2020高考数学刷题首选卷单元测试(八)概率与统计文(含解析)

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2020高考数学复习—概率与统计练习试题卷

4 C 2 1 高考数学复习—概率与统计练习试题卷一、选择题(10×5′=50′)1.设导弹发射的事故率为 0.01,若发射导弹 10 次，其中出事故的次数为ξ,则下列结论正确的是()A.E ξ=0.1B.P (ξ=k )=0.01k ·0.9910-kC.D ξ=0.1D.P （ξ=k ）=C k 0.99k ·0.0110-k102.一个盒子里装有相同大小的黑球 10 个，红球 12 个，白球 4 个，从中任取 2 个，其中白球的个数记为ξ , 则下列算式中等于C 1 C 122 22C 2 26的是()A.P (0<ξ≤2)B.P (ξ≤1)C.E ξD.D ξ3.已知随机变量ξ和η，其中η=12ξ+7,且 E η=34,若ξ的分布列如下表，则 m 的值为ξ 12 3 4P m n41 12A. 1B. 1C. 1D. 134684.一整数等可能地在 1、2、…、10 中取值，以ξ记除得尽这一整数的正整数的个数，那么Eξ等于()A.2.6B.2.5C.2.7D.2.85.若ξ的分布列为：ξ01P p q其中p∈(0,1),则()A.Eξ=p,Dξ=p3B.Eξ=p,Dξ=p2C.Eξ=q,Dξ=q2D.Eξ=1-p,Dξ=p-p26.如果ξ是离散型随机变量，η=3ξ+2,那么()A.Eη=3Eξ+2,Dη=9DξB.Eη=3Eξ,Dη=3Dξ+2C.Eη=3Eξ+2,Dη=9Eξ+4D.Eη=3Eξ+4,Dη=3Dξ+27.设随机变量ξ～B（n,P）,且Eξ＝1.6，Dξ=1.28,则()A.n=8,P=0.2B.n=4,P=0.4C.n=5,P=0.32D.n=7,P=0.458.设掷1颗骰子的点数为ξ,则()A.Eξ=3.5,Dξ=3.52B.Eξ=3.5,Dξ=3512C.Eξ=3.5,Dξ=3.5D.Eξ=3.5,Dξ=35169.设离散型随机变量ξ满足Eξ＝-1，Dξ＝3，则E［3(ξ2-2)］等于()⎪2(1 ≤ x < 2) ⎪2(1 ≤ x < 2) ⎪ 1⎪ 1 (1 ≤ x < 2) ⎪1( x ≥ 2) ⎪ 1⎪ 3 (1 ≤ x < 2) P a BA.9B.6C.30D.3610.设随机变量ξ的分布列如下所示：ξ12P1 31 61 2则函数 F (x )=P (ξ≤x )(x ∈R )的解析式为( )⎧0( x < 0) A.F (x )=P (ξ≤x )= ⎪1(0 ≤ x < 1)⎨ ⎪⎩3( x ≥ 2)⎧0( x < 0) B.F (x )=P (ξ≤x )= ⎪3(0 ≤ x < 1)⎨ ⎪⎩1( x ≥ 2)C.F (x )=P (ξ≤x )=⎧0( x < 0) ⎪ (0 ≤ x < 1) ⎪ 3 ⎨ ⎪ 2⎩D.F (x )=P (ξ≤x )= ⎧0( x < 0) ⎪ (0 ≤ x < 1)⎪⎪ 6⎨ 1 ⎪⎪ 1 ( x ≥ 2) ⎪⎩ 2二、填空题（4×4′=16′）11.已知某离散型随机变量ξ的数学期望 E ξ= 7 ，ξ的分布列如下：6ξ 0 1231 1 36则 a =.12.两名战士在一次射击比赛中，战士甲得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.4、0.1、0.5;战士乙得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.1、0.6、0.3,那么两名战士得胜希望大的是 .13.某人有6把钥匙，其中只有一把能打开门，今任取一把试开，不能打开的除去，则打开此门所需试开次数ξ的数学期望Eξ=.14.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望Eξ=.三、解答题（4×10′+14′=54′）15.某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是.13(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；(3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望和方差.16.某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km(不足1km也按1km计程)收费3元计费.设出租车一天行驶的路程数ξ（按整km数计算，不足1km的自动计为1km）是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量.已知一个司机在某个月每次出车都超过了3km,且一天的总路程数可能的取值是200、220、240、260、280、300（km），它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2+3a、4a.(1)求这一个月中一天行驶路程ξ的分布列，并求ξ的数学期望和方差.(2)求这一个月中一天所收租车费η的数学期望和方差.17.某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班.若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图所示(例如A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为110,路段CD发生堵车事件的概率为115).(1)请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小;(2)若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ,求ξ的数学期望Eξ.第17题图18.一出租车司机从饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是1.3(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了2个交通岗的概率；(2)求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差.19.A有一个放有x个红球、y个白球、z个黄球的箱子（x、y、z≥1,x+y+z=6）,B有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定当两球同色时为A胜，异色时为B胜.(1)用x、y、z表示A胜的概率；(2)若又规定当A取红、白、黄而得胜的得分分别为1、2、3；负则得0分，求使A得分的期望最大的x、y、z.概率与统计练习100分参考答案一、选择题1.A∵P(ξ=k)=C k·0.01k(1-0.01)10-k,Eξ=nP=0.1.102.B作出概率分布可得.3.A本题考查随机变量的期望及有关的运算，由2 P 1 P 2 P n-1 P nη=12ξ+7 ⇒ E η=12E ξ+7 ⇒ 34=12E ξ+7 ⇒ E ξ= 94⇒ 94=1× 1 +2×m +3×n +4× 1 ,4 2 又 1 +m+n + 1 =1, 联立求解可得 m = 1 ,故选 A.4234.C P (ξ=1)= 1 ,P (ξ=2)= 4 ,P (ξ=3)= 2 ,P (ξ=4)= 3 . 10 10 10 10∴E ξ= 1 +2× 4 +3× +4× 3 =2.7.101010105.D 由于 p ＋q =1,所以 q =1-p ,从而 E ξ=0×p +1×q =q =1-p ,D ξ=［0-(1-p )］2p +［1-(1-p )］2q =(1-p )2p +p 2(1-p )=p -p 26.A 设随机变量ξ的分布列是：ξx 1 x 2 …x n-1 x nPP 1P 2…P n-1P n则η=3ξ+2 的分布列为：η3x 1+2 3x 2+2 …3x n-1+2 3x n +2P从而…E η =E (3 ξ +2)=(3x 1+2)P 1+(3x 2+2)P 2+ …+(3x n-1+2)P n-1+(3x n +2)P n=3(x 1P 1+x 2P 2+… +x n-1P n-1+x n P n )+2(P 1+P 2+ …+P n -1+P n )=3E ξ+2;D η = ［ (3x 1+2)-(3E ξ +2) ］ 2P 1+ ［ (3x 2+2)-(3E ξ +2) ］ 2P 2+ … +⎩nP(1 - P) = 1.28.［(3x n-1+2)-(3E ξ+2)］ P n-1+［(3x n +2)-(3E ξ+2)］ P n =9(x 1-E ξ)2P 1+9(x 2-Eξ)2P 2+…+9(x n-1-E ξ)2P n-1+9(x n -E ξ)2P n=9［(x 1-E ξ)2P 1+(x 2-E ξ)2P 2+…+(x n-1-E ξ)2P n-1+(x n -E ξ)2P n ］=9D ξ.点评对于随机变量ξ和η，如果η=a ξ+b (a 、b 为常数)，则有 E η=aEξ+b ,D η=a 2D ξ.7.A ∵ξ~B (n ,P ),∴E ξ=nP ,D ξ=nP (1-P),从而有 ⎧nP = 1.6,⎨ 解之，得 n =8,P =0.2.8.B 随机变量ξ的分布列是：ξ123456P161 61 61 61 61 61 6 从而 E ξ=1× 1 +2× 1 +3× 1 +4× 1 +5× 1 +6× 1 =3.5,6 6 6 6 6 6D ξ=(1-3.5)2× 1 +(2-3.5)2× 1 +(3-3.5)2× 1 +(4-3.5)2× 1 +(5-3.5)2×6 6 6 6+(6-3.5)2× 1 = 35 . 6 129.B E ［3(ξ2-2)］=E (3ξ2-6)=3E ξ2-6=3［D ξ+(E ξ)2］-6=6.10.C 从表中可见，当 x <0 时，P （ξ≤x ）=0;当 0≤x <1 时，P (ξ≤x )=P (ξ=0)= 1 ;3当 1≤x <2 时，P （ξ≤x ）=P (ξ=0)+P (ξ=1)= 1 ;2当 x ≥2 时，P （ξ≤x ）=P (ξ=0)+P (ξ=1)+P (ξ=2)=1.点评对于密度函数，要理解其意义，搞清它与概率分布的联系与区别.