八年级数学整式的除法
初二上册数学整式的除法练习题
初二上册数学整式的除法练习题在初二上册的数学课程中，整式的除法是一个重要的知识点。
通过
练习题的形式进行训练，能够帮助学生更好地掌握和应用这一知识。
本文将为大家提供一些初二上册数学整式的除法练习题，希望对大家
的学习有所帮助。
练习题一: 整式的因式分解
1. 将12a^3a−4a^2a^2−20a^2a^3进行因式分解。
2. 将32a^3a^2−48a^2a^3+16aa^4进行因式分解。
练习题二: 整式的除法
3. 计算 (12a^4+8a^3−4a^2) ÷ (4a^2)。
4. 计算 (16a^3−8a^2+12a) ÷ (4a)。
练习题三: 应用题
5. 若一个长方形的长和宽分别是2a^2−4a和a−3，求该长方形的面积。
6. 某数比2a−1多9，这个数减去4a的四倍等于5a-8，求这个数。
练习题四: 解答题
7. 解方程a^2−5a−14=0。
8. 解方程a^2+7a+10=0。
以上是初二上册数学整式的除法练习题。
希望同学们利用课余时间多加练习，巩固并提高自己的数学能力。
祝大家学业进步！。
整式的除法与余式定理的应用
整式的除法与余式定理的应用整式的除法是数学中的一项基本运算，它在代数学习中起着重要的作用。
除法的目的是将一个多项式除以另一个多项式，并求得商和余数。
在这篇文章中，我们将探讨整式的除法以及余式定理的应用。
一、整式的除法整式的除法是将一个多项式除以另一个多项式，并求得商和余数。
在进行除法运算时，我们通常使用长除法的方法。
下面我们通过一个例子来说明整式的除法过程。
假设我们要计算多项式$P(x) = 3x^3 + 2x^2 - 4x + 1$除以多项式$Q(x) = x - 1$的结果。
首先，我们将$P(x)$的最高次项与$Q(x)$的最高次项相除，即$\frac{3x^3}{x} = 3x^2$。
然后，我们将$3x^2$乘以$Q(x)$，得到$3x^3 - 3x^2$。
接下来，我们将$P(x)$减去$3x^3 - 3x^2$，得到$5x^2 - 4x + 1$。
接下来，我们将$5x^2 - 4x + 1$除以$x - 1$。
同样地，我们将$5x^2$除以$x$，得到$5x$。
然后，我们将$5x$乘以$x - 1$，得到$5x^2 - 5x$。
将$5x^2 - 4x + 1$减去$5x^2 - 5x$，得到$x + 1$。
现在，我们已经无法再进行除法运算了，因为$x + 1$的次数小于$x - 1$的次数。
所以，我们得到了最终的结果：$P(x) = (x - 1)(3x^2 + 5x + 1) + (x + 1)$。
二、余式定理的应用余式定理是整式除法的一个重要应用。
它指出，如果将一个多项式$P(x)$除以$x - a$，所得的余数等于将$a$代入$P(x)$中所得的值。
例如，我们要计算多项式$P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 4$除以$x - 2$的余数。
根据余式定理，我们将$a = 2$代入$P(x)$中，得到$P(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) - 4 = 16 - 20 + 6 - 4 = -2$。
整式的除法法则
整式的除法法则整式的除法法则是指在代数学中，对两个整式进行除法运算的规则。
整式的除法法则是代数学中的基本概念，它是解决代数问题的重要工具。
本文将介绍整式的除法法则的基本概念、步骤和相关例题。
一、整式的基本概念在代数学中，整式是由数字、变量和它们的乘积与幂的和构成的式子。
例如，3x^2+2xy-5是一个整式。
整式的除法是指对两个整式进行除法运算，得到商式和余式的过程。
在整式的除法中，被除式和除数都是整式，它们的系数可以是实数，也可以是复数。
二、整式的除法法则整式的除法包括长除法和短除法两种方法。
下面分别介绍这两种方法的具体步骤。
1. 长除法长除法是一种逐步相除的方法，适用于任意整式的除法运算。
其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。
（2）将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项。
（3）用商式的最高次项乘以除数，得到一个中间结果。
（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。
（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。
2. 短除法短除法是一种简化的除法方法，适用于除数为一次式的情况。
其具体步骤如下：（1）将被除式和除数按照同类项排列。
（2）用被除式的首项除以除数的首项，得到商式的首项。
（3）用商式的首项乘以除数，得到一个中间结果。
（4）将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式。
（5）重复步骤（2）~（4），直到无法再相除为止，得到最终的商式和余式。
三、相关例题下面通过一些例题来演示整式的除法法则的具体应用。
例题1：计算多项式(3x^3-5x^2+2x-1)÷(x-2)。
解：按照长除法的步骤进行计算，首先将被除式和除数按照同类项排列：3x^3-5x^2+2x-1÷ x-2然后将被除式的最高次项与除数的最高次项相除，得到商式的最高次项3x^2。
用3x^2乘以除数x-2，得到一个中间结果3x^3-6x^2。
将中间结果减去被除式，得到一个新的多项式x^2+2x-1。
初中数学 如何计算整式的除法
初中数学如何计算整式的除法整式的除法是初中数学中的重要内容，它涉及到多项式的运算和化简。
在学习整式的除法时，我们需要掌握一些基本的步骤和方法。
本文将详细介绍如何计算整式的除法，并给出一些例题进行说明。
一、整式的定义首先，我们回顾一下整式的定义。
整式是由若干个单项式相加（减）而成的代数式。
例如，3x^2-2x+1就是一个整式。
其中，3x^2、-2x和1都是单项式，它们相加得到整式3x^2-2x+1。
二、整式的除法步骤整式的除法可以分为以下几个步骤：1. 确定被除式和除式：被除式是我们要进行除法运算的整式，除式是我们用来除以被除式的整式。
2. 规范被除式和除式的次序：将被除式和除式按照降幂的次序排列，确保最高次项在前。
3. 比较最高次项：将被除式和除式的最高次项进行比较。
a) 如果被除式的最高次项的次数小于除式的最高次项的次数，那么商式为0，余式为被除式。
b) 如果被除式的最高次项的次数大于或等于除式的最高次项的次数，那么继续进行下一步骤。
4. 计算商式的最高次项：将被除式的最高次项除以除式的最高次项，得到商式的最高次项。
5. 用商式的最高次项乘以除式，并减去得到的结果。
6. 将减去的结果与被除式的下一项相减，并得到新的被除式。
