2019届中考数学复习第二章方程(组)与不等式(组)2.3分式方程及其应用练习
2019版中考数学复习 第二章 方程(组)与不等式(组)讲义
2019版中考数学复习 第二章 方程（组）与不等式（组）讲义【考点1】一元一次方程定义：只含有 未知数，并且未知数的次数都是 。
（系数不为0）的整式方程。
形式：一般形式ax+b=0 ； 最简形式 ax=b (a ≠0) 解 ：abx（a ≠0） 【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。
解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程。
一般形式: ax+by=c ，有无数组解。
2. 二元一次方程组的解法⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是 或 的情形。
⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数 或互为 的情形。
【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。
2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价 ；利润率=进价利润×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数 ；本息和=本金+利息 ；利息税=利息×税率 ； 贷款利息=贷款数额×利率×期数⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）⑷ 浓度问题：浓度=溶液质量溶质质量×100﹪⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）② 相遇问题 （甲走的路程 乙走的路程=A 、B 两地间的路程） ③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-【中考试题精编】1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（ ）A. 5(x-2)+3x=14B. 5(x+2)+3x=14C. 5x+3(x+2)=14D. 5x+3(x-2)=142.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。
中考数学 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第三节 分式方程及其应用
13．(2020·泰安)中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅 力的茶文化.2020 年 5 月 21 日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届 国际茶日在中国召开．某茶店用 4 000 元购进了 A 种茶叶若干盒，用 8 400 元购进 B 种茶叶若干盒，所购 B 种茶叶比 A 种茶叶多 10 盒，且 B 种茶叶 每盒进价是 A 种茶叶每盒进价的 1.4 倍．
D．无解
( A)
3. (2021·巴中)关于 x 的分式方程2m－＋xx－3＝0 有解，则实数 m 应满足的
条件是
( B)
A．m＝－2 B．m≠－2 C．m＝2 D．m≠2
4. (2021·鄂尔多斯)2020 年疫情防控期间，鄂尔多斯市某电信公司为了
满足全体员工的需要，花 1 万元购买了一批口罩，随着 2021 年疫情的缓
D.10 x000－100＝6x－00100
5．(2020·自贡)某工程队承接了 80 万平方米的荒山绿化任务，为了迎
接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了 35%，结果提
前 40 天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为 x 万平方米，
则下面所列方程中正确的是
( A)
A.80（1＋x 35%）－8x0＝40
10．(2020·扬州)如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单
已被墨水污染．
进货单
商品
进价(元/件)
数量(件)
总金额(元)
甲
7 200
乙
3 200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下： 李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高 50%. 王师傅：甲商品比乙商品的数量多 40 件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第三节 分式方程及其应用
命题点 2：分式方程解的运用(近 6 年考查 4 次)
5 ． (2020 · 荆 门 第
11
题
3
分)已经关于
x
的
分
式
方
程
2x＋3 x－2
＝
（x－2）k（x＋3）＋2 的解满足－4<x<－1，且 k 为整数，则符合条件的
所有 k 值的乘积为
(A )
A．正数 B．负数
C．零 D．无法确定
6．★(2021·荆州第 15 题 3 分)若关于 x 的方程 2xx－＋2m＋x2－－1x＝3 的解是
【分层分析】设第二次购买材料 x t，由②得第二次购买的单价为x2211x0000
元，由③得第一次购买材料的吨数为 2x2 t，由①，③得第一次购买的
45210000 单价为x 2x
元，由④可列方程为x452x0x00－211000＝0021
000 x
.
45 000 解：设第二次购买材料 x t，则第一次购买材料 2x t．根据题意得 2x
周
【考情分析】湖北近 3 年主要考查：1.分式方程的解法，应用分式方程 解决简单的实际问题．分式方程的解法考查形式有：直接解分式方程； 根据分式方程解的情况求字母的值或取值范围；2.分式方程的应用主要 以选择题的形式考查列方程，常在解答题中与不等式、函数的实际应用 结合考查，难度较大，分值一般 3－10 分．
4 是原来每天用水量的5，这样 120 t 水可多用 3 天．求现在每天用水量是 多少吨？
4 解：设原来每天的用水量为 x t，则现在每天的用水量为5x t，由题意可 列方程： 1542x0－1x20＝3，解得 x＝10， 经检验，x＝10 是原方程的解．
44 而5x＝5×10＝8. 答：现在每天的用水量为 8 t.
