向量思想方法在几何数学中的应用

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如何利用向量解决平面几何问题的投影

如何利用向量解决平面几何问题的投影

如何利用向量解决平面几何问题的投影平面几何是数学中重要的内容之一,而解决平面几何问题的投影,向量方法是一种常用且有效的解决方案。

本文将介绍如何利用向量解决平面几何问题的投影,并提供一些具体的案例分析。

一、向量投影的基本概念在介绍向量解决平面几何问题的投影之前,首先需要了解向量投影的基本概念。

向量投影是指一个向量在另一个向量或者某个平面上的投影,可以理解为一个向量在某个方向上的分量。

二、向量投影的计算方法向量投影的计算方法可以通过向量的内积来实现。

设有两个向量A 和B,向量A在向量B上的投影记为proj_BA,可以通过以下计算公式得到:proj_BA = (A·B) / |B|其中,A·B表示向量A和向量B的内积,|B|表示向量B的模长。

三、向量投影的应用举例下面通过一些具体的例子来说明如何利用向量解决平面几何问题的投影。

例1:已知向量A(2,3)在向量B(4,5)上的投影proj_BA,求解该投影的值。

首先计算A·B = 2*4 + 3*5 = 8 + 15 = 23然后计算向量B的模长|B| = √(4^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41最后代入公式进行计算:proj_BA = 23 / √41 ≈ 3.58例2:已知向量A(4,1)在平面P上的投影proj_PA,求解该投影的值。

假设平面P通过一点P0(2,3),且平面法向量为N(1,-1)。

首先计算A·N = 4*1 + 1*(-1) = 4 - 1 = 3然后计算向量N的模长|N| = √(1^2 + (-1)^2) = √2最后代入公式进行计算:proj_PA = 3 / √2 ≈ 2.12通过以上两个例子,我们可以看到向量投影的计算方法可以很好地应用于解决平面几何问题中的投影问题。

只需要通过向量的内积和模长计算,我们就可以得到所需的投影结果。

四、向量投影的几何意义除了计算投影的值,向量投影还有一个重要的几何意义。

向量在高中数学中的作用

向量在高中数学中的作用

向量在高中数学中的作用向量是高中数学中一个重要的概念,它不仅能够帮助我们理解几何图形的性质,还能应用于物理、力学、几何等各个领域。

本文将探讨向量在高中数学中的作用,并介绍一些相关的应用。

首先,向量在几何图形的研究中起着关键的作用。

通过向量,我们能够描述一个点的位置、两个点之间的距离、两个线段的夹角等几何性质。

例如,在平面几何中,我们可以用向量表示一个点的坐标,通过两个点的坐标向量相减可以得到它们之间的线段向量,从而计算出它们的长度、方向等信息。

同时,向量还能够帮助我们确定几何图形的对称中心、镜像轴等特征,以及解决一些与几何图形相关的问题。

其次,向量在物理学中的应用也非常广泛。

在力学领域,向量可以表示物体的位移、速度、加速度等物理量。

通过求解向量方程,我们可以得出物体在不同时刻的位置、速度和加速度之间的关系,从而揭示出物体的运动规律。

在力学问题中,可以通过向量的几何性质解决一些力和力的合成、分解问题,求解物体受力的大小、方向等。

此外,在静力学的分析中,向量也是一个重要的工具,可以用来分析物体的平衡条件、滑动条件等。

此外,向量还可以用于解决数量关系的问题。

例如,在线性代数中,我们可以用向量的线性组合、线性相关性等概念解决一些向量空间的性质和线性方程组的求解问题。

向量的内积和叉积可以用来求解两个向量之间的夹角、平行关系以及面积、体积等量的计算。

此外,向量还可以用于表示一些数量关系的模型,例如经济学中的边际效应模型、物理学中的力场模型等。

在数学建模中,向量也起着重要的作用。

通过将问题抽象为向量的形式,我们可以使用向量运算、向量的变化规律等方法进行问题的建模和求解。

例如,在最优化问题中,我们可以将目标函数表示为向量,利用向量的方向、长度等性质寻找最优解。

在图论和网络分析中,向量可以用于表示节点之间的连通关系、距离关系等,从而帮助我们分析网络结构和解决一些与网络相关的问题。

除此之外,向量还在计算机科学中发挥着重要的作用。

空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用教学目标1、知识与技能(1) 进一步理解向量垂直的充要条件;(2)利用向量法证明线线、线面垂直;(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法;2、过程与方法通过学生对空间几何图形的认识,建立恰当的空间直角坐标系,利用向量的坐标将几何问题代数化,提高学生应用知识的能力。

3、情感态度与价值观通过空间向量在立体几何中的应用,让学生感受数学、体会数学的美感,从而激发学数学、用数学的热情。

教学重点建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。

教学难点、关键建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。

教学方法启发式教学、讲练结合教学媒体ppt课件学法指导交流指导,渗透指导.课型新授课教学过程一、知识的复习与引人自主学习1.若=x i+y j+z k,那么(x,y,z)叫做向量的坐标,也叫点P的坐标.2. 如图,已知长方体的边长为AB=2,AD=2,1AA '=.以这个长方体的顶点为坐标原点,射线分别为轴、轴、轴的正半轴,建立空间直角坐标系,试求长方体各个顶点及A C '中点G 的坐标.3.设a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),那么±=(x 1±x 2,y 1±y 2, ), ⊥⇔ b a ∙=x 1x 2+y 1y 2+ =0.4.设M 1(x 1,y 1,z 1),M 2(x 2,y 2,z 2),则 12M M =(2121,x x y y --, ) [探究]1.直线的方向向量:直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线的方向向量有 个. 2.空间位置关系的向量表示[合作探究]二、新授课:利用空间向量证明线线垂直、线面垂直例1、如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为BC 的中点,N 为AB 的中点,P 为BB 1的中点.(Ⅰ)求证:BD 1⊥B 1C ;(Ⅱ)求证:BD 1⊥平面MNP .设计意图:使学生明确空间向量在证明线线垂直、线面垂直中的作用。

利用向量解决平面几何问题的方法与技巧

利用向量解决平面几何问题的方法与技巧

利用向量解决平面几何问题的方法与技巧平面几何是数学中的一个重要分支,它研究平面上的点、直线、圆等几何图形及其性质。

解决平面几何问题时,常常可以运用向量的概念和运算来简化计算和分析过程。

本文将介绍一些利用向量解决平面几何问题的方法与技巧。

一、向量的基本概念与运算在讨论向量解决平面几何问题之前,首先需要了解向量的基本概念和运算。

向量是具有大小和方向的量,可以表示为箭头形式或坐标形式。

向量的加法满足交换律和结合律,即(a+b)+c=a+(b+c),a+b=b+a。

向量的数乘是将向量的长度进行拉伸或压缩的操作,结果仍是一个向量。

二、利用向量进行辅助构造1. 向量平移在解决平面几何问题时,有时可以通过向量平移来简化问题。

设有一个平面几何问题,已知点A,B,C等多个点,需要求得某个点D。

可以选择一个已知向量,用它将所有的点平移,然后通过平移后的点的位置关系来确定点D的位置。

2. 向量加法构造向量当需要得到几何图形中的一个向量时,可以利用已知向量进行向量加法构造。

例如,已知直线上的两个点A和B,需要求得直线上的另一个点C,可以利用已知向量AB和一条与直线垂直的向量得出向量AC,从而确定点C在直线上的位置。

三、利用向量进行问题的求解1. 直线和向量的关系在平面几何中,直线可以由点和向量唯一确定。

已知直线上的两点A和B,通过向量AB可以得到直线上的一个特征向量。

2. 平行和共线的判定利用向量的平行性质,可以方便地判定两条直线是否平行或共线。

若两个向量的方向相同或相反,则两条直线平行;若两个向量共线,则两条直线共线。

3. 角度和向量的夹角利用向量的内积,可以求得两个向量之间的夹角。

已知两个向量a和b,它们的夹角θ满足公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)。

4. 平面和向量的关系在解决平面几何问题时,有时可以通过平面的法线向量来简化问题。

已知平面上的三个点A、B、C,可以通过向量AB和向量AC求得平面的法线向量,从而得到平面的方程。

解析几何与向量的平面几何与空间几何与坐标系的应用

解析几何与向量的平面几何与空间几何与坐标系的应用

解析几何与向量的平面几何与空间几何与坐标系的应用解析几何与向量是高中数学中的重要部分,它们广泛应用于平面几何和空间几何中。

本文将对解析几何与向量的基本概念进行解析,并探讨它们在平面几何和空间几何中的应用。

一、解析几何与向量的基本概念解析几何是指通过数学方法研究几何图形的一种方法。

它将几何问题转化为代数问题,通过坐标系来描述几何对象的性质。

而向量是解析几何中的基本概念之一,它可以表示空间中的任意方向和大小。

在解析几何中,我们通常使用笛卡尔坐标系来描述平面几何和空间几何中的点、直线和曲线等。

在平面几何中,我们使用二维直角坐标系,以平面上的点的横纵坐标表示其位置。

在空间几何中,我们使用三维直角坐标系,以空间中的点的横纵高坐标表示其位置。

二、平面几何中的应用1. 计算距离和中点:在平面几何中,我们可以利用解析几何和向量的方法计算两点之间的距离和中点。

通过将两点的坐标代入距离和中点的公式中,可以得到准确的结果。

2. 判断点的位置关系:在平面几何中,我们可以利用解析几何和向量的方法判断点与直线的位置关系。

通过将点的坐标代入直线的方程中,可以确定点在直线上方、下方还是直线上。

3. 求解直线的方程:在平面几何中,我们可以通过已知直线上的两点求解直线的方程。

利用向量表示两点间的向量差,并代入直线的方程中,可以得到直线的方程。

三、空间几何中的应用1. 计算体积和面积:在空间几何中,我们可以利用解析几何和向量的方法计算三维图形的体积和表面积。

通过将三维图形分解为各个平面或曲面的组合,并利用向量的方法计算各个部分的面积或体积,最后求和得到总的体积或表面积。

2. 判断直线和平面的位置关系:在空间几何中,我们可以利用解析几何和向量的方法判断直线与平面的位置关系。

通过将直线的方程代入平面的方程中,可以判断直线与平面是否相交,并求解交点的坐标。

3. 求解直线和平面的方程:在空间几何中,我们可以通过已知直线上的一点和方向向量求解直线的方程。

向量在平面几何、解析几何中的应用

向量在平面几何、解析几何中的应用

摘要:向量在平面几何与解析几何中多有应用,在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。

向量知识不但让难题迎刃而解,还可让学生形成通用性规则,利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。

关键词:平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤,各步骤间联系紧密,存在逻辑顺序,在审题后需仔细核对题目题干,寻求问题突破口,在将几何问题转化为代数问题后,可实现题目的高精度运算,达到预期目的。

因此类题型具有复杂特点,在学生做题量得到提升后,学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解,不但让图形对应特征得以描述,也让问题解决难度有所降低,下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证,在同学们阅读对应题干时,需带着对问题的解决思路求解。

二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容,在历年的高考试卷中有所涉及,也常与其他学科一同考试,为此提升向量教学效率,让学生灵活掌握向量知识,在拥有基本阅读审题能力的同时,提前了解向量习题的解题策略,不但有效保证做题效率,还让学生在复习前即可拥有一定知识储备,但现阶段教学存在的问题也较明显。

1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。

学生在学习人教版数学教材时,会学到复杂、零碎的知识,教师讲解新知识点时,也会向学生传授以往讲授过的知识点,用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态,并建立对应向量学习思维。

高考试卷题量有限,不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查,还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生,并具有区分性,向量本身具有一定基础性,学生在初中阶段即接触过向量知识,在培养学生独立完成习题能力的同时,即使学生完全掌握教材教学内容,也不一定做对高考对应的向量试题,在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时,学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。

面临新高考的改革,数学教师还需明确自身育人使命,适当给学生传授高考习题解题技巧,改变以往题海战术的陈旧教学模式,让学生热爱学习数学学科知识,并善于发现生活中的数学元素。