7. 重复步骤4-6，直到被除式的次数小于除式的次数。
8. 最后得到的商式即为整式的商式，被除式除以除式得到的余式即为整式的余式。
三、整式的除法例题现在，我们通过一些具体的例题来演示整式的除法计算。
例题1：计算(3x^3-5x^2+2x-1) ÷ (x-2)解：首先，我们将被除式和除式按照降幂的次序排列：被除式：3x^3-5x^2+2x-1除式：x-2比较最高次项：被除式的最高次项是3x^3，除式的最高次项是x。
被除式的最高次项的次数大于除式的最高次项的次数，我们可以继续进行计算。
计算商式的最高次项：将被除式的最高次项3x^3除以除式的最高次项x，得到3x^2。
用商式的最高次项乘以除式，并减去得到的结果：(3x^2)(x-2) = 3x^3-6x^2将减去的结果与被除式的下一项相减，并得到新的被除式：(3x^3-5x^2+2x-1) - (3x^3-6x^2) = x^2+2x-1现在，我们将新的被除式x^2+2x-1 作为被除式，继续进行下一步骤。
初中数学 什么是整式的除法
初中数学什么是整式的除法整式的除法是指对两个整式进行除法运算，其中被除数除以除数得到商式和余式的过程。
首先，我们来了解一些整式的基本概念。
整式是由常数项、变量项和它们之间的运算符（加法和减法）组成的代数表达式。
常数项是只包含常数的项，变量项是包含变量和常数的项。
例如，3x² + 2xy - 5 是一个整式，其中3x²是变量项，2xy 是变量项，-5 是常数项。
在整式的除法中，被除数通常是一个多项式，除数通常是一个一元多项式（只有一个变量的多项式）。
我们的目标是找到一个商式和余式，使得被除数等于除数乘以商式加上余式。
让我们通过一个例子来说明整式的除法过程：假设我们要计算(2x³ + 5x² - 3x + 1) ÷ (x - 1)。
首先，我们将被除数和除数按照降幂排列，即按照变量的指数从高到低排列。
在这个例子中，被除数已经按照降幂排列，除数为x - 1。
接下来，我们将除数的第一项x 与被除数的第一项2x³进行除法运算。
x 除以2x³等于(1/2)x²。
我们将这个结果乘以除数，得到(1/2)x³ - (1/2)x²。
然后，我们将这个结果与被除数进行减法运算，得到(2x³ + 5x² - 3x + 1) - ((1/2)x³ - (1/2)x²) = (3/2)x³ + (5/2)x² - 3x + 1。
接下来，我们重复上述步骤。
将除数的第一项x 与新的被除数的第一项(3/2)x³进行除法运算，得到(3/2)x²。
我们将这个结果乘以除数，得到(3/2)x³ - (3/2)x²。
然后，我们将这个结果与新的被除数进行减法运算，得到(3/2)x³+ (5/2)x²- ((3/2)x³ - (3/2)x²) = 8x² - 3x + 1。
初二数学整式的除法知识点总结
初二数学整式的除法知识点总结①单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
希翼同学们认真学习上面的知识点，相信老师对整式的除法知识点的总结一定能很好的匡助同学们的学习的。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希翼同学们很好的掌握下面的.内容。
水平的数轴称为 x 轴或者横轴，竖直的数轴称为 y 轴或者纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④ 原点重合①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；普通情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希翼同学们都能考试成功。
《农田里的数学除数是两位数的除法》四年级数学上册教学反思今天我讲了：除数是两位数的除法，感觉教学效果不太好，反思教学过程，感悟颇多。
早就听有经验的老师说过，这堂课不太好上，学生们接受的要慢一些，今天看来确实有一定的难度，本来教学设计就有点生硬、过程无趣，学生迟迟找不到感觉和好的方法，惟独一步一步慢慢引导。
除数是两位数的除法，是小学生学习整数除法的最后阶段，教学重点是确定商的.书写位置，除的顺序及试商的方法，匡助学生解决笔算的算理；难点就是试商。
课上我先让学生回顾除数是一位数除法的计算过程，孩子们能够说出要先从最高位开始除起，最高位不够除，就要看前两位，除到哪一位就把商写在哪一位。
在学习除数是两位数的除法的笔算时，学生已经有了口算的基础，在试商时，学生按老师要求先把想的内容写下来，例如： 24560=？想： 604=240,240 最接近 245，所以商试 4。
整式的除法(一)
02
CHAPTER
整式除法的基本操作
约分
01
02
03
约分定义
约分是整式除法中的一种 简化运算的方法，通过约 简多项式的分母，将多项 式化为最简形式。
约分步骤
首先识别多项式中的最大 公因式，然后将其约去， 使分母变为最小公倍式。
多定理的证明需要 用到整式除法。例如，证明多项 式函数的根的性质、证明不等式
等。
在物理问题中的应用
求解物理方程
在物理中，许多方程可以通过整式除法化简为一元一次方程 或一元二次方程，方便求解。例如，弹性力学中的应力-应变 关系、电路分析中的欧姆定律等。
计算物理量
在物理中，许多物理量的计算需要用到整式除法。例如，计 算速度、加速度、角速度等物理量时，需要用到整式除法来 计算单位换算和公式变换。
注意事项
约分时要注意保持等式的 等价性，即约分前后多项 式的值不变。
通分
通分定义
通分是将两个或多个分数 的分母统一，以便进行加 减运算的方法。
通分步骤
首先找到各个分数的最小 公倍数，然后将各个分数 化为具有相同分母的形式。
注意事项
通分时要注意保持等式的 等价性，即通分前后各分 数值不变。
乘法与除法的关系
公式法
总结词
公式法是利用整式除法的公式进行计 算的方法，适用于一些特定类型的多 项式除法，可以简化计算过程。
详细描述
公式法是通过使用特定的公式来计算整 式除法。例如，在计算$frac{x^3 - 1}{x - 1}$时，可以利用公式法，得到 $frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}$， 进一步化简得到$x^2 + x + 1$。
初二数学整式的除法运算
初二数学整式的除法运算数学中，整式的除法运算是我们学习的一个重要内容。
本文将详细介绍初二数学整式的除法运算，包括概念、步骤和注意事项等。
整式是指由常数、未知数及其系数经过加、减、乘运算组成的代数式。
我们将讨论的整式除法是指对两个整式进行相除运算，得到商式和余式。
一、整式除法的概念整式除法是指对一个整式f(x)除以另一个整式g(x)，得到唯一的商式q(x)和余式r(x)的运算。
其中，被除式f(x)除以除式g(x)的结果是商式q(x)，余项为r(x)，满足等式f(x) = g(x)·q(x) + r(x)。