⎪ ∴p =C 3 ⎛ 1 ⎫ 3 ⎛1 ⎫ 3 =20× 16 ⎪ 1 - ⎪ 二、填空题11. 1本题需运用离散型随机变量的期望等知识.3 E ξ= 7 =0×a +1× 1 +2× 1 +3b ⇒ b = 1 .6366又 P (ξ=0)+P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1a + 1 + 1 + 1 =1 ⇒ a = 1 .366312.乙甲获胜的期望与方差分别是:(E ξ) 甲 =0.4×1+0.1×2+0.5×3=2.1,(D ξ) 甲 =(2.1-1)2 ×0.4+(2.1-2)2 ×0.1+(2.1-3)2×0.5=0.89.乙获胜的期望与方差分别是:(E ξ) 乙 =0.1×1+0.6×2+0.3×3=2.2,(D ξ) 乙 =(2.2-1)2 ×0.1+(2.2-2)2 ×0.6+(2.2-3)2×0.3=0.456.∵乙的期望高于甲，且乙的水平比甲稳定，故得胜希望大的是乙.13. 7E ξ=1× 1 +2× 1 +3× 1 +4× 1 +5× 1 +6× 1 = 7 .2666666214. 12因为是有放回地摸球，所以每次摸球（试验）摸得红球（成功）5的概率均为 3 ,连续摸 4 次（做 4 次试验），ξ为取得红球（成功）的次数， 5则ξ~B ⎛ 4, 3 ⎫ ,从而有 E ξ=nP =4× 3 = 12 .⎝5 ⎭55三、解答题15.解 (1)p =(1- 1 )2· 1 =334 27.(2)6 场胜 3 场的情况有 C 3 种. 6⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭27 × 8 27 = 160 .729 (3)由于ξ服从二项分布，即ξ～B (6, 1 ),3∴Eξ=6×1=2,Dξ=6×1×(1-1)=4.3333答：(1)这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为4;27(2)这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为160;729(3)在6场比赛中这支篮球队胜场的期望为2,方差为4.3点评在二项分布ξ～B(n,p)中,期望Eξ=np,方差=npq.这两个公式只要求考生了解、会用，不要求给予证明.16.解（1）由概率分布的性质有0.12+0.18+0.20+0.20+100a2+3a+4a=1.∴100a2+7a=0.3,∴1000a2+70a-3=0,a=3100,或a=-110(舍去)，即a=0.03,∴100a2+3a=0.18,4a=0.12,∴ξ的分布列为ξ200220240260280300P0.120.180.200.200.180.12∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250(km)Dξ=502×0.12+302×0.18+102×0.20+102×0.20+302×0.18+502×0.12=964;(2)由已知η=3ξ-3(ξ>3,ξ∈Z),∴Eη=E(3ξ-3)=3Eξ-3=3×250-3=747(元)Dη=D(3ξ-3)=32Dξ=8676.17.解(1)记路段MN发生堵车事件为MN,因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为1-P(AC·CD·DB)=1-P(AC)·P(CD)·(DB)=1-［1-P(AC)］［1-P(CD)］［1-P(DB)］=1-910·14·5= 156310;同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1-P(AC·CF·FB)=239(大于800310);路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1-P(AE·EF·FB)=91300(小于310);显然要使得由A到B路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线A→C→F→B,可使得途中发生堵车事件的概率最小.(2)路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0,1,2,3.P(ξ=0)=P(AC ·CF·FB)=561.800P(ξ=1)=P(AC·CF·FB)+P(AC·CF·FB)+P(AC·CF·FB)=110×17×11+2012910×320×11+12910×17×20112=6372400.P(ξ=2)=P(AC·CF·FB)+P(AC·CF·FB)+P(AC·CF·FB)=110×320×11+12110×17×20112+910×320×112=772400,P(ξ=3)=P(AC·CF·FB)=1×3×1=3,1020122000Eξ=0×561+1×8006372400+2×772400+3×32000=1.3答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为1.3111 x1y1z36=18+y18.解(1)因为这位司机第一二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以P=(1-1)(1-1)×1=3334 27 .(2)易知ξ~B(6,1).∴Eξ=6×1=2,Dξ=6×1×(1-1)=4.3333319.解(1)从两个箱子里各取1球，共C1C1=36种取法，66其中同色的取法有C1C1+C1C1+C1C1=3x+2y+z故A胜的概率为x3y2z13x+2y+z.36(2)设A得分为ξ,则ξ可能取值为0、1、2、3,其概率分别为P(ξ=0)=1-C1C3+C1C4+C1C5=1-3x+4y+5zC1C16636P(ξ=1)=C1C3C1C166=3x 36P(ξ=2)=C1C2C1C166=2y 36P(ξ=3)=C1C1=z 36C1C166∴Eξ=0×1-3x+4y+5z+1×3x+2×2y+3×363636z36=3x+4y+3z36∵x+y+z=6,∴Eξ=3(6-y)+4y36∵x,y,z≥1,∴当x=1,y=4,z=1时，Eξ最大为11.18。

2020年高考数学(文科) 历年真题模拟题高分必刷题之概率与统计的综合问题

[基础题组练]1．为研究女大学生体重和身高的关系，从某大学随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表：身高 x /cm 165165157170175165155170体重 y /kg48 57 50 54 64 61 43 59利用最小二乘法求得身高预报体重的回归方程为y ＝0.849x －85.712，据此可求得R 2≈0.64，下列说法正确的是( )A ．两组变量的相关系数为0.64B ．R 2越趋近于1，表示两组变量的相关关系越强C ．女大学生的身高解释了64%的体重变化D ．女大学生的身高差异有64%是由体重引起的解析：选 C.用最小二乘法求得身高预报体重的回归方程为y ^＝0.849x －85.712，据此可求得R 2≈0.64，即女大学生的身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%，故选C.2．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关情况，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用最小二乘法，求得回归直线所对应的方程分别为l 1：y ＝0.7x －0.5和l 2：y ＝0.8x －1，则这两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值s 与对变量y 的观测数据的平均值t 的和是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选A.因为两组数据对变量x 的观测数据的平均值都是s ，对变量y 的观测数据的平均值都是t ，所以两组数据的样本中心点都是(s ，t )．因为数据的样本中心点一定在线性回归直线上，所以回归直线l 1和l 2都过点(s ，t )．由⎩⎪⎨⎪⎧t ＝0.7s －0.5，t ＝0.8s －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝5，t ＝3，所以s ＋t ＝8.故选A.3．(2019·贵阳第一学期检测)A 市某校学生社团针对“A 市的发展环境”对男、女各10名学生进行问卷调查，每名学生给出评分(满分100分)，得到如图所示的茎叶图．(1)计算女生打分的平均分，并根据茎叶图判断男生、女生打分谁更分散(不必说明理由)； (2)如图(2)是按该20名学生的评分绘制的频率分布直方图(每个分组包含左端点，不包含右端点)，求a 的值；(3)从打分在70分以下(不含70分)的学生中抽取2人，求有女生被抽中的概率．解：(1)女生打分的平均数为110×(68＋69＋76＋75＋70＋78＋79＋82＋87＋96)＝78；男生打分比较分散．(2)由茎叶图可知，20名学生中评分在[70，80)内的有9人，则a ＝920÷10＝0.045.(3)设“有女生被抽中”为事件A ，由茎叶图可知，有4名男生，2名女生的打分在70分以下(不含70分)，其中4名男生分别记为a ，b ，c ，d ，2名女生分别记为m ，n ，从中抽取2人的基本事件有ab ，ac ，ad ，am ，an ，bc ，bd ，bm ，bn ，cd ，cm ，cn ，dm ，dn ，mn ，共15种，其中有女生被抽中的事件有am ，an ，bm ，bn ，cm ，cn ，dm ，dn ，mn ，共9种，所以P (A )＝915＝35.4．(2019·河南郑州一中入学测试)已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．