高中新课程数学(苏教版必修四)法向量的应用
高中数学 2.5向量的应用教案 苏教版必修4
2.5 向量的应用教学目标：1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．教学重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．教学难点：实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作用．用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用．教学方法：启发式教学．教学过程：一、情景创设问题1 如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，则每根绳子的拉力是多少？二、学生活动问题2 我们在图中标上相应的字母（如图），根据力的平衡理论，①绳子OA与绳子OB的拉力与灯具的重力G具有什么关系？②绳子OA与绳子OB学生讨论得出结论：①F1＋F2＋G＝0．②F1＝F2．问题3 如果将绳子OA的拉力表示为向量，绳子OB的拉力表示为120o 10N向量OB ，重力表示为向量OC ，则向量OA ，OB ，OC 之间有什么关系？学生讨论得出结论：++＝．这样物理问题就与数学中的向量产生了联系．三、建构数学问题4 你能否根据以上信息，将这个物理问题编写成一个数学问题？你能解决这个问题吗？学生讨论，教师整理，形成数学问题：已知向量OA ，OB 之间的夹角为120o，且向量的模等于向量的模，向量的模为10，求向量，的模．学生讨论解决问题：过A ，B 两点分别作OB ，OA 的平行线，相交于D 点，则四边形OADB 是菱形，连接OD ，则OD ＝||＝10，因为OA ＝OB ＝AD ＝BD ，且∠AOB ＝120o，所以ΔOAD 是等边三角形，所以OA ＝AD ＝OD ＝10，即||＝10，||＝10．亦即每根绳子的拉力都是10N ． 变题：在汽车站或火车站我们常见：两个人共提一个旅行包，若包重20N ，还需什么条件，你能求每一个人手臂的拉力？小结：（由学生讨论，教师整理）1．利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．2．用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值．四、数学应用 1．例题．例 1 如图（1）所示，无弹性的细绳,OA OB 的一端分别固定在,A B 处，同质量的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得OB OC ⊥，试分析,,OA OB OC 三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？A 11(2)题后反思：（1）本题你还最想知道什么？（2）绳子OB 与绳子OC 所受力的大小比较的本质是什么？ （3）你还能提出一些什么问题？例2 已知： AC OB BC OA ⊥⊥,，求证：AB OC ⊥． 题后反思：（1）你能否画出一个几何图形来解释例2？ （2）从例2中你能得出什么结论？学生讨论得出结论：三角形ABC 的三条高交于一点．例3 已知直线l 经过点111(,)P x y 222(,)P x y ，用向量方法求l 的方程．分析：设P 是直线l 上任意一点，由−→−P P 1与−→−21P P 共线的条件可推导得直线方程． 2．练习．（1）已知作用于点O 的力21,F F 的大小分别为6，8，且两力间的夹角为060，则两力合力的大小为__ ．（2）在四边形ABCD 中，·＝0，＝，则四边形ABCD 是____ ___（直角梯形、菱形、矩形、正方形）．（3）如图，一个三角形角铁支架ABC 安装在墙壁上，AB ∶AC ∶BC ＝3∶4∶5，在B 处挂一个6kg 的物体，求角铁AB 与BC 所受的力（取g ＝10m/s 2）．（4）已知两点),(11y x A ，),(22y x B ，试用向量的方法证明以线段AB程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．（5）一条河两岸平行，河宽500m d =，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸的B 处，船航行速度1||10/km h v =，水速2||4/km h v =，要使船垂直到达对岸所用的时间最少，1v 与2v 的夹角是多少？五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容：1．如何把物理学问题转化为数学问题？2．如何把几何学问题转化为向量问题？3．如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识，作好力的分解和合成．4．通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具5．数形结合法．。
苏教版高中数学必修四新课程第课时向量的应用导学案
总 课 题 平面向量 总课时 第28课时 分 课 题向量的应用分课时 第 1 课时教学目标 用向量的知识解决有关实际问题；进一步巩固所学知识，提高分析和解决实际问题的能力，增强应用数学的意识；能用向量知识解决相关的物理问题。
重点难点建立数学模型，并用所学知识解决有关测量和相关的物理问题。
运用向量知识解决有关物理问题。
引入新课1、已知A (1，2)，B (4，3)，C (2，4)，则|AB |= ，AB ·AC = 。
CAB = ；若四边形ABCD 为平行四边形，则点D 坐标为 。
2、a 与b =(1,2)同向，且a ·b =10，则a = ；若c r =（2，－1），则c r·b ·a = 。
3、若|a |=1，|b |=2，则：（1）若a ∥b ，则a ·b = ； （2）若a 与b 的夹角为60°，则|a +b |= ，|a －b |= 。
（3）若a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为 。
4、一条向正东方流淌的河，河水流速为3m/s ，若一条小船为33m/s 的速度向正北方向航行，求该船的实际航速和航向。
例题剖析例1、如图所示，无弹性的细绳OA ，OB 的一端分别固定在A ，B 处，同质量的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得OB ⊥OC ，试分析OA ，OB ，OC 三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大。
例2、已知OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，求证：OC ⊥AB 。
思考：你能画一个几何图形来解释例2吗？例3、已知A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，若2AM MB =u u u u r u u u r ，2CN NA =u u ur u u u r ，CM 与BN 交于点G ，求向量AG u u u r。
巩固练习1、在ABC ∆中，,,BC CA AB 的长分别为,,a b c ，试用向量的方法证明：2222cos a b c bc A =+-。
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件2.2.1 向量的加法
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预习导引
1.向量加法的定义
已知向量 a 和 b,如图,在平面内任取一点 O,作������������=a,������������ =b,则向量 ������������叫做 a 与 b 的和,记作 a+b,即 a+b=������������ + ������������ = ������������.求两个向量和的 运算叫做向量的加法.对于零向量与任一向量 a,有 a+0=0+a=a.对于相 反向量,有 a+(-a)=(-a)+a=0.
已知|a|=5,|b|=4,则|a+b|的取值范围是 提示:1≤|a+b|≤9 .
