1.3空间几何体的表面积与体积
2020版人教A数学必修2：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
的底面积 S= 1 ×4×2=4,棱锥的高 h=4,所以棱锥的体积 V= 1 ×4×4= 16 .
2
3
3
故选 B.
[备用例2] 1.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和 最长母线长分别为2和3,求该几何体的体积.
解:用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱 的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
2.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为( B )
(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 解析:由三视图可知该几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形,高为 3 的 三棱锥,其体积为 1 × 1 ×6×3×3=9.
32
3.(2018·天津河西区高一期中)一个几何体的三视图如图所示,则该几何
体的体积为
.
解析:几何体上部是圆锥,下部是圆柱,所以几何体的体积为π·12×4+ 1 × 3
22π×2= 20π . 3
答案: 20π 3
4.(2018·杭州高一期中)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积
是
;表面积是
.
解析:由题意几何体是棱长为 2 的正方体,挖去一底面半径为 1,高为 1 的圆锥,
π rl+π
r2
. .
圆台
上底面面积:S上底= 下底面面积:S下底=
π r′2 . π r2 .
侧面积:S侧= π l(r+r′) .
表面积:S= π (r′2+r2+r′l+rl) .
2.柱体、锥体、台体的体积公式 柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高);
必修二_1.3_空间几何体的表面积和体积同步练习和详细答案
1.3空间几何体的表面积和体积【知识总结】1. 多面体的面积和体积公式名称 侧面积（S 侧） 全面积（S 全）体积（V ）棱 棱柱 直截面周长x IS 侧+2S 底S底• h=S 直截面• h柱直棱柱 chS 底• h「棱锥棱锥 各侧面积之和1S 底• h3 正棱锥 1『 —ch 2S 侧+S 底棱台各侧面面积之和1—h(S 上底+S 下底+3棱 台正棱台1一 (c+c ' )h '2S 侧+S 上底+S 下底S 下底’S 下底）表中表示面积，'、分别表示上、下底面周长，表斜咼，'表示斜咼，表示侧棱长。
2 .旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S 侧 2 n rl n rl n (r 1+「2)lS 全 2 n r(l+r) n r(l+r) 2 2n (r 1+r 2)l+ n (r 1+r24 n RVn r 2h(即 n r 2l)1r 2h —n r h312 2—n h(r 1+r 1「2+r 2)3 43—n R3 表中I 、h 分别表示母线、咼，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r i 、「2分别表示圆台上、下底面半径，R 表示半径。
【知能训练】A:多面体的表面积和体积 一•选择题1.如图，在直三棱柱 ABC-ABC i 中，AA=AB=2 BC=1, / ABC=90，若规 定主（正）视方向垂直平面 ACCA ,则此三棱柱的左视图的面积为 （ ）A.—— B . 2 - C . 4 D . 22•某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底 边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、 高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为（）3.—个棱锥被平行于底面的平面所截，如果截面面积与底面面积之比为1: 2，则截面把棱锥的一条侧棱分成的两段之比是（）A . 1 : 4B . 1 : 2C . 1 : （ "- 1 ）D . 1: （ 一+1 ） 4.正六棱台的两底边长分别为1cm, 2cm,高是1cm,它的侧面积为（）A . 80B . 24 一+88C. 24 一+40 D . 118A .9 ~ 2cm2B . 9 cmC. - cm 22D. 3 cm5. 要制作一个容积为 4卅，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20元，侧面造价是每平方米 10元，则该容器的最低总造价是（ ）A . 80 元B . 120 元C . 160 元D. 240 元6. （文） 四棱锥S-ABCD 的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱 锥及其三视图如图（AB 平行于主视图投影平面）则四棱锥 A . 24 B . 18 C . - - D . 87. 某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（ A . 48B . 56C . 64D. 72&各棱长均为a 的三棱锥的表面积为（ ）A. 4 _a 2B . 3 "a 2C .2 _a 2D9.已知一个四棱锥的高为 3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（）10. 如图，在三棱柱 ABC-ABC 中，D, E , F 分别是AB, AC, AA 的中点，设三棱锥 F-ADE的体积为V 1,三棱柱 ABG-ABC 的体积为V 2,则V 1： V ___________________________________ .11. _______ 将边长为2的正方形沿对角线 AC 折起，以A, B, C, D 为顶点的三棱锥的体积最大值等 于 ____ .12.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA=8.若AAB 1B 水平放置时，液面恰好过AC BC, AC , BC 的中点，则当底面 ABC 水平放置时，液面的高为 _________________ . 13. 四棱锥P-ABCD 的底面ABCE 为正方形，且PD 垂直于底面 ABCD N 为PB 中点，则三棱锥 P-ANC 与四棱锥P-ABCD 的体积比为 ________________ .14.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示.若该四棱锥的侧视图为S-ABCD 的体积=( )A .B . 6C. -D . 2直角三角形，则它的体积为_________________15.如图所示，在三棱柱ABC-ABQ 中，AB=AC=AA=2, BC=2 ；且/ AAB=/ A i AC=60，则该三棱柱的体积是_________________________ .B：旋转体的表面积和体积1•如果圆锥的底面半径为，高为2,那么它的侧面积是（）A. 4 n B . 2 n C . 2 n D . 4 n2.一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A. 5 nB. 4 nC. 3 nD. 2 n3•如果圆锥的轴截面是正三角形（此圆锥也称等边圆锥），则此圆锥的侧面积与全面积的比是（）A. 1 : 2 B. 2: 3 C. 1 : 一 D. 2: _4•圆锥侧面积为全面积的，则圆锥的侧面展开图圆心角等于（）A. - nB. nC. 2 nD.以上都不对5.圆台的上、下底面半径和高的比为 1 : 4: 4，母线长为10,则圆台的侧面积为（)A. 81 nB. 100 nC. 14 nD. 169 n6.已知球的直径SC=8 A, B是该球球面上的两点，AB=2 ，/ SCAN SCB=60，则三棱锥S-ABC 的体积为（）A. 2 ~B. 4 ~C. 6 ~D. 8 ~7.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S、S,则S:Sa=（）A. 1 : 1B. 2: 1C. 3: 2D. 4: 1&若两个球的表面积之比为1: 4,则这两个球的体积之比为（）A. 1 : 2B. 1 : 4C. 1 : 8D. 1 : 169.体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S , S, S3,那么它们的大小关系为（）A. S1 v S2 v S3B. S1 v S3V S2C. S2V S3 v S1D. S2 v S1 v S3二.填空题（共5小题）10.圆锥和圆柱的底面半径和高都是R,则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为________________n和n的矩形, 11 .已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为则该圆柱的体积是____________________12.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm,母线长最短50cm,最长80cm,则斜截圆柱的侧面面积S= cm 2.13.球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于14•已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球为O的表面积为15.已知A, B, C是球面上三点，且AB=AC=4cm/ BAC=90，若球心O到平面ABC的距离为2 ，则该球的表面积为cm3.11.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD7卜接球表面积为三.解答题(共3小题)16•如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成•已知球的直径是6cm,圆柱筒长2cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm (结果精确到0.1 ) ?(2 )要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？17.(文)如图，球O的半径长为10(1)求球O的表面积；(2)求球O的体积；(3)若球O的小圆直径AB=3Q求A、B两点的球面距离.18.设底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O.(1)求球O的体积和表面积；(2)与底面距离为1的平面和球的截面圆为M AB是圆M内的一条弦，其长为2 ，求AB 两点间的球面距离.参考答案: A:I、A 2、B 3、C 4、A 5、C 6、D 7、C 8、D 9、D10、解:因芮D，E，分S］是Ab肌的中自所以血虫DE；S AA BC=1:仆又F是宜納的中点，所以A T aS面的范离H为F到虧面距离h的2倍• 即三複栓盘卩1门-2匚的壽是三棱穩F-ME高的7倍-斷以如；畑空兰空=4T=1：西.故答案为1； 24.II、铅：妇也肪示，评正方也就口叭対術钱M * 3DSt + iO>甲n折更启的位豈为F・连揺即‘ *苛一TAZJLBC，AC l-BD* - BaflD- QrO--ACX 耶®IT g匡b> =楼帕的作祗対V D -kBC"v^EOC' -^Vc-BCC~ ；BCD' k AO*j52kBOD' x J S^ISOD_卞航:王方世的迪丢为2・可J?■■- BOD ft AH - To LABC谜劉昴尢值■*：S/\ 二 0D* =? x j^x忑小血乂目□力'二w in上aoii *’，丄i ?rv「.q-TTY-M' l「=丄工」•王5V.怡巧「此t」导.乂RJ农虻-土故告案为；半12、解：不妨令此三棱柱为直三棱柱，如图当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形.设△ ABC的面积为S，贝U S梯形ABFE= S，V水=S? AA1=6S .当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水=Sh，••• 6S=Sh，.•• h=6 .故当底面ABC水平放置时，液面高为6 .故答案为：613、1:4 14、15、2解:團柱的側面展开囹星长利员务别为和TT的矩用，当毋线为戈氏时，區1桂的庙面半襌是扌此时囿桂体粮是（l）1 2Ttx3it=^;当母线为H时，圆柱酌展面半轻是学此时圆柱的体釈是（芥II"二竺匕£-t 4综上所求圈柱的体稅杲：—16、解：（1 ）T该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm ,•••半球的直径也是6cm,可得半径R=3cm,•两个半球的体积之和为V球=-冗R = - n ? 27 = 6 n cm3 * S 6…（2分）斗412、解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，侧面展开图的面积 S=[ （ 50+80） X 20 n x 2]/2=2600 n cm2. 故答案为：2600 n13、 3 14、8 n 15、64 n学习参考而V 圆柱=n R ? h= n X 9X = n cm3…（2 分）•该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=36 n +18 n =54 n" 169.6cm 3…（4分）（2）根据题意，上下两个半球的表面积是S 球表= n R = Xn X 9= 6 n cm?…（6 分）而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S圆柱侧=2 n Rh=2 Xn X 3 X 2=12 n cm2…（8分）6 n n n• 1个“浮球”的表面积为S = —0一= —m因此，2500个“浮球”的表面积的和为2500 S = 00 X —= n m2…（10分）•/每平方米需要涂胶100克，•总共需要胶的质量为：100 X 12 n =1200 n （克）…（12分）答：这种浮球的体积约为169.6cm 3;供需胶1200 n克.…（13分）17、解：（1）球的表面积为4 n r 2=1200 n ; …（4分）（2）球的体积V=-n r3= 4000 _n ; …（8 分）（3）设球心为O,在△ AOB中，球O的小圆直径AB=30，球O的半径长为10解得Z AOB="，所以A、B两点的球面距离为0 n n . …（15分）18、解：（1）•••底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O,•球O的半径为2cm,.•.球O的体积为-n ? 2=,表面积4 n ? 22=16 n ;（2）•/ AB是圆M内的一条弦，其长为2 ,• Z AOB= n , • AB两点间的球面距离为".。
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件
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合作探究 提素养
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棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
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由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
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自主预习 探新知
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1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
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台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
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[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
高中数学1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”, 还原为锥体,采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
【题型探究】 类型一 柱体、锥体、台体的表面积 【典例】1.(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积为 ( )
2
四个侧面的面积和为(2+8+5×2)×10=200.