(1)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的3个人的编号；(下面摘取了第7行到第9行的数据)⎭⎬⎫84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 7447 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76第7行⎭⎬⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎬⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行(2)抽取的100人的数学与地理的测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的人数共有20＋18＋4＝42.人数数学②在地理成绩及格的学生中，已知a ≥11，b ≥7.求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．解：(1)785，567，199. (2)①7＋9＋a100×100%＝30%，所以a ＝14，b ＝100－30－(20＋18＋4)－(5＋6)＝17. ②a ＋b ＝100－(7＋20＋5)－(9＋18＋6)－4＝31. 因为a ≥11，b ≥7，所以a ，b 所有可能的取值为：(11，20)，(12，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，(16，15)，(17，14)，(18，13)，(19，12)，(20，11)，(21，10)，(22，9)，(23，8)，(24，7)，共14种．当a ≥11，b ≥7时，设“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件A ，则a ＋5＜b .事件A 包括：(11，20)，(12，19)，共2个基本事件．所以P (A )＝214＝17，故数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为17.[综合题组练]1．某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下．么从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答)；(2)经过对甲、乙两名同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5，14.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8的概率．解：(1)茎叶图(其中茎表示整数部分，叶表示小数部分)，或频率分布直方图如图．从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，故选派乙同学参加比赛更好． (2)设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，则由|x －y |＜0.8，得－0.8＜x －y ＜0.8，如图，阴影部分的面积为3×3－2.2×2.2＝4.16.故所求概率为P (|x －y |＜0.8)＝P (－0.8＜x －y ＜0.8)＝4.163×3＝104225.2．(2019·沈阳质量检测(一))为调查中国及美国的高中生在“家”、“朋友聚集的地方”、“个人空间”这三个场所中感到最幸福的场所是哪个，从中国某城市的高中生中随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生的答题情况：选择“家”的高中生的人数占25，选择“朋友聚集的地方”的高中生的人数占310，选择“个人空间”的高中生的人数占310，美国高中生的答题情况：选择“家”的高中生的人数占15，选择“朋友聚集的地方”的高中生的人数占35，选择“个人空间”的高中生的人数占15.(1)请根据以上调查结果将下面的2×2列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为“恋家(在家里感到最幸福)”与国别有关；(2)步调查，再从4人中随机选出2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到最幸福的高中生的概率．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)补充因为K 2＝100×（22×36－9×33）31×69×55×45≈4.628＞3.841，所以有95%的把握认为是否“恋家”与国别有关．(2)用分层抽样的方法选出4人，其中在“朋友聚集的地方”感到最幸福的有3人，在“个人空间”感到最幸福的有1人，分别记为a 1，a 2，a 3，b ，则所有的基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b )，(a 2，a 3)，(a 2，b )，(a 3，b )，共6个．设“含有在‘个人空间’感到最幸福的高中生”为事件A . 则A 包含的基本事件为(a 1，b )，(a 2，b )，(a 3，b )，共3个，所以P (A )＝36＝12，故2人中含有在“个人空间”感到最幸福的高中生的概率为12.3．(应用型)(2019·太原模拟试题(一))某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少抽入一元钱，现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和所得捐款额情况，列表如下：20名，获一等奖学金500元；综合考核前21～50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．(1)若x 与y 成线性相关，则某天售出9箱水时，预计所得捐款额为多少元？(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率．附：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －.解：(1)x －＝7＋6＋6＋5＋65＝6，y －＝165＋142＋148＋125＋1505＝146，b ^＝∑5i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑5i ＝1 （x i －x －）2＝19＋0＋0＋21＋01＋0＋0＋1＋0＝20， a ^＝y －－b ^x －＝146－20×6＝26，所以y ^＝20x ＋26.当x ＝9时，y ^＝20×9＋26＝206.即某天售出9箱水的预计所得捐款额是206元．(2)设事件A 1：甲获一等奖；事件A 2；甲获二等奖；事件B 1：乙获一等奖；事件B 2：乙获二等奖；事件C 1：丙获一等奖；事件C 2：丙获二等奖．则总事件为(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，共8种情况．甲、乙、丙三人获得奖金之和不超过1 000元的事件有(A 2，B 2，C 2)1种情况，则三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率为18. 4．某市一中学课外活动小组为了研究经济走势，对该市1994～2016年的GDP(国内生产总值)相关数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．其中z i ＝ln y i ，w i ＝ln x i .e 6.42≈614.003，e 6.63≈757.482，e 6.84≈934.489，ln 24≈3.18，ln 25≈3.22，ln 26＝3.26.(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx ，y ＝e c＋dx与y ＝m ＋n ln x 哪一个适合作为该市GDP 值y关于年份代码x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； (3)试预测该市2018年的GDP 值．(参考公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1（x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －)解：本题考查非线性拟合，线性回归方程求法及预测． (1)由散点图可以判断，y ＝e c＋dx适宜作为该市GDP 值y 关于年份代码x 的回归方程类型．(2)令z ＝ln y ，则z ＝c ＋dx ，由参考数据得，d ^＝∑23i ＝1 （x i －x －）（z i －z －）∑23i ＝1（x i －x －）2＝212.521 012＝0.21，c ^＝z －－d ^·x －＝3.9－0.21×12＝1.38. 所以z 关于x 的线性回归方程为z ^＝1.38＋0.21x ，所以y 关于x 的回归方程为y ^＝e 1.38＋0.21x .(3)由(2)可知，当x ＝25时，y ^＝e 1.38＋0.21×25＝e 6.63≈757.482.所以预测2018年该市GDP值约为757.482亿元．。

