2013年高考真题——理科数学(山东卷)解析版(2)
2013年高考理科数学山东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共45页） 数学试卷 第2页（共45页） 数学试卷 第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共6页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立,那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位,若i a -与2i b +互为共轭复数,则2(i)a b += ( )A .54i -B .54i +C .34i -D .34i + 2.设集合{||1|2}A x x =-<,{|2,[0,2]}x B y y x ==∈,则A B =( ) A .[0,2] B .(1,3)C .[1,3)D .(1,4) 3.函数()f x( )A .1(0,)2B .(2,)+∞C .1(0,)(2,)2+∞D .1(0,][2,)2+∞4.用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A .方程30x ax b ++=没有实根B .方程30x ax b ++=至多有一个实根C .方程30x ax b ++=至多有两个实根D .方程30x ax b ++=恰好有两个实根5.已知实数x ,y 满足x y a a <（01a <<）,则下列关系式恒成立的是( )A .221111x y >++ B .22ln(1)ln(1)x y +>+ C .sin sin x y >D .33x y >6.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.B.C .2D .47.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为 ( )A .6B .8C .12D .188.已知函数()|2|1f x x =-+,()g x kx =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )A .1(0,)2B .1(,1)2C .(1,2)D .(2,)+∞9.已知x ,y 满足约束条件10,230,x y x y --⎧⎨--⎩≤≥当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值时,22a b +的最小值为( )A .5B .4CD .210.已知>0a b >,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=,双曲线2C 的方程为22221x y a b-=,1C 与2C 的则2C 的渐近线方程为 ( )A.0x = B0y ±= C .20x y ±= D .20x y ±=第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为 .12.在ABC △中,已知t a n A B A C A = ,当π6A =时,ABC △的面积为 .13.三棱锥P ABC -中,D ,E 分别为PB ,PC 的中点,记三棱锥D ABE -的体积为1V ,P ABC -的体积为2V ,则12V V = . 14.若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20,则22a b +的最小值为 .15.已知函数()()y f x x =∈R .对函数()()y g x x I =∈,定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈,()y h x =满足：对任意x I ∈,两个点(,())x h x ,(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”,且()()h x g x >恒成立,则实数b 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.16.（本小题满分12分）已知向量a (,cos2)m x =,b (sin 2,)x n =,函数()f x =a b ,且()y f x =的图象过点π(12和点2π(,2)3-. （Ⅰ）求m ,n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ(0π)ϕ<<个单位后得到函数()y g x =的图象,若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求()y g x =的单调递增区间.17.（本小题满分12分）姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共45页） 数学试卷 第5页（共45页） 数学试卷 第6页（共45页）如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是等腰梯形,60DAB ∠= ,AB =22CD =,M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：1C M 平面11A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.18.（本小题满分12分）乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域A ,B ,乙被划分为两个不相交的区域C ,D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次,落点在C 上记3分,在D 上记1分,其它情况记0分.对落点在A 上的来球,队员小明回球的落点在C 上的概率为12,在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球,小明回球的落点在C 上的概率为15,在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-,求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）设函数2e 2()(ln )x f x k x x x =-+（k 为常数,e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时,ADF △为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1l l ,且1l 和C 有且只有一个公共点E . （ⅰ）证明：直线AE 过定点,并求出定点坐标；（ⅱ）ABE △的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.3 / 15数学试卷 第10页（共45页） 数学试卷 第11页（共45页） 数学试卷 第12页（共45页）5 / 15数学试卷第16页（共45页）数学试卷第17页（共45页）数学试卷第18页（共45页）7 / 15数学试卷第22页（共45页）数学试卷第23页（共45页）数学试卷第24页（共45页）59 / 15数学试卷第28页（共45页）数学试卷第29页（共45页）数学试卷第30页（共45页）。
2013年高考理科数学山东卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013山东，理1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )．A ．2＋iB ．2－IC ．5＋iD ．5－i2．(2013山东，理2)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )．A ．1B ．3C ．5D ．9 3．(2013山东，理3)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝21x x+，则f (－1)＝( )． A ．－2 B ．0 C ．1 D ．24．(2013山东，理4)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )．A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π65．(2013山东，理5)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )．A ．3π4B ．π4C ．0D ．π4-6．(2013山东，理6)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220,210,380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )．A ．2B ．1C ．13-D ．12-7．(2013山东，理7)给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．(2013山东，理8)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．9．(2013山东，理9)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )．A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝010．(2013山东，理10)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )．A ．243B ．252C ．261D ．27911．(2013山东，理11)抛物线C 1：y ＝212x p(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )．A． B． C． D．12．(2013山东，理12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为( )．A ．0B ．1C ．94 D ．3第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．(2013山东，理13)执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为__________．14．(2013山东，理14)在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为__________．15．(2013山东，理15)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC |＝2，若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC，则实数λ的值为__________．16．(2013山东，理16)定义“正对数”：ln ＋x ＝0,01,ln ,1,x x x <<⎧⎨≥⎩现有四个命题：①若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ；②若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ； ③若a ＞0，b ＞0，则ln ＋a b ⎛⎫⎪⎝⎭≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．(2013山东，理17)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．18．(2013山东，理18)(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角D－GH－E的余弦值．19．(2013山东，理19)(本小题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．20．(2013山东，理20)(本小题满分12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}的前n项和为T n，且12nn naTλ++=(λ为常数)．令c n＝b2n(n∈N*)．求数列{c n}的前n项和R n.21．(2013山东，理21)(本小题满分13分)设函数f (x )＝2e xx＋c (e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈R )．(1)求f (x )的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数．22．(2013山东，理22)(本小题满分13分)椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2.若k ≠0，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(山东卷) 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 答案：D解析：由题意得z －3＝52i-＝2＋i ，所以z ＝5＋i.故z ＝5－i ，应选D. 2． 答案：C解析：当x ，y 取相同的数时，x －y ＝0；当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1；当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2；当x ＝1，y ＝0时，x －y ＝1；当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；其他则重复．故集合B 中有0，－1，－2,1,2，共5个元素，应选C. 3． 答案：A解析：因为f (x )是奇函数，故f (－1)＝－f (1)＝2111⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－2，应选A. 4． 答案：B解析：如图所示，由棱柱体积为94.设P 在平面ABC上射影为O ，则可求得AO 长为1，故AP 2=故∠PAO ＝π3，即PA 与平面ABC 所成的角为π3. 5． 答案：B解析：函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后变为函数πsin 28y x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝πsin 24x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象，又πsin 24y x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝为偶函数，故πππ42k ϕ+=+，k ∈Z ，∴ππ4k ϕ=+，k ∈Z .若k ＝0，则π4ϕ=.故选B. 6． 答案：C解析：不等式组表示的区域如图阴影部分所示，结合斜率变化规律，当M 位于C 点时OM 斜率最小，且为13-，故选C.7． 答案：A解析：由题意：q ⇒⌝p ，⌝pq ，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于所以p 是⌝q 的充分而不必要条件．故选A. 8． 答案：D解析：因f (－x )＝－x ·cos(－x )＋sin(－x )＝－(x cos x ＋sin x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，排除B ，又x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，y ＞0，排除C ，而x ＝π时，y ＝－π，排除A ，故选D. 9． 答案：A解析：该切线方程为y ＝k (x －3)＋1，即kx －y －3k ＋1＝0＝1，得k ＝0或43，切线方程分别与圆方程联立，求得切点坐标分别为(1,1)，93,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故所求直线的方程为2x ＋y －3＝0.