初高中数学衔接教案

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初高中衔接数学教案

初高中衔接数学教案

初高中衔接数学教案
教学目标:通过本节课的学习,学生能够了解初中和高中数学之间的差异,掌握高中数学
学习的基础知识,并能够顺利完成初高中数学之间的过渡。

教学内容:初中数学与高中数学的差异、高中数学基础知识的学习、初中数学知识的延伸。

教学重点:初高中数学知识的差异、高中数学基础知识的学习。

教学难点:初中数学知识的延伸。

教学准备:
1. 教材:初中数学教科书、高中数学教科书。

2. 教具:黑板、彩色粉笔、教学PPT等。

3. 学生:初中生和高中生。

教学过程:
一、引入
教师通过对初中数学和高中数学的简单介绍,引导学生思考两者之间的差异,并激发学生
学习高中数学的兴趣。

二、知识讲解
1. 教师讲解高中数学基础知识,如函数、导数、积分等,并与初中数学进行比较。

2. 教师讲解初中数学知识的延伸,引导学生理解初中数学知识在高中数学中的应用。

三、练习与讨论
1. 设计一些练习题,让学生巩固所学知识并掌握高中数学的基本操作。

2. 鼓励学生互相讨论和交流,帮助他们理解数学知识。

四、总结反思
教师对本节课的内容进行总结,并引导学生反思学习过程中的问题和收获。

五、作业布置
布置作业,让学生巩固所学知识,并预习下节课的内容。

教学反思:
通过本节课,学生能够对初中数学和高中数学之间的差异有一个初步了解,并且掌握了高中数学的一些基础知识。

在教学过程中,应注重引导学生主动学习,培养他们的自学能力和解决问题的能力。

初中与高中的衔接数学教案

初中与高中的衔接数学教案

初中与高中的衔接数学教案教学目标:通过本课学习,学生将能够熟练掌握初中数学知识,为高中数学学习奠定良好基础。

教学内容:初中与高中数学知识的衔接,包括初中数学知识的复习与延伸,高中数学知识的引入。

教学重点:初中数学知识的回顾与巩固,高中数学知识的初步引入与理解。

教学难点:初中数学知识与高中数学知识的衔接,学生需要跨越知识的边界,理清逻辑关系。

教学准备:教师准备好教案、教材、多媒体设备等教学工具;学生准备好课本、笔记本和笔等学习用具。

教学步骤:1.复习初中数学知识。

教师可以通过课堂互动让学生回顾和巩固初中数学知识,如方程、函数、几何等内容。

2.引入高中数学知识。

教师可以简要介绍高中数学的内容和学习方法,让学生做好学习准备。

3.进行知识衔接。

教师可以通过案例讲解初中数学知识与高中数学知识的联系和衔接,引导学生拓展思路,加深理解。

4.分组讨论。

教师让学生小组合作讨论与解决一些涉及初中和高中数学知识的问题,培养学生的合作与解决问题的能力。

5.总结与反思。

教师带领学生总结本节课的学习内容,学生反思自己的学习收获和不足之处,并提出问题。

教学评价:通过教师的现场观察、学生的表现以及课后作业的完成情况,对学生的学习情况进行评价,并提出建议和指导。

教学反思:教师根据教学过程和学生的反馈,总结本节课的教学效果和不足之处,为下一节课的教学改进提供参考。

扩展活动:为学生提供相关拓展资料或参加数学竞赛等活动,激发学生学习兴趣,促进数学能力的提升。

教学结束语:本节课的目标是让学生理清初中数学与高中数学之间的联系,帮助学生顺利过渡到高中数学学习阶段。

希望大家在今后的学习中能够积极探索,勇攀高峰!谢谢大家的认真听讲,下节课见!。

初高中衔接内容数学教案

初高中衔接内容数学教案

初高中衔接内容数学教案
一、教学目标:
1. 知识与技能:学生能够掌握初中数学与高中数学的衔接知识,如函数、方程、不等式等
内容。

2. 过程与方法:通过引导学生进行问题解决和思维拓展,培养学生的数学思维和解决问题
的能力。

3. 情感态度与价值观:培养学生对数学学习的兴趣和自信心,激发学生学习数学的积极性。

二、教学内容:
本节课主要教学内容为初高中数学衔接的知识点,包括但不限于:
1. 函数与方程的衔接:介绍高中函数与初中函数的联系,并引导学生探讨函数的性质和图
像变化。

2. 不等式的衔接:通过举例引导学生理解不等式的性质和解法,并培养学生分析问题、解
决问题的能力。

3. 逻辑推理与证明:引导学生进行逻辑推理和证明练习,培养学生的思维逻辑和分析能力。

三、教学过程:
1. 导入:通过提出一个问题或引入一个实例,激发学生对本课内容的兴趣。

2. 学习与讨论:教师介绍和讲解本节课的知识点,引导学生进行讨论和互动,加深对知识
的理解。

3. 练习与应用:设计一些练习题和问题,让学生进行练习和解答,巩固所学知识。

4. 总结与拓展:对本课内容进行总结,引导学生拓展思维,思考更深层次的问题。

5. 作业布置:布置相关的作业,加强对知识的巩固与熟练掌握。

四、教学评估:
通过课堂表现、作业情况和考试成绩等多方面对学生进行评估,及时发现问题并进行针对
性调整和指导。

五、教学反思:
教学结束后,教师应对本节课的教学效果进行反思和总结,发现问题并加以改进,为下一
节课的教学做好准备。

初高中知识衔接数学教案

初高中知识衔接数学教案

初高中知识衔接数学教案教学内容:初中数学与高中数学知识的衔接教学目标:1. 了解初中数学和高中数学之间的知识衔接关系;2. 掌握数学知识的渐进性和深入性;3. 提高学生对数学学习的兴趣和动力。

教学重点:1. 初中数学和高中数学知识的衔接点;2. 渐进式学习方法的应用。

教学难点:1. 高中数学对初中数学知识的深入理解;2. 如何利用初中数学知识快速适应高中数学学习。

教学准备:1. 教材:初中数学教材、高中数学教材;2. 教具:黑板、彩色粉笔、计算器等。

教学步骤:第一步:导入(5分钟)教师简单介绍初中数学和高中数学之间的知识衔接关系,引导学生对今天的学习内容产生兴趣。

第二步:理论讲解(15分钟)1. 教师通过对几个例题的讲解,让学生了解初中数学和高中数学之间的知识衔接点;2. 教师讲解数学知识的渐进性和深入性,引导学生明确学习目标。

第三步:实例练习(20分钟)1. 学生在教师的指导下完成一些衔接性的习题,加深对知识点的理解;2. 学生自主练习,并彼此交流讨论。

第四步:课堂讨论(10分钟)学生就学习过程中遇到的问题进行讨论和解答,教师及时纠正学生的错误理解。

第五步:拓展延伸(10分钟)1. 学生进行拓展延伸练习,进一步加深对知识点的理解;2. 学生通过实际问题的解决,巩固所学知识。

第六步:作业布置(5分钟)布置相关作业,巩固所学知识。

教学反思:通过本节课的学习,学生对初中数学和高中数学之间的知识衔接有了更深入的了解,对数学学习的兴趣有所提高。

在日后的教学中,要加强对初中数学知识的深度学习,以便更好地适应高中数学学习的要求。

同时,要注重渐进式学习方法的应用,帮助学生更好地掌握数学知识。

数学初高中衔接班教案

数学初高中衔接班教案

数学初高中衔接班教案
教学目标:
1. 帮助学生顺利过渡从初中数学到高中数学的学习
2. 加强学生对基础数学知识的掌握和应用能力
3. 培养学生解决实际问题的数学思维能力
教学内容:
1. 复习初中数学的重点知识,如代数、几何、函数等
2. 引入高中数学的知识,如排列组合、概率、微积分等
3. 培养学生分析和解决问题的能力
教学过程:
1. 复习初中知识
- 通过讲解、练习和考试等方式复习初中数学知识,包括代数、几何、函数等2. 引入高中知识
- 介绍高中数学的知识点,并通过案例分析和实例演练等方式引导学生理解和掌握3. 综合训练
- 定期进行综合训练,综合初高中知识,巩固学生所学内容
4. 课外拓展
- 鼓励学生参加数学竞赛或进行相关研究,扩展数学视野
教学评估:
1. 定期进行小测验,检测学生对知识点的掌握情况
2. 每学期末进行综合考试,综合考察学生对初高中数学知识的理解和应用能力
3. 不定期进行课堂互动,了解学生的学习情况并及时调整教学方法
教学资源:
1. 教材:《数学初中教材》、《数学高中教材》
2. 参考书籍:《数学衔接教程》、《数学基础训练》等
3. 网络资源:数学学习平台、在线教学资源等
备注:
本教案仅供参考,根据学生实际情况和学校教学大纲进行适当调整,以确保教学效果和学生学习质量。

初高中数学衔接教案

初高中数学衔接教案

初高中数学衔接教案
教学目标:使学生能够顺利过渡从初中数学到高中数学,掌握所需基础知识和方法
重点难点:初中数学基础概念与高中数学深入理解的衔接,数学知识的逻辑性和抽象性,
学习方法和思维方式的转变
教学内容:
1. 复习初中数学重要知识点,如代数、几何、概率与统计等;
2. 讲解高中数学常见概念和方法,如函数、导数、积分等;
3. 拓展初中数学知识,引导学生学习更深层次和抽象性的数学内容;
教学步骤:
一、复习初中数学知识(30分钟)
1. 复习代数知识,如多项式、方程、不等式等;
2. 复习几何知识,如平面几何、立体几何等;
3. 复习概率与统计知识,如排列组合、概率计算等;
二、讲解高中数学概念方法(40分钟)
1. 引入高中数学常见概念,如函数的概念和基本性质;
2. 讲解导数和积分的初步概念和意义;
3. 演示高中数学解题方法和思维方式;
三、拓展深入数学知识(30分钟)
1. 引入高中数学中更深层次和抽象性的内容,如极限、微分方程等;
2. 演示高中数学的解题方法和证明步骤;
3. 指导学生如何应对高中数学学习的挑战和困难;
教学反馈:通过课堂练习和作业检查,评估学生对初高中数学衔接的掌握情况,并及时给
予指导和帮助。

