高中数学 §1 正弦定理与余弦定理(1.2)教案 北师大版必修5
下学期高一数学第一章解三角形全章教案 必修5
下学期高一数学第一章解三角形全章教案1.1第1课时 正弦定理(1)教学目标（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识； （3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 教学重点，难点正弦定理的推导及其证明过程． 教学过程 一．问题情境在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =︒，则sin a A c =， sin b B c =， sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =， sin c c C =， sin sin sin a b cA B C==． 探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？ 二．学生活动学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理． 三．建构数学探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立？ 证法1 若C 为锐角（图（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有sin AD B c =，sin ADC b=，所以sin sin c B b C =，即sin sin b c B C =．同理可得sin sin a cA C=， 所以sin sin sin a b cA B C ==． 若C 为钝角（图（2）），过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，此时也有sin AD B c =，且sin sin(180)AD C C b =︒-=．同样可得sin sin sin a b cA B C==．综上可知，结论成立．证法 2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b cA B C==．探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在ABC ∆中，有BC BA AC =+．设C 为最大角，过点A 作AD BC ⊥于D （图（3）），于是BC AD BA AD AC AD ⋅=⋅+⋅．设AC 与AD 的夹角为α，则0||||cos(90)||||cos BA AD B AC AD α=⋅⋅︒++⋅，其中 ，当C ∠为锐角或直角时，90C α=︒-； 当C ∠为钝角时，90C α=-︒． 故可得sin sin 0c B b C -=，即sin sin b cB C=． 同理可得sin sin a cA C =． 因此sin sin sin a b c A B C==． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．解：因为30A =︒，105C =︒，所以45B =︒．因为sin sin sin a b cA B C==， 所以sin 10sin 45102sin sin 30a B b A ︒===︒，sin 10sin1055256sin sin 30a C c A ︒===+︒．因此， b ，c 的长分别为102和5256+．例2．根据下列条件解三角形： （1）3,60,1b B c ==︒=； （2）6,45,2c A a ==︒=．解：（1）sin sin b cB C =，∴sin 1sin 601sin 23c B C b ⨯︒===， ,60b c B >=，∴C B <，∴C 为锐角， ∴30,90C A ==，∴222a b c =+=．（2）sin sin a cA C=，∴sin 6sin 453sin 22c A C a ⨯===，∴60120C =或， ∴当sin 6sin 756075,31sin sin 60c B C B b C =====+时，； ∴当sin 6sin1512015,31sin sin 60c B C B b C =====-时，； 所以，31,75,60b B C =+==或31,15,120b B C =-==．说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 练习：在ABC ∆中，30a =，26b =，30A =︒，求c 和,B C ．说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 2．练习： （1）在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ． （2）在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ．（3）在ABC ∆中，30bc =，1532ABC S ∆=，则A ∠= ． （4）课本第9页练习第1题． 五．回顾小结：1．用两种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．2．初步应用正弦定理解斜三角形． 六．课外作业：课本第9页练习第2题；课本第11页习题1.1第1、6题§1.1.1第2课时 正弦定理(2)教学目标（1）掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形； （2）熟记正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆的半径）及其变形形式．教学重点，难点利用三角函数的定义和外接圆法证明正弦定理． 教学过程 一．问题情境上节课我们已经运用两种方法证明了正弦定理，还有没有其他方法可以证明正弦定理呢？ 二．学生活动学生根据第5页的途径（2），（3）去思考． 三．建构数学证法1 建立如图（1）所示的平面直角坐标系，则有(cos ,sin )A c B c B ，(,0)C a ，所以ABC ∆的面积为1sin 2ABC S ac B ∆=．同理ABC ∆的面积还可以表示为1sin 2ABC S ab C ∆=及1sin 2ABC S bc A ∆=，所以111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==． 所以sin sin sin a b c A B C==． 证法2 如下图，设O 是ABC ∆的外接圆，直径2BD R =．（1）如图（2），当A 为锐角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又D A ∠=∠，所以2sin a R A =．（2）如图（3），当A 为钝角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又180A D ∠+∠=︒，可得sin sin(180)sin D A A =︒-=，所以2sin a R A =．（3）当A 为直角时，2a R =，显然有2sin a R A =．所以不论A 是锐角、钝角、直角，总有2sin a R A =．同理可证2sin b R B =，2sin c R C =．所以2sin sin sin a b cR A B C===． 由此可知，三角形的各边与其所对角的正弦之比是一个定值，这个定值就是三角形外接圆的直径． 由此可得到正弦定理的变形形式：（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； （2）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===；（3）sin sin sin ::::A B C a b c =． 四．数学运用1．例题：例1．根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数． （1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）106a =，203b =45A =︒，求B ； （4）202a =203b =45A =︒，求B ；（5）4a =，33b =，60A =︒，求B ． 解：（1）∵120A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解． （2）∵90A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于A 为锐角，而210632=，即A b a sin =，因此仅有一解90B =︒．（4）由于A 为锐角，而22032022031062>>=，即sin b a b A >>，因此有两解，易解得60120B =︒︒或．（5）由于A 为锐角，又1034sin 605<︒=，即sin a b A <，∴B 无解． 例2．在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状．解：令sin ak A=，由正弦定理，得sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入已知条件，得sin sin sin cos cos cos A B C A B C==，即tan tan tan A B C ==．又A ，B ，C (0,)π∈，所以A B C ==，从而ABC ∆为正三角形．说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．例3．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)． 分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆． 解：过点D 作//DE AC 交BC 于E ，因为20DAC ∠=︒， 所以160ADE ∠=︒，于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒． 又352015BAD ∠=︒-︒=︒，所以30ABD ∠=︒． 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒===∠︒．在Rt ABC ∆中，sin 35235811()BC AB m =︒=︒≈． 答：山的高度约为811m ．例4．如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON +的最大值和最小值． 解：由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3AO =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233ππα≤≤，αβπβ-αACBD在AOM ∆中，由正弦定理得：sin sin[()]6OM OAMAO ππα=∠-+， ∴6sin()6OM πα=+，在AON ∆中，由正弦定理得：6sin()6ON πα=-，∴2211OM ON +22212[sin ()sin ()]66a ππαα=++-22121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时2211OM ON +取得最大值218a， 所以，当α=2,33or ππ时23sin 4α=，此时2211OM ON +取得最小值215a ． 例5．在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BDAC DC=． 证明：设BAD α∠=，BDA β∠=，则CAD α∠=，180CDA β∠=︒-．在ABD ∆和ACD ∆中分别运用正弦定理，得sin sin AB BD βα=，sin(180)sin AC DC βα︒-=， 又sin(180)sin ββ︒-=，所以AB AC BD DC =，即AB BDAC DC=． 2．练习：（1）在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( D )A ．4:1:1 B ．2:1:1 CD（2）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ， b = ，c = ． 五．回顾小结：1．了解用三角函数的定义和外接圆证明正弦定理的方法； 2．理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角． 六．课外作业：课本第9页练习第3题；课本第11页习题1.1第2、8题．§1.1.2 第3课时 余弦定理(1)教学目标（1）掌握余弦定理及其证明；（2）使学生能初步运用余弦定理解斜三角形． 教学重点，难点（1）余弦定理的证明及其运用；（2）能灵活运用余弦定理解斜三角形． 教学过程 一．问题情境 1．情境：复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题． 2．问题：在上节中，我们通过等式BC BA AC =+的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理，还有其他途径将向量等式BC BA AC =+数量化吗？二．学生活动如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ． ∵BC AB AC +=∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+22cos 2a B ac c +-=， 即B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=． 