线性代数讲义 (16)
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解 V2不是向量空间.
因为若 1,a2 , ,an T V2 , 则2 2,2a2 , ,2an T V2 .
例4 设a,b为两个已知的 n 维向量，集合
V x a b , R
试判断集合是否为向量空间.
解 V是一个向量空间. 因为若x1 1a 1b x2 2a 2b， 则有
(4) 个数与线性空间V的维数相等的线性无 关向量组都是V 的基。
例6 设矩阵
2 2 1
A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 ,
1 2 2
1 4
B (b1 ,b2 ) 0 3,
4 2
验证a1 ,a2 ,a3 ,是R3的一个基，并把b1 ,b2用这个基
线性表示.
解 要证a1,a2 ,a3是R3的一个基，只要证 a1,a2 ,a3 线性无关，即只要证 A ~ I .
x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b V ,
kx1 (k1 )a (k1 )b V .
这个向量空间称为由向量a, b所生成的向量空 间.
一般地，由向量组a1, a2 , , am所生成的向量空 间为
V x 1a1 2a2 mam 1,2 , ,m R
一般记作 span(a1, a2 , am )
, b2
(a1
,a2
,a3
)
2 3
1 .
1
2 3
五、小结
１．向量空间的概念； 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭； 由向量组生成的向量空间．
２．子空间的概念．
３．向量空间的基和维数： 求向量空间基和维数的方法．
空间．
说明
（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量 空间，因此它没有基．
（2）若把向量空间 V看作向量组，那末V的基 就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 秩.
（3）若向量组 1 ,2 , ,r是向量空间V的一
个基，则 V 可表示为
V x 11 22 rr 1 , ,r R
r13 (1)
1 0 0
1 3 3
1 0 3
1 2 5
3 3 5
r12~(2)
r13 (1)
1 0 0
1 3 3
1 0 3
1 2 5
3 3 5
rr23((~1313) )
1 1 1 1 3
0
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0
2
1
3
0
1
1
5 3
5 3
rr23((~1313) )
r31(1)
~
2 2 1 1 4 ( AB) 2 1 2 0 3
1 2 2 4 2
r21(1) 1 1 1 1 3
r31~(1)
1 r1 ( 3 )
2 1
1 2
2 2
0 4
3 2
r21(1)
r31~(1)
r1
(
1 3
)
1 2 1
1 1 2
1 2 2
1 0 4
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r12~(2)
例5 设向量组a1 , ,am与向量组b1 , ,bs等价， 记
V1 x 1a1 2a2 mam 1 ,2 , ,m R V2 x 1b1 2b2 sbs 1 , 2 , s R
试证：V1 V2 .
证 设x V1，则x可由a1, , am线性表示. 因a1 , ,am可由b1 , ,bs线性表示，故x可由b1 , , bs线性表示，所以x V2 .
4.3 向量空间
一、向量空间的概念 二、子空间 三、向量空间的基和维数 四、基变换与坐标变换(不要求) 五、小节、思考题
一、向量空间的概念
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空，
且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 V为向量空间． 说明
集合V 对于加法及数乘两种运算封闭指
设 即
b1 x11a1 x21a2 x31a3 , b2 x12a1 x22a2 x32a3，
x11 (b1,b2 ) (a1,a2 ,a3 ) x21
x31 记作B AX .
x12 x22 , x32
对矩阵( AB)施行初等行变换，若A能变为 I，
则a1,a2 ,a3为R3的一个基，且当A变为 I 时，B变为 X A1B.
r源自文库3 ( 1)
1 1 1 1 3
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即
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初等行变换
( AB)
~
0
0 1
0 0
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0
1
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因有A ~ I，故a1,a2,a3为R3的一个基，且
2 4
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b1
解 V1是向量空间 .
因为对于V1的任意两个元素
0, a2 , , an T , 0, b2 , , bn T V1 ,
有 0,a2 b2 , ,an bn T V1
0, a2 , , an T V1 .
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 , , xn T x2 , , xn R
若 V , V , 则 V ; 若 V , 数 R, 则 V .
例1 3 维向量的全体R3 ,是一个向量空间.
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3 .
类似地，n维向量的全体 Rn，也是一个向量空 间.
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2 , , xn T x2 , , xn R
这就是说，若x V1，则x V2， 因此V1 V2 .
类似地可证 : 若x V2 ,则x V1 , 因此V2 V1.
因为V1 V2，V2 V1，所以V1 V2 .
二、子空间
定义2 设有向量空间 V1及V2，若向量空间V1 V2， 就说 V1 是 V2 的子空间． 实例
设V 是由 n 维向量所组成的向量空间， 显然V Rn , 所以V总是 Rn的子空间.
三、向量空间的基与维数
定义3 设 V是向量空间，如果 r 个向量 1,2 , ,r V，且满足
(1) 1, 2 , , r线性无关;
(2)V中任一向量都可由1,2 , ,r线性表示.