教学延伸:组织学生进行数学竞赛、参加数学社团或研究小组等活动,拓宽学生数学视野,提高数学思维能力和解题能力。

教学评价:通过课后测试和作业绩效,评估学生对初高中数学衔接知识和方法的掌握情况以及学习态度和进步情况。

教学反思:根据学生的学习反馈和表现,调整教学内容和方法,及时帮助学生解决学习困难,推动学生数学学习的持续发展和提高。

初高中衔接班数学教案

初高中衔接班数学教案

初高中衔接班数学教案
教学目标:
1. 让学生从初中数学的知识基础出发,逐步过渡到高中数学的学习内容,为顺利适应高中数学课程做好准备。

2. 帮助学生建立数学思维和解题能力,培养他们的数学学习兴趣和自信心。

教学内容:
1. 复习初中数学基础知识,包括代数、几何、函数等方面的内容。

2. 引入和探讨高中数学的一些基本概念和方法,如集合与映射、函数的基本性质、解析几何等。

3. 练习高中数学的典型题目,培养学生的解题能力和运用知识的能力。

教学过程:
1. 复习初中数学知识,通过课堂练习和作业,夯实基础。

2. 导入高中数学内容,引导学生理解新概念和方法。

3. 组织学生分组讨论,解决一些高难度数学问题,培养合作精神和解题方法。

4. 布置课外作业,巩固和拓展学生所学内容。

5. 定期组织模拟考试,检测学生学习效果。

教学资源:
1. 《新课标数学》教材及配套辅导书。

2. 数学练习册和习题集。

3. 电子教学资源和多媒体教学手段。

评价方式:
1. 经常性的小测验和作业评定,评价学生对知识的掌握情况。

2. 定期组织模拟考试,评价学生的解题能力和应试能力。

3. 考察学生在课堂讨论和小组合作中的表现情况。

教学心得:
通过组织系统的初高中衔接班数学教学,可以有效帮助学生顺利过渡到高中数学学习阶段,并且提高他们的数学学习能力和解题能力。

同时也可以培养学生的合作意识和团队精神,
为其未来的学习和发展奠定良好的基础。

初中到高中的数学衔接教案

初中到高中的数学衔接教案

初中到高中的数学衔接教案教学目标:1. 复习和巩固初中数学知识,尤其是数学基础知识;2. 引导学生了解高中数学学科的性质和要求,培养学生的学习兴趣和学科自信心;3. 培养学生的数学思维,提高他们的数学问题解决能力;4. 帮助学生树立正确的学习态度,促使他们主动学习和积极思考。

教学重点:1. 复习和巩固初中数学知识点;2. 讲解高中数学学科的性质和要求;3. 引导学生进行数学综合应用训练,提高他们的解决问题能力。

教学难点:1. 如何将初中数学知识与高中数学知识进行衔接;2. 如何引导学生逐步适应高中数学的学习节奏和难度。

教学过程:一、复习阶段1. 复习初中数学知识,包括代数、几何、概率等知识点;2. 引导学生进行相关练习和整理知识点。

二、引入高中数学学科1. 讲解高中数学学科的性质和要求,引导学生了解高中数学学科的内容和发展方向;2. 带领学生了解高中数学课程结构和考试要求。

三、数学综合应用训练1. 给学生提供一些数学综合应用题,让他们运用所学知识进行解答;2. 引导学生讨论解题方法和策略,加深对数学问题解决过程的理解;3. 鼓励学生积极思考和探究,激发他们对数学学科的兴趣和热情。

四、课堂总结1. 总结本节课的学习要点和重点,强调数学学科的学习态度和方法;2. 鼓励学生继续努力,加强数学知识的掌握和应用能力。

五、课后作业1. 布置适量的数学综合应用题,让学生巩固和深化所学知识;2. 鼓励学生主动思考和解决问题,培养他们的自主学习能力。

教学反思:通过本节课的教学,学生对高中数学学科有了初步的了解,对数学问题的解决能力也有所提高。

在后续的教学过程中,应根据学生的实际情况和学习需求,进一步引导他们逐步适应高中数学学科,并努力提高数学能力和综合素质。

初中到高中的数学过渡教案

初中到高中的数学过渡教案

初中到高中的数学过渡教案
目标:帮助初中生顺利过渡到高中数学学习,建立良好的数学基础。

一、知识回顾
1. 复习初中数学知识,包括代数、几何、概率、统计等方面的基础知识。

2. 复习重要的数学公式和定理,如勾股定理、二次函数的性质等。

二、引入高中数学知识
1. 引入高中数学的学习内容,包括解析几何、微积分、线性代数等方面的知识。

2. 强调高中数学与初中数学的联系与区别,引导学生逐步适应高中数学的学习模式。

三、解题方法
1. 教授高中数学的解题方法,如建立数学模型、运用数学定理等。

2. 练习高中数学的典型例题,培养学生分析问题、解决问题的能力。

四、课外拓展
1. 鼓励学生参加数学竞赛、数学建模等活动,拓展数学知识。

2. 提供数学学习资源,引导学生通过自主学习提高数学水平。

五、总结反思
1. 总结本次数学过渡教学内容,强调数学学习的重要性。

2. 引导学生反思学习方法,制定学习计划,加强数学学习意识。

本次数学过渡教学旨在帮助学生顺利地过渡到高中数学学习,建立扎实的数学基础,为将来的学习打下坚实的基础。

希望同学们在学习中能够认真对待,勤奋学习,取得优异的成绩。

祝愿各位同学数学学习进步!。

初高中数学衔接知识教案

初高中数学衔接知识教案

初高中数学衔接知识教案教学目标:1. 知识技能:学生理解和掌握初中数学和高中数学之间的衔接知识,能够运用这些知识解决实际问题。

2. 过程方法:通过教师讲解、学生互动讨论和练习演练等方式,引导学生逐步掌握数学衔接知识。

3. 情感态度:培养学生对数学的兴趣和自信心,激发学生学习数学的积极性和主动性。

教学内容:1. 平面直角坐标系:引导学生理解平面直角坐标系的概念,掌握坐标系中点的坐标计算方法。

2. 直线方程:讲解一元一次方程的求解方法,引导学生理解直线的斜率和截距,能够根据斜率截距式写出直线方程。

3. 多项式的加减乘除:通过应用实际例题,让学生掌握多项式的加减乘除运算规则和方法。

4. 函数的概念与性质:解释函数的概念,培养学生对函数的理解能力,讲解函数的性质和分类。

教学步骤:1. 引入:通过生动的例题引入,激发学生的学习兴趣。

2. 讲解:教师讲解相关知识点,引导学生逐步理解和掌握。

3. 练习:学生进行练习和讨论,巩固所学知识。

4. 拓展:通过拓展性的练习,帮助学生加深对知识的理解和应用。

5. 总结:对本节课所学内容进行总结,巩固学生的学习成果。

教学资源:1. 课件资源:使用电子课件展示相关知识点,方便学生理解和记忆。

2. 练习资源:准备相关练习题,让学生进行巩固和提高。

评价方式:1. 学生表现:通过课堂练习和讨论,观察学生对数学衔接知识的理解和掌握情况。

2. 学习态度:在课后作业中,观察学生的学习态度和作业完成情况,对学生进行评价和鼓励。

扩展拓展:教师可以设计一些拓展性的问题和练习,引导学生进行深入思考和探究,拓展数学衔接知识在实际问题中的应用。

同时,鼓励学生积极参加数学竞赛和活动,进一步提高数学学习的兴趣和水平。

初高中知识衔接教案数学

初高中知识衔接教案数学

初高中知识衔接教案数学
教学目标:
1.了解初中数学和高中数学之间的知识差距和联系
2.掌握初中数学和高中数学知识的衔接技巧
3.培养学生良好的学习习惯和数学思维能力
教学内容:
1.初中数学与高中数学的知识差距分析
2.初中数学与高中数学知识的延伸和深化
3.初中数学知识在高中数学中的应用
教学步骤:
一、导入:
1.通过谈论学生对初中数学和高中数学的认识和感受,引出本次课的主题。

二、讲解:
1.介绍初中数学和高中数学知识的差距和联系,并列举具体例子进行讲解。

2.讲解初中数学知识在高中数学中的应用和延伸。

三、练习:
1.让学生通过习题练习,感受初高中数学知识的衔接。

2.分组讨论,帮助学生找到初高中数学知识的联系和延伸。

四、巩固:
1.布置作业,让学生通过作业巩固本节课的知识点。

2.鼓励学生主动学习,培养他们对数学知识的兴趣。

五、总结:
1.回顾本节课的内容,强调初高中数学知识的衔接和延伸的重要性。

2.激励学生努力学习,提高数学水平。

教学反思:
通过本节课的教学,学生能够逐渐认识到初高中数学知识的联系和差距,同时也培养了学生对数学的兴趣和学习能力。

在未来的教学中,需要更加注重启发学生的思维能力和培养他们的解决问题的能力。

初高中数学衔接教案(含答案)

初高中数学衔接教案(含答案)

