【解析】江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期第三次月考数学(理)试题

临川二中、临川二中实验学校2019-2020学年度高三第三次月考数学试题（理） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知i 为虚数单位,复数z 满足：()z 12i i +=-，则在复平面上复数z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【分析】先求出z 并化简，从而确定复数z 对应的点的坐标为13(,)22-，进而判断其位于第四象限.【详解】因为2(2)(1)131312222i i i i z i i ----====-+， 所以复平面上复数z 对应的点为13(,)22-，位于第四象限，故选D .【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{}2|60A x x x =--≤，4|01x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭,那么集合()U A C B ⋂=（ ）A. [)2,4-B. (]1,3- C. []2,1--D. []1,3-【答案】D详细分析：因{|32},{|1A x x B x x =-<<=<-或4}x ≥，故{|14}U C B x x =-≤<，所以(){|13}U A C B x x ⋂=-≤≤，应选答案D 。

3.已知向量(2,1),(,1)a b m ==-r r ，且()a a b ⊥-rr r ，则m 的值为（ ）A. 1B. 3C. 1或3D. 4【答案】B 【分析】先求出a b -r r ，再利用向量垂直的坐标表示得到关于m 的方程，从而求出m .【详解】因为(2,1),(,1)a b m ==-r r，所以(2,2)a b m -=-rr，因为()a a b ⊥-r r r ，则()2(2)20a a b m ⋅-=-+=rr r ，解得3m =所以答案选B.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 4.下列判断正确的是（ ） A. “若sin cos ,x x =则4x π=”的逆否命题为真命题B. 0x ∀>，总有1sin x e x >+C. 二次函数2()1f x x ax =-+在R 上恒大于0的充要条件是2a < D. 已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的面积为1 【答案】B 【分析】根据逆否命题同真假，构造函数求导，二次函数判别式，弧长公式即可逐项判断 【详解】对A, 若sin cos ,x x =则,4x k k Z ππ=+∈,故原命题为假命题，则逆否命题为假命题，错误；对B, 设()()()'sin 10,cos 0xx f x e x x fx e x =-->∴=->，则()sin 1,x f x e x =--单调递增，则()()sin 101xf x e x f =-->=，正确；对C, 二次函数2()1f x x ax =-+在R 上恒大于0的充要条件是2=4022a a ∆-<∴-<< ,错误对D, 已知扇形的弧长为1，半径为1，则该扇形的圆心角为1，则面积为12，错误 故选：B【点睛】本题以命题的真假关系的判断为载体，主要考查了充分必要条件的判断，逆否命题及利用导数证明不等式等知识的综合应用，属于中档题．5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则67a a +=（ ） A. 4- B. 4C. 1-D. 8【答案】A 【分析】可设等差数列{a n }的公差为d ，从而据题意得出a 1＝9，利用前n 项和求出d 即可求解 【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，9553954249595S S a ad -=-∴-==-解得d ＝-2； ∴671211a a a d +=+=4- 故选：A ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，是基本题型．6.已知锐角α的终边与单位圆221x y +=交于点01(,)3P x ，则2sin α=（ ）A.9B. 9-C.9D.49【答案】C 【分析】根据三角函数的定义，求出相应的三角函数值，利用二倍角的正弦公式，即可求出sin2α的值；【详解】锐角α的终边上点P 的纵坐标为13则sin 1α3=，cos α3=则sin2α＝2sin αcos α=9故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的定义及二倍角公式，考查学生的计算能力．7.若,x y 满足30230x y x y y m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩，，，且2z x y =+的最小值为1，则实数m 的值为（ ）A. 5-B. 1-C. 1D. 5【答案】B 【分析】首先画出满足条件的平面区域，然后根据目标函数2z x y =+取最小值找出最优解，把最优解点代入目标函数即可求出m 的值。

【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示：，由230y m x y =⎧⎨--=⎩，解得：23A m m +（，）， 由2z x y =+得：2y x z =-+，显然直线过23A m m +（，）时，z 最小， ∴461m m ++=，解得：1m =-， 故选：B ．【点睛】本题主要考查简单的线性规划，已知目标函数最值求参数的问题，属于常考题型。