问题导学
当堂检测
一、向量的加法运算
活动与探究 化简下列各式: (1)(������������ + ������������ )+������������ + ������������; (2)������������ + ������������ + ������������ + ������������ . 思路分析:多个向量相加,可利用向量加法的三角形法则求解,也可 直接运算. 解:(1)(������������ + ������������ )+������������ + ������������ =(������������ + ������������)+(������������ + ������������)=������������ + ������������ = ������������ ; (2)������������ + ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ .
高中数学《向量的应用》教案 苏教版必修4
向量的应用●三维目标1．知识与技能会用向量方法处理简单的物理和几何问题．2．过程与方法通过本节的学习，研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想．3．情感、态度与价值观(1)培养分析事物间相互联系的能力，提高学科间相互渗透的学习方法．(2)通过对实际问题的抽象思考，培养分析问题和应用知识解决问题的意识与能力．(3)培养热爱生活、热爱自然的高尚情怀．●重点难点重点：用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．难点：用向量方法解决实际问题的基本方法．●教学建议关于向量方法在平面几何及物理中的教学教学时，建议教师在引导学生回顾向量的线性运算、数量积运算及向量加减法的几何意义、向量共线定理、平面向量基本定理等知识的前提下，通过实例充分展示向量的工具性，突出其在生产实际中的应用，在巩固知识的同时，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新和开拓能力．●教学流程通过例1及其变式训练，使学生掌握用平面向量知识解决物理问题的思路及方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用向量知识解决平面几何问题的求解策略及方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握用向量法求解解析几何问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题．课标解读2.会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”向量在物理中的应用图2－5－1如图2－5－1，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围．【思路探究】由力的平衡原理知，重力G是绳子的拉力和水平拉力的合力，且G⊥F2，F1与G的夹角为π－θ，解三角形求得力的大小与θ的关系，再回答相关问题．【自主解答】 (1)由力的平衡原理知，G ＋F 1＋F 2＝0，作向量OA →＝F 1，OB →＝F 2，OC →＝－G ，则OA →＋OB →＝OC →，∴四边形OACB 为平行四边形，如图．由已知∠AOC ＝θ，∠BOC ＝π2， ∴|OA →|＝|OC →|cos θ，|OB →|＝|AC →|＝|OC →|tan θ.即|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ，θ∈[0，π2)． 由此可知，当θ从0逐渐增大趋向于π2时，|F 1|，|F 2|都逐渐增大．(2)当|F 1|≤2|G |时，有|G |cos θ≤2|G |，∴cos θ≥12，又θ∈[0，π2)．∴θ∈[0，π3]．1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．2．解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．图2－5－2如图2－5－2，作用于同一点O 的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，已知|F 1|＝1，|F 2|＝2，F 1与F 2的夹角为2π3，求F 3的大小．【解】 ∵F 1，F 2，F 3三个力处于平衡状态， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，即F 3＝－(F 1＋F 2)， ∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝F 1＋F 22＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝1＋2×1×2×cos2π3＋4＝ 3.向量在平面几何中的应用图2－5－3如图2－5－3所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点(不包括端点)，E ，F 分别在边BC ，DC 上，且四边形PFCE 是矩形，试用向量法证明：PA ＝EF .【思路探究】 以点D 为原点建立直角坐标系，设正方形的边长为1，DP ＝λ，求出向量PA →与EF →的坐标，分别求出它们的长度判断即可．【自主解答】 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP ＝λ(0＜λ＜2)，则A (0,1)，P (22λ，22λ)，E (1，22λ)，F (22λ，0)． ∴PA →＝(－22λ，1－22λ)，EF →＝(22λ－1，－22λ)，∴|PA →|＝－22λ2＋1－22λ2＝λ2－2λ＋1，|EF →|＝22λ－12＋－22λ2＝λ2－2λ＋1，∴|PA →|＝|EF →|，∴PA ＝EF .用向量证明平面几何问题的方法，常见有两种思路： (1)向量的线性运算法选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数量积找相应关系→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法建立适当的坐标系→把相关量坐标向量化→ 利用向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化已知直角三角形的两直角边长分别为2和4，求两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值．【解】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别是BC ，AC 边的中点．BC ＝2，AC ＝4.则CD ＝1，CE ＝2.∴|AD →|＝AC →2＋CD →2＝17， |BE →|＝BC →2＋CE →2＝2 2. AD →·EB →＝(AC →＋CD →)·(EC →＋CB →)＝AC →·EC →＋AC →·CB →＋CD →·EC →＋CD →·CB → ＝4×2＋0＋0＋1×2＝10. 设AD →与EB →的夹角为θ，则cos θ＝AD →·EB→|AD →||EB →|＝1017×22＝53434. 故直线AD 和BE 所夹的锐角的余弦值为53434.法二 如图所示建立直角坐标系，点C 为原点，两直角边为坐标轴．其中点A (0,4)，B (2,0)，D (1,0)，E (0,2)．则AD →＝(1，－4)，EB →＝(2，－2)．∴AD →·EB →＝1×2＋(－4)×(－2)＝10. |AD →|＝12＋－42＝17， |EB →|＝22＋－22＝2 2.设AD →与EB →的夹角为θ，则cos θ＝AD →·EB→|AD →||EB →|＝1017×22＝53434. 故直线AD 和BE 所夹的锐角的余弦值为53434.向量在解析几何中的应用AQ 上，满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．【思路探究】 一般要先设出动点坐标即M (x ，y )，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示AM →，MQ →，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．【自主解答】 设点M (x ，y )为轨迹上的任意一点，设A (0，b )，Q (a,0)(a ＞0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )．∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y－b )＝－32(a－x ，－y )．∴a ＝x 3，b ＝－y2， 则A (0，－y 2)，Q (x 3，0)，PA →＝(3，－y 2)，AM →＝(x ，32y )．∵PA →·AM →＝0，∴(3，－y 2)·(x ，32y )＝0.∴3x －34y 2＝0，∴所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)．利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算使问题得以解决．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．