第一讲 数与式1.1 数与式的运算1.1.1.绝对值绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义:b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离. 例1 解不等式:13x x -+->4.解法一:由01=-x ,得1=x ;由30x -=,得3x =; ①若1<x ,不等式可变为(1)(3)4x x ---->, 即24x -+>4,解得x <0, 又x <1, ∴x <0;②若12x ≤<,不等式可变为(1)(3)4x x --->, 即1>4,∴不存在满足条件的x ;③若3x ≥,不等式可变为(1)(3)4x x -+->, 即24x ->4, 解得x >4. 又x ≥3, ∴x >4.综上所述,原不等式的解为 x <0,或x >4.解法二:如图1.1-1,1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |,即|P A |=|x -1|;|x -3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |,即|PB |=|x -3|.所以,不等式13x x -+->4的几何意义即为 |P A |+|PB |>4. 由|AB |=2,可知点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧.x <0,或x >4. 练 习 1.填空:(1)若5=x ,则x =_________;若4-=x ,则x =_________.(2)如果5=+b a ,且1-=a ,则b =________;若21=-c ,则c =________. 2.选择题:下列叙述正确的是 ( )(A )若a b =,则a b = (B )若a b >,则a b > (C )若a b <,则a b < (D )若a b =,则a b =± 3.化简:|x -5|-|2x -13|(x >5).1A 0 C |x -1||x -3|图1.1-11.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-; (2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+; (2)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-;(3)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++; (4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++; (5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-. 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例1 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++.解法一:原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -.解法二:原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -.例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值. 解: 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=.练 习 1.填空:(1)221111()9423a b b a -=+( ); (2)(4m + 22)164(m m =++ );(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ).2.选择题:(1)若212x mx k ++是一个完全平方式,则k 等于 ( ) (A )2m (B )214m (C )213m (D )2116m(2)不论a ,b 为何实数,22248a b a b +--+的值 ( )(A )总是正数 (B )总是负数(C )可以是零 (D )可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式一般地,形如0)a ≥的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b 212x ++,22x y ++是有理式.1.分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,,等等. 一般地,,与b 与b 互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式0,0)a b =≥≥;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1将下列式子化为最简二次根式:(1 (20)a ≥; (30)x <.解: (1=(20)a ==≥;(3220)xx x ==-<.例2 (3-.解法一:(3-=393-=1)6=12.解法二: (3-例3 试比较下列各组数的大小:(1 (2解: (11===,===,>(2)∵=== 又 4>22,∴6+4>6+22,例4 化简:20042005⋅-.解:20042005⋅-=20042004⋅-⋅=2004⎡⎤⋅-⋅⎣⎦=20041⋅-例 5 化简:(1; (21)x <<.解:(1)原式===2=2=.(2)原式1x x=-, ∵01x <<,∴11x x>>, 所以,原式=1x x -.例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 .解: ∵2210x y +==+=,1xy ==,∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=.练 习 1.填空: (1=__ ___;(2(x =-x 的取值范围是_ _ ___; (3)=__ ___; (4)若x ==______ __. 2.选择题:=( ) (A )2x ≠ (B )0x > (C )2x > (D )02x <<3.若b =,求a b +的值.4.比较大小:2-4(填“>”,或“<”).1.1.4.分式1.分式的意义形如A B 的式子,若B 中含有字母,且0B ≠,则称A B 为分式.当M ≠0时,分式AB 具有下列性质: A A MB B M⨯=⨯; A A MB B M÷=÷. 上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式像ab c d+,2m n pm n p +++这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++,求常数,A B 的值.解: ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++,∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==.例2 (1)试证:111(1)1n n n n =-++(其中n 是正整数);(2)计算:1111223910+++⨯⨯⨯; (3)证明:对任意大于1的正整数n , 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+. (1)证明:∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++,∴111(1)1n n n n =-++(其中n 是正整数)成立.(2)解:由(1)可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++-1110=-=910.(3)证明:∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ =111111()()()23341n n -+-++-+=1121n -+,又n ≥2,且n 是正整数,∴1n +1 一定为正数,∴1112334(1)n n +++⨯⨯+<12.例3 设ce a=,且e >1,2c 2-5ac +2a 2=0,求e 的值. 解:在2c 2-5ac +2a 2=0两边同除以a 2,得 2e 2-5e +2=0, ∴(2e -1)(e -2)=0,∴e =12<1,舍去;或e =2.∴e =2. 练 习1.填空题:对任意的正整数n ,1(2)n n =+ (112n n -+);2.选择题:若223x y x y -=+,则xy= ( ) (A )1 (B )54 (C )45 (D )653.正数,x y 满足222x y xy -=,求x yx y-+的值. 4.计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯.习题1.1 A 组1.解不等式:(1) 13x ->; (2) 327x x ++-< ; (3) 116x x -++>.2.已知1x y +=,求333x y xy ++的值. 3.填空:(1)1819(2(2+=________;(22=,则a 的取值范围是________; (3=________.B 组1.填空:(1)12a =,13b =,则2223352a ab a ab b -=+-____ ____; (2)若2220x xy y +-=,则22223x xy y x y++=+__ __;2.已知:11,23x y ==的值. C 组1.选择题:(1= ( )(A )a b < (B )a b > (C )0a b << (D )0b a <<(2)计算 ( )(A (B (C ) (D )2.解方程22112()3()10x x x x +-+-=.3.计算:1111132435911++++⨯⨯⨯⨯. 4.试证:对任意的正整数n ,有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++<14.1.2 分解因式因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法例1 分解因式:(1)x 2-3x +2; (2)x 2+4x -12; (3)22()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-.解:(1)如图1.2-1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积,再将常数项2分解成-1与-2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x ,就是x 2-3x +2中的一次项,所以,有x 2-3x +2=(x -1)(x -2).说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.2-1中的两个x 用1来表示(如图1.2-2所示).(2)由图1.2-3,得x 2+4x -12=(x -2)(x +6). (3)由图1.2-4,得22()x a b xy aby -++=()()x ay x by -- (4)1xy x y -+-=xy +(x -y )-1=(x -1) (y+1) (如图1.2-5所示). 2.提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式:(1)32933x x x +++; (2)222456x xy y x y +--+-. 解: (1)32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++. 或32933x x x +++=32(331)8x x x ++++=3(1)8x ++=33(1)2x ++=22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+=2(3)(3)x x ++.(2)222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-.-1 -2 x x 图1.2-1 -1 -2 1 1 图1.2-2-2 6 1 1 图1.2-3 -ay -by x x 图1.2-4 -1 1x y图1.2-5或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-.3.关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解.若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式:(1)221x x +-; (2)2244x xy y +-.解: (1)令221x x +-=0,则解得11x =-21x =-,∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++.(2)令2244x xy y +-=0,则解得1(2x y =-+,1(2x y =--,∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +++.练 习 1.选择题:多项式22215x xy y --的一个因式为 ( ) (A )25x y - (B )3x y - (C )3x y + (D )5x y - 2.分解因式:(1)x 2+6x +8; (2)8a 3-b 3;(3)x 2-2x -1; (4)4(1)(2)x y y y x -++-.习题1.21.分解因式:(1) 31a +; (2)424139x x -+;(3)22222b c ab ac bc ++++; (4)2235294x xy y x y +-++-.2.在实数范围内因式分解:(1)253x x -+ ; (2)23x --;(3)2234x xy y +-; (4)222(2)7(2)12x x x x ---+. 3.ABC ∆三边a ,b ,c 满足222a b c ab bc ca ++=++,试判定ABC ∆的形状. 4.分解因式:x 2+x -(a 2-a ).第二讲 函数与方程2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+=. ① 因为a ≠0,所以,4a 2>0.于是(1)当b 2-4ac >0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根x 1,2(2)当b 2-4ac =0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根 x 1=x 2=-2b a; (3)当b 2-4ac <0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根.由此可知,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可以由b 2-4ac 来判定,我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.综上所述,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),有 (1) 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x 1,2(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根 x 1=x 2=-2b a; (3)当Δ<0时,方程没有实数根.例1 判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根. (1)x 2-3x +3=0; (2)x 2-ax -1=0; (3) x 2-ax +(a -1)=0; (4)x 2-2x +a =0. 解:(1)∵Δ=32-4×1×3=-3<0,∴方程没有实数根. (2)该方程的根的判别式Δ=a 2-4×1×(-1)=a 2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根1x =, 2x =(3)由于该方程的根的判别式为Δ=a 2-4×1×(a -1)=a 2-4a +4=(a -2)2,所以, ①当a =2时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根 x 1=x 2=1; ②当a ≠2时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根 x 1=1,x 2=a -1.(3)由于该方程的根的判别式为Δ=22-4×1×a =4-4a =4(1-a ), 所以①当Δ>0,即4(1-a ) >0,即a <1时,方程有两个不相等的实数根11x = 21x =②当Δ=0,即a =1时,方程有两个相等的实数根x 1=x 2=1; ③当Δ<0,即a >1时,方程没有实数根.说明:在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根12b x a -+=,22b x a-=,则有1222b bx x a a-+===-;221222(4)444b b ac ac cx x a a a--====. 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别是x 1,x 2,那么x 1+x 2=b a -,x 1·x 2=ca.这一关系也被称为韦达定理.特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x 2+px +q =0,若x 1,x 2是其两根,由韦达定理可知x 1+x 2=-p ,x 1·x 2=q ,即 p =-(x 1+x 2),q =x 1·x 2, 所以,方程x 2+px +q =0可化为 x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0,由于x 1,x 2是一元二次方程x 2+px +q =0的两根,所以,x 1,x 2也是一元二次方程x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0.因此有 以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0. 例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2,求它的另一个根及k 的值.分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k 的值,再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出k 的值.解法一:∵2是方程的一个根,∴5×22+k ×2-6=0, ∴k =-7.所以,方程就为5x 2-7x -6=0,解得x 1=2,x 2=-35. 所以,方程的另一个根为-35,k 的值为-7. 解法二:设方程的另一个根为x 1,则 2x 1=-65,∴x 1=-35. 由 (-35)+2=-5k,得 k =-7. 所以,方程的另一个根为-35,k 的值为-7.例3 已知关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m 的值.分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程,从而解得m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于零.解:设x 1,x 2是方程的两根,由韦达定理,得 x 1+x 2=-2(m -2),x 1·x 2=m 2+4. ∵x 12+x 22-x 1·x 2=21, ∴(x 1+x 2)2-3 x 1·x 2=21,即 [-2(m -2)]2-3(m 2+4)=21, 化简,得 m 2-16m -17=0, 解得 m =-1,或m =17.当m =-1时,方程为x 2+6x +5=0,Δ>0,满足题意; 当m =17时,方程为x 2+30x +293=0,Δ=302-4×1×293<0,不合题意,舍去. 综上,m =17. 说明:(1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围,然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值,取满足条件的m 的值即可.(1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.例4 已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.分析:我们可以设出这两个数分别为x ,y ,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.解法一:设这两个数分别是x ,y , 则 x +y =4, ①xy =-12. ② 由①,得 y =4-x , 代入②,得x (4-x )=-12,即 x 2-4x -12=0, ∴x 1=-2,x 2=6.∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此,这两个数是-2和6.解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程 x 2-4x -12=0 的两个根.解这个方程,得x 1=-2,x 2=6. 所以,这两个数是-2和6. 说明:从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷. 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2+5x -3=0的两根. (1)求| x 1-x 2|的值;(2)求221211x x +的值; (3)x 13+x 23.解:∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2+5x -3=0的两根,∴1252x x +=-,1232x x =-.(1)∵| x 1-x 2|2=x 12+ x 22-2 x 1x 2=(x 1+x 2)2-4 x 1x 2=253()4()22--⨯-=254+6=494,∴| x 1-x 2|=72.(2)22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-.(3)x 13+x 23=(x 1+x 2)( x 12-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)[ ( x 1+x 2) 2-3x 1x 2]=(-52)×[(-52)2-3×(32-)]=-2158. 说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题,为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律:设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),则1x =,2x =,∴| x 1-x 2|=||||a a ==. 于是有下面的结论:若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),则| x 1-x 2|=||a (其中Δ=b 2-4ac ). 今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论. 例6 若关于x 的一元二次方程x 2-x +a -4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数a 的取值范围. 解:设x 1,x 2是方程的两根,则x 1x 2=a -4<0, ① 且Δ=(-1)2-4(a -4)>0. ② 由①得 a <4,由②得 a <174.∴a 的取值范围是a <4. 练 习 1.选择题:(1)方程2230x k -+=的根的情况是 ( ) (A )有一个实数根 (B )有两个不相等的实数根(C )有两个相等的实数根 (D )没有实数根(2)若关于x 的方程mx 2+ (2m +1)x +m =0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是( ) (A )m <14 (B )m >-14 (C )m <14,且m ≠0 (D )m >-14,且m ≠02.填空:(1)若方程x 2-3x -1=0的两根分别是x 1和x 2,则1211x x += . (2)方程mx 2+x -2m =0(m ≠0)的根的情况是 . (3)以-3和1为根的一元二次方程是 .3|1|0b -=,当k 取何值时,方程kx 2+ax +b =0有两个不相等的实数根? 4.已知方程x 2-3x -1=0的两根为x 1和x 2,求(x 1-3)( x 2-3)的值.习题2.1 A 组1.