二、整式除法的步骤整式除法的运算步骤如下：1. 将被除式和除式按照指数降序排列，确保各项系数对应。
2. 令被除式的首项与除式的首项相除，得到商数的首项。
3. 用商数的首项乘以除式的每一项，并与相应的被除式的项相减，得到一个新的多项式。
4. 重复步骤3，直到无法进行减法运算为止，最后所得的多项式为余项。
5. 将商数和余项以及除数等整齐地写在一起，形成整式的除法运算式。
三、整式除法的注意事项在进行整式的除法运算时，需要注意以下几点：1. 每一步的计算都要注意保持各项对齐，以确保正确的运算。
2. 注意将每一步的结果写明，避免出错或遗漏。
3. 在计算过程中，要仔细检查每一步的运算，以确保准确性。
4. 若被除式中某些项的指数小于除式中对应项的指数，可以在被除式前面添加0。
5. 在进行多次步骤3时，可以化简相同指数的项。
示例：现假设有被除式f(x)=3x^3-5x^2+2x-4和除式g(x)=x-2，我们来进行整式的除法运算。
按照上述步骤，我们可以依次进行计算，最终得到商式q(x)=3x^2+1、余式r(x)=0。
四、总结通过以上的介绍，我们了解了初二数学整式的除法运算。
整式除法是一个基础概念，掌握它对于后续的多项式运算和方程的解法有着重要意义。
在进行整式除法时，要注意步骤的执行和运算的准确性，以确保得到正确的结果。
初中数学整式的除法(含答案)
1.3 整式的除法◆赛点归纳整式的除法包括单项式除以单项式，多项式除以单项式，多项式除以多项式．多项式恒等定理：（1）多项式f（x）=g（x），•需且只需这两个多项式的同类项的系数相等；（2）若f（x）=g（x），则对于任意一个值a，都有f（a）=g（a）．余数定理：多项式f（x）除以x－a所得的余数等于f（a）．特别地，当f（x）•能被x－a整除时，有f（a）=0．◆解题指导例1设a、b为整数，观察下列命题：①若3a+5b为偶数，则7a－9b也为偶数；②若a2+b2能被3整除，则a和b也能被3整除；③若a+b是质数，则a－b不是质数；④若a3－b3是4的倍数，则a－b也是4的倍数．其中正确的命题有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个以上【思路探究】对于①看7a－9b与3a+5b的和或差是不是偶数．对于②根据整数n的平方数的特征去判断．对于③、④若不能直接推导是否成立，也可举出反例证明不成立．例2 若2x3－kx2+3被2x+1除后余2，则k的值为（）．A．k=5 B．k=－5 C．k=3 D．k=－3【思路探究】要求k的值，须找到关于k的方程．由2x3－kx2+3被2x+1除后余2，可知2x3－kx2+1能被2x+1整除，由此就可得关于k的一次方程．例3计算：（3x6－2x5－5x4+7x3－19x2+12x）÷（x4－2x2+x－5）．【思路探究】被除式是一个6次六项式，除式是一个4次四项式，直接计算比较复杂，应列竖式计算．例4若多项式x4－x3+ax2+bx+c能被（x－1）3整除，求a、b、c的值．【思路探究】由条件知x4－x3+ax2+bx+c能被x3－3x2+3x－1整除，列竖式可知x4－x3+ax2+bx+c的商式和余式．根据一个多项式被另一个多项式整除，余式恒为零可求a、•b、c的值．【拓展题】设x1，x2，…，x7都是整数，并且x1+4x2+9x3+16x4+25x5+36x6+49x7=1，①4x1+9x2+16x3+25x4+35x5+49x6+64x7=12，②9x1+16x2+25x3+36x4+49x5+64x6+81x7=123，③求16x1+25x2+36x3+49x4+64x5+81x6+100x7的值．◆探索研讨整式除法的综合运用大多与多项式除以多项式相关．多项式除法运算实际上是它们的系数运算．在进行多项式乘除法恒等变形时，它们对应项系数是相等的，由此列方程可求解待定系数．请结合本节的例题，总结自己的发现．◆能力训练1．下列四个数中，对于任一个正整数k，哪个数一定不是完全平方数（）．A．16k B．16k+8 C．4k+1 D．32k+42．要使3x3+mx2+nx+42能被x2－5x+6整除，则m、n应取的值是（）．A．m=8，n=17 B．m=－8，n=17C．m=8，n=－17 D．m=－8，n=－173．（2001，武汉市竞赛）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（）．A．7 B．8 C．15 D．214．对任意有理数x，若x3+ax2+bx+c都能被x2－bx+x整除，则a－b+c的值是（）．A．1 B．0 C．－1 D．－25．满足方程x3+6x2+5x=27y3+9y2+9y+1的正整数对（x，y）有（）．A．0对B．1对C．3对D．无穷多对6．（2003，四川省竞赛）若（3x+1）4=ax4+bx3+cx2+dx+e，则a－b+c－d+e=________．7．（2004，北京市竞赛）用正整数a去除63，91，129所得的3个余数的和是25，则a 的值为________．8．已知多项式3x3+ax2+bx+1能被x2+1整除，且商式是3x+1，那么（－a）b的值是_____．9．若多项式x4+mx3+nx－16含有因式（x－1）和（x－2），则mn=________．10．多项式x135+x125－x115+x5+1除以多项式x3－x所得的余式是_______．11．计算：（1）（6x5－7x4y+x3y2+20x2y3－22xy4+8y5）÷（2x2－3xy+y2）；（2）（41m－m3+15m4－70－m2）÷（3m2－2m+7）．12．已知a、b、c为有理数，且多项式x3+ax2+bx+c能够被x2+3x－4整除．（1）求4a+c的值；（2）求2a－2b－c的值；（3）若a、b、c为整数，且c≥a>1，试确定a、b、c的大小．13．（2000，“五羊杯”，初二）已知x6+4x5+2x4－6x3－3x2+2x+1=[f（x）] 2，其中f（x）是x的多项式，求这个多项式．14．已知一个矩形的长、宽分别为正整数a、b，其面积的数值等于它的周长数值的2倍，求a+b的值．15．（2004，北京市竞赛）能将任意8个连续的正整数分为两组，使得每组4•个数的平方和相等吗？如果能，请给出一种分组法，并加以验证；如果不能，请说明理由．答案:解题指导例1 C [提示：命题①成立．因为（7a－9b）－（3a+5b）=2（2a－7b）是偶数；命题②也成立．因为整数n的平方被3除余数只能为0或1，3整除a2+b2，表明a2、b2被3除的余数都是0，所以a和b都能被3整除；命题③不成立．如5+2=7和5－2=3都是质数；命题④也不成立．例如a=2，b=0．]例2 C [提示：∵2x3－kx2+3被2x+1除后余2，∴2x3－kx2+1能被2x+1整除．令2x+1=0，得x=－12．