所以四棱柱的表面积为S=40+200=240.
【方法技巧】空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展 为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
2.旋转体的侧面积与表面积的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,可直接使用公式.但像 圆台的表面积公式比较复杂,不要求记忆,因此,表面积的求解方法是 最重要的. (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时,应根据条件计算旋转体的母 线长和底面圆的半径长. (3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路,主要 通过空间观念等有关知识,将立体几何问题转化为平面几何问题.
Байду номын сангаас
积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+12 ·2πr·2=2π+4,所以此几何体的
表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.
2.选D.由已知得l=2r,
S侧 S底
＝
rl r 2
＝
l r
＝2.
3.选D.几何体为直四棱柱,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4的
21-22版：1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(创新设计)
中心，则该圆柱的体积为________. 解析 由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱
锥的底面正方形对角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为 2，所以底
面正方形对角线长为 2，所以圆柱的底面半径为12.又因为四棱锥的侧棱长均为 5，所以四棱锥的高为 （ 5）2－12＝2，所以圆柱的高为 1.所以圆柱的体
∵S△A1D1E＝21EA1·A1D1＝41a2， 又三棱锥 F－A1D1E 的高为 CD＝a，
∴V 三棱锥 F－A1D1E＝13×a×14a2＝112a3，∴V 三棱锥 A1－D1EF＝112a3.
20
课前预习
课堂互动
课堂反馈
方向2 割补法求体积
【例3—2】 如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，
7
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@《创新设计》
【预习评价】
1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm，4 cm，5 cm，则长方体的体积为( )
A.27 cm3 B.60 cm3 C.64 cm3
D.125 cm3
解析 V长方体＝3×4×5＝60(cm3). 答案 B
8
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@《创新设计》
25
课前预习
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@《创新设计》
A.90π
B.63π
C.42π D.36π
解 析 (1) 如 图 所 示 的 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 的 棱 长 为 4 ， 去 掉 四 棱 柱 MQD1A1NPC1B1(其底面是一个上底为 2，下底为 4，高为 2 的直角梯形)所得的几 何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为 43－12×(2＋4)×2×4
高一数学人教A版必修2：1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积
第十一页，编辑于读教材P25－26，回答下列问题： 1．柱体的体积 (1)棱柱(圆柱)的高是指 两底面 之间的距离，即从一底面 上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的 交点)之间的距离． (2)柱体的底面积为S，高为h，其体积V＝ Sh .特别地，圆 柱的底面半径为r，高为h，其体积V＝ πr2h .
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第二十六页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[分析]明确几何体的形状及相应的体积公式是解决这类问 题的关键．因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面 下降部分实际是一个小圆柱，这个小圆柱的底面与玻璃杯的 底面一样，是一直径为20cm的圆，它的体积正好等于圆锥形 铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度．
第一章
空间几何体
第一章 空间几何体
第一页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
1．3 空间几何体的表面积与体积
第一章 空间几何体
第二页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
1．3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
第一章 空间几何体
第三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
第一章
第2课时 柱体、锥体、台体的体积
[答案] (6＋π)
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第三十三页，编辑于星期日：二十二点 二分。
[解析] 此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方 体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故V＝V长方体＋V圆 锥＝3×2×1＋π3×12×3＝(6＋π)m3.
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第一章 1.3 1.3.1 第2课时
第二十八页，编辑于星期日：二十二点 二分。
1.3空间几何体的表面积和体积
变题1.如果球O和这个正方体的六个面 2 都相切，则有S= a 。 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱 2 都相切，则有S= 2a 。
D A D1 A1 B C
O
C1 B1
变式练习.有三个球,一球切于正方体的各 面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方 体的各顶点,求这三个球的体积之比. 作轴截面
s3
R
O
s2 s1
4 3 V球 = πR 3 1 1 1 = RS1 + RS2 + RS3 +... 3 3 3 1 = R(S1 + S2 + S3 +...) 3 1 = RS球表 3
s3
R
O
s2 s1
S球表=4πR2
例4 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 求证： (1) 球的体积等于圆柱体积的2/3； (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。
7
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求他的表面积。
S
A
B C
练习:下图是一个几何体的三视图(单位:cm)想 象对应的几何体，并求出它的表面积 6
8
10
10
6 10
解：直观图是四棱台,侧 面是四个全等的梯形,上 下底面为不同的正方形
12
例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆 底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm， 盆壁长15cm。为了美化花盆的外观，需要涂 油漆。已知每平方米用100毫升油漆，涂100 个这样的花盆需要多少油漆（π取3.14，结果 精确到1毫升，可用计算器）？
S 4 R2 3 a 2
例５.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点 都在球O的球面上，问球O的表面积。
2014年人教A版必修二课件 1.3 空间几何体的表面积与体积
6 25 5 12
= 2[6 3 (24 + 12)]+ 612 5 + 6p 25 ≈1579.485 (mm2), 10000个零件的表面积约为15794850 mm2, 约合15.795平方米.
2. 如图是一种机器零件, 零件 下面是六棱柱 (底面是正六边形, 侧 面是全等的矩形) 形, 上面是圆柱 (尺寸如图, 单位: mm) 形, 电镀这 种零件需要用锌, 已知每平方米用 锌 0.11 kg, 问电镀 10000个零件需 要锌多少千克? (结果精确到 0.01 kg) 解: 这个零件的表面积为 S = S棱柱表+S圆柱侧
2. 柱体、锥体与台体的体积 问题 1. 还记得正方体、长方体、圆柱和圆锥的 体积公式吗? 由此类推柱体和锥体的体积公式如何? 你想想台体的体积怎样求? 柱体体积: V柱 = Sh (S 为底面面积, h为柱体高). 锥体体积: V锥 = 1 Sh (S 为底面面积, h为柱体高). 3 台体体积: V台 = V大锥体-V小锥体 (S为下底面积, S为上底面积, = 1 ( Sh大 - Sh小 ), 3 h 为台高). h S = ( 小 )2 , h大 - h小 = h, S h大 1 V台 = h( S + SS + S). 3
例 1. 已知棱长为 a, 各面均为等边三角形的四面 体 S-ABC, 求它的表面积. 解: 这四面体的表面是由 4 个全等 的等边三角形组成, A 所以它的表面积 S = 4S△SBC B D 在△SBC中, 边长为 a, SD为BC边上的高. a 2 2 = 3 a, 2 2 则 SD = SB - BD = a - ( ) 2 2 3 a2, 1 3 于是得 S△SBC= 1 BC SD = a a = 4 2 2 2 所以, 这个四面体的表面积为 3 S = 4 a 2= 3a 2 . 4
人教版数学高一必修二导学案 1.3空间几何体的表面积与体积
1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【考纲要求】[学习目标]1．通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的求法．2．能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体、柱体和锥体之间的转换关系．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．[目标解读]1．求柱体、锥体、台体的表面积与体积是重点；2．求组合体的表面积与体积是难点．【自主学习】1．多面体与旋转体的表面积公式图形表面积公式多面体多面体的表面积就是的面积的和，也就是的面积．旋转体圆柱底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝圆锥底面积：S底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V=(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V= .(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′，S，高为h，则V= .特别提醒：柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特征，必要时要展开．【考点突破】要点一柱体、锥体、台体的表面积1.求柱体、锥体、台体的侧面积或表面积时，可直接使用公式．但像台体的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的．2．在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算出以上旋转体的母线长和底面圆的半径长．3．这些公式的推导方法向我们揭示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间概念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题．典型例题1、已知四棱锥S－ABCD中，各侧面为正三角形，底面为正方形，且各棱长均为5，求它的侧面积、表面积．【思路启迪】由题意可知，四棱锥的四个侧面为全等的正三角形，底面为正方形．【解】设E为AB中点，则SE⊥AB，∴S侧＝4S△SAB＝4×12×AB×SE＝2×5×52－⎝⎛⎭⎫522＝25 3.S表＝S侧＋S底＝253＋25＝25(3＋1)．旋转体圆台上底面面积：S上底＝下底面面积：S下底＝侧面积：S侧＝表面积：S＝方法指导：求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．反馈训练1、若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A ．3:2B ．2:1C ．4:3D ．5:3 要点二 柱体、锥体、台体的体积求几何体的体积首先要明确几何体的形状及相应的体积公式，其次需要计算几何体的底面积和高．当几何体不规则或直接求体积有困难时，可利用转化思想，采用间接方法，如割补法等求其体积，也可借助体积公式和图形的性质转化为其他等体积的几何体，再求体积．典型例题2、已知过三棱台上底面的一边与一条侧棱平行的一个截面，它的两个顶点是下底面两边的中点，求棱台被分成两部分的体积的比．【思路启迪】 注意应用棱台和棱柱的体积公式．【解】 设棱台上底面△A ′B ′C ′的面积为S ′，棱台的高为h . 由题意可知：△A ′B ′C ′≌△DBE .∵△DBE ∽△ABC ，D ，E 分别是AB ，BC 的中点， ∴S △DBE S △ABC ＝14.∴S △ABC ＝4S ′. ∴V 台ABC －A ′B ′C ′＝13h ·(S ′＋S ′·4S ′＋4S ′)＝13h ·7S ′＝73h ·S ′， V 柱DBE －A ′B ′C ′＝S ′·h .∴棱台被分成的两部分体积比为4:3或3:4.方法指导：求几何体的体积要分清是由什么几何体构成，利用相应几何体的体积公式进行求解．反馈训练2、如图，在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，且PB 1=14A 1B 1，则多面体P －BCC 1B 1的体积为( )A.83B.163 C ．4 D ．16 要点三 三视图与几何体的表面积与体积把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的度量，再结合表面积或体积公式解题．典型例题3、(2012·江西卷)若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )A.112 B ．5 C.92D ．4 【思路启迪】 先根据三视图复原几何体，再根据几何体的特征与体积公式求其体积． 【解析】 由三视图可以判断该几何体为六棱柱，直观图如图所示．