轴对称总复习
轴对称 专题复习(带详解)
轴对称典例详解例1. 如图，四边形OABC 是面积为4的正方形，函数)0x (xky >=的图象经过点B .(1) 求k 的值；（2）将正方形OABC 分别沿直线AB ，BC 翻折，得到正方形MABC ′和NA′BC .设线段MC ′，NA′分别与函数)0x (xky >=的图象交于点F ，E . 求线段EF 所在直线的解析式. 解：解：(1) ∵ B （2,2），∴ k = 4 ………………………………………1分 (2) 由翻折可知，M （4,0）N （0,4）可求得F （4,1），E （1,4）………………….3分 设直线EF 的解析式为b kx y +=， 可求得5b ,1k =-= (4)分所以，线段EF 所在直线的解析式为5x y +-=……………………………………5分 例2.(1)观察发现如题26(a)图，若点A ，B 在直线同侧，在直线上找一点P ，使AP+BP 的值最小． 做法如下：作点B 关于直线的对称点B '，连接AB '，与直线的交点就是所求的点P 再如题26(b)图，在等边三角形ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP+PE 的值最小．做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这 点就是所求的点P ，故BP+PE 的最小值为 ．题26(a)图 题26(b)图(2)实践运用如题26(c)图，已知⊙O 的直径CD 为4，AD 的度数为60°，点B 是AD 的中点，在直径CD 上找一点P ，使BP+AP 的值最小，并求BP+AP 的最小值．题26(c)图题26(d)图(3)拓展延伸如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．【答案】解：（1（2）如图：作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，因为AD的度数为60°，点B是AD的中点，所以∠AEB=15°，因为B关于CD的对称点E，所以∠BOE=60°，所以△OBE为等边三角形，所以∠OEB=60°，所以∠OEA=45°，又因为OA=OE，所以△OAE为等腰直角三角形，所以AE=（3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可，例3.将边长OA=8，OC=10的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O 为原点，顶点C 、A 分别在x 轴和y 轴上.在OA 、OC 边上选取适当的点E 、F ，连接EF ，将△EOF 沿EF 折叠，使点O 落在AB 边上的点D 处．图1 图2 图2-1（1）如图1，当点F 与点C 重合时，求OE 的长度.（2）如图2，当点F 与点C 不重合时，过点D 作DG ∥y 轴交EF 于点T ，交OC 于点G ，求证：EO=DT.解（1）如图1，设OE 为x ，则AE 为8-x. ∵△EDF 是由△EFO 折叠得到的， ∴OE=DE=x ，OC=DC=10.∵在直角△BCD 中由勾股定理知BD=6，则AD=4， ∴在直角△ADE 中,(8-x)2+16=x 2,则x=5. ∴OE 的长为5. 证明：（2）如图2-1，∵△EDF 是由△EFO 折叠得到的， ∴DE=EO ，∠1=∠2． 又∵DG∥y 轴， ∴∠1=∠3.∴∠2=∠3． ∴DE=DT ． ∴EO=DT ．例4.已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ． （1）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（2）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设O B x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（3）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．答案：（1）如图①，折叠后点B 与点A 重合， 则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+， 即()22242m m -=+，解得32m =. ∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，.（2）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，， 则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ 由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴ 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤.（3）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠. 又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥.Rt Rt COB BOA ''∴△∽△. 有OB OC OA OB''=，得2OC OB ''=. 在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =. 由（2）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C的坐标为()016.课后作业A 组了解图形的轴对称1.京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个图①图②图③【答案】：C2．把长为8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm 2，则打开后梯形的周长是（ ）A ．（cm B ．（cm C ．22cm D ．18cm 【答案】A 3． 将图(六)的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另 一条对角线对折，如图(七)所示。
初中数学人教版 图形的轴对称总复习 人教版
课堂小结
1、如果一个图形沿某一条直线对折后，直线两旁的部分能 够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫 做对称轴，对折后图形上能够重合的点叫对称点。
2、如果把一个图形沿某一条直线折叠后，能够与另一个图 形完全重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称。这 条直线叫做它们的对称轴。折叠后两个图形上互相重合的 点叫对称点。 你能说说它们的区别与联系吗？
6.分行腰题型
7.腰高胖中瘦题型。
腰高题型
1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角3为0
则顶角的度数为多少度？
2、已知一个等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为45°，顶角
的度数为
.