故选A.10． 答案：B解析：构成所有的三位数的个数为11191010C C C ＝900，而无重复数字的三位数的个数为111998C C C ＝648，故所求个数为900－648＝252，应选B. 11． 答案：D解析：设M 2001,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21''2x y x p p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故在M点处的切线的斜率为03x p =，故M 1,6p p ⎫⎪⎪⎝⎭.由题意又可知抛物线的焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线右焦点为(2,0)，且1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,0)三点共线，可求得pD.12． 答案：B解析：由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得2234x xy y z-+，即xy z≤1，当且仅当x 2＝4y 2时成立，又x ，y 为正实数，故x ＝2y .此时将x ＝2y 代入x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得z ＝2y 2，所以222121211+1x y z y y y ⎛⎫+-=-+=-- ⎪⎝⎭，当1=1y ，即y ＝1时，212x y z+-取得最大值为1，故选B. 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．答案：3解析：第1次运行将F 0＋F 1赋值给F 1，即将3赋值给F 1，然后将F 1－F 0赋值给F 0，即将3－1＝2赋值给F 0，n 增加1变成2，此时1113F =比ε大，故循环，新F 1为2＋3＝5，新F 0为5－2＝3，n 增加1变成3，此时1115F =≤ε，故退出循环，输出n ＝3. 14．答案：13解析：设y ＝|x ＋1|－|x －2|＝3,2,21,12,3,1,x x x x ≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩利用函数图象(图略)可知|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为[1，＋∞)．而在[－3,3]上满足不等式的x 的取值范围为[1,3]，故所求概率为311333-=-(-).15．答案：712解析：∵AP ＝λAB ＋AC ，AP ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ，∴(AC －AB )·(AC ＋λAB)＝0.∴AC 2＋λAB ·AC －AB ·AC －λAB 2＝0，即4＋(λ－1)×3×2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭－9λ＝0，即7－12λ＝0，∴λ＝712.16．答案：①③④三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79， 所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，sin B9=. 由正弦定理得sin A＝sin 3a Bb =因为a ＝c ，所以A 为锐角． 所以cos A13=. 因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B＝27. 18．(1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 所以EF ∥AB ，DC ∥AB .所以EF ∥DC .又EF 平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ， 所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH .(2)解法一：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ .因为PB ⊥平面ABQ ， 所以AB ⊥PB.又BP ∩BQ ＝B ， 所以AB ⊥平面PBQ .由(1)知AB ∥GH ，所以GH ⊥平面PBQ . 又FH ⊂平面PBQ ，所以GH ⊥FH . 同理可得GH ⊥HC ，所以∠FHC 为二面角D －GH －E 的平面角． 设BA ＝BQ ＝BP ＝2，连接FC ，在Rt △FBC 中，由勾股定理得FC在Rt △PBC 中，由勾股定理得PC又H 为△PBQ 的重心，所以HC＝13PC =同理FH.在△FHC 中，由余弦定理得cos ∠FHC ＝5524995529+-=-⨯.故二面角D －GH －E 的余弦值为45-.解法二：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°.又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)．所以EQ ＝(－1,2，－1)，FQ＝(0,2，－1)，DP＝(－1，－1,2)，CP ＝(0，－1,2)．设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·EQ ＝0，m ·FQ＝0，得1111120,20,x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·DP＝0，n ·CP ＝0， 得2222220,20,x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝4||||5=·m n m n .因为二面角D －GH －E 为钝角， 所以二面角D －GH －E 的余弦值为45-. 19．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝328327⎛⎫= ⎪⎝⎭，P (A 2)＝2232228C 133327⎛⎫⎛⎫-⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， P (A 3)＝22242214C 133227⎛⎫⎛⎫-⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝22242214C 1133227⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627， 又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427， P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327. 故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×427＋2×27＋3×27＝9.20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得11114684,21221 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+(-)=+(-)+⎩ 解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由题意知，T n ＝12n nλ--， 所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝12112222n n n n n n ------+=. 故c n ＝b 2n ＝21222n n --＝11(1)4n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭，n ∈N *.所以R n ＝0×14⎛⎫ ⎪⎝⎭0＋1×14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋2×14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋3×14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1，则14R n ＝0×14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋1×14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋2×14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋(n －2)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1＋(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n ， 两式相减得34R n ＝14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1－(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n ＝11144(1)1414nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭--⨯ ⎪⎝⎭-＝1131334nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭， 整理得R n ＝1131494n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以数列{c n }的前n 项和R n ＝1131494n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭.21．解：(1)f ′(x )＝(1－2x )e －2x， 由f ′(x )＝0，解得x ＝12. 当x ＜12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ＞12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以，函数f (x )的单调递增区间是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，最大值为111e 22f c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)令g (x )＝|ln x |－f (x )＝|ln x |－x e －2x－c ，x ∈(0，＋∞)．①当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＞0，则g (x )＝ln x －x e －2x－c ， 所以g ′(x )＝22e e21x xx x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 因为2x －1＞0，2e xx＞0，所以g ′(x )＞0.因此g (x )在(1，＋∞)上单调递增．②当x ∈(0,1)时，ln x ＜0，则g (x )＝－ln x －x e －2x－c . 所以g ′(x )＝22e e21x xx x -⎛⎫-+- ⎪⎝⎭. 因为e 2x∈(1，e 2)，e 2x＞1＞x ＞0，所以2e xx -＜－1.又2x －1＜1，所以2e xx-＋2x －1＜0，即g ′(x )＜0.因此g (x )在(0,1)上单调递减．综合①②可知，当x ∈(0，＋∞)时，g (x )≥g (1)＝－e －2－c .当g (1)＝－e －2－c ＞0，即c ＜－e －2时，g (x )没有零点， 故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当g (1)＝－e －2－c ＝0，即c ＝－e －2时，g (x )只有一个零点， 故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当g (1)＝－e －2－c ＜0，即c ＞－e －2时， 当x ∈(1，＋∞)时，由(1)知g (x )＝ln x －x e －2x －c ≥11ln e 2x c -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＞ln x －1－c ，要使g (x )＞0，只需使ln x －1－c ＞0，即x ∈(e 1＋c，＋∞)；当x ∈(0,1)时，由(1)知g (x )＝－ln x －x e －2x －c ≥11ln e 2x c -⎛⎫--+ ⎪⎝⎭＞－ln x －1－c ，要使g (x )＞0，只需－ln x －1－c ＞0，即x ∈(0，e －1－c)；所以c ＞－e －2时，g (x )有两个零点，故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为2. 综上所述，当c ＜－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当c ＝－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当c ＞－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为2. 22．(1)解：由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程2222=1x y a b+，得2b y a =±，由题意知22=1b a ，即a ＝2b 2.又2c e a ==，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)解法一：设P (x 0，y 0)(y 0≠0)． 又F 1(0)，F 2，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为lPF 1：y 0x －(x 0y0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0y0＝0..由于点P 在椭圆上，所以220014x y +=，=.因为m2＜x 0＜2，=. 所以m ＝034x .因此3322m -<<.解法二：设P (x 0，y 0)．当0≤x 0＜2时，①当0x =时，直线PF 2的斜率不存在，易知P 12⎫⎪⎭或P 12⎫-⎪⎭.若P 12⎫⎪⎭，则直线PF 1的方程为0x -=.m =，因为m所以m =. 若P 12⎫-⎪⎭，同理可得m =.②当x 0时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x，y ＝k 2(x)．=，2122111k k +=+.因为220014x y +=， 并且k 1k 2==，=.因为为m，0≤x 0＜2且x 0=.整理得m ＝34x ， 故0≤m ＜32且m≠4综合①②可得0≤m ＜32.当－2＜x 0＜0时，同理可得32-＜m ＜0. 综上所述，m 的取值范围是33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立22001,4x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=(-)⎩整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(20y －2kx 0y 0＋220k x －1)＝0. 由题意Δ＝0，即220(4)x k -＋2x 0y 0k ＋1－20y ＝0.又220014x y +=， 所以22016y k ＋8x 0y 0k ＋20x ＝0，故k ＝004xy -.由(2)知12000211x k k y +=+=， 所以121211111kk kk k k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ＝000042=8y xx y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭， 因此1211kk kk +为定值，这个定值为－8.。