2019年中考数学复习 第二章 方程(组)与不等式(组)2.3 方程组(试卷部分)
.
ted 答w案ith3 Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2 解析 Copyright 2004-2011 依题意得 2mm解n得41,n, 故m+nmn=1+21.,2=3. Aspose Pty Ltd.
6.(2016浙江金华,18,6分)解方程组
将①代入②得,3x+2x=15,解得x=3,
ted 将wx=i3t代h入C①Ao得s,pyp=y2×or3=si6g,e所h以.St方2程li组0d的0e解4s是- f2oxy故0r36选1,,.D1N. EATsp3o.s5eCPliteynLt tPdr.ofile 5.2
K12配套课件
x x
2 y 5, y 2.
解析
x 2 y 5, ①
x
y
2. ②
由①-②,得y=3.
把y=3代入②,得x+3=2,解得x=-1.
∴原方程组的解是
x
y
1, 3.
K12配套课件
7
考点二 二元一次方程组的应用
1.(2018河南,6,3分)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问
人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3
钱.问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y钱,根据题意,可列方程组为 (
)
Evaluation only.
ted
with Aspose.Slides A.
y y
5x 7x
答案 Copyright 2004-2011 B 根据题意列方程组,得 2x4故xy选18B3y5., 750, Aspose Pty Ltd.
江西2019版中考数学总复习第二章方程(组)与不等式(组)第6讲分式方程课件
教材同步复习
第二章 方程(组)与不等式(组)
第6讲 分式方程
知识要 点 · 归纳
知识点一
2．解分式方程 （1）基本思路：分式方程――→整式方程 （2）一般步骤 分 式 方 程 ―――→
去分母 ②_______
去分母
分式方程及其解法
未知数 1．分式方程：分母中含有①________ 的方程叫做分式方程．
9
1 x 1．解方程： ＋ ＝－1． 1－x x－1
解：去分母，两边都乘以（x－1）得，－1＋x＝－1（x－1） ，解得 x＝1． 检验：当 x＝1 时，1－x＝0，所以分式方程无解．
10
方法指导
• （1）解分式方程的关键是去分母．在去分母时，分式方程两边的每一 项都要乘最简公分母，注意不要漏掉不含分母的项． • （2）分式方程无解的两种情况：①分式方程化为整式方程后，所得的 整式方程是“0x＝a（a≠0）”的形式，则原分式方程无解；②分式方 程去分母后，所得整式方程的解使得原分式方程的最简公分母的值为0， 则原分式方程无解． • （3）检验分式方程的根还可以直接代入原分式方程，这种方法不仅能 检验出该根是否是原分式方程的根，还能检验所得的根是否正确．
4
）
知识点二
分式方程的应用
• 1．用分式方程解实际问题的一般步骤
【注意】 题．
双检验： （1）检验是否是分式方程的解； （2）检验是否符合实际问
2．用分式方程解实际问题的一般类型 工作总量 （1）工程问题：①工作总量＝工作效率×工作时间，工作效率＝ ，工 工作时间 工作总量 作时间＝ ； 工作效率 ②完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1． （ 2 ）销售问题：①商品利润＝商品售价－商品成本价；②商品利润率＝ 商品利润 商品销售额 ×100%；③商品销量＝ ；④商品销售利润＝（销售价－成本 商品成本价 销售价 价）×销售量．
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第三节 分式方程及其应用
确的是
( A)
800 600 A.x＋50＝ x
800 600 800 600 B.x－50＝ x C. x ＝x＋50
800 600 D. x ＝x－50
6．(2013·天水第 15 题 4 分)有两块面积相同的小麦试验田，分别收获
小麦 9 000 kg 和 15 000 kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块
3．(RJ 八上 P155 习题 T4 改编)甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小 时多检测 20 个，甲检测 300 个比乙检测 200 个所用的时间少 10%.若设甲 每小时检测 x 个，则根据题意，可列出方程为__3x00＝x2－＝0200××((11－－1100%%))__．
4．(RJ 八上 P151 例 2 改编)解方程：
第三节 分式方程及其应 用
1．已知关于 x 的分式方程mx－－31＝1. (1)若此分式方程的解为 x＝2，则 m 的值为 4 4； (2)若此分式方程有增根，则 m 的值是 3 3 ； (3)若此分式方程的解是正数，则 m 的取值范围是 m>m2>且2且m ≠3.