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2020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练【题型归纳】题型一古典概型例1 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）.A.15 B. 25 C. 825D. 925【答案】B【解析】可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2人的方法有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有种选法，其中只有前4种是甲被选中，所以所求概率为.故选B. 例2 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 【答案】23【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：4263p ==．【易错点】列举不全面或重复,就是不准确【思维点拨】直接列举,找出符合要求的事件个数.1042105=题型二几何概型例1 如图所示，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）.A.14 B. π8 C. 12 D. π4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为a ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为822122ππ=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯a a .故选B.例2 在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为________. 【答案】32【解析】方程22320x px p ++-=有两个负根的充要条件是2121244(32)020320p p x x p x x p ⎧∆=--≥⎪+=-<⎨⎪=->⎩即21,3p <≤或2p ≥，又因为[0,5]p ∈，所以使方程22320x px p ++-=有两个负根的p 的取值范围为2(,1][2,5]3U ，故所求的概率2(1)(52)23503-+-=-，故填：32.【易错点】“有两个负根”这个条件不会转化.【思维点拨】“有两个负根”转化为函数图像与x 轴负半轴有两个交点.从而得到参D数p 的范围.在利用几何概型的计算公式计算即可. 题型三抽样与样本数据特征例1 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 ________件．【答案】18【解析】按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取60300181000⨯=(件)．例2 已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为．【答案】11【解析】因为样本数据，，⋅⋅⋅，的均值，又样本数据，，，的和为()122n x x x n ++++L ，所以样本数据的均值为＝11.例3 某电子商务公司对10000名网络购物者2018年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.30.9]，内，其频率分布直方图如图所示. （1）直方图中的a = .（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.50.9]，内的购物者的人数为 .【答案】3a = 人数为0.6100006000⨯=1x 2x n x 5x =121x +221x +⋅⋅⋅21n x +21x+/万元a【解析】由频率分布直方图及频率和等于1，可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解之得3a =.于是消费金额在区间[]0.50.9，内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=，所以消费金额在区间[]0.50.9，内的购物者的人数为0.6100006000⨯=.例 4 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图所示．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】见解析【解析】（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，得0.0075x =．/度（2）由图可知，月平均用电量的众数是2202402302+=. 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，又()0.0020.00950.0110.0125200.70.5+++⨯=>，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内.设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=，得224a =，所以月平均用电量的中位数是224.（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=（户）；月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=（户）；月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=（户）；月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=（户）. 抽取比例为11125151055=+++，所以从月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=（户）．【易错点】没有读懂题意,计算错误.不会用函数思想处理问题【思维点拨】根据题意分情况写出函数解析式；2牵涉到策略问题,一般可以转化为比较两个指标的大小. 题型四回归与分析例1下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（2）建立关于的回归方程（系数精确到），预测年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据：，.参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【答案】见解析【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得，，，，.y年生活垃圾无害化处理量年份代码ty t y t 0.012016719.32i i y ==∑7140.17i i i t y ==∑0.55= 2.646≈()()niit t y y r --=∑$$y abt =+$121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑$，$=.a y bt-$4t =()27128i i t t =-=∑0.55=()()77711140.1749.32 2.89i i i i i i i i t t y y t y t y ===--=-=-⨯=∑∑∑ 2.890.990.552 2.646r ≈≈⨯⨯因为与的相关系数近似为，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（1）变量与的相关系数，又，，，所以，故可用线性回归模型拟合变量与的关系.（2），，所以，，所以线性回归方程为. 当时，.因此，我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理亿吨.【易错点】没有读懂题意,计算错误.【思维点拨】将题目的已知条件分析透彻,利用好题目中给的公式与数据. 题型五独立性检验例1 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：y t 0.99y t y t y t 7777()()7iii i i it t y y t y t y r ---⋅==∑∑∑∑7128i i t ==∑719.32i i y ==∑7140.17i i i t y ==∑ 5.292==0.55=740.17289.320.997 5.2920.55r ⨯-⨯=≈⨯⨯y t 4t =y =7117i i y =∑7172211740.17749.327ˆ0.10287i ii ii t y t yb tt ==-⋅-⨯⨯⨯===-∑∑1ˆˆ9.320.1040.937ay bx =-=⨯-⨯≈ˆ0.10.93y t =+9t =ˆ0.190.93 1.83y=⨯+=1.83则哪位同学的试验结果体现A、B两变量更强的线性相关性？() A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】D【解析】D因为r>0且丁最接近1，残差平方和最小，所以丁相关性最高【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系【思维点拨】相关系数r的绝对值越趋向于1,相关性越强.残差平方和m越小相关性越强【巩固训练】题型一古典概型1.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是．【答案】【解析】将先后两次点数记为，则基本事件共有（个），其中点数之和大于等于有，共种，则点数之和小于共有种，所以概率为．2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）.A．112B．114C．115D．118【答案】C 1,2,3,4,5,621056(),x y6636⨯=10()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,661030305 366=【解析】不超过30的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共10个，随机选取两数有45（种）情况，其中两数相加和为30的有7和23，11和19，13和17，共3种情况，根据古典概型得314515P ==.故选C .3.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【答案】56P =【解析】1只白球设为a ，1只红球设为b ，2只黄球设为c ，d ，则摸球的所有情况为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d ，共6件，满足题意的事件为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，共5件，故概率为56P =．题型二几何概型1.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）.A .B .C .D . 【答案】B【解析】如图所示，画出时间轴.小明到达的时间会随机的落在图中线段中，而当他的到达时间落在线段或时，才能保证他等车的时间不超过分钟.根据几何概型，所求概率.故选B . 13122334A 8:208:307:30AB AC DB 1010101402P +==2. 