选择题:(1)已知关于x 的方程x 2+kx -2=0的一个根是1,则它的另一个根是( ) (A )-3 (B )3 (C )-2 (D )2 (2)下列四个说法:①方程x 2+2x -7=0的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程x 2-2x +7=0的两根之和为-2,两根之积为7;③方程3 x 2-7=0的两根之和为0,两根之积为73-; ④方程3 x 2+2x =0的两根之和为-2,两根之积为0.其中正确说法的个数是 ( ) (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个(3)关于x 的一元二次方程ax 2-5x +a 2+a =0的一个根是0,则a 的值是( )(A )0 (B )1 (C )-1 (D )0,或-12.填空:(1)方程kx 2+4x -1=0的两根之和为-2,则k = .(2)方程2x 2-x -4=0的两根为α,β,则α2+β2= .(3)已知关于x 的方程x 2-ax -3a =0的一个根是-2,则它的另一个根是 .(4)方程2x 2+2x -1=0的两根为x 1和x 2,则| x 1-x 2|= .3.试判定当m 取何值时,关于x 的一元二次方程m 2x 2-(2m +1) x +1=0有两个不相等的实数根?有两个相等的实数根?没有实数根?4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x 2-7x -1=0各根的相反数.B 组1.选择题:若关于x 的方程x 2+(k 2-1) x +k +1=0的两根互为相反数,则k 的值为( )(A )1,或-1 (B )1 (C )-1 (D )0 2.填空:(1)若m ,n 是方程x 2+2005x -1=0的两个实数根,则m 2n +mn 2-mn 的值等于 .(2)如果a ,b 是方程x 2+x -1=0的两个实数根,那么代数式a 3+a 2b +ab 2+b 3的值是 .3.已知关于x 的方程x 2-kx -2=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)设方程的两根为x 1和x 2,如果2(x 1+x 2)>x 1x 2,求实数k 的取值范围. 4.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1和x 2.求: (1)| x 1-x 2|和122x x +; (2)x 13+x 23.5.关于x 的方程x 2+4x +m =0的两根为x 1,x 2满足| x 1-x 2|=2,求实数m 的值.C 组1.选择题:(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2-8x +7=0的两根,则这个直角三角形的斜边长等于 ( )(A(B )3 (C )6 (D )9 (2)若x 1,x 2是方程2x 2-4x +1=0的两个根,则1221x x x x +的值为 ( ) (A )6 (B )4 (C )3 (D )32(3)如果关于x 的方程x 2-2(1-m )x +m 2=0有两实数根α,β,则α+β的取值范围为( )(A )α+β≥12 (B )α+β≤12(C )α+β≥1 (D )α+β≤1 (4)已知a ,b ,c 是ΔABC 的三边长,那么方程cx 2+(a +b )x +4c=0的根的情况是( )(A )没有实数根 (B )有两个不相等的实数根 (C )有两个相等的实数根 (D )有两个异号实数根 2.填空:若方程x 2-8x +m =0的两根为x 1,x 2,且3x 1+2x 2=18,则m = . 3. 已知x 1,x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2-4kx +k +1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k ,使(2x 1-x 2)( x 1-2 x 2)=-32成立?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由; (2)求使1221x x x x +-2的值为整数的实数k 的整数值; (3)若k =-2,12xx λ=,试求λ的值.4.已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=. (1)求证:无论m 取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根;(2)若这个方程的两个实数根x 1,x 2满足|x 2|=|x 1|+2,求m 的值及相应的x 1,x 2. 5.若关于x 的方程x 2+x +a =0的一个大于1、零一根小于1,求实数a 的取值范围.2.2 二次函数2.2.1 二次函数y =ax 2+bx +c 的图像和性质问题1 函数y =ax 2与y =x 2的图象之间存在怎样的关系?为了研究这一问题,我们可以先画出y =2x 2,y =12x 2,y =-2x 2的图象,通过这些函数图象与函数y =x 2的图象之间的关系,推导出函数y =ax 2与y =x 2的图象之间所存在的关系.先画出函数y =x 2,y =2x 2的图象.的值扩大两倍就可以了.再描点、连线,就分别得到了函数y =x 2,y =2x 2的图象(如图2-1所示),从图2-1我们可以得到这两个函数图象之间的关系:函数y =2x 2的图象可以由函数y =x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.12x 2,y =-同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y =2x 2的图象,并研究这两个函数图象与函数y =x 2的图象之间的关系.通过上面的研究,我们可以得到以下结论:二次函数y =ax 2(a ≠0)的图象可以由y =x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到.在二次函数y =ax 2(a ≠0)中,二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.问题2 函数y =a (x +h )2+k 与y =ax 2的图象之间存在怎样的关系?同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系.同学们可以作出函数y =2(x +1)2+1与y =2x 2的图象(如图2-2所示),从函数的同学我们不难发现,只要把函数y =2x 2的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,就可以得到函数y =2(x +1)2+1的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同,位置不同”的特点.类似地,还可以通过画函数y =-3x 2,y =-3(x -1)2+1的图象,研究它们图象之间的相互关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论:二次函数y =a (x +h )2+k (a ≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方向;h 决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”.由上面的结论,我们可以得到研究二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象的方法:由于y =ax 2+bx +c =a (x 2+b x a )+c =a (x 2+bx a+224b a )+c -24b a224()24b b ac a x a a-=++, 所以,y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y =ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的,于是,二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)具有下列性质:(1)当a >0时,函数y =ax 2+bx +c 图象开口向上;顶点坐标为24(,)24b ac b a a--,对称轴为直线x =-2b a ;当x <2b a -时,y 随着x 的增大而减小;当x >2b a -时,y 随着x 的增大而增大;当x =2b a-时,函数取最小值y =244ac b a-.(2)当a <0时,函数y =ax 2+bx +c 图象开口向下;顶点坐标为24(,)24b ac b a a--,对称轴为直线x =-2b a ;当x <2b a -时,y 随着x 的增大而增大;当x >2ba-时,y 随着x 的增大而减小;当x=2ba-时,函数取最大值y =244ac b a -.上述二次函数的性质可以分别通过图2.2-3和图2.2-4直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.+1对称轴、随x 的增解:∵y =-3x 2-6x +1=-3(x +1)2+4∴函数图象的开口向下;对称轴是直线x =-1;顶点坐标为(-1,4);当x =-1时,函数y 取最大值y =4;图2.2-3当x <-1时,y 随着x 的增大而增大;当x >-1时,y 随着x 的增大而减小; 采用描点法画图,选顶点A (-1,4)),与x 轴交于点B 和C (,与y 轴的交点为D (0,1),过这五点画出图象(如图2-5所示).说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确.例2 某种产品的成本是120元/件,试销阶段每件产品的售价x (元)与产品的日销售量y (件)之多少元?此时每天的销售利润是多少?分析:由于每天的利润=日销售量y ×(销售价x -120),日销售量y 又是销售价x 的一次函数,所以,欲求每天所获得的利润最大值,首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值.解:由于y 是x 的一次函数,于是,设y =kx +(B ) 将x =130,y =70;x =150,y =50代入方程,有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得 k =-1,b =200. ∴ y =-x +200.设每天的利润为z (元),则z =(-x +200)(x -120)=-x 2+320x -24000 =-(x -160)2+1600,∴当x =160时,z 取最大值1600.答:当售价为160元/件时,每天的利润最大,为1600元.例3 把二次函数y =x 2+bx +c 的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函数y =x 2的图像,求b ,c 的值.解法一:y =x 2+bx +c =(x +2b )224bc +-,把它的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像,也就是函数y =x 2的图像,所以,240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b =-8,c =14. 解法二:把二次函数y =x 2+bx +c 的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函数y =x 2的图像,等价于把二次函数y =x 2的图像向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到函数y =x 2+bx +c 的图像. 由于把二次函数y =x 2的图像向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到函数y =(x -4)2+2的图像,即为y =x 2-8x +14的图像,∴函数y =x 2-8x +14与函数y =x 2+bx +c 表示同一个函数,∴b =-8,c =14.说明:本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题,所以,同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一,是直接利用条件进行正向的思维来解决的,其运算量相对较大;而解法二,则是利用逆向思维,将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解,具有计算量小的优点.今后,我们在解题时,可以根据题目的具体情况,选择恰当的方法来解决问题.例4 已知函数y =x 2,-2≤x ≤a ,其中a ≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值.分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对a 的取值进行讨论.解:(1)当a =-2时,函数y =x 2的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的最大值和最小值都是4,此时x =-2;(2)当-2<a <0时,由图2.2-6①可知,当x =-2时,函数取最大值y =4;当x =a 时,函数取最小值y =a 2;(3)当0≤a <2时,由图2.2-6②可知,当x =-2时,函数取最大值y =4;当x =0时,函数取最小值y =0;(4)当a ≥2时,由图2.2-6③可知,当x =a 时,函数取最大值y =a 2;当x =0时,函数取最小值y =0.说明:在本例中,利用了分类讨论的方法,对a 的所有可能情形进行讨论.此外,本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类问题时,通常需要借助于函数图象来直观地解决问题. 练 习 1.选择题:(1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( ) (A )y =2x 2 (B )y =2x 2-4x +2 (C )y =2x 2-1 (D )y =2x 2-4x(2)函数y =2(x -1)2+2是将函数y =2x 2 ( )(A )向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 (B )向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 (C )向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 (D )向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2.填空题(1)二次函数y =2x 2-mx +n 图象的顶点坐标为(1,-2),则m = ,n = .(2)已知二次函数y =x 2+(m -2)x -2m ,当m = 时,函数图象的顶点在y 轴上;当m = 时,函数图象的顶点在x 轴上;当m = 时,函数图象经过原点.(3)函数y =-3(x +2)2+5的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标为 ;当x = 时,函数取最 值y = ;当x 时,y 随着x 的增大而减小. 3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y 随x 的变化情况,并画出其图象. (1)y =x 2-2x -3; (2)y =1+6 x -x 2.4.已知函数y =-x 2-2x +3,当自变量x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x 的值:(1)x ≤-2;(2)x ≤2;(3)-2≤x ≤1;(4)0≤x ≤3.①图2.2-6②③2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式:1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k).除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数.当抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交时,其函数值为零,于是有ax2+bx+c=0.①并且方程①的解就是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标(纵坐标为零),于是,不难发现,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ=b2-4ac有关,由此可知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ=b2-4ac存在下列关系:(1)当Δ>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点;反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,则Δ>0也成立.(2)当Δ=0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点(抛物线的顶点);反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点,则Δ=0也成立.(3)当Δ<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点;反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点,则Δ<0也成立.于是,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程ax2+bx +c=0的两根,所以x1+x2=ba-,x1x2=ca,即ba=-(x1+x2),ca=x1x2.所以,y=ax2+bx+c=a(2b cx xa a++)= a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1) (x-x2).由上面的推导过程可以得到下面结论:若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为y=a(x -x1) (x-x2) (a≠0).这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法:3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题.例1 已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y =x +1上,并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式.分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数a .解:∵二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,∴顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y =x +1上, 所以,2=x +1,∴x =1. ∴顶点坐标是(1,2).设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a =-+<, ∵二次函数的图像经过点(3,-1), ∴21(32)1a -=-+,解得a =-2. ∴二次函数的解析式为22(2)1y x =--+,即y =-2x 2+8x -7.说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题.例2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x 轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式.解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴可设二次函数为y =a (x +3) (x -1) (a ≠0), 展开,得 y =ax 2+2ax -3a ,顶点的纵坐标为2212444a a a a--=-, 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2, ∴|-4a |=2,即a =12±. 所以,二次函数的表达式为y =21322x x +-,或y =-21322x x -+. 分析二:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线x =-1,又由顶点到x 轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式. 解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴对称轴为直线x =-1. 又顶点到x 轴的距离为2, ∴顶点的纵坐标为2,或-2.于是可设二次函数为y =a (x +1)2+2,或y =a (x +1)2-2, 由于函数图象过点(1,0),∴0=a (1+1)2+2,或0=a (1+1)2-2.∴a =-12,或a =12. 所以,所求的二次函数为y =-12(x +1)2+2,或y =12(x +1)2-2. 说明:上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题.例3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式. 解:设该二次函数为y =ax 2+bx +c (a ≠0).由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a =-2,b =12,c =-8.所以,所求的二次函数为y =-2x 2+12x -8.通过上面的几道例题,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式?练 习 1.选择题:(1)函数y =-x 2+x -1图象与x 轴的交点个数是 ( ) (A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )无法确定(2)函数y =-12(x +1)2+2的顶点坐标是 ( )(A )(1,2) (B )(1,-2) (C )(-1,2) (D )(-1,-2) 2.填空:(1)已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y =a(a ≠0) .(2)二次函数y =-x 2+23x +1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 . 3.根据下列条件,求二次函数的解析式.(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当x =3时,函数有最小值5,且经过点(1,11);(3)函数图象与x 轴交于两点(1-2,0)和(1+2,0),并与y 轴交于(0,-2).2.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1.平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状,因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可. 例1 求把二次函数y =x 2-4x +3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式: (1)向右平移2个单位,向下平移1个单位; (2)向上平移3个单位,向左平移2个单位. 分析:由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数),所以只改变二次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项),所以,首先将二次函数的解析式变形为顶点式,然后,再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式. 解:二次函数y =2x 2-4x -3的解析式可变为 y =2(x -1)2-1, 其顶点坐标为(1,-1). (1)把函数y =2(x -1)2-1的图象向右平移2个单位,向下平移1个单位后,其函数图象的顶点坐标是(3,-2),所以,平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y =2(x -3)2-2. (2)把函数y =2(x -1)2-1的图象向上平移3个单位,向左平移2个单位后,其函数图象的顶点坐标是(-1, 2),所以,平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y =2(x +1)2+2.2.对称变换。