m≠3
2．(RJ 八上 P153 例 4 改编)甲、乙两地相距 1 000 km，如果乘高铁列车 从甲地到乙地比乘特快列车少用 3 h，已知高铁列车的平均速度是特快列 车的 1.6 倍．若设特快列车的平均速度为 x km/h，则根据题意，可列方 程为 －1 3x0＝00－3＝11.060x0 .
命题点 2：由分式方程解的情况求字母的取值范围(省卷近 5 年未考查，
兰州近 5 年考查 1 次)
2x＋a 3．(2018·兰州第 10 题 4 分)关于 x 的分式方程 x＋1 ＝1 的解为负数，
则 a 的取值范围为
2019年版河北版中考数学 第二章 方程(组)与不等式(组)
分式方程������ - 1+1 - ������=2,去分母得,y+a-2a=2(y-1),
解得 y=2-a, 由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件,可得 a=-1,0,2,所以符合条件的所有整数 a 的和为 1.故选 C. 二、填空题 11.答案 a<1
1
9.B 去分母,得 x+3=2kx,∴(2k-1)x=3,当 2k-1=0,即 k=2时,(2k-1)x=3 无解,则原方程无解;由分式方程无解,
得方程的增根为 x=0 或 x=-3,把 x=0 代入(2k-1)x=3,方程无解;把 x=-3 代入(2k-1)x=3,解得 k=0,综上所述,k
1
的值为 0 或2.
{ { 10.C 解不等式组
������
5������
-
2
-
1 1 + ������
< 3, 得 2 ≥ ������ + ������,
������ < 5,
������ + 2
������ ≥ 4 ,
������ + 2
由不等式组有且只有四个整数解,得到 0< 4 ≤1,
解得-2<a≤2,即整数 a=-1,0,1,2,
12.(2017 山东菏泽中考)关于 x 的一元二次方程(k-1)x2+6x+k2-k=0 的一个根是 0,则 k 的值是 .
������
3
13.(2017 湖北黄石中考)分式方程������ - 1=2(������ - 1)-2 的解为 .
12
14.(2017 承德模拟)关于 x 的两个方程 x2-x-2=0 与������ + 1=������ + ������有一个解相同,则 a= .
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第二单元 方程(组)与 不等式(组)
（六）分式方程的解法及应用
知识梳理
目
知识过关
录
课堂检测
第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
知识梳理
一、分式方程的概念 分母中含未知数的方程叫做分式方程． 二、分式方程的解法
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
例 解方程：21x＝x－2 3. 解：方程两边乘2x(x－3)，得x－3＝4x. 解得x＝－1. 检验：当x＝－1时，2x(x－3)≠0. ∴原分式方程的解为x＝－1.