数学与应用数学专业毕业论文-向量在立体几何中的应用

数学与应用数学专业毕业论文-向量在立体几何中的应用

向量在立体几何中的应用摘要作为现代数学的重要标志之一的向量已进入了中学数学教学,为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具,促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中,几何占有很重要的地位,有些几何问题用常规方法去解决往往比较复杂,运用向量作行与数的转化,则使过程得到大大的简化.向量法应用于平面几何中时,它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决,体现了数学中数与形的完美结合.立体几何常常涉及到的两大问题:证明与计算,用空间向量解决立体几何中的这些问题,其独到之处,在于用向量来处理空间问题,淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程,使解题变得程序化.装关键词:向量;立体几何;证明;计算;运用订线ABSTRACTAs one of the important signs of modern mathematics the vector has entered middle school mathematics teaching, using algebraic method research geometry problems provides powerful tools, promoted the high school of the geometry of algebra. And in the high school mathematics system, geometric occupies a very important position, some geometry problems with conventional method to solve tend to be complex, using vector for the number of rows and transformation, makes the process is greatly simplified. Vector method was used the plane geometry, it will be when the plane geometry many problems algebra effectively, programmed to solve, reflected in mathematics, the perfect combination of Numbers and forms. Three-dimensional geometry often involved the two big problems: proof and calculation, with space vector solve three-dimensional geometry in these problems, its unique, is using vector to deal with the problem of space, fade the traditional methods are "form" to "form" reasoning process, causes the problem-solving become programmed.Keywords:Vector; solid geometry; proof; calculation; use目录摘要 (Ⅰ)ABSTRACT (Ⅰ)1 向量方法在研究几何问题中的作用 (1)2 向量方法解决证明问题的直接应用 (2)2.1平行问题 (2)2.1.1证明两直线平行 (2)2.1.2证明线面平行 (3)2.2垂直问题 (4)2.2.1证明两直线垂直 (4)2.2.2证明线面垂直 (4)2.2.3证明面面垂直 (5)2.3处理角的问题 (6)2.3.1求异面直线所成的角 (6)2.3.2求线面角 (7)2.3.3求二面角 (8)3 向量方法解决度量问题的直接应用 (10)3.1两点间的距离 (10)3.2点与直线距离 (10)3.3点到面的距离 (11)3.4求两异面直线的距离 (11)3.5求面积 (12)3.6求体积 (13)4 向量方法解决证明与计算问题有关的综合应用 (14)5 向量在立体几何中应用的教学反思 (21)5.1对比综合法与向量法的利弊 (21)5.2向量法解决立体几何问题的步骤 (22)5.3向量法能解决所有立体几何问题吗 (22)参考文献 (23)1 向量方法在研究几何问题中的作用]1[向量是高中数学新增加的内容,在作用上它取代了以往复数在高中数学教材中的地位,但从目前的使用情况来看,向量的作用要远远大于复数.一个复数所对应的点只能在平面上,而向量却有平面向量和空间向量之分,这一点在与几何(尤其是立体几何)的联系上表现得更加突出.向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支上都有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体,能与中学数学教学内容中的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量进入高中数学教材,为用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具,促进了高中几何的代数化.而在高中数学体系中,几何占有很重要的地位,有些几何问题用常规方法去解决往往比较繁杂,而运用向量作形与数的转化,则能使过程得到大大的简化.用向量法解决几何问题有着思路清晰、过程简洁的优点,往往会产生意想不到的神奇效果.著名教育家布鲁纳说过:“学习的最好刺激是对所学材料的兴趣,简单的重复将会引起学生大脑疲劳,学习兴趣衰退.”这充分揭示了方法求变的重要性,如果我们能重视向量的教学,重视学生在学习向量过程中产生的障碍并且提供相应的教学对策,必然能引导学生拓展思路,减轻他们的学习负担.向量方法在解决几何问题时充分体现了它的优越性,平面向量就具有较强的工具性作用,向量方法不仅可以用来解决不等式、三角、复数、物理、测量等某些问题,还可以简捷明快地解决平面几何许多常见证明(平行、垂直、共线、相切、角相等)与求值(距离、角、比值等)问题.不难看出向量法应用于平面几何中时,它能将平面几何许多问题代数化、程序化从而得到有效的解决,体现了数学中数与形的完美结合.向量法是将几何问题代数化,用代数方法研究几何问题.立体几何的证明与计算常常涉及到两大问题:一是位置关系,它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行;二是度量问题,它主要包括点到线、点到面的距离,线线、线面所成的角,面面所成角等.用空间向量解决立体几何中的这些问题,其独到之处,在于用向量来处理空间问题,淡化了传统方法的有“形”到“形”的推理过程,使解题变得程序化.那么解立体几何题时就可以用向量方法,对某些传统性较大,随机性较强的立体几何问题,引入向量工具之后,可提供一些通法.2 向量方法解决证明问题的直接应用2.1平行问题]2[2.1.1证明两直线平行b a CD AB b D C a B A //,,;,⇒=∈∈λ. 知),(),,(2211y x CD y x AB ==,则有b a y x y x //1221⇒=. 例 1 已知直线OA ⊥平面α,直线BD ⊥平面α,O 、B 为垂足,求证:OA//BD.证明:如上图,以点O 为原点,以射线OA 为z 轴,建立空间直角坐标系xyz O -,k j i ,,为沿x 轴,y 轴,z 轴的坐标向量,且设),,(z y x BD =,∵α⊥BD ,∴j BD i BD ⊥⊥,∴0)0,0,1(),,(==⋅=⋅x z y x i BD ,0)0,1,0(),,(==⋅=⋅y z y x ,∴),0,0(z =∴k z BD =,又知O 、B 为两个不同的点,∴OA BD //.方法思路:在两条直线上分别取不同的两点得到两向量,转化为证明两向量平行.2.1.2证明线面平行1、线∉a 面α,a B A ∈,,面α的法向量为n ,α//0AB n AB n AB ⇔⊥⇔=⋅. 方法思路:求面的法向量,在直线找不同两点得一向量,证明这一向量与法向量垂直(即证明数量积为0),则可得线面平行.2、已知面α外的直线a 的方向向量为a ,21,e e 是平面α的一组基底(不共线的向量),若αλλ//2211a e e a ⇔+=.例2 如上图,正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直,P 、Q 分别是对角线AC 、BF 上的一点,且AP = FQ,求证:PQ ∥平面BCE.证明:设λ=,∵AP = FQ, ∴λ=,∴FQ AF PA PQ ++==λλ++-=λλλλ+-+--=)1(λλ-+∴//PQ 平面BCE.方法思路:证明直线的方向向量可用平面的一组基底线性表示(即在平面内存在一向量与方向相等),则可得面内一直线与面外的线平行,从而证明线面平行.2.1.3面面平行1、不重合的两平面α与β的法向量分别是m 和n ,βαλ//⇔=.方法思路:求平面的法向量,转化为证明两法向量平行,则两平面平行.2、不重合的两平面α与β,面α的法向量为,若βαβ//⇔⊥.方法思路:求出其中一平面的法向量,再证该法向量与另一面的不共线的两向量数量积为0(即垂直),则可得两平面平行.2.2垂直问题]3[2.2.1证明两直线垂直不重合的直线a 和直线b 的方向向量分别为a 和b ,则有b a b a ⊥⇒=⋅0. 例3 如图,已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB //CD,AC ⊥BD ,垂足为H ,PH 是四棱锥的高 ,E 为AD 中点.证明:PE ⊥BC证明:以H 为原点,,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴,线段HA 的长为单位长, 建立空间直角坐标系如图, 则(1,0,0),(0,1,0)A B设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n m n <>,则 )0,2,21(),0,,0(m E m D , 可得)0,1,(),,2,21(-=-=m n m , 因为0022m m PE BC ⋅=-+=, 所以 PE BC ⊥.2.2.2证明线面垂直直线l 的方向向量为]4[,平面α的方向向量为,则有αλ⊥⇒⋅=l . 例4,如图,m, n 是平面α内的两条相交直线.如果n l m l ⊥⊥,,求证:α⊥l .证明:在α内作任一直线g ,分别在g n m l ,,,上取非零向量g n m l ,,,. 因为m 与n 相交,所以向量n m ,不平行.由向量共面的充要条件知,存在唯一的有序实数对(x,y ),使n y m x g +=将上式两边与向量l 作数量积,得n l y m l x g l ⋅+⋅=⋅,因为 0,0=⊥=⊥n l m l ,所以0=⋅g l ,所以g l ⊥即g l ⊥.这就证明了直线l 垂直于平面α内的任意一条直线,所以α⊥l .方法思路:找直线的方向向量(在两直线上取两点得一向量)及平面的法向量,只需证明两向量平行,则可证线面垂直. 2.2.3证明面面垂直1、不重合的平面α与β的法向量分别为m 和n ,则有βα⊥⇔=⋅0n m . 方法思路:找平面的法向量,只需证明两向量数量积为0,则可证明两平面垂直.2、平面β的法向量为n ,21,e e 是平面α的一组基底(不共线的向量),则有βαλλ⊥⇔+=2211e e n .例5 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1,CD 的中点(1)求证:AD ⊥D 1F ;(2)证明平面AED ⊥平面A 1FD 1分析:涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题,建立空间直角坐标系来解,不仅容易找到解题方向,而且坐标也简单,此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为“0”的问题,当然也可用其它的证法.证明:建立空间直角坐标系如图,并设AB=2,则A(0,0,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2)D 1(0,2,2),E(2,0,1), F(1,2,0)(1)(0,2,0),AD = 1(1,0,2)D F =-m n gα l AB C DA 1B 1C 1D 1z y∴ 1AD D F ⋅=0×1+2×1+0×(-2)=0, ∴AD ⊥D 1F(2)AE =(2,0,1) 1D F =(1,0,-2),||5AE = ,|1|5D F = 设AE 与D 1F 的夹角为θ,则θcos =055)2(10012|F D ||AE |FD AE 11=-⨯+⨯+⨯=⋅所以D 1F ⊥AE ,由(1)知D 1F ⊥AD ,又AD ∩AE=A ,∴D 1F ⊥平面AED ,∵D 1F ⊂平面A 1FD 1M∴平面AED ⊥平面A 1FD 1方法思路:找其中以平面的法向量,证明法向量与另一平面平行,即法向量可以用另一平面的一组基底(不共线的向量)线性表示.2.3处理角的问题]5[2.3.1求异面直线所成的角a,b 是两异面直线,b D C a B A ∈∈,,,,a ,b 所成的角为θ,则有CD AB CDAB CD AB ⋅⋅=〉〈=,cos cos θ.例6 如图所示,三棱锥A-BCD,AB ,,CD BD BCD ⊥⊥平面若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D 的大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz,∵AB=BC=2BD,设BD=1则AB=BC=2,DC=3A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0))2,0,1(),0,3,0(),0,3,1(),2,0,0(==-=-=→→→→DA DCBC AB设平面ABC 的法向量为),,(1111z y x n =→, 则00.11=⇒=→→z n AB030.111=+-⇒=→→y x n BC取平面ABC 的法向量)0,1,3(1=→n 设平面ACD 的法向量为),,(2222z y x n =→则00.22=⇒=→→y n DC020.222=+⇒=→→z x n DA取法向量)1,0,2(-=→n cos<→→21,n n >=5151040131001)2(32221-=++⨯++⨯+⨯+-⨯=⋅→→→→n n n n 515arccos,21->=∴<→→πn n 互补平面角与二面角><--∴→→21,n n D AC B , 515arccos的大小的所求二面角D AC B --∴. 方法思路:找两异面直线的方向向量,转化为向量的夹角问题,套公式(但要理解异面直线所成的夹角与向量的夹角相等或互补).2.3.2求线面角设平面α的斜线l 与面α所成的角为β,若,,l B A ∈m 是面α的法向量,则有〉〈=m AB ,cos sin β.例7如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB =90,侧棱AA 1=2,D 、E分别是CC 1与A 1B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小(结果用余弦值表示);D D A 1C 1B 1z E解析:如图所示,建立坐标系,坐标原点为C ,设a CA 2=,则)0,0,2(a A ,)0,2,0(a B ,)1,0,0(D ,)2,0,2(1a A ,)1,,(a a E ,)31,32,32(a a G , ∵ ()2,,333a a GE =---,()0,2,1BD a =-,032322=-=⋅a , ∴1=a ,()112,,333GE =---,()12,2,2A B =--∵ GE 为平面ABD的法向量,且32,cos 1==〉〈GE B A . ∴ A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值是32. 方法思路:找直线的方向向量与平面的法向量,转化为向量的夹角问题,再套公式(注意线面角与两向量所在直线夹角互余).2.3.3求二面角方法一:构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、(都取向上的方向,如右图所示),则 ① 若二面角βα--l 是“钝角型”的如图3甲所示,那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角,即||||cos 2121n n ⋅=θ.② 若二面角βα--l 是“锐角型”的如右图所示,那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角,即||||cos 2121n n ⋅=θ方法二:在二面角的棱l 上确定两个点B A 、,过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、,则二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角,即 ||||cos 2121n n ⋅=θ.例8 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=2,BC=4,AA 1=2,点Q 是BC 的中点,求此时二面角A —A 1D —Q 的大小.解 如图所示,建立空间直角坐标系xyz O -, 依题意:A 1(0,0,2),D (0,a ,0). ∴Q (2,2,0),D (0,4,0), ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=A , 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n , 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n =, 令a 1=1,则)2,1,1(2=n ,∴66611,cos 21=⨯=>=<n n , 二面角的平面角为锐角,∴二面角A —A 1D —Q 的大小为66arccos. 此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题中若令11-=a ,则)2,1,1(2---=n ,∴66,cos 21->=<n n ,∴二面角A —A 1D —Q 的大小 是><21,n n 66arccos-=π的补角66arccos .所以在计算之前不妨先依题意直观判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角”或取“补角”.O (A 1z3 向量方法解决度量问题的直接应用3.1两点间的距离]6[两点间距离重在“转化”,即将空间两点间距离转化为向量的长度问题.利用向量的模,可以推导出空间两点的距离公式,即空间两点()()11112222,,,,,P x y z P x y z ,则()()()22212212121d PP x x y y z z ==-+-+-例1 在三棱锥S ABC -中,面SAC ⊥面ABC ,SA AC ⊥,BC AC ⊥6SA =,21,8AC BC ==,求SB 的长. 分析 如图,本题可以用几何法求出SB , 但需要证明若用向量法,注意到SA ,AC ,BC 之间的关系.建立以A 点为原点的空间直角坐标系.则无须证明就有如下巧解.解 如图,建立以A 为原点的空间直角坐标系,则()()()0,0,0,21,0,0,0,6A B S ,所以()()()222080216011SB SB ==-+-+-=.本题用向量法巧妙地把与SB 有关元素的位置关系转化为相应向量是SB 的数量关系,构造向量的空间距离模型,然后通过数值计算将问题加以解决.3.2点与直线距离]7[如图 求得向量AP 在向量AB 的射影长为d , 则点P 到直线AB 22AP d -例2 设P 为矩形ABCD 所在平面外的一点,直线PA 垂直平面外的一点, 直线PA 垂直平面ABCD ,AB =3,BC =4,PA =1 求点P 到直线BP 的距离. 解()()29BP BD BA AP BC BA AB ⋅=+⋅+==BD5所以BP 在BD 上的射影长为95,又10BP =,所以点P 到直线BD 的距离3.3点到面的距离任取一点α∈Q 得m PQ ,是平面α的法向量,则有:点P 到平面α的距离mm PQ d ⋅=(向量PQ 在法向量m 的投影的长度).方法思路:求出平面的任一法向量m (方程组可求),在平面内任取一点Q 与点P 得一向量转化为PQ 在法向量的投影长度,套公式.3.4求两异面直线的距离知b a ,是两异面直线,b D C a B A ∈∈,,,,找一向量与两异面直线都垂直的向量m ,则两异面直线的距离mm AC d ⋅=例3如图,三棱柱中,已知A BCD 是边长为1的正方形,四边形 B B A A ''是矩形,。