AB ＝1，AA 1＝1. V ABCDEF －A1B 1C 1D 1E 1F 1＝4×1＝4. 【答案】 D方法指导：根据三视图首先确定几何体的结构特征，再依据三视图中的数据进行相应的计算． 反馈训练3、(1)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )A ．32B ．16＋16 2C ．48D ．16＋32 2(2)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2π D.2π3考点巩固1．一个圆锥的全面积是底面积的4倍，则轴截面的面积是底面积的( ) A.152π倍 B.15π倍C.2π倍 D.22π倍2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A 1－BC 1D 的体积为( )A.23B.13C.14D.123．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )4．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．805．如图是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、AA 1的中点，现在沿三角形GFH 所在的平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的_____ ___．6．已知正三棱锥V－ABC的正视图，俯视图如图所示，其中VA=4，AC=23，求该三棱锥的表面积．7．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=a，BC=2a，∠DCB=60°，在平面ABCD 内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．考点巩固-答案1、解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h依题意得πr2＋πrl＝4πr2∴l＝3r，圆锥的高h＝(3r)2－r2＝22r故S 轴＝r ·22r ＝22r 2，S 轴S 底＝22π.答案：D2、解析：三棱锥A 1－BC 1D 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1去掉4个角得到的，其体积V ＝1×1×1－4×13×12×1×1＝13.答案：B3、解析：当俯视图为A 中正方形时，几何体为棱长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D 中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4.答案：C 4、解析：由该几何体的三视图得出原型为： S 四边形A1B 1C 1D 1＝4×2＝8， S 四边形ABCD ＝4×4＝16，四边形ADD 1A 1与四边形BCC 1B 1为全等的梯形，面积均为：(2＋4)×42＝12，四边形ABB 1A 1与四边形CDD 1C 1均为矩形，其中BB 1＝42＋1＝17，∴面积均为：4×17＝417.∴该几何体的全面积S ＝8＋16＋12×2＋417×2＝48＋817. 答案：C5、解析：因为锯掉的是正方体的一个角，所以HA 与AG 、AF 都垂直，即HA 垂直于三角形AGF 所在的正方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a ，则正方体的体积为a 3.三棱锥的底面是直角三角形AGF ，而∠FAG 为90°，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，∴AF ＝AG ＝12a ，∴S △AGF ＝12×12a ×12a ＝18a 2，又AH ＝12a ，∴锯掉一角的体积为V ＝13×12a ×18a 2＝148a 3，∴锯掉的这块的体积是原正方体体积的148.答案：1486、解：由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VA ＝VB ＝VC ＝4， AB ＝BC ＝AC ＝23， 取BC 的中点D ，连接VD ，则 VD ＝VB 2－BD 2＝42－(3)2＝13，∴S △VBC ＝12×VD ×BC ＝12×13×23＝39，S △ABC ＝12×(23)2×32＝33，∴三棱锥V －ABC 的表面积为3S △VBC ＋S △ABC ＝339＋33＝3(39＋3)． 7、解析：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6和8的矩形，高为4的四棱锥．设底面矩形为ABCD .如图所示，AB ＝8，BC ＝6，高VO ＝4. (1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥中侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形． 在△VBC 中，BC 边上的高 h 1＝VO 2＋⎝⎛⎭⎫AB 22＝42＋⎝⎛⎭⎫822＝4 2.在△VAB 中，AB 边上的高 h 2＝VO 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22＝42＋⎝⎛⎭⎫622＝5.所以此几何体的侧面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.8、解：如图，在梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°， ∴CD ＝BC －ADcos60°＝2a ，AB ＝CD sin60°＝3a ，∴DD ′＝AA ′－2AD ＝2BC －2AD ＝2a ， ∴DO ＝12DD ′＝a .由于以l 为轴将梯形ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．由上述计算知，圆柱母线长3a ，底面半径2a ，圆锥的母线长2a ，底面半径a . ∴圆柱的侧面积S 1＝2π·2a ·3a ＝43πa 2， 圆锥的侧面积S 2＝π·a ·2a ＝2πa 2，圆柱的底面积S 3＝π(2a )2＝4πa 2，圆锥的底面积S 4＝πa 2， ∴组合体上底面积S 5＝S 3－S 4＝3πa 2，∴旋转体的表面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 5＝(43＋9)πa 2.又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．V 柱＝Sh ＝π·(2a )2·3a ＝43πa 3.V 锥＝13S ′h ＝13·π·a 2·3a ＝33πa 3.∴V ＝V 柱－V 锥＝43πa 3－33πa 3＝1133πa 3.1.3.2球的体积和表面积【考纲要求】[学习目标]1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题． 3．培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力． [目标解读]1．球的表面积与体积公式的应用是重点；2．解决球的组合体及三视图中球的有关问题是难点． 【自主学习】1．球的体积公式是V 球 = (R 为球的半径)． 2．球的表面积公式是S 球 = (R 为球的半径)． 特别提醒：在球的截面中，经过球心的截面是最大的圆． 【考点突破】要点一 球的表面积与体积1.球的体积是球体所占空间的大小的度量，设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数即V =43πR 3.2．球的表面积是对球的表面大小的度量，它也是关于球半径的函数即S =4πR 2. 典型例题1、(1)已知球的直径为6cm ，求它的表面积和体积；(2)已知球的表面积为64π，求它的体积； (3)已知球的体积为5003π，求它的表面积．【思路启迪】 利用条件确定半径R 代入相关公式可求． 【解】 (1)∵直径为6cm ，∴半径R ＝3cm ， ∴表面积S 球＝4πR 2＝36π(cm 2)， 体积V 球＝43πR 3＝36π(cm 3)．(2)∵S 球＝4πR 2＝64π，∴R 2＝16，即R ＝4， ∴V 球＝43πR 3＝43π×43＝2563π.(3)∵V 球＝43πR 3＝5003π方法指导：已知球半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径．反馈训练1、(1)把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为 ( ) A ．R B ．2R C ．3R D ．4R(2)若两球表面积之比为4:9，则其体积之比为__ ___． 要点二 球的切接问题球通常可以与其他空间几何体构成一个组合体，主要包括“内切”和“外接”等有关的问题，像长方体内接于球，正方体内接于球，正四面体内接于球，球内切于正方体，球内切于正四面体，球内切于圆台等组合体．解决这类问题的关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．典型例题2、正三棱锥(三棱锥的底面是正三角形，顶点在底面的投影是底面三角形的中心)的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的全面积和球的表面积．【思路启迪】 本题关键是求出球的半径．类比三角形内切圆半径的求法(即分割法)，求出三棱锥内切球半径．【解】：如图，过侧棱PA 与球心O 作截面PAE ，交侧面PBC 于PE .∵△ABC 为正三角形，易知AE 既是△ABC 底边BC 上的高，又是BC 边上的中线． 作正三棱锥的高PD ，则PD 过球心O ，且D 是正△ABC 的中心， ∵AB ＝26，∴DE ＝13AE ＝13·32AB ＝ 2.∴PE ＝12＋(2)2＝ 3.∴S 全＝S 侧＋S 底＝3·12·26·3＋34(26)2＝92＋63，即棱锥的全面积为92＋6 3.以球心为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，球半径为r . 则V 1＋V 2＋V 3＋V 4＝13r ·S 全＝13h ·S △ABC ，∴r ＝S △ABC ·hS 全＝34·(26)2·192＋63＝6－2，∴S 球＝4πr 2＝4π(6－2)2. 方法指导：(1)与球有关的组合体问题一种是内切，一种是外接，明确切点和接点的位置，并作出合适的截面图，是确定有关元素间的数量关系的关键．(2)球外接于正方体、长方体时，正方体、长方体的对角线长等于球的直径．(3)球与旋转体的组合，通常作轴截面解题．反馈训练2、有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积．要点三球的截面问题解决球的问题时常常用到球的轴截面，在轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心与圆心的连线所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置．典型例题3、已知球的两平行截面的面积为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的表面积．【思路启迪】要求球的表面积，只需求出球的半径，因此要抓住球的轴截面(过直径的球的平面)．【解】如图所示，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x，那么可得下列关系式：r22＝R2－x2且πr22＝π(R2－x2)＝8π，r21＝R2－(x＋1)2且πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π，于是π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π，即R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3，∴2x＝2，即x＝1.又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3.球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π(平方单位)．方法指导：球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为圆的问题(平面问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．反馈训练3、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.32π3 B.8π3 C ．82π D.82π3考点巩固1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．22倍 C.2倍D ．32倍2．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为( )A ．4:3B ．3:1C ．3:2D ．9:43．某几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A.⎝⎛⎭⎫8＋4π3m 3 B.⎝⎛⎭⎫8＋2π3m 3 C.⎝⎛⎭⎫4＋4π3m 3 D.⎝⎛⎭⎫4＋2π3m 3 4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．5．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为__________．6．据说伟大的阿基米德死了以后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑．在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点在圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图形中圆锥、球、圆柱的体积之比．7．一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少．8．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC＝30°)考点巩固-答案1、解析：设原来球的半径为r ，变化后的球半径为r ′， ∴4πr ′2＝2·4πr 2，∴r ′＝2r . ∴V ′V ＝43πr ′343πr 3＝(2r )3r3＝2 2. 答案：B2、解析：作轴截面如图，则PO ＝2OD ，∠CPB ＝30°，CB ＝33PC ＝3r ，PB ＝ 23r ，圆锥侧面积S 1＝6πr 2，球的面积S 2＝4πr 2，S 1:S 2＝3:2. 答案：C3、解析：该几何体是一棱长为2的正方体，上面放了一个半径为1的半球，所以其体积为23＋2π3＝8＋2π3(m 3)． 答案：B4、解析：据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如上图所示． 故该几何体的表面积为S ＝S 圆柱＋S 球＝2π＋6π＋4π＝12π. 答案：12π5、解析：设两圆锥高分别为h 1，h 2，(设h 2<h 1)球半径为R ，圆锥底面半径为r ，如图，S 1S 2＝2R ，AO 1＝r ，且∠S 1AS 2＝90°，AO 1⊥S 2S 1，∴AO 21＝S 1O 1·S 2O 1， 即r 2＝h 1h 2，又∵πr 2＝3164πR 2，∴r ＝32R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧h 1h 2＝34R 2h 1＋h 2＝2R∴h 1，h 2分别为32R ，12R ，∴h 2h 1＝13.答案：136、解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则V 圆柱＝πr 2h ， 图中圆锥的底面半径为r ，高为h ，则V 圆锥＝13πr 2h ，球的半径为r ，所以V 球＝43πr 3，又h ＝2r所以V 圆锥:V 球:V 圆柱＝⎝⎛⎭⎫13πr 2h :⎝⎛⎭⎫43πr 3: (πr 2h ) ＝⎝⎛⎭⎫23πr 3:⎝⎛⎭⎫43πr 3: (2πr 3)＝1:2:3.7、解：设球未取出时高PC ＝h ，球取出后水面高PH ＝x .如图所示，∵AC ＝3r ，PC ＝3r ，∴以AB 为底面直径的圆锥容积为V 圆锥＝13πAC 2·PC ＝13π(3r )2·3r ＝3πr 3，V 球＝43πr 3.球取出后水面下降到EF ，水的体积为 V 水＝13πEH 2·PH＝13π(PH ·tan30°)2·PH ＝19πx 3. 而V 水＝V 圆锥－V 球，即19πx 3＝3πr 3－43πr 3，∴x ＝315r . 故球取出后水面的高为315r . 8、解：如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1.在半圆中可得∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝2R ， ∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R . ∴S 球＝4πR 2，S 圆锥AO 1侧＝π×32R ×3R ＝3π2R 2，S 圆锥BO 1侧＝π×32R ×R ＝3π2R 2， ∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 1侧＋S 圆锥BO 1侧 ＝11π2R 2＋3π2R 2＝11＋32πR 2. 故旋转所得几何体的表面积为11＋32πR 2. 章末小结【知识框架】。