用3
700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的
3 2
倍，但进价比第一批每件多了5元．
(1)第一批仙桃每件进价是多少元？
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
(2)原定以每件225元的价格销售第二批仙桃，但为 了 尽 快 售 完 ， 决 定 打 折 促 销 ． 要 使 得 销 售 利 润 为 350 元，则第二批仙桃每件应打几折出售？(利润＝售价－ 进价)
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第1部分 第二单元 方程(组)与不等式(组)
3．解分式方程： (1)x＋1 2＝x－3 1； (2)xx＋ －22－2－4 x＝2. 解：(1)方程两边乘(x＋2)(x－1)，得x－1＝3(x ＋2)． 解得x＝－72. 检验：当x＝－72时，(x＋2)(x－1)≠0. ∴x＝－27是原分式方程的解．
(2)工程问题
基本数量关系：工作时间＝工工作作效总率量 常量见关等系注则原甲甲工工意工的的作作：作工工总1时题效作作量间干率总效＝中量率－未工－改告作乙乙善工诉效的的后作工率工工工总作作作作量总总效效量量率率时＝＝工提时作前间总完差量成可的以时看间作整体“1”，
2019届中考数学复习 第二章 方程(组)与不等式(组)2.3 分式方程及其应用练习
分式方程命题点1 解分式方程（8年4考）命题解读：题型均为解答题，分值为5分。
主要考查分式方程的求解。
1.（2017·陕西中考）解方程：32133x x x +-=-+。
2.（2013·陕西中考）解分式方程:22142x x x +=--。
3.（2011·陕西中考）解分式方程：43122x x x -=--。
拓展变式1.解方程：1223x x =-。
2.（2018·某铁一中模拟）解方程：23211x x x x+-=--。
命题点2 列分式方程求解实际问题4.列方程（组）解应用题：为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，某市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑的单价是台式电脑的单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价分别是多少？5.2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”列车相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好。
已知“太原南﹣北京西”全程大约500 km，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40 km，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的45（两列车中途停留时间均除外）。
经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10 min。
求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间。
拓展变式3.某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程。
当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余的工程，结果按通知要求如期完成整个工程。
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？参考答案24。
2019届中考数学复习 第二章 方程(组)与不等式(组)2.3 分式方程及其应用练习
分式方程命题点1 解分式方程（8年4考）命题解读：题型均为解答题，分值为5分。
主要考查分式方程的求解。
1。
（2017·陕西中考）解方程：32133x x x +-=-+。
2.(2013·陕西中考）解分式方程:22142x x x +=--。
3。
(2011·陕西中考）解分式方程:43122x x x-=--。
拓展变式1.解方程:1223x x =-。
2。
（2018·某铁一中模拟）解方程：23211x x x x+-=--。
命题点2 列分式方程求解实际问题4。
列方程（组）解应用题：为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，某市某中学配备了两个多媒体教室,购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7。
2万元,购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑的单价是台式电脑的单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价分别是多少？5。
2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车,与“和谐号”列车相比，“复兴号"列车时速更快，安全性更好。
已知“太原南﹣北京西"全程大约500 km,“复兴号"G92次列车平均每小时比某列“和谐号"列车多行驶40 km，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的4 5（两列车中途停留时间均除外）.经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站，停留10 min。
