16章二次根式
第十六章：二次根式
第十六章 二次根式.. 最简二次根式：① ； ② ； ③ . . . . ；文字语言： . ； 文字语言： . . ..①分母形如的二次根式.给分子、分母同时乘以 ；②分母形如.给分子、分母同时乘以 .2的区别与联系：例一：下列各式一定是二次根式的是（）分析：判定一个代数式是否是二次根式，要看该式子是否同时具备两个要素：（1）含有二次根号；（2）被开方数是非负数.对应训练：1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A专题二：二次根式有意义的条件对于非负数x,如果有x2=a，那么x就是a的算术平方根，也是a在这里a是x的平方数，它的值是一个正数或零（因为任何数的平方都不可能是负数）.由此得出：只有当a≥0时，.（1a≥0a<0.（2）从具体的情况总结，如下：a≥0； a≥0,n+有意义的条件： b≥0,…n≥0；a>0；1b有意义的条件：a≥0且b≠0；有意义的条件：a≥0且b>0.例二：当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1；（2（3；（4；（5（6分析：对于含有二次根式和分式的式子，求其有意义的条件时：首先找出二次根式的被开方数，根据二次根式的被开方数为非负数列不等式，其次找分式的分母，根据分母不为0，列出所需的不等式，将这些不等式组成不等式组，不等式组的解集就是字母的取值范围.解：（1）13103x x-≥≥当，即.（4）32301012x x x x+≥+>≥->-当，且，即且.对应训练：1.x的取值范围是（）A、x>3B、x≥3C、 x>4 D 、x≥3且x≠42.x的取值范围是 .3.有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限例三：若y=++2009，则x+y=分析：式子（a ≥0）， ，y=2009，则x+y=2014对应训练：1.，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2.若x 、y 都是实数，且4，求xy 的值3.当a 1取值最小，并求出这个最小值.专题四：二次根式的整数部分与小数部分例四：已知a b 是12a b ++的值. 分析：因为23<<2，即a=2；其小数部分等于此数本身减去其整数部分，即对应训练：1.若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式 上课课件(22张PPT)
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一个正数a的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用
(a≥0)表示正数a的算术平方根.
求下列各数的平方根和算术平方根.
9 的平方根 3 ， 算术平方根 3 ；
计算：（1） (5)2 ；（2） (1 2)2 .
解：（1） (5)2 52 5
或 (5)2 -5 5
（2） (1 2)2 = 1- 2 =-（1- 2）= 2-1
例3 先化简再求值：
，其中 x=4.
解：
当 x=4时，x- 4- 4- .
∴当x=4时，
.
练习 1.计算：
2
8 =8
3 2=3
双重非负性
( 4)2 4
1 ( 1 )2 3
3
( 0.01)2 0.01
( 0)2 0
一般地，有
性质1
2
a a (a≥0)
例1.当x为何值时，下列各式在实数范围内Biblioteka 有意义？(1) x 3
(2) x2
解：（1）由题意，得 x+3≥0 ∴x≥-3
∴当x≥-3时， x 2 在实数范围内有意义.
2.当x取怎样的实数时， 2x 3 1 有意义？
x 1
解：由题意得
2x x 1
3 0
0，
∴
X≥
3 2
X ≠-1
∴ x 3，且x 1.
2
方法构想
一个式子中：
若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
(完整版)第十六章二次根式知识点总结大全
二次根式【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；【典型例题】1、概念与性质例1、下列各式1）-，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315；（2）22)-(x例3、在根式1) ，最简二次根式是（）A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxy例5、已知数a，b，若=b－a，则( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b2、二次根式的化简与计算例1. 将根号外的a 移到根号内，得 ( )A. ；B. －；C. －；D.例2. 把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式例3、计算：例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a=512，b=512．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---4、比较数值 （1）、根式变形法当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<例1、 比较与（2）、平方法当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
人教版数学八年级下册第十六章16.1.1二次根式的定义课件
解：(1)∵ 3 6 4 的根指数是3，∴ 3 6 4 不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x 2 1 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， - 5 a 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 - 5 a 不是二次根式． ∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为 二次根式．
D．x >－1且x≠3
D. 4 个
B.