8.函数()sin cos f x x x x =+在[,]-ππ上的大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，再求导求极值结合特殊值即可判断． 【详解】()sin cos f x x x x =+∴()()()sin cos f x x x x -=--+-=()sin cos f x x x x =+ ∴f （x ）偶函数，排除D ∵当x 2π=时，f （2π）2π=>1，排除B, 又'()sin cos sin cos f x x x x x x x =+-=，当()()()()'''max ,0,,0;0,0;222222x f x x f x x f x f x f ππππππ⎛⎫==>><<<>∴==< ⎪⎝⎭Q ，排除C 故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的特点，属于基础题． 9.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.在堑堵111A ABC B C - 中，12AC BC AA ⊥=，，当阳马11B ACC A - 体积为43时，堑堵111A ABC B C -的外接球的体积的最小值（ ） A.43π B.823πC.323πD.6423【答案】B 【分析】设AC ＝x ，BC ＝y ，由阳马B ﹣A 1ACC 1体积，得到2xy =，结合基本不等式求得外接球半径由此能求出外接球体积．【详解】设AC ＝x ，BC ＝y ，由题意得x ＞0，y ＞0，又11B ACC A - 体积为43，142233xy xy ⨯=∴= 堑堵111A ABC B C -的外接球即以1,,CA CB CC 为棱的长方体的外接球故2R =≥=，当且仅当x ＝y =∴外接球的体积为343R π=3故选：B ．【点睛】本题考查锥体体积的求法，考查外接球问题，结合基本不等式求解是关键，注意空间思维能力的培养．10.设曲线()2(xf x e x e =+为自然对数的底数)上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()sin g x ax x =-+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为( )A. []1,2-B. ()1,2-C. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】求得()f x 的导数，设()11,x y 为()f x 上的任一点，可得切线的斜率1k ，求得()g x 的导数，设()g x 图象上一点()22,x y 可得切线2l 的斜率为2k ，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，分别求12cos y a x =-+的值域A ，1212x y e =+的值域B ，由题意可得B A ⊆，可得a 的不等式，可得a 的范围．【详解】()2xf x e x =+的导数为()'2xf x e =+，设()11,x y 为()f x 上的任一点，则过()11,x y 处的切线1l 的斜率为112xk e =+，()sin g x ax x =-+的导数为()'cos g x x a =-，过()g x 图象上一点()22,x y 处的切线2l 的斜率为22cos k a x =-+．由12l l ⊥，可得()()122cos 1xe a x +⋅-+=-，即121cos 2x a x e -+=-+，任意的1x R ∈，总存在2x R ∈使等式成立,则有12cos y a x =-+的值域为[]1,1A a a =---+，所以112x e -+的值域为1,02B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由B A ⊆，即1,0[12a ⎛⎫-⊆-- ⎪⎝⎭，1]a -+，即11210a a ⎧--≤-⎪⎨⎪-≥⎩，解得：1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选D ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为1-，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．11.设双曲线22221x y a b-=()0,0a b >> 的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M ，N .若以MN 为直径的圆经过点2F 且22MF NF =，则双曲线的离心率为（ ）【答案】C 【分析】由题意可得△MNF 2为等腰直角三角形，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN|=，运用双曲线的定义，求得|MN |＝4a ，可得m ，再由勾股定理可得a ，c 的关系，即可得到所求离心率． 【详解】若以MN 为直径的圆经过右焦点F 2，则120MF NF ⋅=u u u u r u u u u r ，又|MF 2|＝|NF 2|， 可得△MNF 2为等腰直角三角形， 设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN|=，由|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|NF 1|﹣|NF 2|＝2a ， 两式相加可得|NF 1|﹣|MF 1|＝|MN |＝4a ， 即有m ＝， 在直角三角形HF 1F 2中可得4c 2＝4a 2+（2a +22a ﹣2a ）2， 化为c 2＝3a 2， 即e 3ca==． 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题． 12.函数()3cos cos 23f x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为（ ）A. 1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []1,1-C. []1,3-D. []2,1-【答案】C 【分析】利用辅助角公式可将函数()y f x =解+析式化简为()22sin 12sin 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，换元sin 6t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[]0,x π∈，可得出[]0,1t ∈，于是将问题转化为二次函数2221y t t =+-在区间[]0,1上的值域求解，利用二次函数的基本性质可得出结果. 【详解】由()23sin cos cos 22sin 12sin 366f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设sin 6t x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]0,x π∈Q ，则7666x πππ≤+≤，可得1sin 126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，[]0,1t ∴∈，二次函数2221y t t =+-图象的开口方向向上，对称轴为直线12t =-，所以，二次函数2221y t t =+-在区间[]0,1上单调递增，当0t =时，min 1y =-，当1t =时，max 3y =， 因此，函数()y f x =在[]0,π上的值域为[]1,3-. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数的值域问题，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，解题的关键就是将问题转化为二次函数在定区间上的值域问题求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）()14210.25lg100-⨯= ______.【分析】利用根式的运算及指数对数运算性质求解即可【详解】原式=()1212421222⨯-⨯⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查指对幂运算性质，是基础题14.33(sin cos x x dx -+=⎰______.【答案】92π【分析】利用奇函数性质求33(sin cos )0x x dx -=⎰，利用圆面积求33dx -⎰再相加求解即可【详解】1sin cos sin 22y x x x == 为奇函数，故33(sin cos )0x x dx -=⎰33dx -⎰表示圆229x y +=的上半部分与x 轴围成的面积，故3319922dx ππ-=⨯=⎰，则33(sin cos x x dx -+=⎰92π 故答案为：92π【点睛】本题考查积分求值，考查函数奇偶性，考查积分几何意义，是基础题15.若A 、B 、C 、D 四人站成一排照相，A 、B 相邻的排法总数为k ，则二项式1kx k ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为______________. 【答案】1124详细分析：由题设33212k A ==，所以121212112121()()1212rr r r r r x T C C x ---+=-=-，则由题设12210r r -=⇒=，所以2x 项的系数为101222111166121224C =⨯=，应填答案1124。