1.3-空间几何体的表面积与体积-教学设计-教案
教学准备1. 教学目标1、知识与技能（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
~（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3、情感与价值通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。
从而增强学习的积极性。
2. 教学重点/难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算难点：台体体积公式的推导3. 教学用具投影仪等.~4. 标签数学，立体几何教学过程1、创设情境（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积引导学生回忆，互相交流，教师归类。
（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的你能否计算引入本节内容。
2、探究新知（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图$（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成表面积如何求（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
3、质疑答辩、排难解惑、发展思维（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
!（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。
如图：（4）教师指导学生思考，比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在的关系。
(s’,s分别我上下底面面积，h为台柱高)4、例题分析讲解!（课本）例1、例2、例35、巩固深化、反馈矫正教师投影练习1、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为。
1.3.2.球的表面积与体积
∴r＝ 2，故选C.
根据三视图计算球的体积与表面积
学法指导 三视图中球的有关计算问题
(1)由三视图求简单组合体的表面积或体积时，最重要 的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据 的含义，根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面 积或体积． (2)计算球与球的组合体的表面积与体积时要恰当地分 割与拼接，避免重叠和交叉等．
的半径之间的关系．
一个球的大圆面积扩大到原来的100倍，那么这个球的 体积有什么变化？
[答案]
球的体积扩大到原来1 000倍．
（2）两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球 的半径为( A．2 C. 2 3 ) B. 2 13 D. 4 2
[答案] C
[解析] 3
4 3 4π 设大球半径为r，则 πr ＝2× ， 3 3
一个长、宽、高分别为2,1,2的长方体，则它的外接球的 表面积为________，体积为________．
9 [答案] 9π， π. 2
[解析] 4 3 9 ＝3πR ＝2π
2R＝ 2 ＋1 ＋2
2
2
2
3 ∴R＝ ，S＝4πR2＝9π， S 2
思路方法技巧
球的表面积与体积
学法指导 求球的表面积与体积的方法：
[答案]
8π
[解析] S＝4π×( 2)2＝8π.
3．与球的关的组合体问题 (1)若一个长方体内接于一个半径为R的球，则2R＝ a2＋b2＋c2 (a、b、c分别为长方体的长、宽、高)，若正方体 内接于球，则2R＝ 3a(a为正方体的棱长)； (2)半径为R的球内切于棱长为a的正方体的每个面，则2R ＝a.
(2)设木星和地球的半径分别为r、R. 依题意，有4πr2＝120×4πR2，解得r＝2 30R. 4 3 4 3 π r π 2 30 R V木 3 3 所以 ＝ ＝ ＝240 30. 4 3 V地 4 3 3πR 3πR 故木星的体积约是地球体积是240 30倍．
空间几何体表面积和体积公式
空间几何体表面积和体积公式空间几何体是在三维空间中存在的物体，它们可以有不同的形状和大小。
对于任何空间几何体，我们都可以计算出它的表面积和体积。
表面积是指几何体外部的总表面面积。
不同类型的几何体有不同的计算公式。
对于立方体来说，它的表面积等于六个面的面积之和。
每个面的面积都相等，可以通过计算边长的平方来得到。
所以立方体的表面积公式为：表面积 = 6 * a^2 （其中a为边长）。
对于球体来说，它的表面积等于球的半径的平方乘以4π。
所以球体的表面积公式为：表面积= 4π * r^2 （其中r为半径）。
对于圆柱体来说，它的表面积由两个圆面和一个侧面组成。
圆柱的底面积为π * r^2，所以两个圆面的面积之和为2π * r^2。
侧面是一个矩形，它的长等于圆周长2πr，宽等于圆柱的高h。
所以圆柱体的表面积公式为：表面积= 2π * r^2 + 2πrh。
体积是指几何体所占据的空间大小。
与表面积一样，不同类型的几何体有不同的计算公式。
对于立方体来说，它的体积等于边长的立方。
所以立方体的体积公式为：体积 = a^3 （其中a为边长）。
对于球体来说，它的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方。
所以球体的体积公式为：体积= (4/3)π * r^3 （其中r为半径）。
对于圆柱体来说，它的体积等于底面积乘以高。
所以圆柱体的体积公式为：体积= π * r^2 * h （其中r为底面半径，h为高）。
除了立方体、球体和圆柱体，还有许多其他类型的空间几何体，它们的表面积和体积公式也各不相同。
想要计算某个具体几何体的表面积和体积，需要根据其特定的形状和尺寸选择相应的计算公式进行计算。
空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积与体积一、基础知识1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式S＝2πrl S＝πrl S＝π(r＋r′)l①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.②圆台、圆柱、圆锥的转化当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：2．空间几何体的表面积与体积公式二、常用结论几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 考点一 空间几何体的表面积[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π(2)(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )A ．4＋4 2B ．42＋2C ．8＋4 2D.83[解析] (1)设圆柱的轴截面的边长为x ， 则x 2＝8，得x ＝22，∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22 ＝12π.故选B.(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P ABCD ，如图所示，其中P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且P A ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和，即S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋42，故选A. [答案] (1)B (2)A [题组训练]1．(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A ．28B ．24＋25C ．20＋4 5D ．20＋25解析：选B 如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE DCMH ，则该几何体的表面积S ＝(2×2)×5＋⎝⎛⎭⎫12×1×2×2＋2×1＋2×5＝24＋2 5.故选B.2．(2018·郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．20＋2πB ．24＋(2－1)πC ．24＋(2－2)πD ．20＋(2＋1)π解析：选B 由三视图知，该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积S ＝6×22－π×12＋π×1×2＝24＋(2－1)π，故选B. 考点二 空间几何体的体积[典例] (1)(2019·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A ．4πB ．2π C.4π3D ．π(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 的体积为________．[解析] (1)直接法由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝31＝3，得α＝π3，故底面面积为12×π3×22＝2π3，则该几何体的体积为2π3×3＝2π.(2)法一：直接法连接A 1C 1交B 1D 1于点E ，则A 1E ⊥B 1D 1，A 1E ⊥BB 1，则A 1E ⊥平面BB 1D 1D ，所以A 1E 为四棱锥A 1BB 1D 1D 的高，且A 1E ＝22， 矩形BB 1D 1D 的长和宽分别为2，1， 故V A 1BB 1D 1D ＝13×(1×2)×22＝13.法二：割补法连接BD 1，则四棱锥A 1BB 1D 1D 分成两个三棱锥B A 1DD 1与B A 1B 1D 1，所以V A 1BB 1D 1D ＝V B A 1DD 1＋V B A 1B 1D 1＝13×12×1×1×1＋13×12×1×1×1＝13.[答案] (1)B (2)13[题组训练]1.(等体积法)如图所示，已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64解析：选A 三棱锥B 1ABC 1的体积等于三棱锥A B 1BC 1的体积，三棱锥A B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 2.(割补法)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：选C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD A ′B ′C ′D ′所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3－2×12×3×32×2＝15，故选C.3.(直接法)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π 解析：选C 由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×4π3×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π. 考点三 与球有关的切、接问题考法(一) 球与柱体的切、接问题[典例] (2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．[解析] 设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32.[答案] 32考法(二) 球与锥体的切、接问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC 体积的最大值为( )A ．123B ．183C ．24 3D ．543[解析] 由等边△ABC 的面积为93，可得34AB 2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.[答案] B[题组训练]1．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4π B.163πC.323π D ．16π解析：选D 如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心， 于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝ 12＋(3)2＝2. 故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.2．三棱锥P ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．解析：由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6，球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ，设DA ＝DB ＝DC ＝x ，所以x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝564，所以R 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫PC 22＝758＋1＝838(其中R 为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝832π. 