A
D
B
C
D A
B
C
等腰三角形中一腰上的中线把三角形的周长分为21cm 和12cm两部分，则腰长为多少？
如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
①
②
③
等边三角形的性质
1 .三条边相等
2.等边三角形的内角都相等,且等于60 ° 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平 分线都三线合一. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
三边都相等的三角形是等边三角形。 ∵AB=BC=AC ∴△ABC是等边三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形。 ∵ ∠A= ∠ B= ∠ C ∴△ABC是等边三角形
ＯＢ的内部交于Ｃ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
轴对称 复习
镜子问题
哪个在镜子中的像跟原来的一样？(直 线表示进镜子,垂直放置在纸条前)
口 木 E 目 人 晶
S
N 中 田
练练你的眼力
哪一面镜子里是他的像？
3、△ABC与△DEF关于直线L成轴 对称，则∠C是多少度？
L
A
40
D
65
C
B
F E
判断
1、 一个角的角平分线就是 这个角的对称轴.( × )
试 一 试
C
E O A D B
如图，已知AD是BC的中垂线，所能得 到的结论是： 你能根据现有条件，推得 ∠ABD=∠ACD
如图，在△ABC中，AB=AC=16cm， AB 的 垂 直 平 分 线 交 AC 于 D ， 如 果 BC=10cm，那么△BCD的周长是 _______cm.
MN是AB的垂直平分线，EF是 BC垂直平分线。PA与PC是否相 等，为什么？ M
轴对称的性质
对应点所连的线段被对称轴垂直 平分 对应线段相等，对应角相等
镜子改变了什么
其实是：现实与镜中的像关于镜面 成轴对称 如果已知其中一个求另一个时，通 常的方法是： 1、利用镜子照(注意镜子的位置摆 放) 2、利用轴对称性质
放松一下：
我们一起来做个游戏。游戏规则：将走道抽象成一条直 线，将每位同学抽象成一个点，现在以这条直线为对称 轴，老师报一个同学的学号也就是确定一个点（报到学 号的同学立刻起立），请表示其对称点的这位同学也立 刻起立，并回答：“我叫某某某，我是某某某的对称 点。”
轴对称 复习
20世纪著名数学家赫尔曼· 外 尔所说的，“对称是一种思想， 人们毕生追求，并创造次序、美 丽和完善……”
生 活 中 的 轴 对 称
第十三章轴对称复习
P1
AP1=BP1;AP2=BP2; A
B
AP3=BP3;AP4=BP4. 结论：
P4
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相
等．
l
反过来,如果AP=BP，那么P点是否在线段AB的 垂直平分线上呢？
若AP=BP ，则P在线段AB的垂直平 分线上。
结论：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这 条线段的垂直平分线上。
10、如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 请问
△ADE是等边三角形吗?试说明理由.
A
解： ADE是等边三角形 ∵ABC是等边三角形
D
E
∴∠A=∠B=∠C
B
C
∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴∠ADE==∠AED=∠A
∴ADE是等边三角形
11、如图，等边三角形ABC中,BD是AC边 上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.
线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点 距离相等的所有点的集合.
等腰三角形的性质
性质1 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角);
性质2
几何符号语言: ∵ AB=AC
∴∠B=∠C
等腰三角形的顶角平分线、底边上的 中线、底边上的高相互重合 (三线合一)。
等腰三角形“三线合一”性质用几何符号语言表示为
答：是
证明：∵AB=AC
∴点A在线段BC的垂直平分线上 ∵BM=MC ∴点M在线段BC的垂直平分线上 又∵ 两点确定一条直线（过两点
有且只有一条直线） ∴直线AM为线段BC的垂直平分
线
7、如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 于___8___．
中考数学复习《轴对称》专题训练-带含有参考答案
中考数学复习《轴对称》专题训练-带含有参考答案一、选择题1．下列交通标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．点P关于x轴对称点M的坐标为（4，﹣5），那么点P关于y轴对称点N的坐标为（）A．（﹣4，5）B．（4，5）C．（﹣4，﹣5）D．（﹣5，4）3．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，线段AB 的顶点均在格点上．在图中画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N均为格点，这样的线段能画（）条．A．2 B．3 C．5 D．64．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线AB=5cm，BC=8cm，则△ABD的周长为（）A．10cm B．13cm C．15cm D．16cm5．等腰三角形的周长为11，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）A．3B．5C．4或5D．3或56．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD=12cm，则AC的长是（）A．12cm B．6cm C．4cm D．6√3cm7．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG=3，ED=6，则EB+DC的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．如图，已知ΔABC是正三角形，D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于点F，ED⊥BC交AB于点E，则∠EDF等于（）A．50°B．65°C．60°D．75°二、填空题9．某车标是一个轴对称图形，有条对称轴.10．在平面直角坐标系中，点M（a，3）与点N（5，b）关于y轴对称，则a﹣b＝．11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC于点D，交AB于点E．若AE=3，△ADC的周长为8，则△ABC的周长为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是．13．