求乘坐“复兴号"G92次列车从太原南到北京西需要多长时间。
拓展变式3.某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程.当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余的工程，结果按通知要求如期完成整个工程。
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天?(2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天?参考答案尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
苏教版2019年中考数学同步复习第二章方程组与不等式组第三节分式方程及其应用训练
第二章 方程(组)与不等式(组)第三节 分式方程及其应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2019·易错题)解分式方程－2＝，去分母得( )1x －535－x A ．1－2(x －5)＝－3B ．1－2(x －5)＝3C ．1－2x －10＝－3D ．1－2x ＋10＝32．(2018·成都中考)分式方程＋＝1的解是( )x ＋1x 1x －2A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝3D ．x ＝－33．(2018·张家界中考)若关于x 的分式方程＝1的解为x ＝2，则m 的值为( )m －3x －1A ．5 B ．4C ．3D ．24．(2018·衡阳中考)衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为( )A.－＝1030x 361.5x B.－＝1030x 301.5x C.－＝10361.5x 30x D.＋＝1030x 361.5x 5．(2019·创新题)对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b}表示a ，b 中的较大值，如max {2，4}＝4.按这个规定，方程max {x ，－x}＝的解为( )2x ＋1x A ．1－ B ．2－22C ．1＋或1－D ．1＋或－12226．(2018·广州中考)方程＝的解是__________．1x 4x ＋67．(2018·遂宁中考)A ，B 两市相距200千米，甲车从A 市到B 市，乙车从B 市到A 市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x 千米/小时，则根据题意，可列方程______________________________________．8．(2018·连云港中考)解方程：－＝0.3x －12x 9．(2019·原创题)在“父亲节”前夕，某手表店用160000元购进第一批精致手表，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该手表店又用75 000元购进第二批精致手表．已知第二批精致手表的块数是第一批手表的块数的，且每块精致手表的进价比第一批的进价少100元．问第二批精致手表每块的进价是多少12元？10．(2018·扬州中考)京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长1 462 km ，是我国最繁忙的铁路干线之一．如果从北京到上海的客车速度是货车速度的2倍，客车比货车少用6 h ，那么货车的速度是多少？(精确到0.1 km /h )11．(2019·改编题)若－2＜a≤2，且使关于y 的方程＋＝2的解为非负数，则符合条件的所有整y ＋a y －12a1－y 数a 的和为( )A ．－3B ．－2C ．1D ．212．(2019·易错题)若分式有意义，且关于x 的分式方程＝3的解是负数，则m 的取值范围在数1m ＋12x －mx ＋1轴上表示正确的是( )13．(2018·眉山中考)已知关于x 的分式方程－2＝有一个正数解，则k 的取值范围为x x －3kx －3_____________________________________________________．14．(2018·达州中考)若关于x 的分式方程＋＝2a 无解，则a 的值为________．x x －33a3－x 15．(2019·创新题)对于实数a ，b ，定义一种新运算⊗为：a ⊗b ＝，这里等式右边是实数运算．例如：1a －b21⊗3＝＝－，则方程x ⊗(－2)＝－1的解是__________．11－32182x －416．(2018·德阳中考改编)为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A ，B 两个工程公司承担建设，已知A 工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A 工程公司单独施工45天后，B 工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．求B 工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？17．(2018·深圳中考)某超市预测某饮料有发展前途，用1 600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6 000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．(1)第一批饮料进货单价为多少元？