从区间随机抽取2n 个数，，…，，，，…，，构成n 个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（）.A .B .C .D .【答案】C【解析】由题意得：在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，所以.故选C ．3.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅰ，其余部分记为Ⅰ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则 A ．12p p = B ．13p p = C ．23p p = D ．123p p p =+【答案】A【解析】概率为几何概型，总区域面积一定，只需比较Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ区域面积即可.设直角三角形ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则区域Ⅰ的面积为112S ab =，[]0,11x 2x n x 1y 2y n y ()11,x y ()22,x y (),n n x y π4n m2n m4m n2m n()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，π41m n=4πmn=区域Ⅰ的面积为222211111111πππ22222222S c b ab a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，区域Ⅰ的面积为22231111111πππ2222282S c b ab a ab ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 显然12p p =.故选A .题型三抽样与样本的数据特征1.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．【答案】10【解析】平均数()146587666x =+++++=．2.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅰ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.【答案】3；6000【解析】频率和等于1可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解之得3a =.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.20.10.80.120.130.10.6⨯+⨯+⨯+⨯=，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为：0.6100006000⨯=，故应填3；6000. 3.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情x x x况，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图中的值；（2）设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，请说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由. 【答案】见解析【解析】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在中的频率为，同理，在，，，，，中的频率分别为，，，，， .由，解得.（2）由（1），位居民每人月均用水量不低于吨的频率为. 由以上样本的频率分布，可以估计全市万居民中月均用水量不低于吨的人数为.（3）因为前组的频率之和为，而前组的频率之和为，所以由，解得. 题型四回归与分析1.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：100[)0,0.5[)0.5,1⋅⋅⋅[)4,4.59a 30385%x x [)00.5，0.080.50.04⨯=[)0.5,1[)1.5,2[)22.5，[)33.5，[)3.54，[)44.5，0.080.200.260.060.040.020.04+0.08+0.50.200.260.50.060.040.021a a ⨯+++⨯+++=0.30a =10030.06+0.04+0.02=0.123033000000.1236000⨯=60.040.080.150.200.260.15=0.880.85----->50.04+0.08+0.150.200.26=0.730.85--< 2.5 3.x <…()0.3 2.50.850.73x ⨯-=- 2.9x =根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【答案】B【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元），6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故ˆ80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.760.4y x =+．当社区一户收入为15万元，家庭年支出为 ˆ0.7615y =⨯+0.411.8=（万元）．故选B ．2.为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）.A .B .C .D . 【答案】C 【解析】，，所以，时，.ˆˆˆybx a =+101225i i x ==∑1011600i i y ==∑ˆ4b =16016316617022.5x =160y =$160422.570a =-⨯=24x =42470166y =⨯+=故选C .3.某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =⋅⋅⋅数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中i w =8118i i w w ==∑，（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系式为0.2z y x =-，根据（2）的结果回答下列问题：（Ⅰ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？年宣传费/千元（Ⅰ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据()11,u v ()22,u v ，⋅⋅⋅，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i nii uu v v uu β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 【答案】见解析【解析】（1）由散点图变化情况可知选择y c =+较为适宜．（2）由题意知()()()81821108.8681.6iii ii w w y y d w w ==--===-∑∑．又y c =+一定过点(),y ω，所以c y d ω=-=56368 6.8100.6-⨯=，所以y 与x的回归方程为100.6y =+（3）（Ⅰ）由（2）知，当49x =时，()100.668576.6t y =+=， 0.2576.649z =⨯-=66.32（千元），所以当年宣传费为49x =时，年销售量为()576.6t ，利润预估为66.32千元．（Ⅰ）由（2）知，(0.20.2100.6z y x x =-=+-=x +20.12=)226.8 6.820.12-++6.8时，年利润的预估值最大，即26.846.24x ==（千元）．题型五独立性检验1.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的K 2≈3.918，则下列表述中正确的是（）A ．有95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B ．若有人未使用该血清，那么他一年中有95℅的可能性得感冒C ．这种血清预防感冒的有效率为95℅D ．这种血清预防感冒的有效率为5℅ 【答案】A【解析】由题可知，在假设H 成立情况下，)841.3(2≥K P 的概率约为0.05，即在犯错的概率不错过0.05的前提下认为“血清起预防感冒的作用”，即有95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.这里的95℅是我们判断H 不成立的概率量度而非预测血清与感冒的几率的量度，故B 错误.C ，D 也犯有B 中的错误.故选A 2.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x y ，之间关系最强的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】在频率等高条形图中，a ab +与cc d+相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，四个选项中，即等高的条形图中12,x x 所占比例相差越大，则分类变量,x y 关系越强，故选D ．3.淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）的频率分布直方图如图所示.（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ .频率频率组距箱产量/kg新养殖法旧养殖法箱产量/kg【答案】见解析【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B ，“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C ，由题图并以频率作为概率得()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.62=，()0.06850.04650.01050.0085P C =⨯+⨯+⨯+⨯0.66=，()()()0.4092P A P B P C ==.（2）由计算可得2K 的观测值为()222006266383415.70510010096104k⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为15.705 6.635>，所以()2 6.6350.001P K ≈≥，从而有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关．（3）150.2÷=，()0.10.0040.0200.0440.032-++=，80.0320.06817÷=，85 2.3517⨯≈，50 2.3552.35+=，所以中位数为52.35.。