如图，在△ABC中AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=6，BC的长是.三、解答题14．图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求在网格中作图．（1）在图①中，连接AC，以线段AC为腰作一个等腰直角三角形ACD；（2）在图②中确定一个格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形．使其为轴对称图形．15．如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点M，P，的垂直平分线分别交线段，于点N，Q．（1）如图，当时，求的度数；（2）当时，求的度数．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-1，5)，B(-1，0)，C(-4，3)．（1）求出△ABC的面积．（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（3）写出点△A1B1C1的坐标．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且BF=CD，BD=CE．（1）求证：△DFE是等腰三角形；（2）若∠A=56°，求∠EDF的度数．18．如图，在△ABC中AB=AC，点D在△ABC内BD=BC，∠DBC=60°点E在△ABC外∠BCE=150°，∠ABE=60° .（1）求∠ADB的度数；（2）判断△ABE的形状并加以证明；（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8求AD的长.参考答案1．B2．A3．C4．B5．D6．B7．C8．C9．310．﹣811．1412．313．1814．（1）解：如图①所示（2）解：如图②所示15．（1）解：∵、分别是的垂直平分线∴∵∴∵∴∴（2）解：∵分别是的垂直平分线∴∴∴当P点在Q点右侧时，如图：∵∴∵∴．当P点在Q点左侧时∵∴∵∴．综上或．16．（1）解：S△ABC= 12×5×3=152（或7.5）（平方单位）（2）解：如图．（3）解：A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）. 17．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C在△FBD与△DCE中{BF＝CD∠B＝∠CBD＝CE∴△FBD≌△DCE．∴DF=ED，即△DEF是等腰三角形（2）解：∵AB=AC，∠A=56°∴∠B=∠C= 12(180°−56°)＝62°．∴∠EDF=∠B=62°．18．（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°在△ADB和△ADC中{AB=ACAD=ADDB=DC∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB= 12（360°﹣60°）=150°.（2）解：结论：△ABE是等边三角形.理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE在△ABD和△EBC中{AB=EB∠ADB=∠BCE=150°∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△EBC ∴AB=BE，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形.（3）解：连接DE.∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°∴∠EDC=30°，∴EC= 12DE=4，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC=4.。
轴对称图形(章复习)
∵MN垂直平分AB，且点C在MN上
∴AC=BC (2)到线段两端距离相等的点在 线段的垂直平分线上 ∵ AC=BC
C A D B
∴点C在AB的垂直平分线上
∵ AC=BC，AD=BD ∴点C、D在AB的垂直平分线上 ∴CD是AB的垂直平分线
（1）角平分线上的点到角 的两边的距离相等.
∵OC平分∠AOB， PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE （2）角的内部到角两边距离相 等的点在角的平分线上. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB PD=PE ∴OC平分∠AOB
C
∴ AB=AC
三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形 等边三角形的各角都等于60° 三个角都相等的三角形是等边三角形
B
C
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
A
D
B
C
直角三角形斜边ห้องสมุดไป่ตู้的中线等于斜边的一半
在Rt△ABC中，∠ACB=90° ∵点D是AB的中点 ∴
1 CD AB 2
A
等腰三角形两底角相等 （简称“等边对等角”） ∵AB=AC
B A
C
∴∠B=∠C
等腰三角形底边上的高线、中线及 顶角平分线重合 （“等腰三角形的三线合一”） ∵AB=AC,AD⊥BC
B
D
C
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD 等
A
有两个角相等的三角形是等腰 三角形（简称“等角对等边”）
∵∠B=∠C
B A
轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折， 如果它能够与另一个图形重合， 那么称这个两个图形关于这条直 线对称，也称这两个图形成轴对 称，这条直线叫做对称轴 轴对称图形 把一个图形沿着某一条直线 折叠，如果直线两旁的部分能 够互相重合，那么称这个图形 是轴对称图形，这条直线叫做 对称轴
轴对称章节复习
轴对称全章复习要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个举一反三：【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）A.180°B.270°C.360°D.480°2、已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.举一反三：【变式】（2015•乐陵市模拟）（1）如图1，直线同侧有两点A、B，在直线上求一点C，使它到A、B之和最小．（保留作图痕迹不写作法）（2）知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF 周长最短（保留作图痕迹不写作法）（3）解决问题：①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小（保留作图痕迹不写作法）②若∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，∠AMN+∠ANM的度数为．