2019年教师资格及教师招考试题(附答案) (32)

09届高三数学暑期新教师招考试题
中学数学
(由江苏省海门中学 方伟 命制)
一、填空题(本题14小题，共计42分) 1．设数集M={x|m ≤x ≤m+
43}，N={x|n －3
1
≤x ≤n}，且M 、N 都是集合{x|0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”，那么集合M ∩N 的“长
度”的最小值是___________.
2.矩阵⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-32521的特征值是 ______。

3.已知向量(2,1),(3,1)==-a b ，则a 与b 的夹角θ为 _____. 4.在等式“1=
()
1
+
()
9
”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和
最小，则填入的两个数是 _________.
5．已知(||1)5z z i =-+，则复数z = _______.
6. 已知伪代码如图，则输出结果S =_
7．过点(3,4)M -，且在两坐标轴上截距相等的直线的方程
为 __________________________.
8.若3220
0<-⎰
⎰t
t dx xdx ，则∈t ____ 9．已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线的方程 为20x y -=，则双曲线的离心率为 __________.
10．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞上的单调增函数，若
(1)(lg )f f x <，则x 的取值范围是 ______________ .
11．在ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则ABC ∆为 ________三角形. 12．用三种不同颜色给3个矩形随机涂色，每个矩形上涂一种颜色，则3个矩形颜色都不同的概率是 ______.
13.老张、老刘、老李和老赵, 一个是教师，一个是职员，一个是工人，一个是干部，还知道（1）张、刘为邻居，每天骑车上班；（2）老刘比老李年纪大；（3）老张教老赵打太极拳；（4）教师每天步行上班；（5）职员的邻居不是干部；（6）干部和工人不认识；（7）干部比职员和工人年纪都大，那么他们的职业按职员、工人、干部、教师的姓氏排列为____________________.
14. 设3
31)(+=
x
x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得
f (－12)+ f (－11)+ f (－10)+…+ f (0)+…+ f (11)+ f (12)+ f (13)的值为________.
二、解答题（本题6小题，共计58分）
I←0
S←0 While I ＜6 I←I+2 S←S+I 2
End while Print S （第6题）
15.如图，摩天轮的半径为40m ，点O 距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处． (1)试确定在时刻t （min ）时点P 距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P
16.已知函数()ln(21)f x x =+． （Ⅰ）求曲线()ln(21)f x x =+，在1
2
x =处的切线的方程； （Ⅱ）若方程()()f x f x a '+=有解，求a 的取值范围．
17．如图，以长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A 、C 及另两个顶点为顶点构造四面体． （1）若该四面体的四个面都是直角三角形，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；
（2）我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱，若该四面体的任一对对棱垂
直，试写出一个这样的四面体（不要求证明）；
（3）若该四面体的任一对对棱相等，试写出一个这样的四面体（不要求证
明），并计算它的体积与长方体的体积的比．
18.设绝对值小于1的全体实数的集合为S ，在S 中定义一种运算“*”， 使得ab
b
a b a ++=
*1
(1) 证明：如果a 与b 属于S ，那么b a *也属于S. (2) 证明：结合律)()(c b a c b a **=**成立.
A B C D
D 1+ A 1+ C 1
+ B 1+
19.如图，过椭圆
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 的左焦点F 任作一条与两坐标轴都不垂直
的弦AB ，若点M 在x 轴上，且使得MF 为AMB ∆的一条内角平分线，则称点
M 为该椭圆的“左特征点”．（1）：求椭圆)0(15
22
>>=+b a y x 的“左特征
点”M 的坐标；（2）：试根据（1）中的结论猜测：椭圆)0(12
22
2>>=+
b a b y a x 的
“左特征点”M 是一个怎样的点？并证明你的结论．
20.关键词：数学作文
理论背景：从2000年开始，我国已把“探索型课题学习”列入教学计划，并规定了教学时间。

2001年华东师范大学的张奠宙教授在一次给研究生的讲话报告中，提出了“数学作文”这个概念，它类似于国外学生做的“Project ”，结合我国的实际，“数学作文”是“探索型课题”研究过程和结果的展现形式。

它不同于严格意义上的数学论文，它是数学“双基”的延伸。

通过数学作文能够对数学基础进行整理，上升为更加理性的认识。

请你用200-300字简要地谈谈对“数学归纳法”这个概念的认知。

（注意：数学语言的运用）
参考答案
1．
121 2．4，-2 3．4
π 4．4，12 5．12-5i 6．20 7 10430x y x y ++=+=或
8．（-1，3）9
10. 110010x x ><<或 11. 等腰或直角 12.
2
9
13. 张职员、刘工人、赵干部、李教师 14.
3
13315. （1）240cos()503
y t π=+（2）1
分钟 16. （1）
1
ln 22
y x =+- （2）ln 21a ≥+17. 解（1）如四面体A 1-ABC 或四面体C 1-ABC 或四面体A 1-ACD 或四面体C 1-ACD ； （2）如四面体B 1-ABC 或四面体D 1-ACD ；（3）如四面体A-B 1CD 1 18. （1）当-1<a<1,-1<b<1时，有-1<
ab
b a ++1<1成立，也即证
2
)1(
ab
b a ++<1成立，从而用比较法即可证得（2）
b)*c=ab b a ++1*c=c ab
b a c
ab b
a ∙++++++111=a
b ca b
c abc c b a ++++++1因为此式关于
a,b,c 对称，所以即得(a*b)*c=a*(b*c)成立，这样就利用对称性减少了一半计算。

19. （1）解：设)0,(m M 为椭圆15
22
=+y x 的左特征点，椭圆的左焦点为 F
(-2,0)，可设直线
AB
的方程为)0(2≠-=k ky x ,并将它代入
15
22
=+y x 得55)2(22=+-y ky .即014)5(22=--+ky y k .
设),(11y x A ,),(22y x B ,则5
1,5
42
212
21+=
+=+k y y k k y y . ∵
AMB
∠被
x
轴平分，∴
0=+BM AM k k . 即
0)()(,0122122
11=-+-=-+-m x y m x y m
x y m x y 化简得 将
211-=ky x ，222-=ky x 代入得0)2)((22121=++-m y y y ky ,由0≠k ,即整理得
)0,25
(25-∴-=M m . （2）由（1）猜想：椭圆12222=+b
y a x 的“左特征点”是椭圆的左准
线与x 轴的交点. 证明：设椭圆的左准线l 与x 轴相交于点M ，过点
A 、
B 分别作l 的垂线，
垂足分别为点C 、D .据椭圆第二定义得.||||||||,||||||||BD AC BF AF BD BF AC AF ==即∵AC ∥FM ∥BD ,∴
|
|||||||DM CM BF AF =.于是均为锐角
与又即BMD AMC BMD AMC DM BD CM AC DM CM BD AC ∠∠∠=∠∴== .tan tan .||||||||,|||||||| ∴∠AMC =∠BMD .∴∠AMF =∠BMF .∴MF 为∠AMB
的平分线。

故点M 为椭圆的“左特征点”.
20. 纲要（1）数学归纳法作为归纳法的一种，它属于完全归纳。

（2）数学归纳法的定义（或者
解题步骤）（3）重难点突破：奠基的重要性及注意点，在证明P（K+1）时一定要用到归纳假设P（K）（4）适用范围：可以证明与正整数相关的命题。

（5*）其他：数学归纳法从证明的方式来区分，可以有第一数学归纳法、第二数学归纳法、多重数学归纳法、翘翘板数学归纳等等。