(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1 200元，那么销售单价至少为多少元？18．(2019·改编题)将四个数a ，b ，c ，d 排成两行、两列，两边各加上一条竖线段，记成，定义：|a bc d |＝ad －bc ，上述记号就叫做二阶行列式，若＝10，则x ＝______．|a bc d ||22x13－x 1x －3|参考答案【基础训练】1．A 2.A 3.B 4.A 5.D6．x ＝2 7.－＝200x 200x ＋15128．解：两边乘x(x －1)得3x －2(x －1)＝0，解得x ＝－2.经检验，x ＝－2是原分式方程的解．∴原分式方程的解是x ＝－2.9．解：设第二批精致手表每块的进价是x 元．依题意有＝·，解得x ＝1 500.75 000x 12160 000x ＋100经检验，x ＝1 500是原分式方程的解，且符合题意．答：第二批精致手表每块的进价是1 500元．10．解：设货车的速度为x km /h .由题意得－＝6，解得x≈121.8.1 462x 1 4622x 经检验，x ＝121.8是该方程的解，且符合题意．答：货车的速度是121.8 km /h .【拔高训练】11．C 12.D13．k<6且k≠3 14.1或 15.x ＝51216．解：(1)设B 工程公司单独完成需要x 天．根据题意得45×＋54(＋)＝1，118011801x 解得x ＝120.经检验，x ＝120是分式方程的解，且符合题意．答：B 工程公司单独完成需要120天．17．解：(1)设第一批饮料进货单价为x 元，则第二批饮料进货单价为(x ＋2)元．根据题意得3·＝，解得x ＝8，1 600x 6 000x ＋2经检验，x ＝8是分式方程的解，且符合题意．答：第一批饮料进货单价为8元．(2)设销售单价为m 元．根据题意得200(m －8)＋600(m －10)≥1 200，解得m≥11.答：销售单价至少为11元．【培优训练】18．4。
浙江省杭州市2019年中考数学一轮复习 第二章 方程(组)与不等式(组)第三节 分式方程及其应用同步测试
第三节 分式方程及其应用姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列属于分式方程的是( )A.x 2＋y 2＝1 B ．x ＋2＝0 C.1x ＋3 D.1x ＋2＝5 2．若x ＝3是分式方程a －2x －1x －2＝0的解，则a 的值是( ) A ．5B ．－5C ．3D ．－33．分式方程2x －1x －2＝1的解为( ) A ．x ＝－1B ．x ＝12C ．x ＝1D ．x ＝24．若关于x 的分式方程2x －3＋x ＋m 3－x＝2有增根，则m 的值是( ) A ．m ＝－1B ．m ＝0C ．m ＝3D ．m ＝0或m ＝35．(2018·贵州黔南州中考)施工队要铺设1 000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x 米，所列方程正确的是( )A.1 000x －1 000x ＋30＝2 B.1 000x ＋30－1 000x ＝2 C.1 000x －1 000x －30＝2 D.1 000x －30－1 000x＝2 6．分式方程2x ＝5x ＋3的解是__________. 7．若分式方程x －m x －2＝1x －2有增根，则这个增根是x ＝______. 8．制作某种机器零件，小明做220个零件与小芳做180个零件所用的时间相同，已知小明每小时比小芳多做20个零件．设小芳每小时做x 个零件，则可列方程为_____________.9．(2018·浙江衢州模拟)解方程：1x －2＋2＝1－x 2－x.10．某火车站北广场将投入使用，计划在广场内种植A ，B 两种花木共6 600棵，若A 花木数量是B 花木数量的2倍少600棵．(1)种植A ，B 两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A 花木60棵或B 花木40棵，应分别安排多少人种植A 花木和B 花木，才能确保同时完成各自的任务？11．(2018·山东德州中考)分式方程x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）的解为( ) A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．无解12．(2019·创新题)对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18.则方程 x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A ．x ＝4B ．x ＝5C ．x ＝6D ．x ＝713．(2018·山东淄博中考)“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是( )A.60x －60（1＋25%）x ＝30 B.60（1＋25%）x －60x ＝30C.60×（1＋25%）x －60x ＝30 D.60x －60×（1＋25%）x＝30 14．分式方程1x －5－1x 2－10x ＋25＝0的解是__________. 15. (2018·云南中考)某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，求乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？16．