三．建构数学 1． 余弦定理上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．这样，我们得到余弦定理． 2．思考：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．方法1：如图1建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos a c A b c A c A c A bc A b b c bc A=-+=+-+=+-同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=注：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论．方法2：若A 是锐角，如图2，由B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则cos AD c A =，所以即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显 然成立．同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．图1 图2 3．余弦定理也可以写成如下形式：bc a c b A 2cos 222-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， acc b a C 2cos 222-+=．4．余弦定理的应用范围：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，（1） 已知3b =，1c =，060A =，求a ；A BCcab（2） 已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．解：（1）由余弦定理，得2222202cos 31231cos607a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以 a =（2）由余弦定理，得222222564cos 0.752256b c a A bc +-+-===⨯⨯， 所以，041.4A ≈．例2． ,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测得182,CA m =126,CB m =063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）． 解：由余弦定理，得所以，168()AB m ≈答：,A B 两地之间的距离约为168m ．例3．用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．证：当C 为锐角时，cos 0C >，由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-<+，即 222a b c +>．同理可证，当C 为钝角时，222a b c +<．2．练习：书第15页 练习１，２，３，４ 五．回顾小结：1．余弦定理及其应用2．正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；六．课外作业：书第16页１，2，3，4，6，7题§1.1.2 第4课时 余弦定理(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题． 教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如． 教学过程 一．问题情境1．正弦定理及其解决的三角形问题（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步其它的边和角． 2．余弦定理及其解决的三角形问题 （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？解：如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ABCD ，其中 1.2(),50.10.5()AB km AC km ==⨯=．在ABC ∆中，由余弦定理，得2221.20.52 1.20.5cos(9015) 1.38BC =+-⨯⨯-≈， 所以 1.17()AD BC km =≈． 因此，船的航行速度为1.170.111.7(/)km h ÷=．在ABC ∆中，由正弦定理，得 0sin 0.5sin 75sin 0.41281.17AC BAC ABC BC ∠∠==≈， 所以 024.4ABC ∠≈所以 00159.4DAN DAB NAB ABC ∠=∠-∠=∠-≈．答：渡船应按北偏西09.4的方向，并以11.7/km h 的速度航行．例2． 在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．解：由正弦定理及余弦定理，得222sin ,cos sin 2A a a b c C B b ab+-==， 所以 22222a a b c b ab+-=，整理得 22b c =因为0,0b c >>，所以b c =．因此，ABC ∆为等腰三角形．例3．如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：22212()2AM AB AC BC =+-．证：设AMB α∠=，则0180AMC α∠=-．在ABM ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AM BM AM BM α=+-．在ACM ∆中，由余弦定理，得22202cos(180)AC AM MC AM MC α=+--．因为01cos(180)cos ,2BM MC BC αα-=-==， 所以2222122AB AC AM BC +=+，因此， 22212()2AM AB AC BC =+-． 例4．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，,a b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos()1A B +=，求：①角C 的度数； ②AB 的长度； ③ABC S ∆．解：①1cos cos(())cos()2C A B A B π=-+=-+=- ∴120C =；②由题设：232a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a ， 即10AB =；③ABC S ∆11133sin sin120222222ab C ab ===⋅⋅=．2．练习：（1）书第16页 练习１，２，３，４DCBA（2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =，14AB =, 60BDA ∠=, 135BCD ∠=， 求BC 的长．（3）在ABC ∆中，已知()()()456::::b c c a a b +++=，求ABC ∆的最大内角；（4）已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是2cm ，周长是20cm ，试求A 及k 的值； 五．回顾小结：1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式； 3．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状． 六．课外作业：书第17页5，8，9，10，11题§1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题； （2）掌握求解实际问题的一般步骤． 教学过程 一．问题情境 1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式， （1）正弦定理、三角形面积公式：R CcB b A a 2sin sin sin ===； B acC ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆．（2）正弦定理的变形：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；②RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； ③sin sin sin ::::A B C a b c =．（3）余弦定理：bca cb A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=．二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角. （2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了. （4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案. 四．数学运用 1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠.在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=， 则48DBC ∠=.又100DC =， 由正弦定理，得()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠.在ABC ∆中， 由余弦定理，得3233.95≈， 所以 ()57AB m ≈答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .引申：如果A ，B 两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量A ，B 两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展 第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）. 解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠.化简，得2369100x x --=，解得()()240min 3x h ==（负值舍去）.由正弦定理，得图1-3-1图1-3-2sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠∠===， 所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.答 舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠. 例3．如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速. 解：设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则43BC υ=，13BE υ=. 在ABE ∆中，153sin sin 30υθ=，15sin 2θυ∴=. 在ABC ∆中，()43sin120sin 180AC υθ=-， 4415sin 2033233322AC υθυυ⋅⋅∴===. 在ACE ∆中，22520202525cos150333υ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22540077525100933υ=++=，293υ∴=， ∴船的速度93/km h υ=. 2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业： 书上P21页习题1.3 第2，3，4题.§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。
正弦定理与余弦定理习题课课件ppt(北师大版必修五)
一边＋B＋C＝180°，求 角A；由正弦定理求出b与 c，在有解时只有一解
课前探究学习
课堂讲练互动
续表
两边和夹角(如 a，b，C)
由余弦定理求第三边c；由正弦定 余弦定理 理求出一边所对的角；再由A＋B 正弦定理 ＋C＝180°求出另一角，在有解 时只有一解 由余弦定理求出角A，B；再利用 余弦定理 A＋B＋C＝180°，求出角C，在 有解时只有一解
由正弦定理求出角B；由A＋B＋ 正弦定理 C＝180°，求出角C；再利用正 余弦定理 弦定理或余弦定理求c，可有两 解、一解或无解
课前探究学习 课堂讲练互动
三边(a，b，c)
两边和其中一 边的对角(如 a，b，A)
2. 解三角形常用的边角关系及公式总结 (1)三角形内角和等于180° (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (3)三角形中大边对大角，小边对小角．
课前探究学习
课堂讲练互动
【示例】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已
1 知 cos 2C＝－ . 4 (1)求sin C的值； (2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长． [思路分析]
课前探究学习
课堂讲练互动
解 10 . 4
1 (1)因为 cos 2C＝1－2sin2C＝－ ，及 0<C<π，所以 sin C＝ 4
b＝ 6 6，所以 c＝4 b＝2 或 c＝4
6
.