【点拨】二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结
果上判断，如 16等都是二次根式．
4. 二次根式 a从意义上说是 a 的_算__术__平__方__根___，根据算术平方 根的意义可知，只有_非__负__数___才有算术平方根，所以二次根 式 a有意义的条件就是__a_≥__0___.
再见
1
(5)当x＝－3时，（ x 3）2 无意义，∴
1 （ x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，（
x
1
3 ）2
＞0，∴
1 （ x 3）2
是二次根式．
1
∴ （ x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， （ - a-4）2 不是二次根式．
8. a(a≥0)既表示一个二次根式，又表示非负数 a 的__算__术____ 平方根. a具有双重非负性，即 a___≥_____0， a____≥____0.
9. 已知 y＝ 2x－5＋ 5－2x－3，则 2xy 的值为( A )
A. －15
B. 15
C. －125
15 D. 2
10.若实数 m，n 满足等式|m－2|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是
八年级数学下册第16章 微专题1 二次根式化简的六种常用方法
＝
x＋y y＝
y(x＋y) x＋y .
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微专题1 二次根式化简的六种常用方法
方法4 根据隐含条件化简含有字母的二次根式 4．已知 x＋y＝－10，xy＝8，求 xy＋ xy的值． 解：∵x＋y＝－10，xy＝8，∴x＜0，y＜0.
∴
xy＋
xy＝
xyy2 ＋
xxy2＝－
yxy－
xy x
＝－1y－1x xy＝－x＋ xyy xy＝180× 8＝522.
第十六章 二次根式 微专题1 二次根式化简的六种常用方法
微专题1 二次根式化简的六种常用方法
方法1 直接应用二次根式性质法则化简 1．【教材改编】把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) 3×9；
解： 3×9＝ 3× 9＝3 3；
(2) 1.5； 解： 1.5＝
32＝
3＝ 2
3× 2×
2＝ 2
26；
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微专题1 二次根式化简的六种常用方法
(2)化简： (x－2)2－ x2－2x＋1. 解：原式＝ (x－2)2－ (x－1)2＝|x－2|－|x－1|， 当 x＜1 时，原式＝2－x－(1－x)＝2－x－1＋x＝1； 当 1≤x≤2 时，原式＝2－x－(x－1)＝2－x－x＋1＝3－2x； 当 x＞2 时，原式＝x－2－(x－1)＝x－2－x＋1＝－1.
∴
xy＋
xy的值为5
2
2 .
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微专题1 二次根式化简的六种常用方法
方法 5 巧用整体思想进行计算与求值
5．(2021·包头)若 x＝ 2＋1，则代数式 x2－2x＋2 的值为( C )
A．7
B．4
C．3
D．3－2 2
人教版八年级数学下册第16章二次根式重难点详解
2．逆用二次根式乘除法法则进行化简
例 3 计算或化简（1） (9) (8) ； （2） 9x2 y3 x y3 （ x 0; y 0
）
解：（1） (9) (8) = 98 9 8 3 2 2 6 2.
（ 2） 9x2 y2 x y3 = 9 x2 y2 (x y)3 3xy(x y) x y （ x 0; y 0
b2
bb
= 9a2b2 ab 9a2b ab 。 b
点拨: 运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时,一要注意运算顺序， 二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效 果。 5. 二次根式加减法法则的运用
例 6 计算 12 0.5 1 18 3
解:原式= 2
3
45 9 5; 40 410 中被开方数分别含有能开得尽方的因数 9 和 4，故
45; 40 都不是最简二次根式； 2 2 8 中被开方数含分母 3，故 2 2 不是
33
3
最简二次根式。故选 B。 4.运用二次根式乘除法法则计算或化简
例 4 化简: 12 ( 27 6) 24
点拨:观察发现已知条件 x, y中的 5 与2
5 2 是一对相反数,而所求式子是这
两个数的平方和与这两个数的乘积的差,故可由已知转变条件,运用完全平方式
简化求值.