向量在高中数学空间几何解题中的应用

向量在高中数学空间几何解题中的应用

215神州教育向量在高中数学空间几何解题中的应用贺雨曦长沙市麓山国际实验学校摘要:空间几何作为高中数学的难点内容,一直是困扰高中生的难点问题,由于空间图形较为抽象,许多高中生难以利用正确的解题思路和解题方法,解决这类问题,并且空间几何问题还是数学高考的重点部分,因此,高中生需要利用巧妙的方法进行解题。

本文对向量在解决高中数学空间几何问题的应用进行分析,阐述向量的概念和应用效果,希望对提升高中生的解题技巧有所帮助。

关键词:向量;高中数学;空间几何引言:随着高考的不断改革,空间几何在数学高考中所占的比重越来越高,但由于空间几何解题步骤较为复杂,计算较为困难,因此许多高中生不愿学习空间几何。

针对这一情况,高中生可以将向量作为解题工具,解决空间几何问题。

一、向量在高中数学空间几何解题中应用的重要意义随着高中教材的改革的不断深化,高中数学的题型也发生了较大的改变,尤其是空间几何类问题,变的更为复杂,高中生如果采用传统的解题方式,不仅解题步骤较为繁琐,解题的准确性也无法得到保障[1]。

而向量作为一种重要的解题工具,将其应用于空间几何解题过程中,具有重要的意义。

首先,高中生应用向量进行解题,可以改变自身僵化的解题思路,通过向量公式的使用,可以简化解题的流程,降低解题的难度,高中生能够用更快的速度解决空间几何问题。

并且高中生还可以通过向量将一个复杂的空间几何图像进行简化处理,有利于高中生充分利用几何图形中的已知条件。

此外,高中生利用向量解决空间几何问题,还能使高中生的逻辑思维能力得到提升,由于几何图形较为抽象和复杂,高中生在利用向量简化图形的过程中,会提高自身解读图形的能力,高中生的逻辑思维能力也会得到极大的强化。

二、向量在高中数学空间几何解题中的应用(一)向量在空间几何解题中的作用经过国内外数学专家对向量的多年研究,向量被广泛的应用在数学解题之中,向量模型已经成为数学内容的构成部分之一。

现阶段,高中生在进行空间几何解题的过程中,可以将向量以字母V 的形式表现出来,通过这种方式的应用,能够帮助高中生在解决空间几何问题时,更方便的进行计算,从而利用向量集合计算空间结合的长度,继而得到结果,然后在利用数学的基础算法,构建向量模型,以此来解决高中数学中的空间几何问题。

向量在平面几何中的应用

向量在平面几何中的应用

玉林师范学院附属中学朱文焕【关键词】高中数学向量平面几何运用【中图分类号】G【文献标识码】A 【文章编号】0450-9889(2013)10B-0064-02 向量是高中数学不可缺少的内容,它是沟通代数、几何与三角函数的工具。

在平面几何中,向量可以将很多问题代数化、程序化,体现出数与形的完美结合,新课标对向量知识的考查也充分体现了综合运用的特色。

在几何中,平面向量在处理长度、距离、垂直、平行等问题时占有绝对的优势,运用向量与数形的转化,可以大大简化计算,降低某些题目的难度,向量方法在几何中得到了广泛的运用。

本文从证明直线平行、求夹角、证明直线垂直三个放面论述向量在平面几何中的运用。

一、用向量证明直线平行直线平行的证明是平面几何中经常遇到的问题之一,也是高中数学中的重点和难点。

法向量在立体几何中的应用.

法向量在立体几何中的应用.

法向量在立体几何中的应用查宝才(扬州市新华中学,江苏 225002)向量在数学和物理学中的应用很广泛,在解析几何与立体几何里的应用更为直接,用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。

将向量引入中学数学后,既丰富了中学数学内容,拓宽了中学生的视野;也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。

下面就向量中的一种特殊向量——法向量,结合近几年的高考题,谈谈其在立体几何有关问题中的应用。

1 法向量的定义1.1 定义1 如果一个非零向量n 与平面α垂直,则称向量n 为平面α的法向量。

1.2 定义2 任意一个三元一次方程:0=+++D Cz By Ax ,222(C B A ++)0≠都表示空间直角坐标系内的一个平面,其中),,(C B A n =为其一个法向量。

]1[事实上,设点),,(0000z y x P 是平面α上的一个定点,),,(C B A n =是平面α的法向量,设点),,(z y x P 是平面α上任一点,则总有n P P ⊥0。

∴ 00=⋅n P P , 故 0),,(),,(000=---⋅z z y y x x C B A , 即 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A , ∴ 0000=---++Cz By Ax Cz By Ax ,……① 设 000Cz By Ax D ---=,则 ① 式可化为0=+++D Cz By Ax )0(222≠++C B A ,即为点P 的轨迹方程。

从而,任意一个三元一次方程:0=+++D Cz By Ax )0(222≠++C B A , 都表示一个平面的方程,其法向量为),,(C B A =。

2 法向量在立体几何中的应用 2.1 利用法向量可处理线面角问题 设θ为直线l 与平面α所成的角,ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角,则有θπϕ-=2(图1)或θπϕ+=2(图2)图1 图2特别地 0=ϕ时,2πθ=,α⊥l ;2πϕ=时,0=θ,α⊆l 或α//l例1(2003年, 新课程 、江苏 、辽宁卷高考题)如图3,在直三棱柱111C B A ABC -中,底面是等腰直角三角形,ο90=∠ACB ,侧棱21=AA ,D ,E 分别是1CC 与B A 1的中点,点E 在平面上的射影是ABD ∆的重心G 。