课堂讲练互动
课前探究学习
方法点评 三角形问题的一般解题方法 (1)合理利用三角公式，如cos 2C＝1－2sin2C＝2cos2C－1 等． (2)认真分析题目所给条件，适时利用正、余弦定理实现 边角转化．
课前探究学习
高中数学必修5教案全集
高中数学必修5教案全集第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
正弦定理的教学设计
一、教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版)第二章，正弦定理第一课时，是在高一学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同时,作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用又十分广泛.根据实际教学处理,正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”、“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。
学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察——实验—-猜想——证明-—应用”这一思维方法,养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
二、学情分析布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。
教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考,参与知识获得的过程。
因此,做好“余弦定理”的教学,不仅能复习巩固旧知识,使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力.三、设计思想：《正弦定理》一课教学模式和策略设计就是想让素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究.旨在通过学生自己的思维活动获取数学知识，提高学生基础性学力(基础能力)，培养学生发展性学力（培养终身学习能力)，诱发学生创造性学力(提高应用能力)，最终达到素质教育目的。
为此,我在设计这节课时，采用问题开放式课堂教学模式，以学生参与为主,教师启发、点拨的课堂教学策略。
通过设置开放性问题，问题的层次性推进和教师启发、点拨发展学生有效思维，提高数学能力，达到上述三种学力的提高、培养和诱发。
高中数学必修5新教学案：1.1.1正弦定理
必修5 1.1.1 正弦定理（学案）【知识要点】1．正弦定理2．正弦定理的变形 【学习要求】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）1. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） （1）在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：c = .（2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：sin aA= . （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，AE = .,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin a C = ，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即A as i n= = . 结合提示完成以下几种方法，帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等面积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：Aasin = = .法二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ, ∴==R CD 2 . 同理2R = ＝ . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ， 由 AB= + .两边同乘以单位向量j 得j •AB= .即j •AC +j •CB =j •AB .∴ = . ∴A c C a sin sin = . ∴Aasin = . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin = ∴A a sin =B b sin =Ccsin . 3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=______； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= ； a=______,；b=______ ；c=_______；(4)sinA=_______；sinB=________；sinC=________. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题： （1） ； （2） ．5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（1） 当A 为锐角（2） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．【基础练习】1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,CA BA sin sin sin sin 2+-的值为___ __.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120 (2)a =9,b=l0,A= 60 (3)c=50,b=72,C= 135例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．例5 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( ) ． （A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A （C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( ) ． （A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=60,a=3，b=1，则c 等于( ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ）3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( ) ． （A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6． 二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B=60，则ba ba +-=______ _ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B=45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__ __． 7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=____ ． 三、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,200和求中，===∆9．在△ABC 中，若a=23,A=30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则=AB ．2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,xB =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域； （2）求)(x f y =的最大值.必修5 1.1.1 正弦定理（教案）【教学目标】1．理解正弦定理的推导过程，会初步应用正弦定理解斜三角形． 2．通过应用提高分析问题、解决问题的能力． 【重点】理解正弦定理的及应用． 【难点】正弦定理的熟练变形运用．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 1 页～第 4 页）2. 在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系．我们如何得到边与角的准确量化表示呢？（1） 在RT ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，依据正弦函数定义得：.sin sin sin a b cc A B C=== （2）在锐角ABC ∆中，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数定义得：.sin sin sin a b cA B C== （3）在钝角ABC ∆中，C ∠是最大的角，所对的斜边c 是最大的边，过点A 作AE 垂直于BC 交BC 于E 点，sin sin()AE AB B AC C π==-,即sin sin c bC B=; 同理可得：sin sin a b C B =，故.sin sin sin a b cA B C==2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即A a s i n =B b sin =Cc sin 了解以下几种方法帮助大家开拓一下眼界！ 法一：（等积法）在任意斜△ABC 当中， S △ABC =A bcB acC ab sin 21sin 21sin 21==. 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin .法二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴==R CD 2DaA a sin sin =.同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R . 可将正弦定理推广为：A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径）. 法三：（向量法）过A 作单位向量j垂直于AC ， 由 AB =AC +CB.两边同乘以单位向量j 得j •(AC+CB )=j •AB .则j •AC +j •CB =j •AB .∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB|cos(90︒-A) .∴A c C a sin sin = . ∴A a sin =Ccsin . 同理，若过C 作j垂直于CB 得：C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin .3. 定理及其变形 ：（1）sinA:sinB:sinC=__::a b c ____； (2)A a sin =B b sin =C csin =CB A c b a sin sin sin ++++= 2R ；a=__2sin R A ____,；b=_2sin R B _____ ；c=_2sin R C ______；sinA=__2a R _____；sinB=___2b R _____；sinC=____2c R____. 4.思考：观察公式特点，思考正弦定理可以解决的问题： （1）_已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和两角． 5. 时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（3） 当A 为锐角（4） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断． 【基础练习】 1．