2019年高考试题-理科数学(山东卷)解析版(2)
2019年高考试题-理科数学（山东卷）解析版（2）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
【一】选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
〔1〕复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i 【答案】D 【解析】由(z-3)(2-i)=5，得(2)355〔2〕设集合A={0,1,2},那么集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9 【答案】C【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--，即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素，选C.【解析】因为函数为奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，选A.tan OPPAO OA∠==3PAO π∠=，选 B.,42k k Z ϕπ+=+∈，即,4k k Z ϕπ=+∈，所以选B.〔6〕在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组：2x y 20x 2y 103x y 80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动【解析】作出可行域如图，由图象可知当M 位于点D 处时，OM的斜率最小。
由210380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，即(3,1)D -,此时OM 的斜率为1133-=-，选C.〔A 〕充分而不必条件 〔B 〕必要而不充分条件〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为﹁p 是q 的必要而不充分条件，所以﹁q 是p 的必要而不充分条件，即p 是﹁q 的充分而不必要条件，选A.〔8〕函数y=xcosx+sinx 的图象大致为 〔A 〕〔B 〕 (C)(D)【答案】 D 【解析】函数y=xcosx+sinx 为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B ，C.当x π=时，()0f ππ=-<,排除A,选D.〔9〕过点〔3，1〕作圆〔x-1〕2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，那么直线AB 的方程为〔A 〕2x+y-3=0 〔B 〕2x-y-3=0 〔C 〕4x-y-3=0 〔D 〕4x+y-3=0 【答案】A【解析】由图象可知，(1,1)A 是一个切点，所以代入选项知，,B D 不成立，排除。
2013年高考山东卷试题及答案解析(理科数学)
2013年山东卷高考理数真题（解析版）理 科 数 学注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所胡题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷与答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A. 2+I B.2-I C. 5+I D.5-i【答案】D【解析】由(z-3)(2-i)=5，得55(2)5(2)3332352(2)(2)5i i z i i i i i ++=+=+=+=++=+--+，所以5z i =-，选D.2.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A. 1B. 3C. 5D.9【答案】C【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--，即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素，选C.3.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x 2+1x,则f(-1)= ( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】因为函数为奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，选A.4.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为 3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( ) A. 512πB.3πC. 4πD. 6π【答案】B【解析】取正三角形ABC 的中心，连结OP ,则PAO ∠是PA 与平面ABC 所成的角。
2013年高考真题——理科数学(山东卷)含答案
2013年山东高考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( D )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( C )A. 1B. 3C. 5D.9（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：2x y20x2y103x y80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为C（7）给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的 B （A）充分而不必条件（B）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为 D（A ） （B ） (C) (D)（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 A（A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0（10）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 B（A ）243 （B ）252 （C ）261 （D ）279于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p= D（15）已知向量AB 与AC 的夹角为120，且||3,||2,AB AC ==若 ,AP AB AC λ=+且AP BC ⊥,则实数λ的值为712（16）定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题： ①若0,0a b >>，则ln ()ln b a b a ++=②若0,0a b >>，则ln ()ln ln ab a b +++=+③若0,0a b >>，则ln ()ln ln a a b b +++≥-④若0,0a b >>，则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++其中的真命题有： ①③④ （写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.（Ⅰ）求证：AB//GH ；（Ⅱ）求二面角D-GH-E 的余弦值 .解答：（1）因为C 、D 为中点，所以CD//AB同理：EF//AB ，所以EF//CD ，EF ⊂平面EFQ ，所以CD//平面EFQ ，又CD ⊂平面PCD,所以CD//GH ，又AB//CD ，所以AB//GH.(2)由AQ=2BD ，D 为AQ 的中点可得，△ABQ 为直角三角形，以B 为坐标原点，以BA 、BC 、BP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，可得平面GCD 的一个法向量为1(0,2,1)n =，平面EFG 的一个法向量为2(0,1,2)n =，可得4cos5α==,（2）由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0相应的概率依次为：14416,,,，所以EX=7解答：（1）由S4=4S2，a2n=2a n+1，｛a n｝为等差数列，可得，11,2a d==所以21na n=-2.71828是自然对数的底数，（1）求()f x的单调区间，最大值；（2）讨论关于x的方程|ln|()x f x=根的个数.直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1、PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线 PM 交C 的长轴于点M （m ，0），求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公定值. 1||||PF PM PF PM ⋅=2||||PF PM PF PM ⋅,1||PF PM PF ⋅=2||PF PM PF ⋅,设204x ≠，将向量坐标代入并化简得：m （23000416)312x x x -=-，因为204x ≠，。
2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)含解析
2013高考试题解析分类汇编（理数）5：平面向量一、选择题1 ．（2013年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,,则满足（）A． B． C． D．D．【解答】作图知，只有，其余均有，故选D．2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知点（）A． B． C． D．A，所以，所以同方向的单位向量是，选A.3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则（）A． B． C． D．D以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）所以=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）因为恒有所以（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立所以△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0所以a=0，即C在AB的垂直平分线上所以AC=BC故△ABC为等腰三角形故选D4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））在四边形ABCD中,,,则四边形的面积为（）A． B． C．5 D．10C由题意，容易得到．设对角线交于O点，则四边形面积等于四个三角形面积之和即S= ．容易算出，则算出S=5．故答案C5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是（）A． B． C． D．D.在本题中，.建立直角坐标系，设A(2,0),所以选D6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,,,.若,则的取值范围是（）A． B． C． D．D【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。
2013年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5] 6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0] 12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x|﹣＜x＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】1D：并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用；5J：集合．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】B3：分层抽样方法．【专题】21：阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【考点】KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．6【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m﹣a m=1，+1S m==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】16：压轴题；27：图表型．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．8【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]【考点】7E：其他不等式的解法．【专题】16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式．【专题】16：压轴题；54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣【分析】由a n+12a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B nC n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，又由题意，b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴b n+1∴，c n=2a1﹣b n=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t）．若•=0，则t=2．【考点】9H：平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n=a n+，则数列{a n}的通项公式是a n=（﹣2）n﹣1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】GP：两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】16：压轴题；56：三角函数的求值．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为16．【考点】57：函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB ⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos ＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X 400 500 800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）设动圆的半径为R，由已知动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤4﹣2=2，所以R ≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．分①l的倾斜角为90°，此时l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，根据，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f （x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（Ⅱ）由（I）得出f（x），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）≤kg（x）恒成立，从而求出k的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【专题】5B：直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数t，得到普通方程，再由，能求出C1的极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C1的普通方程联立，求出C1与C2交点的直角坐标，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，。