高考数学刷题首选卷单元测试(八)概率与统计文(含解析)

2000 3．(2018·合肥质检一)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为 5 分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是() A．114 B．112 C．17 D．16 答案 D 解析我们研究在一个小时内的概率即可，不妨研究在一点至两点之间听到新闻的时间段．由题可知能听到新闻的时间段为 1 点到 1 点 5 分，以及 1 点 30 分到 1 点 35 分，总计
ABC 内部画圆弧，得三个扇形，依题意知点 P 在这三个扇形外，因此所求概率为
43a2－12
×
π
×
a2 2 ＝1－
3π．故选 B．
43a2
6
9．10 枚均匀的骰子同时掷出，共掷 5 次，至少有一次全部出现一点的概率是()
A．1－5105 B．1－5610
少有一次 10 枚骰子全部出现一点的概率等于 1－1－1105．故选 D． 6
10．(2018·广东广州海珠区综合测试)下列说法中正确的是()
①相关系数 r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于 1，相关性越弱； ②回归直线 ^y ＝ ^b x＋ ^a 一定经过样本点的中心(x，y)；
率为()
A． 3 B．2 C．3 D． 7
10
5
5
10
答案 A
解析从这 5 个球中取出 2 个，有如下情况：(红 1，红 2)，(红 1，红 3)，(红 1，蓝
1)，(红 1，蓝 2)，(红 2，红 3)，(红 2，蓝 1)，(红 2，蓝 2)，(红 3，蓝 1)，(红 3，蓝 2)，
(蓝 1，蓝 2)，共 10 种，其中 2 个球颜色不同且标号之和不小于 4 的有(红 2，蓝 2)，(红

2020年高考数学(理)专题训练附解答：概率与统计

（2020江西省上饶市一模）在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户 2相对贫困户 52总计100（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望()E X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0k2.072 2.7063.8415.024专题概率与统计大题肢解一统计案例与数学期望【肢解1】完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户 2相对贫困户 52总计100【肢解2】上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取两户，用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望()E X .【解析】（1）由题意可知，绝对贫困户有()0.250.500.75++0.210030⨯⨯=（户），可得出如列联表：受教育水平良好受教育水平不好总计绝对贫困户 2 28 30 相对贫困户 18 5270总计2080 100()22100182825230702080K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 4.762 3.841≈>．故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关．（2）贫困指标在[)00.4,的贫困户共有()0.250.50.210015+⨯⨯=（户）， “亟待帮助户”共有0. 250.21005⨯⨯=（户），依题意X 的可能值为0，1，2，()210215307C P X C ===，()1110521510121C C P X C ===，()252152221C P X C ===，则X 的分布列为X0 12P371021221故31022()012721213E X =⨯+⨯+⨯=．1.独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）计算K 2的值；(3)查表比较K 2与临界值的大小关系，作统计判断． 2.求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法：(1)理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值的定义求E (ξ)； (5)由方差的定义求D (ξ)．【拓展1】（2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟）手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）年龄段[15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75]频率 0.1 0.32 0.28 0.22 0.05 0.03 使用人数828241221若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？年龄低于45岁年龄不低于45岁使用手机支付不使用手机支付参考数据：)(02k K P ≥ 0.0250.010 0.005 0.0010k3.841 6.635 7.879 10.828参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【解析】（1）由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，可得列联表如下：年龄低于45岁年龄不低于45岁使用手机支付 60 15 不使用手机支付1015于是有K2的观测值2100(60151510)14.28610.82875257030k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＞．故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关．【拓展2】（2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟）手机支付也称为移动支付，是指允许用户使用其移动终端（通常是手机）对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式．随着信息技术的发展，手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式．某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示：（年龄单位：岁）年龄段 [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75] 频率 0.1 0.32 0.28 0.22 0.05 0.03 使用人数828241221（1）若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关？年龄低于45岁年龄不低于45岁使用手机支付不使用手机支付（2）若从年龄在[55，65），[65，75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．【解析】由题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：()223222531010C C P X C C ===，()112213223222225353215C C C C C P X C C C C ==+=，()11122322222222535313230C C C C C P X C C C C ==+=，()212222531315C C P X C C ===，于是X 的分布列为：X 0 1 2 3P110 25 1330 115所以1213122()0123105301515E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．1.(2019年湖北模拟)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：男女总计爱好402060不爱好152540总计5545100（1）能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由．（2）利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛，求选出的2人中恰有1名女大学生的概率．附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.【解析】（1）因为K2＝100×(40×25－20×15)255×45×60×40≈8.249＞6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．（2）由题意，抽取的6人中，有男生4名，分别记为a，b，c，d；女生2名，分别记为m，n.则抽取的结果共有15种：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A，事件A所包含的基本事件有8种：(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)．