3、（2016春•浦东新区期末）在直角坐标平面内，已知在y轴与直线x=3之间有一点M（a，3），如果该点关于直线x=3的对称点M的坐标为（5，3），那么a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1举一反三：''【变式1】如图，若直线m经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△A OB 关于直线m对称，已知A（1，2），则点'A的坐标为（）A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－1，－2）D.（－2，－1）【变式2】如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．类型二、等腰三角形的综合应用4、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△，∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________.5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求ADB ∠的度数．举一反三：【变式】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D为形内一点，且∠DAB＝∠DBA＝10°，求∠ACD的度数.类型三、等边三角形的综合应用6、（2014秋•辛集市期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB 的延长线上，且ED=EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“=”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC 的边长为1，AE=2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．17．如图所示，△ABC中，D，E在BC上，且DE＝EC，过D作DF∥BA，交AE于点F，•DF＝AC，求证AE平分∠BAC．18. 如图所示，等边三角形ABC中，AB＝2，点P是AB边上的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E，过E作EF⊥AC，垂足为F，•过F•作FQ⊥AQ，垂足为Q，设BP＝x，AQ＝y．（1）写出y与x之间的关系式；（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合？19．（2014•清河区三模）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们就称点P是△ABC的边AB上的和谐点．解决问题：（1）如图2，△ABC中，∠ACB=90°，试找出边AB上的和谐点P，并说明理由．（2）已知∠A=40°，△ABC的顶点B在射线l上（图3），点P是边AB上的和谐点，请在图3中画出所有符合条件的B点，并写出相应的∠B的度数．20．已知，∠BAC＝90º，AB＝AC，D为AC边上的中点，AN⊥BD于M，交BC于N.求证：∠ADB＝∠CDNM N DCBA。
轴对称复习提纲
一、基础知识梳理：1.什么是轴对称图形？性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是____________.或者说轴对称图形的对称轴，是______________.2.线段的垂直平分线有几条对称轴，性质是什么？3.角的平分线有几条对称轴，性质是什么？4.等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.等腰三角形具有哪些性质？怎样判断一个三角形是等边三角形？5．三角形的三条角平分线交于一点，这点到距离相等。
6．三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到距离相等，这点叫心，它与三角形的位置关系怎样？。
7.成轴对称的图形具有哪些性质？8.尺规作图：已知线段的垂直平分线、已知角的角平分线、等腰三角形的做法。
二、典型例题：轴对称：1.判断下列命题的正误：( )1.能够完全重合的两图形必关于某一直线对称.( )2.关于某一条直线对称的两个图形叫轴对称图形.( )3.等腰三角形底边中线是等腰三角形的对称轴.( )4.若两个三角形三个顶点分别关于同一直线对称，则这两个三角形关于该直线成轴对称.( )5.轴对称图形的对称轴有且只有一条.( )6.正方形的对称轴有四条.2.给出下列说法正确的有（）：（1）角的两边关于角平分线对称；（2）两点关于它们连接成的线段的中垂线对称；（3）成轴对称的两个三角形的对应点或对应线段或对应角也分别成轴对称；（4）到直线m距离相等的点关于m对称。
Ａ、1个Ｂ、2个Ｃ、3个Ｄ、4个3.两个图形关于某直线对称，对称点一定在（）A.直线的两旁B.直线的同旁C.直线上D.直线的两旁或直线上4.如图所示，将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠 (F在BC边上，不与B,C 重合)使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE,则∠GFH的度数α满足（）A、90°＜α＜180° B、α=90°C、0°＜α＜90°D、α随着折痕位置的变化而变化镜面对称：1.2.一辆汽车的牌号在水中的倒影如图所示，则这辆汽车的牌号应为垂直平分线与角平分线：1.当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；2.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A、1处B、2处C、3处D、4处3．三角形内到三顶点的距离相等的点是（）A、三角形的三条角平分线的交点B、三角形的三条高的交点C、三角形的三条中线的交点D、三角形的三边的垂直平分线的交点三线合一：1.如图，AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE等于_________.第6题图.2.如图，已知△ABC中，∠1=∠2，AB=AC=BC，ED=EB，（1）试说明：CE=CD．（2）小红认为：将“∠1=∠2”的条件改改，也可以的带同样的结论。
轴对称复习(1)