在△ABC 中，k CcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A ) ． ()A 2R ()B R ()C 4R ()D R 21(R 为△ABC 外接圆半径)2.在ABC ∆中，已知08,60,75a B C ===，则b 等于（ C ）．()A ()B ()C ()D 32.33.(2008年北京) 已知ABC ∆中， 060a b B ===，则A 等于（ C ）．()A 0135 ()B 090 ()C 045 ()D 030.4. 在△ABC 中，sinA ＞sinB 则角 A ，B 的大小关系为： A>B .5. 在ABC ∆中，a:b:c=1:3:5,C A B A sin sin sin sin 2+-的值为___16-__.【典型例题】例1 已知在,0.32,8.81,9.420===∆B A c ABC 中，解三角形.【审题要津】已知两角A,B ，据三角形内角和求得第三角C ，即知两角和任意一边，由正弦定理求解三角形.解：根据三角形内角和定理，02.66180=--=B A C .根据正弦定理, )(1.800.32sin 8.81sin 9.42sin sin 00cm A B a b ≈==. 根据正弦定理, )(1.740.32sin 2.66sin 9.42sin sin 0cm A C a c ≈==. 【方法总结】已知两角和任意一边，求解三角形时，注意结合三角形的内角和定理求出已知边的对角；应用正弦定理时注意边与角的对应性.【变式练习】已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100===∆解：根据三角形内角和定理，0105180=--=C A B .根据正弦定理, ))(26(530sin 105sin 10sin sin 0cm C B c b +===.根据正弦定理, )(21030sin 45sin 10sin sin 0cm C A c a ===. 例2 （1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，已知===∆（2）C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【审题要津】已知两边和其中一边的对角，由正弦定理先求对角，再求第三角.解：(1)根据正弦定理, ,21360sin 1sin sin 0===b B c CB C b c <∴< .300=∴C根据三角形内角和定理，090180=--=B C A .(2) 根据正弦定理, ,23245sin 6sin sin 0===aAc C060=∴>∴>C B C b c 或0120=C .当060=C 时，根据三角形内角和定理，;7518000=--=A C B 当0120=C 时，根据三角形内角和定理，.1518000=--=A C B【方法总结】应用正弦定理时注意边与角的对应性;注意由C sin 求角C 时，讨论角C 为锐角或钝角的情况.【变式练习】在,28,40,200cm b A cm a ABC ===∆中，解三角形（角度精确到01）.解：根据正弦定理, .8999.02040sin 28sin sin 0≈==a A b B 因为,18000<<B 所以,640≈B 或.1160≈B（1）当064≈B 时，076180=--=B A C ，)cm (3040sin 76sin 20sin sin 0≈==A C a c . (2) 当0116≈B 时，024180=--=B A C ，).cm (1340sin 24sin 20sin sin 0≈==A C a c 例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数． (l)a=5,b=4 ，A=120(2)a =9,b=l0,A=60 (4)c=50,b=72,C=135【审题要津】已知两边及其中一边的对角的三角形不一定确定，在上述例题中通过求解可以判定解的个数，还可以通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角等三角形有关性 质进行判断，也可利用数形结合的办法不求解就能判定三角形解的个数． 解：（1）因为A= 120是钝角，且a=5>b=4 ， 所以此三角形只有一解． （2）b a A b A b <<∴<==sin ,97535sin ，由图可知该三角形有两解．（3）因为C=135，c=50 <b=72,所以如下图知此三角形无解．【方法总结】时解和中，已知在A b a ABC ,∆三角形的情况： 有三种，我们分情况给予讨论（5） 当A 为锐角（6） 当A 为直角或钝角也可利用正弦定理sin B=aAb sin 进行讨论： 如果sin B>l ，则问题无解； 如果sin B=l ，则问题有一解；如果求出sin B<l ，则可得B 的两个值，但要通过“三角形内角和定理’’或“大边对大角” 等三角形有关性质进行判断．例4 已知△ABC 中，bsin B=csin c ，且试判断三角形的形状．【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理能进行边与角的转化，这里条件中有角也有边，转化为相同的形式便于进一步探究.解：根据正弦定理将C B A 222sin sin sin +=可化为222c b a +=，由勾股定理逆定理得△ABC 为直角三角形，且.900=∠A 又因为,sin sin C B c b =所以bsin B=csin c 可化为,b c c b =即c b c b ==即,22，故该三角形为等腰直角三角形．【方法总结】三角形的形状常有等腰、等边、直角等特殊的三角形，判定中将角化为边或将边化为角是常用的思路．例4 已知△ABC 的面积为1，tanB=21,tanC=-2,求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积. 【审题要津】从正弦定理的形式可以看出定理反映了三角形的边与对角的正弦的比值的关系，这里给出角B,C 的正切，利用同角的基本关系式进行转化. 解：.552cos ,55sin ,20,21tan ==∴<∠<=B B B B π 又.55cos ,552sin ,2,2tan -==∴<∠<-=C C C C ππ.53sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴C B C B C B A .53sin sin ,sin sin b B A b a B b A a ==∴= ,15525321sin 212=∙∙==∴∆b C ab S ABC 解得,315=b 于是.3=a 又由正弦定理知： ,3152sin sin ==A C a c 外接圆的直径.635,335sin 2=∴==R A a R 故△ABC 外接圆的面积为.12252ππ==R S 【方法总结】学习本节时要综合运用同角三角函数关系式，正弦定理和三角形的面积公式进行计算，加强知识间的联系.1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是 ( D ) ．（A ）acos C= ccos A （B ）bsinC= csin A（C ）absin C=bcsin B （D ）aslnC=csin A ．2．在△ABC 中，已知a=18，b=20，A=150，则这个三角形解的情况是 ( C ) ．（A ）有一个解 （B ）有两个解 （C ）无解 （D ）不能确定3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A= 60,a=3，b=1，则c 等于(B ) ．（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3-1 （D ） 3．4．在△ABC 中，已知(b+c)：（c+a ）：(a+b) = 4：5：6，则 sin A ：sin B ：sin C 等于 ( B ) ．（A ） 6:5:4 （B ） 7:5:3 （C ） 3:5:7 （D ） 4:5:6．二、填空题5．在△ABC 中，A= 45，B= 60，则b a b a +-=______562-_ ． 6．在△ABC 中，a=x ，b=2，B= 45 ，若三角形有两解，则x 的取值范围为__222<<x __．7．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b=2a ，B=A+60，则A=__33__ ．三、解答题8． 在C a b B A cm c ABC ,,56,34,2000和求中，===∆解：根据三角形内角和定理，0090180=--=B A C . 根据正弦定理, )(56sin 2090sin 56sin 20sin sin 00cm C B c b ===. 根据正弦定理, )(34sin 2090sin 34sin 20sin sin 000cm C A c a ===. 9．在△ABC 中，若a=23,A= 30，讨论当b 为何值时（或在什么范围内），三角形有一解，有两解或无解？解：由上图知：当,30sin ,sin b a b b a A b <<<<即该三角形有两解，故3432<<b 时，该三角形有两解．当,sin b a a A b >=或该三角形有一解，故32034<<=b b 或时，该三角形有两解．当,sin a A b >即,34>b 该三角形有两解．10.已知方程2x 一(bcos A)x+acos B=0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角,试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为,,21x x 由韦达定理得,cos ,cos 2121B b x x A b x x ==+由题意得,cos cos B a A b =由正弦定理得,cos sin 2cos sin 2B A R A B R =在△ABC 中，,,0,0ππππ<-<-<<<<B A B A,0=-∴B A 故△ABC 为等腰三角形.1.（2007年北京）△ABC 中，若,1,150,31tan 0===BC C A ，则AB 210 ． 2.（2007年全国）在△ABC 中，已知内角3π=A ，边32=BC ，设内角,x B =，周长为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求)(x f y =的最大值.解：(1) △ABC 的内角和π=++CB A , 由3π=A ，0,0>>C B 得320π<<B . 应用正弦定理得,sin 4sin sin x B ABC AC =∙= ).32sin(4sin sin x C A BC AB -=∙=π 因为,BC AB AC y ++= 所以)320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y .（2）因为32)32sin(4sin 4+-+=x x y π ),6566(32)6sin(34ππππ<+<+-=x x 所以，当26ππ=+x ，即3π=x 时，取得最大值.36。
高中数学正余弦定理教案模板(精选7篇)-最新
高中数学正余弦定理教案模板（精选7篇）作为一位杰出的老师，时常要开展教案准备工作，编写教案有利于我们准确把握教材的重点与难点，进而选择恰当的教学方法。
如何把教案做到重点突出呢？这里给大家分享一些关于高中数学余弦定理教案，方便大家学习。
下面是的为您带来的7篇《高中数学正余弦定理教案模板》，希望能够对困扰您的问题有一定的启迪作用。
余弦定理教案篇一今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。
下面我分别从教材分析。
教学目标的确定。
教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。
一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。
平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。
本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。
在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。