代入2x3－kx2+1=0，得2×（－12）3－k（－12）2+1=0，即－14－14k+1=0，解得k=3．]例3（3x6－2x5－5x4+7x3－19x2+12x）÷（x4－2x2+x－5）=3x2－2x+1……x+5．例4 x4－x3+ax2+bx+c=（x3－3x2+3x－1）（x+2）+（a+3）x2+（b－5）x+（c+2）．由余式恒等于0，得a+3=0，b－5=0，c+2=0．∴a=－3，b=5，c=－2．【拓展题】设四个连续自然数的平方为：n2、（n+1）2、（n+2）2、（n+3）2，则（n+3）2=a（n+2）2+b（n+1）2+cn2．整理得n2+6n+9=（a+b+c）n2+（4a+2b）n+4a+b．∴a+b+c=1，4a+2b=6，4a+b=9．解得a=3，b=－3，c=1，∴16x1+25x2+36x3+49x4+64x5+81x6+100x7=③×3－②×3+①=123×3－12×3+1=334．能力训练1．B [提示：16k+8=8（2k+1）．因2k+1是奇数，8•乘以一个奇数一定不是完全平方数．] 2．D [提示：∵3x3+mx2+nx+42=（x2－5x+6）（3x+7）+（m+8）x2+（n+17）x．∴80,8,170,17.m mn n+==-⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得．]3．D [提示：∵（x+1）（x+2）=x2+3x+2，∴x3+ax2+bx+8=（x2+3x+2）（x+4）+（a－7）x2+（b－14）x．∴70,7,140,14.a ab b-==⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩∴a+b=21．]4．A [提示：∵x3+ax2+bx+c=（x2－bx+c）（x+1）+（a+b－1）x2+（2b－c）x，∴10,(1)20.(2)a bb c+-=⎧⎨-=⎩（1）－（2），得a－b+c=1．]5．A [提示：原方程可变形为x（x+1）（x+5）=3（9y3+3y2+3y）+1．①如果有正整数x、y使①成立，那么由于x，x+1，x+5=（x+2）+3这3个数除以3所得余数互不相同，所以其中必有一个被3整除，即①的左边被3整除，而①的右边不被3整除，这就产生矛盾．所以原方程没有正整数解．]6．16 [提示：令x=－1，得a－b+c－d+e=16．]7．43 [提示：由题意，有63=a×k1+r1，91=a×k2+r2，129=a×k3+r3．（0≤r1、r2、r3<a）相加得63+91+129=a（k1+k2+k3）+（r1+r2+r3）=a（k1+k2+k3）+25．故258被a整除．由于258=2×3×43，a大于余数，且3个余数的得25，所以a>8．•又a不超过63、91、129中的最小者63，故258的因数中符合要求的只有a=43．]8．－1 [提示：∵（x2+1）（3x+1）=3x3+x2+3x+1，∴3x3+ax2+bx+1=3x3+x2+3x+1．∴a=1，b=3，即（－a）b=（－1）3=－1．]9．－100 [提示：∵（x－1）（x－2）=x2－3x+2，x4+mx3+nx－16=（x2－3x+2）[x2+（m+3）x－8]+（3m+15）x2+（n－2m－30）x，∴3150,5,2300,20.m mn m n+==-⎧⎧⎨⎨--==⎩⎩解得∴mn=－100．]10．2x+1 [提示：设x135+x125－x115+x5+1=（x3－x）f（x）+ax2+bx+c，其中f（x）为商式．取x=0，得c=1；取x=1，得a+b+c=3．取x=－1，得a－b+c=－1．解得a=0，b=2，c=1．故所求余式为2x+1．]11．（1）商式为3x3+x2y+12xy2+34133,44y余式为xy4－94y5．（2）商式为5m2+3m－10，余式为0．12．（1）∵（x－1）（x+4）=x2+3x－4，令x－1=0，得x=1；令x+4=0，得x=－4．当x=1时，得1+a+b+c=0；①当x=－4时，得－64+16a－4b+c=0．②②－①，得15a－5b=65，即3a－b=13．③①+③，得4a+c=12．（2）③－①，得2a－2b－c=14．（3）∵c≥a>1，4a+c=12，a、b、c为整数，∴a≥2，c≥2，则a=2，c=4，又a+b+c=－1，∴b=－7．13．设f（x）=±（x3+Ax2+Bx+1）或±（x3+Ax2+Bx－1）．先设f（x）=x3+Ax2+Bx+1，则[f（x）] 2=x6+2Ax5+（A2+2B）x4+（2AB+2）x3+（2A+B2）x2+2Bx+1，故2A=4，A2+2B=2，2AB+2=－6，2A+B2=－3，2B=2，无解．再设f（x）=x3+Ax2+Bx－1，则[f（x）] 2=x6+2Ax5+（A2+2B）x4+（2AB－2）x3+（B2－2A）x2－2Bx+1，故2A=4，A2+2B=2，2AB－2=－6，B2－2A=－3，－2B=2．解得A=2，B=－1．故所求的多项式为±（x3+2x2－x－1）．14．由题意得ab=2（2a+2b）．∴ab－4a=4b，∴a=416444bb b=+--．∵a、b均为正整数，且a>b．∴（b－4）一定是16的正约数．当（b－4）分别取1、2、4、8、16时，代入上式，得b－4=1时，b=5，a=20；b－4=2时，b=6，a=12；b－4=4时，b=8，a=8（舍去）；b－4=8时，b=12，a=6（舍去）；b－4=16时，b=20，a=5（舍去）．∴只有a=20，b=5或a=12，b=6符合题意，把a+b=25或18．15．能设任意8个连续的正整数为a，a+1，a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7．将其分为如下两组：{a+1，a+2，a+4，a+7}，{a，a+3，a+5，a+6}即满足要求．验证如下：先将任意8个连续的正整数按如下分为等和的两组，满足a+（a+1）+（a+6）+（a+7）=（a+2）+（a+3）+（a+4）+（a+5）则[（a）+（a+1）]·[（a+6）+（a+7）]·1=[（a+2）+（a+3）]·1+[（a+4）+（a+5）]·1 即[（a）+（a+1）][（a+1）－（a）]+[（a+6）+（a+7）][（a+7）－（a+6）]=[（a+2）+（a+3）][（a+3）－（a+2）]+[（a+4）+（a+5）]·[（a+5）－（a+4）]．故（a+1）2－a2+（a+7）2－（a+6）2=（a+3）2－（a+2）2+（a+5）2－（a+4）2．也就是（a+1）2+（a+2）2+（a+4）2+（a+7）2=a2+（a+3）2+（a+5）2+（a+6）2．于是，分任意8个连续的正整数为如下两组：{a+1，a+2，a+4，a+7}，{a，a+3，a+5，a+6}．则满足（a+1）2+（a+2）2+（a+4）2+（a+7）2=a2+（a+3）2+（a+5）2+（a+6）2．。
