2012年广东省高考数学(理科)考试大纲解读(全部高考考点总结)word文档版
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)答案与解析
∴n=8 展开式的通项 = 令8﹣2r=﹣2可得r=5 此时系数为 =56 故答案为：56 【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲 版）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）复数 =（ ） A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题． 【分析】把 的分子分母都乘以分母的共轭复数，得 ，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果． 【解答】解： = = =1+2i． 故选C． 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认 真审题，仔细解答． 2．（5分）已知集合 ，B={1，m}，A∪B=A，则m=（ ） A．0或
． 故答案为： ． 【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查 辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣ cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin（x﹣ ）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题． 15．（5分）若 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 56 ． 【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通 项可求满足条件的系数 【解答】解：由题意可得，
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【专题】计算题． 【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数 y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等 于0，由此可求c的值． 【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1）， 令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1； ∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减， ∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值． ∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点， ∴极大值等于0或极小值等于0．
2012年广东高考试题(理数,word解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设i 为虚数单位，则复数56ii-=( )()A 65i + ()B 65i - ()C i -6+5()D i -6-5【解析】选D 依题意：256(56)65i i ii i i--==--，故选D . 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U M ==；则U C M =( )()A U ()B {1,3,5} ()C {,,}356 ()D {,,}246【解析】选C U C M ={,,}3563. 若向量(2,3),(4,7)BA CA ==；则BC =( )()A (2,4)-- ()B (2,4) ()C (,)610 ()D (,)-6-10【解析】选A (2,4)B C B A C A =-=-- 4. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )()A ln(2)y x =+ ()B y = ()C ()x y 1=2 ()D y x x1=+【解析】选A ln(2)y x =+区间(0,)+∞上为增函数，y =(0,)+∞上为减函数 ()xy 1=2区间(0,)+∞上为减函数，y x x1=+区间(1,)+∞上为增函数5. 已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )()A 12 ()B 11 ()C 3 ()D -1【解析】选B 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：53(2,2),(3,2),(,)22A B C则3[8,11]z x y =+∈6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( )()A 12π ()B 45π ()C π57 ()D π81 【解析】选C 几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为221353573V πππ=⨯⨯+⨯=7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个， 其个位数为0的概率是( )()A 49 ()B 13 ()C 29()D 19【解析】选D①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8，个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个 ②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个别个位数为0的概率是51459=8. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=；若平面向量,a b 满足0a b ≥>， a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =( )()A 12 ()B 1 ()C 32()D 52【解析】选C21cos 0,cos 0()()cos (,1)2a ba b b a a b b a baθθθ=>=>⇒⨯=∈,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中得：*12123()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2012年广东高考理科数学(全解析)逐题详解(纯净WORD)
正视图侧视图俯视图第6题图.2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.2012年12月26日星期三1．设i 为虚数单位,则复数56i i-=( )A.65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i --【解析】D ；()5656566511i ii i i i--+===----,故选D ．2．设集合{1,23,4,5,6}U =，,{1,2,4}M =,则M U =ð( ) A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6} D ．{2,4,6}【解析】C ；送分题,直接考察补集的概念,{}M 3,5,6U =ð,故选C ．3．若向量(2,3)B A = ,(4,7)C A = ,则BC =( )A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--【解析】A ；考察向量的运算法则,()()()2,34,72,4BC BA AC =+=+--=--,故选A ． 4．下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A ．ln(2)y x =+B ．y =C ．1(2xy =D ．1y x x=+【解析】A ；函数ln(2)y x =+的图像可由函数ln y x =的图像向左平移2个单位得到,显然满足题意.5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为( ) A ．12 B ．11 C ．3 D ．1- 【解析】B ；画出可行域如图所示,将“三角”区域的角点代入比较可知,当3,2x y ==时,3z x y =+取得最大值为11. 6．某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π 【解析】C ；三视图对应的实物图为“上部分为圆锥,下部分为圆柱”的几何体,易得圆锥的高为4,所以2213435573V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=.7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是( ) A ．49B ．13C ．29D ．198．对任意两个非零的平面向量,αβ,定义αβαβββ⋅=⋅ .若平面向量,a b 满足0a b ≥> ,a 与b的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b和b a都在集合|2nn Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b = ( ) A ．12B ．1C ．32D ．52【解析】C ；因为||cos cos 1||b a b b a a a a θθ⋅==≤<⋅,且a b和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a = ,||12cos ||b a θ= ,所以2||cos 2cos 2||a ab b θθ==<,且22cos 1a b θ=> ,所以12a b <<,故有32a b = ,选C .【另解】C ；1||cos 2||k a a b b θ==,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是cos 122θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥> ,所以123,1k k ==,于是32a b = ,选C .二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________． 【解析】1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦；“|2|||x x +-”的几何意义为“点x 到2-和0的距离之差”,画出数轴,先找出临界“|2|||1x x +-=的解为12x =-”,然后可得解集为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.10．261()x x+的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）【解析】20；通项()621231661rrrr rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233r -=得 3r =,此时对应系数为3620C =.11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =【解析】21n -；设公差为()0d d >,依题意可得()21214d d +=+-, 解得2d =(2-舍去),所以21n a n =-.12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________． 【解析】21y x =+；求导得231y x '=-,1|2x y ='=,由直线的点斜式 方程得()321y x -=-,整理得21y x =+.13．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为____．【解析】8；第一次循环得2,4,2s i k ===;第二次循环得4s =,6,3i k ==;第三次循环得第17题图B.第15题图AC PO8,8,4s i k ===,此时不满足8i <,输出8s =.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中x O y 中,曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎩⎨⎧==t y t x （t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x (θ为参数),则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 .【解析】()1,1；对应的普通方程分别为y =222x y +=,联立得交点坐标为()1,1.15. (几何证明选做题)如图,圆O 的半径为1,,,A B C 是圆上三点,且满足︒=∠30ABC ,过点A 作圆O 的切线与O C 的延长线交 于点P ,则PA = ．,OA AC ,易得60,30AOC CAP ∠=︒∠=︒,在 直角三角形O A P 中,根据题中的数量关系易得PA =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()2cos()6f x x πω=+(其中R x ∈>,0ω)的最小正周期为π10．(Ⅰ) 求ω的值；(Ⅱ) 设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56(535f πα+=-,516(5)617f πβ-=,求cos()αβ+的值．【解析】(Ⅰ)由210ππω=得15ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知1()2cos()56f x x π=+,由56516(5,(535617f f ππαβ+=--=得3sin 5α=,8cos 17β=.又,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4cos 5α=,15sin 17β=,所以324513cos()cos cos sin sin 858585αβαβαβ+=-=-=-17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所 示,其中成绩分组区间是:[)[)40,50,50,60,[)[)60,70,70,80,[)[]80,90,90,100.(Ⅰ) 求图中x 的值;(Ⅱ) 从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望． 【解析】(Ⅰ) 由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯= 解得0.018x =.(Ⅱ)成绩不低于80分的学生人数有()500.0180.0061012⨯+⨯=人. 成绩在90分以上（含90分）的人数有500.006103⨯⨯=人.P ABCDE第18题图随机变量ξ的可能取值为0,1,2,且 ()292126011C P Cξ===,()11392129122C C P Cξ===,()232121222C P Cξ===,所以ξ的分布列为ξ的数学期望0121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=. 18．（本小题满分13分）如图所示,在四棱锥P A B C D -中,底面A B C D 为矩形,P A ⊥平面A B C D ,点E 在线段P C上,P C ⊥平面BD E ．(Ⅰ) 证明:B D ⊥平面PAC ；(Ⅱ) 若1PA =,2AD =,求二面角B P C A --的正切值．【解析】(Ⅰ)因为P A ⊥平面A B C D ,BD ⊂平面A B C D , 所以PA BD ⊥,又P C ⊥平面BD E ,BD ⊂平面BD E ,所以PC BD ⊥,因为PA PC P = ,所以B D ⊥平面PAC .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知B D ⊥平面PAC ,所以B D A C ⊥,又底面A B C D 为矩形,从而底面A B C D 为正方形,设AC BD O = ,连结O E ,则,,OE PC BO PC ⊥⊥所以B E O ∠为二面角B P C A --的平面角, 在R t P A C ∆中,由等面积法可得112233PA AC O E PC ⋅=⋅==,又BO =在R t B O E ∆中,tan 3B O B E O O E∠==所以二面角B P C A --的正切值为3．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,*n N ∈,且123,5,a a a +成等差数列.(Ⅰ) 求1a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211132na a a ++⋅⋅⋅+<.【解析】(Ⅰ)因为11221n n n S a ++=-+,当1n =时,1223S a =-,即2123a a -=,当2n =时,2327S a =-,即321227a a a --=,又()21325a a a +=+联立上述三个式子可得11a =. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知25a =当2n ≥时,由11221n n n S a ++=-+得1221n n n S a -=-+,两式相减整理得132nn n a a +=-,即11312222n n n n a a ++=⋅+,即11311222n n n n a a ++⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭,又2121311222a a ⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭, 所以12nn a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为首项为113122a +=,公比为32的等比数列, 所以133312222n nnn a -⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以32n n n a =-. (Ⅲ) 当1n =时,11312a =<显然成立,当2n =时,121113152a a +=+<显然成立.当3n ≥时,32(12)2n n n n n a =-=+-12211122222n n n nn n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-122111222n n n n nC C C --=+⋅+⋅++⋅ 2222(1)n C n n >⋅=-又因为2522(21)a =>⨯⨯-,所以2(1),2n a n n n >-≥, 所以11111()2(1)21na n n n n<=---所以12311111111111131(1)1(1)2234122na a a a n nn++++<+-+-++-=+-<- .20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221(0)x y a b ab+=>>的离心率e =，且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程(Ⅱ) 在椭圆C 上,是否存在点(,)M m n ,使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点,A B ,且O AB ∆的面积最大？若存在,求出点M 的坐标及对应的O AB ∆的面积；若不存在,请说明理由.【解析】(Ⅰ)依题意2223c e c a a==⇒=,所以222213b ac a =-=,设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点,则22221x y ab+=,所以222222(1)3y x a a y b=-=-,所以||PQ ===当1y =-时,||PQ3=,可得a =所以1,b c ==故椭圆C 的方程为2213xy +=.