2013年高考真题——理科数学(新课标1卷)Word版无答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。
直线l满足l ⊥m，l ⊥n，lβ，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A ）1++ +…+（B ）1++ +…+ （C ）1++ +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a= (A) (B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16xx ≥1,x+y ≤3, y ≥a(x-3). {（12）已知点A（-1，0）；B（1，0）；C（0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年高考真题——理科数学(新课标II卷)Word版无答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学 (理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合2{|(1)4,}M x x x R =-<∈，{1,0,1,2,3}N =-，则M N = （ ） （A ）{0,1,2} （B ）{1,0,1,2}- （C ）{1,0,2,3}- （D ）{0,1,2,3} 2、设复数z 满足(1)2i z i -=，则z =（ ）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i -3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ） （A ）13（B ）13-（C ）19（D ）19-4、已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l 5、已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（ ） （A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1- 6、执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（ ） （A ）11112310+++⋅⋅⋅+（B ）11112!3!10!+++⋅⋅⋅+（C ）11112311+++⋅⋅⋅+ （D ）11112!3!11!+++⋅⋅⋅+7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A)(B)(C)(D)8、设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b c >>9、已知0a >，,x y 满足约束条件1,3,(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）（A ）14（B ）12（C ）1 （D ）210、已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） （A ）0x R ∃∈，0()0f x =（B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 （D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =11、设抛物线2:3(0)C y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,3)，则C 的方程为（ ）（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x =12、已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ） （A ）(0,1) （B）1(1,)22-（C）1(1)23- （D ）11[,)32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年山东省高考理科数学试卷及参考答案与试题解析
2013年山东省高考理科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为( ) A.2＋i B.2－i C.5＋i D.5－i2.(5分)已知集合A ＝{0,1,2},则集合B ＝{x －y|x ∈A,y ∈A}中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.93.(5分)已知函数f(x)为奇函数,且当x ＞0时,,则f(－1)＝( )A.－2B.0C.1D.24.(5分)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面A 1B 1C 1所成角的大小为( )A.B.C.D.5.(5分)函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( )A.B.C.0D.6.(5分)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( )A.2B.1C.D.7.(5分)给定两个命题p,q.若￢p 是q 的必要而不充分条件,则p 是￢q 的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.(5分)函数y ＝xcosx ＋sinx 的图象大致为( )A. B. C. D.9.(5分)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 的方程为( )A.2x ＋y －3＝0B.2x －y －3＝0C.4x －y －3＝0D.4x ＋y －3＝010.(5分)用0,1,2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.27911.(5分)抛物线C 1:的焦点与双曲线C 2:的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线,则p＝( )A. B. C. D.12.(5分)设正实数x,y,z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时,的最大值为( )A.0B.1C.D.3二、填空题13.(4分)执行右面的程序框图,若输入的ɛ值为0.25,则输出的n值为.14.(4分)在区间[－3,3]上随机取一个数x使得|x＋1|－|x－2|≥1的概率为.15.(4分)已知向量与的夹角为120°,且||＝3,||＝2.若＝λ＋,且⊥,则实数λ的值为.16.(4分)定义“正对数”:ln＋x＝,现有四个命题:①若a＞0,b＞0,则ln＋(a b)＝bln＋a；②若a＞0,b＞0,则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；③若a＞0,b＞0,则；④若a＞0,b＞0,则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.其中的真命题有(写出所有真命题的序号)三、解答题17.(12分)设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a＋c＝6,b＝2,cosB＝.(1)求a,c的值；(2)求sin(A－B)的值.18.(12分)如图所示,在三棱锥P－ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA＝BP＝BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ＝2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:AB∥GH；(2)求二面角D－GH－E的余弦值.19.(12分)甲乙两支排球队进行比赛,先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队3:0,3:1,3:2胜利的概率；(2)若比赛结果3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分；若比赛结果为3:2,则胜利方得2分,对方得1分,求乙队得分X的分布列及数学期望.20.(12分)设等差数列{an }的前n项和为Sn,且S4＝4S2,a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn }的前n项和为Tn且(λ为常数).令cn＝b2n(n∈N*)求数列{cn}的前n项和Rn.21.(13分)设函数.(1)求f(x)的单调区间及最大值；(2)讨论关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数.22.(13分)椭圆C:的左右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围；(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明为定值,并求出这个定值.2013年山东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )A.2＋iB.2－iC.5＋iD.5－i【分析】利用复数的运算法则求得z,即可求得z的共轭复数.【解答】解:∵(z－3)(2－i)＝5,∴z－3＝＝2＋i∴z＝5＋i,∴＝5－i.故选:D.【点评】本题考查复数的基本概念与基本运算,求得复数z是关键,属于基础题.2.(5分)已知集合A＝{0,1,2},则集合B＝{x－y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )A.1B.3C.5D.9【分析】依题意,可求得集合B＝{－2,－1,0,1,2},从而可得答案.【解答】解:∵A＝{0,1,2},B＝{x－y|x∈A,y∈A},∴当x＝0,y分别取0,1,2时,x－y的值分别为0,－1,－2；当x＝1,y分别取0,1,2时,x－y的值分别为1,0,－1；当x＝2,y分别取0,1,2时,x－y的值分别为2,1,0；∴B＝{－2,－1,0,1,2},∴集合B＝{x－y|x∈A,y∈A}中元素的个数是5个.故选:C.【点评】本题考查集合中元素个数的最值,理解题意是关键,考查分析运算能力,属于中档题.3.(5分)已知函数f(x)为奇函数,且当x＞0时,,则f(－1)＝( )A.－2B.0C.1D.2【分析】利用奇函数的性质,f(－1)＝－f(1),即可求得答案.【解答】解:∵函数f(x)为奇函数,x＞0时,f(x)＝x2＋,∴f(－1)＝－f(1)＝－2,故选:A.【点评】本题考查奇函数的性质,考查函数的求值,属于基础题.4.(5分)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面A1B1C1所成角的大小为( )A. B. C. D.【分析】利用三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知,∠APA1为PA与平面A 1B1C1所成角,即为∠APA1为PA与平面ABC所成角.利用三棱锥的体积计算公式可得AA1,再利用正三角形的性质可得A1P,在Rt△AA1P中,利用tan∠APA1＝即可得出.【解答】解:如图所示,∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面ABC所成角.∵＝＝.∴V三棱柱ABC－A1B1C1＝＝,解得.又P为底面正三角形A1B1C1的中心,∴＝＝1,在Rt△AA1P中,,∴.故选:B.【点评】熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键.5.(5分)函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( )A. B. C.0 D.【分析】利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换可得函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式,利用其为偶函数即可求得答案.【解答】解:令y＝f(x)＝sin(2x＋φ),则f(x＋)＝sin[2(x＋)＋φ]＝sin(2x＋＋φ),∵f(x＋)为偶函数,∴＋φ＝kπ＋,∴φ＝kπ＋,k∈Z,∴当k＝0时,φ＝.故φ的一个可能的值为.故选:B.【点评】本题考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换,考查三角函数的奇偶性,属于中档题.6.(5分)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为( )A.2B.1C.D.【分析】本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值,而是求可行域内的点与原点(0,0)构成的直线的斜率的最小值即可.【解答】解:不等式组表示的区域如图,当M取得点A(3,－1)时,z直线OM斜率取得最小,最小值为k＝＝－.故选:C.【点评】本题利用直线斜率的几何意义,求可行域中的点与原点的斜率.本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.7.(5分)给定两个命题p,q.若￢p是q的必要而不充分条件,则p是￢q的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据互为逆否命题真假性相同,可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件,进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案.【解答】解:∵¬p是q的必要而不充分条件,∴q是¬p的充分不必要条件,即q⇒¬p,但¬p不能⇒q,其逆否命题为p⇒¬q,但¬q不能⇒p,则p是¬q的充分不必要条件.故选:A.【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断,其中将已知利用互为逆否命题真假性相同,转化为q是¬p的充分不必要条件,是解答的关键.8.(5分)函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为( )A. B. C. D.【分析】给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称,由此排除B,然后利用区特值排除A和C,则答案可求.【解答】解:因为函数y＝xcosx＋sinx为奇函数,所以排除选项B,由当x＝时,,当x＝π时,y＝π×cosπ＋sinπ＝－π＜0.由此可排除选项A和选项C.故正确的选项为D.故选:D.【点评】本题考查了函数的图象,考查了函数的性质,考查了函数的值,是基础题.9.(5分)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )A.2x＋y－3＝0B.2x－y－3＝0C.4x－y－3＝0D.4x＋y－3＝0【分析】由题意判断出切点(1,1)代入选项排除B、D,推出令一个切点判断切线斜率,得到选项即可.