人教版数学八年级上册15.3.2《整式的除法》教案
人教版数学八年级上册15.3.2《整式的除法》教案一. 教材分析《整式的除法》是人教版数学八年级上册第15章第三节的一部分，主要内容包括单项式除以单项式、多项式除以单项式以及多项式除以多项式的运算方法。
这一节内容在数学学习中占据重要地位，是学生进一步学习函数、不等式等数学知识的基础。
通过本节内容的学习，学生能够掌握整式除法的基本运算方法，提高运算能力，并为后续学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的加减、乘法等基本运算，具备一定的数学基础。
但学生在进行整式除法运算时，容易出错，对除法运算的理解不够深入。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，通过具体例子引导学生理解整式除法的运算规律，提高学生的运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握整式除法的基本运算方法，能够熟练地进行整式除法运算。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学学习的成就感。
四. 教学重难点1.重点：整式除法的基本运算方法。
2.难点：理解整式除法的运算规律，能够灵活运用整式除法解决实际问题。
五. 教学方法采用“引导探究法”和“合作交流法”，教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，发现整式除法的运算规律，培养学生的问题解决能力。
同时，鼓励学生进行合作交流，分享学习心得，提高学生的沟通能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需熟练掌握整式除法的运算方法，了解学生的学习情况，准备相关教学素材。
2.学生准备：学生需预习整式除法相关内容，了解基本概念，准备参与课堂讨论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的例子，引导学生回顾整式的加减、乘法运算，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示整式除法的例子，引导学生观察、分析，发现整式除法的运算规律。
学生通过自主探究，总结整式除法的基本方法。
人教版数学八年级上册15.3.2《整式的除法》说课稿
人教版数学八年级上册15.3.2《整式的除法》说课稿一. 教材分析《整式的除法》是人教版数学八年级上册第15章第三节的一部分，它是初中数学中重要的基础知识。
本节内容主要介绍整式除法的基本概念、运算方法和应用。
通过本节的学习，学生能够掌握整式除法的运算规则，并能运用整式除法解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了整式的加减乘运算，具备一定的代数基础。
但学生在进行整式除法运算时，容易混淆运算规则，对除法运算的理解不够深入。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生正确理解整式除法的概念和运算规则。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解整式除法的基本概念，掌握整式除法的运算方法，能够熟练进行整式除法的计算。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生运算能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：整式除法的基本概念，整式除法的运算方法。
2.教学难点：整式除法运算中，如何正确处理多项式的除法运算。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件，进行直观演示和讲解，帮助学生理解整式除法的概念和运算方法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习整式的加减乘运算，引出整式除法运算的概念。
2.自主学习：学生自主学习整式除法的基本概念和运算方法。
3.合作交流：学生分组讨论，总结整式除法的运算规则。
4.教师讲解：针对学生不易理解的地方，进行重点讲解和演示。
5.练习巩固：学生进行适量练习，巩固整式除法的运算方法。
6.拓展应用：引导学生运用整式除法解决实际问题。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：已知两个整式A和B，若存在一个整式C，使得A = BC，则称B是A的除数，C是A除以B的商。
2.运算规则：（1）同底数幂相除，底数不变，指数相减。
华师大版数学八年级上册12.4《整式的除法》说课稿
华师大版数学八年级上册12.4《整式的除法》说课稿一. 教材分析华师大版数学八年级上册12.4《整式的除法》这一节，是在学生学习了有理数的乘方、整式的乘法、因式分解等知识的基础上进行讲解的。
本节主要介绍了整式的除法运算，包括单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式三种情况。
本节内容在初中数学中占据着重要的地位，是为后续学习函数、不等式等知识打下基础的关键环节。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了有理数的乘方、整式的乘法、因式分解等知识，具备了一定的数学基础。
但是，整式的除法作为一种新的运算，对学生来说还是相对陌生的，需要通过实例分析、自主探究、合作交流等方式，来理解和掌握这种运算方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握整式的除法运算，能够正确进行整式的除法计算。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：整式的除法运算方法。
2.教学难点：理解并掌握整式除法的基本原理，能够灵活运用整式除法解决实际问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用自主探究、合作交流、讲授法、案例分析法等多种教学方法。
利用多媒体课件、黑板等教学手段，帮助学生直观地理解整式的除法运算。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习整式的乘法、因式分解等知识，引出整式的除法运算。
2.自主探究：让学生自主尝试解决整式的除法问题，引导学生发现整式除法的基本原理。
3.合作交流：学生分组讨论，总结整式除法的方法和步骤。
4.案例分析：教师出示典型例题，讲解整式除法的具体运算方法。
5.巩固练习：学生独立完成练习题，检验对整式除法的掌握程度。
