理论力学(第9章)

点系的全部外力对该点（或该轴）的矩的矢量和（或代数和）——质点系的
动量矩定理。
第9章 动量矩定理
9.3 动量矩定理 9.3.3 动量矩守恒定理
1.质点动量矩守恒定理
若 MO (F ) 0 或 M x (F ) 0
则 结 论
若作用于质点上的力对某定点(或某定轴）的矩为零，则
M O (mv ) 常矢 M x (mv ) 常量
所以，系统对O轴的动量矩为：
J1 J 2 A C LO LO LB L m m O O 2 3 rv 2 r
第9章 动量矩定理
9.3 动量矩定理
9.3.1 质点的动量矩定理
d ( mv ) F dt
将其两端用质点的矢径r 作矢积，得
d r (mv ) r F dt
9.1.1 转动惯量的一般公式 2.回转半径（或称惯性半径）
刚体对任一轴z的回转半径或惯性半径为
z
Jz m
若已知刚体对某轴z的回转半径ρz和刚体的质量m， 则其转动惯量可按下式计算
J z m
第9章 动量矩定理
2 z
9.1 刚体对轴的转动惯量
9.1.1 转动惯量的一般公式
3. 简单形体绕质心轴的转动惯量 均质细圆环 m
3. 系统对z轴的转动惯量
J Oz J J
杆 Oz
环 OZ
23 ( 3 )m r2 6
第9章 动量矩定理
9.2 9.2.1 质点的动量矩
动 量 矩
1.对点的动量矩 质点Q的动量 mv 对点 O 的矩，定 义为质点Q 对点 O 的动量 矩。即
MO (mv) r mv
2. 对轴的动量矩
9.3 动量矩定理
LO v( J O W1r W2 r ) r g g (2)
( e) M ( F O i ) (W1 W2 )r
(3)
dLO (e) M ( F 由动量矩定理 dt O i ) 得
dLOz dv J O W1r W2r ( ) (W1 W2 )r dt dt r g g
d [ M x (mv )] M x ( F ) dt d [ M y (mv )] M y ( F ) dt d [ M z (mv )] M z ( F ) dt
结 论
质点对某固定点（或固定轴）的动量矩对时间的导数,等于作
用于质点的力对该点（或该轴）的矩。—质点的动量矩定理。
第9章 动量矩定理
J z J zC md2
式中， Jz—表示刚体对任一轴z的转动惯量； JzC —为刚体对通过质心C且与z轴平行的 轴zC的转动惯量； m —为刚体的质量； d —为z与zC轴之间的距离。
第9章 动量矩定理
9.1 刚体对轴的转动惯量
例9-1 均质细圆环质量为m1，半径为r，其上固结一质 量为m2的均质细杆AB，系统在铅垂面内以角速度，绕过点
质点对该点（或轴）的动量矩保持不变——质点动量矩守恒
定律。
第9章 动量矩定理 北京建筑工
9.3 动量矩定理
9.3.3 动量矩守恒定理 2.质点系动量矩守恒定理 对定点的动量矩定理
dLO M O (Fi ( e ) ) dt
dLz (e) M ( F ) 对定轴的动量矩定理 z i dt (1)如果∑MO (Fi（e) ) 0，则由上面第一式 可知， LO = 常矢量。
LO rC mvC LC
LO M O(mvC ) LC
其中 LC =JC ，最后可得
LO M O(mvC ) J C ω
第9章 动量矩定理
9.2
例9-2
动 量 矩
如图所示，系统由滑轮A、
B及物块C组成。已知：滑轮A的质量
为m1、半径为R、转动惯量为J1，滑轮 B的质量为m2、半径为r、转动惯量为 J2，且R=2r，物块C 的质量为m3、速 度为v，绳与滑轮之间不打滑。求图示
第9章 动量矩定理
9.2 动 量 矩 9.2.3 刚体的动量矩
2. 定轴转动刚体 设刚体以角速度 绕固定轴 z 转动，刚体内
任一点A的质量为m，转动半径为ri ，则刚体对 轴 z 的动量矩为
Lz M z (mivi ) mivi ri mi ri2 J z
即
Lz J z
第9章 动量矩定理
13.2 动量矩定理的推导和举例
9.3.2 质点系的动量矩定理
dLO (e) M O ( Fi ) dt
结 论
dLx (e) M x ( Fi ) dt dLy (e) M y ( Fi ) dt dLz (e) M z ( Fi ) dt
质点系对某固定点（或固定轴）的动量矩对时间的导数,等于作用于质
O并垂直于图面的z轴转动。已知∠C1AB = 60，求系统对z轴
的转动惯量。
第9章 动量矩定理
9.1 刚体对轴的转动惯量
解： 1. 圆环对z轴的转动惯量
环 2 2 JO J mr 2 mr zC1 z
2. 杆对z轴的转动惯量
2 m r 3 2 11 杆 2 J Oz J zC 2 m d m(r r ) ( 3 )m r2 12 2 6
两重物的加速度为： 滑轮的角加速度为：
a
dv (W1 W2 ) g dt J O g W W 1 2 r2
a (W1 W2 ) g J g r r O W W 1 2 r2
第9章 动量矩定理
9.3 动量矩定理
9.3.2 质点系的动量矩定理 对于质点系有
d dt [ Μ O (mi vi )] M O (Fi )
其中 即
M
O
(F ) 可分为外力对O点的矩和内力对O点的矩二项
（e） （i） M ( F ) M ( F ) M ( F O i O i O i )
瞬时系统对O轴的动量矩。
第9章 动量矩定理
9.2
动，其动量矩为 ：
动 量 矩
A 解： 滑轮A绕O做定轴转 LO J11
滑轮B做平面运动， 其动量矩为：
LB O J 22 m2vO1 r
物块C做平动，其 动量矩为： 因为：
LC O m3vr
vO1 v r2 0.5R2 0.5R1
dLO d d 注意到 [ Μ O (mv )] [ Μ O (mv )] dt dt dt dLO (e) M O ( Fi ) 所以有 dt