第十三章轴对称单元复习一、选择题1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图案中，构成轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，A ，B ，C 表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（）A ．AC ，BC 两边高线的交点处B ．AC ，BC 两边中线的交点处C ．AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D ．∠A ，∠B 两内角平分线的交点处3．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 内部，点P 1与点P 关于OA 对称，点P 2与点P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是（）A ．含30°角的直角三角形B ．顶角是30°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形4.如图，在四边形ABCD 中，8AD =，2BC =，90B ∠=︒，30A ∠=︒，120ADC =∠︒，则CD 的长为（）．A ．6B ．5C ．4D ．3（第4题）（第5题）（第6题）5．如图，已知△ABC 中，45ABC ∠=︒，F 是高AD 和BE 的交点，4,2FD AF ==，则线段BC 的长度为（）A ．6B ．8C ．10D ．126．如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，且AD CE =，AE 与BD 相交于点P ，BF AE ⊥于点F ．若8BP =，则PF 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6（第7题）（第8题）8.如图，△ABC 中，∠A =30°，BC =3，△ABC 的面积9，点D 、E 、F 分别是三边AB 、BC 、CA 上的动点，则△DEF 周长的最小值为（）A ．5B ．6C ．8D ．10二、填空题9．若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍，则其底角的度数为．10．平面直角坐标系中，已知A (2，2)，B (4，0)，若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数有个．11.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分别为14cm 和21cm 两部分，这个等腰三角形底边的长为_______．12.在△ABC 中，若5AB =，7AC =，则中线AD 的取值范围是___________．13．已知△ABC 中，CA ＝CB ，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，∠CAD ＝50°，则∠B 的度数为．14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别在AC ，AB 上，且BD ＝BC ，BE ＝DE ＝AD .则∠C =_____．（第14题）（第15题）15.如图，M ，N 是∠AOB 的边OA 上的两个点(OM ＜ON )，∠AOB ＝30°，OM ＝a ，MN ＝4．若边OB 上有且只有1个点P ，满足△PMN 是等腰三角形，则a 的取值范围是__________．三、解答题16．如图，作出△ABC 的高AD ，BE ，CF .17．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC 的三个顶点都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）请在图中画出以MN 为对称轴，△ABC 的对称三角形111A B C ；（2）如果要在对称轴MN 上找一点H ，使H 点到A 、B 两点的距离之和最短，请在MN 上标出点H ．（3）试计算△ABC 的面积．18.如图所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，EF 与AD 交于点G ，求证：AD 垂直平分EF ．19.如图，在△ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，D 为BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE AF =，试探究线段DE 与DF 之间的关系，并说明理由.20.如图，在四边形ADEC 中，∠ACE ＝90°，DE ⊥CD ，且AC ＝AD ＝CE .求证：CD ＝2DE .21.如图，AE ，BC 交于点D ，且AB ＝CE ，∠B ＋∠DCE ＝180°.求证：AD ＝DE .22.如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D.求证：AC＋AD＝BC23.如图，△ABC是等边三角形，D是AC上一点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE，DB.求证：DB＝DE.24.如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,AD,BE相交于点O,M,N分别是线段AD,BE的中点.(1)求证:AD=BE;(2)求∠DOE的度数;(3)求证:△MNC是等边三角形.25.如图,△ABC为等边三角形,D为射线BC上一点,∠ADE=60°,DE与∠ACB的邻补角的平分线交于点E.(1)如图①,点D在边BC上,求证:CA=CD+CE;(2)如图②,若点D在边BC的延长线上,写出CA,CD,CE之间的数量关系。
16.1-4轴对称变换复习
小明家
两线一点
蔬菜街
如图，小明从家里出发，在水果一条街 上买了一些水果后，再到蔬菜一条街上 买了一些白菜，最后送到奶奶家，问怎 么走最近？
水果街
两点两线
小明家 奶奶家
蔬菜街
想一想
已知：如图，在∠AOB外有一点P，试作点P关于直线OA 的对称点P1，再作点P1关于直线OB的对称点P2. ⑴试探索∠POP2与∠AOB的大小关系； ⑵若点P在∠AOB的内部， 或在∠AOB的一边上， 上述结论还成立吗？
简单的轴对称图形１
轴对称图形
自学提示：
1、读一读（书上100~101页的内容）
2、做一做（书上的实验）
3、想一想（通过实验，你有哪些 发现？）
练习
达
标
题
达
标
题
判断题:
1、飞机图不一定是轴对称图形。 2、半圆有无数条对称轴。 （ （ ） ）
选择题:
1、 有( )条对称轴。 A. 5 B. 10 C. 1
小虎家 姥姥家 姥姥家
小虎家
3、已知：直角坐标系中有两点A（－1,4）、B（2,1） 问（1）在y轴上找到一点C，使得AC＋BC最短, 求出C点坐标. （2）在x轴上找到一点D，使得AD＋BD最短. 求出D点坐标.
如图，小明从家里出发，在水果一条街 买了一些水果后，再到蔬菜一条街买了 一些白菜，最后回到家，问怎么走最近？
判断题:
1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完 全重合，这个图形就是轴对称图形。 （ ） 2、正方形只有两条对称轴。 （ ）
选择题:
1、长方形有（ ）条对称轴。 2、下面的数字( A. 1 B. 2 B. 9 C. 3 C. 7 )是轴对称图形。A. 3
轴对称及轴对称图形(复习课)
8 B
⒊如图,在梯形ABCD中，AD∥BC， 如图,在梯形ABCD中 AD∥BC， ABCD DC的中点 EF⊥AB于点 的中点， 于点F E是DC的中点，EF⊥AB于点F． 求证：S梯形ABCD=AB×EF． 求证： =AB×EF．
A F E D
B
C
G
平移底,梯形转化成:三角形. 平移底,梯形转化成:三角形.