6.课堂小结：教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。
7.课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固整式除法运算。
七. 说板书设计板书设计如下：•单项式除以单项式•多项式除以单项式•多项式除以多项式八. 说教学评价本节课通过以下几个方面进行教学评价：1.学生对整式除法运算的掌握程度。
整式的除法概念及法则
整式的除法概念及法则一、整式的定义整式是代数式的一种形式，它由若干个代数式按照加法和减法运算符连接而成，且每个代数式都是整数或有理数的乘积。
整式通常用字母表示未知数，也可以用具体数字表示。
二、整式的除法概念整式的除法即将一个整式除以另一个整式的运算。
整式的除法可以简化代数式的表达，使得计算更加简便。
1. 一般的除法过程整式的除法过程与算术中的除法类似，主要包括以下步骤： - 将除式与被除式按照一定规则对齐。
- 依次将被除式里的每一项与除式的首项进行除法运算。
- 求商的步骤需要使用乘法和减法运算。
- 直至被除式的所有项都进行了除法运算，最后的余数项可以保留或继续进行进一步的合并化简。
2. 整式的除法的结果若整式A除以整式B的结果为整式C，则满足等式：A = B * C。
其中，整式C称为A除以B的商，若除法运算有余数，则余数也是整式。
三、整式除法的基本法则整式的除法具有一些基本的法则，我们可以根据这些法则进行整式的除法运算。
1. 除法的可逆性对于任意非零的整式A、B和C来说，若A除以B的商为C，则A除以C的商等于B，即：A / B = C，则 A / C = B。
2. 除法的唯一性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，同时A除以B的商为D，则C和D相等，即：如果 A / B = C 且 A / B = D ，那么 C = D。
3. 除法的分配性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，则A加上C乘以B的结果等于A乘以D的商，即： A / B = C 那么 A + C * B = A / D4. 除法的消去性对于任意非零的整式A、B、C和D来说，若A除以B的商为C，则A乘以D除以B乘以D的商等于C，即：如果 A / B = C ，那么 A * D / B * D = C。
四、整式除法的具体步骤整式除法的具体步骤如下： 1. 根据除法的定义，对于被除式和除式进行合理的排列，确保每一项按照幂次降序排列。
《整式的除法》整式的运算
与方程式的解法的综合应用
代数方程的解法
利用整可以找到方程的根 。
方程的根的性质
通过整式除法，可以进一步研究方程的根的性质，例如根的乘积、根的加法、根的减法等。
与因式分解的综合应用
因式分解与整除
整式除法中的整除与因式分解有着密切 的联系，通过整除可以将一个多项式分 解为若干个一次因式的乘积。
逆用公式
在解决复杂的整式除法问 题时，可以逆用一些基本 公式，简化计算过程。
借助工具
使用一些数学工具，如因 式分解、三角函数等，来 解决复杂的整式除法问题 。
如何进行一题多解的整式除法练习
尝试不同的解法
01
对于同一道整式除法题目，尝试使用不同的解法来解决，开拓
思路。
总结各种解法的优缺点
02
在尝试不同的解法之后，总结各种解法的优缺点，找出最优解
整式除法的应用举例
多项式除以单项式
将一个多项式除以一个单项式，得到商和余数。
多项式除以多项式
将一个多项式除以另一个多项式，得到商和余数。
整式的约分
通过约分简化整式的计算。
整式的通分
通过通分将不同的分母变为相同的分母，便于计算。
03
整式除法的计算技巧
提公因式法
总结词
提公因式法是一种通过提取多项式中的公因式来简化计算的 方法。
分组分解法
总结词
分组分解法是一种通过分组来分解多项式的方法。
详细描述
分组分解法基于多项式的结构特点，将多项式分成若干组，然后分别对每组进行因式分解。在整式除法中，分组 分解法可以用于分解被除式和除式，从而得到商和余数。使用分组分解法需要熟练掌握因式分解的方法和技巧， 以及对多项式结构的识别能力。
《整式的除法》课件
《整式的除法》课件
目 录
• 整式除法的定义与法则 • 整式除法的运算性质 • 整式除法的应用 • 整式除法与因式分解的联系 • 整式除法常见错误及防范措施
01
整式除法的定义与法则
整式除法的定义
整式除法是数学中基本的四则运算之一，是整式的除法运算 。
整式除法涉及到多项式除以单项式的运算，其运算法则是根 据多项式与单项式的除法法则进行计算。
详细描述
例如，将(ab)c÷(cd)算成(ab)^c/(cd)，而正确的计算结果应为(ab)^c/(cd)。这 种错误需要学生在进行乘方运算时特别注意符号的使用方法和解析
以 ax^2+bx+c=0 为例，利用整式的除法可得到两个一元一 次方程 ax+b=0 和 x^2+c=0，再分别求解即可。
应用解析
解题思路
整式的除法是数学中重要的基本技能之一，通过将复杂的多项式进行因式分 解，把高次方程转化为一元一次方程，从而降低解题难度，快速得到答案。
注意事项
在利用整式除法解题时，需要注意因式分解要彻底，直到不能继续分解为止 ，同时需关注符号和顺序等问题，避免出现错误。
在进行整式除法的计算时，可以将多项式转化为分数的形式，然后利用分数的除 法法则进行计算，这样就可以将复杂的计算简化。
02
整式除法的运算性质
乘除混合运算的性质
乘除混合运算的顺序是先乘后除，与加减法混合运算的顺序 相同。
乘除混合运算的结果可以用乘法分配律进行简化，例如$2 \times (a + b) = 2a + 2b$。
因式分解在整式除法中的应用
01
在进行整式除法计算时，可以先将多项式进行因式分解，将除 法转化为乘法
《整式的除法》整式的乘除与因式分解
《整式的除法》整式的乘除与因式分解日期:目录•整式的乘法和除法概述•整式的因式分解•整式的除法详细解析•练习题与答疑整式的乘法和除法概述整式是由常数、变量和运算符（加、减、乘）构成的代数表达式。
定义整式具有结合律、交换律和分配律等代数性质。
性质整式的定义和性质两个整式相乘时，可以将它们的各项相乘并相加，得到一个新的整式作为乘积。
在整式的除法中，我们通常通过因式分解的方式将被除数和除数进行化简，然后消除相同的因式，得到最简结果。
乘法法则和除法法则除法法则乘法法则解决实际问题：整式的乘除常常用于解决各种实际问题，如工程问题、物理问题等，通过建立整式模型，可以更好地理解和解决问题。
计算机科学：在计算机科学中，整式的乘除也有重要应用，如多项式求值、密码学等领域。
这些内容构成了《整式的除法》中整式的乘除与因式分解的基本框架和知识点。
通过对这些内容的深入学习和理解，可以更好地掌握整式的乘除运算以及其在各个领域中的应用。