初中衔接高中数学教案

初中衔接高中数学教案

初中衔接高中数学教案目标:学生能够顺利过渡到高中数学学习,并掌握高中数学的基础知识和解题方法。

一、复习与拓展初中数学知识1. 复习初中代数与函数的基本知识,包括代数方程与不等式、函数与方程。

2. 复习初中几何知识,包括平面几何和立体几何。

3. 复习初中概率与统计知识。

4. 拓展初中数学知识,发展学生的数学思维和解题能力。

二、学习高中数学内容1. 数列与数学归纳法:介绍数列的概念、性质和求和法则,掌握数学归纳法的应用。

2. 不等式与绝对值:学习不等式的解法和应用,掌握绝对值不等式的性质和解法。

3. 矩阵与行列式:介绍矩阵和行列式的基本概念,学习矩阵的运算和行列式的性质。

4. 函数的基本概念:复习初中函数的知识,学习高中函数的性质和图像。

三、解题方法与应用实例1. 掌握解题方法和思维模式,培养学生的分析和判断能力。

2. 提供丰富的应用实例,让学生能够将所学知识应用到解决实际问题中。

四、练习与评价1. 提供大量的练习题,帮助学生巩固所学知识。

2. 定期进行测试和评价,及时发现学生的学习问题并给予指导。

五、教学方法1. 组织多样化的教学活动,包括讲解、练习、讨论和实验等。

2. 注重培养学生的问题解决能力和创新意识,鼓励学生主动探究和发现。

六、教学资源1. 利用多种教学资源,包括教材、多媒体、网络等,提高教学效果。

2. 鼓励学生利用网络等资源进行自主学习,拓宽数学知识的广度和深度。

七、反馈与调整1. 定期进行教学反馈,了解学生的学习情况和反馈意见。

2. 根据学生的反馈和实际情况进行课程调整,及时改进教学方法和内容。

初中和高中衔接课数学教案

初中和高中衔接课数学教案

初中和高中衔接课数学教案教学内容:初中与高中数学的衔接教学目标:1. 了解初中数学和高中数学的主要区别和衔接关系;2. 掌握初中数学和高中数学部分知识的延续和拓展;3. 提升学生在高中数学学习中的自信和能力。

教学重点:1. 初中数学和高中数学的主要区别;2. 高中数学的学习目标和要求;3. 初中数学部分知识的延续和拓展。

教学难点:1. 如何理解初中数学和高中数学之间的衔接关系;2. 如何顺利过渡和适应高中数学的学习要求。

教学过程:一、导入(5分钟)教师简要介绍今天的教学内容和目标,让学生了解初中与高中数学之间的差异和衔接关系,并激发学生的学习兴趣。

二、总结初中数学知识(10分钟)通过课堂讨论和小组合作,回顾和总结初中数学的主要知识点,包括代数、几何、概率等内容,并探讨这些知识在高中数学中的延续和拓展。

三、高中数学学习目标和要求(15分钟)介绍高中数学的学习目标和要求,包括学科知识的拓展、数学思维能力的培养、数学方法的应用等方面,让学生了解高中数学学习的重点和难点。