那末，向量组 1 ,2 , ,r 就称为向量 V 的一个
基，r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量
因为若 1,a2 , ,an T V2 , 则2 2,2a2 , ,2an T V2 .
例4 设a,b为两个已知的 n 维向量，集合
V x a b , R
试判断集合是否为向量空间.
解 V是一个向量空间. 因为若x1 1a 1b x2 2a 2b， 则有
(4) 个数与线性空间V的维数相等的线性无 关向量组都是V 的基。
例6 设矩阵
2 2 1
A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 ,
1 2 2
1 4
B (b1 ,b2 ) 0 3,
4 2
验证a1 ,a2 ,a3 ,是R3的一个基，并把b1 ,b2用这个基
线性表示.
解 要证a1,a2 ,a3是R3的一个基，只要证 a1,a2 ,a3 线性无关，即只要证 A ~ I .
x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b V ,
kx1 (k1 )a (k1 )b V .
这个向量空间称为由向量a, b所生成的向量空 间.
一般地，由向量组a1, a2 , , am所生成的向量空 间为
V x 1a1 2a2 mam 1,2 , ,m R
一般记作 span(a1, a2 , am )
, b2
(a1
,a2
,a3
)
2 3
1 .
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五、小结
１．向量空间的概念； 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭； 由向量组生成的向量空间．
２．子空间的概念．
３．向量空间的基和维数： 求向量空间基和维数的方法．
空间．
说明
（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量 空间，因此它没有基．
（2）若把向量空间 V看作向量组，那末V的基 就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 秩.
（3）若向量组 1 ,2 , ,r是向量空间V的一
个基，则 V 可表示为
V x 11 22 rr 1 , ,r R
r13 (1)
1 0 0
1 3 3
1 0 3
1 2 5
3 3 5
r12~(2)
r13 (1)
1 0 0
1 3 3
1 0 3
1 2 5
3 3 5
rr23((~1313) )
1 1 1 1 3
0
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5 3
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rr23((~1313) )
r31(1)
~
2 2 1 1 4 ( AB) 2 1 2 0 3
1 2 2 4 2
r21(1) 1 1 1 1 3
r31~(1)
1 r1 ( 3 )
2 1
1 2
2 2
0 4
3 2
r21(1)
r31~(1)
r1
(
1 3
)
1 2 1
1 1 2
1 2 2
1 0 4
3 3 2
r12~(2)
例5 设向量组a1 , ,am与向量组b1 , ,bs等价， 记
V1 x 1a1 2a2 mam 1 ,2 , ,m R V2 x 1b1 2b2 sbs 1 , 2 , s R
试证：V1 V2 .
证 设x V1，则x可由a1, , am线性表示. 因a1 , ,am可由b1 , ,bs线性表示，故x可由b1 , , bs线性表示，所以x V2 .
4.3 向量空间
一、向量空间的概念 二、子空间 三、向量空间的基和维数 四、基变换与坐标变换(不要求) 五、小节、思考题
一、向量空间的概念
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空，
且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 V为向量空间． 说明
集合V 对于加法及数乘两种运算封闭指
设 即
b1 x11a1 x21a2 x31a3 , b2 x12a1 x22a2 x32a3，
x11 (b1,b2 ) (a1,a2 ,a3 ) x21
x31 记作B AX .
x12 x22 , x32
对矩阵( AB)施行初等行变换，若A能变为 I，
则a1,a2 ,a3为R3的一个基，且当A变为 I 时，B变为 X A1B.
r源自文库3 ( 1)
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即
1
初等行变换
( AB)
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因有A ~ I，故a1,a2,a3为R3的一个基，且
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b1
解 V1是向量空间 .
因为对于V1的任意两个元素
0, a2 , , an T , 0, b2 , , bn T V1 ,
有 0,a2 b2 , ,an bn T V1
0, a2 , , an T V1 .
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 , , xn T x2 , , xn R
若 V , V , 则 V ; 若 V , 数 R, 则 V .
例1 3 维向量的全体R3 ,是一个向量空间.
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3 .
类似地，n维向量的全体 Rn，也是一个向量空 间.
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2 , , xn T x2 , , xn R
这就是说，若x V1，则x V2， 因此V1 V2 .
类似地可证 : 若x V2 ,则x V1 , 因此V2 V1.
因为V1 V2，V2 V1，所以V1 V2 .
二、子空间
定义2 设有向量空间 V1及V2，若向量空间V1 V2， 就说 V1 是 V2 的子空间． 实例
设V 是由 n 维向量所组成的向量空间， 显然V Rn , 所以V总是 Rn的子空间.
三、向量空间的基与维数
定义3 设 V是向量空间，如果 r 个向量 1,2 , ,r V，且满足
(1) 1, 2 , , r线性无关;
(2)V中任一向量都可由1,2 , ,r线性表示.
那末，向量组 1 ,2 , ,r 就称为向量 V 的一个
基，r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量