2014——2016全国高中数学联赛各地预赛中的函数试题集萃

（2016 河北）11. f ( x) ln x
（I）判断 f ( x) 在定义域内的单调性.
（II）若 f ( x) 2 x 2 在 ( , ) 恒成立，求 a 的取值范围.
1 2
（2016 河北）12. 非负实数 a, b, c 满足 a b c 1 ，记 S
1 1 1 ，求证： 1 a 1 b 1 c
f (a) a3 , f (b) b3 ，则 c 的值为（
A. 16 B. 4
） C. 4 D.16
（2016 陕西） 8.设非负实数 a, b, c 满足 ab bc ca a b c 0 ， 则 a b b c 最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 3 D. 2 2
2
方程是
。
x
（2016 贵州）2．函数 f ( x) x 1 x 3 e ( x R) 的最小值是（
）
A.
2+e
B. 5 ln 3
C. 4
D . 6 ln 4
（ 2016 贵 州 ） 9 ． 不 等 式 sin 2 x sin 2 x cos 2 x cos 2 x 的 解 集 是
（2016 江西） 3 、若对于所有的正数 x, y ，均有 x 是 ．答案： 2 ．
2 2
y a x y ，则实数 a 的最小值
y y x x 解：由 1 ，得 2， x y x y x y x y 当 x y 时取等号．
2 2 2 2
（2016 河北）9.已知 f (sin x)
sin 3x . sin 2 x
（I）求 f ( x) 的解析式及定义域. （II）方程 f ( x) m 有两个不等实根，求 m 的取值范围.
（2016 河北）10.函数 f ( x) 对任意 a, b R ，都有 f (a b) f (a) f (b) 1 ，且当 x 0 时， f ( x) 1 . （I）判断并证明 f ( x) 在 R 上的单调性； （II）若 f (2) 2 ，解不等式 f (m 2m) 5 .
2
（2016 河北）11.已知 a 为实数，函数 f ( x) ax 2 x 1 a 在区间 [1,1] 上有零点，求 a
2
的取值范围. （2016 河北）5.求 y
x 2 x 4 2 x 2 x 4 的最大值为______________.
a ( a R) . x
2 3 x
1 f ( x) 对定义域内任意 Biblioteka Baidu 都成立， 1 f ( x)
1 1 2 1 y 5 , x 3,8x 32 y 8 ， 则 2 y
xy ________.
（2016 湖北）12.已知二次函数 f ( x) ax bx c 满足条件：
2
（1） 4a b 2a ； （2）当 | x | 1 时， | f ( x) | 1 .证明：当 | x | 2 时， f ( x)
*
1 x
[an ] ，
其中 [m] 表示不超过实数 m 的最大整数.求 S n . （2016 甘肃）16.已知函数 f ( x)
ln x . x
（1）设实数 k 使得 k 使得 f ( x) kx 恒成立，求 k 的取值范围. （2）设 g ( x) f ( x) kx(k R) ，若函数 g ( x) 在区间 [ , e ] 内有两个零点，求 k 的取值
求证：对任何的正整数 n, 有 f (3 2
n 1
) a2n f (3 22n2 ) .
（2016 河北）3.若函数 f ( x) cos 2 x a cos x 在区间 ( 为________. （2016 河北） 5.已知函数的图像 C ' 与 C : y

, ) 是减函数，则 a 的取值范围 6 3
2 x x
求实数 A 的取值范围． （ 2016 山东 ） 9. 设 , 分 别满 足方 程 3 5 4 0, 3 5 2 0, 则
3 2 3 2
____.
（2016 山东）12.求证不等式： sin
2
1 2 3 1 sin cos (n N * ) . n n n n
x 3 x
解，则实数 a 的最小值为____________.
（2016 黑龙江）12.已知以 4 为周期的函数 f ( x)
m 1 x 2 , x (1,1] 1 | x 2 |, x (1,3]
，其中 m 0 .若方
程 3 f ( x) x 恰有五个实数解，则 m 的取值范围为____________. （2016 黑龙江）17.已知函数 f ( x) log 4 (4 1) kx(k R) 为偶函数.
9 5 S . 4 2
（ 2016 山 西 ） 5. 记