栏目名：错题集
解二次根式常见错误分类解析
一、审题不清导致错误 例 1 16 的平方根是______ .
错解： 16 的平方根是 4.
诊断：错把 16 的平方根当成 16 的平方根。
二次根式重难点详解
一、 五大重点一一攻克
1． 二次根式的概念：重点注意被开方数是非负数。
第16章二次根式知识点
第十六章 二次根式1、二次根式的概念： 一般地，形如 a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号，a 是被开方数。
2、二次根式成立的条件：被开方数是非负数，即a ≥03、二次根式的性质：（1）二次根式具有双非负性，即 a ≥0且a ≥0（2）一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，即（ a ）2=a （a ≥0）此性质正用可进行二次根式的平方运算，逆用可以将一个非负数变形为平方形式，进而利于在实数范围内分解因式（3）一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值，即 a (a ＞0)=0(a=0)= |a| -a(a ＜0)4、代数式定义：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。
5、二次根式的乘法法则：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
（系数和系数相乘做积的系数）符号语言：0,0)a b =≥≥也可以简单记成：非负数的算术平方根的积等于积的算术平方根。
6、法则推广：0,0,0,,0)a b c n ⋅⋅⋅=≥≥≥⋅⋅⋅≥7、积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
符号语言：0,0)a b =≥≥8、公式的推广：0,0,0,0)a b c d=≥≥≥≥9、二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
（系数和系数相除做商的系数）符号语言：0,0)=≥>a b10、商的算术平方根性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
符号语言：0,0)=≥>a b11、最简二次根式：进行二次根式的计算，结果要化为整式或最简二次根式。
即运算结果要满足：①被开方数不含分母；（被开方数不含小数；）②被开方数不含能开得尽方的因数或因式；③分母中不含二次根式。
12、化简二次根式一般方法：（重难点）。
①如果被开方数是分数（小数）或分式，运用商的算术平方根性质将其化成②如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先把被开方数分解因式，运用积的算术平方根性质把能开得尽方的因数或因式开出来。
八年级数学下册第16章 微专题2 二次根式的双重非负性
5．(2021·广东)若|a－ 3|＋ 9a2－12ab＋4b2＝0，则 ab 的值为( A )
A．92
B． 3
C．4 3
D．9
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微专题2 二次根式的双重非负性
考向3 运用二次根式的双重非负性解题 6．【原创题】已知y＝ x－5＋ 5－x ＋3，求x2－y2的算术平方根． 解：依题意，得x－5≥0，5－x≥0，∴x＝5. ∴y＝ x－5＋ 5－x＋3＝3. ∴x2－y2＝52－32＝16. ∴x2－y2的算术平方根为4.
第十六章 二次根式 微专题2 二次根式的双重非负性
第十六章 二次根式 微专题2 二次根式的双重非负性
微专题2 二次根式的双重非负性 【满分技法】 二次根式 a (a≥0)具有双重非负性 非负性(1)：二次根式的被开方数是非负数，即a≥0； 非负性(2)：二次根式的结果也是非负数，即 a ≥0.
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微专题2 二次根式的双重非负性
考向 1 运用 a中 a≥0 求范围 1．(1)(2020·广东)若式子 2x－4在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 __x_≥__2_. (2)若式子 xx－＋23有意义，则 x 的取值范围是_x_≥__－__3_且__x_≠__2__. (3)若式子 x1－1有意义，则 x 的取值范围是__x_＞__1_. 2．若 (3－x)2＝x－3，则 x 的取值范围是_x_≥__3__.