【解】 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)， 则RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)， AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y )．由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －1，－y 0＝2y ，又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －26－2x 0＝2y①②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ， 即为点P 的轨迹方程.应用问题的题意理解不清致误在水流速度为4 3 km ∠DAB ＝1243＝3，∴∠DAB ＝60°， ∴船的航行速度的大小为8 3 km ∠ACB ＝4312＝33. ∴∠CAD ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAD ＝120°， ∴船的航行速度的大小为8 3 km 60°＝10. ∴|OP →|＝10sin 60°＝2033.∴|ON →|＝|OP →|cos 60°＝2033×12＝1033.∴水流速度为1033km BP →，故OR →＝OB →＋BR →＝b ＋n (OP →－OB →)＝n 3a ＋(1－n )b ，由于a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝n 3，35m ＝1－n .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝56，n ＝12.∴OR →＝16a ＋12b .(2)由A 、H 、B 共线，可设BH →＝λBA →，则 OH →＝λa ＋(1－λ)b ，RH →＝OH →－OR →＝(λ－16)a ＋(12－λ)b .又RH →⊥AB →，∴RH →·AB →＝0，即[(λ－16)a ＋(12－λ)b ]·(b －a )＝0.又a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝1，θ＝60°， ∴λ＝12，∴OH →＝12a ＋12b .利用向量的方法很容易解决几何中的长度计算与角度计算问题，特别在证明一些垂直关系等问题中充分体现了向量的广泛应用．(2013·太原高一检测)如图，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，(1)以a ，b 为基底表示向量AM →与HF →；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM →·HF →. 【解】 (1)∵M 为DC 的中点， ∴DM →＝12DC →，又DC →＝AB →，∴AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →＝12a ＋b ，∵H 为AD 的中点，BF ＝13BC ，∴AH →＝12AD →，BF →＝13BC →，又BC →＝AD →， ∴HF →＝HA →＋AB →＋BF → ＝－12AD →＋AB →＋13AD →＝AB →－16AD →＝a －16b .(2)由已知得a ·b ＝3×4×cos 120°＝－6， AM →·HF →＝(12a ＋b )·(a －16b )＝12a2＋(1－112)a·b－16b2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113.。
苏教版高中数学必修四新课程向量的应用Word含答案
双基达标 (限时15分钟)1．在四边形ABCD 中，AB →·BC →＝0，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 是________． 解析 由AB →·BC →＝0⇒AB →⊥BC →，又AB →＝DC →，∴AB 綉DC . 答案 矩形2．作用于一个物体的两个力F 1、F 2的大小都是10，F 1与F 2的夹角为60°，则F 1＋F 2的大小为________．解析 |F 1＋F 2|＝2×10×32＝10 3. 答案 10 33．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m ，若牵绳与行进方向夹角为π6，人的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________．解析 功W ＝60×50×cos 30°＝1 5003(J)． 答案 1 500 3 J4．△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝4，|BC →|＝5，则AB →·AC →＝______. 解析 由已知△ABC 是直角三角形，∠A ＝90°. ∴AB →⊥AC →.∴AB →·AC →＝0. 答案 0 5.如图，非零向量OA →＝a ，OB →＝b 且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →＝λa ，则λ＝________.解析 BC →＝λa －b ，a ·(λa －b )＝0，则 λ＝a ·b |a |2. 答案 a ·b|a |26．求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和． 证明如图所示，▱ABCD 中：AB →＝DC →，AD →＝BC →，AC →＝AB →＋AD →∴|AC →|2＝|AB →＋AD →|2 ＝|AB →|2＋|AD →|2＋2AB →·AD → 而DB →＝AB →－AD →∴|DB →|2＝|AB →－AD →|2＝|AB →|2＋|AD →|2－2AB →·AD → ∴|AC →|2＋|BD →|2＝2|AB →|2＋2|AD →|2 ＝|AB →|2＋|BC →|2＋|DC →|2＋|AD →|2. 即AC 2＋BD 2＝AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2.综合提高 (限时30分钟)7.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图，已知物体的重力大小为10 N ，则每根绳子的拉力大小是________．解析 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.答案 10 N8．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________．解析 由OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，可得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，(OA →－OC →)·OB →＝0，即CA →·OB →＝0，CA →⊥OB →，同理可证OC →⊥AB →，OA →⊥BC →.所以O 是△ABC 的垂心，即三条高的交点．答案 垂心9．一条河宽为400 m ，一船从A 出发航行，垂直到达河正对岸的B 处，船速为20 km/h ，水速为12 km/h ，则船到达B 处所需时间为________min.解析 船和水流速度的合速度是船的实际航行速度，如图． |v 1|＝20 km/h ，|v 2|＝12 km/h.根据勾股定理|v |＝16 km/h ＝8003 m/min. ∴所需时间为4008003＝1.5(min)．答案 1.510．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是________．解析 在直线l 1上任取两点得向量v 1＝(4，－3)，l 2上任取两点得向量v 2＝(1，－7)，则v 1与v 2的夹角为θ.则|cos θ|＝v 1·v 2|v 1||v 2|＝255×52＝22.∴两直线夹角为45°. 答案 45°11.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2BA ，∠ABC ＝60°，作AE ⊥BD 交BC 于E ，求BE ∶EC .解 法一 (基向量法)设BA →＝a ，BC →＝b ，|a |＝1，|b |＝2. a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝1，BD →＝a ＋b .设BE →＝λBC →＝λb ，则AE →＝BE →－BA →＝λb －a . 由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0.即(λb －a )·(a ＋b )＝0. 解得λ＝25，∴BE ∶EC ＝25∶35＝2∶3.法二 以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系， 根据条件，设B (0,0)，C (2,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32.又设E (m,0)，则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12，－32.由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0. 即52⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12－32×32＝0，得m ＝45，所以BE ∶EC ＝45∶65＝2∶3.12．