数学推导：在数学推导过程中，整式的乘除是基本的代数运算，它们被广泛应用于证明定理、化简表达式等。
整式乘除的应用场景整式的因式分解因式分解的定义和意义因式分解，又称作因子分解，是将一个多项式表示为几个多项式的乘积的过程。
意义因式分解是代数的基本工具，它简化了多项式的运算，并在解决方程、不等式和其他数学问题中起到关键作用。
当多项式的各项有公共因式时，可将公共因式提取出来，从而简化多项式。
提公因式法公式法分组分解法利用代数公式，如平方差公式、完全平方公式等，进行因式分解。
将多项式的项分组，使每组都能进行因式分解，然后再将各组的结果结合起来。
030201常见因式分解的方法通过因式分解，可以将某些类型的方程（如一元二次方程）化为更简单的形式，从而更容易求解。
解方程因式分解在不等式的求解过程中也起到简化作用，通过分解可以更清晰地看出不等式的解集。
求解不等式在多项式运算中，通过因式分解可以简化计算过程，提高计算效率。
八年级上数学人教版《 整式的除法》课堂笔记
《整式的除法》课堂笔记
一、单项式除以单项式
1.定义：单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；
对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。
2.法则：把系数相除，同底数幂相除，作为商的因式，再把只在被除式里含
有的字母和指数一起作为商的一个因式。
二、多项式除以单项式
1.定义：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再
把所得的商相加。
2.法则：多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再
把所得的商相加。
三、注意事项
1.确保除数和被除数的符号正确。
2.注意运算顺序，先进行乘除运算，再进行加减运算。
3.当多项式除以单项式时，每一项都需要单独进行除法运算。
4.整式的除法需要保证结果的简洁性，尽量避免出现过于复杂的表达式。
四、例题解析
（此处可以记录课堂上讲解的例题及其解析）
五、练习题
（此处可以记录课堂上布置的练习题）
六、课堂小结
1.掌握了整式的除法的基本法则和运算方法。
2.理解了整式的除法的意义，掌握了运算过程中的符号变化和运算顺序。
3.通过练习，提高了整式的除法的运算能力。
以上是八年级上数学人教版《整式的除法》的课堂笔记，希望能对您有所帮助。
八年级数学上册综合算式专项练习题整式的除法运算
八年级数学上册综合算式专项练习题整式的除法运算八年级数学上册综合算式专项练习题：整式的除法运算整式是指由代数式经过加、减、乘运算得到的代数式。
在数学中，整式的除法运算是一个重要的概念，能够帮助我们解决各种复杂的数学问题。
本文将围绕整式的除法运算展开，介绍一些典型的综合算式专项练习题。
1. 问题描述：已知两个整式 f(x) = 3x^3 + 5x^2 - 2x - 6 和 g(x) = x + 2 ，求 f(x) ÷g(x) 的结果。
解答过程：我们可以使用长除法的方法来进行整式的除法运算。
首先，我们将被除式 f(x) 和除式 g(x) 按照降幂排列：3x^3 + 5x^2 - 2x - 6___________________x + 2 | 3x^3 + 0x^2 + 0x - 6我们将被除式的最高次项 3x^3 除以除式的最高次项 x，得到商为3x^2。
接下来，我们将商与除式相乘，并将结果减去被除式： 3x^3 + 5x^2 - 2x - 6x + 2 | 3x^3 + 0x^2 + 0x - 6-(3x^3 + 6x^2)______________- x^2 - 2x - 6此时，我们可以继续将商 -x^2 除以除式 x，并重复上述步骤，直到被除式的次数低于除式的次数为止。
最后的余数为 - 3。
所以，整式 f(x) ÷ g(x) 的结果为 3x^2 - x - 3，余数为 - 3。
2. 问题描述：已知两个整式 p(x) = 2x^5 - 3x^4 + 4x^3 - x^2 + 5 和 q(x) = x - 2 ，求p(x) ÷ q(x) 的结果。
解答过程：同样地，我们将被除式 p(x) 和除式 q(x) 按照降幂排列：2x^5 - 3x^4 + 4x^3 - x^2 + 5__________________________________x - 2 | 2x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 5由于 p(x) 的最高次项是 x^5，而 q(x) 的最高次项是 x，所以我们无法直接将其相除。
八年级数学上册综合算式专项练习整式的除法运算
八年级数学上册综合算式专项练习整式的除法运算在八年级数学上册中，综合算式是一个重要的考点。
其中，整式的除法运算是我们需要重点掌握的内容之一。
本文将为您详细介绍整式的除法运算方法和注意事项，以帮助您顺利解决相关习题。
一、整式的除法运算概述整式的除法运算主要是指将一个整式除以另一个整式，并求得商式和余式的过程。
其中，被除式通常是多项式，除式通常是单项式或多项式。
在整式的除法运算中，我们需要注意以下几个关键概念：1. 商式：将被除式除以除式所得到的结果，即商式。
商式通常是一个多项式。
2. 余式：在整式的除法运算中，除式不能整除被除式时所得到的剩余部分，即余式。
余式通常是一个多项式，其次数低于除式。
3. 被除式：需要被除的整式，一般为多项式。
4. 除式：用于除被除式的整式，可以是单项式或多项式。
二、整式的除法运算步骤下面，我们将分步骤详细介绍整式的除法运算方法。
步骤一：将整式按照降幂排列，即从高次项到低次项的顺序。
步骤二：将除式的首项与被除式的首项进行相除，得到商项的首项。
将商项的首项与除式相乘，得到一个新的多项式，然后将其与被除式相减。
这样得到的多项式称为“第一次相减所得的多项式”，记为A1。
步骤三：将A1按照降幂排列。
步骤四：将A1的首项与除式的首项相除，得到商项的次项，然后将其与除式相乘，得到一个新的多项式，再次与被除式相减，所得的多项式记为A2。
步骤五：将A2按照降幂排列。
重复进行上述步骤，直到最后所得的A(n-1)的次数低于除式的次数，此时所得的多项式即为余式。
经过以上步骤的计算，我们可以得到整式的商式和余式。
三、整式的除法运算注意事项在进行整式的除法运算时，我们还需要注意以下几个要点：1. 除式不等于零：除式不能为零，否则计算将无法进行。
2. 除式次数低于被除式次数：除式的次数应低于或等于被除式的次数，否则计算结果将不正确。
3. 降幂排列：在每一次减法运算后，得到的多项式需要按照降幂排列，以便进行下一步的计算。
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小结
单项式相除
1、系数相除； 2、同底数幂相除； 3、只在被除式里的幂不变。
（一）
多项式除以单项式