(Ⅱ)[韦达定理法]因为(,)M m n 在椭圆C 上,所以2213mn +=,2233m n =-,设11(,)A x y ,22(,)B x y由2211m x ny x y +=⎧⎨+=⎩，得2222()210m n x m x n +-+-=所以22222222244()(1)4(1)8(1)0m m n n n m n n n ∆=-+-=+-=->,可得21n <， 由韦达定理得12222m x x m n+=+,212221nx x m n-=+所以2212121212222111()1mx mx m x x m x x my y n n n m n---++-=⋅==+所以||AB ====设原点O 到直线A B 的距离为h ,则h =所以1||2O AB S AB h ∆=⋅=设221t m n=+,由201n <<,得22232(1,3)m n n +=-∈,所以,1(,1)3t ∈O AB S ∆==1(,1)3t ∈所以,当12t =时,OAB S ∆面积最大,且最大为12,此时，点M 的坐标为22⎛ ⎪⎝⎭或22⎛- ⎪⎝⎭或,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛-- ⎪⎝⎭. [垂径定理切入]因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以2213mn +=,2233m n =-,圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离d =直线l 被圆O 所截的弦长为||AB ==所以1||2O AB S AB d ∆=⋅=,接下来做法同上.21．（本小题满分14分）设1a <，集合2{0},{23(1)60}A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>,D A B = . (Ⅰ) 求集合D (用区间表示）；(Ⅱ) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．【解析】(Ⅰ)由方程223(1)60x a x a -++=得判别式29(1)483(3)(31)a a a a ∆=+-=--因为1a <,所以30a -< 当113a <<时,0∆<,此时B R =,所以()0,D A ==+∞； 当13a =时,0∆=,此时{|1}B x x =≠,所以(0,1)(1,)D =+∞ ；当13a <时,0∆>,设方程223(1)60x a x a -++=的两根为12,x x 且12x x <,则 14x =,24x =,12{|}B x x x x x =<>或当103a <<时,123(1)02x x a +=+>,1230x x a =>,所以120,0x x >>此时,12(,)(,)D x x x =+∞)44=+∞当0a ≤时,1230x x a =≤,所以120,0x x ≤>此时,2(,))4D x =+∞=+∞.综上,1(0,),133(1)3(1)1(0,(),0443),04a a a D a a ⎧+∞<<⎪⎪⎪+-++=+∞<≤⎨⎪⎪+∞≤⎪⎩(Ⅱ) 2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--,1a <所以函数()f x 在区间[,1]a 上为减函数,在区间(,]a -∞和[1,)+∞上为增函数 当113a <<时,因为()0,D =+∞,所以()f x 在D 内的极值点为,1a ； 当13a =时,(0,1)(1,)D =+∞ ,所以()f x 在D 内有极大值点13a =；当103a <<时,)44D =+∞由103a <<,很容易得到144a <<<（可以用作差法，也可以用分析法）,所以()f x 在D 内有极大值点a ； 当0a ≤时,)4D =+∞由0a ≤,14>,此时()f x 在,内没有极值点.综上,当113a <<时,极值点为,1a ；当103a <≤时,极值点为a ；当0a ≤时,无极值点.。
2012年高考数学广东卷(理科)附答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）【详解人】佛山市南海区石门中学 黄伟亮参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一、选择题01. 设i 为虚数单位，则复数56ii-=（ ） A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i --解析：D .56i65i i-=--. 02. 设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4M =，则U C M =（ ）A .UB .{}1,3,5C .{}3,5,6D .{}2,4,6解析：C .{}3,5,6U C M =.3.（向量）若向量()2,3BA = ，()4,7CA =，则BC = （ ）A .()2,4--B .()2,4C .()6,10D .()6,10--解析：A .()2,4BC BA CA =-=--.4.（函数）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（ ） A .()ln 2y x =+B.y =C .12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .1y x x=+解析：A .()ln 2y x =+在()2,-+∞上是增函数.5.已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A .12B .11C .3D .1-解析：B .画出可行域，可知当代表直线过点A 时，取到最大值.联立21y y x =⎧⎨=-⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，所以3z x y =+的最大值为11. 6.（立体几何）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（ ）A .12πB .45πC .57πD .81π解析：C .该几何体下部分是半径为3，高为5的圆柱，体积为23545V ππ=⨯⨯=，上部分是半径为3，高为4的圆锥，体积为2134123V ππ=⨯⨯⨯=，所以体积为57π.7.（概率）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）A .49B .13C .29D .19解析：D .两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为51459=. 8.对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅ αβαβββ，若平面向量a 、b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且 a b 和 b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则= a b （ ）A .12B .1C .32D .52解析：C .⋅==⋅ a a b a b b b b 1cos 2k θ=，= b b a a 2cos 2k θ=，两式相乘，可得212cos 4k kθ=.因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1k 、2k 都是正整数，于是2121cos 124k k θ<=<，即1224k k <<，所以123k k =.而0≥>a b ，所以13k =，21k =，于是32= a b . 二、填空题（一）必做题（9—13题）9.（不等式）不等式21x x +-≤的解集为__________________.解析：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.2x x +-的几何意义是x 到2-的距离与x 到0的距离的差，画出数轴，先找出临界“21x x +-=的解为12x =-”，然后可得解集为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.10.（二项式定理）621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.（用数字作答）解析：20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231661kk k k kk T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1233k -=，解得3k =，所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3620C =.11.（数列）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =______________.解析：21n -.设公差为d （0d >），则有()21214d d +=+-，解得2d =，所以21n a n =-. 12.曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________.解析：210x y -+=.21|3112x y ='=⨯-=，所以切线方程为()321y x -=-，即210x y -+=.13.（算法）执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为______.解析：8.第一次循环，()11221s =⨯⨯=，4i =，2k =；第二次循环，()12442s =⨯⨯=，6i =，3k =；第三次循环，()14683s =⨯⨯=，8i =，4k =.此时退出循环，输出s 的值为8.（二）选做题（14—15题）线1C 和14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，曲2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨⎪⎩t 为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.解析：()1,1.法1：曲线1C 的普通方程是2y x =（0y ≥），曲线2C 的普通方程是222x y +=，联立解得11x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标为()1,1.法2：联立t θθ⎧=⎪22sin θθ=，即22cos 20θθ-=，解得cos θ=cos θ=（舍去），所以11t =⎧⎪，交点坐标为()1,1.15.（几何证明选讲）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足30ABC ∠=︒，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA =__________.连接OA ，则60AOC ∠=︒，90OAP ∠=︒，因为1OA =，所以PA =三、解答题16.（三角函数）（本小题满分12分）已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0ω>x ∈R ）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()cos αβ+的值.解析：（Ⅰ）210T ππω==，所以15ω=.（Ⅱ）515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3sin 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4c 1s 5α，15sin 17β=，所以()4831513co s co s c o s s in s i51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-.17.（概率统计）（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.（Ⅰ）求图中x 的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中数学期望.成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的解析：（Ⅰ）由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=，解得0.018x =.（Ⅱ）分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P C ξ====，()113921227916622C C P C ξ====，()20392123126622C C P C ξ====，所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==.18.（立体几何）（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .（Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值.解析：（Ⅰ）因为PC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，所以PC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥.而PC PA P = ，PC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BD ⊥平面PAC ，而AC ⊂平面PAC ，所以BD AC ⊥，而ABCD 为矩形，所以ABCD 为正方形，于是2AB AD ==.z 轴，建立法1：以A 点为原点，AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、空间直角坐标系A BDP -.则()0,0,1P 、()2,2,0C 、()2,0,0B 、()0,2,0D ，于是()0,2,0BC = ，()2,0,1PB =-.设平面PBC 的一个法向量为=1n (),,x y z ，则0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ，从而2020y x z =⎧⎨-=⎩，令1x =，得()1,0,2=1n .而平面PAC 的一个法向量为=2n ()2,2,0BD =- .所以二面角B PC A--的余弦值为cos ,⋅<>==121212n n n n n n ，于是二面角B P C --的正切值为3.法2：设AC 与BD 交于点O ，连接OE .因为PC ⊥平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，BE ⊂平面BDE ，所以PC OE ⊥，PC BE ⊥，于是O E ∠就是二面角B PC A --的平面角.又因为BD ⊥平面PAC ，OE ⊂平面PAC ，所以OEB ∆是直角三角形.由OEC ∆∽PAC ∆可得OE PAOC PC=，而2A B A D ==，所以AC =OC =1PA =，所以3PC =，于是13PA OE OC PC =⨯=而OB =于是二面角B PC A --的正切值为3OB OE=.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，n ∈*N ，且1a 、25a +、3a 成等差数列. （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< . 解析：（Ⅰ）由()()12123213232725a a a a a a a a ⎧=-⎪+=-⎨⎪+=+⎩，解得11a =.（Ⅱ）由11221n n n S a ++=-+可得1221n n n S a -=-+（2n ≥），两式相减，可得122n n n n a a a +=--，即132n n n a a +=+，即()11232n n n n a a +++=+，所以数列{}2n n a +（2n ≥）是一个以24a +为首项，3为公比的等比数列.由1223a a =-可得，25a =，所以2293n n n a -+=⨯，即32n n n a =-（2n ≥），当1n =时，11a =，也满足该式子，所以数列{}n a 的通项公式是32n n n a =-.（Ⅲ）因为1113323222n n n n n ----=⋅≥⋅=，所以1323n n n --≥，所以1113n n a -≤，于是112111111131331113323213nnn n a a a -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+++≤+++==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- .点评：上述证法实质上是证明了一个加强命题1211131123nn a a a ⎡⎤⎛⎫+++≤-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，该加强命题的思考过程如下.考虑构造一个公比为q 的等比数列{}n b ，其前n 项和为()111n n b q T q-=-，希望能得到()1121111312nn b q a a a q -+++≤<- ，考虑到()11111n b q b q q-<--，所以令1312b q =-即可.由n a 的通项公式的形式可大胆尝试令13q =，则11b =，于是113n n b -=，此时只需证明1113n n n b a -≤=就可以了.当然，q 的选取并不唯一，也可令12q =，此时134b =，132n n b +=，与选取13q =不同的地方在于，当1n =时，1n nb a >，当2n ≥时，1n n b a <，所以此时我们不能从第一项就开始放缩，应该保留前几项，之后的再放缩，下面给出其证法.当1n =时，11312a =<；当2n =时，121113152a a +=+<；当3n =时，12311111315192a a a ++=++<. 当4n ≥时，1n nb a <，所以 31231132211111113311151951916212n n a a a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++<+++<+++<- . 综上所述，命题获证.下面再给出1211132n a a a +++< 的两个证法. 法1：（数学归纳法） ①当1n =时，左边111a ==，右边32=，命题成立. ②假设当n k =（2k ≥，k ∈N ）时成立，即113322ki ii =<-∑成立.为了证明当1n k =+时命题也成立，我们首先证明不等式：1111132332i i i i++<⋅--（1i ≥，i ∈N ）. 要证1111132332i i i i++<⋅--，只需证1111132332i i i i +++<--⋅，只需证11132332i i i i +++->-⋅，只需证1232i i +->-⋅，只需证23->-，该式子明显成立，所以1111132332i i i i++<⋅--. 于是当1n k =+时，111211111113311323232332322k k ki ii i i i i i i ++====+<+<+⨯=----∑∑∑，所以命题在1n k =+时也成立.综合①②，由数学归纳法可得，对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< . 备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，其实这是一个错误的认识. 法2：（裂项相消法）（南海中学钱耀周提供） 当1n =时，11312a =<显然成立.当2n =时，121113152a a +=+<显然成立. 当3n ≥时，()32122nn n n n a =-=+-12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-()12211221222221n n n n n n C C C C n n --=+⋅+⋅++⋅>⋅=- ，又因为()252221a =>⨯⨯-，所以()21n a n n >-（2n ≥），所以()111112121n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭（2n ≥），所以 123111111111111311112234122n a a a a n n n ⎛⎫⎛⎫++++<+-+-++-=+-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ . 综上所述，命题获证.20.（解析几何）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.解析：（Ⅰ）因为e =，所以2223c a =，于是223a b =.设椭圆C 上任一点(),P x y ，则()()2222222222122443y PQ x y a y y y b b ⎛⎫=+-=-+-=--++ ⎪⎝⎭（b y b -≤≤）.当01b <<时，2PQ 在y b =-时取到最大值，且最大值为244b b ++，由2449b b ++=解得1b =，与假设01b <<不符合，舍去.当1b ≥时，2PQ 在1y =-时取到最大值，且最大值为236b +，由2369b +=解得21b =.于是23a =，椭圆C 的方程是2213x y +=. （Ⅱ）圆心到直线l 的距离为d =，弦长AB =，所以O A B ∆的面积为12S A B d =⋅=，于是()2222211124S d d d ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.而(),M m n 是椭圆上的点，所以2213m n +=，即2233m n =-，于是22221132d m n n==+-，而11n -≤≤，所以201n ≤≤，21323n ≤-≤，所以2113d ≤≤，于是当212d =时，2S 取到最大值14，此时S 取到最大值12，此时212n =，232m =.综上所述，椭圆上存在四个点⎝⎭、⎛ ⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭，使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大，且最大值为12. 点评：此题与2012年南海区高三8月摸底考试的试题相似度极高.（2012年南海区高三8月摸底考试）已知椭圆C 的两焦点为()11,0F -、()21,0F ，并且经过点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O ：221x y +=，直线l ：1mx ny +=，证明：当点(),P m n 在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.21.（不等式、导数）（本小题满分14分）设1a <，集合{}0A x R x =∈>，(){}223160B x R x a x a =∈-++>，D A B = . （Ⅰ）求集合D （用区间表示）；（Ⅱ）求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 解析：（Ⅰ）考虑不等式()223160x a x a -++>的解.因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦，且1a <，所以可分以下三种情况： ①当113a <<时，0∆<，此时B =R ，()0,D A ==+∞.②当13a =时，0∆=，此时{}1B x x =≠，()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时，0∆>，此时()223160x a x a -++=有两根，设为1x 、2x ，且12x x <，则1x =2x ={}12B x x x x x =<>或.当103a <<时，()123102x x a +=+>，1230x x a =>，所以210x x >>，此时()()120,,D x x =+∞ ；当0a ≤时，1230x x a =≤，所以10x ≤，20x >，此时()2,D x =+∞.综上所述，当113a <<时，()0,D A ==+∞；当13a =时，()()0,11,D =+∞ ；当103a <<时，()()120,,D x x =+∞ ；当0a ≤时，()2,D x =+∞.其中11x -，2x =（Ⅱ）()()26616f x x a x a '=-++，令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <，所以()0f x '=有两根1m a =和21m =，且12m m <.①当11a <<时，()0,D A ==+∞，此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =，列表可得所以()f x 在D 内有极大值点1，极小值点a . ②当1a =时，()()0,11,D =+∞ ，此时()0f x '=在D 内只有一根11m a ==，列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点. ③当103a <<时，()()120,,D x x =+∞ ，此时1201a x x <<<<（可用分析法证明），于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =，列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点.④当0a ≤时，()2,D x =+∞，此时21x >，于是()f x '在D 内恒大于0，()f x 在D 内没有极值点. 综上所述，当113a <<时，()f x 在D 内有极大值点1，极小值点a ；当103a <≤时，()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点.当0a ≤时，()f x 在D 内没有极值点.。
2012年广东省高考数学试卷(理科)及详解
2012年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•广东）设i是虚数单位，则复数=（）A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i2．（5分）（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M=（）A．U B．{1，3，5} C．{3，5，6} D．{2，4，6}3．（5分）（2012•广东）若向量，向量，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）4．（5分）（2012•广东）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=ln（x+2）B．C．D．5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3D．﹣16．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．12πB．45πC．57πD．81π7．（5分）（2012•广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义•=．若平面向量，满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，），且•和•都在集合{|n∈Z}中，则•=（）A．B．1C．D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）9．（5分）（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．10．（5分）（2012•广东）中x3的系数为_________．（用数字作答）11．（5分）（2012•广东）已知递增的等差数列{a n}满足a1=1，a3=a22﹣4，则a n=_________．12．（5分）（2012•广东）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为_________．13．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为_________．14．（5分）（2012•广东）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为_________．15．（2012•广东）（几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与O C 的延长线交于点P，则图PA=_________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2012•广东）已知函数（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．（1）求ω的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．17．（13分）（2012•广东）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E 在线段PC 上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．19．（14分）（2012•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，满足，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2012•广东）设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．2012年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•广东）设i是虚数单位，则复数=（）A．6+5i B．6﹣5i C．﹣6+5i D．﹣6﹣5i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把的分子分母同时乘以i，得到，利用虚数单位的性质，得，由此能求出结果．解答：解：===﹣6﹣5i．故选D．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）（2012•广东）设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M=（）A．U B．{1，3，5} C．{3，5，6} D．{2，4，6}考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：直接利用补集的定义求出C U M．解答：解：∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M={3，5，6}，故选C．点评：本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题．3．（5分）（2012•广东）若向量，向量，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题．分析：由向量，向量，知，再由，能求出结果．解答：解：∵向量，向量，∴，∴=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3）=（﹣2，﹣4）．故选A．点评：本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真解答，仔细运算．4．（5分）（2012•广东）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=ln（x+2）B．C．D．考点：对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的判断与证明．专题：计算题．分析：利用对数函数的图象和性质可判断A正确；利用幂函数的图象和性质可判断B错误；利用指数函数的图象和性质可判断C正确；利用“对勾”函数的图象和性质可判断D的单调性解答：解：A，y=ln（x+2）在（﹣2，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）上为增函数，A正确；B，在[﹣1，+∞）上为减函数；排除BC，在R上为减函数；排除CD，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，排除D故选A点评：本题主要考查了常见函数的图象和性质，特别是它们的单调性的判断，简单复合函数的单调性，属基础题5．（5分）（2012•广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．12 B．11 C．3D．﹣1考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先画出线性约束条件表示的可行域，在将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值解答：解：画出可行域如图阴影部分，由得C（3，2）目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大，z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11故选B点评：本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题6．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．12πB．45πC．57πD．81π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由题设知，组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到正确选项解答：解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱故它的体积是5×π×32+π×32×=57π故选C点评：本题考查三视图还原几何体及求组合体的体积，解题的关键是熟练记忆相关公式及由三视图得出几何体的长宽高等数据，且能根据几何体的几何特征选择恰当的公式进行求体积的运算，7．（5分）（2012•广东）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；压轴题．分析：先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数n，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求解答：解：个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有=45记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为0”为事件A，则A包含的结果：10，30，50，70，90共5个由古典概率的求解公式可得，P（A）=故选D点评：本题主要考查了古典概率的求解公式的应用，解题的关键是灵活利用简单的排列、组合的知识求解基本事件的个数8．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义•=．若平面向量，满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，），且•和•都在集合{|n∈Z}中，则•=（）A．B．1C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：由题意可得•==，同理可得•==，故有n≥m且m、n∈z．再由cos2θ=，与的夹角θ∈（0，），可得cos2θ∈（，1），即∈（，1），由此求得n=3，m=1，从而得到•==的值．解答：解：由题意可得•====．同理可得•====．由于||≥||＞0，∴n≥m 且m、n∈z．∴cos2θ=．再由与的夹角θ∈（0，），可得cos2θ∈（，1），即∈（，1）．故有n=3，m=1，∴•==，故选C．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到n≥m 且m、n∈z，且∈（，1），是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）9．（5分）（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为．考点：绝对值不等式的解法．不等式左边变形为分段函数的形式，然后再分三段解不等式，将每一段的不等式的解集并起来即可得到所求不等式的解集解答：解：∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为点评：本题考查绝对值不等式的解法，其常用解题策略即将其变为分段函数，分段求解不等式．10．（5分）（2012•广东）中x3的系数为20．（用数字作答）考点：二项式定理．出二项式的通项，再由通项确定出x3是展开式中的第几项，从而得出其系数解答：解：由题意，的展开式的通项公式是Tr+1==x12﹣3r令12﹣3r=3得r=3所以中x3的系数为=20故答案为20点评：本题考查二项式定理的通项，属于二项式考查中的常考题型，解答的关键是熟练掌握二项式的通项公式11．（5分）（2012•广东）已知递增的等差数列{a n}满足a1=1，a3=a22﹣4，则a n=2n﹣1．考点：等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：由题意，设公差为d，代入，直接解出公式d，再由等差数列的通项公式求出通项即可得到答案解答：解：由于等差数列{a n}满足a1=1，，令公差为d所以1+2d=（1+d）2﹣4，解得d=±2又递增的等差数列{a n}，可得d=2所以a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1故答案为2n﹣1点评：本题考查等差数列的通项公式，解题的关键是利用公式建立方程求出参数，需要熟练记忆公式．12．（5分）（2012•广东）曲线y=x3﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为2x﹣y+1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可．解答：解：y′=3x2﹣1令x=1得切线斜率2所以切线方程为y﹣3=2（x﹣1）即2x﹣y+1=0故答案为：2x﹣y+1=0点评：本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题．13．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为8．考点：循环结构．专题：阅读型．分析：由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i＜8，即i=2，4，6模拟程序的运行结果，即可得到输出的s值．解答：解：当i=2，k=1时，s=2，；当i=4，k=2时，s=（2×4）=4；当i=6，k=3时，s=（4×6）=8；当i=8，k=4时，不满足条件“i＜8”，退出循环，则输出的s=8故答案为：8点评：本题主要考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，同时考查了运算求解能力，属于基础题．14．（5分）（2012•广东）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为（1，1）．考点：抛物线的参数方程；圆的参数方程．专题：压轴题．分析：把曲线C1与C2的参数方程分别化为普通方程，解出对应的方程组的解，即得曲线C1与C2的交点坐标．解答：解：在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的普通方程分别为y2=x，x2+y2=2．解方程组可得，故曲线C1与C2的交点坐标为（1，1），故答案为（1，1）．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点坐标，属于中档题．15．（2012•广东）（几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与O C 的延长线交于点P，则图PA=．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：连接OA，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠AOC=60°．因为直线PA与圆O相切于点A，且OA是半径，得到△PAO是直角三角形，最后利用三角函数在直角三角形中的定义，结合题中数据可得PA=OAtan60°=．解答：解：连接OA，∵圆O的圆周角∠ABC对弧AC，且∠ABC=30°，∴圆心角∠AOC=60°．又∵直线PA与圆O相切于点A，且OA是半径，∴OA⊥PA，∴Rt△PAO中，OA=1，∠AOC=60°，∴PA=OAtan60°=故答案为：点评：本题给出圆周角的度数和圆的半径，求圆的切线长，着重考查了圆周角定理和圆的切线的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2012•广东）已知函数（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．（1）求ω的值；（2）设，，，求cos（α+β）的值．考点：两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：（1）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式ω==解出参数ω的值；（2）由题设条件，可先对，与进行化简，求出α与β两角的函数值，再由作弦的和角公式求出cos（α+β）的值．解答：解：（1）由题意，函数（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π所以ω==，即所以（2）因为，，分别代入得及∵∴∴点评：本题考查了三角函数的周期公式及两角和与差的余弦函数，同角三角函数的基本关系，属于三角函数中有一定综合性的题，属于成熟题型，计算题．17．（13分）（2012•广东）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）不低于8（0分）的学生有12人，9（0分）以上的学生有3人，则随机变量ξ的可能取值有0，1，2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而可求出数学期望．解答：解：（1）由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018（2）由题意知道：不低于8（0分）的学生有12人，9（0分）以上的学生有3人随机变量ξ的可能取值有0，1，2∴点评：本题主要考查了频率分布直方图，以及古典概型的概率公式和离散型随机变量的数学期望，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．18．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E 在线段PC 上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题；数形结合．分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD∵PC⊥平面BDE∴PC⊥BD，又PA∩PC=P∴BD⊥平面PAC（2）设AC与BD交点为O，连OE∵PC⊥平面BDE∴PC⊥OE又∵BO⊥平面PAC∴PC⊥BO∴PC⊥平面BOE∴PC⊥BE∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角∵BD⊥平面PAC∴BD⊥AC∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3∴OC=在△PAC∽△OEC中，∴∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3点评：本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握19．（14分）（2012•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，满足，且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有．考点：数列与不等式的综合；等差数列的性质；数列递推式．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（1）在2S n=a n+1﹣2n+1+1中，令分别令n=1，2，可求得a2=2a1+3，a3=6a1+13，又a1，a2+5，a3成等差数列，从而可求得a1；（2）由2S n=a n+1﹣2n+1+1，得a n+2=3a n+1+2n+1①，a n+1=3a n+2n②，由①②可知{a n+2n}为首项是3，3为公比的等比数列，从而可求a n；（3）（法一），由a n=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1可得≤，累加后利用等比数列的求和公式可证得结论；（法二）由a n+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2a n可得，＜•，于是当n≥2时，＜•，＜•，，…，＜•，累乘得：＜•，从而可证得+++…+＜．解答：解：（1）在2S n=a n+1﹣2n+1+1中，令n=1得：2S1=a2﹣22+1，令n=2得：2S2=a3﹣23+1，解得：a2=2a1+3，a3=6a1+13又2（a2+5）=a1+a3解得a1=1（2）由2S n=a n+1﹣2n+1+1，得a n+2=3a n+1+2n+1，又a1=1，a2=5也满足a2=3a1+21，所以a n+1=3a n+2n对n∈N*成立∴a n+1+2n+1=3（a n+2n），又a1=1，a1+21=3，∴a n+2n=3n，∴a n=3n﹣2n；（3）（法一）∵a n=3n﹣2n=（3﹣2）（3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1）≥3n﹣1∴≤，∴+++…+≤1++ +…+=＜；（法二）∵a n+1=3n+1﹣2n+1＞2×3n﹣2n+1=2a n，∴＜•，，当n≥2时，＜•，＜•，，…＜•，累乘得：＜•，∴+++…+≤1++×+…+×＜＜．点评：本题考查数列与不等式的综合，考查数列递推式，着重考查等比数列的求和，着重考查放缩法的应用，综合性强，运算量大，属于难题．20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．考点：圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2，求出椭圆上的点到点Q的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1，求出|AB|，点O到直线l距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M的坐标．解答：解：（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2椭圆上的点到点Q的距离=①当﹣b≤﹣1时，即b≥1，得b=1②当﹣b＞﹣1时，即b＜1，得b=1（舍）∴b=1∴椭圆方程为（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1∵|AB|=，点O到直线l 距离∴=∵m2+n2＞1∴0＜＜1，∴当且仅当，即m2+n2=2＞1时，S△AOB取最大值，又∵解得：所以点M的坐标为或或或，△AOB的面积为．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的求解，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．21．（14分）（2012•广东）设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．考点：利用导数研究函数的极值；交集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据方程2x2﹣3（1+a）x+6a=0的判别式讨论a的范围，求出相应D即可；（2）由f'（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=0得x=1，a，然后根据（1）中讨论的a的取值范围分别求出函数极值即可．解答：解：（1）记h（x）=2x2﹣3（1+a）x+6a（a＜1）△=9（1+a）2﹣48a=（3a﹣1）（3a﹣9）当△＜0，即，D=（0，+∞）当，当a≤0，（2）由f'（x）=6x2﹣6（1+a）x+6a=0得x=1，a①当，f（x）在D内有一个极大值点a，有一个极小值点②当，∵h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0h（a）=2a2﹣3（1+a）a+6a=3a﹣a2＞0∴1∉D，a∈D∴f（x）在D内有一个极大值点a③当a≤0，则a∉D又∵h（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1＜0∴f（x）在D内有无极值点点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了计算能力和分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2012高考数学理(广东卷)解析
功，对于平时只重难、偏、怪题的学生来说，并不是好事，虽然题难度不大，但要把分数拿到也非易事，对于数学复习来说，无疑释放了一个重要信息——就是基本功扎实是非常重要的。
也就是不管高考题千变万变，我们的复习要以不变应万变，“考点和知识考查是不变的”。
5． 中间层面高兴，尖优生欲哭无泪。
整卷由于只顾考生的得分率和平均分，迎合社会的好评，因而少了区分度较高的题，中间学生来说是该大欢喜，但对于高层学生来说就毫无优势。
2012年广东省理科数学详细答案一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 设i 为虚数单位，则复数56i i-=A 6+5iB 6-5iC -6+5iD -6-5i 解：22565665i i i i ii--=-=-+，故选C2 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则C M = A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6} 选C3 若向量BA=（2,3），C A =（4,7），则BC = A （-2,-4） B (3,4) C (6,10 D (-6,-10)解：(2,3)(4,7)(2,4)BC BA AC =+=-=--，故选 A4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A.y=ln （x+2）C.y=（12）x D.y=x+1x解：A5.已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z=3x+y的最大值为 A.12 B.11 C.3 D.-1解：画约束区域如右，令z=0得3y x =-，化目标函数为斜截式方程：3y x z =-+得，当3,2x y ==时m ax 11z =，故选B【评】1-5题是送分题，确是宽和仁厚的题。
6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为xBA ．12π B.45π C.57π D.81π解：几何体直观图如右，几何体由一个圆柱和一个同底的圆锥构成。
(理科)(大纲版)2012年全国统一高考数学试卷答案与解析
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2014•大庆二模）复数=（）的分子分母都乘以分母的共轭复数，得=或．C D．轴上，且椭圆的方程为4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=2，，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的C DEC=×××BD=2BE=DE==2×=2×h=5．（5分）（2014•重庆三模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为．C D．=∴==6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）．C D．，进而可求，从而可求与解：∵•=0∵||=1||=2AB=∴∴∴7．（5分）（2014•宜春模拟）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）D．=，两边平方得：=﹣，）×8．（5分）（2014•闸北区三模）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=．C D．，==9．（5分）（2014•湖北）已知x=lnπ，y=log52，，则（），＞，即可得到答案．5=，=＞，即（311．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的CG=DH=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1．解：作出不等式组14．（5分）（2014•武汉模拟）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．﹣cosx cosx=2sinx cosx﹣﹣＜，=，x=．故答案为：）15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56．解：由题意可得，此时系数为16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．=，，，∵∴（）﹣++=|==|===＜，=所成角的余弦值为三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．，sinAsinC=①sinC=18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．，（2），﹣∴2，（，（）∴=﹣=0•=0），（的法向量为，则，=，则，﹣），∴•﹣b=∴，，（﹣，﹣＜，==19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．1，根据120．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．，构造函数）x；②≤﹣时，∵，即x时，有时，，当时，≤≤21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．，到该切线的距离为，建立方程，求得，的斜率×=r=|MA|=到该切线的距离为∴﹣﹣﹣的距离为22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．的方程为时，可得，可得，可得是以﹣为首项，的方程为时，∴的方程为时，∴，∴，可得，∴∴∴是以﹣为首项，∴∴∴。
2012年广东高考试题(理数,word解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求做大的答案无效。
4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、 考生必须保持答题卡得整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设i 为虚数单位，则复数56ii-=( )()A 65i + ()B 65i - ()C i -6+5()D i -6-5【解析】选D 依题意：256(56)65i i ii i i --==--，故选D . 2．设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,4}U M ==；则U C M =( )()A U ()B {1,3,5} ()C {,,}356 ()D {,,}246【解析】选C U C M ={,,}3563. 若向量(2,3),(4,7)BA CA ==；则BC =( )()A (2,4)-- ()B (2,4) ()C (,)610 ()D (,)-6-10【解析】选A (2,4)BC BA CA =-=--4. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )()A ln(2)y x =+ ()B y =()C ()x y 1=2 ()D y x x1=+【解析】选A ln(2)y x =+区间(0,)+∞上为增函数，y =(0,)+∞上为减函数 ()xy 1=2区间(0,)+∞上为减函数，y x x1=+区间(1,)+∞上为增函数5. 已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )()A 12 ()B 11 ()C 3 ()D -1【解析】选B 约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：53(2,2),(3,2),(,)22A B C则3[8,11]z x y =+∈6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为( ) ()A 12π ()B 45π ()C π57 ()D π81 【解析】选C 几何体是圆柱与圆锥叠加而成它的体积为221353573V πππ=⨯⨯+⨯=7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个， 其个位数为0的概率是( )()A 49 ()B 13 ()C 29()D 19【解析】选D①个位数为1,3,5,7,9时，十位数为2,4,6,8，个位数为0,2,4,6,8时，十位数为1,3,5,7,9，共45个 ②个位数为0时，十位数为1,3,5,7,9，共5个别个位数为0的概率是51459=8. .对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ=；若平面向量,a b 满足0a b ≥>， a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中，则a b =( )()A 12 ()B 1 ()C 32()D 52【解析】选C21cos 0,cos 0()()cos (,1)2a ba b b a a b b a baθθθ=>=>⇒⨯=∈,a b b a 都在集合}2nn Z ⎧∈⎨⎩中得：*12123()()(,)42n n a b b a n n N a b ⨯=∈⇒=(一）必做题（9-13题）9. 不等式21x x +-≤的解集为_____【解析】解集为_____1(,]2-∞-原不等式⇔2(2)1x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩或2021x x x -<≤⎧⎨++≤⎩或021x x x >⎧⎨+-≤⎩,解得12x ≤-,10. 261()x x+的展开式中3x 的系数为______。
2012年广东省高考数学试题(理科) 及参考答案
绝密★启用前 试卷类型：A2012年普通高等学校招生全国统一试卷（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：柱体体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高。
锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 是虚数单位，则复数56i i-=A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --2．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}M =，则U C M =A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量()2,3BA = ，向量()4,7CA = ，则BC =A ．()2,4--B ．()3,4C ．()6,10D ．()6,10-- 4．下列函数，在区间()0,+∞上为增函数的是A ．()ln 2y x =+ B．y = C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x =+5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1-6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A ．49B ．13C ．29D ．198．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅ ．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合2nn Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ．12B ．1C ．32D ．52二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9~ 13题）9．不等式21x x +-≤的解集为 ．10．621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中3x 的系数为 ．（用数字作答）11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a = ．12．曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ．13．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出的s 的值为 ．图2图1正视图俯视图侧视图（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 与2C 的参数方程分别为x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的的交点坐标为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 中的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足30A B C ∠=︒，过 点A 作圆O 的切线与 O C 的延长线交于点P ，则PA = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（其中0,x R ω>∈）的最小正周期为10π．（1）求ω的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()cos αβ+的值．17．（本小题共13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100．（1）求图中x 的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ图3图4x18．（本小题共13分）如图5所示，在四棱锥P A B C D -中，底面ABCD 为矩形， P A ⊥ 平面ABCD ，点 E 在线段 PC 上，P C ⊥平面BDE ．（1）证明：B D ⊥平面PAC ；（2）若1,2PA AD ==，求二面角B P C A --的正切值．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1*1221,n n n S a n N ++=-+∈，且123,5,a a a +成等差数列． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有123111132na a a a ++++<．20．（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆:C 22221 (0)x y a b ab+=>>的离心率e =，且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点A 、B ，且O A B ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的O A B ∆的面积；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）设1a <，集合{}0A x R x =∈>，(){}223160B x R x a x a =∈-++>，D A B = ．（1）求集合D （用区间表示）；（2）求函数()32()2316f x x a x ax =-++在D 内的极值点．图5参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
2012年高考数学理解析(全国大纲卷)word解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学解析（必修+选修Ⅱ）【名师简评】该套试卷整体上来说与往年相比，比较平稳，试题中没有偏题和怪题，在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。
题目没有很多汉字的试题，都是比较简约型的。
但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第12题，填空题的16题，解答题第22题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是出来不是那么很容易。
整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答体现了双基，考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。
选择题1．复数131ii -+=+A ．2i +B ．2i -C ．12i +D ．12i -答案C【命题意图】本试题主要考查了复数的四则运算法则。
通过利用除法运算来求解。
【解析】因为13(13)(1)24121(1)(1)2i i i ii i i i -+-+-+===+++-2．已知集合{{},1,,A B m A B A==⋃=，则m =A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3答案B【命题意图】本试题主要考查了集合的概念和集合的并集运算，集合的关系的运用，元素与集合的关系的综合运用，同时考查了分类讨论思想。
【解析】A B A ⋃= B A ∴⊂，{{},1,A B m ==m A ∴∈，故m =3m =，解得0m =或3m =或1m =，又根据集合元素的互异性1m ≠，所以0m =或3m =。
3．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为A ．2211612x y +=B ．221168x y +=C ．22184x y +=D ．221124x y +=答案C【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。
通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。
【解析】因为242c c =⇔=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县22448a a c c =⇔==，所以222844b a c =-=-=。
2012年全国大纲高考数学理科试卷(带详解)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（大纲卷）第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、 选择题.1．复数13i1i-+=+ （ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出两个复数的分式形式，利用复数的四则运算法则运算. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2-+--++===+++-.2．已知集合{{},1,A B m ==,,A B A = 则m = （ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3 【测量目标】集合的含义和基本运算.【考查方式】给出两个集合，利用集合的并集运算、元素与集合的关系求元素. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】,A B A = B A ∴⊂，{{},1,A B m ==m A ∴∈，故m =3m =，解得0m =或3m =或1m =，又根据集合元素的互异性1m ≠，所以0m =或3m =. 3．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （ ）A ．2211612x y += B ．221168x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 【测量目标】椭圆的标准方程和简单几何性质.【考查方式】给出焦距，准线方程，利用椭圆的简单几何性质求方程. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】因为242,c c =⇔=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上且22448a a c c=⇔==，，所以222844b a c =-=-=.故选答案C. 4．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12,AB CC E ==为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 （ ） A ．2 BCD ．1 【测量目标】线面距离.【考查方式】将线面的距离，转化为点到面的距离求解. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】因为底面的边长为2，高为且连接,AC BD ，得到交点为O ，连接EO ，1EO AC ，则点1C 到平面BED 的距离等于C 到平面BED 的距离，过点C 作CH OE ⊥，则CH 即为所求，在三角形OCE 中，利用等面积法，可得1CH =，故选答案D.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（ ）A ．100101 B ．99101C ．99100D ．101100 【测量目标】等差数列的通项公式和前n 项和.【考查方式】给出某一项和前5项的和，利用等差数列的通项公式和前n 项和的公式，裂项求和.【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由55,5,15n S a S ==可得：1114515415152n a d a a n d a d +=⎧=⎧⎪⇔⇒=⎨⎨⨯=+=⎩⎪⎩，()1111111n n a a n n n n +∴==-++，（步骤1） 10011111110011223100101101101S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（步骤2） 6．ABC △中，AB 边上的高为CD ，若0,1,2,CB CA =====a,b,a b a b 则AD =（ ）A ．1133-a b B ．2233-a b C ．3355-a b D ．4455-a b 【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】运用向量的加、减法和特殊直角三角形求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由0=a b 可得90ACB ︒∠=，故AB =5CD =，所以5AD =，故()44445555AD AB CB CA ==-=- a b ，故选答案D. 7．已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则c o s 2α= （ ）A． B．- CD【测量目标】同角三角函数的基本关系，二倍角公式.【考查方式】运用三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式求值. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】sin cos αα+=，两边平方可得121sin 2sin 233αα+=⇒=-,（步骤1）α 是第二象限角，因此sin 0,cos 0αα><，cos sin αα∴-===, ()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα∴=-=+-=（步骤2） 8．已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠= （ ）A ．14 B ．35 C ．34 D ．45【测量目标】双曲线的定义和简单几何性质，余弦定理.【考查方式】给出双曲线的方程和线段关系，利用双曲线的性质，结合余弦定理求余弦值. 【难易程度】容易 【参考答案】中等【试题解析】由题意可知，,2a b c =∴=，(步骤1) 设122,PF x PF x ==，则122PF PF x a -===故12124PF PF F F ===，(步骤2)利用余弦定理可得12cos F PF ∠=2222221212124324PF PF F F PF PF +-+-==.(步骤3)9．已知125ln π,log 2,e x y z ===，则 （ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<【测量目标】对数函数的化简及运算.【考查方式】化简所给值，采用中间值大小比较方法. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】ln π>ln e=1，551log 2log 2<=，121e 2z ==>=，故选答案D.10．已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c = （ ） A ．2-或2 B ．9-或3 C ．1-或1 D ．3-或1 【测量目标】函数图象的判断，利用导数求函数的极值. 【考查方式】已知函数图象，利用导数求值. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】因为三次函数的图象与x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图象，可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而()()()233311f x x x x '=-=-+，当1x =±时取得极值由()10f =或()10f -=可得20c -=或20c +=，即2c =±.11．将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同则不同的排列方法共有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【测量目标】排列、组合的应用.【考查方式】给出字母，利用分步计数原理计算. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，在填写第二行第一列的数有2种，一共有32212⨯⨯=.12．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==，动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为A ．16B ．14C ．12D ．10 【测量目标】反射原理与三角形相似.【考查方式】通过相似判断反射后的点落的位置，结合图象分析. 【难易程度】较难 【参考答案】B【试题解析】结合已知中的点E ,F 的位置，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可.第II 卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 13．若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩………，则3z x y =-的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，作出可行域，平移目标函数求最值. 【难易程度】容易 【参考答案】1-【试题解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点()3,0时，目标函数最大，当目标函数过点()0,1时最小为1-.14．当函数()sin 02πy x x x =<…取得最大值时，x = . 【测量目标】三角函数的定义域、值域，两角差的正弦. 【考查方式】给出三角函数及定义域求值域. 【难易程度】中等 【参考答案】5π6【试题解析】由πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫==-⎪⎝⎭,（步骤1）由ππ5π02π333x x <⇔--<剟可知π22sin 23x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭剟,（步骤2）当且仅当π3π32x -=即11π6x =时取得最小值，ππ32x -=时即5π6x =取得最大值. （步骤3）15．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为 .【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，利用二项式的通项公式求系数. 【难易程度】容易 【参考答案】56【试题解析】根据已知条件可知26C C 268n n n =⇔=+=，（步骤1）所以81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为8218C r r r T x -+=，令8225r r -=-⇔=所以所求系数为58C 56=.（步骤2）16．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 .【测量目标】异面直线所成的角，向量的数量积运算. 【考查方式】借助向量的数量积运算求异面直线所成的角. 【难易程度】较难【参考答案】6【试题解析】设该三棱柱的边长为1，依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-，则()22221111222cos603AB AB AA AB AB AA AA ︒=+=++=+=()22222111112222BC AC AA ABAC AA AB AC AA AC AB AA AB =+-=+++--=（步骤1）而()()1111AB BC AB AA AC AA AB =++-11111AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB =+-++-11111112222=+-++-=111111cos,6AB BCAB BCAB BC∴===（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．）ABC△的内角A B C、、的对边分别为a b c、、，已知()cos cos1,2A CB a c-+==，求C.【测量目标】正弦定理、两角和与差的余弦，诱导公式.【考查方式】给出关于边角的等式，利用正弦定理、两角和与差的余弦、诱导公式解三角形. 【难易程度】容易【试题解析】由()ππA B C B A C++=⇔=-+，（步骤1）由正弦定理及2a c=可得sin2sinA C=所以()()()()()() cos cos cos cosπcos cosA CB AC A C A C A C-+=-+-+=--+cos cos sin sin cos cos sin sin2sin sinA C A C A C A C A C=+-+=（步骤2）故由()cos cos1A C B-+=与sin2sinA C=可得22sin sin14sin1A C C=⇒=（步骤3）而C为三角形的内角且2a c c=>，故π2C<<，所以1sin2C=，故π6C=.（步骤4）18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）[如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=，2,PA E=是PC上的一点，2PE EC=.（1）证明：PC⊥平面BED；（2）设二面角A PB C--为90︒，求PD与平面PBC所成角的大小.第18题图【测量目标】线面垂直的判定，线面的夹角，空间直角坐标系，空间向量及其运算.【考查方式】运用空间直角坐标系，结合向量证明线面垂直，求夹角.