答案：832π[课时跟踪检测]1．(2019·深圳摸底)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为( )A.932 B.916 C.38D.316解析：选A 由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r ，则22＝12＋r 2，所以r 2＝3，所以所得截面的面积与球的体积的比值为π×343π×23＝932，故选A.2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．8C ．16D ．20解析：选B 由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为2的三角形，三棱锥的高为4，所以体积为V ＝13×12×6×2×4＝8.故选B.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：选B 设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V ＝14×13π×r 2×5＝π12×⎝⎛⎭⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)． 4．(2018·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1 cm 的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．35 cm 3B ．40 cm 3C ．70 cm 3D ．75 cm 3解析：选A 结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、宽、高分别为5 cm,5 cm,1 cm 的长方体，长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm 的长方体，棱长为1 cm 的正方体，故该组合体的体积V ＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm 3)．故选A.5．(2019·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1 B.12 C.13D.14解析：选C 法一：该几何体的直观图为四棱锥S ABCD ，如图，SD ⊥平面ABCD ，且SD ＝1，四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝DC ＝1，连接BD ，由题意知BD ⊥DC ，BD ⊥AB ，且BD ＝1，所以S 四边形ABCD ＝1，所以V S ABCD ＝13S四边形ABCD·SD ＝13，故选C.法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V ＝13Sh ，其中S 指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S ＝1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h ＝1，所以V ＝13Sh ＝13，故选C.6．(2019·重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )A.83π3＋833B.43π3＋833C.43π3＋433D.83π3＋433解析：选B 由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆锥的底面半径为2、高为42－22＝23，三棱锥的底面是斜边为4、高为2的等腰直角三角形，三棱锥的高为23，所以该组合体的体积V ＝12×13π×22×23＋13×12×4×2×23＝43π3＋833，故选B. 7．(2019·湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为( )A ．16＋12πB ．32＋12πC ．24＋12πD ．32＋20π解析：选A 由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为22，该几何体的表面积S ＝12×4π×22＋π×22＋22×2×4＝12π＋16，故选A.8．(2019·福州质检)已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC A 1B 1C 1外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π解析：选C 如图所示，设底面边长为a ，则底面面积为34a 2＝334，所以a ＝ 3.又一个侧面的周长为63，所以AA 1＝2 3.设E ，D 分别为上、下底面的中心，连接DE ，设DE 的中点为O ，则点O 即为正三棱柱ABC A 1B 1C 1的外接球的球心，连接OA 1，A 1E ，则OE ＝3，A 1E ＝3×32×23＝1.在直角三角形OEA 1中，OA 1＝12＋(3)2＝2，即外接球的半径R ＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.9．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为 3. 设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32，所以这个球的体积为43πR 3＝4π3×278＝9π2.答案：9π2 10．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V ＝(1＋2)×12×1＝32. 答案：3211．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的高为________．解析：设圆锥底面半径是r ，母线长为l ，所以πr 2＋πrl ＝π，即r 2＋rl ＝1，根据圆心角公式2π3＝2πr l ，即l ＝3r ，所以解得r ＝12，l ＝32，那么高h ＝l 2－r 2＝ 2. 答案：212．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接AO ，OB ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，设球O 的半径为R ，则OA ＝OB ＝R ，SC ＝2R .∴V S ABC ＝V A SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×⎝⎛⎭⎫12×SC ×OB ×AO ，即9＝13×⎝⎛⎭⎫12×2R ×R ×R ，解得 R ＝3， ∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.答案：36π13.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求：(1)该几何体的体积；(2)截面ABC 的面积．解：(1)过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2，则该几何体的体积V ＝VA 1B 1C 1A 2B 2C ＋VC ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6. (2)在△ABC 中，AB ＝22＋(4－3)2＝5，BC ＝22＋(3－2)2＝5，AC ＝(22)2＋(4－2)2＝2 3.则S △ABC ＝12×23×(5)2－(3)2＝ 6.14.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ACD 的体积63，求该三棱锥E ACD 的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥AC .因为BD ∩BE ＝B ，BD ⊂平面BED ，BE ⊂平面BED ， 所以AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝3 2x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝2 2x.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACD＝13·12AC·GD·BE＝624x3＝63，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥EACD的侧面积为3＋2 5.。
1、3 空间几何体的表面积与体积
例1、已知棱长为a, 各面均为等边三角形的四 面体S ABC (如下图), 求它的表面积.
S
A B D C
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圆柱的展开图是一个矩形：
如果圆柱的底面半径为 r ，母线为 l ，那么圆柱 r 2，侧面积为 2rl 。因此圆柱的 的底面积为 表面积为
S 2r 2rl 2r (r l )
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
D A O D1 A1 B1 B
C A
D B O D1 A1 B1
C
略解：
RtB1 D1 D中 : B1 D 2 R，B1 D 2a 3 a 2
C1
C1
(2 R) 2 a 2 ( 2a) 2 , 得：R S 4R 2 3a 2
1.一种方法: “分割,求和,取极限”的数学方法. 2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观 点. 3.二个公式
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'2 2 '
2Байду номын сангаас `
O`
2r
O
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例2 如下图, 一个圆台形花盆直径为 cm, 盆底 20 直径为 cm, 底部渗水圆孔直径为 .5cm, 盆壁长 15 1 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米(取 3.14, 结果精确到 cm) ? 1
10cm
15cm
7.5cm
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第二步：求近似和
S i
hi
O O
Vi
1 Vi S i hi 3
由第一步得： V V1 V2 V3 ... Vn
高中数学苏教版必修2讲义：第一章 1.3 空间几何体的表面积和体积
第1课时空间几何体的表面积(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱．(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱．(3)正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心的棱锥．(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分.观察下列多面体：问题1：直棱柱的侧面展开图是什么？提示：以底面周长为长，高为宽的矩形．问题2：正棱锥的侧面展开图是什么？提示：若干个全等的等腰三角形．问题3：正棱台的侧面展开图是什么？提示：若干个全等的等腰梯形．几个特殊的多面体的侧面积公式(1)S 直棱柱侧＝ch (h 为直棱柱的高)； (2)S 正棱锥侧＝12ch ′(h ′为斜高)；(3)S 正棱台侧＝12(c ＋c ′)h ′(h ′为斜高).观察下列旋转体：问题1：圆柱的侧面展开图是什么？ 提示：以底面周长为长，高为宽的矩形． 问题2：圆锥的侧面展开图是什么？ 提示：扇形．问题3：圆台的侧面展开图是什么？ 提示：扇环．几种旋转体的侧面积公式 (1)S 圆柱侧＝cl ＝2πrl ． (2)S 圆锥侧＝12cl ＝πrl ．(3)S 圆台侧＝12(c ＋c ′)h ＝π(r ＋r ′)l ．1．柱、锥、台的表面积即全面积应为侧面积与底面积的和．2．柱、锥、台的侧面积的求法要注意柱、锥、台的几何特性，必要时要展开． 3．柱、锥、台的侧面积之间的关系(1)正棱柱、正棱锥、正棱台侧面积之间的关系： S 正棱柱侧――→h ′＝hc ′＝cS 正棱台侧――→c ′＝0S 正棱锥侧. (2)圆柱、圆锥、圆台表面积之间的关系： S 圆柱侧――→r 1＝r 2S 圆台侧――→r 1＝0S 圆锥侧.[例1] 正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的表面积．[思路点拨] 由S 侧与S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．[精解详析] 如图，设PO ＝3，PE 是斜高，∵S 侧＝2S 底，∴4·12·BC ·PE ＝2BC 2.∴BC ＝PE .在Rt △POE 中，PO ＝3，OE ＝12BC ＝12PE .∴9＋(PE2)2＝PE 2.∴PE ＝2 3.∴S 底＝BC 2＝PE 2＝(23)2＝12. S 侧＝2S 底＝2×12＝24. ∴S 表＝S 底＋S 侧＝12＋24＝36.[一点通] 求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱．求解时要注意直角三角形和梯形的应用．1．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为________．解析：三棱锥的每个面(正三角形)的面积都是34，所以三棱锥 的表面积为4×34＝ 3. ★★答案★★： 32．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是________．解析：设直棱柱底面边长为a ，高为h ，则h ＝6－2＝2，a ＝2×22＝1， 所以S 棱柱侧＝4×1×2＝8. ★★答案★★：83．正四棱台的高是12 cm ，两底面边长之差为10 cm ，表面积为512 cm 2，求底面的边长．解：如图，设上底面边长为x cm ，则下底面边长为(x ＋10)cm ，在Rt △E 1FE 中，EF ＝x ＋10－x2＝5(cm)．∵E 1F ＝12 cm ，∴斜高E 1E ＝13 cm. ∴S 侧＝4×12(x ＋x ＋10)×13＝52(x ＋5)，S 表＝52(x ＋5)＋x 2＋(x ＋10)2＝2x 2＋72x ＋360. ∵S 表＝512 cm 2， ∴2x 2＋72x ＋360＝512. 解得x 1＝－38(舍去)，x 2＝2. ∴x 2＋10＝12.∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm 、12 cm.[例2] 圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？[思路点拨] 解答本题可先把空间问题转化为平面问题，即在展开图内求母线的长，再进一步代入侧面积公式求出侧面积，进而求出表面积．[精解详析]如图所示，设圆台的上底面周长为c ，因为扇环的圆心角是180°，故c ＝π·SA ＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，∴S表面积＝S侧＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．故圆台的表面积为1 100πcm2.[一点通](1)求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，只需求出上、下底半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面．