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微专题2 二次根式的双重非负性
3．若－1＜x＜2，求 (x＋1)2 －|x－2|的值． 解：∵－1＜x＜2，∴x＋1＞0，x－2＜0. ∴原式＝|x＋1|－|x－2| ＝x＋1－(2－x) ＝x＋1－2＋x ＝2x－1.
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微专题2 二次根式的双重非负性
(完整)人教版八年级下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识、性质
第1讲 二次根式认识、性质第一部分 知识梳理知识点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件知识点二：二次根式（）的非负性（）表示a 的算术平方根， 即0（）。
非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。
非负性质的解题应用： （1）、如若，则a=0,b=0； （2）、若，则a=0,b=0； （3）、若，则a=0,b=0。
知识点三：二次根式的性质第二部分 考点精讲精练考点1、二次根式概念 例1、下列各式：122211,2)5,3)2,4,5)(),1,7)2153x a a a --+---+其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（121 （219-（321x +（439 （56a - （6221x x ---例3)))2302,12203,1,2xx y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 例4、下列各式中，属于二次根式的有（ ）例5、若21x +的平方根是5±_____=．1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A B C D2中是二次根式的个数有______个 3、下列各式一定是二次根式的是（ ）A B C D4、下列式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0）1x y +、（x≥0，y ≥0） ．51+x 、2+1x 、______个。
考点2、根式取值范围及应用例1有意义，则x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、当_____x 时，式子4x -有意义． 例4、在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、若y=5-x +x -5+2019，则x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ．0>yxC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．37、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
(完整版)沪科版第16章二次根式归纳及题型
一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
） 题型一：判断二次根式 （1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个（3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7-B. 32mC. 21a +D. a b题型二：判断二次根式有没有意义1、写出下列各式有意义的条件:（1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x 1-2、21x x --有意义，则 ；3、若x x x x --=--3232成立，则x 满足_____________。
练习：1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、3-；B 、x ；C 、12+x ；D 、1-x2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）（2）121+-x （3） .（5）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是（6）若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。
3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。
5. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足329922-+-+-=m m m n ，则mn = 。
7. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是8.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ）A 、10<<mB 、2≥mC 、2<mD 、2≤m二．利用二次根式的性质2a =|a |=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ）A.x ≤0B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤02.．已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -3.若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ）A 、x 为任意实数B 、1≤x ≤4C 、x ≥1D 、x ≤44.已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=5. 当-3<x<5时，化简25109622+-+++x x x x = 。
人教版八年级下册数学精品教学课件 第16章 二次根式 第2课时 二次根式的混合运算
典例精析
例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其 中有一段路基的横断面设计为上底宽 4 2 m，下底 宽6 2 m，高 6 m 的梯形，这段路基长 500 m，那 么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积 =路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
4 2m
6m
6 2m
利用乘法公式进行二次根式的运算
问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?
平方差公式：(a + b)(a - b) = a2- b2；
完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2； (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?
前面我们已经知
道二次根式运算
类比整式运算， 所以适用
解：∵3 10 4，
∴ a 3，b 10 3 .
∴ a2 b2 32 ( 10 3)2
3 10 3 3 10 3 10 6 10
6 10 10.
1.下列计算中正确的是（ B ）
A. 3( 3 1 ) 3 3
B.( 12－ 27) 3 1
C. 32 1 2 2 2
(1) （3 2 3） 27+ 6 3 ； (2)（2023 3）0 + 3 12 - 6 . 2
解：(1) 原式 6 3 3 3 3 6
3 3 .
(2) 原式 1+2 3 3 3
32.
归纳 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注 意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
D. 3( 2 3) 6 2 3
2.计算：（ 2+ 3）2 24 5 .
