、C 、E 和 B 、D 、F ，已知AC =4， CE =6，BD =3，那么DF = .2.如图，直线a //b //c ，它们依次交直线AE 和BF 于点A 、C 、E 和 B 、D 、F ，已知AC =5， CE =6，DF =4，那么BD = .3.如图，直线l 1//l 1//l 1，它们依次交直线AC 和DF 于点A 、B 、C 和 D 、E 、F ，已知DE =5， EF =6，AB =2，那么AC = .4.如图，AC 、BD 交于O 点，AD //BC //EO ，则下列结论一定正确的是（ ） A.BC AD EB AE = B.AD EO OC AO = C.BC EO EB AE = D.OBDOAB AE =知识点三 相似三角形的判定方法 要点1.相似三角形的判定方法—平行定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似类别“A ”型 “X ”型DE 与AB ，AC 相交 DE 与AB ，AC 的延长线相交DE 与AB ，AC 的反向延长线相交课堂练习1.如图，E 是▱ABCD 的边CD 延长线上一点，连接BE ，交AC 于点O ，交AD 于F .图中的相似三角形共有 对.2.如图，E 是▱ABCD 的边BC 延长线上一点，AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD的对角线，则图中的相似三角形共有 对.要点2.相似三角形的判定方法—三边定理三边成比例的两个三角形相似∵''''''A C CAC B BC B A AB == ∴△ABC △△A'B'C'课堂练习1.如图，小正方形的边长均为1，则△ABC 与△DEF是否相似？ (填“是”或“否”)2.如图，下列三个三角形中相似的是 .3.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是（ ）A. B. C. D.判断两个三角形的三边是否成比例的一般步骤： △排：分别将两三角形边的长度按大小顺序排列； △算：分别计算三边的比；△判：由比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例.要点3.相似三角形的判定方法—两边夹角定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 ∵'''''A A C A AC B A AB ∠=∠=， ∴△ABC △△A'B'C'练:如图，在△ABC 中，AB =4，BC =8，D 为BC 边上一点，BD =2.求证：△ABD ∽△CBA.要点4.相似三角形的判定方法—两角定理两角分别相等的两个三角形相似 ∵''B B A A ∠=∠∠=∠，∴△ABC △△A'B'C'练.如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在BC 、AB 上，且△BDE=△CAD. （1）求证：△BDE ∽△CAD. （2）求证：△ADE ∽△ABD.注意：利用该判定定理时，相等的角必须是两组成比例边的夹角，否则两个三角形不一定相似. 注意：用两角分别相等来判定三角形相似是常用方法，应掌握好寻找等角的方法。
相似三角形最全讲义(教师版)
相似二角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为 图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是 相似的图形，或者就说是相似性。
⑵相似图形不仅仅指平面图形, 也包括立体图形相似的情况。
两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得 到的.⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念3、比例：两个比相等的式子叫做比例，女0 b叫做a 和d 的比例中项。
a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长a c度的比相等，即一=—（或a ： b=c : d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线b d段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）注意：⑴相似图形强调图形形状相同,与它们的位置、颜色、大小无关。
⑶我们可以这样理解相似形:1.1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是 m n ，那么就说这两条线段的比是a : b = m ： n （或2、比的前项，比的后项 :两条线段的比 a ： b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时, 对这两条线段要用同一单位长度。
4、比例外项： 在比例b d(或a : b = c : d ) a 、 d 叫做比例外项。
5、比例内项： a _c在比例b —d (或a : b = c : d ) b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项 :在比例b d （或 a : b = c :中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项： 如果比例中两个比例内项相等，即比例为a _b b a (或a:b = b:c 时，我们把 b8.比例线段：对于四条线段2 （2）比例性质3.更比性质（交换比例的内项或外项b，（交换内项）d=-，（交换外项）ab•（同时交换内外项） a注意：实际上，比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项，后项之间"b -aa发生同样和差变化比例仍成立•如： -b（1）此性质的证明运用了“设 k 法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法.应用等比性质时，要考虑到分母是否为零.可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立.知识点三: 黄金分割2即AC =ABX BC ,那么称线段 AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段ABJ 5 — 1点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd=⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
点拨：在三角形中，若已知两个角，由三角形内角和定理可求出第三个角。
注意公共角的运用，公共角也就是两个三角形都有的角，公共角是隐含的相等的角，我们应注意公共角的运用。
两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
注意：这个角必须是两边的夹角，而不能是其他的角，其他的角则不可以识别两个三角形相似，此法类似于判定三角形全等的条件“SAS ”三边对应成比例的两个三角形相似。
知识点六：摄影定理ABCAD 2=B D ·CD AB 2=BD ·BC AC 2=CD ·BC特殊图形（双垂直模型） ∵∠BAC=90° ∴AD 2=B D ·CD AB 2=BD ·BC AC 2=CD ·BC知识点七：相似三角形的周长和面积（1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比。
(3)相似三角形的周长比等于相似比； (4)相似三角形的面积比等于相似比的平方补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
注意：适用此方法的基本图形，(简记为A 型，X 型) (3)三边对应成比例的两个三角形相似。
(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
(5)两角对应相等的两个三角形相似。
(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。
(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
相似三角形的基本图形：ABCDEABCDEAD BC ⊥BAC BDA ADC ∆∆∆∽∽判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。
相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。
经典习题考点一：平行线分线段成比例 1、（2013广东肇庆）如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ）A ． 7B ． 7.5C ． 8D ． 8.5于点D ，则AD3、（2011湖南怀化）如图所示：△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则CE的值为（ ） A ．9 B ．6 C ．3 D ．4ECDB A4．（2011山东泰安）如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误．．的是（ ） A ．ED DF EA AB = B ． DE EF BC FB = C ．BC BF DE BE = D ． BF BCBE AE=5．（2012•孝感）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AC=2，则AD 的长是（ ） ABC 1D 1考点二：相似三角形的性质 1、（2013•昆明）如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A ，B 重合），对角线AC ，BD 相交于点O ，过点P 分别作AC ，BD 的垂线，分别交AC ，BD 于点E ，F ，交AD ，BC 于点M ，N ．下列结论：①△APE ≌△AME ；②PM+PN=AC ；③PE 2+PF 2=PO 2；④△POF∽△BNF ；⑤当△PMN ∽△AMP 时，点P 是AB 的中点． 其中正确的结论有（ ），PE=EM=FP=FN=PM FP=FN=NP AC点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）4、（2013•宁夏）△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面积与△ABC的面积之比为1：4；④△ADE 的周长与△ABC的周长之比为1：4；其中正确的有①②③．（只填序号）DE=BC=2，，=5、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）BG=4AG==2以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）7、（2013•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（），8、（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．分析：首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．9、（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：计算题．分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；∴S2的面积为EC2==8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．10、（2013安顺）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE= ．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由题可知△ABF∽△CEF，然后根据相似比求解．解答：解：∵DE：EC=1：2∴EC：CD=2：3即EC：AB=2：3∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF：EF=AB：EC=3：2．∴BF：BE=3：5．点评：此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．11、（13年安徽省4分、13）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，ΔPEF、ΔPDC、ΔPAB的面积分别为S、S1、S2。