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)．求∠A 的角平分线的方程． 解 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)，∠A 的角平分线的一个方向向量为： AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，75. ∵∠A 的角平分线过点A .∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0. 整理得7x ＋y －29＝0.13．(创新拓展)两个人用同样的力量共提一个重力为G 的旅行包，两人所用力F 1，F 2的夹角为θ.(1)试讨论θ的大小与|F 1|的关系； (2)θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？ (3)|F 1|能等于|G |吗？为什么？ 解如图所示．由平行四边形法则及直角三角形的知识得 |F 1|＝|G |2cos θ2. (1)通过上面的式子，可以发现，当θ由0°到180°逐渐变大时，θ2由0°到90°逐渐变大，cos θ2的值由大逐渐变小，因此|F 1|由小逐渐变大，即F 1，F 2之间的夹角越大越费力．(2)要使|F1|最小，则cos θ2最大，又0°≤θ≤180°，0°≤θ2≤90°，∴当θ＝0°时cos θ2最大，|F1|最小为G 2，此时两个人的手臂应靠在一起．(3)要使|F1|＝|G|，则2cos θ2＝1，则cos θ2＝12，θ2＝60°，θ＝120°，∴两臂的夹角为120°时，|F1|＝|G|.。
向量的应用 学案 高中数学 必修四 苏教版 Word版
2.5 向量的应用．会用向量方法解决涉及直线与圆的问题1．向量在物理中的应用：向量在研究物理问题时经常用到以下结论．(1)力、速度、加速度、位移等都是向量；(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；(3)功即是力F 与所产生位移s 的数量积．预习交流1向量可以解决哪些物理问题？提示：可以解决求力、速度、方向、位移等问题．2．向量在平面几何中的应用：平面几何中的共点、共线、平行、垂直等问题都可以用向量解决．(1)对线共点问题，常可以转化为考虑先由其中某两条直线确定一个交点，然后再借助于向量知识说明其他直线也过这点．(2)对平行问题，往往转化为与其相关的向量共线问题．(3)对于垂直问题常转化为相关向量的数量积问题解决．预习交流2用向量方法解决平面几何问题的一般步骤是什么？提示：用向量方法解决几何问题，一般分如下三步：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果还原为几何关系．3．向量在解析几何中的应用：(1)若直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ⎝⎛⎭⎫θ≠π2.向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝tan α＝nm.(2)直线l ：y ＝kx ＋b 的方向向量是(1，k )．(3)过点P (x 0，y 0)且与a ＝(m ，n )平行的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0.(4)过点P (x 0，y 0)且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0.预习交流3 (1)设A ，B ，C ，D 四点坐标依次为(－1,0)，(0,2)，(4,3)，(3,1)，则四边形ABCD 为__________．(2)直角坐标系中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是__________．提示：(1)因为AB →＝(1,2)，BC →＝(4,1)，CD →＝(－1，－2)，DA →＝(－4，－1)，所以|AB →|＝|CD →|，|BC →|＝|DA →|.所以四边形ABCD 为平行四边形．(2)x ＋2y －4＝0一、向量在物理中的应用在重为300 N 的物体上系上两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°和60°，如图所示，求物体平衡时，两根绳上拉力的大小．思路分析：由题目知两根绳子的夹角为90°，因此可以把问题转化为解直角三角形．解此类力的平衡问题，主要是运用向量之和为零向量去求解，通过运用化归思想和数形结合思想及数学建模将物理问题转化为向量问题．解：如图所示：两根绳子的拉力之和OA →＋OB →＝OC →，且|OC →|＝|OG →|＝300 N ，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠AOC ＝30°， 则∠OAC ＝90°.从而|OA →|＝|OC →|cos 30°＝150 3 N ，|AC →|＝|OC →|sin 30°＝150 N ，|OB →|＝|AC →|＝150 N. 答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力为150 N.1．某人用50 N 的力(与水平方向成30°角，斜向下)推动一质量为8 kg 的木箱沿水平平面运动了20 m ，若滑动摩擦系数μ＝0.02，取g ＝10 m/s 2，则摩擦力f 所做的功为__________．答案：－42 J解析：由数量积的物理意义，只需求出摩擦力f 的大小，及它与位移的夹角即可．|f |＝(80＋50sin 30°)×0.02＝2.1(N)，又f 与位移所成的角为180°，∴W ＝f ·s ＝|f ||s |cos180°＝－1×2.1×20＝－42(J)．2．一条小船以10 km/h 的速度向垂直于对岸方向航行，小船实际行驶的方向与水流方向成60°角，求水流速度与船的实际速度．解：如图所示，OM →表示小船垂直于对岸行驶的速度，ON →表示水流速度，OP →表示船的实际速度．则由题意知∠NOP ＝60°，OM →＝10 km/h ，又∵四边形OMPN 是矩形，∴|OM →|＝|OP →|sin 60°＝10.∴|OP →|＝10sin 60°＝2033.∴|ON →|＝|OP →|cos 60°＝2033×12＝1033.∴水流速度为1033km/h ，船的实际速度为2033km/h.用向量法研究物理问题(1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．(2)用向量方法解决物理问题的步骤： ①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决； ③结果还原为物理问题． 二、向量在平面几何中的应用如图所示，ABCD 是菱形，AC ，BD 是它的两条对角线，求证：AC ⊥BD .思路分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件．证明：∵ABCD 为菱形，AC ，BD 为两对角线， ∴AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－|AB →|2＝0. ∴AC →⊥BD →，即AC ⊥BD .1．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝__________.答案：－23解析：OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)．∵A ，B ，C 三点共线，∴BA →∥CB →. ∵BA →＝(k －4,7)，CB →＝(4＋k ，－5)，∴－5(k －4)－7(k ＋4)＝0.∴k ＝－23.2．在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .证明：方法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB→＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝(b ＋a 2)·(－a ＋b 2)＝－12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .方法二：如图所示，以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .1．对于两个非零向量a ，b ，a ·b ＝0⇔a ⊥b ，在具体证明平面几何中的线段垂直时可先将线段转化为向量，计算向量的数量积，在此过程中，数量积的两种求解方法即向量法和坐标法可适当地选取．2．把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．这种解题方法具有普遍性，应该把它掌握好，其中坐标系的建立很重要，它关系到运算的简与繁．三、向量在解析几何中的应用已知点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足P A →·AM→＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．思路分析：一般要先设出动点坐标即M (x ，y )，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示AM →，MQ →，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．