5．在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝ 在梯形ABCD中 AB∥DC，AD＝ ABCD BC，AB=1，DC=5，AC⊥BD，BE⊥CD， BC，AB=1，DC=5，AC⊥BD，BE⊥CD， 则梯形的面积= 则梯形的面积= ．
A B
D
E
C
F
6．如图,梯形ABCD中，AD∥BC，E、F 如图,梯形ABCD中 AD∥BC， ABCD 分别是AD BC的中点,∠B+∠C=90° AD、 的中点,∠B+∠C=90 分别是AD、BC的中点,∠B+∠C=90°， 请说明EF= （BC-AD）． 请说明EF= 1 BC-AD）．
D C B
E
5、如图，△ABC中，AB的垂直平分线 如图， ABC中 分别交AB BC于点 AB、 于点D AC的垂直 分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直 平分线分别交AC BC于点 AC、 于点F 平分线分别交AC、BC于点F、G，若 BC=20， AEG的周长为多少 的周长为多少？ BC=20，则△AEG的周长为多少？
A
F
N E
B M
C
10、已知△ABC是等腰三角形，过 10、已知 ABC是等腰三角形，过
△ABC的一个顶点的一条直线，把 ABC的一个顶点的一条直线，把 △ABC分成两个小三角形，如果这 ABC分成两个小三角形，如果这 两个小三角形也是等腰三角形，问 △ABC顶角的度数是多少？ ABC顶角的度数是多少？
第五章 轴对称图形基本概念复习
轴对称图形基本概念复习一、轴对称图形与轴对称1．轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊特征的图形；2．轴对称是针对两个图形而言，轴对称图形是针对一个图形说的。
概念针对性练习： 1．（09年株洲市中考）下列四个图形中，不是．．轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．关于轴对称以下说法正确的个数是（ ）①对称点到对称轴的距离相等②对称点的连线与对称轴互相垂直③对应线段的交点或对应线段延长线的交点一定在对称轴上④轴对称图形就是轴对称⑤轴反射不改变图形的形状和大小。
A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 二、线段的垂直平分线1．如果点A 与B 关于直线EF 对称，则直线EF 是线段AB 的_____________2．如果直线CD 是线段AB 的垂直平分线，那么点A 与点B 关于___________3．已知AC=BC ，AD=BD ，那么直线CD 是线段AB 的________________ 4．已知EF 是线段AB 的垂直平分线，那么________=____________5．如图，点D 在△ABC 的边BC 上，且BC=BD+AD ，则点D 在________的垂直平分线上。
6．如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线，△BCE 的周长为14，BC=6，则AB=__________7．到△ABC 三个顶点距离相等的点是△ABC 的_____________ 三、角平分线的性质1．如图，OP 是∠AOB 的平分线，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，请写出其中相等的线段：_________________________ 2. 到三角形三边距离相等的点是 ( )A . 三边的垂直平分线的交点B . 三个内角的平分线的交点C . 三条高的交点D . 三条中线的交点3.如图，在△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，BC=8，BD=5，那么D 点 到直线AB 的距离是__________ 4.如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，下列结论错误的是（ ）A ．PC=PDB ．OC=ODC ．∠CPO=∠DPOD ．OC=PC四、与三角形有关的线段 1.如图1，图中所有三角形的个数为 ，在△ABE 中，AE 所对的角是 ，∠ABC 所对的边是 ，AD 在△ADE 中，是 的对边，在△ADC 中，是 的对边；2.如图2，已知∠1=0.5∠BAC ，∠2 =∠3，则∠BAC 的平分线为 ，∠ABC 的平分线A B DCBCEDA AO B EF P AC DAOB C D P为 ；3.如图3，D 、E 是边AC 的三等分点，图中有 个三角形，BD 是三角形 中 边上的中线，BE 是三角形 中 边上的中线；4.若等腰△的两边长分别为7和8，则其周长为 ；5. 如图，图中共有三角形（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、8个 6.下列长度的三条线段中，能组成三角形的是 （ ）A 、 3，5 ，8B 、8，8，18C 、0.1，0.1，0.1D 、3，40，8 7.如果线段a ，b ，c 能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（ ） A 、1∶2∶4 B 、1∶3∶4 C 、3∶4∶7 D 、2∶3∶48.如果三角形的两边分别为7和2，且它的周长为偶数，那么第三边的长为____ 五、三角形的内角1.在△ABC 中，∠A = 60°∠B = 30°，则∠C = ；2.在△ABC 中，∠C = 60°∠A －∠B = 20°，则∠B = ；3.三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为 ；4.在△ABC 中，∠A =∠B = 4∠C ，则∠C = ；5.如图1，∠1＋∠2＋∠3＋∠ 4 = ；6.如图2，CD 平分∠ACB ，AE ∥DC 交BC 的延长线于E ，若∠ACE = 80°，则∠CAE = ；7.如图3，∠A=32°∠B=45°∠C=388. 如图4，D 是AB 上的一点，E 是AC ∠ABE = 28°，则∠CEF 的度数是 9.如图5，∠1＋∠2＋∠3＋∠ 4的值为 六、三角形的外角1.三角形的外角指的是 所形成的角2. 三角形的外角的性质： ⑴ 三角形的一个外角等于 ，⑵ 三角形3.⑴ ∠α⑶ ∠α123A A B C C CD DEEE 123A BC D121233430°1344520α°°⑸ ∠α= ⑹ ∠α= ；4.如图1，AB ∥CD ，∠A= 38°∠C= 80°，则∠M 为_____________5.如图2，D 是△ABC 中边上一点，E 是BD 上一点，则对∠1、∠2、∠A 之间关系描述正确的是（ ）A 、∠A ＜∠1 ＞∠2 B 、∠2 ＞∠1 ＞∠A C 、∠1 ＞∠2 ＞∠A D 、无法确定七、常见的几个重要作图1．作出△ABC 关于直线EF 的对称图形。
第十二章__轴对称(复习)