二、教学目标的确定基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。
引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
正弦定理、余弦定理说课稿北师大版(优秀教案)
正、余弦定理（说课稿）一、教材分析正弦定理是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。
提出两个实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。
在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（）已知两角和一边，解三角形：（）已知两边和其中一边的对角，解三角形。
二、学情分析本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。
高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。
根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点。
三、教学目标.知识与技能：()引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；()简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题.过程与方法：通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法..情感、态度与价值观：()通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；()通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养.四、教学重点、难点教学重点：.正弦定理的推导. .正弦定理的运用教学难点：.正弦定理的推导. .正弦定理的运用.五、学法与教法学法与教学用具学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
高中数学余弦定理教案(优秀5篇)
高中数学余弦定理教案（优秀5篇）高中数学余弦定理教案篇一一、说教材(一)教材地位与作用《余弦定理》是必修5第一章《解三角形》的第一节内容，前面已经学习了正弦定理以及必修4中的任意角、诱导公式以及恒等变换，为后面学习三角函数奠定了基础，因此本节课有承上启下的作用。
本节课是解决有关斜三角形问题以及应用问题的一个重要定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，实现了边与角的互化，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量提供了理论依据，同时也为判断三角形形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。
(二)教学目标根据上述教材内容分析以及新课程标准，考虑到学生已有的认知结构，心理特征及原有知识水平，我将本课的教学目标定为：⒈知识与技能：掌握余弦定理的内容及公式；能初步运用余弦定理解决一些斜三角形⒈过程与方法：在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
⒈情感、态度与价值观：培养学生的探索精神和创新意识；在运用余弦定理的过程中，让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题，认识世界；通过本节的运用实践，体会数学的科学价值，应用价值；(三)本节课的重难点教学重点是：运用余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题，运用余弦定理解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。
教学难点是：灵活运用余弦定理解决相关的实际问题。
教学关键是：熟练掌握并灵活应用余弦定理解决相关的实际问题。
下面为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：二、说学情从知识层面上看，高中学生通过前一节课的学习已经掌握了余弦定理及其推导过程；从能力层面上看，学生初步掌握运用余弦定理解决一些简单的斜三角形问题的技能；从情感层面上看，学生对教学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。
高中数学《正弦定理》教案4篇
高中数学《正弦定理》教案4篇高中数学《正弦定理》教案1教材地位与作用：本节学问是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与学校学习的三角形的边和角的基本关系有亲密的联系与判定三角形的全等也有亲密联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。
因此，正弦定理的学问特别重要。
学情分析：作为高一同学，同学们已经把握了基本的三角函数，特殊是在一些特别三角形中，而同学们在解决任意三角形的边与角问题，就比较困难。
教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。
教学难点：正弦定理的探究及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时推断解的个数。
(依据我的教学内容与学情分析以及教学重难点，我制定了如下几点教学目标)教学目标分析：学问目标：理解并把握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。
力量目标：探究正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论。
情感目标：通过推导得出正弦定理，让同学感受数学公式的干净对称美和数学的实际应用价值。
教法学法分析：教法：采纳探究式课堂教学模式，在老师的启发引导下，以同学自主和合作沟通为前提，以“正弦定理的发觉”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让同学的思维由问题开头，到猜测的得出，猜测的探究，定理的推导，并逐步得到深化。
学法：指导同学把握“观看——猜测——证明——应用”这一思维方法，实行个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学学问应用于对任意三角形性质的探究。
让同学在问题情景中学习，观看，类比，思索，探究，动手尝试相结合，增添同学由特别到一般的数学思维力量，锲而不舍的求学精神。
教学过程(一)创设情境，布疑激趣“爱好是最好的老师”，假如一节课有个好的开头，那就意味着胜利了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠a=47°,∠b=53°,ab 长为1m,想修好这个零件，但他不知道ac和bc的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗?”激发同学关心别人的热忱和学习的爱好，从而进入今日的学习课题。
必修5第二章第1节正弦定理与余弦定理(理)
【本讲教育信息】一. 教学内容：必修5 正弦定理、余弦定理二、教学目标〔1〕熟练的掌握正弦定理、余弦定理及其简单的应用。
〔2〕在正、余弦定理应用过程中，体会利用函数与方程的数学思想处理已知量与未知量的关系。
利用等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想应用正弦定理、余弦定理解题。
三、知识要点分析1、正弦定理的有关知识〔设△ABC 的,,A B C ∠∠∠所对的边是a ，b ，c ，外接圆半径是R 〕正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===， 由正弦定理得〔i 〕2sin sin sin sin sin sin a b c a b cR A B C A B C++====++〔ii 〕::sin :sin :sin a b c A B C =。
正弦定理应用：〔1〕已知一边和两角求其余的边和角。
2、三角形的面积公式〔1〕1,(2a a S a h h a =⋅是边上高）〔h a是a 边上的高〕〔2〕111S sin sin sin 222ab C bc A ac B ===。
〔3〕 1(),(2S a b c r r =++⋅是内切圆半径）3、余弦定理的有关知识。
〔设△A, B, C ABC ∠∠∠的三个角所对的边是a,b,c 〕 余弦定理：22222222cos )2(1cos )cos 2b c a b c bc A b c bc A A bc+-=+-=+-+⇒=a （22222222cos ()2(1cos )cos 2a c b b a c ac B a c ac B B ac+-=+-=+-+⇒=22222222cos ()2(1cos )cos 2a b c c a b ab C a b ab C C ab+-=+-=+-+⇒=余弦定理应用：〔1〕已知三边求角，〔2〕已知两边及其夹角求其余的边和角。
【典型例题】考点一：利用正弦定理、余弦定理求三角形的边和角 例1、在△03,2,45c ABC a b B ===中，已知，求A,C 和B=45°，求A ，C 和。
余弦定理 优秀课件 北师大版
c
b
C
1 因此c 5 4 2 5 4( ) 61 2
2 2
a
图 1
B
例2
在ABC中，已知a 3, b 2, c 19，求此三角形各个角的大小及其面积，
解：由余弦定理得：
（精确到0.1）
cosC
a b c 2ab
2 2
2
3 2 19 2 3 2
（ ）当ABC为直角三角形时； 1
A
C 90 c a b
2 2 2 2 2
又 cosC 0 c a b - 2abcosC
2
C
B
( 2)当ABC为锐角三角形时； c 2 AD 2 BD 2
2 2 bsinC） BD DC） （ （
2 2
2
A
因此C 120
再由正弦定理得
a sin C sin A c 3 3 2 3 3 0.5960 19 2 19
B
图2
C
D
因此，A 36.5或A 143 .4（不合题意，舍去）
因此，B 180 A C 23.4
设BC边上的高为AD，则
既然选择了远方， 就只有风雨兼程 。
人教版必修5
1.1.2余弦定理
温故知新
1、正弦定理的主要内容 是什么？
正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的
a b c 正弦的比相等 sin A sin B sin C
2、正弦定理能解决哪些解三角形问题？
(1)已知两边及一边对角，求另一边的对角。 (2)已知两角和任一边，求其它两边及一角
在一个三角形中，如果知道两边及其夹角的值， 由余弦定理就可以求出第三边
正余弦定理的应用教案1北师大版必修5
正弦定理、余弦定理的应用（二）
教学目标：进一步巩固正弦定理余弦定理的应用，并渗透数学文化教育，培养学生基本数学
素质。
教学重点：正弦定理与余弦定理的综合应用
教学难点：
教学过程：
一．复习回顾：
1．正弦定理：R C
c B b A a 2sin sin sin === 2．余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc
a c
b A 2cos 2
22-+= ,cos 22
22B ca a c b -+=⇔ca b a c B 2cos 2
22-+= C ab b a c cos 22
22-+=，⇔ab c b a C 2cos 2
22-+= 二．数学应用
例1在任一△ABC 中求证：
0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a
例2 在△ABC 中，已知3=
a ，2=
b ，B=45 o 求A C 、及c
例3 在△ABC 2sin b A =，求B ∠
例4在锐角△ABC 中，边长1,2,a b ==求边长c 的取值范围。
例5在△ABC 中，若面积222
S =，求C ∠
例6在△ABC 中， BC=a, AC=b, a, b 是方程02322
=+-x x 的两个根，且 2cos(A+B)=1
求（1）角C 的度数 （2）AB 的长度 （3）△ABC 的面积
三．小结