【解答】解:因为过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线,切点分别为A,B,所以圆的一条切线方程为y＝1,切点之一为(1,1),显然B、D选项不过(1,1),B、D不满足题意；另一个切点的坐标在(1,－1)的右侧,所以切线的斜率为负,选项C不满足,A满足.故选:A.【点评】本题考查直线与圆的位置关系,圆的切线方程求法,可以直接解答,本题的解答是间接法,值得同学学习.10.(5分)用0,1,2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.279【分析】求出所有三位数的个数,减去没有重复数字的三位数个数即可. 【解答】解:用0,1,2,…,9十个数字,所有三位数个数为:900,其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位,十位数从余下的9个数字中选一个,个位数再从余下的8个中选一个,所以共有:9×9×8＝648, 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为:900－648＝252. 故选:B.【点评】本题考查排列组合以及简单计数原理的应用,利用间接法求解是解题的关键,考查计算能力.11.(5分)抛物线C 1:的焦点与双曲线C 2:的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p ＝( )A.B.C.D.【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点的直线方程,求出函数在x 取直线与抛物线交点M 的横坐标时的导数值,由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p 的关系,把M 点的坐标代入直线方程即可求得p 的值. 【解答】解:由,得x 2＝2py(p ＞0), 所以抛物线的焦点坐标为F().由,得,.所以双曲线的右焦点为(2,0).则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为,即①.设该直线交抛物线于M(),则C 1在点M 处的切线的斜率为.由题意可知,得,代入M 点得M()把M 点代入①得:.解得p ＝.故选:D.【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质,考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数,是中档题.12.(5分)设正实数x,y,z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时,的最大值为( )A.0B.1C.D.3【分析】依题意,当取得最大值时x＝2y,代入所求关系式f(y)＝＋－,利用配方法即可求得其最大值.【解答】解:∵x2－3xy＋4y2－z＝0,∴z＝x2－3xy＋4y2,又x,y,z均为正实数,∴＝＝≤＝1(当且仅当x＝2y时取“＝”),∴＝1,此时,x＝2y.∴z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3×2y×y＋4y2＝2y2,∴＋－＝＋－＝－＋1≤1,当且仅当y＝1时取得“＝”,满足题意.∴的最大值为1.故选:B.【点评】本题考查基本不等式,由取得最大值时得到x＝2y是关键,考查配方法求最值,属于中档题.二、填空题13.(4分)执行右面的程序框图,若输入的ɛ值为0.25,则输出的n值为 3 .【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算并输出n的值.【解答】解:循环前,F0＝1,F1＝2,n＝1,第一次循环,F0＝1,F1＝3,n＝2,第二次循环,F0＝2,F1＝4,n＝3,此时,满足条件,退出循环,输出n＝3,故答案为:3.【点评】本题主要考查了直到循环结构,根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,属于基础题.14.(4分)在区间[－3,3]上随机取一个数x使得|x＋1|－|x－2|≥1的概率为.【分析】本题利用几何概型求概率.先解绝对值不等式,再利用解得的区间长度与区间[－3,3]的长度求比值即得.【解答】解:利用几何概型,其测度为线段的长度.由不等式|x＋1|－|x－2|≥1 可得①,或②,③.解①可得x∈∅,解②可得1≤x＜2,解③可得 x≥2.故原不等式的解集为{x|x≥1},∴|在区间[－3,3]上随机取一个数x使得|x＋1|－|x－2|≥1的概率为P＝＝.故答案为:【点评】本题主要考查了几何概型,简单地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.15.(4分)已知向量与的夹角为120°,且||＝3,||＝2.若＝λ＋,且⊥,则实数λ的值为.【分析】利用,,表示向量,通过数量积为0,求出λ的值即可.【解答】解:由题意可知:,因为,所以,所以＝＝＝－12λ＋7＝0解得λ＝.故答案为:.【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直,考查转化数学与计算能力.16.(4分)定义“正对数”:ln＋x＝,现有四个命题:①若a＞0,b＞0,则ln＋(a b)＝bln＋a；②若a＞0,b＞0,则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；③若a＞0,b＞0,则；④若a＞0,b＞0,则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.其中的真命题有①③④(写出所有真命题的序号)【分析】由题意,根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断,由于在不同的定义域中函数的解析式不一样,故需要对a,b分类讨论,判断出每个命题的真假.【解答】解:(1)对于①,由定义,当a≥1时,a b≥1,故ln＋(a b)＝ln(a b)＝blna,又bln＋a＝blna,故有ln＋(a b)＝bln＋a；当a＜1时,a b＜1,故ln＋(a b)＝0,又a＜1时bln＋a＝0,所以此时亦有ln＋(a b)＝bln＋a,故①正确；(2)对于②,此命题不成立,可令a＝2,b＝,则ab＝,由定义ln＋(ab)＝0,ln＋a＋ln＋b＝ln2,所以ln＋(ab)≠ln＋a＋ln＋b,故②错误；(3)对于③,i.≥1时,此时≥0,当a≥b≥1时,ln＋a－ln＋b＝lna－lnb＝,此时则,命题成立；当a＞1＞b＞0时,ln＋a－ln＋b＝lna,此时,＞lna,则,命题成立；当1＞a≥b＞0时,ln＋a－ln＋b＝0,成立；ii.＜1时,同理可验证是正确的,故③正确；(4)对于④,当a≥1,b≥1时,ln＋(a＋b)＝ln(a＋b),ln＋a＋ln＋b＋ln2＝lna＋lnb＋ln2＝ln(2ab),∵a＋b－2ab＝a－ab＋b－ab＝a(1－b)＋b(1－a)≤0,∴a＋b≤2ab,∴ln(a＋b)＜ln(2ab),∴ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.当a＞1,0＜b＜1时,ln＋(a＋b)＝ln(a＋b),ln＋a＋ln＋b＋ln2＝lna＋ln2＝ln(2a),∵a＋b－2a＝b－a≤0,∴a＋b≤2a,∴ln(a＋b)＜ln(2a),∴ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.当b＞1,0＜a＜1时,同理可证ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.当0＜a＜1,0＜b＜1时,可分a＋b≥1和a＋b＜1两种情况,均有ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.故④正确.故答案为①③④.【点评】本题考查新定义及对数的运算性质,理解定义所给的运算规则是解题的关键,本题考查了分类讨论的思想,逻辑判断的能力,综合性较强,探究性强.易因为理解不清定义及忘记分类讨论的方法解题导致无法入手致错.三、解答题17.(12分)设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,且a＋c＝6,b＝2,cosB＝.(1)求a,c的值；(2)求sin(A－B)的值.【分析】(1)利用余弦定理列出关系式,将b与cosB的值代入,利用完全平方公式变形,求出acb的值,与a＋c的值联立即可求出a与c的值即可；(2)先由cosB的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值,再由a,b及sinB的值,利用正弦定理求出sinA的值,进而求出cosA的值,所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.【解答】解:(1)∵a＋c＝6①,b＝2,cosB＝,∴由余弦定理得:b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－ac＝36－ac＝4,整理得:ac＝9②,联立①②解得:a＝c＝3；(2)∵cosB＝,B为三角形的内角,∴sinB＝＝,∵b＝2,a＝3,sinB＝,∴由正弦定理得:sinA＝＝＝,∵a＝c,即A＝C,∴A为锐角,∴cosA＝＝,则sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝×－×＝.【点评】此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.18.(12分)如图所示,在三棱锥P－ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA＝BP＝BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ＝2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.(1)求证:AB∥GH；(2)求二面角D－GH－E的余弦值.【分析】(1)由给出的D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,利用三角形中位线知识及平行公理得到DC平行于EF,再利用线面平行的判定和性质得到DC平行于GH,从而得到AB∥GH；(2)由题意可知BA、BQ、BP两两相互垂直,以B为坐标原点建立空间直角坐标系,设出BA、BQ、BP的长度,标出点的坐标,求出一些向量的坐标,利用二面角的两个面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D－GH－E的余弦值.【解答】(1)证明:如图,∵C,D为AQ,BQ的中点,∴CD∥AB,又E,F分别AP,BP的中点,∴EF∥AB,则EF∥CD.又EF⊂平面EFQ,∴CD∥平面EFQ.又CD⊂平面PCD,且平面PCD∩平面EFQ＝GH,∴CD∥GH.又AB∥CD,∴AB∥GH；(2)由AQ＝2BD,D为AQ的中点可得,三角形ABQ为直角三角形,以B为坐标原点,分别以BA、BQ、BP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系, 设AB＝BP＝BQ＝2,则D(1,1,0),C(0,1,0),E(1,0,1),F(0,0,1),因为H为三角形PBQ的重心,所以H(0,,).则,,.设平面GCD的一个法向量为由,得,取z1＝1,得y1＝2.所以.设平面EFG的一个法向量为由,得,取z2＝2,得y2＝1.所以.所以＝.则二面角D－GH－E的余弦值等于.【点评】本题考查了直线与平面平行的性质,考查了二面角的平面角及其求法,考查了学生的空间想象能力和思维能力,考查了计算能力,解答此题的关键是正确求出H点的坐标,是中档题.19.(12分)甲乙两支排球队进行比赛,先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是,其余每局比赛甲队获胜的概率都是.设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队3:0,3:1,3:2胜利的概率；(2)若比赛结果3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分；若比赛结果为3:2,则胜利方得2分,对方得1分,求乙队得分X的分布列及数学期望.【分析】(1)甲队获胜有三种情形,①3:0,②3:1,③3:2,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜,分别求出相应的概率,最后根据互斥事件的概率公式求出甲队获得这次比赛胜利的概率；(2)X的取值可能为0,1,2,3,然后利用相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率,列出分布列,最后根据数学期望公式解之即可.【解答】解:(1)甲队获胜有三种情形,其每种情形的最后一局肯定是甲队胜①3:0,概率为P1＝()3＝；②3:1,概率为P2＝C()2×(1－)×＝；③3:2,概率为P3＝C()2×(1－)2×＝∴甲队3:0,3:1,3:2胜利的概率:.(2)乙队得分X,则X的取值可能为0,1,2,3.由(1)知P(X＝0)＝P1＋P2＝；P(X＝1)＝P3＝；P(X＝2)＝C(1－)2×()2×＝；P(X＝3)＝(1－)3＋C(1－)2×()×＝；E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝.【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式,以及离散型随机变量的期望与分布列,同时考查了分类讨论的数学思想,属于中档题.20.(12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4＝4S 2,a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n 且(λ为常数).令c n ＝b 2n (n ∈N *)求数列{c n }的前n 项和R n . 【分析】(1)设出等差数列的首项和公差,由已知条件列关于首项和公差的方程组,解出首项和公差后可得数列{a n }的通项公式；(2)把{a n }的通项公式代入,求出当n ≥2时的通项公式,然后由c n ＝b 2n 得数列{c n }的通项公式,最后利用错位相减法求其前n 项和.【解答】解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由a 2n ＝2a n ＋1,取n ＝1,得a 2＝2a 1＋1,即a 1－d ＋1＝0①再由S 4＝4S 2,得,即d ＝2a 1② 联立①、②得a 1＝1,d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1；(2)把a n ＝2n －1代入,得,则.所以b 1＝T 1＝λ－1, 当n ≥2时,＝.所以,.R n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝③④③－④得:＝所以；所以数列{c n }的前n 项和.【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了数列的求和,训练了错位相减法,考查了学生的计算能力,属中档题.21.(13分)设函数.(1)求f(x)的单调区间及最大值；(2)讨论关于x的方程|lnx|＝f(x)根的个数.【分析】(1)利用导数的运算法则求出f′(x),分别解出f′(x)＞0与f′(x)＜0即可得出单调区间及极值与最值；(2)分类讨论:①当0＜x≤1时,令u(x)＝－lnx－－c,②当x≥1时,令v(x)＝lnx－.利用导数分别求出c的取值范围,即可得出结论.【解答】解:(1)∵＝,解f′(x)＞0,得；解f′(x)＜0,得.∴函数f(x)的单调递增区间为；单调递减区间为.故f(x)在x＝取得最大值,且.(2)函数y＝|lnx|,当x＞0时的值域为[0,＋∞).如图所示:①当0＜x≤1时,令u(x)＝－lnx－－c,c＝＝g(x),则＝.