初三数学第十二章轴对称(复习)一、【知识整理】（一）基本概念1.【轴对称图形】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.2.【线段的垂直平分线】经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.【轴对称变换】由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.【等腰三角形】有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.5.【等边三角形】三条边都相等的三角形叫做等边三角形.（二）主要性质1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.2.线段垂直平分钱的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.3.对称点的坐标规律（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.4.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一“）（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. （4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合。
（4）直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。
轴对称整章知识点+复习试题[含答案解析]
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m CA B P 图3图2mC A B第十二章 轴对称知识点总结 我保证认真独立地完成今天的作业！签名：____________一、知识梳理1、轴对称图形____________________ ____________________________ 这条直线叫做________________。
互相重合的点叫做________________。
轴对称_______________________________________________ _ 这条直线叫做________________。
互相重合的点叫做________________。
2、轴对称图形与轴对称的区别与联系：区别________________________________________________。
联系________________________________________________。
3、轴对称的性质：_______________________________________________。
_______________________________________________。
4、线段的垂直平分线定义：________________________________________________如图2，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。
5、线段的垂直平分线性质:_______________________________________________。
如图3，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。
∴PA=PB 。
6、等腰三角形定义:___________________________________________：7、等腰三角形性质:___________________________________________：___________________________________________：8、等腰三角形判定。
第二章 轴对称图形总复习
1 l AB 第二章 轴对称图形总复习一、必备知识点1.轴对称定义：如果把一个图形沿着 后，能够 重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做 ，两个图形中的对应点叫做 。
2.轴对称图形定义：如果把一个图形沿着 ，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做 。
3.轴对称的性质： ⑴成轴对称的两个图形 。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是 。
4．线段的垂直平分线定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（也称线段的中垂线）5．线段的轴对称性：①线段是轴对称图形，对称轴有两条，一条是 ，另一条是 。
②性质：线段的垂直平分线上的点到 相等。
③判定：到 的点，在这条线段的 上。
结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合6．角的轴对称性：①角是 图形，对称轴是 。
②性质：角平分线上的点到 相等。
③判定：在角的内部，到 的点，在 上。
7．等腰三角形定义：有 的三角形叫等腰三角形，其中相等的边叫做腰，另一条边叫做底。
等腰三角形是 ，对称轴是 。
性质：等腰三角形 相等， 相等（简称 ）；等腰三角形的 互相重合。
（三线合一）8．判定：如果一个三角形 ，那么 （简称 ）；9．等边三角形是特殊的 ，具备 的一切性质。
除此之外，等边三角形有 ， ， 。
10．等边三角形的判定： 是等边三角形； 的三角形是等边三角形； 是等边三角形。
11.直角三角形的性质：① 直角三角形两锐角② 直角三角形斜边上的中线是斜边的 。
B AC E DO P l A B M2 二、学力检测一、选择题1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是 （ ） A ．含30°角的直角三角形； B ．顶角是30的等腰三角形；C ．等边三角形D ．等腰直角三角形. 4．如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则 ∠APE 的度数是 （ ） A ．45° B ．55°C ．60°D ．75°5. 下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ） A ．等腰三角形两底角相等B ．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C ．等腰三角形是中心对称图形D ．等腰三角形是轴对称图形6．已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ ） A ．PA+PB ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB D ．不能确定7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ， 则 （ ） A ．点O 是BC 的中点 B ．点O 是B 1C 1的中点 C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称 D ．以上都不对8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD= （ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1 9．∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离 为5，Q 是OB 上任一点，则 （ ） A ．PQ ＞5 B ．PQ≥5C ．PQ ＜5D ．PQ≤510．等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ．则该等腰三角形的底长为 （ ） A ．3cm 或5cm B ．3cm 或7cm C ．3cm D ．5cmB AD PO C P AEC B D3 二．填空题11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴． 12．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=________．