3. 设 a
人教版八年级数学下册单元总结 第16章 二次根式(教师版)
第十六章二次根式
单元总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一二次根式的有关概念和性质
二次根式概念：一般地，我们把形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，“√”称为二次根号。
【注意】
1.二次根式√a中，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式√a是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，√a（a≥0）就表示a的算术平方根。
二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
二次根式的性质：
(√a)2=a(a≥0)
(√a)2与√a2的区别
(√a)2与√a2的联系
1．含有两种相同的运算，两者都需要进行平方和开方。
2．结果的取值范围相同，两者的结果都是非负数。
3．当a≧0时，(√a)2=√a2
【典例分析】
1．（2019·龙海市期中）把）
A B．C．D
【答案】C
【解析】∵m＜0，∴==C．
2
．（2019·有意义，则x的取值范围是()
A．x＞1
5
B．x≥
1
5
C．x≤
1
5
D．x≤5
【答案】B
解：由题意得，5x﹣1≥0，
解得，x≥1
5
，故选：B．
3．（2019·洛阳市期中）下列的式子一定是二次根式的是（）
A B C D 【答案】C
【解析】A、当x=0时，-x-2＜0。
第16章： 二次根式知识点及典型例题
第17章:二次根式第一课时:二次根式的概念与性质知识点1:二次根式的定义:（1）a ≥0)的式子叫做二次根式。
（2）a ≥0)表示非负数a 的算术平方根 （3） 二次根式的要求① 根指数为2② 被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是非负数类型一：二次根式的识别例1：已知式子 其中一定是二次根式的是 ①②④ 。
知识点2:二次根式中字母的取值范围：（1） 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。
（2） 二次根式无意义的条件：被开方数小于0 （3） 二次根式做分母时: 被开方数大于0.类型一：求字母的取值范围例1：x 取何值时，下列各式有意义？11(62501 6.6016630122102201122x x x x x x x x x x x x x +----⎧⎨-⎩+-⎧-⎪-⎨⎪-⎩--≥解：（）由题意知解得≥5且≠≠ 所以当≥5且≠有意义≥ （）由题意知＞解得＜x ≤3且x ≠2≠ 所以当＜x ≤3且x ≠2有意义类型二：根据字母隐含的的取值范围，求代数式的值（较难） 例2：x y y =若、为实数，且222224040, 14,20,2,4x x x x x x x y --=+==≥，即≥4, ≥即≤4, 所以又因为≠所以22240404,120,2432x x xx x y--∴=+∴=∴====解:由题意知:≥且≥又≠知识点3：二次根式的性质：（1）双重非负性：①被开方数为非负数，即a≥0；②二次根式的值为非负数，即a≥0（2）两个性质：性质1：（a）2= a（a≥0）语言叙述：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
或叙述为：一个非负数先开平方再平方等于这个数本身。
性质2(0)(0)a aaa a⎧==⎨-⎩≥＜语言叙述：一个数先平方再开平方等于这个数的绝对值。
22222221==2(0),(0)1a(0)(0)(0)(0)x a x xx ax ax x xa ax x x aa aa aaa a=======⎧===⎨-⎩⎧==⎨-⎩证明：性质：设①则把把性质≥两边平方得：≥由性质得：≥所以＜≥＜类型一：简单的计算与化简例1：计算与化简2222;4=243=12.8881113(0)433(0)x xxx x⨯=⨯=-=======-⎧-=⎨-⎩（解:(1)（≥（＜类型二：在实数范围内因式分解例2：在实数范围内因式分解。
第十六章 二次根式压轴题考点训练(解析版)