四、初中数学知识的延续和拓展(20分钟)通过案例分析和练习题讲解,引导学生掌握初中数学部分知识在高中数学中的延续和拓展,培养学生的逻辑思维和数学推理能力。

五、课堂练习与讨论(15分钟)组织学生进行课堂练习和讨论,检验学生对初中数学和高中数学之间的衔接掌握情况,激发学生的学习积极性和参与度。

六、作业布置(5分钟)布置相关练习和思考题,让学生通过课后自主复习和巩固,进一步提升数学学习能力和水平。

教学反思:通过本节课的教学,学生理解了初中与高中数学之间的衔接关系,掌握了初中数学知识在高中数学中的延续和拓展,提升了数学学习的自信和能力。

在今后的教学实践中,应注重将数学知识与生活实际结合,培养学生的数学兴趣和应用能力,促进学生全面发展。

初中高中衔接课数学教案

初中高中衔接课数学教案

初中高中衔接课数学教案
教学目标:
1. 了解初中数学和高中数学之间的联系和延伸。

2. 掌握基本的高中数学概念和方法。

3. 提高解决问题的能力和思维逻辑。

教学内容:
本课程主要包括以下内容:
1. 高中数学基本概念和方法。

2. 初中数学和高中数学的延伸联系。

3. 解题方法和策略。

教学步骤:
一、导入
1. 通过讨论初中数学和高中数学的异同点,引导学生思考数学知识的延伸和发展。

2. 提出本节课的学习目标和重点。

二、讲解
1. 介绍高中数学的基本概念和方法,如函数、导数、积分等。

2. 分析初中数学和高中数学之间的联系和延伸,引导学生理解并掌握新的数学知识。

三、练习
1. 给学生提供一些高中数学的练习题,让他们尝试应用新知识解决问题。

2. 引导学生讨论解题方法和策略,培养他们的思维能力和逻辑推理能力。

四、总结
1. 结合本节课的内容,总结初中高中数学的衔接和延伸关系。

2. 引导学生思考数学学习的重要性和方法,鼓励他们持续提高自己的数学能力。

五、作业布置
布置相关练习题和思考题,巩固本节课的内容并扩展学生的数学思维。

教学反思:
通过本节课的教学,学生可以更好地理解初中高中数学之间的联系和延伸关系,提高解题能力和思维逻辑。

同时,也可以帮助学生明确数学学习的重要性和方法,激发他们对数学学习的兴趣和热情。

希望学生能够认真学习,勇于思考,不断提高自己的数学水平。

初高中数学衔接教程教案

初高中数学衔接教程教案

初高中数学衔接教程教案
教学目标:
1. 了解初中数学与高中数学的主要差异和联系;
2. 掌握初中数学与高中数学的衔接知识;
3. 提高学生解决数学问题的能力。

教学重点:
1. 初中数学与高中数学的主要差异;
2. 初中数学与高中数学的衔接知识。

教学难点:
1. 如何理解初中数学与高中数学的联系;
2. 如何灵活运用初中数学知识解决高中数学问题。

教学内容:
1. 初中数学与高中数学的主要差异;
2. 线性方程组在初中与高中的应用;
3. 平面向量在初中与高中的应用;
4. 一元二次方程及其应用。

教学过程:
1. 导入环节:导入初中数学知识,引出高中数学衔接;
2. 理论讲解:讲解初中数学与高中数学的主要差异,以及线性方程组、平面向量、一元二次方程的相关概念;
3. 实例演练:通过实例演练,帮助学生理解初中数学与高中数学的联系;
4. 课堂练习:让学生独立解答一些相关问题,巩固所学知识;
5. 提高拓展:让学生尝试解决一些较为复杂的问题,提高解决问题的能力;
6. 总结回顾:总结本节课学习内容,强化学生对初高中数学衔接知识的理解。

教学反思:
通过本节课的教学内容,学生应该能够逐步理解初中数学与高中数学的联系,并能够将初中数学知识灵活运用到高中数学问题中去。

教师应该根据学生实际情况灵活调整教学内容和方法,帮助学生更好地掌握数学知识。

初高中数学知识衔接教案

初高中数学知识衔接教案

初高中数学知识衔接教案1.了解初中数学和高中数学之间的知识衔接关系;2.掌握初高中数学知识的衔接技巧;3.提高学生数学学习的整体水平。

教学重点:1.初高中数学知识衔接的重要性;2.初高中数学知识衔接的方法和技巧;3.提高学生数学学习的整体水平。

教学内容:1.初中数学和高中数学的知识衔接关系;2.初中数学知识在高中数学学习中的应用;3.初中数学知识和高中数学知识的差异和联系。

教学过程:一、导入(5分钟)教师向学生介绍初高中数学知识衔接的重要性,引导学生对数学学习有更深入的理解。

二、讲解(15分钟)1.学生通过课堂讨论,了解初中数学知识对于高中数学学习的重要性;2.讲解初中数学和高中数学知识之间的衔接关系,指导学生如何有效地掌握初高中数学知识的衔接技巧。

三、练习(20分钟)1.组织学生进行初高中数学知识的练习,检验学生的掌握情况;2.针对学生在练习中的问题,及时给予指导和辅导。

四、讨论(10分钟)1.组织学生就初中数学知识和高中数学知识的联系进行讨论,激发学生的学习兴趣;2.鼓励学生积极提出问题,促进学生对数学知识的更深入理解。

五、总结(5分钟)教师总结本节课的教学内容,强调初高中数学知识的衔接关系,并鼓励学生在学习中勇于探索和实践。

六、作业布置(5分钟)布置作业:学生复习今天学过的知识内容,对初高中数学知识的衔接关系进行总结。

教学反思:通过本节课的教学,学生对初高中数学知识的衔接关系有了更深入的理解,提高了数学学习的整体水平。

教师要根据学生的实际情况,设计更加贴近学生需求的教学内容,促进学生的学习兴趣,提高学生的学习效果。

初高中衔接教材数学教案

初高中衔接教材数学教案

初高中衔接教材数学教案教学目标:1. 熟悉并掌握初中数学内容,为高中数学学习打下坚实基础。

2. 掌握初高中数学知识之间的联系和延伸,帮助学生顺利过渡。

3. 培养学生的数学思维和解题能力,提高数学学习的兴趣和成绩。

教学内容:本节课将主要讲解初中数学与高中数学的衔接内容,包括但不限于以下几个方面:1. 复习初中数学知识,重点复习代数、几何、概率等内容。

2. 引导学生了解高中数学的学习方法和要求,包括思维方式、解题技巧等。

3. 分析初中数学知识和高中数学知识之间的联系,帮助学生理解知识的延伸和拓展。

教学过程:一、复习初中数学知识(20分钟)1. 通过小测验或快速复习,回顾初中代数、几何、概率等知识点,确保学生对基础知识的掌握。

2. 在复习的过程中,重点讲解初中数学知识和高中数学知识之间的联系和延伸,引导学生寻找规律和启发。

二、介绍高中数学学习方法(15分钟)1. 介绍高中数学的学习方法和学习要求,包括理解、记忆、应用等方面。

2. 引导学生分析高中数学学习的特点和难点,帮助他们做好心理准备和学习策略的规划。

三、初高中数学知识衔接分析(20分钟)1. 通过例题和练习,讲解初高中数学知识之间的联系和差异,引导学生理解数学知识的延伸和发展。

2. 针对常见的衔接问题,给予学生解题方法和技巧,并指导他们在实际问题中灵活运用。

四、综合练习与拓展(20分钟)1. 完成一些综合性的练习题,检测学生对初高中数学知识的掌握和应用能力。

2. 提供拓展性的思考问题或课外练习,鼓励学生自主学习和思考,拓宽数学知识的应用范围。

五、课堂总结与反思(5分钟)1. 回顾本节课的教学内容和重点,帮助学生总结和巩固所学知识。

2. 引导学生对自己的学习情况进行反思和评价,指导他们做好学习计划和提高措施的制定。

教学资源:1. 课件:包括初高中数学知识点的整理和对比。

2. 练习册:提供各种难度和类型的练习题,帮助学生巩固和拓展所学知识。

教学反馈:1. 教师定期进行作业批改和课堂表现的评价,及时发现学生学习中存在的问题。

初高中数学衔接技巧教案

初高中数学衔接技巧教案

初高中数学衔接技巧教案
一、教学目标
1. 理解初中数学和高中数学的衔接关系和不同之处。

2. 掌握初中数学知识与高中数学知识的关联和衍生。

3. 培养学生解决问题的思维能力,提高学生在数学学习中的综合运用能力。

二、教学内容
1. 初中数学知识回顾
2. 高中数学知识学习
3. 初高中数学知识的衔接点分析
4. 解题技巧演练
三、教学方法
1. 通过逐一对比初中数学知识和高中数学知识,引导学生建立知识之间的联系。