13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若CD=4，则点D 到AB 的距离是__________． 14．等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB 上的高等于___________． 15．如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB=72°，BD 、CE 分别是∠ABC 和∠A CB 的平分线，它们的交点为F ，则图中等腰三角形有___________个．16．（2012•梧州）如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=32°，则∠BAC= °___________．17．若D 为△ABC 的边BC 上一点，且AD=BD ，AB=AC=CD ， 则∠BAC=____________．18．△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC=115°，则∠EAF=___________． 三．解答题19．如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB 两边的距离相等．A C··DOB4 20．如图：AD 为△ABC 的高，∠B=2∠C ，用轴对称图形说明：CD=AB+BD ．21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm ，∠BEG=60°，求折痕EF的长．22．如图：△ABC 中，AB=AC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ，① 若△BCD 的周长为8，求BC 的长；② 若BC=4，求△BCD 的周长．ACDBBCDEA5 23．等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP=∠ACQ ，BP=CQ ，问 △APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．24. 如图1，已知矩形ABED ，点C 是边DE 的中点，且AB=2AD ． （1）判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）保持图1中△ABC 固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧），试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；（3）保持图2中△ABC 固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明．A CBPQ。
第十三章-轴对称-总复习课件
1、理解轴对称与轴对称图形的概念， 2、掌握轴对称的性质及画轴对称图形 的步骤，会设计简单的轴对称图案。 3、掌握线段的垂直平分线、角的平分 线的性质及应用。 4、掌握等腰三角形的性质和判定。
这条直线就是
对称轴
1.轴对称图形的定义： 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形
能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。 折痕所在的这条直线叫做__对__称__轴。
图(1)能与图(2)重合吗？
这条直线也是
___对_称__轴___
2.两个图形 关于某直线对称：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果 它能与另 一个图形重合，那么我们就说这两个图形 __关__于__这__条__直__线__对__称__。
3.定义：经过线段的中点且与之 垂直的直线就叫____垂__直平分线
与点B（2a-7,-33)关于xy轴对称，则a=__28_。
例10、一辆汽车在镜子中的影子是“
”，
你知道他的真正的车牌号吗？答：________
二、选择题 11. 下列图案中是轴对称图形的是（ D ）
Ａ．2008年北京 Ｂ．2004年雅典 Ｃ．1988年汉城 Ｄ．1980年莫斯科
例12、等腰三角形的周长为13 cm，其中一
A
·M
·N
O
B
例18、如图示，在△ABC中，AB=AC，点 D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE =CF，BD=CE .(1)求证：△DEF是等腰三角 形；（2）当∠A=500时，求∠DEF的度数。
A
D
F
B
E
C
定理
在直角三角形中，如果一个锐角等 于30°，那么它所对的直角边等于斜边 的一半．
轴的对称点（-2，-3），关于y轴的对称点 （2，3）。
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初中数学系列一
轴对称 总复习
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轴对称：
一.轴对称概念： 把一个平面图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分能互相重合， 那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 如果两个平面图形沿一直线对折后能完全重合， 那么这两个图形关于这条直线成轴对称。 二.轴对称性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中， 轴对称图形的两部分或成轴对称的两图形全等，对应线段相等，对应角相等。 对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应点到对称轴的距离相等。 如果对应线段所在的直线相交，则交三角形： 概念:两边相等的三角形叫等腰三角形,三边相等的三角形叫等边三角形(正三角形) 性质： 等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的 高重合(也称三线合一)，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 等腰三角形两底角相等。 等腰三角形两腰上的中线、高分别相等，两底角的平分线相等。 2.线段： 概念:垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线) 性质： 线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 到一条线段两端点的距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。 作图： 已知一条线段，作它的中垂线。（找出线段的中点） 已知一条直线和一个点，过这一点作已知直线的垂线。
5
补充： 等腰三角形的有关知识： 等边对等角，等角对等边， 大角对大边，小角对小边。
6
轴对称现象.ppt
轴对称性质.ppt
轴对称图形.ppt
4
3.角 性质： 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点一定在角的平分线上。 作图： 学会作一个已知角的平分线。 任意一个角，将它四等分。 学会作一个三角形的三个内角的平分线。 四.利用轴对称进行设计 已知一个点和一条直线，求作这个点关于该直线的对称点。 已知一个图形和一条直线，求作这个图形关于该直线的对称图形。 已知一个等腰梯形、正五边形、菱形，学会只用直尺作出它们的对称轴。