令h(x)＝e2x＋x－2x2,则h′(x)＝2e2x＋1－4x＞0,∴h(x)在x∈(0,1]单调递增,∴1＝h(0)＜h(x)≤h(1)＝e2－1.∴g′(x)＜0,∴g(x)在x∈(0,1]单调递减.∴c.②当x≥1时,令v(x)＝lnx－,得到c＝lnx－＝m(x),则＝＞0,故m(x)在[1,＋∞)上单调递增,∴c≥m(1)＝.综上①②可知:当时,方程|lnx|＝f(x)无实数根；当时,方程|lnx|＝f(x)有一个实数根；当时,方程|lnx|＝f(x)有两个实数根.【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值最值、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法等基础知识与基本技能,考查了推理能力和计算能力及其化归思想方法.22.(13分)椭圆C:的左右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围；(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明为定值,并求出这个定值.【分析】(1)把－c代入椭圆方程得,解得,由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1,可得.再利用,及a2＝b2＋c2即可得出；(2)设|PF1|＝t,|PF2|＝n,由角平分线的性质可得,利用椭圆的定义可得t＋n＝2a＝4,消去t得到,化为,再根据a－c＜n＜a＋c,即可得到m的取值范围；(3)设P(x0,y),不妨设y＞0,由椭圆方程,取,利用导数即可得到切线的斜率,再利用斜率计算公式即可得到k1,k2,代入即可证明结论.【解答】解:(1)把－c代入椭圆方程得,解得,∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1,∴.又,联立得解得,∴椭圆C的方程为.(2)如图所示,设|PF1|＝t,|PF2|＝n,由角平分线的性质可得,又t＋n＝2a＝4,消去t得到,化为,∵a－c＜n＜a＋c,即,也即,解得. ∴m的取值范围；.(3)证明:设P(x0,y),不妨设y＞0,由椭圆方程,取,则＝, ∴k＝＝.∵,,∴＝,.∴＝＝－8为定值【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识,考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力.第21页，共21页。
2013年山东高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=； 如果事件A 、B 独立，那么()()()P AB P A P B = 。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满组(3)(2i)5z --=（z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为 （ ） A. 2i + B. 2i - C.5i + D. 5i - 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的等式，求它的共轭复数. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】由(3)(2i)5z --=，得5(2i)35i,5i.(2i)(2i)z z +=+=+∴=--+故选D.2.已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是 （ ） A. 1 B.3 C.5 D. 9【测量目标】集合的含义.【考查方式】给出集合的关系，求集合的元素. 【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】当x =0，y =0时，0x y -=；当x =0，y =1时，1x y -=-；当x =0，y =2时，2x y -=-；x =1，y =0时，1x y -=；当x =1，y =1时，0x y -=；当x =1，y =2时，1x y -=-；当x =2，y =0时，2x y -=，当x =2，y =1时，1x y -=；当x =2，y =2时，0x y -=.根据集合中元素的互异性知，B 中点的元素有0，1,2,1,2,--共5个.3.已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21(),=+f x x x则(1)-=f （ ） A.-2 B.0 C. 1 D.2【测量目标】函数的奇偶性.【考查方式】利用函数的奇偶性质求函数值. 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】当x >0时，21(),(1) 2.f x x f x=+∴=而f （x ）为奇函数，(1)(1) 2.f f ∴-=-=-4.已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 （ ）A.5π12 B. π3 C. π4 D. π6【测量目标】二面角的大小和柱的体积.【考查方式】给出几何体的相关性质，求二面角的大小. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】如图所示，P 为正三角形111A B C 的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ,ABC ⊥平面连接OA ，则PAO ∠即为P A 与平面ABC 所成的角.在正三角形ABC 中，AB BC AC ==则2S ==,1119,4ABC A B C V S PO PO -=⨯=∴=又1,tan POAO PAO AO==∴∠==π.3PAO =故选B ．第4题图Twj825.将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 （ ）A.3π4 B.π4 C. 0 D. π4-【测量目标】三角函数的平移问题.【考查方式】通过得到是偶函数求平移的距离. 【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】A 选项得到sin 2y x =-为奇函数；B 选项得到cos 2y x =为偶函数.C 选项得到πsin(2)4y x =+为非奇非偶函数.D 选项得到sin 2y x =为奇函数.故选B.6.在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪+-⎩，………所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为 （ ） A. 2 B. 1 C. 13-D.12-【测量目标】二元线性规划求最值.【考查方式】给出限制条件方程，求最小斜率. 【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】画出如图可行域可知，由210,380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得(3,1)C -当M 与C 重合时，OM 的斜率最小，13OM k =-.第6题图Twj847.给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【测量目标】充分必要条件.【考查方式】推测命题之间的关系. 【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】p 是q 的必要不充分条件,则q 是p 充分不必要条件.8.函数cos sin =+y x x x 的图象大致为Twj77 Twj78 Twj79 Twj80第8题图A B C D【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】给出函数解析式判断函数的图象. 【难易程度】中等. 【参考答案】D 【试题解析】当π2x =时，y =1，排除C,当π2x =-时，1y =-，排除B ，当πx =时，π<0,A,y =-排除故选D.9.过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为 （ ）A. 230+-=x yB. 230--=x yC. 430--=x yD. 430+-=x y【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出直线和圆的位置关系，求直线的方程. 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】设(3,1),P 圆心(1,0)C ，切点为A,B ,则P ,A,C,B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ABC 的外接圆的方程为2215(2)+()24x y --=，圆C:22(1)1x y -+=,相减的230x y +-=，即为直线的方程.10.用0，1，⋅⋅⋅，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( )A. 243B. 252C. 261D. 279【测量目标】排列组合的应用.【考查方式】用数字的组合来考查排列组合. 【难易程度】较难. 【参考答案】B【试题解析】9位数一共可以组成900个数，其中无重复的三位数为998648⨯⨯=（个），∴有重复数字的三位数有900648=252-（个）.11.抛物线211:(0)2=>C y x p p 的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p ( )A.B. C.D.【测量目标】圆锥曲线的综合问题.【考查方式】通过限制条件求曲线基本要素. 【难易程度】较难. 【参考答案】D【试题解析】 双曲线222:1,3x C y -=∴又焦点为(2,0),F渐近线方程为y x =.抛物线方程1C ：21(0),2y x p p=>焦点为(0)2p F '，.设00(,),M x y 则22001201122.24o px p p y x k k p x -==∴=-又0011,,33x x y x y x p pp =''=∴===联立解的.12.设正实数,,x y z 满足22340.-+-=x xy y z 则当xy z 取得最大值时，212+-x y z的最大值为 ( ) A. 0 B. 1 C.94D. 3 【测量目标】基本不等式最值.【考查方式】给出关系式，求不等式的最大值. 【难易程度】较难. 【参考答案】B【试题解析】2234(0,0,0),x x xy y x y z =-+>>>22111434433xy xy x y z x xy y y x∴===-+-+-=?,当且仅当42x y x y y x==时，即时等号成立，此时222222122121342,+(1)1,22z x xy y y x y z y y y y =-+=∴-=+-=--+∴当y =1时，211x y z+-的最大值为1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2013年高考真题——理科数学(全国卷大纲版)精校版 Word版无答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（2）()3=（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i （3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）-3 （C ）2- （D ）-1 （4）已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭（5）函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> （6）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（7）()()342211+x y x y +的展开式中的系数是（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168（8）椭圆22122:1,,46x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是[]12,1,PA --那么直线斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（9）若函数()211=,2f x x ax a x ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭在是增函数，则的取值范围是 （A ）[]-1，0 （B ）[]-∞1， （C ）[]0，3 （D ）[]3∞，+ （10）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23 （B）3 （C）3（D ）13 （11）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==两点,若则（A ）12 （B）2（C（D ）2 （12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中正确的是（A ）()(),0y f x π=的图像关于中心对称 （B ）()2y f x x π==的图像关于对称（C ）()f x （D ）()f x 既是奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知1sin ,cot 3a a a =-=是第三象限角，则 . （14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）（15）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为.D 若直线()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为232124.=,,,n S S a S S S 已知且成等比数列，求{}n a 的通项式.18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B（II ）若sin sin C.A C =求19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆ 中，，与都是等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求二面角.A PD C --的大小20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望.21．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列22．（本小题满分12分）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+（I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;；（II ）设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：。