高中数学空间向量在立体几何中的应用知识总结

高中数学空间向量在立体几何中的应用知识总结

空间向量在立体几何中的应用一、教学目标与要求:1.理解直线的方向向量与平面的法向量;2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系;3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理;4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用;二、基础知识回顾知识点1.基本向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量,一条直线的方向向量有无数个.(2)平面的法向量直线l⊥平面α,取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面α的法向量.显然一个平面的法向量有无数个,它们是共线向量.知识点2.空间位置关系的向量表示知识点3.两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,则cos φ=|cos θ|=|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a,b所成的角).知识点4.直线和平面所成的角的求法如图所示,设直线l 的方向向量为e ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为φ,两向量e 与n 的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=|n ·e ||n||e|.知识点5.求二面角的大小(1)如图①,AB 、CD 是二面角α-l -β的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB ,CD 〉.(2)如图②③,n 1,n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ=〈n 1,n 2〉(或π-〈n 1,n 2〉).知识点6.点到平面的距离的向量求法如图,设AB 为平面α的一条斜线段,n 为平面α的法向量,则点B 到平面α的距离d =|AB ·n ||n |.三、例题讲解例1如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,AD =DE =2AB ,F 为CD 的中点.(1)求证:AF ∥平面BCE ; (2)求证:平面BCE ⊥平面CDE .解:设AD =DE =2AB =2a ,建立如图所示的坐标系A -xyz , 则A (0,0,0),C (2a,0,0),B (0,0,a ),D (a ,3a,0),E (a ,3a,2a ). ∵F 为CD 的中点, ∴F ⎝⎛⎭⎫32a ,32a ,0.(1)证明:AF =⎝⎛⎭⎫32a ,32a ,0,BE =(a ,3a ,a ),BC =(2a,0,-a ),∵AF =12(BE +BC ),AF ⊄平面BCE ,∴AF ∥平面BCE .(2)证明:∵AF =⎝⎛⎭⎫32a ,32a ,0,CD =(-a ,3a,0),ED =(0,0,-2a ), ∴AF ·CD =0,AF ·ED =0, ∴AF ⊥CD ,AF ⊥ED . 又CD ∩DE =D , ∴AF ⊥平面CDE , 即AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE , ∴平面BCD ⊥平面CDE .例2 如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,已知AB =4,AD =3,AA 1=2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点,且EB =FB =1.(1)求二面角C -DE -C 1的正切值; (2)求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值.[自主解析] (1)以A 为原点,AB ,AD ,1AA 分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则D (0,3,0)、D 1(0,3,2)、E (3,0,0)、F (4,1,0)、C 1(4,3,2),于是DE =(3,-3,0),EC 1=(1,3,2),FD 1=(-4,2,2). 设n =(x ,y,2)为平面C 1DE 的法向量, 则有⎭⎪⎬⎪⎫n ⊥DE n ⊥1EC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫3x -3y =0x +3y +2×2=0⇒x =y =-1, ∴n =(-1,-1,2),∵向量1AA =(0,0,2)与平面CDE 垂直,∴n 与AA 1所成的角θ为二面角C -DE -C 1的平面角或其补角. ∵cos θ=n ·1AA |n ||1AA |=-1×0-1×0+2×21+1+4×0+0+4=63,由图知二面角C -DE -C 1的平面角为锐角, ∴tan θ=22. (2)设EC 1与FD 1所成的角为β,则cos β=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1EC ·1FD |1EC ||1FD | =⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×(-4)+3×2+2×212+32+22×(-4)2+22+22=2114. 例3在三棱锥S -ABC 中,△ABC 是边长为4的正三角形,平面SAC ⊥平面ABC ,SA =SC =23,M 、N 分别为AB 、SB 的中点,如图所示,求点B 到平面CMN 的距离.[自主解答] 取AC 的中点O ,连接OS 、OB . ∵SA =SC ,AB =BC , ∴AC ⊥SO ,AC ⊥BO .∵平面SAC ⊥平面ABC ,平面SAC ∩平面ABC =AC , ∴SO ⊥平面ABC ,又∵BO ⊂平面ABC ,∴SO ⊥BO . 如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz , 则B (0,23,0),C (-2,0,0),S (0,0,22), M (1,3,0),N (0,3,2).∴CM =(3,3,0),MN =(-1,0,2),MB =(-1,3,0).设n =(x ,y ,z )为平面CMN 的一个法向量,则⎩⎨⎧CM ·n =3x +3y =0,MN ·n =-x +2z =0,取z =1,则x =2,y =-6,∴n =(2,-6,1). ∴点B 到平面CMN 的距离 d =|n ·MB ||n |=423.例4 已知正方形ABCD 的边长为4,E ,F 分别为AB ,AD 的中点,GC ⊥平面ABCD ,且GC =2.求点B 到平面EFG 的距离.解:如图所示,以C 为原点,CB 、CD 、CG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .由题意知B (4,0,0),E (4,2,0),F (2,4,0),G (0,0,2),BE =(0,2,0),GE =(4,2,-2),EF =(-2,2,0).设平面GEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则有⎩⎨⎧n ·GE =0,n ·EF =0,即⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -z =0,-x +y =0,令x =1,则y =1,z =3, ∴n =(1,1,3).点B 到平面GEF 的距离为 d =|||BE |·cos 〈BE ,n 〉=|BE ·n ||n |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪(0,2,0)·(1,1,3)11=21111.归纳反思2种方法——用向量证平行与垂直的方法 (1)用向量证平行的方法①线线平行:证明两直线的方向向量共线.②线面平行:a.证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; b .证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行. ③面面平行:a.证明两平面的法向量为共线向量; b .转化为线面平行、线线平行问题. (2)用向量证明垂直的方法①线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零. ②线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.③面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示. 3种角——利用向量法求三种角的问题在立体几何中,涉及的角有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等.关于角的计算,均可归结为两个向量的夹角.(1)求两异面直线a 、b 的夹角θ,须求出它们的方向向量a ,b 的夹角,则cos θ=|cos 〈a ,b 〉|.(2)求直线l 与平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n 与直线l 的方向向量a 的夹角.则sin θ=|cos 〈n ,a 〉|. (3)求二面角α-l -β的大小θ,可先求出两个平面的法向量n 1,n 2所成的角,则θ=〈n 1,n 2〉或π-〈n 1,n 2〉.1个易错点——利用平面法向量求二面角的易错点利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α、β的法向量n 1,n 2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量n 1,n 2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部,另一个平面的法向量指向二面角的外部),还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部),这是利用向量求二面角的难点、易错点.四、典型练习1.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形.且PA ⊥平面ABCD ,M ,N 分别为,PB PD 的中点.(1)求证://MN 平面ABCD ;(2)若2PA AB ==,求CN 与平面PBD 所成角的正弦值.2.如图,三棱锥P ABC -的底面ABC 和侧面PAB 都是边长为4的等边三角形,且平面PAB ⊥平面ABC ,点E 为线段PA 中点,点F 为AB 上的动点.(1)若平面CEF ⊥平面ABC ,求线段AF 的长; (2)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.3.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1114,2,23,,60AB AA BC AC AC BC A AB ====⊥∠=︒.(1)证明:BC ⊥平面11ACC A ;(2)设点D 为1CC 的中点,求直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值.4.如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PBC⊥平面,90,//,90ABCD PBC AD BC ABC ∠∠==,2222AB AD CD BC ====.(1)求证:CD ⊥平面PBD ;(2)若直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为22B PC D --的正切值.5.已知等腰直角SAB ,4SA AB ==,点C ,D 分别为边SB ,SA 的中点,沿CD 将SCD 折起,得到四棱锥S ABCD -,平面SCD ⊥平面ABCD .(1)过点D 的平面//α平面SBC ,平面α与棱锥S ABCD -的面相交,在图中画出交线;设平面α与棱SA 交于点M ,写出SMMA的值(不必说出画法和求值理由); (2)求证:平面SBA ⊥平面SBC .6.如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA AD =,PA ⊥平面ABCD ,E ,F 为PB 的两个三等分点.(1)证明://DE 平面ACF ; (2)求二面角B AC F --的余弦值.7.如图,在多面体ABCDEF 中,底面ABCD 为正方形,//EF AD ,平面ADEF ⊥平面ABCD ,244AD EF DE ===,3AF =.(1)判断平面ABF 与平面CDE 的交线l 与AB 的位置关系,并说明理由;(2)求平面ABF 与平面CDE 所成二面角的大小.8.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,点E 是侧棱1AA 上一点,且1BE EC ⊥.(1)求证:平面BCE ⊥平面11B C E ;(2)若E 是棱1AA 的中点,且2AB =,求平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小.9.如图,多面体PQABCD 中,四边形ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD ,==2AB PA ,0=60ABC ∠,22QC QD ==,(0)PQ a a =>.(1)设点F 为棱CD 的中点,求证:对任意的正数a ,四边形PQFA 为平面四边形; (2)当14a =时,求直线PQ 与平面PBC 所成角的正弦值. 参考答案:1.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形.且PA ⊥平面ABCD ,M ,N 分别为,PB PD 的中点.(1)求证://MN 平面ABCD ;(2)若2PA AB ==,求CN 与平面PBD 所成角的正弦值. 【答案】(1)详见解析;(2)23. 【分析】(1)要证明线面平行,需证明线线平行,即转化为证明//MN BD ;(2)首先建立空间直角坐标系,求平面PBD 的法向量,利用线面角的向量公式求解. 【解析】(1)连结BD ,,M N 分别是,PB PD 的中点,//MN BD ∴,MN ⊄平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,//MN ∴平面ABCD ;(2)如图,以点A 为原点,,,AB AD AP 为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系,()002P ,,,()2,0,0B ,()0,2,0D ()2,2,0C ,()0,1,1N , ()2,0,2PB =-,()2,2,0PD =-,()2,1,1CN =--,设平面PBD 的法向量(),,n x y z =,则00PB n PD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即220220x z x y -=⎧⎨-+=⎩,令1x =,则1,1y z ==,∴平面PBD 的法向量()1,1,1n =,则2111112sin cos ,363CN n CN n CN nθ⋅-⨯-⨯+⨯=<>===⨯, 所以CN 与平面PBD 所成角的正弦值是23. 2.如图,三棱锥P ABC -的底面ABC 和侧面PAB 都是边长为4的等边三角形,且平面PAB ⊥平面ABC ,点E 为线段PA 中点,点F 为AB 上的动点.(1)若平面CEF ⊥平面ABC ,求线段AF 的长; (2)求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】(1)1;(2)1510. 【分析】(1)方法一通过建空间直角坐标系来利用面面垂直,从而求出线段长度;方法二通过线面、面面关系的性质求得EF ⊥平面ABC ,进而解得长度. (2)建系后,通过直线与面的法向量的夹角来求得线面夹角. 【解析】解(1)(法一)取AB 中点O ,连接PO ,CO .因为ABC 与PAB △都是正三角形,所以PO AB ⊥,CO AB ⊥ 又已知平面ABC ⊥平面PAB ,所以PO ⊥平面ABC .如图所示,以O 为坐标原点,分别以OA ,OC ,OP 为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系.因为PAB △,ABC 边长为4,E 为AP 中点,()2,0,0A ,()0,23,0C ,(3E ,()2,0,0B -设AF t =,则()2,0,0F t -,()2,23,0CF t =--,(1,0,3EF t =--. 设平面CEF 的法向()1111,,n x y z =.由()()11112230130t x t x z ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩,令13x =11121t y z t⎧=-⎪⎨⎪=-⎩,所以13,1,12t n t ⎛⎫=-- ⎪⎭.设平面ABC 的法向量()0,0,1n =. 因为平面CEF ⊥平面ABC ,所以10n n ⋅=,即10t -=,解得1t =, 故线段AF 的长为1时,则平面CEF ⊥平面ABC .(法二:同一法)取AB 中点O ,AO 中点G ,连接EG ,PO .因为PAB △为正三角形,E 为PA 的中点,所以PO AB ⊥. 因为//EG PO ,所以EG AB ⊥.又平面PAB ⊥平面ABC ,所以EG ⊥平面ABC . 在平面EFC 中,作EF FC '⊥于点F '.因为平面EFC ⊥平面ABC ,平面EFC ⋂平面ABC FC =, 所以EF '⊥平面ABC .因为过平面外一点有且仅有一条直线垂直于已知平面, 所以点F '与G 重合,即为所求点F 即当1AF=时,平面CEF ⊥平面ABC .(2)由(1)图所示, 则易知()0,0,0O,()0,23,0C ,(3E ,(0,0,23P ,()2,0,0B -,所以(1,23,3CE =-,设平面PBC 的法向量()111,,m x y z =,又(2,0,23BP =,()2,23,0BC =则111122302230x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,令13x =()3,1,1m =--.设直线CE 与平面PBC 所成的角为α,则323315sin cos ,1045CE m CE m CE mα⋅+-====⨯. 故直线CE 与平面PBC 15【名师点睛】建立空间直角坐标系的难点在于点坐标的准确求取,然后按照向量间的关系,转化为面面,线面关系.3.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1114,2,23,,60AB AA BC AC AC BC A AB ====⊥∠=︒.