线性代数总复习讲义详解

⑴ 以向量组 1 , 2 ,, s 中各向量作为列向量，
构成矩阵 A ； ⑵
A 行阶梯形矩阵 B
(行) 初等变换
则 B 中各首非零元所在列对应的 A 的部分向 量组就为 向量组
1 , 2 ,, s
的极大线性无关组。
5）怎样利用 4) 中求出的极大无关组表示其余向量？ ----- 行
1．利用行列式的性质化为三角形行列式计
算法
2. 降阶展开法
第二、三章教学要求：
1．理解矩阵的概念。
2．了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称 矩阵，以及它们的性质。
3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律， 了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。 4．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的 充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。 5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概 念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；及求矩阵的秩的方法。
计算问题
1）怎样求矩阵 A 的秩？------ 行、列
A 行阶梯形矩阵
(行) 初等变换
则
秩（A）＝ 行阶梯形矩阵中非零行的行数
－－最常用
2）怎样求向量组
1 , 2 ,, s 的秩？ ------ 行、列
⑴ 以向量组 1 , 2 ,, s 中各向量作为列向量，
构成矩阵 A ； ⑵ 求出矩阵 A 的秩，也即原向量组的秩
3）怎样判断向量组
1 , 2 ,, s 的相(无)关性？ ------ 行、列
⑴ 求出秩（ 1 , 2 ,, s ）＝ r
r=s 线性无关
⑵ 比较 r 与 s 的大小
r ＜ s 线性相关
当向量个数＝向量维数时
求
1 , 2 ,, s
D 0 线性无关
D= 0 线性相关
4）怎样求向量组 1 , 2 ,, s 的一个极大无关组？ ----- 行
6．了解分块矩阵及其运算。
第四章教学要求：
1．了解n维向量的概念。 重要结论1
2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关 向量组线性相关、线性无关的重要结论。 3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩 阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和求向量组的极大 线性无关组及秩。 4 ．了解向量组等价的概念，了解向量组 的秩与矩阵秩的关系。
4．了解内积的概念，掌握线性无关向量组标准规范Байду номын сангаас化的施密特正交化方法。向量的单位化等。
充要条件 1
一般情况 当向量个数＝向量维数 系数行列式 D＝0
线 性 相 关
相应的齐次线性方程组 x1a1+x2a2+…+xmam＝θ 有非零解
线 性 无 关
相应的齐次线性方程组 x1a1+x2a2+…+xmam＝θ 只有唯一零解
系数行列式 D≠0
充要条件 2
线 性 相 关
其中至少有一个向量可以由 其余 m -1 个向量线性表示
线 性 无 关
其中每一个向量都不能 由其余 m -1 个向量线性表示
部分 与 整体 长短变化 线 性 相 关
向量个数 与 维数
若向量组中
部分相关 => 整体相关
缩短不变性
向量个数 ＞ 向量维数
必线性相关
怎样选择？
step1. 增广矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵
非 齐 次 线 性 方 程 组 求 解 过 程
step2. 讨论方程组的解
step3.（无穷解时） 进一步将矩 阵化为各首非零元为1，所在 列其余元素为零的矩阵 step4. 写出非齐次线性方程组的同解方程组
step5. 求出非齐次线性方程组的特解
线 性 无 关
整体无关 =>
部分无关
加长不变性
R n 中，任一无关组
向量个数 ≤ 向量维数 n
•
向量组 a1 , a2 ,· · · , am 线性无关，
而添加 β 形成的向量组 a1 , a2 ,· · · , am ,β 线性相关， 则 β 可由 a1 , a2 ,· · · , am 线性表示，且表示唯一。 结论1结束
重要结论2
5．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非 齐次线性方程组有解的充分必要条件。 6．理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念及 求法。
3．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。 4．掌握用行初等变换求非齐次线性方程组通解的方 法。
r(A) r(A,b)无解
克拉默法则， xj
怎样求？ step6. 写出齐次线性方程组的同解方程组
step7. 求出齐次线性方程组的通解 step8. 写出非齐次线性方程组的通解
第五章教学要求：
1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求 矩阵的特征值和特征向量。
2．了解相似矩阵的概念、性质及掌握矩阵可相 似对角化的充分必要条件。 3．掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的 方法。
⑴
A 行阶梯形矩阵 B
(行) 初等变换
求出向量组
1 , 2 ,, s 的极大无关组；
(2)解非齐次线性方程组即可。
“关于矩阵的秩”
行秩＝列秩＝矩阵的秩
怎样的情况下矩阵的秩不变？
初等变换不改变矩阵的秩 矩阵等价 矩阵转置 矩阵的秩不变 乘可逆矩阵
矩阵运算对秩的影响？
⑴ r ( A+（－）B ) ≤ r ( A) + r (B) ; ⑵ r ( AB ) ≤ min {r ( A ) ，r ( B ) }.
线性代数总复习

一、行列式 二、矩阵 三、向量组 四、线性方程组的解 五、特征值与特征向量
第一章教学要求：
1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质
。
2．会应用行列式的性质和行列式按行（列） 展开定理计算行列式
。
3．理解克莱姆法则及其应用。
行列式的计算
n阶行列式的计算方法很多，除直接按 定义计算外，一般还有下列方法：
Dj D
Ax= b
b=0 b≠0
r(A)=r(A,b)=n 有唯一解
d1 d 2 d n T 初等变换，
齐次方程的基础解系
r(A)=r(A,b)<n 有无穷多解
非齐次方程的一个特解
非齐次方程的通解
齐 次 线 性 方 程 组 求 解 过 程
step1. 系数矩阵初等行变换 化为行阶梯形矩阵 step2. 讨论方程组的解 step3.（无穷解时） 进一步将矩 阵化为各首非零元为1，所在 列其余元素为零的矩阵 step4. 选择自由未知量，基本 未知量 step5. 写出同解方程 step6. 求出基础解系 step7. 写出通解 怎样求？