解：设点M (x ，y )为轨迹上的任意一点， 设A (0，b )，Q (a,0)(a ＞0)， 则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )．∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴a ＝x 3，b ＝－y 2，则A ⎝⎛⎭⎫0，－y 2，Q ⎝⎛⎭⎫x 3，0，P A →＝⎝⎛⎭⎫3，－y 2，AM →＝⎝⎛⎭⎫x ，32y . ∵P A →·AM →＝0，∴⎝⎛⎭⎫3，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，32y ＝0. ∴3x －34y 2＝0，∴所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)．1．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为__________． 答案：2x ＋y －1＝0解析：任取直线上两点如(－3,0)，(1,2)， 则直线的方向向量a ＝(1,2)－(－3,0)＝(4,2)， 设P (x ，y )是所求直线上任意一点， 则(x ＋1，y －3)·a ＝0， ∴(x ＋1，y －3)·(4,2)＝4(x ＋1)＋2(y －3)＝0. ∴2x ＋y －1＝0，即为所求的直线方程．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解：设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，由MA →＝2AN →得(1－x 0，1－y 0)＝2(x －1，y －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .代入圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4，得x 2＋y 2＝1． ∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1．利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算通过坐标运算将问题解决．对于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则向量a ＝(A ，B )即为直线l 的法向量，b ＝(1，k )或c ＝(－B ，A )为直线l 的方向向量.两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0是否垂直，均可由向量解决.由于n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，则n 1·n 2＝0⇔n 1⊥n 2⇔l 1⊥l 21．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为__________．答案：27解析：由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0， ∴F 3＝－(F 1＋F 2)．∴F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2 ＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28. ∴|F 3|＝27. 2．在△ABC 中，A (－1,2)，B (3,1)，C (2，－3)，则AC 边上的高所在直线方程为__________． 答案：3x －5y －4＝0解析：AC →＝(3，－5)，设P (x ，y )是所求直线上任意一点，BP →＝(x －3，y －1)，所以AC边上的高所在的直线方程为AC →·(x －3，y －1)＝0，即3x －5y －4＝0.3．点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的三条__________的交点．答案：高解析：由OA →·OB →＝OB →·OC →得OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·AC →＝0，所以OB →⊥AC →.同理，OC →⊥AB →，OA →⊥BC →.所以O 为三条高的交点．4．已知AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 一定是__________． 答案：直角三角形解析：由原等式得AB →·(AB →＋BC →)＝0，即AB →·AC →＝0，得AB →⊥AC →，所以△ABC 一定是直角三角形．5．如图所示，若D 是△ABC 内一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ， 则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由条件知，a 2－b 2＝c 2－d 2. ∴e ·c －e ·d ＝0.即e ·(c －d )＝0.∴AD →·CB →＝0.∴AD ⊥BC .。
苏教版必修四第二章 平面向量 第五讲 向量的应用(学案含答案)
苏教版必修四第二章平面向量第五讲向量的应用（学案含答案）高中数学向量的应用知识点课标要求题型说明向量的应用1. 会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题；2. 会用向量方法解决某些简单的几何问题。
填空通过本节的学习，学习研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想。
重点：用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题。
难点：用向量方法解决实际问题的基本方法。
一、向量在物理学中的应用向量是既有大小又有方向的量，物理中有很多量，如力、速度等都是向量。
用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即将物理之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个模型的研究解释相关的物理现象。
【要点诠释】1.用向量的知识可以解决许多力学问题，如（2）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”2. 向量在解析几何中的应用解析几何就是用坐标的方法研究图形，而向量也引入了坐标运算，因此可以用向量的坐标运算解决解析几何中的证明与计算等问题。
【核心突破】解析几何中的点共线，线线平行、垂直、夹角、距离都有各自的方法及公式，而这些问题在向量中也有相应的公式，而且有许多比解析几何中的公式更加简单，更具有一般性。
例如用解析几何中直线斜率公式求夹角或证垂直时，必须对直线斜率有无进行讨论，而用向量的方法就可以不讨论了。
但应该注意，解析几何中的公式及向量中的公式都有各自的特点，同一个问题选用不同的方法，其运算的复杂程度往往有很大差别，因此要注意选用这两种不同的方法。
例题1 （向量在物理中的应用）如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：（1）|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；（2）当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围。
思路分析：由力的平衡原理知，重力G是绳子的拉力和水平拉力的合力，且G⊥F2，F1与G 的夹角为π－θ，解三角形求得力的大小与θ的关系，再回答相关问题。
高中数学 2.5向量的应用课件 苏教版必修4
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何
元素，将平面_几__何__问__题___转__化__为__向___量__问__题___．
(2)通过向__量__运___算_，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、
栏
平行等．
目
(3)把运算结果_“___翻__译__”成几何关系．
链 接
6．常见到的问题包括以下命题：
题型2 速度向量的合成与分解
例2 在风速为 75( 6－ 2) km/h 的西风中，飞机以 150 km/h
的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
栏
分析：设
w＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞
目 链
接
机的航行速度，则 vb＝va－w.
解析：如上图所示，
∵vb＝va－w，∴vb、va、w 构成三角形，
栏 目
就是_向__量__的___加__减__法__．
链 接
3．功的定义即是力 F 与其所产生位移 s 的_数__量___积__．
4．平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹
角都可由__向__量__的__线___性__运__算__及__数___量__积__表示出来．
5．向量方法解决平面几何问题的“三部曲”．
问题，接下来结合向量知识、利用余弦函数的单调性解决问题．
变式 训练
1．如下图所示，用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，
已知灯具的重量为 10 N，则每根绳子的拉力大小是________．
栏 目 链 接
解析：设绳子拉力为 F，则 2|F|cos 60°＝10，故有 F＝10.