(1)证明:BC ⊥平面11ACC A ;(2)设点D 为1CC 的中点,求直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2)33. 【分析】(1)根据勾股定理逆定理可知1BC A C ⊥,然后利用线面垂直的判定定理可知结果. (2)解法1通过作辅助线,找到直线1A D 与平面11ABB A 所成角,然后根据三角函数的知识进行求解即可;解法2利用建系,求得平面11ABB A 的一个法向量,然后按公式计算即可. 【解析】(1) 证明:如图,连接1A B由11,60AB AA A AB =∠=︒,所以1ABA △为等边三角形 因为112324AC BC A B ===,,, 所以22211A B A C BC =+,所以1BC A C ⊥,又11BC AC AC AC C AC AC ⊥⋂=⊂,,,平面11ACC A , 所以BC ⊥平面11ACC A .(2)解法1:如图,设E 为1BB 的中点,连结1A E DE ,,作1DF A E ⊥于F .因为BC ⊥平面11ACC A ,//DE BC ,所以DE ⊥平面11ACC A , 又1CC ⊂平面11ACC A ,所以1DE CC ⊥.在11ACC △中,111AC A C =,D 为1CC 的中点,所以11A D CC ⊥,又1A D DE D ⋂=,所以1CC ⊥平面1A DE . 因为11//BB CC ,所以1BB ⊥平面1A DE ,所以1BB DF ⊥,因为11111,DF A E BB A E E BB A E ⊥⋂=⊂,,平面11ABB A ,所以DF ⊥平面11ABB A , 所以直线1A D 与平面11ABB A 所成角为1DA E ∠. 在1DA E 中,221112222A D DE A D AC DE BC ⊥=-===,,, 所以221123A E A D DE =+=113sin 3DE DA E A E ∠==. 因此,直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值为33. 解法2:如图,以C 为原点,以射线CA CB ,分别为x ,y 轴正半轴,建立空间直角坐标系C xyz -,则()()()123460,0,0,23,0,0,0,2,0,C A B A ⎝⎭143462326,C D ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭,因此14326A D ⎛= ⎝⎭,()1434623,2,0,,0,33AB AA ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面11ABB A 的法向量为,,n x y z =(),由100n AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得3020x y x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,可取()2,6,1n =.设直线1A D 与平面11ABB A 所成角为θ, 则1113sin cos ,3A D n A D n A D nθ⋅===⋅. 因此,直线1A D 与平面11ABB A 所成角的正弦值是33. 4.如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PBC⊥平面,90,//,90ABCD PBC AD BC ABC ∠∠==,2222AB AD CD BC ====.(1)求证:CD ⊥平面PBD ;(2)若直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为22B PC D --的正切值.【答案】(1)证明见解析;(2)52. 【分析】(1)分别证明CD DB ⊥,PB CD ⊥即可证得CD ⊥平面PBD .(2)建立空间直角坐标系,由线面夹角求得PB 的值,由平面的法向量求得二面角的正切值. 【解析】(1)在四边形ABCD 中,//,90,222AD BC ABC AB AD CD BC ∠====,所以,ABD BCD 都为等腰直角三角形,即CD DB ⊥, 因为平面PBC ⊥平面,90ABCD PBC ∠=,平面PBC 平面,ABCD BC =所以直线PB ⊥平面ABCD ,又CD ⊂平面ABCD 所以PB CD ⊥,又PB BD B ⋂=,所以CD ⊥平面PBD .(2)以B 为原点,,,BC BP BA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如图,2,BC =则,1,2,AB CD BD ===因为直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为2,所以在Rt PBD △中,tan 2242PB PDB PB BD ∠===∴= 设平面PBC 和平面PDC 法向量分为为,,m n →→易知可取()0,0,1,m →= 因为(2,4,0),(1,0,1)PC CD →→=-=-, 所以0,0PC n CD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2400x y x z -=⎧⎨-+=⎩,令2z =,解得(2,1,2)n →=设所求二面角为,θ所以2cos 3414m nm nθ→→→→⋅===++,5tan 2θ∴=【名师点睛】(1)在平面上找到两条相交的直线与给定直线垂直可以证明线面垂直. (2)建立空间直角坐标系,用向量的方法解决二面角问题.5.已知等腰直角SAB ,4SA AB ==,点C ,D 分别为边SB ,SA 的中点,沿CD 将SCD 折起,得到四棱锥S ABCD -,平面SCD ⊥平面ABCD .(1)过点D 的平面//α平面SBC ,平面α与棱锥S ABCD -的面相交,在图中画出交线;设平面α与棱SA 交于点M ,写出SMMA的值(不必说出画法和求值理由); (2)求证:平面SBA ⊥平面SBC .【答案】(1)图形见解析,1;(2)证明见解析.【分析】(1)过D 作//DE BC 交AB 于E ,由中位线性质证BCDE 为平行四边形即可知E 为AB 的中点,由平面//α平面SBC ,过E 作//EM SB 交SA 于M ,即知M 为SA 的中点,即可得SMMA.(2)由题设易证DA ,DC ,DS 两两互相垂直,构建以D 为原点,分别以射线DA ,DC 、DS 的方向为x ,y ,z 轴正方向,建立空间直角坐标系,并确定SB ,AB ,CB ,进而求面SAB ,面SBC 的法向量,根据法向量的夹角即可证面SBA ⊥面SBC .【解析】(1)过D 作//DE BC 交AB 于E ,由C ,D 分别为边SB ,SA 的中点,即//CD AB , 所以BCDE 为平行四边形,则E 为AB 的中点,再过E 作//EM SB 交SA 于M , 所以在△ABS 中,EM 为中位线,即M 为SA 的中点,所得平面α即为平面DEM ,如下图示,所以由上,知1MSMA=. (2)由题设知//CD AB ,CD SD ⊥ 面SCD ⊥面ABCD ,面SCD面ABCD CD =,SD CD ⊥,SD ⊂面SCD ,SD ∴⊥面ABCD ,又CD ,AD ⊂面ABCD , SD CD ∴⊥,SD AD ⊥,又CD AD ⊥,DA ∴,DC ,DS 三条棱两两互相垂直.以D 为原点,分别以射线DA ,DC 、DS 的方向为x ,y ,z 轴正方向,建立空间直角坐标系D xyz -,则(2,0,0)A ,(0,2,0)C ,(0,0,2)S ,(2,4,0)B ,(2,4,2)SB ∴=-,(0,4,0)AB =,(2,2,0)CB =,设平面SAB ,平面SBC 的法向量分别为()111,,u x y z =,()222,,v x y z =,00u AB u SB ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即1111020y x y z =⎧⎨+-=⎩,取11x =,则(1,0,1)u =, 00v SB v CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即22222200x y z x y +-=⎧⎨+=⎩,取21x =,则(1,1,1)v =--, cos ,02113u v u v u v⨯+⋅∴===⋅,∴平面SBA ⊥平面SBC .【名师点睛】第二问,根据面面垂直的性质证线面垂直,进而确定线线垂直,进而构建空间直角坐标系,求出所证平面的法向量,根据法向量的夹角判断平面的关系.6.如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,PA AD =,PA ⊥平面ABCD ,E ,F 为PB 的两个三等分点.(1)证明://DE 平面ACF ; (2)求二面角B AC F --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2)63. 【分析】(1)根据线面平行的判断性质,在平面AFC 上找到一条与DE 平行的直线即可. (2)建立空间直角坐标系,通过法向量的夹角求得二面角的余弦值. 【解析】(1)连接BD 交AC 于点O ,连接OF ,则O 为BD 的中点, 因为E ,F 为PB 的两个三等分点,所以F 为BE 的中点,所以//OF DE , 又OF ⊂平面ACF ,DE ⊄平面ACF ,所以//DE 平面ACF .(2)设正方形ABCD 的边长为3,以点A 为原点,以AD ,AB ,AP 所在的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则(0,0,0)A ,(3,3,0)C ,(0,3,0)B ,(0,2,1)F , 则()3,3,0AC =,()0,2,1AF =,()0,3,0AB =.设平面ACF 的法向量为(,,)n x y z =.由()()()(),,3,3,00,,0,2,10n AC x y z n AF x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩,得33020x y y z +=⎧⎨+=⎩,得2x y z y =-⎧⎨=-⎩, 令1y =,得平面ACF 的一个法向量为(1,1,2)n =--;显然平面ACB 的一个法向量为(0,0,1)m =; 则cos ,||||n m n m n m ⋅〈〉==(1,1,2)(0,0,1)6361--⋅=-⨯, 即二面角B AC F --的余弦值为63.7.如图,在多面体ABCDEF 中,底面ABCD 为正方形,//EF AD ,平面ADEF ⊥平面ABCD ,244AD EF DE ===,3AF =.(1)判断平面ABF 与平面CDE 的交线l 与AB 的位置关系,并说明理由;(2)求平面ABF 与平面CDE 所成二面角的大小.【答案】(1)//l AB ;答案见解析;(2)90︒.【分析】(1)//l AB ,证明见解析;(2)先证明90APD ∠=︒,再利用向量法求解即可.【解析】(1)由//EF AD ,2AD EF =,可知延长AF ,DE 交于一点设为P .过P 点作AB 的平行线即为l ,//l AB ,理由如下:由题意可知//AB CD ,AB ⊄平面CDE ,CD ⊂平面CDE ,则//AB 平面CDE . 又AB 平面ABF ,平面ABF 平面CDE l =,则//l AB .(2)由//EF AD ,2AD EF =,1DE =,3AF =得2DP =,3AP =又4=AD ,则222AD DP AP =+,所以90APD ∠=︒,由题意可知,P 点向平面ABCD 引垂线,垂足落在AD 上,设为O ,则1OD =. 以O 为原点,以OD →,OP →的方向分别为y 轴,z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.(0,3,0)A -,(4,3,0)B -,3)P ,则(4,0,0)AB →=,3)AP →=,设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z →=, 由0AB m →→⋅=,0AP m →→⋅=得40,330x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩,可取(0,1,3)m →=-, (0,1,0)D ,(4,1,0)C ,则(4,0,0)DC →=,(0,3)DP →=-,设平面PCD 的法向量为n (x,y,z)→=,同理可得3,1)n →=,因为0m n →→=,所以平面PAB ⊥平面PCD ,即平面ABF ⊥平面CDE ,所以,平面ABF 与平面CDE 所成二面角的大小为90︒.8.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,点E 是侧棱1AA 上一点,且1BE EC ⊥.(1)求证:平面BCE ⊥平面11B C E ;(2)若E 是棱1AA 的中点,且2AB =,求平面11B C E 与平面11C D E所成的锐二面角的大小.【答案】(1)证明见解析;(2)3π. 【分析】(1)由线面垂直的性质定理得11B C BE ⊥,再根据已知条件,结合线面垂直的判定定理证明BE ⊥平面11B C E ,接着利用面面垂直的判定定理证明即可.(2)首先根据E 是棱1AA 的中点,且2AB =,求得侧棱的长,再利用空间向量法求平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小.【解析】(1)证明:在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,易知11B C ⊥侧面11AA B B ,且BE ⊂平面11AA B B ,可得11B C BE ⊥,又1BE EC ⊥,且1EC 与11B C 是平面11B C E 内两相交直线,所以得BE ⊥平面11B C E ,因为BE ⊂平面BCE ,故得平面BCE ⊥平面11B C E .(2)设平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小为θ.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,由于DA ,DC ,1DD 两两互相垂直,则以D 为坐标原点,DA ,DC ,1DD 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,如图所示.因为E 是棱1AA 的中点,且2AB =,从而知正四棱柱的上、下底面是边长为2的正方形,设1AE EA t ==;由(1)知BE ⊥平面11B C E ,则得1BE EB ⊥, 且214BE EB t ==+12BB t =,由勾股定理得22211BE EB BB +=,即得()2224(2)t t +=, 解得2t =(取正),即侧棱长14BB =.于是可得1(0,0,4)D ,(2,0,2)E ,1(2,2,4)B ,1(0,2,4)C ,(2,2,0)B ;设平面11B C E 的法向量为1(,,)n x y z →=,由第(1)问可知向量BE →为平面11B C E 的一个法向量,故1(0,2,2)n BE →→==-; 设平面11C D E 的法向量为2(,,)n a b c →=,而11(0,2,0)D C →=,1(2,2,2)EC →=- 则由21121202220n D C b n EC a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩,得0b =,令1a =,得1c =,所以2(1,0,1)n →=. 于是由212112cos cos ,n n n n n n θ→→→→→→⋅=<>=12222==⨯,且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以3πθ=,即平面11B C E 与平面11C D E 所成的锐二面角的大小为3π. 【名师点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,通过严密推理,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.9.如图,多面体PQABCD 中,四边形ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD ,==2AB PA ,0=60ABC ∠,22QC QD ==,(0)PQ a a =>.(1)设点F 为棱CD 的中点,求证:对任意的正数a ,四边形PQFA 为平面四边形; (2)当14a =时,求直线PQ 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2526- 【分析】(1)法一:设Q 在平面内的射影为E ,可证明点E 在CD 的垂直平分线上,又AE 也为CD 的垂直平分线,AE 与CD 的交点即为CD 的中点F ,有PA ⊥平面ABCD ,QE ⊥平面ABCD ,PA//QE ,可证明PQFA 为平面四边形.法二:证明CD ⊥平面AFQ ,再证明CD ⊥平面PAF ,有公共点F ,可证明结论.(2)以A 为原点建立空间直角坐标系,求出PQ 以及平面PBC 的一个法向量,计算可求出夹角的正弦值.【解析】(1)方法1:设Q 在平面内的射影为E ,由QC =QD 可得EC =ED ,所以点E 在CD 的垂直平分线上由ABCD 是菱形,且0=60ABC ∠,故直线AE 与CD 的交点即为CD 的中点F .因为PA ⊥平面ABCD ,QE ⊥平面ABCD ,所以PA//QE ,从而PA ,QE 共面,因此PQ ,FA 共面,所以PQFA 为平面四边形.方法2:取棱CD 的中点F ,则有AF CD ⊥,QF CD ⊥,又AFQF F =,所以CD ⊥平面AFQ ,在菱形ABCD 中,60ADC ABC ∠==,所以AF CD ⊥,又PA ⊥平面ABCD ,所以有PA CD ⊥,AF PA A =,所以CD ⊥平面PAF .由AFQ 与平面PAF 均过点A 可得平面AFQ 与平面PAF 重合.即P 、Q 、F 、A 共面,所以PQFA 为平面四边形.(2)分别以AB 、AF 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (2,0,0),3,0),3,0),(0,0,2)C F P 当14a =7,7PF QF ==222PF QF PQ +=,设Q 在平面ABCD 内的射影为E ,则有QFE △相似于FPA ,即3QE =2FE = 所以Q 的坐标为(02+33),,,()0,23,32PQ = 设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =,()2,0,2PB =-,()3,0BC =- 则有·0·0n BC n PB ⎧=⎨=⎩,即22030x z x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩,令1y =,有(3,1,3)n =. 设直线PQ 与平面PBC 所成角为θ,则526sin cos ,n PQ θ-=<>=, 从而直线PQ 与平面PBC 526- 【名师点睛】(1)证明点共面:可证四点中两条线段平行,或平面外一条直线垂直有公共点的两个平面,则这两个平面重合.(2)求线面角的正弦即为直线与法向量夹角的余弦的绝对值.。