第十六章 二次根式压轴题考点训练1．化简A B C D 【答案】C【详解】根据二次根式有意义的条件可知﹣1x＞0，求得x ＜0，然后根据二次根式的化简，可得x ﹣.故选C ．2．已知0a ≠且a b <的正确结果是（ ）A ．B ．-C ．D ．-【答案】D【详解】解：由题意：30a b -³，即ab ≤0，∵a ＜b ，∴a ＜0，b ≥0，=-故选：D ．3．若6x ，小数部分为y ，则(2x y 的值是（ ）A ．5-B ．3C ．5-D ．3-【答案】B【详解】解：34<<Q6\2x =则小数部分是：624=则()(244x =16133=-=故选：B4=___________．【详解】因为(2231211+=+=++=,1=+故答案为:1.5．已知a =b =22a b -的值是______．【答案】-【详解】解：∵a =，b +，∴22()()a b a b a b -=+-=éùéù+-ëûëû(-．故答案为：-6．已知a ，b ，c ++．【答案】a b c++【详解】由三角形的三边关系定理得：,,a b c a c b b c a+>+>+>0,0,0a b c b a c b c a \+->--<+->++a b c a c b b c a=+-++-++-a b c=++故答案为：a b c ++．7．已知x ＋y ＝－7，xy ＝12，求的值．【答案】-【详解】解：∵x +y =﹣7，xy =12，∴x ，y 为负数．原式==---．8．已知等式|a －2 018|a 成立，求a －2 0182的值．【答案】2019【解析】试题解析：由题意，得a －2 019≥0. ∴a≥2 019.原等式变形为a －2 018＋＝a.整理，得＝2 018.两边平方，得a －2 019＝2 0182.∴a －2 0182＝2 019.9．若x 、y 为实数，1y <+，化简：2y 【答案】33-y【详解】解：∵1y <，∴20x -³，20x -³，∴2x =，∴1y <，∴22y <∴10,220y y -<-<∴2y (22)(1)y y ---- 221y y =-+-33y=-10．(1) 观察下列各式的特点：12>22>，2>，…填“＞”“＜”或“＝”)．(2)1==，====…n≥2)的化简过程．(3)根据上面(1)(2)得出的规律计算下面的算式：【答案】(1)＞；9．【详解】(1)=(3)原式＝1)﹣)﹣﹣﹣)|＝1)﹣)﹣﹣﹣﹣)＝1)﹣)﹣1+9．11+解：设x222x=++2334x=，x2=10∴x=．0．【详解】设x两边平方得：x2=）2+2即x2+4，x2=14∴x．0，∴x．12．阅读下列解题过程：=====请回答下列问题：（1）观察上面的解答过程，请写出=；（2）请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的解法，请化简：......【答案】（1）10-（2=-（3）9．【详解】（1===10=-；故答案为：10-（2=-（3=-......+......=......=1-=-1+10=9．13．先阅读，再解答=-=2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，由22我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的==，请完成下列问题：（11的有理化因式是 ；（2= ，= ；（3【答案】（11+；（2，3+；（3）＜．【详解】（11（2）3===（3=142=时采用了下面的方法：由22(24)(8)16x x =-=---=2=8+=，将这两式相加可得53=5=两边平方可解得1x =-，经检验1x =-是原方程的解、请你学习小16+=．【答案】x =【详解】解：∵22=-()()22421032x x =+-+=，16+=，2-=，两式相减得14=7=，两边平方得到239x =，∴x =，经检验x =是原方程的解．。
八年级下册第16章二次根式
-50-
14．计算： (1) 53× 152； ＝ 35×152 ＝12
-51-
(2) 5× 15× 12； ＝ 5×15×12 ＝ 52× 32× 22 ＝5×3×2 ＝30
-52-
(3) a3b× ab； ＝ a3b×ab ＝ab
-53-
1 (4)3
45×12
20.
＝16× 32× 52× 22 ＝16×3×5×2 ＝5
-16-
19．阅读下面的文字，解答问题． 大家知道 2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 2的小数部 分我们不可能全部地写出来，但是由于 1＜ 2＜2，所以 2的整数部分为 1， 则 2减去其整数部分 1，差就是小数部分 2－1. 根据以上的内容，解答下面的问题： (1) 5的整数部分是__2_，小数部分是__5_－__2_； (2)1＋ 2的整数部分是_2__，小数部分是__2_－__1_；
-26-
忽视题设条件而出错 9.化简： 4x2＋12x＋9＋ 4x2－20x＋25，其中－32≤x≤52. 解：∵－32≤x≤52，∴－3≤2x≤5， ∴原式＝ (2x＋3)2＋ (2x－5)2＝2x＋3＋5－2x＝8.