为厉行节能减排，倡导绿色出行，“共享单车”(俗称“小黄车”)公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A ，B 两种不同款型，请回答下列问题： 问题1：单价该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A ，B 两型自行车各50辆，投放成本共计7 500元，其中B 型车的成本单价比A 型车高10元，A ，B 两型自行车的单价各是多少？问题2：投放方式该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1 000人投放a 辆“小黄车”，乙街区每1 000人投放8a ＋240a辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1 500辆，乙街区共投放1 200辆，如果两个街区共有15万人，试求a 的值．17．(2019·易错题)若关于x 的分式方程2x －a x －2＝12的解为非负数，则a 的取值范围是( )A ．a≥1B ．a>1C ．a≥1且a≠4D ．a>1且a≠4参考答案【基础训练】1．D 2.A 3.A 4.A 5.A6．x ＝2 7.2 8.220x ＋20＝180x9．解：方程两边都乘以x －2得1＋2(x －2)＝x －1，解得x ＝2，检验：当x ＝2时，x －2＝0，所以x ＝2不是原方程的解，即原方程无解．10．解：(1)设B 种花木的数量是x 棵，则A 种花木的数量是(2x －600)棵．根据题意得x ＋(2x －600)＝6 600，解得x ＝2 400，∴2x－600＝4 200.答：A 种花木的数量是4 200棵，B 种花木的数量是2 400棵．(2)设安排y 人种植A 种花木，则安排(26－y)人种植B 种花木．根据题意得4 20060y ＝ 2 40040（26－y ），解得y ＝14.经检验，y ＝14是原方程的解，且符合题意．∴26－y ＝12.答：安排14人种植A 种花木，安排12人种植B 种花木，才能确保同时完成各自的任务．【拔高训练】11．D 12.B 13.C 14.x ＝615．解：设乙工程队每小时能完成x 平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x 平方米的绿化面积， 根据题意得300x －3002x ＝3，解得x ＝50，经检验，x ＝50是分式方程的解，且符合题意．答：乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．16．解：问题1：设A 型车的成本单价为x 元，则B 型车的成本单价为(x ＋10)元，依题意得50x ＋50(x ＋10)＝7 500， 解得x ＝70，∴x＋10＝80，答：A ，B 两型自行车的单价分别是70元和80元；问题2：由题可得，1 500a ×1 000＋1 2008a ＋240a×1 000＝150 000，解得a ＝15，经检验，a ＝15是所列方程的解，且符合题意，故a 的值为15.【培优训练】17．C。
2019年中考数学复习第二章方程(组)与不等式(组)2.3方程组(讲解部分)素材
购买商品 Ｂ 的 数量（ 个） ５ ７ ８
购买 总费用（ 元）
１ １４０ １ １１０ １ ０６２
（１）小林以折扣价购买商品 Ａ、Ｂ 是第 次购物；
（２）求出商品 Ａ、Ｂ 的标价；
（３）若商品 Ａ、Ｂ 的折扣相同，问商店是打几折出售这两种
商品的？
解析 （１）三．
（２ 分）
（２）设 Ａ、Ｂ 两种商品的标价分别为 ｘ 元、ｙ 元．
整理一批新进的图书． 若男生每人整理 ３０ 本，女生每人整理 ２０
本，共能整理 ６８０ 本；若男生每人整理 ５０ 本，女生每人整理 ４０
本，共能整理 １ ２４０ 本．求男生、女生志愿者各有多少人．
解析 设男生志愿者有 ｘ 人，女生志愿者有 ｙ 人，
{ { 则 ３０ｘ＋２０ｙ ＝ ６８０， 解得 ｘ ＝ １２，
方法一 用适当的方法解方程组
掌握两种基本的消元方法：代入消元法和加减消元法，解方
程组时要根据系数的特点选择适当的方法．
{ 例 １
2019年中考数学复习第二章方程(组)与不等式(组)2.2分式方程(讲解部分)素材
第二章 方程( 组) 与不等式( 组) １ １
２８
考点清单
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考点一 分式方程及其解法
１.定义:分母中① 含有未知数 的方程叫做分式方程. ２.解分式方程的一般步骤: (１)去分母化分式方程为② 整式方程 ꎻ (２)解这个整式方程ꎬ求出③ 整式方程 的根ꎻ (３)检验ꎬ作出结论.一般代入原方程的④ 最简公分母 进行检验. ３.增根:整式方程的根ꎬ但使得原分式方程的⑤ 分母为零 ꎬ
解析 方程两边同乘( ｘ－３) ꎬ得 ｘ－２( ｘ－３)＝ ｍꎬ∴ ｘ ＝ ６－ｍ. ∵ 方程的解为正数ꎬ∴ ６－ｍ>０ꎬｍ<６. 又∵ ｘ－３≠０ꎬ即 ６－ｍ－３≠０ꎬ∴ ｍ≠３. ∴ 当 ｍ<６ 且 ｍ≠３ 时ꎬ原方程的解为正数.
易错警示 解题时容易忽略隐含的条件“ 最简公分母不 能为 ０” ꎬ不考虑 ６－ｍ－３≠０ꎬ即 ｍ≠３ꎬ仅写出 ｍ<６ꎬ而产生错误.
交通接驳问题ꎬ北京市投放了大量公租自行车供市民使用. 到
２０１３ 年底ꎬ全市已有公租自行车 ２５ ０００ 辆ꎬ租赁点 ６００ 个. 预计
到 ２０１５ 年底ꎬ全市将有公租自行车 ５０ ０００ 辆ꎬ并且平均每个租
赁点的公租自行车数量是 ２０１３ 年底平均每个租赁点的公租自
行车数量的 １.２ 倍.预计到 ２０１５ 年底ꎬ全市将有租赁点多少个?
１.去分母时ꎬ漏乘
例 １ 解方程ｘ－２２＋３ ＝ ２１－－ｘｘ.
错解
原方程变形ꎬ得ｘ－２２＋
３
＝
ｘ－ ｘ－
１ ꎬ
２
方程两边都乘 ｘ－２ꎬ得 ２＋３ ＝ ｘ－１.