(2)对于与旋转体有关的组合体的侧面积和表面积问题，首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成，然后再根据条件求各个简单组合体的半径和母线长，注意方程思想的应用．4．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是________．解析：根据轴截面面积是3，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.★★答案★★：3π5．如图所示，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．解：设圆柱的底面半径为x，圆锥高h＝42－22＝23，画轴截面积图(如图)，则3 23＝2－x2.故圆锥内接圆柱的底半径x＝1.则圆柱的表面积S＝2π·12＋2π·1·3＝(2＋23)π.6．一个直角梯形的上、下底的半径和高的比为1∶2∶3，求它绕垂直于上、下底的腰旋转后形成的圆台的上底面积、下底面积和侧面积的比．解：如图所示，设上、下底的半径和高分别为x、2x、3x，则母线长l＝（2x－x）2＋（3x）2＝2x，∴S上底＝πx2，S下底＝π(2x)2＝4πx2，S侧＝π(x＋2x)·2x＝6πx2，∴圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶4∶6.1．正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数．2．棱台是由棱锥所截得到的，因此棱台的侧面积可由大小棱锥侧面积作差得到．3．旋转体的轴截面是化空间问题为平面问题的重要工具，因为在轴截面中集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系．在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用．课下能力提升(十)1．一个圆锥的底面半径为2，高为23，则圆锥的侧面积为________．解析：S侧＝πRl＝π×2×（23）2＋22＝8π.★★答案★★：8π2．正三棱锥的底面边长为a，高为33a，则此棱锥的侧面积为________．解析：如图，在正三棱锥S-ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连结AO并延长与BC相交于点M，连结SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h ′＝（33a ）2＋（36a ）2＝156a ，所以侧面积S ＝3×12×156a ×a ＝154a 2. ★★答案★★：154a 23．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．解析：设圆台的上、下底面半径分别为r ′、r ，则母线l ＝12(r ′＋r )．∴S 侧＝π(r ＋r ′)·l ＝π·2l ·l ＝2πl 2＝32π.∴l ＝4.★★答案★★：44．一个圆柱的底面面积是S ，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为________．解析：设圆柱的底面半径为R ，则S ＝πR 2，R ＝Sπ，底面周长c ＝2πR . 故圆柱的侧面积为S 圆柱侧＝c 2＝(2πR )2＝4π2Sπ＝4πS .★★答案★★：4πS5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为________．解析：设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D 1AB 1C 为正四面体，每个面都是边长为2的正三角形，其表面积为4×12×2×62＝23，所以三棱锥D 1AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为1∶ 3.★★答案★★：1∶ 36．以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径．解：如图所示，设圆柱底面圆的半径为R ，高为h ，则圆锥的底面半径为R ，高为h ，设圆锥母线长为l ，则有l ＝R 2＋h 2.①依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2πRh ＝6，πRl ＝5，②由①②，得R ＝2ππ，即圆柱的底面半径为2ππ.7．设正三棱锥S -ABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的全面积．解：设正三棱锥底面边长为a ，斜高为h ′，如图所示，过O 作OE ⊥AB ，则SE ⊥AB ，即SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12×3a ×h ′＝34a 2×2，∴a ＝3h ′. ∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2， ∴32＋(36×3h ′)2＝h ′2. ∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6. ∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 全＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3. 8.如图所示，表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1 m 、高为3 m 的圆柱形物体，上面是一个半球形体．如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1)?解：圆柱形物体的侧面面积S 1≈3.1×1×3＝9.3(m 2)，半球形物体的表面积为S 2≈2×3.1×(12)2≈1.6(m 2)， 所以S 1＋S 2≈9.3＋1.6＝10.9(m 2)． 10．9×150≈1 635(朵)．答：装饰这个花柱大约需要1 635朵鲜花．第2课时 空间几何体的体积观察下列几何体：问题1：你能否求出上述几何体的体积吗？ 提示：能．问题2：要求上述几何体的体积，需要知道什么？ 提示：底面积和高．柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体体积：V 柱体＝Sh ．其中S 为柱体的底面积，h 为高． (2)锥体体积：V 锥体＝13Sh ．其中S 为锥体的底面积，h 为高．(3)台体体积：V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．其中S ，S ′分别为台体的两底面面积，h 为台体的高.2009年12月4日，阿迪达斯和国际足联在开普敦共同发布2010年南非世界杯官方比赛用球“JABULANI ”，“JABULANI ”源于非洲祖鲁语，意为“普天同庆”，新的比赛用球在技术上取得历史性突破，设计上融入了南非元素．问题1：根据球的形成定义，体育比赛中用到的足球与数学中的球有何不同？ 提示：比赛中的足球是空心的，而数学中的球是实体球． 问题2：给你一个足球能否计算出这个足球表皮面积和体积？ 提示：能，只要知道球的半径即可求出．1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． 2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3．1．求柱、锥、台的体积要注意底面积与高的确定，必要时注意分割． 2．柱体、锥体、台体之间体积公式的关系3．要求球的表面积，只需求出球的半径．4．球的体积与球的半径的立方成正比，即球的体积是关于球的半径的增函数．[例1] (1)底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为2.且与该侧面内的底边所成的角为45°，求此三棱柱的体积．(2)如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝ 2.求此四棱锥的体积．[思路点拨] (1)由条件求出高和底面边长，再利用公式求体积；(2)解本题的关键是求四棱锥的高，可证明P A ⊥底面ABCD ，再利用公式求体积．[精解详析] (1)如图，由条件知此三棱柱为正三棱柱．∵正三棱柱的面对角线AB 1＝2. ∠B 1AB ＝45°.∴AB ＝2×sin 45°＝2＝BB 1. ∴V 三棱柱＝S △ABC ·BB 1＝34×(2)2×2＝62. (2)在△P AD 中，P A ＝AD ＝1，PD ＝2， ∴P A 2＋AD 2＝PD 2.∴P A ⊥AD ，又P A ⊥CD ，且AD ∩CD ＝D ， ∴P A ⊥平面ABCD ，从而P A 是底面ABCD 上的高， ∴V 四棱锥＝13S 正方形ABCD ·P A ＝13×12×1＝13.[一点通] 求柱体、锥体的体积，关键是求其高，对柱体而言，高常与侧棱、斜高及其在底面的射影组成直角三角形，对棱锥而言，求高时，往往要用到线面垂直的判定方法，因为棱锥的高实际上是顶点向底面作垂线，垂线段的长度．1．一圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为240°，则该圆锥的体积为________． 解析：设圆锥侧面展开图的弧长为l ， 则l ＝240°×π×1180°＝4π3.设圆锥的底面半径为r ，则4π3＝2πr ，r ＝23.V ＝π3·⎝⎛⎭⎫232·12－49＝4π33·59＝4581π. ★★答案★★：4581π2．一个正方体和一个圆柱等高并且侧面积相等，则正方体与圆柱的体积之比为________．解析：设正方体棱长为1，则S 正方体侧＝S 圆柱侧＝4， 设圆柱的底面半径为r ，则2πr ×1＝4，r ＝2π，V 正方体＝1，V 圆柱＝π⎝⎛⎭⎫2π2·1＝4π.∴V 正方体∶V 圆柱＝π∶4. ★★答案★★：π∶4[例2] 圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？[思路点拨] 解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题．[精解详析]如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm ， 于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)． 圆台的高h ＝BC＝BD 2－（OD －AB ）2 ＝102－（6－4）2＝46(cm)，V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π)＝3046π3(cm 3)．[一点通] 求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．3．正四棱台两底面边长为20 cm 和10 cm ，侧面积为780 cm 2，求其体积． 解：如图所示，正四棱台ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm.取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，连结E 1E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1，O 分别是上，下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．S 侧＝4×12×(10＋20)·E 1E ，即780＝60E 1E ，解得E 1E ＝13 (cm)．在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5 (cm)，OE ＝12AB ＝10 (cm)，所以O 1O ＝E 1E 2－（OE －O 1E 1）2＝132－52＝12(cm)．所以V ＝13×12×(102＋202＋102×202)＝2800(cm 3).[例3] 一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm 2和400π cm 2.求球的表面积．[思路点拨] 由于题中没有说明截面的位置，故需分类讨论．[精解详析] (1)当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质知，AO 1∥BO 2，且O 1，O 2分别为两截面圆的圆心， 则OO 1⊥AO 1，OO 2⊥BO 2.设球的半径为R.因为圆O2的面积为49π，即π·O2B2＝49π，所以O2B＝7.同理，因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20.设OO1＝x，则OO2＝(x＋9)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，所以，x2＋202＝(x＋9)2＋72，解得x＝15.即R2＝x2＋202＝252.故S球＝4πR2＝2 500π.所以，球的表面积为2 500πcm2.(2)当截面位于球心O的两侧时，如图所示为球的轴截面．由球的截面性质知，O1A∥O2B，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥O2B.设球的半径为R.因为圆O2的面积为49π，即π·O2B2＝49π，所以O2B＝7.同理，因为π·O1A2＝400π，所以O1A＝20.设O1O＝x，则OO2＝(9－x)．在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(9－x)2＋72.所以x2＋400＝(9－x)2＋49，解得x＝－15，不合题意，舍去．综上所述，球的表面积为2 500πcm2.[一点通]球的截面性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面，本题利用球的截面将立体几何问题转化为平面几何问题，借助于直角三角形中的勾股定理解决问题．4．(新课标全国卷Ⅰ)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为________ cm3.解析：设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(R－2) cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积V＝43πR3＝43π×53＝500π3cm3.★★答案★★：500π35．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为________．解析：过球心作球的截面，如图所示，设球的半径为R，截面圆的半径为r，则有r＝R2－⎝⎛⎭⎫R22＝32R，则球的表面积为4πR2，截面的面积为π⎝⎛⎭⎫32R2＝34πR2，所以截面的面积与球的表面积的比为34πR24πR2＝316.★★答案★★：3166．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积和体积是多少？解：设球的半径为R，则由已知得(2R)2＝32＋42＋52，故R2＝252，∴R＝522，∴S球＝4πR2＝50π，∴V球＝43πR3＝43π·(522)3＝12532π.1．求柱、锥、台体的体积时，由条件画出直观图，然后根据几何体的特点恰当进行割补，可能使复杂问题变得直观易求．2．求球与多面体的组合问题，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图．3．