2. 通过案例分析和解题技巧演练,引导学生掌握解题方法和策略。

四、教学步骤
1. 导入:简要介绍初高中数学知识之间的衔接关系,引起学生兴趣。

2. 回顾:复习初中数学知识,重点突出初中常用解题方法和技巧。

3. 学习:介绍高中数学知识,重点讲解高中数学中与初中数学衔接较为密切的内容。

4. 分析:对初中数学知识和高中数学知识之间的衔接点进行分析,让学生了解其中的逻辑关系。

5. 演练:通过案例分析和解题技巧演练,让学生掌握解题方法和策略。

6. 小结:总结本节课的重点内容,梳理初高中数学知识的衔接关系。

五、课后作业
1. 完成课堂练习题。

2. 思考初高中数学知识的衔接,尝试寻找更多的衔接点。

六、教学评价
1. 学生课堂表现评价。

2. 学生课后作业评价。

(注:本教案仅供参考,具体实施时可根据实际情况进行调整和改进。

)。

初高中数学衔接问题教案

初高中数学衔接问题教案

初高中数学衔接问题教案
教学目标:通过本节课的学习,学生能够掌握初中和高中数学之间的衔接问题,提高数学的学习能力和解题能力。

教学重点和难点:初高中数学之间的衔接问题,理解和掌握数学公式和定理的应用。

教学准备:教材《初高中数学课程标准实验教科书》、黑板、彩色粉笔、教学PPT等。

教学过程:
一、导入新课
教师向学生介绍初高中数学之间的衔接问题,引导学生思考初中数学与高中数学之间的关系,为学生打下学习数学的基础。

二、教学内容
1. 总结初中数学知识,复习基础概念和公式。

2. 介绍高中数学的知识,引导学生理解高中数学的难点和重点。

3. 综合初高中数学知识,引导学生掌握数学公式和定理的应用。

三、课堂练习
老师提供一些相关的练习题,让学生独立或合作完成,巩固所学知识。

四、课堂反馈
教师将学生的作业进行点评,对答案进行讲解,并解答学生提出的疑问。

五、拓展延伸
学生可以自学更深入的数学知识,拓展延伸新的数学题目,提高数学解题能力。

六、课堂总结
教师总结本节课的教学内容,让学生对初高中数学的衔接问题有一个清晰的认识。

七、作业布置
布置相关作业,让学生巩固所学知识,提高解题能力。

教学反思:本节课授课内容清晰,学生互动积极,但仍需在课堂练习环节加强学生的解题能力和实践能力。

未来需要更多引导学生自主学习,提高数学思维和应用能力。

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第一讲 数与式数与式的运算1.1.1.绝对值绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义:b a -表示在数轴上,数a 和数b 之间的距离. 练 习1.填空:(1)若5=x ,则x =_________;若4-=x ,则x =_________.(2)如果5=+b a ,且1-=a ,则b =________;若21=-c ,则c =________.2.选择题:下列叙述正确的是 ( )(A )若a b =,则a b = (B )若a b >,则a b >(C )若a b <,则a b < (D )若a b =,则a b =±3.化简:|x -5|-|2x -13|(x >5).1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:(1)平方差公式 22()()a b a b a b +-=-;(2)完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:(1)立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+;(2)立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-;(3)三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++;(4)两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++;(5)两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-.对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.例1 计算:22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++.例2 已知4a b c ++=,4ab bc ac ++=,求222a b c ++的值.练 习1.填空:(1)221111()9423a b b a -=+( ); (2)(4m + 22)164(m m =++ );(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ ). 2.选择题:(1)若212x mx k ++是一个完全平方式,则k 等于 ( ) (A )2m (B )214m (C )213m (D )2116m (2)不论a ,b 为何实数,22248a b a b +--+的值 ( ) (A )总是正数 (B )总是负数(C )可以是零 (D )可以是正数也可以是负数1.1.3.二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b ,等是无理式,而212x ++,22x y + 1.分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,,等等. 一般地,,与,b 与b 互为有理化因式.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算0,0)a b =≥≥;而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式:(1 (20)a ≥; (30)x <.例2 (3.例3 试比较下列各组数的大小:(1 (2和例4 化简:20042005⋅-.例 5 化简:(1; (21)x <<.例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 . 练 习1.填空:(1=__ ___;(2(x =-x 的取值范围是_ _ ___;(3)=__ ___;(4)若2x ==______ __. 2.选择题:=成立的条件是 ( ) (A )2x ≠ (B )0x > (C )2x > (D )02x <<3.若b =,求a b +的值. 4.比较大小:2-4(填“>”,或“<”)..4.分式1.分式的意义形如A B 的式子,若B 中含有字母,且0B ≠,则称A B 为分式.当M ≠0时,分式A B 具有下列性质: A A M B B M⨯=⨯;A A MB B M÷=÷. 上述性质被称为分式的基本性质.2.繁分式 像ab c d+,2m n p m n p+++这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 例1 若54(2)2x A B x x x x +=+++,求常数,A B 的值.解得 2,3A B ==.例2 (1)试证:111(1)1n n n n =-++(其中n 是正整数); (2)计算:1111223910+++⨯⨯⨯L ; (3)证明:对任意大于1的正整数n , 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+L . 例3 设c e a=,且e >1,2c 2-5ac +2a 2=0,求e 的值. 练 习1.填空题:对任意的正整数n ,1(2)n n =+ (112n n -+); 2.选择题: 若223x y x y -=+,则x y= ( ) (A )1 (B )54 (C )45 (D )653.正数,x y 满足222x y xy -=,求x y x y-+的值. 4.计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯. 习题1.1 1.解不等式: (1) 13x ->; (2) 327x x ++-< ; (3) 116x x -++>.2.已知1x y +=,求333x y xy ++的值.3.填空:(1)1819(2(2=________;(22=,则a 的取值范围是________;(3+=________. 1.2 分解因式因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法例1 分解因式:(1)x 2-3x +2; (2)x 2+4x -12;(3)22()x a b xy aby -++; (4)1xy x y -+-.解:(1)如图1.2-1,将二次项x 2分解成图中的两个x 的积,再将常数项2分解成-1与-2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x ,就是x 2-3x +2中的一次项,所以,有x 2-3x +2=(x -1)(x -2).说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.2-1中的两个x 用1来表示(如图1.2-2所示).(2)由图1.2-3,得x 2+4x -12=(x -2)(x +6).(3)由图1.2-4,得22()x a b xy aby -++=()()x ay x by --(4)1xy x y -+-=xy +(x -y )-1=(x -1) (y+1) (如图1.2-5所示).2.提取公因式法与分组分解法例2 分解因式:(1)32933x x x +++; (2)222456x xy y x y +--+-.(2)222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- -1 -2 x x 图1.2-1 -1 -2 1 1 图1.2-2 -2 6 1 1 图1.2-3 -ay -by x x 图1.2-4 -1 1 x y 图1.2-5=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-.或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-.3.关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解.若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ,则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式:(1)221x x +-; (2)2244x xy y +-.练 习1.选择题:多项式22215x xy y --的一个因式为 ( )(A )25x y - (B )3x y - (C )3x y + (D )5x y -2.分解因式:(1)x 2+6x +8; (2)8a 3-b 3;(3)x 2-2x -1; (4)4(1)(2)x y y y x -++-. 习题1.21.分解因式:(1) 31a +; (2)424139x x -+;(3)22222b c ab ac bc ++++; (4)2235294x xy y x y +-++-. 2.在实数范围内因式分解:(1)253x x -+ ; (2)23x --; (3)2234x xy y +-; (4)222(2)7(2)12x x x x ---+.3.ABC ∆三边a ,b ,c 满足222a b c ab bc ca ++=++,试判定ABC ∆的形状.4.分解因式:x 2+x -(a 2-a ). 第二讲 函数与方程一元二次方程根的判别式我们知道,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=. ① 因为a ≠0,所以,4a 2>0.于是(1)当b 2-4ac >0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根x 1,2 (2)当b 2-4ac =0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根x 1=x 2=-2b a; (3)当b 2-4ac <0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根.由此可知,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况可以由b 2-4ac 来判定,我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.综上所述,对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),有(1) 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x 1,2 (2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x 1=x 2=-2b a; (3)当Δ<0时,方程没有实数根.例1 判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.(1)x 2-3x +3=0; (2)x 2-ax -1=0;(3) x 2-ax +(a -1)=0; (4)x 2-2x +a =0.说明:在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个实数根1x =,2x =, 则有1222b b x x a a-+===-;221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a-+----=⋅===. 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根分别是x 1,x 2,那么x 1+x 2=b a -,x 1·x 2=c a.这一关系也被称为韦达定理.特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x 2+px +q =0,若x 1,x 2是其两根,由韦达定理可知x 1+x 2=-p ,x 1·x 2=q ,即 p =-(x 1+x 2),q =x 1·x 2,所以,方程x 2+px +q =0可化为 x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0,由于x 1,x 2是一元二次方程x 2+px +q =0的两根,所以,x 1,x 2也是一元二次方程x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0.因此有以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x +x 1·x 2=0.例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2,求它的另一个根及k 的值. 例3 已知关于x 的方程x 2+2(m -2)x +m 2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m 的值.例4 已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2+5x -3=0的两根.(1)求| x 1-x 2|的值;(2)求221211x x +的值; (3)x 13+x 23.例6 若关于x 的一元二次方程x 2-x +a -4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数a 的取值范围.练 习1.选择题:(1)方程2230x k -+=的根的情况是 ( )(A )有一个实数根 (B )有两个不相等的实数根(C )有两个相等的实数根 (D )没有实数根(2)若关于x 的方程mx 2+ (2m +1)x +m =0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是 ( )(A )m <14 (B )m >-14(C )m <14,且m ≠0 (D )m >-14,且m ≠0 2.填空: (1)若方程x 2-3x -1=0的两根分别是x 1和x 2,则1211x x += . (2)方程mx 2+x -2m =0(m ≠0)的根的情况是 .(3)以-3和1为根的一元二次方程是 .3.|1|0b -=,当k 取何值时,方程kx 2+ax +b =0有两个不相等的实数根?4.已知方程x 2-3x -1=0的两根为x 1和x 2,求(x 1-3)( x 2-3)的值.习题1.选择题:(1)已知关于x 的方程x 2+kx -2=0的一个根是1,则它的另一个根是( )(A )-3 (B )3 (C )-2 (D )2(2)下列四个说法:①方程x 2+2x -7=0的两根之和为-2,两根之积为-7;②方程x 2-2x +7=0的两根之和为-2,两根之积为7;③方程3 x 2-7=0的两根之和为0,两根之积为73-; ④方程3 x 2+2x =0的两根之和为-2,两根之积为0.其中正确说法的个数是 ( )(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个(3)关于x 的一元二次方程ax 2-5x +a 2+a =0的一个根是0,则a 的值是( )(A )0 (B )1 (C )-1 (D )0,或-12.填空:(1)方程kx 2+4x -1=0的两根之和为-2,则k = .(2)方程2x 2-x -4=0的两根为α,β,则α2+β2= .(3)已知关于x 的方程x 2-ax -3a =0的一个根是-2,则它的另一个根是.(4)方程2x 2+2x -1=0的两根为x 1和x 2,则| x 1-x 2|= .3.试判定当m 取何值时,关于x 的一元二次方程m 2x 2-(2m +1) x +1=0有两个不相等的实数根?有两个相等的实数根?