则P(A)＝815.故选出的2人中恰有1名女大学生的概率为815.2.（2019年湖北省宜昌模拟）某公司招收大学毕业生，经过综合测试录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，在180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．变式训练一（1）现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人．若从这8人中再选3人，求至少有一人来自甲部门的概率；（2）若从甲部门中随机选取3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X的分布列及数学期望．【解析】（1）根据茎叶图可知，甲、乙两部门各有10人，用分层抽样的方法，应从甲、乙两部门中各选取21045⨯=人．记“至少有一人来自甲部门”为事件A，则()3 4 3 813114CP AC=-=．故至少有一人来自甲部门的概率为1314．（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3．()()()()03122130646464643333101010101311 0,1,2,3301026C C C C C C C CP X P X P X P XC C C C============，所以X的分布列为X0 1 2 3P1303101216所以()1311901233010265E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．(2019河南洛阳市模拟)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM 2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A、B、C三个城市进行治霾落实情况抽查．(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X，求X的分布列和期望．大题肢解二二项分布【肢解1】若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；【肢解2】每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X，求X的分布列和期望．【解析】（1）随机选取，共有34＝81种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有C13(C14A22＋C24)＝42种不同方法，故恰有一个城市没有专家组选取的概率为4281＝1427.（2）设事件A：“一个城市需复检”，则P(A)＝1－4)21(＝1516，X的所有可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝C03·3)161(＝14 096，P(X＝1)＝C13·3)161(·1)1615(＝454 096，P(X＝2)＝C23·1)161(·2)1615(＝6754 096，P(X＝3)＝C33·3)1615(＝3 3754 096.所以X的分布列为X 0123P14 096454 0966754 0963 3754 096由题意知X～B)1615,3(，所以E(X)＝3×1516＝4516.二项分布的期望与方差如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．1.(2019四川成都诊断)某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对其每天的用水量做了记录，得到了大量该企业的日用水量的统计数据，从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到变式训练二如图所示的茎叶图(单位：吨)．若用水量不低于95吨，则称这一天的用水量超标．（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天的用水量超标的概率；（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数，记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列、数学期望和方差．【解析】（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个，至多有1天的用水量超标”为事件A ，则P (A )＝C 14C 28C 312＋C 38C 312＝168220＝4255.（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知用水量超标的概率为31. X 的所有可能取值为0，1，2，3，易知X ～B )31,3(，P (X ＝k )＝C k 3kk-⋅⋅3)32()31(，k ＝0，1，2，3，则P (X ＝0)＝827，P (X ＝1)＝49，P (X ＝2)＝29，P (X ＝3)＝127.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P8274929127所以数学期望E (X )＝3×13＝1，D (X )＝3×13×)311(-＝23.2.（2020湖南师范大学附属中学高三上学期第二次月考）某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似满足~(218,140)X N，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【解析】（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.2600.0900.0250.875++++=，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情况有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件，故所求的概率211121 3413414837C C C C C CPC+==.（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为1700.0251800.11900.22000.32100.262200.092300.025⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯200.4=“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足()~218,140X N，则()218E X=. 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6.1.（2019云南省高考模拟）一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球1个、黄色球2个、蓝色球*()n n N ∈个，现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得1分、摸到黄球得2分、摸到蓝球得3分．若从这个口袋中随机的摸出2个球，恰有一个是黄色球的概率是158．（1）求n 的值；（2）从口袋中随机摸出2个球，设ξ表示所摸2球的得分之和，求ξ的分布列和数学期望()E ξ．【解析】（1）由题意有158231211=++n n C C C ，即03522=--n n ，解得3=n ；（2）ξ取值为3,4,5,6.则1112262(3)15C C P C ξ===，11213222664(4)15C C C P C C ξ==+=， 1123262(5)5C C P C ξ===，23261(6)5C P C ξ===， ξ的分布列为：ξ 34 5 6P215 415 25 15故242114()34561515553E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 2.（2020福建省厦门外国语学校高三上学期12月月考）自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 70以上使用人数312 17 6 4 2 0 未使用人数 0314363（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在BF 使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用X 表示这3人中年龄在[50,60)的人数,求随机变量X 的分布列及数学期望；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 【解析】（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17100P =．（2）X 所有的可能取值为1,2,3，()124236115C C P X C ===,()214236325C C P X C ===,()304236135C C P X C ===. 所以X 的分布列为X1 2 3P1553 15所以X 的数学期望为131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=. （3）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有3121764244+++++=人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=.3.（2020广东省惠州市高三第三次调研）为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.