答案：10 N
|A→B|＝|va|，|C→B|＝|w|，
苏教版高中数学必修四向量的应用教案(3)
《向量的应用》教学设计一、教材分析向量概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题教学中要展现并让学生经历这个抽象的过程。
向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性，向量在物理中的应用，是培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，向量在物理中的应用既是一个物理问题又是一个数学问题，所以在教学中，首先要把它转化成数学问题，即用数学知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然后再用建立起的数学模型解释相关物理现象由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理中量之间的关系抽象成数学模型，另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象。
本节课是苏教版必修4第2章平面向量中第5节向量的应用，通过本节课的学习，学生将进一步深化用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题。
二、学情分析本节课的授课对象为单招预科班学生，对于职高学生的数学基础及学习特点，为了激发学生学习兴趣并考虑学生的最近发展区针对单招预科班学生创设拔河比赛等问题情景。
学生已学习平面向量的相关内容,初步建立了向量的数学模型和物理模型。
教学中尽可能提供学生动手实践的机会,利用信息技术工具,让学生从亲身体验中掌握知识与方法；应创设情境,提高学生学习兴趣,发挥主观能动性。
此外,学生总结归纳的能力还不够, 需要教师适当的引导和帮助。
三、教学目标知识与技能：1. 学会如何把生活中的问题提炼出数学信息，并加工成数学语言，并用向量知识解决物理问题，.体会向量是一种数学工具2. 掌握用向量知识解决代数问题与几何问题的互相转换和强化数形结合的数学思想方法．3.揭示知识背景，强化学生的参与意识；加强数学结合能力，发展运算能力和解决实际问题的能力.4.初步会用多媒体技术——几何画板作图工具处理数学问题。
苏教版高中数学必修四向量的应用课件
名师点睛 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几 何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系． (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
2．向量在平面几何中的具体应用 向量方法可应用于证明有关直线平行、垂直、线段相等及点 共线等问题，其主要应用有： (1)要证明两线段相等，如 AB＝CD，则可转化为证明：A→B2 ＝C→D2，或A→B＝C→D； (2)要证明两线段平行，如 AB∥CD，则只要证明：存在实数 λ≠0，使A→B＝λC→D成立； (3)要证明两线段垂直，如 AB⊥CD，则只要证明：数量积A→B·C→D ＝0；
解 设 A、B 所受的力分别为 f1、f2，10 N 的重力用 f 表示， 则 f1＋f2＝f，以重力的作用点 C 为 f1、f2、f 的始点，作右图，使C→E ＝f1，C→F＝f2，C→G＝f，则∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180° －120°＝60°.
∴|C→E|＝|C→G|·cos 30°＝10× 23＝5 3. |C→F|＝|C→G|·cos 60°＝10×12＝5. 所以，A 处所受的力为 5 3 N，B 处所受的力为 5 N.
题型一 向量在物理中的应用 【例 1】 如图所示，两根绳子把重 1 kg 的物体 W 吊在水平杆 子 AB 上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求 A 和 B 处所受力的 大小(绳子的重量忽略不计，g＝10 N/kg)．
[思路探索] 属于力的合成与分解问题，即借助向量的平行四 边形法则处理．
证明 D→E＝A→E－A→D＝12A→C－12A→B＝12(A→C－A→B)＝12B→C，∴DE 綉12BC.
想一想：若向量A→B与C→D共线，能说明直线 AB∥CD 吗？ 提示 不能直接得结论 AB∥CD，若向量A→B与C→D共线，则直 线 AB 与 CD 可能重合．即 A、B、C、D 四点共线，也可能平行．需 结合图形说明直线 AB 与 CD 不重合或无交点，则得 AB∥CD.
苏教版高中数学必修4《向量的应用(1)》参考课件
时 栏 目 开 关
难推导利用 k1、k2 表示 cos θ 的夹角公式： cos θ＝||vv11|·|vv22||＝ 1＋|1＋k21·k1k12＋| k22.
例如：直线 x－2y＋1＝0 与直线 2x＋y－3＝0 的夹角为
__9_0_°____；直线 2x－y－1＝0 与直线 3x＋y＋1＝0 的夹角为
探究点三 平面向量在几何中的应用
用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共
点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁直
观．其基本方法是：
本 课
(1)要证明线段 AB＝CD，可转化为证明|A→B|＝|C→D|.
时 栏
(2)要证明 AB∥CD，只需证明存在一个不为零的实数 λ，使得A→B
证明 选{A→B，A→D}为基底．设A→R＝mA→C，A→T＝nA→C，则B→R＝A→R
本 课
－A→B＝mA→C－A→B＝m(A→B＋A→D)－A→B＝(m－1) A→B＋mA→D，
时 栏 目 开 关
B→E＝A→E－A→B＝－A→B＋12A→D. ∵B→R与B→E共线，∴(m－1)×12－(－1)×m＝0，∴m＝13. 同理解得 n＝23.∴AR＝RT＝TC.
课 时
(B，－A)．
栏 目
综上所述，直线 Ax＋By＋C＝0 的一个方向向量为 v＝(B，
开 关
－A)．
例如：已知直线 l：2x－y＋1＝0，在下列向量：
①v1＝(1,2)；②v2＝(2,1)；③v3＝－12，－1；④v4＝(－2，
－4)．其中能作为直线 l 方向向量的有：_①___③__④__
研一研·问题探究、课堂更高效
4
得 m＝45，所以EBCE＝56＝23.
苏教版高中数学必修四向量的应用文字素材
向量的应用高考命题中对知识综合性的考查，往往在知识网络交汇点上设计试题，注重学科的内在联系和综合，而向量知识引入后，因“向量”具有几何形式和代数形式的“双重身份”，它可作为联系代数与几何的纽带，是中学数学立体几何、不等式、三角函数、解析几何等知识的一个交汇点，因此也是将来高考的命题热点。
所以“向量”在数学中的位置也就显得越来越重要了，借此机会，谈谈“向量”的应用。
(!)向量知识在立体几何中的应用。
现行立体几何最大的变化是引进空间向量，空间向量已是立体几何中的重要内容，它改变了以往立体几何中的思维方法和解题方法，利用向量在解决垂直、夹角和距离等问题时有它的优越性,因为用向量来运算避免了繁琐的定性分析，使问题得到了大大简化，这一知识在高二上学期教材中有具体的应用,今天在这里我就不再举例了.(2) 向量知识在不等式中的应用。
利用向量数量积的一个重要性质||·|||·|b a b a ≤，变形为222||·|||·|b a b a ≤可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易，同时有效地提高学生的观察分析能力和想象能力。
例、设任意实数x 、y 满足|x|<1,|y|<1,求证： xyy x -≥-+-12111122 xy xy y x y x y x yx b a b y x b y x a -=-≥+-≥-+-∴-+--+-≤≤⋅--=--=12224)(241111)11)(1111(4||||)a ( )1,1(),11,11(222222222222222得：由向量内积性质：证明：构造向量：即 ： xyy x -≥-+-12111122(3) 向量知识在三角中的应用。
定理、公式的证明不要仅仅呈现它的结论，也要关注知识产生的过程，当复习正弦定理与余弦定理时，将向量的数量积与三角形的边长及三角函数联系起来。
苏教版必修4高中数学2.5《向量的应用》ppt课件1
课堂练习
如图，△ABC的三条高分别为AD，BE，CF，作
DG⊥BE，DH⊥CF，垂足分别为G、H，试推断EF
与结G论H:是EF否∥平G行H .