高考数学中向量的几何意义及其应用实例

高考数学中向量的几何意义及其应用实例

高考数学中向量的几何意义及其应用实例高考数学是学生升入大学的重要关键,而其中向量是重要的数学知识之一。

向量是一种带有方向和大小的量,它在几何中有着广泛的应用和实例。

本篇文章将从向量的几何意义和应用实例两个方面来深入探讨。

一、向量的几何意义向量是几何中一个重要的概念,它由大小和方向组成。

在直角坐标系中,向量可以表示为一组有序的数对(x,y),表示向量的方向是从原点指向点(x,y)。

向量的几何意义可以用来解决几何问题,如平面几何、立体几何等。

1. 向量的长度向量的长度是指向量的大小,它表示从原点到向量所代表的终点的距离,也称为向量的模。

向量的长度可以用勾股定理求解,即向量长度的平方等于向量的横坐标的平方加向量的纵坐标的平方。

2. 向量的方向向量的方向是向量的指向,也是向量的几何意义之一。

向量的方向可以通过两点间的连线来表示,即通过终点与起点组成的向量来表示。

3. 向量的加减法向量的加减法在向量运算中也非常重要,可以应用于几何问题。

向量的加法是将两个向量的坐标进行相加;向量的减法则是将另一个向量的坐标进行取反后相加。

二、向量的应用实例向量的几何意义在实际生活中有着广泛的应用,以下将介绍向量在不同领域的应用实例。

1. 物理领域向量在物理领域的应用非常广泛,如在力学、物理光学等方面都有很好的应用。

在力学中,向量可以用来表示物体受到的力的方向和大小,帮助我们解决物理问题。

在光学中,向量可以表示光线的传播方向,帮助我们分析光线的传播规律。

2. 地理领域在地图上,通过向量的概念可以识别地理位置,如向量可以表示两个城市之间的方向和距离。

向量的应用还可以帮助我们计算地球表面的距离和方向。

3. 计算机领域在计算机领域中,向量也有着广泛的应用。

在计算机图像处理领域中,向量可以用来表示图像中的颜色和亮度等信息。

另外,在计算机游戏中,向量可以用来表示游戏场景中的移动方向和速度等信息。

结语:向量是数学中一个重要的概念,不仅在数学领域有着广泛的应用,同时也在物理、地理、计算机等其他领域中发挥着重要的作用。

利用空间向量解决立体几何问题

利用空间向量解决立体几何问题

利用空间向量解决立体几何问题夏巨星(湖北省十堰市东风高级中学ꎬ湖北十堰442000)摘㊀要:立体几何大题是高考的必考考点ꎬ通常需要借助于空间向量进行求解.本文给出了基本题型㊁最值问题和存在型问题三种题型的示例ꎬ展现了不同题型的问题形式㊁解答过程和所体现的不同数学思想.关键词:空间向量ꎻ立体几何ꎻ转化与化归思想ꎻ函数思想ꎻ方程思想中图分类号:G632㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀文章编号:1008-0333(2023)10-0048-03收稿日期:2023-01-05作者简介:夏巨星(1982.11-)ꎬ男ꎬ湖北省武穴人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀利用空间向量解决立体几何问题是历年高考的热点ꎬ主要考查空间直角坐标系的建立㊁空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力.立体几何问题可以分为三种题型:基本题型㊁最值问题㊁存在型问题.我们采用三种数学思想 转化思想 函数思想 和 方程思想 去求解对应的三种题型.1基本题型 转化与化归思想问题形式㊀一般为证明点线面的空间位置关系㊁求空间角㊁求空间距离.求解思路㊀利用转化与化归思想ꎬ将空间点线面位置关系转化为空间两向量的数量关系(线性表示或数量积表示)ꎬ将空间角与空间距离的计算转化为空间两向量的运算.例1㊀(2021年天津卷17)如图1ꎬ在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中ꎬE为棱BC的中点ꎬF为棱CD的中点.(1)求证:D1Fʊ平面A1EC1ꎻ(2)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值.(3)求二面角A-A1C1-E的正弦值.转化与化归思想的应用(1)将线面平行问题转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直ꎬ利用向量的数量积运算即可得证ꎻ图1(2)将线面所成角的正弦值转化为直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值ꎬ利用向量的数量积运算即可得解ꎻ(3)将二面角的余弦值转化为两个平面法向量的夹角余弦值ꎬ再结合同角三角函数的平方关系即可解得二面角的正弦值.解析㊀(1)以A为原点ꎬABꎬADꎬAA1所在直线分别为xꎬyꎬz轴ꎬ建立如图2所示空间直角坐标系ꎬ则A0ꎬ0ꎬ0()ꎬA10ꎬ0ꎬ2()ꎬB2ꎬ0ꎬ0()ꎬC2ꎬ2ꎬ0()ꎬD0ꎬ2ꎬ0()ꎬC12ꎬ2ꎬ2()ꎬD10ꎬ2ꎬ2().因为E为棱BC的中点ꎬF为棱CD的中点ꎬ所以E2ꎬ1ꎬ0()ꎬF1ꎬ2ꎬ0().所以D1Fң=1ꎬ0ꎬ-2()ꎬA1C1ң=2ꎬ2ꎬ0()ꎬA1Eң=2ꎬ1ꎬ-2().设平面A1EC1的一个法向量为m=x1ꎬy1ꎬz1()ꎬ则m A1C1ң=2x1+2y1=0ꎬm A1Eң=2x1+y1-2z1=0.{84令x1=2ꎬ则m=2ꎬ-2ꎬ1().因为D1Fңm=2-2=0ꎬ所以D1Fңʅm.因为D1F⊄平面A1EC1ꎬ所以D1Fʊ平面A1EC1.(2)由(1)得ꎬAC1ң=2ꎬ2ꎬ2().设直线AC1与平面A1EC1所成角为θꎬ则sinθ=cos‹mꎬAC1ң›=m AC1ңm AC1ң=23ˑ23=39.(3)由正方体的特征可得ꎬ平面AA1C1的一个法向量为DBң=2ꎬ-2ꎬ0().则cos‹DBңꎬm›=DBңmDBң m=83ˑ22=223.所以二面角A-A1C1-E的正弦值为1-cos2‹DBңꎬm›=13.图22最值问题 函数思想问题形式㊀当动点(或线段)满足什么条件时ꎬ正弦值(或余弦值)取得最大值(或最小值).求解思路㊀根据问题构造函数ꎬ利用函数的思想求解最值.构造函数时要注意函数的定义域ꎬ应当在定义域的约束下求最值ꎬ利用基本不等式求最值时要注意满足等号成立的条件.例2㊀(2021年全国甲卷(理)19)如图3ꎬ已知直三棱柱ABC-A1B1C1中ꎬ侧面AA1B1B为正方形ꎬAB=BC=2ꎬEꎬF分别为AC和CC1的中点ꎬD为棱A1B1上的点.(1)证明:BFʅDEꎻ图3(2)当B1D为何值时ꎬ面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小?函数思想的应用㊀由面BB1C1C与面DFE所成的二面角的余弦值公式ꎬ得到关于变量B1D长度的函数ꎬ再结合二次函数和反比例函数性质ꎬ求解当B1D为何值时ꎬ余弦值取得最大ꎬ即正弦值最小.解析㊀(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱ꎬ所以BB1ʅ底面ABC.所以BB1ʅAB.因为A1B1ʊABꎬBFʅA1B1ꎬ所以BFʅAB.又因为BB1ɘBF=Bꎬ所以ABʅ平面BCC1B1.所以BAꎬBCꎬBB1两两垂直.以B为坐标原点ꎬ分别以BAꎬBCꎬBB1所在直线为xꎬyꎬz轴建立空间直角坐标系ꎬ如图4.图4所以B0ꎬ0ꎬ0()ꎬA2ꎬ0ꎬ0()ꎬC0ꎬ2ꎬ0()ꎬB10ꎬ0ꎬ2()ꎬA12ꎬ0ꎬ2()ꎬC10ꎬ2ꎬ2()ꎬE1ꎬ1ꎬ0()ꎬF0ꎬ2ꎬ1().由题设Daꎬ0ꎬ2()(0ɤaɤ2).因为BFң=0ꎬ2ꎬ1()ꎬDEң=1-aꎬ1ꎬ-2()ꎬ所以BFң DEң=0ˑ1-a()+2ˑ1+1ˑ-2()=0ꎬ所以BFʅDE.(2)设平面DFE的法向量为m=xꎬyꎬz()ꎬ因为EFң=-1ꎬ1ꎬ1()ꎬDEң=1-aꎬ1ꎬ-2()ꎬ所以m EFң=0ꎬm DEң=0.{即-x+y+z=0ꎬ1-a()x+y-2z=0.{94令z=2-aꎬ则m=3ꎬ1+aꎬ2-a().因为平面BCC1B1的法向量为BAң=2ꎬ0ꎬ0()ꎬ设平面BCC1B1与平面DEF的二面角的平面角为θꎬ则cosθ=m BAңm BAң=62ˑ2a2-2a+14=32a2-2a+14.当a=12时ꎬ2a2-2a+4取最小值为272ꎬ此时cosθ取最大值为3272=63.故sinθ()min=1-63æèçöø÷2=33ꎬ此时B1D=12.3存在型问题 方程思想问题形式㊀已知夹角(或正弦值㊁余弦值)ꎬ求线段长度(或动点位置).求解思路㊀根据已知条件利用空间向量关系建立方程(组)ꎬ求方程(组)的解ꎬ从而解决问题.例3㊀如图5ꎬ在多面体ABCDEF中ꎬAEʅ平面ABCDꎬAEFC是平行四边形ꎬ且ADʊBCꎬABʅADꎬAD=AE=2ꎬAB=BC=1.图5(1)求证:CDʅEFꎻ(2)求平面ADE与平面DEB夹角的余弦值ꎻ(3)若点P在棱CF上ꎬ直线PB与平面BDE所成角的正弦值为33ꎬ求线段CP的长.方程思想的应用㊀由点P在棱CF上设置变量ꎬ根据直线PB与平面BDE所成角的正弦值为33建立方程ꎬ通过解方程求解变量.解析㊀(1)因为AEʅ平面ABCDꎬABʅADꎬ以点A为坐标原点ꎬADꎬABꎬAE所在直线分别为xꎬyꎬz轴建立如图6所示的空间直角坐标系ꎬ则B(0ꎬ1ꎬ0)ꎬC(1ꎬ1ꎬ0)ꎬD(2ꎬ0ꎬ0)ꎬE(0ꎬ0ꎬ2)ꎬF(1ꎬ1ꎬ2).图6所以CDң=(1ꎬ-1ꎬ0)ꎬEFң=(1ꎬ1ꎬ0).所以CDң EFң=1-1=0.所以CDʅEF.(2)设平面BDE的法向量为n=(xꎬyꎬz)ꎬ因为DBң=(-2ꎬ1ꎬ0)ꎬDEң=(-2ꎬ0ꎬ2)ꎬ则n DBң=-2x+y=0ꎬn DEң=-2x+2z=0.{取x=1ꎬ可得n=(1ꎬ2ꎬ1).易知平面ADE的一个法向量为m=(0ꎬ1ꎬ0)ꎬ则cos‹mꎬn›=m nm n=21ˑ6=63.故平面ADE与平面DEB夹角的余弦值为63.(3)设点P(1ꎬ1ꎬt)ꎬ其中0ɤtɤ2ꎬBPң=(1ꎬ0ꎬt)ꎬ由题意可得cos‹BPңꎬn›=BPң nBPңn=t+1t2+1ˑ6=33.解得t=1ꎬ因此线段CP的长为1.在解决立体几何问题时ꎬ要善于借助空间向量这个工具ꎬ根据图形的几何特征建立合适的空间直角坐标系ꎬ将问题转化为空间向量的坐标运算.要求学生能够做到根据问题的形式ꎬ分析出为何种题型ꎬ选择恰当的解题思路ꎬ在解题的过程中不断积累和掌握数学思想方法ꎬ提高数学素养.参考文献:[1]徐涛. 空间向量与立体几何 的若干教学建议[J].中学数学教学参考ꎬ2021(06):62-64.[责任编辑:李㊀璟]05。