【难易程度】中等【试题解析】设AC BD O = ,以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴建立空间直角坐标系，则())(),,A CP ，设()()()0,,0,0,,0,,,B a D a E x y z -.（Ⅰ）证明：由2PE EC =得23E ⎫⎪⎪⎝⎭，（步骤1）所以()2PC =-，2,3BE a ⎫=⎪⎪⎝⎭，()0,2,0BD a =，所以()22,033PC BE a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，()()20,2,00PC BD a =-=. 所以,PC BE PC BD ⊥⊥,所以PC ⊥平面BED ；（步骤2）（Ⅱ） 设平面PAB 的法向量为(),,x y z =n ，又())0,0,2,,0AP AB a ==-，由0,=0AP AB = n n得⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ，（步骤3）设平面PBC 的法向量为(),,x y z =m，又)(),0,BC a CP ==-，由0,0BC CP == m m，得1,⎛= ⎝m ，由于二面角A PB C --为90︒，所以0= m n，解得a =所以)2PD =-，平面PBC的法向量为(1,=-m ，（步骤4）所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为12PD PD =m m ， 所以PD 与平面PBC 所成角为π6.（步骤5）第19题图19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （2）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望.【测量目标】独立事件的概率，分布列和期望【考查方式】列出几种可能事件，结合独立事件概率公式求解，进而求期望值. 【难易程度】中等【试题解析】记i A 为事件“第i 次发球，甲胜”， i =1,2,3， 则()()()1230.6,0.6,0.4P A P A P A ===.（Ⅰ）事件“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为123123123A A A A A A A A A ++，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得：()123123123P A A A A A A A A A ++0.60.40.60.40.60.60.40.40.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 0.352=即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352. （步骤1）（Ⅱ）由题意0,1,2,3,4ξ=.()()12300.60.60.40.144P P A A A ξ===⨯⨯=；()()12312312310.40.60.40.60.40.40.60.60.60.408P P A A A A A A A A A ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；()20.352P ξ==；()()12330.40.40.60.096P P A A A ξ===⨯⨯=；（步骤2）所以0.40820.352+30.096=1.4E ξ=+⨯⨯ （步骤3） 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()[]cos ,0,πf x ax x x =+∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()1sin f x x +…，求a 的取值范围.【测量目标】利用导数判断或求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题. 【考查方式】给出函数，利用导数求函数的单调区间，结合三角函数的性质证明不等式成立.【难易程度】较难 【试题解析】()sin f x a x'=-.（Ⅰ）因为[]0,πx ∈，所以0sin 1x剟.（步骤1）当1a …时，()0f x '…，()f x 在[]0,πx ∈上为单调递增函数； 当0a …时，()0f x '…，()f x 在[]0,πx ∈上为单调递减函数； 当01a <<时，由()0f x '=得arcsin x a =或πarcsin x a =-， 由()0f x '>得0arcsin x a <剎或πarcsin πa x -<…； 由()0f x '<得arcsin πarcsin a x a <<-.所以当01a <<时()f x 在[]0,arcsin a 和[]πarcsin ,πa -上为为单调递增函数； 在[]arcsin ,πarcsin a a -上为单调递减函数. （步骤2） （Ⅱ）因为()1sin cos 1sin 1sin cos f x x ax xx ax x x +⇔++⇔+-剟?当0x =时，01sin 0cos00+-=…恒成立; 当0πx <…时，min1sin cos 1sin cos 1sin cos x xx x ax x x axx +-+-⎡⎤+-⇔⇔⎢⎥⎣⎦剟, （步骤2）令()()1sin cos 0πx xg x x x+-=<…，则()()()()22cos sin 1sin cos 1cos 1sin 1x x x x x x x x x g x x x +--+++--'==.（步骤3）又令()()()1cos 1sin 1c x x x x x =++--，则()()()()cos 1sin sin 1cos sin cos c x x x x x x x x x x '=-+++-=-+.（步骤4） 则当3π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos 0x x +>，故()0c x '<，()c x 单调递减； 当3π,π4x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin cos 0x x +<，故()0c x '…，()c x 单调递增， 所以()c x 在()0,πx ∈时有最小值3π14c ⎛⎫=⎪⎝⎭，（步骤5）而()()()0lim 10cos 001sin 010,x c x +→=++--=()()()πlim π1π10,x c x c -→==-+-< 综上可知[]0,πx ∈时，()()00c x g x '<⇒<，故()g x 在区间[]0,π单调递减，（步骤6）所以()()min2ππg x g ==⎡⎤⎣⎦故所求a 的取值范围为2πa ….（步骤7）另解：由()1sin f x x +…恒成立可得()2π1π11πf a a ⇔-⇔剟?（步骤1） 令()2sin 0π2g x x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭剟，则()2cos πg x x '=-当20,arcsinπx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2πarcsin ,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '< 又()π002g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()0g x …，即2πsin 0π2x x x ⎛⎫⎪⎝⎭剟?故当2πa …时，有()2cos πf x x x +…（步骤2） ①当π02x⎛⎫⎪⎝⎭剟时，2sin ,cos 1πx x x 剟，所以()1sin f x x +…②当ππ2x ⎛⎫⎪⎝⎭剟时，()22ππcos 1sin 1sin ππ22f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭剟综上可知故所求a 的取值范围为2πa ….（步骤3） 21．（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．） 已知抛物线()2:1C y x =+与圆()()2221:102M x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭ 有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线为同一直线l .（1）求r ；（2）设,m n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，,m n 的交点为D ，求D 到l 的距离. 【测量目标】圆锥曲线的综合应用，导数的几何意义，点到直线的距离公式.【考查方式】给出抛物线和圆的方程及两个曲线的关系，运用导数，直线的方程及点到直线的距离公式求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）设()()200,1A x x +，对()21y x =+求导得22y x '=+，故直线l 的斜率：()021k x =+，当01x =时，不合题意，所心01x ≠，（步骤1）圆心为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，MA 的斜率()2001121x k x +-'=-，由l MA ⊥知1kk '=-，即()()20001122111x x x +-+⨯=--，解得00x =，故()0,1A ，所以r MA ===.（步骤2）（2）设2(,(1))a a +为C 上一点，则在该点处的切线方程为：()()()2121y a a x a -+=+-， 即()2211y a x a =+-+.（步骤2）若该直线与圆M相切，则圆心M=22(46)0a aa --=， 求解可得0120,22a a a ===（步骤3） 抛物线C 在点()()()2,10,1,2i i a a i +=处的切线分别为,,l m n ，其方程分别为：21y x =+① ()211211y a x a =+-+② ()222211y a x a =+-+③②-③得1222a a x +==，将2x =代入②得1y =-，故()2,1D -（步骤4）所以D 到直线l 的距离为5d ==（步骤5） 22．（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．） 函数()223f x x x =--.定义数列{}n x 如下：112,n x x +=是过两点()()()4,5,,n n n P Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标. （1）证明：123n n x x +<<…；（2）求数列{}n x 的通项公式.【测量目标】不等式的证明，数列的通项公式, 函数解析式，数学归纳法的应用.【考查方式】给出函数及点，综合直线方程，函数与数列等知识求通项公式，利用数学归纳法证明不等式. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）为()244835f =--=，故点()4,5P 在函数()f x 的图象上，故由所给出的两点()()()4,5,,n n n P Q x f x ，可知，直线n PQ 斜率一定存在. （步骤1） 故有直线n PQ 的直线方程为()()5544n n f x y x x --=--，令0y =，可求得()228435544422n n n n n n x x x x x x x x x --+--=-⇔=-⇔=-++，所以1432n n n x x x ++=+； （步骤2）下面用数学归纳法证明23n x <…，当1n =时，12x =，满足123x <…， （步骤3） 假设n k =时，23k x <…成立，则当1n k =+时，1435422k k k k x x x x ++==-++， 由23425k k x x <⇔+<剟551151243,2442k k x x ⇔<⇔<-<++剟 即23k x <…也成立；（步骤4）综上可知23k x <…对任意正整数恒成立. （步骤5） 下面证明1n n x x +<，由()2211443432222n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x +--+++---=-==+++由()2231120143n n n x x x <⇒-<⇒<--+剟?，故有10n n x x +->即1n n x x +<综上可知123n n x x +<<…恒成立. （步骤6）（2）由1432n n n x x x ++=+得到该数列的一个特征方程432x x x +=+即2230x x --=，解得3x =或1x =-，∴14333322n nn n n x x x x x ++--=-=++ ①（步骤7） ()143551122n nn n n x x x x x +++--=+=++ ② 两式相除可得11331151n n n n x x x x ++--=⨯++,而1132311213x x --==-++故数列31n n x x ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以13-为首项以15为公比的等比数列.所以1311135n n n x x --⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,故()()()11195143351351n n n n x ---⨯-==-⨯+⨯+.（步骤8）。
2012年高考理科数学大纲卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共16页）数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）理科数学(必修＋选修Ⅱ)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．. 3.第Ⅰ卷共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.一、选择题1.复数-13i1i=＋＋( )A .2i ＋B .2i －C .2i 1＋D .2i 1－ 2.已知集合{1,3,}A m =,{1,}B m =,A B A =,则m =( )A .0或3B .0或3C .1或3D .1或33.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为 ( )A .2211612x y +=B .221128x y +=C .22184x y +=D .221124x y += 4.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,2AB =,122CC =,E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A .2B .3C .2D .15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a =,515S =,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为( ) A .100101B .99101C .99100D .1011006.ABC △中,AB 边的高为CD ,若CB =a ,CA =b ,0=a b ,1=|a |,2=|b |,则AD =( )A .1133－a bB .2233－a bC .3355－a b D .4455－a b7.已知α为第二象限角,3sin cos 3αα+=,则cos2α=( ) A .53-B .59-C .59D .538.已知F 1、F 2为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,122PF PF =,则 12cos F PF ∠=( ) A .14B .35C .34D .459.已知ln πx =,5log 2y =,12e z -=,则( )A .x y z <<B .z x y <<C .z y x <<D .y z x << 10.已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则c =( ) A .-2或2B .-9或3C .-1或1D .-3或111.将字母a ,a ,b ,b ,c ,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名 ______ 准考证号 ___同,则不同的排列方法共有( ) A .12种B .18种C .24种D .36种12.正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,37AE BF ==.动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( ) A .16B .14C .12D .102012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）理科数学(必修＋选修Ⅱ)第Ⅱ卷注意事项：1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答,在试．．题．卷上作答无效．．．．．．. 3.第Ⅱ卷共10小题,共90分.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上. （注意：在试．．题．卷上作答无效．．．．．．） 13.若x 、y 满足约束条件1030330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥，≤，≥，则3z x y =-的最小值为 .14.当函数sin 3cos (02π)y x x x =-<≤取得最大值时,x = .15.若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x 的系数 为 .16.三菱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,o 1160BAA CAA ∠=∠=,则异面直 线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 .三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,已知()cos cos 1,2A C B a c -+==, 求C .18.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥ 底面ABCD ,22AC =,2PA =,E 是PC 上的一点,2PE EC =.（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；（Ⅱ）设二面角A PB C --为90,求PD 与平面 PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.（Ⅰ）求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望. 20.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()cos f x ax x =+,[0,π]x ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()1sin f x x +≤,求a 的取值范围.21.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）数学试卷 第5页（共16页）数学试卷 第6页（共16页）已知抛物线2:(1)C y x =+与圆()2221:1()(0)2M x y r r -+-=>有一个公共点A ,且在A 处两曲线的切线为同一直线l .（Ⅰ）求r ； （Ⅱ）设,m n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线,m n 、的交点为D ,求D 到l 的距离.22.