没有实数根?4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程x 2-7x -1=0各根的相反数.2.2 二次函数二次函数y =ax 2+bx +c 的图像和性质二次函数y =ax 2(a ≠0)的图象可以由y =x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到.在二次函数y =ax 2(a ≠0)中,二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.二次函数y =a (x +h )2+k (a ≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方向;h 决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”.由上面的结论,我们可以得到研究二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象的方法:由于y =ax 2+bx +c =a (x 2+b x a )+c =a (x 2+b x a +224b a )+c -24b a 224()24b b ac a x a a-=++, 所以,y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y =ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的,于是,二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)具有下列性质:(1)当a >0时,函数y =ax 2+bx +c 图象开口向上;顶点坐标为24(,)24b ac b a a--,对称轴为直线x =-2b a ;当x <2b a -时,y 随着x 的增大而减小;当x >2b a-时,y 随着x 的增大而增大;当x =2b a-时,函数取最小值y =244ac b a -. (2)当a <0时,函数y =ax 2+bx +c 图象开口向下;顶点坐标为24(,)24b ac b a a--,对称轴为直线x =-2b a ;当x <2b a -时,y 随着x 的增大而增大;当x >2b a-时,y 随着x 的增大而减小;当x =2b a-时,函数取最大值y =244ac b a -.例1 求二次函数y =-3x 2-6x +1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值),并指出当x 取何值时,y 随x 的增大而增大(或减小)?并画出该函数的图象.例2 把二次函数y =x 2+bx +c 的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函数y =x 2的图像,求b ,c 的值.例3 已知函数y=x2,-2≤x≤a,其中a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.练习1.选择题:(1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是()(A)y=2x2(B)y=2x2-4x+2(C)y=2x2-1 (D)y=2x2-4x(2)函数y=2(x-1)2+2是将函数y=2x2()(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2.填空题(1)二次函数y=2x2-mx+n图象的顶点坐标为(1,-2),则m=,n=.(2)已知二次函数y=x2+(m-2)x-2m,当m=时,函数图象的顶点在y轴上;当m=时,函数图象的顶点在x轴上;当m=时,函数图象经过原点.(3)函数y=-3(x+2)2+5的图象的开口向,对称轴为,顶点坐标为;当x=时,函数取最值y=;当x时,y随着x的增大而减小.3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及y随x的变化情况,并画出其图象.(1)y=x2-2x-3;(2)y=1+6 x-x2.4.已知函数y=-x2-2x+3,当自变量x在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值:(1)x≤-2;(2)x≤2;(3)-2≤x≤1;(4)0≤x≤3.二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式:1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k).3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.例1 已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式.例2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.例3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.练 习1.选择题:(1)函数y =-x 2+x -1图象与x 轴的交点个数是 ( ) (A )0个 (B )1个 (C )2个 (D )无法确定(2)函数y =-12(x +1)2+2的顶点坐标是 ( )(A )(1,2) (B )(1,-2) (C )(-1,2) (D )(-1,-2) 2.填空:(1)已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y =a (a ≠0) .(2)二次函数y =-x 2+23x +1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 . 3.根据下列条件,求二次函数的解析式.(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当x =3时,函数有最小值5,且经过点(1,11);(3)函数图象与x 轴交于两点(1-2,0)和(1+2,0),并与y 轴交于(0,-2).习题2.21.选择题:(1)把函数y =-(x -1)2+4的图象的顶点坐标是 ( ) (A )(-1,4) (B )(-1,-4) (C )(1,-4) (D )(1,4) (2)函数y =-x 2+4x +6的最值情况是 ( ) (A )有最大值6 (B )有最小值6 (C )有最大值10 (D )有最大值2(3)函数y =2x 2+4x -5中,当-3≤x <2时,则y 值的取值范围是 ( ) (A )-3≤y ≤1 (B )-7≤y ≤1 (C )-7≤y ≤11 (D )-7≤y <11 2.填空:(1)已知某二次函数的图象与x 轴交于A (-2,0),B (1,0),且过点C (2,4),则该二次函数的表达式为 . (2)已知某二次函数的图象过点(-1,0),(0,3),(1,4),则该函数的表达式为 .3.把已知二次函数y =2x 2+4x +7的图象向下平移3个单位,在向右平移4个单位,求所得图象对应的函数表达式.4.已知某二次函数图象的顶点为A (2,-18),它与x 轴两个交点之间的距离为6,求该二次函数的解析式.方程与不等式二元二次方程组解法方程22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程.其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项.我们看下面的两个方程组:224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的,第二个方程组是由两个二元二次方程组成的,像这样的方程组叫做二元二次方程组.下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法.一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解.例1 解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩例2 解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩练 习1.下列各组中的值是不是方程组2213,5x y x y ⎧+=⎨+=⎩的解?(1)2,3;x y =⎧⎨=⎩ (2)3,2;x y =⎧⎨=⎩ (3)1,4;x y =⎧⎨=⎩ (4)2,3;x y =-⎧⎨=-⎩2.解下列方程组:(1) 225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩ (2)3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩ (3) 221,543;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩(4)2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩一元二次不等式解法①② ①②(1)当Δ>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有两个公共点(x1,0)和(x2,0),方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1和x2(x1<x2),由图-2①可知不等式ax2+bx+c>0的解为x<x1,或x>x2;不等式ax2+bx+c<0的解为x1<x<x2.(2)当Δ=0时,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴有且仅有一个公共点,方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1=x2=-b2a,由图-2②可知不等式ax2+bx+c>0的解为x≠-b2a;不等式ax2+bx+c<0无解.(3)如果△<0,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴没有公共点,方程ax2+bx+c=0没有实数根,由图-2③可知不等式ax2+bx+c>0的解为一切实数;不等式ax2+bx+c<0无解.例3解不等式:(1)x2+2x-3≤0;(2)x-x2+6<0;(3)4x2+4x+1≥0;(4)x2-6x+9≤0;(5)-4+x-x2<0.例4已知函数y=x2-2ax+1(a为常数)在-2≤x≤1上的最小值为n,试将n用a表示出来.练习1.解下列不等式:(1)3x2-x-4>0;(2)x2-x-12≤0;(3)x2+3x-4>0;(4)16-8x+x2≤0.2.解关于x的不等式x2+2x+1-a2≤0(a为常数).习题2.31.解下列方程组:(1)221,420;xyx y⎧-=⎪⎨⎪--=⎩(2)22(3)9,20;x yx y⎧-+=⎨+=⎩(3)22224,2. x yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩2.解下列不等式:(1)3x2-2x+1<0;(2)3x2-4<0;(3)2x -x 2≥-1; (4)4-x 2≤0.第三讲 三角形与圆3.1 相似形3.1.1.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图,123////l l l ,有AB DE BC EF =.当然,也可以得出AB DEAC DF=.在运用该定理解决问题的过程中,我们一定要注意线段之间的对应关系,是“对应”线段成比例. 例1 如图, 123////l l l ,且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF .例 2 在ABC V 中,,D E 为边,AB AC 上的点,//DE BC ,求证:AD AE DEAB AC BC==. 平行于三角形的一边的直线截其它两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 在ABC V 中,AD 为BAC Ð的平分线,求证:AB BDAC DC=. 例3的结论也称为角平分线性质定理,可叙述为角平分线分对边成比例(等于该角的两边之比).练习11.如图,123////l l l ,下列比例式正确的是( )A .AD CE DF BC =B .ADBCBE AF = C .CE AD DF BC =D.AFBEDFCE=图2.如图,//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求BF .3.如图,在ABC V 中,AD 是角BAC 的平分线,AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长..2.相似形我们学过三角形相似的判定方法,想一想,有哪些方法可以判定两个三角形相似?有哪些方法可以判定两个直角三角形相似?例6 如图,在直角三角形ABC 中,BAC Ð为直角,AD BC D ^于.求证:(1)2AB BD BC =?,2AC CD CB =?; (2)2AD BD CD =? 练习21.如图,D 是ABC V 的边AB 上的一点,过D 点作DE 知AD :DB =2:3,则:ADE BCDE S S V 四边形等于( )A .2:3B .4:9C .4:5D .4:212.若一个梯形的中位线长为15,一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2,则梯形的上、下底长分别是__________.3.已知:ABC V 的三边长分别是3,4,5,与其相似的'''A B C V 的最大边长是15,求'''A B C V 的面积'''A B C S V .4.已知:如图,在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图 图 图(1) 请判断四边形EFGH 是什么四边形,试说明理由; (2) 若四边形ABCD 是平行四边形,对角线AC 、BD 满足什么条件时,EFGH 是菱形?是正方形?习题1.如图,ABC V 中,AD =DF =FB ,AE =EG =GC ,FG =4,则( )A .DE =1,BC =7B .DE =2,BC =6 C .DE =3,BC =5D .DE =2,BC =82.如图,BD 、CE 是ABC V 的中线,P 、Q 分别是BD 、CE 的中点,则:PQ BC 等于( )A .1:3B .1:4C .1:5D .1:63.如图,ABCD Y 中,E 是A B 延长线上一点,DE 交BC 于点F ,已知BE :AB =2:3,4BEF S =V ,求CDF S V .如图,在矩形ABCD 中,E 是CD 的中点,BE AC ^交AC于F ,过F 作FG 2AG AF FC =?图 图 图图三角形3.2.1 三角形的“四心”三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部,恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为2:1. 已知 D 、E 、F 分别为ABC V 三边BC 、CA 、AB 的中点, 求证 AD 、BE 、CF 交于一点,且都被该点分成2:1.三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部,它到三角形的三边的距离相等.(如图)例2 已知ABC V 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===,I 为ABC V 的内心,且I 在ABC V 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、,求证:2b c aAE AF +-==.三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部.(如图)例4 求证:三角形的三条高交于一点.已知 ABC V 中,,AD BC D BE AC E ^^于于,AD 与BE 交于H 点. 求证 CH AB ^.过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆,该圆是三角形ABC 的外接圆,圆心O 为三角形的外心.图 图图三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点.练习11.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形.2. (1) 若三角形ABC 的面积为S ,且三边长分别为a b c 、、,则三角形的内切圆的半径是___________;(2)若直角三角形的三边长分别为a b c 、、(其中c 为斜边长),则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.练习21.直角三角形的三边长为3,4,x ,则x =________.2.等腰三角形有两个内角的和是100°,则它的顶角的大小是_________.3.已知直角三角形的周长为3+,斜边上的中线的长为1,求这个三角形的面积.习题 A 组1.已知:在ABC V 中,AB =AC ,120,o BAC AD ∠=为BC 边上的高,则下列结论中,正确的是()A .2AD AB =B .12AD AB = C .AD BD = D .2AD BD = 2.三角形三边长分别是6、8、10,那么它最短边上的高为( )A .6B .4.5C .D .83.如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半,那么这个等腰三角形的顶角等于_________. 4.已知:,,a b c 是ABC V 的三条边,7,10a b ==,那么c 的取值范围是_________。

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