通过本节学习，要求大家在了解正弦余弦定理知识有关数学史，提高爱国热情与数学兴趣。
四．教后感。
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇
高中《正弦和余弦定理》数学教案4篇教案是讲课的前提，是讲好课的基础，教案则备课的具体表现形式。
它可以反映教师在整个教学中的总体设计和思路尤其是教学态度认真与否的重要尺度。
以下是小编为大家整理的高中《正弦和余弦定理》数学教案，感谢您的欣赏。
高中《正弦和余弦定理》数学教案1教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化②用如下图示分析解的情况.(A为锐角时)②练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2.教学正弦定理与余弦定理的活用：①出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别→求角余弦，由符号进行判断③出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角→再思考：又如何将角化为边3.小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3.作业：教材P11B组1、2题.高中《正弦和余弦定理》数学教案2一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
(2)重点、难点。
重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。
高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.2 第1课时余弦定理及其直接应用
1.1.2 余弦定理第1课时 余弦定理及其直接应用学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.知识点一 余弦定理思考1 根据勾股定理，在△ABC 中，C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？ 答案 当a ＝b ＝c 时，C ＝60°，a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2＋c 2－2c ·c cos 60°＝c 2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC ，都有c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .思考2 在c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，ab cos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？ 答案 ab cos C ＝|CB →||CA→CB →，CA →＝CB →·CA →.∴a 2＋b 2－2ab cos C ＝CB →2＋CA →2－2CB →·CA →＝(CB →－CA →)2＝AB →2＝c 2. 猜想得证.梳理 余弦定理的公式表达及语言叙述特别提醒：余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量. 知识点二 适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1 观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案 每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形.思考2 观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案 每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形.梳理 余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形.1.勾股定理是余弦定理的特例.(√)2.余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素.(√)3.在△ABC 中，已知两边及夹角时，△ABC 不一定唯一.(×)类型一 余弦定理的证明例1 已知△ABC ，BC ＝a ，AC ＝b 和角C ，求c 的值. 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的理解解 如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，由AB →＝CB →－CA →，知c ＝a －b ， 则|c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b ) ＝a ·a ＋b ·b －2a ·b ＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C . 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c ＝a 2＋b 2－2ab cos C .反思与感悟 所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方. 跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？ 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的理解解 如图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (c ,0)， C (b cos A ，b sin A )，∴BC 2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ， 即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 类型二 用余弦定理解三角形 命题角度1 已知两边及其夹角例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c 等于( ) A.4 B.15 C.3D.17考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 D解析 由三角形内角和定理可知 cos C ＝－cos(A ＋B )＝－13，又由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×⎝⎛⎭⎫－13＝17， 所以c ＝17.反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角.跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A . 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形解 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－43， 所以c ＝6－ 2.由正弦定理，得sin A ＝a sin C c ＝12，因为b >a ，所以B >A ， 所以A 为锐角，所以A ＝30°. 命题角度2 已知三边例3 在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C . 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三解形解 根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝(6＋23)2＋(43)2－(26)22×(6＋23)×(43)＝32. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝22， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝7π12，∴A ＝π6，B ＝7π12，C ＝π4.反思与感悟 已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝b 2＋a 2－c 22ba 先求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理.跟踪训练3 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状. 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形解 因为a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5， 所以可令a ＝2k ，b ＝4k ，c ＝5k (k >0). c 最大，cos C ＝(2k )2＋(4k )2－(5k )22×2k ×4k <0，所以C 为钝角，从而三角形为钝角三角形.1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的第三边长为( )A.52B.213C.16D.4 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 B解析 设第三边长为x ，则x 2＝52＋32－2×5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝52，∴x ＝213. 2.在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形 答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角且C 为锐角， 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32. 又∵C 为锐角，∴C ＝π6.3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32 D.78 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形 答案 D解析 设顶角为C ，周长为l ，因为l ＝5c ，所以a ＝b ＝2c ， 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78.4.在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则c 2＝ .考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 30－4 6解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(32)2＋(23)2－2×32×23×13＝30－4 6.5.在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ .考点 余弦定理及其变形应用 题点 用余弦定理求边或角的取值范围 答案 1解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0.∴a ＝1或a ＝－2(舍去).∴a ＝1.1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角，解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角.2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.一、选择题1.在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ca ＝2a 22a ＝a ＝2.2.在△ABC 中，已知B ＝120°，a ＝3，c ＝5，则b 等于( ) A.4 3 B.7 C.7 D.5 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 C解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴b ＝7. 3.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A.90° B.120° C.135° D.150° 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形答案 B解析 设中间角为θ，则θ为锐角，cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求.4.在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用 答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ×2a＝34.5.若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A.19 B.14 C.－18 D.－19 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用 答案 D解析 设三角形的三边分别为a ，b ，c ， 依题意得，a ＝5，b ＝6，c ＝7.∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝－ac ·cos B . 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，∴－ac ·cos B ＝12(b 2－a 2－c 2)＝12(62－52－72)＝－19，∴AB →·BC →＝－19.6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C 等于( )A.1B.2C.12D.34考点 用余弦定理解三角形 题点 已知三边解三角形 答案 A解析 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a cos Ac＝4cos A3＝1.7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从点O 沿OD 走到点D 用了2 min ，从点D 沿DC 走到点C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( ) A.50 m B.45 m C.507 m D.47 m 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 答案 C解析 依题意得OD ＝100 m ， CD ＝150 m ， 连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°， 因此由余弦定理，得OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ×CD ×cos ∠ODC ， 即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507(m).8.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B.8－4 3C.1D.23 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用 答案 A解析 (a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4， 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴3ab ＝4，∴ab ＝43.二、填空题9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2<c 2，且sin C ＝32，则C ＝ .考点 余弦定理及其变形应用 题点 用余弦定理求边或角的取值范围 答案2π3解析 因为a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以三角形是钝角三角形，且C >π2.又因为sin C ＝32，所以C ＝2π3. 10.在△ABC 中，A ＝60°，最大边长与最小边长是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 的长为 .考点 余弦定理及其变形应用题点 余弦定理与一元二次方程结合问题 答案57解析 设内角B ，C 所对的边分别为b ，c .∵A ＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b ，c .由条件可知b ＋c ＝9，bc ＝8，∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝92－2×8－2×8×cos 60°＝57，∴BC ＝57.11.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是 . 考点 余弦定理解三解形 题点 已知三边解三角形 答案3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC＝22，∵C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝3. 三、解答题12.在△ABC 中，已知A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c . 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用解 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，所以49＝64－2bc ⎝⎛⎭⎫1－12，即bc ＝15, 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8，bc ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，c ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝5，c ＝3. 13.在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.考点 用余弦定理解三角形题点 余弦定理解三角形综合问题解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0<B <π，所以B ＝π4. (2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A,0<A <3π4. 所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A＝2cos A ＋cos3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. ∵0<A <3π4，∴π4<A ＋π4<π， 故当A ＋π4＝π2， 即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. 四、探究与拓展14.已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1无公共点，则△ABC 的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定考点 判断三角形形状 题点 利用余弦定理判断三角形形状答案 B解析 ∵直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1无公共点，∴圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2>1，即a 2＋b 2－c 2<0，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0， 又C ∈(0，π)，∴C 为钝角.故△ABC 为钝角三角形.15.在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为 . 考点 用余弦定理解三角形题点 已知三边解三角形答案 7解析 由条件知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝92＋82－722×9×8＝23， 设中线长为x ，由余弦定理，知x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2×AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49， 所以x ＝7.所以AC 边上的中线长为7.。
高中《正弦和余弦定理》数学教案
高中《正弦和余弦定理》数学教案教学目标：1. 理解正弦定理和余弦定理的概念和原理；2. 掌握正弦定理和余弦定理的运用方法；3. 能够应用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
教学重点：1. 正弦定理和余弦定理的概念和原理；2. 正弦定理和余弦定理的运用方法。
教学难点：1. 正弦定理和余弦定理的应用；2. 能够灵活运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。
教学准备：1. 教材和课件；2. 板书工具；3. 黑板或白板；4. 直尺和量角器。
教学过程：Step 1：引入新知识（5分钟）1. 回顾三角函数的基本概念和计算方法；2. 引导学生思考：在什么情况下可以使用正弦定理和余弦定理？Step 2：正弦定理的介绍和推导（10分钟）1. 讲解正弦定理的概念和原理；2. 推导正弦定理的公式：$\\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C}$。
Step 3：正弦定理的应用（10分钟）1. 解决已知三边求角度的问题；2. 解决已知两边和夹角求第三边的问题；3. 解决已知两边和一个对角度求另一对角度的问题。
Step 4：余弦定理的介绍和推导（10分钟）1. 讲解余弦定理的概念和原理；2. 推导余弦定理的公式：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \\cos C$。
Step 5：余弦定理的应用（10分钟）1. 解决已知三边求角度的问题；2. 解决已知两边和夹角求第三边的问题；3. 解决已知三边求面积的问题。
Step 6：综合应用练习（15分钟）在实际问题中综合运用正弦定理和余弦定理解决复杂的三角形问题。
Step 7：总结与拓展（5分钟）1. 小结正弦定理和余弦定理的应用方法；2. 引导学生应用所学知识解决更复杂的问题。
Step 8：作业布置（5分钟）完成教材上相关的练习题，巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，将正弦定理和余弦定理的概念、原理和应用结合起来，既有助于学生了解两者之间的联系，又能帮助学生更好地掌握其应用方法。
高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.1 正弦定理课件 北师大版必修5
∵sin B=
sin
=
10sin60 °
5 6
=
2
2
, ∴ = 45°,
∴A=180°-(B+C)=75°.
∴a=
sin
sin
=
10sin75 °
sin45 °
=
10×
6+ 2
4
2
2
= 5( 3 + 1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
判断三角形的形状
【例 2】 在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2, 且为锐角,
sin
∴C=60°或 C=120°.
当 C=60°时,A=90°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A=2 3.
2
当 C=120°时,A=30°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A= 3.
2
故三角形的面积是 2 3或 3.
=
3
2
.