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 函数2()23f x x x =--,定义数列{}n x 如下：12x =,1n x +是过两点P （4,5）、(,())n n n Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标. （Ⅰ）证明：123n n x x +<<≤； （Ⅱ）求数列{}n x 的通项公式.2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）理科数学(必修＋选修Ⅱ)答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】C【解析】13i (13i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2-+-+-+===+++- 故选答案C ．【提示】把13i1i-++的分子分母都乘以分母的共轭复数，得(13i)(1i)(1i)(1i)-+-+-，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果 【考点】复数 2.【答案】B 【解析】AB A =，B A ⊆，{1,3,}A m =，{1,}B m =，m A ∈，故m m =或3m =，解得0m =，或3m =，或1m =，又根据集合元素的互异性1m ≠，所以0m =或3m =． 故选答案B ．【提示】由题设条件中本题可先由条件AB A =得出B A ⊆，由此判断出参数m 可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项 【考点】集合 3.【答案】C【解析】因为242c c =⇔=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上且22448a a c c=⇔==，所以222844b a c =-=-=． 故选答案C ．【提示】确定椭圆的焦点在x 轴上，根据焦距为4，一条准线为4x =-，求出几何量，即可求得椭圆的方程【考点】椭圆的标准方程和简单几何性质． 4.【答案】D【解析】因为底面的边长为2，高为22，且连接AC ，BD ，得到交点为O ，连接EO ，1EOAC ，则点1C 到平面BED 的距离等于C 到平面BED 的距离，过点C 作CH OE ⊥，则CH 即为所求，在三角形OCE 中，利用等面积法，可得1CH = 故选答案D ．【提示】先利用线面平行的判定定理证明直线1C A BDE ∥平面，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可 【考点】线面距离． 5.【答案】A【解析】由n S ，55a =，515S =可得：1114515415152na d a a n d a d +=⎧=⎧⎪⇔⇒=⎨⎨⨯=+=⎩⎪⎩，()1111111n n a a n n n n +==-++10011111110011223100101101101S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【提示】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求1a ，d ，进而可求n a ， 代入可得()1111111n n a a n n n n +==-++，裂项可求和 【考点】等差数列6.【答案】D【解析】由0a b =可得90ACB ︒∠=，故5AB =，用等面积法求得255CD =，所以455AD =，故()44445555AD AB CB CA a b ==-=-，故选答案D ．【提示】由题意可得，CA CB ⊥，CD AB ⊥，由射影定理可得，2AC AD AB =可求AD ，进而可求ADAB，从而可求AD 与AB 的关系，进而可求 【考点】向量 7.【答案】A【解析】3sin cos 3αα+=，两边平方可得121sin2sin233αα+=⇒=-，（步骤1）α是第二象限角，因此s i nα>，cos 0α<，2215cos sin (cos sin )133αααα-=--=-+=-，225cos2cos sin (cos sin )(cos sin )3ααααααα∴=-=+-=-．（步骤2） 【提示】由α为第二象限角，可知sin 0α>，cos 0α<，从而可求得15cos sin 3αα-=-，利用cos2(cos sin )(cos sin )ααααα∴=+-可求得cos2α 【考点】三角函数 8.【答案】C【解析】由题意可知，2a b ==，2c =，(步骤1)设12PF x =，2PF x =，则12222PF PF x a -===，故142PF =，222PF =，124F F =，(步骤2)利用余弦定理可得22222212121122(42)(22)43||24222242P P F PF F F PF F F PF P =+-+-==⨯⨯．(步骤3)【提示】根据双曲线的定义，结合122||PF PF =，利用余弦定理，即可求12cos F PF ∠的值【考点】双曲线 9.【答案】D【解析】ln π>lne=1，551log 2log 52<=，12111e 2e 4z ==>=，故选答案D ． 【提示】利用ln π>lne=1，510log 22<<，1211e 2z ->=>，即可得到答案【考点】对数函数 10.【答案】A【解析】因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求．而2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，当1x =±时取得极值由()0f x =或(1)0f -=可得20c -=或20c +=，即2c =±．【提示】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数33y x x c -=+的图像与x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c 的值【考点】函数图像的判断，利用导数求函数的极值． 11.【答案】A【解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，在填写第二行第一列的数有2种，一共有32212⨯⨯=．【提示】由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比更简洁 【考点】排列，组合的应用． 12.【答案】B【解析】结合已知中的点E ，F 的位置，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可．【提示】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可数学试卷 第9页（共16页）数学试卷 第10页（共16页）【考点】反射原理，三角形相似．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】1-【解析】利用不等式组，做出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点(3,0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0,1)时最小为1-．【提示】做出不等式组表示的平面区域，由3z x y =-可得3y x z =-，则z -表示直线30x y z --=在y 轴上的截距，截距越大z 越小，结合图形可求【考点】二元线性规划求目标函数的最值． 14.【答案】5π6【解析】由πsin 3cos 2sin 3y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，（步骤1）由ππ5π02π333x x ≤<⇔-≤-<可知π22sin 23x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，（步骤2）当且仅当π3π32x -=即11π6x =时取得最小值，ππ32x -=时即5π6x =取得最大值 【提示】利用辅助角公式将sin 3cos y x x =-化为π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(02π)x ≤<，即可求得sin 3cos y x x =-，(02π)x ≤<取得最大值时x 的值 【考点】三角函数的定义域，值域，两角差的正弦 15.【答案】56【解析】根据已知条件可知26C C 268nnn =⇔=+=，（步骤1）所以81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为8218C r rr T x -+=，令8225r r -=-⇔=所以所求系数为58C 56=．（步骤2）【提示】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n 的值，根据通项可求满足条件的系数【考点】二项式定理． 16.【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1，依题意有11AB AB AA =+，11BC AC AA AB =+-，则22221111()222cos603AB AB AA AB AB AA AA ︒=+=++=+=2222211111()2222BC AC AA AB AC AA AB AC AA AC AB AA AB =+-=+++--=而1111()()AB BC AB AA AC AA AB =++-11111AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB =+-++-11111112222=+-++-= 11111116cos ,623AB BC AB BC AB BC ∴===⨯【提示】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值即可【考点】异面直线所成的角，向量的数量积运算． 三、解答题 17.【答案】π6C =【解析】由ππ()A B C B A C ++=⇔=-+，（步骤1） 由正弦定理及2a c =可得sin 2sin A C =所以cos()cos cos()cos[π()]cos()cos()A C B A C A C A C A C -+=-+-+=--+cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C =+-+=（步骤2）故由cos()cos 1A C B -+=与sin 2sin A C = 可得22sin sin 14sin 1A C C =⇒=（步骤3） 而C 为三角形的内角且2a c c =>，故π02C <<，所以1sin 2C =，故π6C =．（步骤4）【提示】由cos()cos cos()cos()1A C B A C A C -+=--+=，可得2sin sin 1A C =，由2a c =及正弦定理可得sin 2sin A C =，联立可求C【考点】正弦定理，两角和与差的余弦，诱导公式．18.【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）π6【解析】设ACBD O =，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A -，(2,0,0)C ，(2,0,2)P -，设(0,,0)B a -，(0,,0)D a ，(,,)E x y z ．（Ⅰ）证明：由2PE EC =得22,0,33E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，（步骤1） 所以()22,0,2PC =-，22,,33BE a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,0)BD a =，所以22(22,0,2),,033PC BE a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，(22,0,2)(0,2,0)0PC BD a =-=．所以PC BE ⊥，PC BD ⊥，所以PC ⊥平面BED ；（步骤2）（Ⅱ）设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，又(0,0,2)AP =，(2,,0)AB a =-，由0n AP =，=0n AB 得21,,0n a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，（步骤3） 设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，又(2,,0)B C a =，(22,0,2)CP =-，由0m B C =0m C P =，得21,,2m a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 由于二面角A PB C --为90︒，所以0m n =，解得2a =．所以(2,2,2)PD =-，平面PBC 的法向量为(1,1,2)m =-，（步骤4）所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为12PD mPD m =，所以PD 与平面PBC 所成角为π6．（步骤5）【提示】（Ⅰ）先由已知建立空间直角坐标系，设(2,,0)D b ，从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC BE ⊥，PC DE ⊥，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（Ⅱ）先求平面PAB 的法向量，再求平面PBC 的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b 的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角 【考点】线面垂直的判定，线面的夹角，空间直角坐标系，空间向量． 19.【答案】（Ⅰ）0.352（Ⅱ）0.40820.352+30.096=1.4E ξ=+⨯⨯【解析】记i A 为事件“第i 次发球，甲胜”，1,2,3i =，则()()()1230.6,0.6,0.4P A P A P A ===． （Ⅰ）事件“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为123123123A A A A A A A A A ++，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得：123123123()P A A A A A A A A A ++0.60.40.60.40.60.60.40.40.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 0.352=即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352（步骤1） （Ⅱ）由题意0,1,2,3,4ξ=．()()12300.60.60.40.144P P A A A ξ===⨯⨯=；123123123(1)()0.40.60.40.60.40.40.60.60.60.408P P A A A A A A A A A ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(2)0.352P ξ==；123(3)()0.40.40.60.096P P A A A ξ===⨯⨯=；（步骤2）所以0.40820.352+30.096=1.4E ξ=+⨯⨯（步骤3）【提示】（Ⅰ）记i A 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，0i =，1，2；A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则01B A A A A =+，根据()()()1230.6,0.6,0.4P A P A P A ===，即可求得结论；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望。
2012年广东高考理科数学试题及答案(详解) 2
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）题目及答案参考公式：主体的体积公式V=Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。
锥体的体积公式为，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 . 设i为虚数单位，则复数56ii-=A 6+5iB 6-5iC -6+5iD -6-5i2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CuM=A .UB {1,3,5}C {3,5,6}D {2,4,6}3 若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC=A （-2,-4）B (3,4)C (6,10D (-6,-10)4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A.y=ln（x+2）（12）x D.y=x+1x5.已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为A.12B.11C.3D.-16,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A．12π B.45π C.57π D.81π7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是A. 49B.13C.29D.198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义。
若平面向量a，b满足|a|≥|b|＞0，a 与b的夹角，且a b和b a都在集合中，则A．12B.1C.32D.5216.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(一）必做题（9-13题）9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____。
10. 的展开式中x³的系数为______。
（用数字作答）11.已知递增的等差数列{an }满足a1=1，a3=22a-4，则a n=____。
12.曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为。
13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为。
（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为_______。
2012年高考数学全国卷大纲版(理科)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分为第I 卷和第II 卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回。
注意事项：1、 答题前考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上2、 第I 卷每小题选出答案后，用2 B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上3、 第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的，答案无效。
4、 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤。