-27-
10．若点(a，b)在第三象限，则 (a＋b)2－1 的值为( D )
A
B
C
D
6．当 x__＞__12__时，式子 2x1－1有意义．
-6-
二次根式的非负性
同步考点手册 P1
7.已知 x，y 为实数，且 x－1＋(y－2)2＝0，则 x－y 的值为( D )
A．3
B．－3
C．1
D．－1
8．若|x＋y＋4|＋ (x－2)2＝0，则 3x＋2y＝_－__6__．
沪科版八年级下册数学精品教学课件 第16章 二次根式 第1课时 二次根式的概念
∴ m＞2． (2) 无论 x 取任何实数，代数式 x2 6x m 都有意义， 求 m 的取值范围． 解：由题意得 x2 + 6x + m≥0 对任意实数 x 恒成立，
即 (x + 3)2 + m - 9≥0 对任意实数 x 恒成立. ∵ (x + 3)2≥0，∴ m - 9≥0，即 m≥9.
解：由题意得 x (x - 1)≥0，
由乘法法则得
x
x≥1≥0，0，或
x
x≤0， 1≤0，
解得 x≥1 或 x≤0.
即当 x≥1 或 x≤0 时， x x 1 有意义.
体会解题思想后，试着解答：当 x 为何值时， x 2
2x 1
有意义？
解：由题意得 x 2 ≥0，
2x 1
则 2xx21≥＞00，，或2xx21≤＜00，，
∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．
【变式题】已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，
b 满足 b 3 a 2a 6 4 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
3 a≥0， 2a 6≥0，
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
归纳 若多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为 零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式 及二次根式.
例4 已知 y = x 3 3 x 8，求 3x + 2y 的算术平
方根.
解：由题意得
x 3≥0， 3 x≥0，
∴ x = 3．∴ y = 8．
∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25．
人教版八年级下册数学作业课件 第十六章 第1课时 二次根式的概念
二次根式的
形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式，根 号下的数叫 被开方数 ．“ ”称为二
概念
次根号，根指数为 2 ，可省略.
二次根式有 意义的条件 被开方数(式)为
非负数
，即 a有意
义⇒a≥0.
二次根式 的非负性 双重非负性： a≥0，a≥0.
1.要判别一个式子(不要将式子化简)是不 是二次根式一定要具备两个特征： 解题策略 (1)含根号且根指数为 2； (2)被开方数为非负数．[如 T1]
解：(1)由题意得 4－3x＞0，解得 x＜43.
(2)由题意得 5－x≥0，解得 x≤5.
(3) 2x2＋1； (4) 2x－1＋ 1－2x. 解：(3)∵2x2＋1＞0，∴x 为一切实数．
(4)由题意得 21x－－21x≥≥00，，解得 x＝12.
1.下列各式中，不是二次根式的是
（B）
A. 45
B. －3
C. a2＋1
D.