2013年高考真题——理科数学(全国卷大纲版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一、选择题：（1）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（2）()3=（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i（3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）-3 （C ）2- （D ）-1（4）已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭（5）函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （A ）()1021x x >- （B ）()1021x x ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> （6）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 （A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3 （7）()()342211+x y x y +的展开式中的系数是 （A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168（8）椭圆22122:1,,46x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是[]12,1,PA --那么直线斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （9）若函数()211=,2f x x ax a x ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭在是增函数，则的取值范围是（A ）[]-1，0 （B ）[]-∞1， （C ）[]0，3 （D ）[]3∞，+（10）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23（B）3 （C）3 （D ）13 （11）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于 ,0,A B MA MB k ==两点,若则（A ）12（B（C（D ）2 （12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中正确的是（A ）()(),0y f x π=的图像关于中心对称 （B ）()2y f x x π==的图像关于对称 （C ）()f x （D ）()f x 既是奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知1sin ,cot 3a a a =-=是第三象限角，则 .（14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）（15）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为.D 若直线()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为232124.=,,,n S S a S S S 已知且成等比数列，求{}n a 的通项式.18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B（II ）若31sin sin , C.4A C -=求 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求二面角.A PD C --的大小20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望.21．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2 6.y C =与的两个交点间的距离为（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列22．（本小题满分12分）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+ （I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;；（II ）设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：。
2013山东高考各科说明解析变化及要点
2013山东高考各科说明解析变化及要点（汇总）2013山东高考语文说明：闭卷笔试选做18分
考试内容：2013年山东语文命题，按照《普通高中语文课程标准(实验)》规定的必修课程中阅读与鉴赏、表达与交流两个目标的“语文1”至“语文5”五个模块……
2013年山东高考说明统一使用“山东卷”
“今年山东高考不会再用全国卷了吧?”离2013年高考还有两个多月的时间，但是考生关注的高考说明却迟迟未出，一些考生家长又开始不淡定，担心会不会又像2012年一样，在山东卷和全国卷上出问题。
2014年山东高考不分文理科考基本能力
据了解，从2007年开始，我省高考正式增加基本能力测试科目，实行网上阅卷。
该科目涉及内容广泛，考查学生发散性思维等多方面能力。
2013山东高考文理科数学说明：简答题仍保留
考试内容：在数学考试的必修内容方面，文史类和理工农医类的必修内容都为：数学1：集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数);数学2：立体几何初步、平面解析几何初步……
2013山东高考英语说明：考试形式无变化
考试内容：2013年山东高考英语命题，在语言知识方面，要求考生掌握并能运用《普通高中英语课程标准(实验)》八级要求规定的英语语音、词汇、语法、功能意念和话题，要求词汇量为3300左右;在听力方面要求考生能听懂所熟悉话题的简短独白和对话……
2013山东高考文科综合说明：基本能力试题仍然不变
思想政治必考内容包括“经济生活”“政治生活”“文化生活”“生活与哲学”以及时事政治。
2013山东高考理科综合说明：与2012年相差不大
物理必考内容为物理1、物理2、物理选修3-1、物理选修3-2，选考内容为物理选修3-3、物理选修3-4、物理选修3-5。
2013年高考真题——理科数学(新课标Ⅱ卷) Word版含答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数 学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x-1)2< 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =( ） （A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝ （C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3} （2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z =（ ） （A ）-1+i（B ）-1-i（C ）1+i（D ）1-i（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ） （A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19- （4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（ ）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l（D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ ） （A ）-4 （B ）-3（C ）-2（D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A ）11112310++++ （B ）11112!3!10!++++ （C ）11112311++++ （D ）11112!3!11!++++（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B)(C)(D)（8）设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是 （A ）∃x α∈R,f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x（C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)112⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭( C) 113⎛⎤ ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3—函数(含文科题)
2013高考数学分类汇编—3函数(含文科)1.（2013山东卷理3）已知函数)(x f 为奇函数，当0>x 时，xx x f 1)(2+=，在=-)1(f .A 2- .B 0 .C 1 .D 22.（2013陕西卷理1）设全集为R ，函数21)(x x f -=的定义域为M ，则M C R 为.A ]1,1[- .B )1,1(-.C ),1[]1,(+∞--∞ .D ),1()1,(+∞--∞3.（2013陕西卷理12）设][x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数y x ,，有.A ][][x x -=- .B ][2]2[x x = .C ][][][y x y x +≤+ .D ][][][y x y x -≤-4.（2013新课标2卷理10）已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论错误的是.A R x ∈∃0，0)(0=x f.B 函数)(x f y =的图像是中心对称图形.C 若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间),(0x -∞单调递减.D 若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0'=x f5.（2013新课标1卷理11）已知函数⎩⎨⎧>+≤+-=)0(),1ln()0(,2)(2x x x x x x f ，若ax x f ≥)(，则a的取值范围是.A ]0,(-∞ .B ]1,(-∞ .C ]1,2[- ]0,2.[-D6.（2013新课标1卷理16）若函数))(1()(22b ax x x x f ++-=的图像关于直线2-=x 对称，在)(x f 的最大值是7.（2013江西卷理2）函数)1ln(x x y -=的定义域为.A )1,0( .B )1,0[ .C ]1,0( .D ]1,0[8.（2013江西卷理10）如图，半径为1的半圆O 与等边三角形夹在两平行线21,l l 之间，1l ∥2l ，l 与半圆相交于G F ,两点，与三角形ABC 两边相交于D E ,两点，设弧FG 的长为x （π<<x 0），CD BC EB y ++=，若l 从1l 平移到2l ，则函数)(x f y =的图像大致是9.（2013广西卷理5）函数)0)(11(log )(2>+=x xx f 的反函数)(1x f-=.A 121-x )0(>x .B 121-x )0(≠x.C 12-x （R x ∈） .D 12-x )0(>x10.（2013辽宁卷理11）已知函数)(x f 满足22)2(2)(a x a x x f ++-=，8)2(2)(22+--+-=a x a x x g 。
2013山东高考数学试卷(理科)及答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B += 如果事件A 、B 独立，那么()()()=∙P AB P A P B 。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i2、已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 93、已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21(),=+f x x x则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94，的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A)512π (B) 3π (C) 4π (D) 6π 5、将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 (A)34π (B) 4π (C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380，--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 13- (D) 12- 7、给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为(A)(B) (C) (D)9、过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为(A) 230+-=x y (B) 230--=x y (C) 430--=x y (D) 430+-=x y 10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911、抛物线211:(0)2=>C y x p p 的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p(A)(B)(C)(D)12、设正实数,,x y z 满足22340.-+-=x xy y z 则当xy z取得最大值时，212+-的最大值为(A) 0 (B) 1 (C) 94(D) 3第Ⅱ卷（共90二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2013年山东高考数学理及答案(解析版)
2013年山东高考数学理试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i 【答案】D（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A. 1 B. 3 C. 5 D.9【答案】C【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--，即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素，【解析】因为函数为奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，选A.OP PAO OA∠==即3PAO π∠=，选B.,42k k Z ϕπ+=+∈，即,4k k Z ϕπ=+∈，所以选B.（6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组：2x y 20x 2y 103x y 80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动【解析】作出可行域如图，由图象可知当M 位于点D 处时，OM 的斜率最小。
由210380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，即(3,1)D -,此时OM 的斜率为1133-=-，选C.（7）给定两个命题p 、q ，若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的（A ）充分而不必条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为﹁p 是q 的必要而不充分条件，所以﹁q 是p 的必要而不充分条件，即p 是﹁q 的充分而不必要条件，选A.（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为【答案】 D 【解析】函数y=xcosx + sinx 为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B ，C.当x π=时，()0f ππ=-<,排除A,选D.（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0 【答案】A【解析】由图象可知，(1,1)A 是一个切点，所以代入选项知，,B D 不成立，排除。