第I 卷（60分）一、选择题1、 复数=++-ii 131 （A ）i +2 （B ）i -2 （C ）i 21+ （D ）i 21-2、已知集合{}{}m B m A ,1,,3,1==，A B A = ，则=m（A ）0或3 （B ）1或3 （C ）1或3 （D ）1或33、椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4-=x ，则该椭圆的方程为 (A) 1121622=+y x (B) 181222=+y x (C) 14822=+y x (D) 141222=+y x 4、已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中，22,21==CC AB ，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为(A)2 (B) 3(C) 2(D)15、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，15,555==S a ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前100项和为 (A)101100 (B) 10199 (C) 10099 (D) 1001016、在ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若210,,===⋅==，则= (A)3131- (B) 3232- (C) 5353- (D) 5454- 7、已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则=α2cos (A)35- (B) 95- (C) 95 (D) 35 8、已知21,F F 为双曲线2:22=-y x C 的左、右两个焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则=∠21cos PF F (A)41 (B)53 (C)43 (D)54 9、已知215,2log ,ln -===e z y x π，则(A)z y x << (B)y x z << (C)x y z << (D)x z y <<10、已知函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则=c(A)2-或2 (B)9-或3 (C)1-或1 (D)3-或111、将字母c c b b a a ,,,,,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排法共有(A)12种 (B)18种 (C)24种 (D)36种12、正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，73==BF AE 。
2012年广东卷(理科数学)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（广东卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，则复数56ii-=A.65i +B.65i -C.65i -+D.65i -- 2.设集合{}1,2,3,4,5,6U =,，{}1,2,4M =，则U C M =A.UB.{}1,3,5C.{}3,5,6D.{}2,4,63.若向量(23)BA =u u u r ，，(4,)CA =u u u r7，则BC =u u u r A.(2,4)-- B.(3,4) C.(6,10) D.(6,10)-- 4.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A.ln(2)y x =+B.y =1()2x y = D.1y x x=+5.已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1- 6,某几何体的三视图如图1A ．12π B.45π C.57π D.81π正视图 侧视图俯视图7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A.49 B.13 C.29 D.198.对任意两个非零的平面向量αu r 和βu r ，定义αβαβββ⋅=⋅u r u ru r u r u r u r o .若平面向量a r ，b r 满 足0a b ≥>r r ，a r 与b r 的夹角(0,)4πθ∈，且a b ⋅r r 和b b ⋅r r 都在集合{}2nn N ∈中，则a b =r r oA ．12 B.1 C.32 D.52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）9.不等式21x x +-≤的解集为 .10.261()x x+的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答）11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a = . 12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 .13.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 .（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，满足30ABC ∠=o ，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()2cos()6f x x πω=+，（其中0ω>，x R ∈）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α，[0,]2πβ∈，56(5)35f πα+=-，516(5)617f πβ-=，求cos()αβ+的值.17.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]. （Ⅰ）求图中x 的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望.18.（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点EPx在线段PC 上，PC ⊥平面BDE . （Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，n N *∈，且1a ，25a +，3a 成等差数列. （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式. （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<L . 20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =，且椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A ，B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分14分）设1a <，集合{}0A x R x =∈>，{}223(1)60B x R x a x a =∈-++>，D A B =I （Ⅰ）求集合D （用区间表示）（Ⅱ）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.BACDPE。
广东省2012年高考理科综合考试说明
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科综合考试大纲的说明（广东卷）Ⅰ.命题指导思想符合选拔性考试的规律和要求，反映物理、化学、生物普通高中课程标准的整体要求，体现普通高中新课程的理念，以有利于高校选拔具有学习潜能和创新精神的合格新生。
试题以能力测试为主导，在考查考生对基础知识、基本技能和方法掌握程度的同时，注重能力和科学素养的考查，注重考查运用所学知识分析、解决具体问题的能力；强调知识之间的内在联系；注重理论联系实际；注重时代性和实践性；关注科学技术和社会、经济发展、生态环境之间的协调发展。
全面落实对“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”三维目标的考查。
命题以教育部考试中心《普通高等学校招生统一考试考试大纲（理科·课程标准实验·2011年版）》和本说明为依据。
试题适用于使用经全国中小学教材审定委员会初审通过的各版本普通高中课程标准实验教科书的考生。
Ⅱ.考试能力要求和考试范围内容依据教育部考试中心《普通高等学校招生统一考试考试大纲（理科·课程标准实验·2011年版）》和中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案（实验）》、《普通高中物理课程标准（实验）》、《普通高中化学课程标准（实验）》、《普通高中生物课程标准（实验）》以及广东省教育厅《关于印发〈广东省普通高中选修课开设指导意见〉的通知》（粤教研[2005]7号）要求，确定理科综合考试内容。
物理一、物理科要考查的能力1. 理解能力理解物理概念、物理规律的确切含义，理解物理规律的适用条件，以及它们在简单情况下的应用；能够清楚认识概念和规律的表达形式(包括文字表述和数学表达)；能够鉴别关于概念和规律的似是而非的说法；理解相关知识的区别和联系。
2. 推理能力能够根据已知的知识和物理事实、条件，对物理问题进行逻辑推理和论证，得出正确的结论或作出正确的判断，并能把推理过程正确地表达出来。
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2012年广东省高考数学（理科）考试大纲解读（全部高考考点总结）Ⅰ.命题指导思想坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中课程改革，实施素质教育”的基本原则，适当体现普通高中课程标准的基本理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养、发挥数学作为主要基础学科的作用，考察考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能。
Ⅱ.考试内容与要求一、考核目标与要求1. 知识要求知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能。
各部分知识的整体要求以及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明。
对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。
（１）了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关问题中识别和认识它。
这一层次涉及的主要行为动词有：了解，知道，识别，模仿，会求，理解等。
（２）理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道之所见的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。
这一层次涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测，想象，比较，判别，初步应用等。
（３）掌握：要求能对所列的知识内容能够推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。
这一层次涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等。
2. 能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能以及应用意识和创新意识。
（1）空间想象能力能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地解释揭示问题的本质。
空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图像的想象能力。
识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换。
对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志。
（2）抽象概括能力抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质属性：概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程。
抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论。
抽象概括能力是对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断。
（3）推理论证能力推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成，论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程，推理既包括演绎推理，也包括合情推理：论证方法及包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法。
一般运用和情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明。
中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力。
（4）运算求解能力会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运输途径，能根据要求对数据进行估计和近似运算。
运算求解能力是思维能力和运算技能的结合。
运算包括对数学的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等。
运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。
（５）数据处理能力会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断。
数据处理能力主要依据统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题。
（６）应用意识能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明。
应用的主要过程是依据现实生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决。
（７）创新意识能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考，探究和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。
创新意识是理性思维的高层次表现，对数学问题的”观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识越强。
3.个性品质要求个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观。
要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学美意义。
要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理分配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。
4.考查要求数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括个部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构。
（1）对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点，对于掌握学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。
注意学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。
从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点设计试题，使对数学基础知识的考察达到必要的深度。
（2）对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过对数学的考查，反应考生对数学思想的掌握程度。
（3）对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能。
对能力的考察要全面，强调综合性，应用性，并要切合考生实际，对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷，是考查的重点，强调其科学性、严谨性、抽象性；对空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形与样的相互转化上；对运算求解能力的考查主要是对运算和推理的考查，考查以代数运算为主；对数据处理能力的考查主要是运用概率统计的基本方法和思想方法解决实际问题的能力。
（4）对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式，名提示要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合中学数学的设计和考生的年龄特点，并结合实践经验，是数学应用问题的难度符合考生的水平。
（5）对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查，在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，要注意问题的多样化，体现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题；也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探究型、开放型等类型的试题。
数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。
命题以教育部考试中心《普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）考试大纲（课程标准实验•2012年版）》和本说明为依据。
试题适用于使用全国中小学教材审定委员会初审通过的各版本普通高中课程标准实验教科书的考生。
二、考试范围与要求（一）必考内容与要求1．集合（1）集合的含义与表示① 了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。
② 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
（2）集合间的基本关系① 理解集合之间包含于相等的含义，能识别给定集合的子集。
② 在具体情境中，了解全集与空集的含义。
（3）集合的基本运算① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
③ 能使用韦恩（Venn ）图表达集合的关系及运算。
2．函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
②在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数。
③了解简单的分段函数，并能简单应用。
④理解函数的单调性、最大值、最小值以及几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。
⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质。
（2）指数函数① 了解指数函数模型的实际背景。
② 理解有理数指数幂的含义，了解实数幂的意义，掌握幂的运算。
③ 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点。
（3）对数函数① 理解对数函数的概念以及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
② 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点。
③ 知道对数函数是一类重要的函数模型.④ 了解指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（1,0≠>a a 且）(4)幂函数① 了解幂函数的概念。
② 结合函数2132,1,,,x y xy x y x y x y =====的图像，了解它们的变化情况。
（5）函数与方程① 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
② 根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解。
（6）函数模型及其应用① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
3.立体几何初步（1）空间几何体①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。