A
E F G PH
B
D
C
课堂小结
1.用向量方法解决平面几何问题的基本思
路：几何问题向量化
向量运算关系
化2.用向量方向法量研关究系几几何何问化题. ，需要用向量
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
的观点看问题，将几何问题化归为向量问
题来解决.它既是一种数学思想，也是一种
数学能力.其中合理设置向量，并建立向量
关系，是解决问题的关键.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/27
最新中小学教学课件
17
2015-2016学年高一苏教版数学必修4教案第2章第12课时《向量的应用》
第12课时向量的应用教学过程一、问题情境1.向量是既有大小又有方向的量,在实际问题中有很多这样的量,它们既有代数特征,又有几何特征.通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化,所以向量是数形结合的桥梁.2.用数学知识解决实际问题,首先要将实际问题转化成数学问题,即将问题中各量之间的关系抽象成数学模型,然后再通过对这个数学模型的研究来解决实际问题中的有关量.许多物理问题可以转化为数学中的向量问题,所以向量也是解决许多物理问题的有力工具.二、数学运用【例1】如图(1),在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受的拉力为F.求:(1)|F1|,|F2|随θ的变化而变化的情况;(2)当|F1|≤2|G|时,角θ的取值范围.[1](见学生用书P57)(1)⇨(2)(例1)[处理建议]本题涉及物理中力的合成与分解,即向量的合成与分解,引导学生对受力进行分析,利用平行四边形法则进行求解.[规范板书]解(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知:-G=F1+F2.如图(2),根据直角三角形可得|F1|=,|F2|=|G|·tanθ.当θ从0°趋近90°时,|F1|,|F2|都逐渐增大.(2)令|F 1|=≤2|G|,∵θ∈[0°, 90°),得cosθ≥.∴ 0°≤θ≤60°.∴角θ的取值范围为0°≤θ≤60°.[题后反思]平面向量在物理中的应用非常广泛,运用好平面向量这一工具可以解决很多物理问题,如力的合成、速度的合成等,这里一定要结合图象进行数形结合,才能使问题更为直观.【例2】(教材第91页例2)已知⊥,⊥,求证:⊥.[2](见学生用书P58) [处理建议]考虑到学生认知发展水平的不同,可能会有一部分学生想到用数量积来证,也有一部分学生受到例1的影响,想到结合图形来解决问题,对此教师要有从数和形两个方面考虑解法的可行性.[规范板书]证明·=(+)·(+)=·+·+·=·(++)=·=0,所以⊥.[题后反思]你能说出该命题的几何意义吗?(三角形三条高所在直线交于一点)变式设O是△ABC所在平面内的一点,且·=·=·,试判断O是△ABC的垂心.[规范板书]解因为·=·,所以·(-)=0,即·=0,所以OB⊥CA.同理OC⊥AB,OA⊥BC.所以O是△ABC的垂心.【例3】(教材第92页例3)已知直线l经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,P(x,y)是直线l上的任意一点,用向量的方法求x,y之间的关系.[3](见学生用书P58) [处理建议]根据题设条件知P1,P2,P均在直线l上,即可用共线向量方面的相关知识解题.[规范板书]解设P(x,y)是直线l上的任意一点,则=(x2-x1,y2-y1),=(x-x1,y-y1).∵P,P1,P2三点都在直线l上,∴与是共线向量,∴(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),这即为x,y之间的关系.[题后反思]把(x,y)改为(x3,y3),我们就可以得到证明三点共线的一种方法.方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)即为直线l的方程,这有别于直线的两点式方程,它没分母,也就没有两点式方程的局限性(不能表示跟坐标轴垂直的直线).*【例4】已知在△ABC中BC,CA,AB的长分别为a,b,c,试用向量方法证明:(1)c=b cos A+a cos B;(2)c2=a2+b2-2ab cos C.[4][处理建议]先引导学生观察要证等式,有ab cos C结构,联想到向量数量积定义,把边长看成向量的模.对于第(1)小题,等式c=b cos A+a cos B中项b cos A与数量积的差异在于缺少另一个向量的模作为因式,故联想到两边同乘以c.[规范板书]证明(1)因为=+,所以·=(+)·,即||2=||·||cos A+||||cos B,亦即c2=bc cos A+ac cos B,所以c=b cos A+a cos B.(2)因为=+,所以()2=(+)2=()2+()2+2·,即c2=b2+a2+2b·a cos(180°-C),所以c2=a2+b2-2ab cos C.[题后反思]要证明一个代数等式,往往在一个向量等式上进行加工转化,如:在向量等式两边同时点乘一个向量,或把向量等式两边平方,就可以转化为代数等式.三、课堂练习(第1题)1.一只船以10km/h的速度沿垂直于河对岸的方向航行,船实际行驶的方向与水流方向成60°角,求水流速度的大小与船实际行驶速度的大小.解如图,表示船垂直于河对岸行驶的速度,表示水流速度,表示船的实际速度.由题意知∠NOP=60°,||=10.因为四边形OMPN是矩形,从而||=||sin60°=10,所以||==,从而||=||cos60°=×=.因此,水流速度的大小为km/h,船的实际速度的大小为km/h.2.用向量的方法证明勾股定理.(第2题)已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,CA=b,CB=a,求证:c2=a2+b2.证明:如图,=-,||2=|-|2=||2-2·+||2=||2+||2,∴c2=a2+b2.四、课堂小结用向量方法解决一些简单的几何问题和力学问题的步骤:先把问题转化为向量问题,列出几个向量满足的约束条件,再用向量的知识和方法求解.。
高一数学苏教版必修4课件2.5 向量的应用ppt版本
分别为边 BC，CA，AB 的中点.