球的截面是一个圆面、圆心与球心的连线与截面圆垂直，且满足d ＝R 2－r 2(d 为球心到截面圆的距离)．课下能力提升(十一)1．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为________．解析：设球的半径为r ，则圆锥的底面半径是3r ，设圆锥的高为h ，则43πr 3＝13π(3r )2h ，解得h ＝49r ，所以圆锥的高与底面半径之比为427.★★答案★★：4272．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于________． 解析：设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r ， 由题意得S 圆柱侧＝2πr ×2r ＝4πr 2＝4π，所以r ＝1， 所以V 圆柱＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π. ★★答案★★：2π3．(福建高考)三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P -ABC 的体积等于________．解析：依题意有，三棱锥P -ABC 的体积V ＝13S △ABC ·|P A |＝13×34×22×3＝ 3.★★答案★★： 34．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．解析：V ＝V 大圆锥－V 小圆锥＝13π(3)2(1＋1.5－1)＝32π.★★答案★★：32π5．(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2， 则正方体的棱长为________．解析：设正方体的棱长为x ，其外接球的半径为R ，则由球的体积为9π2，得43πR 3＝9π2，解得R ＝32.由2R ＝3x ，得x ＝2R3＝ 3.★★答案★★： 36．如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面AC 的距离为2，求该多面体的体积．解：如图，设G ，H 分别是AB ，DC 的中点，连结EG ，EB ，EC ，EH ，HG ，HB ，∵EF ∥AB ，EF ＝12AB ＝GB ，∴四边形GBFE 为平行四边形，则EG ∥FB ，同理可得EH ∥FC ，GH ∥BC ，得三棱柱EGH -FBC 和棱锥E AGHD . 依题意V E AGHD ＝13S AGHD ×2＝13×3×32×2＝3， 而V EGH FBC ＝3V B EGH ＝3×12V E BCHG ＝32V E AGHD ＝92，∴V 多面体＝V E AGHD ＋V EGH FBC ＝152.7．已知正四棱台两底面面积分别为80 cm 2和245 cm 2，截得这个正四棱台的原棱锥的高是35 cm ，求正四棱台的体积．解：如图，SO ＝35，A ′O ′＝25，AO ＝752，由SO ′SO ＝A ′O ′AO ，得SO ′＝35×25752＝20.∴OO ′＝15.∴V 正四棱台＝13×15×(80＋80×245＋245)＝2 325.即正四棱台的体积为2 325 cm 3.8．如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．(1)证明：平面P AC ⊥平面PBD ；(2)若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P -ABCD 的体积． 解：(1)证明：因为PH 是四棱锥P -ABCD 的高，所以AC ⊥PH .又AC ⊥BD ，PH ，BD 都在平面PBD 内，且PH ∩BD ＝H ， 所以AC ⊥平面PBD ，故平面P AC ⊥平面PBD .(2)因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6，所以HA ＝HB ＝ 3. 因为∠APB ＝∠ADB ＝60°， 所以P A ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝1， 可得PH ＝ 3.等腰梯形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋233.一、空间几何体1．多面体与旋转体(1)棱柱有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形．但是要注意“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱”．(2)有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥．注意：一个棱锥至少有四个面，所以三棱锥也叫四面体．(3)棱台是利用棱锥来定义的，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个仍然是棱锥，另一个称之为棱台，截面叫做上底面，原棱锥的底面叫做下底面．注意：解决台体常用“台还原成锥”的思想．(4)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转一周而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．2．直观图画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法．画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z 轴，最大区别是空间几何体的直观图有实线与虚线之分，而平面图形的直观图全为实线．二、平面的基本性质1．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内A∈α，B∈α⇒AB⊂α公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α公理3的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2．三个公理的主要作用(1)公理1的作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内．②用直线检验平面．(2)公理2的作用：①判定两个平面是否相交；②证明点共线．(3)公理3的作用：①确定平面；②证明点线共面．三、空间直线与直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种．注意：两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种．1．证明线线平行的方法 (1)线线平行的定义；(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； (3)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b ； (4)线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ； (5)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b .2．证明线线垂直的方法(1)线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；(2)线面垂直的性质：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； (3)线面垂直的性质：a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b . 四、空间直线与平面的位置关系空间中直线与平面有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行． 注意：直线在平面外包括平行和相交两种关系． 1．证明线面平行的方法 (1)线面平行的定义；(2)判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α； (3)平面与平面平行的性质：α∥β，a ⊂α⇒a ∥β. 2．证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理：⎭⎪⎬⎪⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)面面平行的性质：α∥β，l ⊥α⇒l ⊥β；(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β . 五、空间平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系有且只有平行和相交两种． 1．证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝A ⇒α∥β； (3)线面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面平行．2．证明面面垂直的方法(1)面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； (2)面面垂直的判定定理：a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β. 3．证明空间线面平行或垂直需注意三点 (1)由已知想性质，由求证想判定； (2)适当添加辅助线(面)；(3)用定理时先明确条件，再由定理得出相应结论． 六、空间几何体的表面积和体积1．棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系S 正棱台侧＝12（c ＋c ′）h ′ ――→c ′＝0 S 正棱锥侧＝12ch ′――→c ＝c ′h ＝h ′S 正棱柱侧＝ch 2．圆锥、圆台、圆柱的侧面积公式间的联系S 圆台侧＝π（r ′＋r ）l ――→r ′＝0 S 圆锥侧＝πrl ――→r ′＝rS 圆柱侧＝2πrl 3．锥、台、柱的体积之间的联系V 台体＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h ――→S 上＝0 V 锥体＝13Sh ――→S 上＝S下V 柱体＝Sh 4．球的表面积与体积 设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，体积V ＝43πR 3.一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列几何体是旋转体的是________．①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体． 答案：①④2．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线________．解析：由于直线分别位于两平行平面内，因此它们无公共点，因此它们平行或异面． 答案：平行或异面3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长l ＝3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．解析：设圆台较小底面半径为r ，则S 侧面积＝π(r ＋3r )l ＝84π，r ＝7. 答案：74．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，解得a ＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长22等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43π(2)3＝823π.答案：823π5．一个三角形用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是________．解析：如图所示，将△A ′B ′C ′还原后为△ABC ，由于O ′C ′＝2C ′D ′＝2×1×32＝62，所以CO ＝2O ′C ′＝ 6.∴S △ABC ＝12×1×6＝62.答案：626．如图，如果MC ⊥菱形ABCD 所在的平面，那么MA 与BD 的位置关系是________．解析：连结AC ，由于四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又MC ⊥平面ABCD ，所以MC ⊥BD ，又MC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面AMC ，所以MA ⊥BD .答案：垂直7．已知直线a ∥平面α，平面α∥平面β，则直线a 与平面β的位置关系为________． 解析：∵a ∥α，α∥β，∴a ∥β或a ⊂β. 答案：a ∥β或a ⊂β8．圆锥侧面展开图的扇形周长为2m ，则全面积的最大值为________． 解析：设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则有2l ＋2πr ＝2m . ∴S 全＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr (m －πr )＝(π－π2)r 2＋πrm . ∴当r ＝πm 2（π2－π）＝m2（π－1）时，S 全有最大值πm 24（π－1）.答案：πm 24（π－1）9．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于________．解析：如图设点A 为圆O 和圆K 公共弦的中点，则在Rt △OAK 中，∠OAK 为圆O 和圆K 所在的平面所成的二面角的一个平面角，即∠OAK ＝60°.由OK ＝32，可得OA ＝3，设球的半径为R ，则(3)2＋⎝⎛⎭⎫R 22＝R 2，解得R ＝2，因此球的表面积为4π·R 2＝16π.答案：16π10．如图，二面角α-l -β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，作AO ⊥β于O ，AC ⊥l 于C ，连结OB ，OC ，则OC ⊥l .设AB 与β所成角为θ，则∠ABO ＝θ， 由图得sin θ＝AO AB ＝AC AB ·AO AC ＝sin 30°·sin 60°＝34.答案：3411．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中错误的是________．①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ③若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ④若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n .解析：对于①，m ，n 均为直线，其中m ，n 平行于α，则m ，n 可以相交也可以异面，故①不正确；对于②，③，α，β还可能相交，故②，③错；对于④，m ⊥α，n ⊥α，则同垂直于一个平面的两条直线平行，故④正确．答案：①②③12．若一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比是________．解析：设球的半径为R ，圆柱、圆锥的底面半径为r ，高为h ，则r ＝R ，h ＝2R ，V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，V圆锥＝13πR 2×2R ＝23πR 3，所以V 圆柱∶V 球∶V圆锥＝2πR 3∶43πR 3∶23πR 3＝3∶2∶1.答案：3∶2∶113.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .解析：由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF .要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x ，由Rt △CAF ∽Rt △F A 1D ，得ACA 1F ＝AF A 1D ，即2a 3a －x ＝x a.整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a . 答案：a 或2a14．球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S ABC 的体积的最大值为________．解析：记球O 的半径为R ，作SD ⊥AB 于D ，连线OD 、OS ，易求R ＝23，又SD ⊥平面ABC ，注意到SD ＝SO 2－OD 2＝R 2－OD 2，因此要使SD 最大，则需OD 最小，而OD 的最小值为12×23＝33，因此高SD 的最大值是⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫332＝1，又三棱锥S -ABC 的体积为13S △ABC ·SD ＝13×34×22×SD ＝33SD ，因此三棱锥S -ABC 的体积的最大值是33×1＝33.答案：33二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)圆柱的轴截面是边长为5 cm 的正方形ABCD ，圆柱侧面上从A 到C 的最短距离是多少？解：如图，底面半径为52cm ，母线长为5 cm.沿AB 展开，则C 、D 分别是BB ′、AA ′的中点． 依题意AD ＝π×52＝52π.∴AC ＝（52π）2＋52＝5 π2＋42. ∴圆柱侧面上从A 到C 的最短距离为5π2＋42cm.16．(14分)如图所示，已知ABCD 是矩形，E 是以DC 为直径的半圆周上一点，且平面CDE ⊥平面ABCD .求证：CE ⊥平面ADE .证明：∵E 是以DC 为直径的半圆周上一点，∴CE ⊥DE . 又∵平面CDE ⊥平面ABCD ，且AD ⊥DC ， ∴AD ⊥平面CDE .又CE ⊂面CDE ，∴AD ⊥CE .又DE ∩AD ＝D ，∴CE ⊥平面ADE .17．(14分)(新课标全国卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C -A 1DE 的体积．解：(1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 所以VC A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.18．(16分)已知等腰梯形PDCB 中(如图①)，PB ＝3，DC ＝1，PD ＝BC ＝2，A 为PB 边上一点，且DA ⊥PB .现将△P AD 沿AD 折起，使平面P AD ⊥平面ABCD (如图②)．(1)证明：平面P AD ⊥平面PCD ；(2)试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成两部分，其两部分体积比为V PDCMA ∶V M ACB ＝2∶1.解：(1)证明：依题意知，CD ⊥AD ， 又∵平面P AD ⊥平面ABCD ， ∴DC ⊥平面P AD .又DC ⊂平面PCD ， ∴平面P AD ⊥平面PCD . (2)由题意知P A ⊥平面ABCD ，∴平面P AB ⊥平面ABCD .如上图，在PB 上取一点M ，作MH ⊥AB ，则MH ⊥平面ABCD ，设MH ＝h ，。
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三、柱体、椎体、台体的体积：
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及 圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：
V Sh (S为底面面积，h为高)
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
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探究：将一个三棱柱按如图所示分解成三个 三棱锥，那么这三个三棱锥的体积有什么关 系?它们与三棱柱的体积有什么关系?
2956 (mm ) 2.956(cm )
3
3
P27练习
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球的直径
球心
球的半径
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[问题1] 类似切西瓜，用一个平面去截球，截面是什 圆面 无论怎么截，截面圆大小如何？有大有小 么图形？_____. _______。
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一、棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积：
在初中学过正方体和长方体的表面积以及展开图, 正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
把多面体展开成平面图形,利用平面图 形求面积的方法，求多面体的表面积。
几何体表面积
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
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c为底面多边形周长
S表=S底+S侧
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正棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h为侧面三角形的高 侧面展开
h'
c为底面多边形的周长
正棱锥的侧面展开图
h'
1 S正 棱 锥 侧 ＝ ch' 2
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S表=S底+S侧
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正棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
x
h S
S
1 1 Sh ( S 3 3
1 S )h S h( S 3
' '
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SS S )
' '
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棱台(圆台)的体积公式:
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台 （棱台）的高．
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1 V ( S S S S )h 3
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变式1:如图是一个奖杯的三视图,单位是cm， 试画出它的直观图，并计算这个奖杯的表面 积与体积.(精确到0.01cm) z/
4 20 8 20 4
8
正视图 侧视图 俯视图
10
y/
16
x/
上部是球；中部是直四棱柱；下部是四棱台
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变式2：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
2
l
r
O
S表 r rl r (r l )
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r 'O’
l
2r '
圆台的侧面展开图是扇环
2r
r
O
S圆台侧＝S扇环＝（r r )l
/
S (r r r l rl ) S表
' 2 '
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前面，我们分别从几何结构特征和视图两 个方面认识了空间几何体。下面我们来学 习空间几何体的表面积和体积。表面积是 几何体表面的面积，它表示几何体表面的 大小；体积是几何体所占空间的大小。
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1、通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、 锥、台的表面积和体积的求法； 2、能运用公式求解，柱体、椎体、 台体 的表面积和体积，并且熟悉台体与柱体和 椎体之间的转换关系。 3、掌握球的体积和表面积公式。
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O
[问题2]将球置于平面上，它与这个平面有几个接触点？ 一个 ____
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球的性质
用一个截面去截一个球，截面是圆面。
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的平面截得的圆叫做小圆。 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 球心到截面的距离d 与球的半径 R 及截面的半径 有下面的关系：
A
C
1 h( S 3
S S S )
' '
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B
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x xh
S' S
' '
S
'
x
h
S S 1 1 ' 1 1 1 ' V台 S（h x) S x Sh Sx S x 3 3 3 3 3
1 1 Sh ( S S ' ) 3 3 h S' S S'
r
r R d
2
2
R A
O
r
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d O’
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球的体积与表面积
半径为R的球的体积是：
半径为R的球的表面积是：
4 3 V R 3
2
S 4R
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例题讲解
例4 如图，圆柱的底面直径与高都等于 球的直径，求证： 2 （1）球的体积等于圆柱体积的 3 ； （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
3 2 2 R a S 4R 3a 2
D1
C1
2
变式3:如果球O和这个正方体的六个面都相切则有S= a 。
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【总一总★成竹在胸】
1.柱体、椎体、台体的表面积公式；
2.柱体、椎体、台体的体积公式；
3.台体与柱体和椎体之间的转换关系. 4.熟记球的体积和面积公式并会运用。
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例2 一个圆台形花盆直径为 20cm,盆底 例 2 如下图, 直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1 .5cm,盆壁长 15cm.为了美化花盆外观，需要涂油漆。 已知每 平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需 要多少油漆？(π取3 .14,结果精确到1毫升)?
10cm 15cm
7.5cm
3 2 1 1 2 3
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经过探究得知，棱锥是同底等高的棱柱体积的 1 ．
即棱锥的体积：
3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是 底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似， 都是等于底面面积乘高的 1 ．
1 V Sh(其中S为底面面积，h为高) 3
圆锥的体积公式：
3
练习：看图回答问题
r 1
r' 1
h2
l 2
r 1
l 2
r2
圆台侧
S圆柱侧 __ 4 S圆锥侧 __ 2 S S圆柱表 6 __ S
__ 3 S圆台表 圆锥表
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6 __ 11 __
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探究
S表=S底+S侧
h'
h'
直棱柱、正棱锥、正棱台都是由多个平面图形围成的几 何体，它们的侧面展开图还是平面图形。计算它们的表 面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
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直棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
h
直棱柱的侧面展开图
S直棱柱侧＝ch
转变观念
2
A
8
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二、圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积
r O
l
O
2 r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱侧 S长方形 ＝2rl
S表 2 r 2 rl 2 r ( r l )
2
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圆锥的侧面展开图是扇形
2r
S圆锥侧 rl
1 V Sh 3
(其中S为底面面积，h为高)
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根据台体的特征，如何求台体的体积？
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥) 截成的，因此可以利用两个锥 体的体积差．得到圆台(棱台) 的体积公式(过程略)．
P
A
S
B
D
C
h
S
D
V VP ABCD VP ABCD
c, c为两底面多边形的周长 h为侧面梯形的高 侧面展开
h'
正棱台的侧面展开图
1 S正 棱 台 侧 ＝ （c c' )h' 2
转变观念
h'
S表=S底+S侧
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思考：直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公 式之间有什么关系？
上底扩大 上底缩小
h'
1 S ＝ （ c ＋ c ' ) h ' / 正 棱 台 c =c c/=0 2
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。 D A D1 A1 D A O B B C
O
C1 B1 C
略解：RtB1D1D中 : (2 R) a ( 2a ) , 得