1
2
3
4
5
1在△ABC中,若b=2asin B,则A的值是(
BC=
.
解析:c=AB=3,B=75°,C=60°,则 A=45°.
由正弦定理,得
=
,
所以 a=BC=
答案: 6
sin
sin
sin
3sin45 °
sin
sin60 °
=
= 6.
π
【做一做 3-2】 在△ABC 中,若 a=3,b= 3, = ,
3
.
则的大小为
北师大版高中数学必修五第二章解三角形之正弦定理教案
北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》全部教案第一课时 §2.1.1 正弦定理一、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ A 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.探析新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a B (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
高中数学§1正弦定理余弦定理教案北师大版
高中数学§1正弦定理余弦定理教案北师大版教案主题：高中数学§1正弦定理、余弦定理教案教学目标：1.理解正弦定理和余弦定理的定义和原理；2.掌握正弦定理和余弦定理的计算方法，并能够应用于相关题目。
教学重点：1.正弦定理的推导和应用；2.余弦定理的推导和应用。
教学难点：1.正弦定理和余弦定理的灵活应用。
教学准备：1.教材：北师大版高中数学教材；2.教具：教学投影仪、复印件。
教学过程：一、导入（10分钟）1.教师通过提问或展示一些实际问题引起学生对三角形定理的兴趣，如“当我们观测星星时，我们如何测量两个不可达的距离？”2.学生提出的问题或思考可以引导教师进一步引入正弦定理和余弦定理。
二、正弦定理（30分钟）1.教师先介绍正弦定理的定义和原理，并通过示意图进行解释。
2.教师通过具体例题演示正弦定理的应用，引导学生掌握计算步骤。
3.学生进行小组讨论，解决一些相关的练习题，教师逐一点评。
三、余弦定理（30分钟）1.教师先介绍余弦定理的定义和原理，并通过示意图进行解释。
2.教师通过具体例题演示余弦定理的应用，引导学生掌握计算步骤。
3.学生进行小组讨论，解决一些相关的练习题，教师逐一点评。
四、综合应用（30分钟）1.教师设计一些综合性的问题，引导学生运用所学的正弦定理和余弦定理进行综合应用。
2.学生进行小组讨论，解决一些相关的综合应用题，教师逐一点评。
五、归纳总结（10分钟）1.教师引导学生总结正弦定理和余弦定理的计算方法和应用场景。
2.学生进行笔记整理，进行知识点的归纳总结。
六、作业布置（5分钟）1.教师布置相关的练习题，巩固所学的知识点。
2.学生预习下一节内容，做好相关的准备。
教学反思：通过本节课的教学，学生对正弦定理和余弦定理的定义和原理都有了基本的了解。
教师通过具体例题和综合应用题的演示，使学生掌握了计算方法和灵活应用的技巧。
在今后的教学中，需要加强学生的实际应用能力，让学生能够将所学的理论知识应用于实际问题的解决中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1 正弦定理、余弦定理
教学目的：
⑴使学生掌握正弦定理
⑵能应用解斜三角形，解决实际问题 教学重点：正弦定理
教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，
可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办？ ——提出课题：正弦定理、余弦定理
二、讲解新课：
正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即
A a sin =
B b sin =C
c
sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA=
c a ，sinB=c
b
， sinC=1 即 c=
A a sin ， c=
B b sin ， c=
C c sin ． ∴A a sin =B b sin =C
c sin 2．斜三角形中
证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =A bc B ac C ab sin 21
sin 21sin 21==
两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C
c
sin
证明二：（外接圆法） 如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴R CD D
a
A a 2sin sin === 同理
B b sin =2R ，C
c
sin ＝2R 证明三：（向量法）
过A 作单位向量j 垂直于AC 由AC +CB =AB 两边同乘以单位向量j 得 j •(AC +CB )=j •AB
则•+•=•
∴|j |•|AC |cos90︒+|j |•|CB |cos(90︒-C)=| j |•|AB |cos(90︒-A) ∴A c C a sin sin = ∴
A a sin =C
c
sin 同理，若过C 作j 垂直于CB 得：
C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =C
c
sin 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA
a
sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a
已知边a,b 和∠A
有两个解
仅有一个解无解
CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA
⑵若A 为直角或钝角时:⎩
⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解
b a
三、讲解范例：
例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100
===∆ 解：0
30,45,10===C A c ∴0
105)(180=+-=C A B
由C c A a sin sin = 得 21030
sin 45sin 10sin sin 0
=⨯==C A c a 由
C
c
B b sin sin =得 25654262075sin 2030
sin 105sin 10sin sin 00
0+=+⨯==⨯==C B c b 例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆
解：∵213
60sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C c B b
00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，
∴222=+=c b a
例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆
解：2
3245sin 6sin sin ,sin sin 0=
⨯==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<<C c a A c
1360sin 75sin 6sin sin ,75600
+=====∴C B c b B C 时，当，
1360
sin 15sin 6sin sin ,151200
-=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b
（2010广东理数）11.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若
则sinC=
解：由A +C =2B 及A + B+ C =180°知，B =60°．由正弦定理知，
1sin A =，
即1
sin 2
A =
．由a b <知，60A B <=，则30A =， 180180306090C A B =--=--=，sin sin 901C ==
四、课堂练习：
1在△ABC 中，
k C
c
B b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A2R B R C4R D R 2
1
(R 为△ABC 外接圆半径)
2△ABC 中，sin 2
A =sin 2
B +sin 2
C ，则△ABC 为( ) A 直角三角形 B C 等边三角形
D 等腰三角形 3在△ABC 中，求证：2
2221
12cos 2cos b
a b B a A -=-
参考答案：1A ，2A
3
B b A a sin sin =⇒b B a A sin sin =⇒2
2)sin ()sin (b
B a A = ⇒2
222sin sin b
B
a A =⇒222cos 12cos 1
b B a A -=- ⇒
2
2221
12cos 2cos b a b B a A -=- 五、小结 正弦定理，两种应用 六、课后作业： 1在△ABC 中，已知
)
sin()sin(sin sin C B B A C A --=，求证：a 2，b 2，c 2
成等差数列 证明：由已知得sin （B ＋C ）sin （B －C ）＝sin （A ＋B ）·sin （A －B ）
cos2B －cos2C ＝cos2A －cos2B 2cos2B ＝cos2A ＋cos2C
2
2cos 122cos 122cos 12B A B -+-=-⋅
∴2sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2
C
由正弦定理可得2b 2
＝a 2
＋c 2
即a 2，b 2，c 2
成等差数列
七、板书设计（略） 八、课后记：
第二课时：教材P46页例1、例2、例3。