表 示 轮 换 对 称 和 . 若 a, b, c 为 给 定 的 互 不 相 同 的 实 数 ， 则
f ( x)
a2 ( x b ) ( xc ) ，经简化后得到____________. (a b)(a c)
（2016 山西）6.若函数 y 3sin x 4cos x 在 x0 处取得最大值，则 tan x0 的值为________. （2016 山西）2.若 ABC 的内角为 A, B, C ，所对边为 a, b, c ，若 a, b, c 成等比数列，则
，
6 。 )
f ( x 12) f ( x) 6( x 5)
，
则
（2016 山东）12．已知 f ( x) ln(ax b) x （ a 0 ） 。
2
（1）若曲线 y f ( x) 在点 (1， f (1)) 处的切线方程为 y x ，求 a ， b 的值； （2）若 f ( x) x 2 x 恒成立，求 ab 的最大值。
5 . 4
（ 2016
四 川 ） 11. 设 实 数
x, y, z, w 满 足
x
y
z 1 w， 则
M
x 2 w
y3 w
4 z w的最大值为 5 x z _____________. y z
（2016 四川）16.已知 a 为实数，函数 f ( x) | x 2 ax | ln x ，请讨论函数 f ( x) 的单调性. （ 2016 陕 西 ） 7. 设 函 数 f ( x) x3 ax 2 bx c(a, b, c 均 为 非 零 整 数 ) . 若
c a
的
（2016 陕西）11.设 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上奇函数和偶函数，且 f ( x) g ( x) 2 x . 若对 x [1, 2] ，不等式 af ( x) g (2 x) 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为_____________-. （2016 陕西）12.设 x R ，则函数 f ( x) | 2 x 1| | 3x 2 | | 4 x 3| | 5 x 4 | 的最小值 为__________. （2016 陕西）16.设函数 f ( x) ln x a( 1), a R, 且 f ( x) 的最小值为 0. （I）求 a 的值； （II）已知数列 {an } 满足： a1 1, an1 f (an ) 2(n N ) .设 Sn [a1 ] [a2 ]
x
m 1) 有解，求实数 m 的取值范围. 2x 1 x （2016 黑龙江）22.已知函数 f ( x) ln(ax 1) ( x 0, a 0) . 1 x
（1）求 k 的值； （2）若方程 f ( x) log 4 ( （1）若 f ( x) 在 x 1 处取得极值，求 a 的值； （2）若 f ( x) ln 2 ，恒成立，求 a 的取值范围. （2016 江苏）4、己知直线 l 是函数 f x 2ln x x 图象的切线，当 l 的斜率最小时 l 的
__________________
（2016 贵州）10．已知 x 0 ，且 x, x , x x 成等比数列（ x 表示不超过 x 的最
2014——2016 全国高中数学联赛各地预赛中的函数试题集萃 2015 （2016 天津）2.方程 | 2 x 5 | 3x 7 | | 5 x 11| 的实根的个数为___ 0 _______. 2016 x 1 3 （2016 天津）15.设 f ( x) ，令 a1 , a2 , an 2 f (an ) f (an 1 ), n 1, 2, ， x 1 2 4
2
1 e
范围.
（ 2016
黑 龙 江 ） 1. 设 平 面 点 集
1 A {( x, y) | ( y x)( y ) 0} ， x
B {( x, y) | ( x 1)2 ( y 1)2 1} .则
A B 所表示的平面图形的面积为____________.
（2016 黑龙江）11.设函数 f ( x) e ( x 3x 3) ae x( x 2) ，若不等式 f ( x) 0 有
sin A cot C cos A 的取值范围为__________. sin B cot C cos B
（2016 山西）3.函数 f ( x, y) x 2 y 2 6 y 9 x 2 y 2 2 3x 3 x 2 y 2 2 3x 3 ， 则 f ( x, y ) 的最小值为___________. （2016 山西）14．设 f ( x) A( x 2 x)e e 1 ，若对任意的 x 0 ，有 f ( x) 0 成立，
2
（2016 山东）3．函数 f ( x) x ln x x 2 零点的个数为
。
（2016 山东）9． f ( x) 是定义在 R 的函数，若 f (0) 1008 ，且对任意 x R ，满足
f ( x 4) f ( x) 2( x 1)
f( 2 2016 0 1
ax a 2 1 关于直线 y x 对称， 且 C ' 关于点 x a 1
(3, 2) 对称，则实数 a 的值为__________.
（2016 河北）6.函数 f ( x) 3x 6 3 x 的值域为_______________. （2016 河北）7.实数 x, y 满足 x y xy 3 ，则 x y 的取值范围为____________.
（2016 江西）6 、设 x 为锐角，则函数 y sin x sin 2 x 的最大值是 （2016 河南）4.已知函数 f ( x) ．答案：
4 3 ． 9
1 3 b 2 x x cx d 在区间 (0, 2) 内既有极大值又有极小 3 2
值，则 c 2 2bc 4c 的取值范围为_________. （2016 河南）9.已知实数 x, y 满足 2x 3y 4x 9 y ，求 U 8x 27 y 的取值范围. （2016 湖北） 1.已知函数 f ( x) 满足 f (1) 2, f ( x 1) 那么 f (2016) _______. （2016 湖北）6.如果存在实数 a ，使得关于 x 的不等式 a cos x b cos 2 x 1 无实数解，则 实数 b 的最大值为_______________. （ 2016 湖 北 ） 8. 已 知 实 数 x, y 满 足 2