向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的发展及应用摘要:向量又称为矢量,最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.在现代数学中向量是一个重要概念,向量在解析几何整个知识体系中占有非常重要的地位, 它可以使图形量化,使图形间关系代数化.向量是研究图形问题的有力工具.本文主要介绍向量在解析几何中的一些简单应用。

关键词:向量解析几何定理前言向量在整个解析几何中占有非常重要的地位,因此它的应用在解决几何问题时是最基础最普遍的方法,尤其是在几何的证明问题中,使用向量的分解定理和向量的基础知识以及向量的一些定理可以起到事半功倍的效果.除此之外,用向量可以将一些代数问题几何化,这样借助向量的性质可以快速明了的解决一些难题。

另外,向量在推导一些几何公式时,使得问题简化了很多。

第一章研究背景第一节向量的起源向量又称为矢量,最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.课本上讨论的向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出箭头表示方向.但是在高等数学中还有更广泛的向量.例如,把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间,这里的多项式都可看成一个向量.在这种情况下,要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的.这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多,可以是任意数学对象或物理对象.这样,就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了.因此,向量空间的概念,已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容,它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用.而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型.从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家们所认识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系.向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起.18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学.但复数的利用是受限制的,因为它仅能用于表示平面,若有不在同一平面上的力作用于同一物体,则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19世纪中期,英国数学家哈密尔顿发明了四元数(包括数量部分和向量部分),以代表空间的向量.他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础.随后,电磁理论的发现者,英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向量分析.三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂,是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的.他们提出,一个向量不过是四元数的向量部分,但不独立于任何四元数.他们引进了两种类型的乘法,即数量积和向量积.并把向量代数推广到变向量的向量微积分.从此,向量的方法被引进到分析和解析几何中来,并逐步完善,成为了一套优良的数学工具。

用向量方法解决数学问题

用向量方法解决数学问题

用向量方法解决数学问题将向量引入高中数学教材,并做为一种基础理论和基本方法要求学生掌握。

这是由于向量知识具有以下几大特点和需要。

首先,利用向量解决一些数学问题,将大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤,使学生多掌握一种行之有效的数学工具。

其次,向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析,为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。

向量具有很好的“数形结合”特性。

一是“数”的形式,即利用一对实数对既可表示向量大小,又可以表示向量的方向;二是“形”的形式,即利用一条有向线段来表示一个向量。

而且这两种形式又是密切联系的,它们之间可以利用简单的运算进行相互转化。

可以说向量是联系代数关系与几何图形的最佳纽带。

它可以使图形量化,使图形间关系代数化,使我们从复杂的图形分析中解脱出来,只需要研究这些图形间存在的向量关系,就可以得出精确的最终结论。

使分析思路和解题步骤变得简洁流畅,又不失严密。

第三,向量概念本身来源于对物理系中既有方向、又有大小的物理量,即物理学中所称的“矢量”的研究。

其实,“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已。

在物理学中,矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量。

几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的。

矢量广泛地应用于力学(如力,速度,加速度等)和电学(如电流方向,电场强度等)理论之中,在高中新教材中引入向量章节,对向量进行系统深入的学习和研究。

对学生在物理课上学习和理解矢量知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利。

同样,学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量也有更深入了解,并激发他们学习向量知识的兴趣和热情。

如在力学中,对力、速度等的分解和合成,使用的就是向量的加减理论,数学和物理的完美结合,起到异曲同工之作用。

第四,把向量理论引入高中教材,也是当今世界中等教育的一种普遍趋势,是教育顺应时代发展的必然结果。

高中数学平面向量在几何中的应用

高中数学平面向量在几何中的应用

平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法知识点梳理1.向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的等价条件:a ∥b (b ≠0)⇔________⇔______________________. (2)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形等,常用向量垂直的等价条件:非零向量a ,b ,a ⊥b ⇔____________⇔______________.(3)求夹角问题,往往利用向量的夹角公式cos θ=______________=___________________. (4)求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的线性运算、向量模的公式:|a |=_______ 2.直线的方向向量和法向量(1)直线y =kx +b 的方向向量为________,法向量为________.(2)直线Ax +By +C =0的方向向量为________,法向量为________.一、选择题1.在△ABC 中,已知A (4,1)、B (7,5)、C (-4,7),则BC 边的中线AD 的长是( )A .2 5 B.52 5 C .3 5 D.7252.点O 是三角形ABC 所在平面内的一点,满足OA →·OB →=OB →·OC →=OC →·OA →,则点O 是△ABC 的( )A .三个内角的角平分线的交点B .三条边的垂直平分线的交点C .三条中线的交点D .三条高的交点3.已知直线l 1:3x +4y -12=0,l 2:7x +y -28=0,则直线l 1与l 2的夹角是( ) A .30° B .45° C .135° D .150°4.若O 是△ABC 所在平面内一点,且满足|OB →-OC →|=|OB →+OC →-2OA →|,则△ABC 的形状是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等边三角形5.已知点A (3,1),B (0,0),C (3,0),设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ,那么有BC→=λCE →,其中λ等于( )A .2 B.12 C .-3 D .-136.已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|+AC →|AC →|·BC →=0且AB →|AB →|·AC →|AC →|=12,则△ABC 的形状是( ) A .三边均不相等的三角形 B .直角三角形 C .等腰(非等边)三角形 D .等边三角形二、填空题7.如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ,若AB →=mAM →,AC →=nAN →,则m +n 的值为__________________.8.已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|=3,|BC →|=4,|CA →|=5.则AB →·BC →+BC →·CA →+CA →·AB →=________________.9.设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ,已知(DB →+DC →-2DA →)·(AB →-AC →)=0,则△ABC 的形状一定是__________.10.在直角坐标系xOy 中,已知点A (0,1)和点B (-3,4),若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC→|=2,则OC →=__________________.三、解答题11.在△ABC 中,A (4,1),B (7,5),C (-4,7),求∠A 的平分线的方程.12.P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点,PFCE 为矩形.求证:P A =EF 且P A ⊥EF .提升练习13.已知点O ,N ,P 在△ABC 所在平面内,且|OA →|=|OB →|=|OC →|,NA →+NB →+NC →=0,P A →·PB→=PB ·PC →=PC →·P A →,则点O ,N ,P 依次是△ABC 的( ) A .重心、外心、垂心 B .重心、外心、内心 C .外心、重心、垂心 D .外心、重心、内心 14.求证:△ABC 的三条高线交于一点.总结1.利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.2.在直线l :Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)上任取两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则P 1P 2→(λ∈R 且λ≠0)也是直线l 的方向向量.所以,一条直线的方向向量有无数多个,它们都共线.同理,与直线l :Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)垂直的向量都叫直线l 的法向量.一条直线的法向量也有无数多个.熟知以下结论,在解题时可以直接应用. ①y =kx +b 的方向向量v =(1,k ),法向量为n =(k ,-1).②Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)的方向向量v =(B ,-A ),法向量n =(A ,B ).平面向量应用举例 平面几何中的向量方法答案知识梳理1.(1)a =λb x 1y 2-x 2y 1=0 (2)a·b =0 x 1x 2+y 1y 2=0(3)a·b|a||b |x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21x 22+y 22(4)x 2+y 22.(1)(1,k ) (k ,-1) (2)(B ,-A ) (A ,B )1.B [BC 中点为D ⎝⎛⎭⎫32,6,AD →=⎝⎛⎭⎫-52,5, ∴|AD →|=525.]2.D [∵OA →·OB →=OB →·OC →, ∴(OA →-OC →)·OB →=0. ∴OB →·CA →=0.∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ,OC ⊥AB , ∴O 为垂心.]3.B [设l 1、l 2的方向向量为v 1,v 2,则 v 1=(4,-3),v 2=(1,-7),∴|cos 〈v 1,v 2〉|=|v 1·v 2||v 1|·|v 2|=255×52=22.∴l 1与l 2的夹角为45°.]4.B [∵|OB →-OC →|=|CB →|=|AB →-AC →|, |OB →+OC →-2OA →|=|AB →+AC →|, ∴|AB →-AC →|=|AB →+AC →|,∴四边形ABDC 是矩形,且∠BAC =90°. ∴△ABC 是直角三角形.] 5.C[如图所示,由题知∠ABC =30°,∠AEC =60°,CE =33,∴|BC ||CE |=3,∴BC →=-3CE →.] 6.D [由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|+AC →|AC →|·BC →=0,得角A 的平分线垂直于BC .∴AB =AC . 而AB →|AB →|·AC →|AC →|=cos 〈AB →,AC →〉=12,又〈AB →,AC →〉∈[0°,180°],∴∠BAC =60°.故△ABC 为正三角形,选D.] 7.2解析 ∵O 是BC 的中点, ∴AO →=12(AB →+AC →)=m 2AM →+n 2AN →,∴MO →=AO →-AM →=(m 2-1)AM →+n 2AN →.又∵MN →=AN →-AM →,MN →∥MO →,∴存在实数λ,使得MO →=λMN →,即⎩⎨⎧m2-1=-λ,n2=λ,化简得m +n =2. 8.-25解析 △ABC 中,B =90°,cos A =35,cos C =45,∴AB →·BC →=0,BC →·CA →=4×5×⎝⎛⎭⎫-45=-16, CA →·AB →=5×3×⎝⎛⎭⎫-35=-9. ∴AB →·BC →+BC →·CA →+CA →·AB →=-25. 9.等腰三角形解析 ∵(DB →+DC →-2DA →)·(AB →-AC →)=[(DB →-DA →)+(DC →-DA →)]·(AB →-AC →) =(AB →+AC →)·(AB →-AC →)=AB →2-AC →2 =|AB →|2-|AC →|2=0, ∴|AB →|=|AC →|,∴△ABC 是等腰三角形.10.⎝⎛⎭⎫-105,3105 解析已知A (0,1),B (-3,4), 设E (0,5),D (-3,9), ∴四边形OBDE 为菱形.∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD .设C (x 1,y 1),|OD →|=310,∴OC →=2310OD →.∴(x 1,y 1)=2310×(-3,9)=⎝⎛⎭⎫-105,3105,即OC →=⎝⎛⎭⎫-105,3105.11.解 AB →=(3,4),AC →=(-8,6), ∠A 的平分线的一个方向向量为: AB →|AB →|+AC →|AC →|=⎝⎛⎭⎫35,45+⎝⎛⎭⎫-45,35=⎝⎛⎭⎫-15,75. ∵∠A 的平分线过点A .∴所求直线方程为-75(x -4)-15(y -1)=0.整理得:7x +y -29=0.12.证明 以D 为坐标原点,DC 所在直线为x 轴,DA 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系如图所示,设正方形边长为1,|DP →|=λ,则A (0,1),P ⎝⎛⎭⎫2λ2,2λ2,E ⎝⎛⎭⎫1,22λ,F ⎝⎛⎭⎫22λ,0, 于是P A →=⎝⎛⎭⎫-22λ,1-22λ,EF →=⎝⎛⎭⎫22λ-1,-22λ.∴|P A →|=⎝⎛⎭⎫22λ-12+⎝⎛⎭⎫-22λ2=λ2-2λ+1, 同理|EF →|=λ2-2λ+1, ∴|P A →|=|EF →|,∴P A =EF .∴P A →·EF →=⎝⎛⎭⎫-22λ⎝⎛⎭⎫2λ2-1+⎝⎛⎭⎫1-22λ⎝⎛⎭⎫-22λ=0,∴P A →⊥EF →.∴P A ⊥EF . 13.C[如图,∵NA →+NB →+NC →=0, ∴NB →+NC →=-NA →.依向量加法的平行四边形法则,知|N A →|=2|ND →|,故点N 为△ABC 的重心. ∵P A →·PB →=PB →·PC →, ∴(P A →-PC →)·PB →=CA →·PB →=0.同理AB →·PC →=0,BC →·P A →=0, ∴点P 为△ABC 的垂心. 由|OA →|=|OB →|=|OC →|,知点O 为△ABC 的外心.] 14.证明如图所示,已知AD ,BE ,CF 是△ABC 的三条高. 设BE ,CF 交于H 点, 令AB →=b ,AC →=c ,AH →=h , 则BH →=h -b ,CH →=h -c ,BC →=c -b . ∵BH →⊥AC →,CH →⊥AB →, ∴(h -b )·c =0,(h -c )·b =0, 即(h -b )·c =(h -c )·b整理得h·(c -b )=0,∴AH →·BC →=0∴AH ⊥BC ,∴AH →与AD →共线. AD 、BE 、CF 相交于一点H .。