2013年高考真题——理科数学(全国卷大纲版)精校版
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（2）()3=（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i （3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）-3 （C ）2- （D ）-1 （4）已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭（5）函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - （A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> （6）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（7）()()342211+x y x y +的展开式中的系数是（A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168（8）椭圆22122:1,,46x y C A A P C PA +=的左、右顶点分别为点在上且直线斜率的取值范围是[]12,1,PA --那么直线斜率的取值范围是（A ）1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （B ）3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （C ）112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （D ）314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（9）若函数()211=,2f x x ax a x ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭在是增函数，则的取值范围是 （A ）[]-1，0 （B ）[]-∞1， （C ）[]0，3 （D ）[]3∞，+ （10）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23 （B）3 （C）3（D ）13 （11）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==两点,若则（A ）12 （B）2（C（D ）2 （12）已知函数()=cos sin 2,f x x x 下列结论中正确的是（A ）()(),0y f x π=的图像关于中心对称 （B ）()2y f x x π==的图像关于对称（C ）()f x （D ）()f x 既是奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知1sin ,cot 3a a a =-=是第三象限角，则 . （14）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）（15）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为.D 若直线()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 的前n 项和为232124.=,,,n S S a S S S 已知且成等比数列，求{}n a 的通项式.18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B（II ）若sin sin C.A C =求19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆ 中，，与都是等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求二面角.A PD C --的大小20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望.21．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列22．（本小题满分12分）已知函数()()()1=ln 1.1x x f x x xλ++-+（I ）若()0,0,x f x λ≥≤时求的最小值;；（II ）设数列{}211111,ln 2.234n n n n a a a a n n=+++⋅⋅⋅+-+>的通项证明：。
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2013年山东高考数学理试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i【答案】D【解析】（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9【答案】C【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--，即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素，选C.【解析】因为函数为奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，选A.OPPAO OA∠==即3PAO π∠=，选B.（5）将函数y=sin （2x +ϕ）的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为 （A ）34π （B ） 4π（C ）0 （D ） 4π- 【答案】B【解析】将函数y=sin （2x +ϕ）的图像沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数sin[2()]sin(2)84y x x ππϕϕ=++=++，因为此时函数为偶函数，所以,42k k Z ϕπ+=+∈，即,4k k Z ϕπ=+∈，所以选B.（6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组：2x y 20x 2y 103x y 80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为 （A ）2 （B ）1 （C ） 13- （D ） 12- 【答案】 C【解析】作出可行域如图，由图象可知当M 位于点D 处时，OM的斜率最小。
由210380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，即(3,1)D -,此时OM 的斜率为1133-=-，选C. （7）给定两个命题p 、q ，若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的（A ）充分而不必条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】因为﹁p 是q 的必要而不充分条件，所以﹁q 是p 的必要而不充分条件，即p 是﹁q 的充分而不必要条件，选A.（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为（A ） （B ） (C) (D) 【答案】 D【解析】函数y=xcosx + sinx 为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B ，C.当x π=时，()0f ππ=-<,排除A,选D.（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 （A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0 【答案】A【解析】由图象可知，(1,1)A 是一个切点，所以代入选项知，,B D 不成立，排除。
又AB 直线的斜率为负，所以排除C ，选A.设切线的斜率为k ，则切线方程为1(3)y k x -=-，即130kx y k -+-= （10）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 （A ）243 （B ）252 （C ）261 （D ）279 【答案】B【解析】有重复数字的三位数个数为91010900⨯⨯=。
没有重复数字的三位数有1299648C A =,所以有重复数字的三位数的个数为900648=252-，选B.（11）抛物线C 1：y= 12px 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2： 2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p=332343【答案】D【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为33y x =。
抛物线的焦点为(0,)2pF ,双曲线的右焦点为2(2,0)F .1'y x p =，所以在200(,)2x M x p处的切线斜率为3，即01x p =，所以03x p =，即三点(0,)2p F ，2(2,0)F，,)36p M p共线，所以02023p p p--=-，即3p =，选D.【解析】由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+。
所以4y x =，即2x y =时取等号此时22y z =，1)(max =zxy. xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-= 1)221121(42=-+≤y y ，故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分（13）执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输入的n 的值为【答案】3【解析】第一次循环，10123,312,2F F n =+==-==，此时1110.253F =≤不成立。
第二次循环，10235,523,3F F n =+==-==，此时1110.255F =≤成立，输出3n =。
(14)在区间[-3,3]上随机取一个数x ，使得 |x+1 |- |x-2 |≥1成立的概率为 【答案】13【解析】设()12f x x x =+--，则3,31()1221,123,23x f x x x x x x --≤≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪≤≤⎩。
由211x -≥，解得12x ≤<，即当13x ≤≤时，()1f x ≥。
由几何概型公式得所求概率为31213(3)63-==--。
（15）已知向量AB u u u v 与AC u u u v 的夹角为120o，且||3,||2,AB AC ==u u u v u u u v 若,AP AB AC λ=+u u u v u u u v u u u v 且AP BC ⊥u u u v u u u v,则实数λ的值为【答案】712【解析】向量AB u u u v 与AC u u u v 的夹角为120o，且||3,||2,AB AC ==u u u v u u u v 所以1cos1203232AB AC AB AC ⋅=⋅=-⨯⨯=-ou u u v u u u v u u u v u u u v 。
由AP BC ⊥u u u v u u u v 得，0AP BC ⋅=u u u v u u u v ，即()()0AP BC AB AC AC AB λ⋅=+⋅-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以22(1)0AC AB AB AC λλ-+-⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v，即493(1)0λλ---=，解得712λ=。
（16）定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题：①若0,0a b >>，则ln ()ln ba b a ++= ②若0,0a b >>，则ln ()ln ln ab a b +++=+ ③若0,0a b >>，则ln ()ln ln a a b b+++≥-④若0,0a b >>，则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++ 其中的真命题有： （写出所有真命题的编号）【答案】①③④【解析】①当1,0a b >>时，1ba >，ln ()ln ln ,ln ln bba ab a b a b a ++===，所以ln ()ln b a b a ++=成立。
当01,0a b <<>时，01b a <<，此时ln ()0,ln 0b a b a ++==，即ln ()ln b a b a ++=成立。
综上ln ()ln b a b a ++=恒成立。
②当1,a e b e==时，ln ()ln10,ln ln 1,ln 0ab a e b +++=====，所以ln ()ln ln ab a b +++=+不成立。
③讨论,a b的取值，可知正确。
④讨论,a b 的取值，可知正确。
所以正确的命题为①③④。
三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a+c=6，b=2，cosB= 79. （Ⅰ）求a ，c 的值； （Ⅱ）求sin （A-B ）的值. 解答：（1）由cosB=79与余弦定理得，221449a c ac +-=，又a+c=6，解得3a c ==（2）又a=3,b=2，42sin 9B =与正弦定理可得，22sin 3A =,1cos 3A =， 所以sin （A-B ）=sinAcosB-cosAsinB=10227（18）（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA=BP=BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ=2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH 。
（Ⅰ）求证：AB//GH ；（Ⅱ）求二面角D-GH-E 的余弦值 . 解答：（1）因为C 、D 为中点，所以CD//AB 同理：EF//AB ，所以EF//CD ，EF ⊂平面EFQ ， 所以CD//平面EFQ ，又CD ⊂平面PCD,所以 CD//GH ，又AB//CD ，所以AB//GH.(2)由AQ=2BD ，D 为AQ 的中点可得，△ABQ 为直角三角形，以B 为坐标原点，以BA 、BC 、BP为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，可得平面GCD 的一个法向量为1(0,2,1)n =u v，平面EFG 的一个法向量为2(0,1,2)n =u u v，可得4cos 5α==,所以二面角D-GH-E 的余弦（2）由题意可知X 的可能取值为：3,2,1,0相应的概率依次为：14416,,,，所以EX=7解答：（1）由S 4=4S 2，a 2n =2a n +1，｛a n ｝为等差数列，可得，11,2a d ==所以21n a n =-（1）求()f x 的单调区间，最大值；（2）讨论关于x 的方程|ln |()x f x =根的个数.直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1、PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线 PM 交C 的长轴于点M （m ，0），求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公定值.204x ≠，将向量坐标代入并化简得：m （23000416)312x x x -=-，因为204x ≠，。