2 3
2.要使式子 2021－x有意义，则 x 的取值范围是
（D）
A．x＞0
B．x≥－2021
C．x≥2021
D．x≤2021
3.下列二次根式中，无论 x 取什么值都有意义的是
（C）
A. －x－5 B. x
C. x2＋1 D. x2－5
2.如果一个式子中含多个二次根式或与 分式结合，那么它们有意义的条件是各个 二次根式中被开方数均为非负数，分母不 解题策略 为 0.[如 T4] 3.若|a|＋ b＝0，则 a＝0，b＝0；若 y＝
a－1＋ 1－a＋b，则 a－1＝1－a＝0， a＝1，y＝b.[如 T5，T6]
(建议用时：10 分钟)
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2014年沪科版八年级下册数学第十六章二次根式练习题（附
解析）
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号一二三四五总分
得分
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
分卷I
分卷I 注释
评卷人得分一、单选题(注释)
1、计算的结果是
A．﹣3 B ．3 C．﹣9 D．9
2、下列运算正确的是
A．a+a=a2B．a6÷a3=a2C．（π﹣3.14）0=0 D．
3、下列等式成立的是
A．a2•a5=a 10B ．C．（﹣a3）6=a18D．
4、化简的结果是（）
A．B．2 C．D．1
5、的平方根是（）
A．2 B．±2 C．D．±
6、下列命题中正确的是（）
A．两个无理数的和一定是无理数B．正数的平方根一定是正数
C．开立方等于它本身的实数只有1 D．负数的立方根是负数
7、下列运算正确的是（）
A．B．C．D．
8、在这四个实数中，最大的是（）
A．B．C．D．0
9、下列各数中，是无理数的是（）
A．﹣2 B．0 C．D．
10、如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和9，那么图中阴影部分的面积为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
11、若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x≥3B．x≤3C．x＞3 D．x＜3
12、下列计算中，正确的是
A．B．
C．D．
13、函数中自变量x的取值范围是
A．x＞1 B．x ≥1C．x≤1D．x≠1
14、函数中，自变量x的取值范围是
A．x＞1 B．x≥1C．x＞－2 D．x≥―2
15、的平方根是（）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
16、计算的结果为
A．﹣1 B．1 C．D．7
17、函数中自变量x的取值范围是
A．x≥﹣3 B．x≥3
C．x≥0且x≠1D．x≥﹣3且x≠1
18、下列计算正确的是( )
A．B．
C．D．
19、下列各式中最简二次根式为( )
A．B．C．D．
20、以下不能构成三角形三边长的数组是（）
A．（1，，2）B．（，，）C．（3，4，5）D．（32，42，52）
分卷II
分卷II 注释
评卷人得分
二、填空题(注释)
21、若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
22、若x3=8，则x=．
23、若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
24、请将这三个数用“＞”连结起来．
25、4的算术平方根是．
26、若整数x满足|x|≤3，则使为整数的x的值是（只需填一个）．
27、实数中的无理数是．
28、的立方根是．
29、计算=．
30、已知一个正数的平方根是x+7和3x﹣3，则这个正数是．
评卷人得分
三、计算题(注释)
31、
32、；
33、计算：.
34、计算
35、先化简，再求值：其中x＝
36、计算：|-2|－（3－π）0＋2．
37、计算（每题5分，共10分）
(1)(2)
38、计算：（1）；（2）．
39、（1）（2）
（3）（4）
40、+|－2|＋+(－1)2011
评卷人得分
四、解答题(注释)
41、已知实数x,y满足y= + —28, 求
42、(1)计算：
(2)化简分式，并从中选一个你认为适合的整数代人求值．
43、计算：．
44、（1）计算：；
（2）解方程组：
45、先化简，再求值:÷（2x —）其中，x=+1．
46、（1）计算：（）－2－+；
（2）先化简，再求值：－÷，其中a是方程x2＋3x＋1＝0的根．
47、计算：＋()－1＋(2－π)0－()2．
48、（1）计算：；
（2）解不等式：，并把解集在数轴上表示出
来．
49、计算：.
50、计算：．
试卷答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.D
6.D
7.C
8.A
9.C
10.B
11.A
12.B
13.B
14.A
15.D
16.B
17.D
18.B
19.A（或B）
20.D
21.
22.2
23.
24.
25.2
26.﹣2（答案不唯一）
27.
28.
29.
30.36
31.1
32.0
33.
34.
35.
36.1+
37.（1）（2）1
38.；-2
39.（1）10.7, （2）-4, （3）,（4）0
40.7
41.x=1；y= —28；= —3
42.（1）（2）0
43.
44.（1）1；（2）
45.
46.（1）1+；（2）－．
47.0
48.（1）1；（2）
49.
50.6。