将上式投影到固定坐标轴系上，则得
dLx (e) M x ( Fi ) dt dLy (e) M y ( Fi ) dt dLz (e) M z ( Fi ) dt
第9章 动量矩定理
9.2
动 量 矩
9.2.2 质点系的动量矩
1. 对点的动量矩 质点系内各质点对某点 O 的动量矩的矢量和，称为这质 点系对该点 O 的动量主矩或动量矩。用 LO 表示，有
LO = ∑MO(mv) =∑rmv
2. 对轴的动量矩 类似的可得质点系对各坐标轴的动量矩表达式
Lx=∑Mx(mv) = ∑m( yvz zvy)
如图所示，已知刚体上任一点的质量为mi，
与轴z的距离为ri，则各点质量mi与ri2的乘积之和 定义为刚体对轴的转动惯量，记为Jz。即
J z mi ri2
对于质量连续体，可写成积分形式，即
J z ri 2dm
转动惯量是一恒为正值的标量，单位：kgm2。
第9章 动量矩定理
9.1 刚体对轴的转动惯量
上式投影到各坐标轴可得动量 mv 对各坐标轴的矩。
[ M O (mv )]x M x (mv ) m( yvz zv y ) [ M O (mv )]y M y (mv ) m( zvx xvz ) [ M O (mv )]z M z (mv ) m( xvy yvx )
d dr [ Μ O (mv )] mv dt dt
当矩心O固定时
dr v dt
因而上式第二项等于零，于是得到 d [ Μ O (mv )] M O ( F ) dt
第9章 动量矩定理
9.3 动量矩定理
9.3.1 质点的动量矩定理 d [ Μ O (mv )] M O ( F ) dt 将上式投影到固定坐标轴系上，则得
第9章 动量矩定理
9.2
动 量 矩
9.2.3 刚体的动量矩
1. 平动刚体
vi
z
m
ri rC
mi C y
vC
LO ri mi vi i vi vC LO ( ri mi ) vC
i
O x
m r C LO rC mvC LO M O (mvC )
理 论 力 学
第9章 动量矩定理
第9章 动量矩定理
动 力 学
第 9 章
9.1 刚体对轴的转动惯量
9.2 动 量 矩
9.3 动量矩定理的推导和举例 9.4 刚体定轴转动微分方程
动 量 矩 定 理
9.5 相对质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程
第9章 动量矩定理
9.1 刚体对轴的转动惯量
9.1.1 转动惯量的一般公式 1.转动惯量
该轮对轴O(z)的转动惯量为Jz 。在滑轮上绕一柔软的绳子， 其两端各系一重为W1和W2的重 物A和B，且Wl>W2，如图所示 。求此两重物的加速度和滑轮 的角加速度。
第9章 动量矩定理
9.3 动量矩定理 解:
取滑轮、重物 A 、B 和绳索为研究对象,受 力如图。对滑轮的转轴O 应用动量矩定理，有
J C mr
2
C
r
Байду номын сангаас
均质薄圆盘
1 J C mr 2 2
均质细长杆
C r
m
1 J C ml 2 12
第9章 动量矩定理 北京建筑工
C l
m
9.1 刚体对轴的转动惯量
9.1.2 转动惯量的平行移轴定理
刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且与该轴 平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的 乘积。即
而内力对O点的矩
(i ) M ( F O i ) 0 所以有
d (e) [ Μ ( m v )] M ( F dt O i i O i )
第9章 动量矩定理
9.3 动量矩定理
9.3.2 质点系的动量矩定理
d (e) [ Μ ( m v )] M ( F dt O i i O i )
dLO M O ( Fi ( e ) ) dt
(1)
系统的动量矩由三部分组成：
J O W1r W2 r v W1 W2 LO J O vr vr v( ) r g g r g g
系统的外力主矩为
(e) M ( F O i ) (W1 W2 )r
(2)
(3)
第9章 动量矩定理
(2)如果∑Mz (Fi（e）) 0，则由上面第二式 可知， Lz = 常量。
结 论
当作用于质点系的所有外力对某固定点(或固定轴)的 主矩始终等于零,则质点系对该点(或该轴)的动量矩保持不 变——质点系的动量矩守恒定理。
第9章 动量矩定理
9.3 动量矩定理
例9-3 半径为r的定滑轮可
绕过质心的固定轴O(z)转动，
可见，作定轴转动的刚体对转轴的动量矩，等于
该刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。
第9章 动量矩定理
13.1 动 量 矩 9.2.3 刚体的动量矩
3. 平面运动刚体 设平面运动刚体具有质量对称平面 Cx'y' ，且该对称平面在 固定平面Oxy内运动，则刚体对点O动量矩的动量矩等于对轴 z 的动量矩。 由 可得
Ly= ∑My(mv) = ∑m(zvx xvz) Lz= ∑Mz(mv) = ∑m(x vy yvx)
第9章 动量矩定理
9.2
动 量 矩
9.2.3 刚体的动量矩
1. 平动刚体
平动刚体对质心的为动量矩LC =0，故由
LO rC m vC LC
得
LO rC m vC
即，平动刚体任一点的动量矩，等于将其质量集中在质心 时，质心的动量对该点的矩。
右边=
M
O
(Fi )
d d dr (r mv ) mv 左边 可改写为 r (mv ) dt dt dt
d dr [ Μ O (mv )] mv dt dt
第9章 动量矩定理
9.3 动量矩定理
9.3.1 质点的动量矩定理
d d dr r (mv ) (r mv ) mv dt dt dt