活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法

活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法

活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法
立体几何是数学的一大分支,可以涵盖各方面的概念,以及许多数学思想方法。

在解决立体几何问题时,运用的概念包括分类、证明、概念、规划、构造、确定等等。

以下是活跃于立体几何问题的几种数学思想方法:
1. 构造法:构造法是在立体几何问题中采用的非常有效的数学思想。

构造法
允许以特定的形式和结构来构造几何图形,可以帮助我们处理和理解立体几何里复杂的问题。

2. 命题证明法:在数学中,证明是一个十分重要的集合。

在立体几何问题中,利用蕴含关系进行命题证明是一种有效而又基础的方法。

有助于识别更复杂的立体表达式,从而更清楚地理解其内容。

3. 向量分析法:向量的分析是一种非常有利的思想方法,在立体几何问题中,它可以用于提取平面与立体几何图形的特征,从而更为清晰地判断立体几何中的平面位置,有助于解决几何形状间相互运动的状态等问题。

4. 理论结构法:结构理论是一种对象、数据和过程之间的关系的描述性方法。

在立体几何问题中,结构理论主要是用来研究特定几何形状的性质,比如形状的对称性、四边形的角度和根据特定关系来画出平行线的思路等。

以上是活跃于立体几何问题中的几种数学思想方法。

有助于学习者更深入地理
解和掌握立体几何知识,有效地运用这些思想方法,可以推动学习者解决更复杂的立体几何问题。

数学中的向量与几何关系

数学中的向量与几何关系

数学中的向量与几何关系向量是数学中一个重要的概念,它在几何学中有着广泛的应用。

本文将探讨向量的定义、运算以及与几何关系的联系。

一、向量的定义向量是由大小和方向两个要素组成的量。

常用字母小写字母表示向量,如a、b等。

向量通常用箭头表示,箭头的方向表示向量的方向,箭头的长度表示向量的大小。

二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量首尾相连,形成一个新的向量。

向量加法满足交换律和结合律,即a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的大小与一个标量相乘,改变向量的大小,但保持其方向不变。

数乘后的向量记作kk,其中k为标量。

3. 内积内积是向量的一种运算,它可以通过向量的数量积来定义。

如果有两个向量a和b,它们的数量积记作k·k,其计算公式为k·k=|k||k|cos k,其中k为夹角。

4. 叉积叉积是向量的另一种运算,它用向量积来表示。

如果有两个向量a 和b,它们的向量积记作a×b,其计算公式为a×b=|a||b|sin k n,其中n 为垂直于a和b所确定平面的单位法向量。

三、向量与几何关系1. 平行关系若两个向量的方向相同或相反,且大小不为零,则它们是平行的。

即,k∥k。

2. 垂直关系若两个向量的数量积为零,则它们是垂直的。

即,k·k=0。

3. 共线关系若两个向量共线,则它们可以表示为数乘关系。

即,存在一个标量k,使得k=kk。

4. 夹角关系两个非零向量a、b之间的夹角k满足-π≤k≤π,夹角的余弦值可以通过向量的内积计算得到。

即,cos k=k·k/(|k||k|)。

四、向量在几何中的应用1. 平面几何中,向量可以用来表示直线、平面的法向量以及线段的位移。

2. 空间几何中,向量可以用来表示点、直线、平面以及它们之间的关系。

3. 向量可以用来进行坐标变换,如旋转、缩放等。

4. 向量可以用来表示力的方向和大小,从而进行力学分析。

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b
_
2
∵ AB ⊥ BC ∠ ABC = 90° 例 2 , 证明余弦定理 如图 : 在 △ ABC 中 , AB 、BC 、CA 的长分别为 c 、a 、b 证明 : ∵ AC = AB + BC ∴ AC・ AC = ( AB + BC) ・ (AB + BC)
_ _ _ _ _ _ _ _ _
第 6 卷第 4 期 2004 年 10 月
安顺师范高等专科学校学报
J OURNAL OF ANSHUN TEACHERS COLL EGE
Vol16 No 14 Oct 12004
向量思想方法在几何数学中的应用
万晓秀
( 安顺市民族中学 教师 , 贵州 安顺 561000)
摘 要 : 通过向量思想方法在几何教学中的应用 , 使学生能够体会数学思想在解题中的作 用 , 数学思想的灵活运用是数学能力的集中体现 , 通过向量运算 , 可有效揭示空间 ( 或平 面) 图形的位置和数量关系 , 由定性研究变为定量研究 , 是数形结合思想的深化和提高 。 关键词 : 向量 ; 应用 ; 垂直 ; 平行 ; 距离 中图分类号 : G63316 文献标识码 : A 文章编号 : 1672 - 3694 ( 2004) 04 - 0076 - 02
=
_
6 1 2 2 ・ = , ∴ A1B 与平面 ABD 所成角是 arcsin 3 3 3 3
2) 设 n = ( x 、y 、z) 为平面 A ED 的一个法向量 , 则 : n⊥ AE , n ⊥ AD n・ AE = - x + y + z = 0 n・ AD = - 2x + z = 0 解得 Z = 2X y= - x
・76 ・
安顺师范高等专科学校学报 2004 年第 4 期
μ- 1 x=4 ∵ 消去得 x + 2y - 5 = 0 故选 ( D) μ y=3- 2 ∴ Cos < EF・ CG > =
_ _ _ _
EF・ CG CG
_
_
_
EF
=
1 4 3 5 × 2 2
=
15 15
三 、立体几何中的应用
= AB2 + 2 AB・ BC + BC2 = AB
_ _ _ _ _
2
+
AB ・ BC ・
_
_
_
Cos ( 180° - B) + BC = c2 - 2accosb + a2
2
同理可证 : a2 = b2 - c2
- 2bcCosA c2 = a2 + b2 - 2abCosC
一 、平面几何中的应用
毫秒的时间就调用一次 Scroll ( ) 函数 , 也就是每 300 毫秒 出一个字符 。虽然规定时间 “跑”完后定时器并不会重新启 动 , 但在 Scroll () 中用 set Timeout () 调用 Scroll () , 就会 使其循环不断 , 看起来就像一个跑马灯 ( scroller) 。 值得一提的是 , 不是所有的浏览器都有各种方法 。怎样 对浏览器对象和方法以及函数进行识别 ? 最好的办法是你先 确定某一段代码具备什么功能 , 然后搞清楚浏览器具备什么 功能 。只需用一个 if 语句检测浏览器是否具有该对象 ( 或方 法和 函 数 ) 即 可 。例 如 , 在 Netscape4 中 , 你 可 以 用 win2
A) 3x + 2y - 11 = 0 B) ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 5 C) 2x - y = 0 D) x + 2y - 5 = 0
_ _ _ _ _
∴ AB・ BC = ( a + b ) ・ ( a
- b) =0
_ _
= a - b =
_
_2
_2
a
_
2
-
上的射影是 △ ABD 的重心 G。
1) 求 A1B 与平面 ABD 所在角的大小 ( 结果用反三角函
= {a1 , a2 , a3 } , b = { b1 , b2 , b3 } , 即 转 化 为 计 算 a1 b1 , + a2 b2 + a3 b3 = 0 , 在计算异面直线所成角时 , 转化为求向量
证明 : 设 P ( x , y) 是圆上的任一点 , 则
AP = ( x - x1 , y - y1 ) BP = ( x - x2 , y - y2 )
_ _ _ _ _ _
∵ AP ⊥ BP ∵ AP・ BP = 0 即 ( x - x1 ) ( x - x2 ) + ( y - y1 ) ( y - y2 ) = 0 例 4 , 平面直角坐标系中 , O 为坐标原点 , 已知 A ( 3 , λ 1) , B ( - 1 , 3) , 若点 C 满足 OC =μ OA +λ OB , 其中μ、 ∈R , 县μ +λ= 1 , 则点 C 的轨迹方程为 ()
∴△EGB 为直角三角形 , 即 B E
2 2
_
2 2
=
GB
2
_
2
+
GE
_
2
m m m 4m 1 m m 4 ∴ + +1= + + + + + 4 4 9 9 9 36 36 9 解得 m = 2
∴GE = 1) 求证 : EF ⊥ CF
2) 求 EF与 CG所成角的余弦 3) 求 CE 的长
解 : 设 C 的坐标为 ( x , y) ∴ OC = ( x , y) 又OC =μ OA +λ OB =μ ( 3 , 1 ) + ( 1 - μ) μ- 1 , 3 - 2 μ ) = (4
_ _
( - 1 , 3)
收稿日期 : 2004 - 05 - 31 作者简介 : 万晓秀 ( 1966~) , 女 , 安顺民族中学一级教师 。
, 或利用空间两点间的距离公
例 5 , 如图 , 棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1 C1 D1 , E 、
F 、G 是 DD1 , BD , BB1 之中点
标系设 CA = CB = m , 则 A
( m , 0 , 0) , B ( 0 , m , 0) D ( 0 , 0 , 1 ) , A1 ( m , 0 , 2) , E m m m m 1 , , 1 , G , , 2 2 3 3 3 _ _ m m 2 m m ∴GE = , BE = , , , , 1 , 6 6 3 2 2 _ m 2m 1 BG= , , 3 3 3 ∵ 点 E 在平面 ABD 上的射影是 △ ABD 的重心
_
_
=
2 6 即为点 A1 到平面 A ED 的距离 。 3 ( 下转第 94 页)
1 1 × 1+ × 0+ 2 2
2
1 2 5 2
1 2
2
×
= 3 2
1 1 = 2 4
1 2
+
1 2 1 2
2
+
2
=
1 2 + 02 +
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在 interval ( 300 ) 毫秒后就会执行 Scroll ( ) 。window. set2
这样做是为了确保浏览器支持某项功能后再调用该功能 从而避免很多无谓的脚本错误 。使用浏览器功能测试的方法 而不是浏览器类型测试的方法可以使网页内容同各种平台上 各种类型各种版本的浏览器都保持同步 。
The Application and Discussion of JavaScript in HTML
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
二 、解析几何中的应用
例 3 , ( 新课程教材习题) 已知一个圆的直径的端点是 A
( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )
求证 : 圆的方程是 ( x - x1 ) ( x - x2 ) + (y - y1 ) (y y2 ) = 0
_ _
数表示)
2 ) 求 点 A1 到 平 面 A ED 的距离
θ= 的夹角 , 利用公式 Cos 长度 , 转化为求 a ・ b= 式。
_ _
a a
_
_
a・ b
b
_
, 在求立体几何中线段的
2
解 : 1 ) 如图 , 以 C 为 坐 标 原 点 , 分 别 以 CA ,
CB , CC1 所 在 直 线 为 X 、 Y、Z 轴 , 建立空间直角坐
1 2 5 = 2 2 例 6 ( 2003 年全国高考题 ) 如图 , 在直三棱柱 ABC 3) CE = 02 + ( - 1) 2 + A1B1 C1 中底面是等腰直角三角形 , ∠ ACB = 90° , 侧棱 AA1 = 2 , D 、E , 分别是 CC2 与 A1B 的中点 , 点 E 在平面 ABD
1 1 E ( 0 、0 、 ) , C ( 0 、1 、0 ) , F ( 2 2 1 ( 1 、1 、 ) 2 _ _ 1 1 1 1 ∴EF = CF = , , , 2 2 2 2 _ _ 1 1 CG = 1 , 0 CE = 0 , - 1 , , 2 2 _ _ 1 1 1 1 1) ∵EF・ CF = × + × + 2 2 2 2 , 1 , 0) , G 2
例 1 , 求证 : 直径上的圆周角为直角 。 已知 : 如图 , AC 为 ⊙ O 的 1 条求径 ∠ ABC 为圆角 求证 : ∠ ABC = 90° 证明 : 设 AO = a , OB = b , 则 AB = a + b , OC = a , BC =
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