（二）
先把这个多项式的每一 项分别除以单项式，再把 所得的商相加。
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个小饭店快三年了，还从来没有招待过老乡呢！今日能够与您认识，真正荣幸得很啊！”李老乡也说：“我也非常高兴啊！不 要说在景德镇上了，就是在杭州，我也从来没有遇到过老乡呢！”尽管历来就有“老乡见老乡，两眼泪汪汪”这一人皆认同的 说法，但耿正今儿个在自己的“南北小饭庄”里与李老乡的不期相遇，却是另外的一番景象呢！俩人就好像是他乡遇到了故知 一样，很快就无话不谈了！看到弟弟将最后吃完饭的几位客人送出门外了，耿正向他招招手，说：“小直子，你过来！”耿直 赶快过来，说：“哥，什么事儿？”耿正说：“你来认识一下，这位李叔叔是咱们的稷山老乡！”又指着耿直对稷山李老乡说： “这是我的亲兄弟，他叫耿直；对啦，我叫耿正。”耿直赶快恭恭敬敬地拱手施礼，说：“李叔叔好！我说呢，您的口音听起 来有些耳熟。”李老乡看看耿直，又看看耿正，说：“一看就是亲兄弟俩，长得真像啊！”又笑着对耿正说：“你的这个兄弟 机灵得很，也很会做生意呢！”耿正笑一笑，对李老乡说：“我还没有给您介绍我的妹妹呢！”耿直赶快说：“我这就去叫姐 姐出来！”估计今日中午已经不再需要做客饭了，耿英正在厨房里将做剩下的食材归并一番，准备兄妹三个自己吃的饭菜呢。 有一会儿了不见哥哥和弟弟进来，耿英心里不免有些着急。正在这时，耿直大步流星地走了进来。一听弟弟说那人是稷山老乡， 耿英也很高兴，连围裙也没有解就赶快出来见过，口称：“李叔叔好！我叫耿英。您能来我们这个小饭店吃饭，我非常高兴！ 我们来景德镇几年了，终于遇到了老乡！”看着眼前这位身材高挑，端庄大方，口齿又非常利落的姑娘，李老乡不由地竖起大 拇指称赞道：“呵，这英丫头不简单，真正的女中豪杰啊！”耿英不好意思地笑了，说：“李叔叔您过奖了，什么女中豪杰， 我就是个做饭的嘛！您和我哥我弟继续聊着，我去再炒两个菜，咱们好好喝一杯！”李老乡说：“我已经吃过了，只做你们吃 的就行了！看我，光顾了高兴地说话，你们还没有吃饭呢！”耿直对耿正说：“哥你陪李叔叔说话吧，我去帮姐姐做饭！”不 一会儿，耿直开始上饭了。耿正赶快站起身来招呼弟弟，说：“小直子，摆在正中间的那张桌子上吧！”当饭菜和餐具都上齐 了后，耿英也解去围裙，从酒柜里拿了一小坛白酒和一小坛米酒出来。耿正请李老乡来这张桌子的上位重新落座，说：“虽说 是便饭，但您是长辈，理应坐在上位！”李老乡推辞说：“我已经吃过了，你们快吃吧！”又说：“我的话还没有说完呢，不 能走啊！你们快去吃，我就在这里坐着喝茶！”耿正坚持说：“只是喝杯酒，就点儿菜！至于再吃多少饭，您自便不就行了 嘛！”耿英和耿直也都热情地过来请，李老乡就笑着过来在上位
计算
3 2 3 2 14 a 7 a 7 a 1 14 a 7 a 7 a 7a
2 15x 3y 5 10x 4y 4 20x 3y 2 5x 3y 2
3y 3 2xy 2 4
先填空，再用适当的方法验证计算的正确性。 1 625 125 50 25
（ 625 ）÷（ 25 ）+（ 125 32
）÷（ 25 ）+（ 50 ）÷（ 25 ）
2 4a 6 2 =(4a) ÷2+( 6 ) 2 3 2a a 2a
2a 2 a
15x 3y 5 5x 3y 2 10x 4y 4 5x 3y 2 20x 3y 2 5x 3y 2
1.填空
5 2 3 （1）（ ）·3 a b =-9 a b 3b
（2）－12a3bc÷(
（3）[3a2－ ( （4）(
8
=
你是怎样计算的？
3.8 × 104 ≈ 3.39×108-4 1.12 10 4 = 3.39×10 （秒）
8
由此你能找到计算 3a 8 2a 4 的方法吗？
3 4 2
计算 6a b 3a b 呢？
14a b x 4ab
3 2 2
两个单项式相除， 可以转化为系数与系数相 除以及同底数幂相除。
保留在商里 作为因式。
计算
4 4 2 1 a x y ax y 3
7 4 3
(2) 2a2b (3b2c) ÷(4ab3)
1b1+2-3c =[2 x (3)÷4]a2-
= [(1)÷(-
1x44y32 )]a7-
=
a6y
= - ac
1.下列计算错在哪里？应怎样改正？
-2x+3 )
)=4 3 ac a2b
)] ÷（－a）=－3a+2b 2ab ·(－2xy)=4x2y－6xy
2、计算
1 15x y 10xy 5xy 3 2 2 3 2 2 4c d 6c d 3c d
2 2
(3) [(x+y)2 -y(2x+y) -8x] ÷2x
14· a3· b2· x
=
4· a· b2
=
1b22x = a3-
a 2x
单项式除以单项式的法则
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的 因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指 数作为商的一个因式。
理解 商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂
被除式的系数 除式的系数
底数不变， 指数相减。
(
÷2=
2a+3
2a
2
1 a 2
) ÷(-2a)+(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
) ÷(-2a)
从上述第（2）、（3）题的计算中，你能归纳出 多项式除以单项式的运算方法吗？
多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除 以这个单项式，再把所得的商相加。
（a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m (m≠0)
1 12a b c 6ab 2ab 5 4 3 2 3 2 p q 2 p q 2 p q
3 3 2
2a2bc 1 2 3 pq 2
2.计算： (1) (10ab3)÷(5b2)
(2) 3a3÷ (6a6)(2a4) (3) (12s4 t6) ÷(2s2 t3) 2
阿 姆 斯 特 朗
1969年7月，阿姆斯特朗、柯林斯、艾德林三位宇 航员乘坐“阿波罗11号”做环月旅行，完成了人 类的第一次登月。
月球是距离地球最近的天体，它与地球的平 8 均距离约为3.8×10 米。如果宇宙飞船以 4 1.12×10 米∕秒的速度飞行，到达月球大约 需要多少时间？
3.8×10 4 1.12×10
1 1 2 2 2 现有四个单项式： 2a bc , abc , 2a bc , abc 2
规定只能用乘法或除法运算。使由4个单项式 组成的算式的计算结果是一个常数，你能写 出该算式吗？能写出几个呢?
(2a2bc )( abc2)÷[ ( ＝ abc2) (－2a2bc)]
2
3
a3b2c3÷(－a3b2c3)＝－