(1)求直线 DE，EF，FD 的方程；
(2)求 AB 边上的高线 CH 所在直线方程.
【精彩点拨】 (1)先求出 D，E，F 的坐标，再借助共线知识求方程，(2)
借助数量积求解.
上任一点(不与
A，B
重
图 2- 5- 4
2.5 向量的应用
学业分层测评（二十三）
点击图标进入
再见
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为
2，则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，A→F＝(2,1)，D→E＝(1，
－2).
因为A→F·D→E＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
探究2 如何利用向量求经过点P0(x0，y0)，且与a＝(1，k)垂直的直线l 的 方程？
【解】 (1)A→B＝(－13，－15)， →
W1＝F1·AB＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·A→B＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J). ∴力 F1，F2 对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.
【自主解答】
(1)由已知得点
D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，
设 M(x，y)是直线 DE 上任意一点，
则D → M∥D → E.D → M＝(x＋1，y－1)，D → E＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即 x－y＋2＝0 为直线 DE 的方程.
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B1
P
A
D B
C
y
垂直与平行的证明
♣ 直线与平面的平行
与平面的法向量垂直
♣ 直线与平面的垂直
与平面的法向量平行
♣ 平面与平面的平行
两个平面的法向量平行
♣ 平面与平面的垂直
两个平面的法向量垂直
如图，在直三棱柱 ABC —A1B1C1 中，底面是等腰直 角三角形，∠ACB=90°．侧 棱 AA1=2，D、E 分别是 CC1 和 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的 重心 G． ⑴求 A1B 与平面 ABD 所成 角的大小； ⑵求点 A1 到平面 AED 的距 离．
x D F A E y B C
三、求直线与平面间距离
例3、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平 面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求 z 直线BD到平面GEF的距离。 G
x D F A E y B
C
四、求平面与平面间距离
例4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
P E A B
x
D y C
已知正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，P 是 AD 的中 点. ⑴求点 A1 到平面 PBD1 的距离； ⑵求异面直线 AA1 与 BD1 的距 x 离.
z D1 A1 C1
B1
?
P
A D B C
y
AB n n
A1 B1
AB n n
N B b
结论1
点 P 到平面的距离可以通过， 在平面内任取一点 A，求向量 PA在 平面的法向量 n 上的投影来解决.
P
d
PA n n
M
O n N A
结论2
异面直线间的距离可以通过， 在两条直线上任意各取一点 A、B， 求向量 AB 在公共法向量 n 上的投影 来解决. A
法向量的应用
课本P33
已知向量 AB a 和轴 l， e 是 l 上与 l 同方向的单位向量. 作点 A 在 l 上的射影 A’，作点 B 在 l 上的射影 B’，则 A ' B '叫做 向量 AB 在轴上或在 e 方向上的正射影，简 称射影.
A ' B ' AB cos a, e a e
z
d
DA n n
A1
N
D1
F E
C1
M B1 D
C B
y
x
A
四种距离的计算
异面直线的距离 点到平面的距离 直线到与它平行平面的距离 两个平行平面的距离
三种角的计算
异面直线所成的角 直线和平面所成的角 二面角
异面直线所成角的计算
求异面直线 AB 与 CD 所成角 的计算，可以先转化为计算向量 AB 与CD 的夹角，即计算
（1）证明：面PAD⊥面PCD； （2）求AC与PB所成的角； （3）求面AMC与面BMC所成 二面角的大小.
A
D
z
P
M y
B
C
x
在 四 棱 锥 P A BC D 底 面 为 一 直 角 梯 形 ， BAD 90 ， AD // BC ， AB BC a ， AD 2a 且 PA 底面 ABCD，PD 与底 面成30角. ⑴若 AE PD，E 为垂足， 求证： BE PD； ⑵在⑴的条件下，求异面直 线 AE 与 CD 所成角的大小.
x
z
C1
A1 D E G A C B y B1
建立空间坐标系
利用现有三条两两垂直的直线 注意已有的正、直条件 相关几何知识的综合运用
z A
z P
B
y 正三棱锥
D
C
x A x 正四棱锥 x A D C A1 B y
正三棱柱
z C1
B1
C
y
B
（2005年高考题）已知四棱锥P—ABCD的底面 为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底 1 面 ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，M是PB的 2 中点.
A' B ' a e AB n n
课本P41
如果表示向量 a 的有向线段所在直线 垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ，记作 a ⊥. 如果 a ⊥，那么向量 a 叫做平面的 法向量.
l
a
P l M
d
O n A
PA n n
B1
B e A1 A
N
b
MaAFra bibliotekdn
求二面角的平面角，可以先求组成二面 角的两个半平面的法向量之间的夹角，然后 再确定二面角的大小. n
P A B
m
Q
b
l
已知正方体 ABCD — A1B1C1D1 中，P 是 AD 的中 点. AB=2 ①求直线 AD1 与平 面 PBD1 所成角； ②求二面角 A— BD1—P 的大小. x
z D1 A1 C1
d AB n n
M a n N B b
一、求异面直线的距离
例1：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长1， 求异面直线DA1与AC的距离。
D1 z C1 B1 C y A1
n 1,1,1
D
x
A
B
二、求点到平面的距离 例2、已知正方形ABCD的边长为4， CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别 z 是AB、AD的中点，求点B到平面 G GEF的距离。
cos AB, CD AB CD AB CD
斜线与平面所成角的计算
斜线 PA 与平面所 成角的计算，可以先求 向量 PA 与平面的法向 量 n 之间的夹角(即斜线 PA 与平面的垂线的夹 角)，然后利用余角关系 求出斜线与平面所成 角.
n O
PA, n
2
P
A
二面角的平面角的计算