错因透视 第二步去分母出现错误ꎬ常数 ３ 漏乘了 ｘ－２ꎬ
2019版中考数学总复习第二章方程(组)与不等式(组)2.2分式方程(讲解部分)检测
（ ２） 将方程两边同乘最简公分母，约去 分母，得 到一个 整式 方程；
（ ３） 解这个整式方程； （ ４） 验根．
考点二 分式方程的应用
１．常见题型有行程问题和工程问题． ２．用分式方程解应用题时，检验分为两步，先检验所求根是不
是④ 原方程 的根，再检验方程的根是否符合⑤ 题意 ，缺一不可．
变化过程中，未知数允许值范围的扩大而导致产生的，它可以通
过“ 检验” 来找出；②无解是由于原分式方程本身就是 矛 盾 方 程
造成的，即无论未知数取何实数，等式都不能成立；③方程有增
根不一定无解，但如果解出的所有根都是增根，这时原分式方程
就一定无解了．
变式训练 若关于 ｘ 的方程ｘｘ－－１５ ＝１０ｍ－２ｘ无解，则 ｍ＝ ．
－
１ ２
时，（ ｘ＋２）
（ ｘ－１） ≠０，
∴
ｘ
＝
－
１ ２
是原分式方程的解．
方法二 关于分式方程无解问题的分析
分式方程无解的条件有两种：（１）分式方程化成的整式方程
无解，则分式方程也无解；（ ２） 化成的整式方程的解使原分式方
程的分母为 ０，这个解是该分式方程的增根，则分式方程无解．
例 ２
（ ２） 假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩
下的 ２０ 千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，
利润不低于 ９５０ 元，则每千克水果的标价至少是多少元？
注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与
每千克水果的购进价格的差，两批水果全部售完的利润等于两
次购进水果的销售利润之和．
变式训练 （ ２０１８ 东营，２１，８ 分） 小明和小刚相约周末到
雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院 １ ２００ ｍ 和 ２ ０００ ｍ，
2019年中考数学一轮复习第二章方程(组)与不等式(组)2.2一元二次方程、分式方程(讲解部分)
该商店 ４ 月份销售这种商品的利润是多少元？
（２） 设该商品的进价为 ａ 元． ２ ４００ ＝ ９００，解得 ａ ＝ ２５． 根据题意，得（４０－ ａ） ˑ ４０ ４ 月份的售价：４０ˑ０． ９ ＝ ３６（ 元） ， ２ ４００＋８４０ ＝ ９０（ 件） ． ４ 月份的销售数量： ３６ ４ 月份的利润：（３６－２５） ˑ９０ ＝ ９９０（ 元） ．
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能使原方程中的分母为 ０， 因此应进行如下检验： 将整式方程的 解代入������ ������㊀ 最简公分母 ㊀ ， 如果 ������ ������ ������㊀ 最简公分母不等于零 ㊀ ， 则整式 ������ 方程的解是原分式方程的解； 否则， 这个解不是原分式方程的 解，是增根． ４． 去分母解分式方程的一般步骤： （１） 适当变形， 通常是对分母分解因式， 找到最简公分母；
２０１６ 年期间销售一种礼盒． ２０１４ 年， 该商店用 ３ ５００ 元购进了这 种礼盒并且全部售完；２０１６ 年， 这种礼盒的进价比 ２０１４ 年下降 了 １１ 元 ／ 盒，该商店用 ２ ４００ 元购进了与 ２０１４ 年相同数量的礼 盒也全部售完，礼盒的售价均为 ６０ 元 ／ 盒． 问年增长率是多少？ （１）２０１４ 年这种礼盒的进价是多少元 ／ 盒？ （２） 若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，
㊀ ㊀ 变 式 训 练 ㊀ （ ２０１７ 盐 城， ２３， １０ 分 ） 某 商 店 在 ２０１４ 年 至
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分式方程
命题点1 解分式方程（8年4考）
命题解读：题型均为解答题，分值为5分。
主要考查分式方程的求解。
1.（2017·陕西中考）解方程：
32133x x x +-=-+。
2.（2013·陕西中考）解分式方程:
22142x x x +=--。
3.（2011·陕西中考）解分式方程：
43122x x x -=--。
拓展变式
1.解方程：
1223x x =-。
2.（2018·某铁一中模拟）解方程：23211x x x x
+-=--。
命题点2 列分式方程求解实际问题
4.列方程（组）解应用题：为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，某市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑的单价是台式电脑的单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价分别是多少？
5.2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”列车相比，“复兴号”列
车时速更快，安全性更好。
已知“太原南﹣北京西”全程大约500 km，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40 km，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶
时间的4
5
（两列车中途停留时间均除外）。
经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，
中途只有石家庄一站，停留10 min。
求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间。
拓展变式
3.某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程。
当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余的工程，结果按通知要求如期完成整个工程。
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
参考答案。