（1）已知在被抽取的学生中高一（1）班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一(8)班和高一(9)班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.班级一)1(一)2( 一)3( 一)4( 一)5( 一)6( 一)7( 一(8) 一(9) 一(10)⋯市级2233443342⋯比赛获奖人数市级以上比赛获奖人数22 1 0 23 3 2 1 2⋯【解析】（1）记事件i A {=从6名学生抽取的3人中恰好有i 人有兴趣，i 0=，1，2，3}；则2A 与3A 互斥，故所求概率为()()()()2323P 2P A A P A P A =+=+至少人感兴趣 213033333366C C C C C C ⋅⋅=+101202==；（2）由题意知，随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3；()22342255C C 9P ξ0C C 50⋅===⋅，()11221234342255C C C C C 12P ξ1C C 25⋅⋅+⋅===⋅，()22111243242255C C C C C 3P ξ2C C 10⋅+⋅⋅===⋅ ()21242255C C 1P ξ3C C 25⋅===⋅. 则ξ的分布列为：ξ0 1 2 3p950 1225 310 125数学期望为()9241526E ξ0123505050505=⨯+⨯+⨯+⨯=. 4.（2019·河北高考模拟）某次招聘分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用.笔试需考完全部三科，且至少有两科优秀才算笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关.假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为23，面试两科每科优秀的概率均为34. （1）求该考生被录用的概率；（2）设该考生在此次招聘活动中考试的科目总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望. 【解析】（1）该考生被录用，说明该考生笔试与面试均得以过关.所以=P 3223221335[()+()]=3334412C ⨯⨯⨯. （2）易得ξ的可能取值为3 ,5 ，所以(=3)=1P ξ-3223221207[()+()]=1-=3332727C ⨯，或(=3)=P ξ31231127()+()=33327C ⨯ ，所以20(=5)=1-(=3)=27P P ξξ，或(=5)=P ξ322322120()+()=33327C ⨯ ，ξ的分布列为：ξ3 5P727 2027所以720121()=3+5=272727E ξ⨯⨯. 5.（2019江西省新八校联考）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020（1）若将频率是为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，方案1：不分类卖出，单价为20元/kg ．方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价(元/kg ） 16182224从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望()E X ．【解析】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则201()1005P A ==，现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~(4,)5X B ，所以恰好抽到2个礼品果的概率为22244196(2)C ()()55625P X ===，（2）设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为134216548848()1618222420.61010101010E ξ+++=⨯+⨯+⨯+⨯==，因为()20E ξ>，所以从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个，现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，则36310C 1(0)C 6P X ===；2164310C C 1(1)C 2P X ===； 1264310C C 3(2)C 10P X ===；34310C 1(3)C 30P X ===，所以X 的分布列如下：X0 1 2 3P1612 310 130所以11316()01236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.6.（2020山西省晋城市高三第一次模拟）“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份2014 20152016 2017 2018 销量（万台） 810132524某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主 6 24 女性车主 2 总计30（1）求新能源乘用车的销量y 关于年份x 的线性相关系数r ，并判断y 与x 是否线性相关；（2）请将上述22⨯列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；（3）若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例,从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人,记选到女性车主的人数为X,求X 的数学期望与方差.参考公式：12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.63525≈，若0.9r >，则可判断y 与x 线性相关. 附表：20()P K k ≥0．10 0.05 0.025 0.010 0.001k2.7063.841 5.024 6.635 10.828【解析】（1）依题意，2014201520162017201820165x ++++==，810132524165y ++++==，故51()()(2)(8)(1)(6)192847iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，521()411410ii x x =-=+++=∑，521()643698164254i i y y =-=++++=∑，则51552211()()47470.940.9102542635()()iii iii i x x y y r x x y y ===--===≈>⨯--∑∑∑故y 与x 线性相关.（2）依题意，完善表格如下：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主 18 6 24 女性车主 2 4 6 总计2010302230(18426)15 3.75 2.70620102464K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关. （3）依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为42105=，则2(50,)5X B :，所以2()50205E X =⨯=，22()50(1)1255D X =⨯⨯-=. 7.（2020云南省昆明市第一中学高三一轮检测）某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数x 100≤<x2010≤<x2030x <≤票价（元）369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站，甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为14，13；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为12，13．（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．【解析】（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111424--=，乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111333--=，设“甲、乙两人付费相同”为事件A ，则()11114343P A =⨯+⨯ 111233+⨯=，所以甲、乙两人付费相同的概率是13.（2）由题意可知X 的所有可能取值为：6，9，12，15，18.()11164312P X ==⨯=，()11943P X ==⨯ 111436+⨯=，()11112432P X ==⨯+ 11113433⨯+⨯=，()11112432P X ==⨯+ 1134⨯=，()11118236P X ==⨯=.因此X 的分布列如下：X6912 1518P11216131416所以X 的数学期望()1169126E X =⨯+⨯ 11121534+⨯+⨯ 1511864+⨯=. 8.（2020东北三省三校联合模拟）“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在[]50,100内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出200份,统计得分绘出频率分布直方图如图.（1）求出图中a 的值,并求样本中,答卷成绩在[)80,90上的人数;（2）以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取4名,记成绩在80分以上(含80分)的人数为X ,求X 的分布列和期望.【解析】（1）依题意,()2 376 2101,a a a a a ⨯++++=故0.005a =，故成绩在[)80,90上的频率为600.3,a = 答卷成绩在[)80,90上的人数为2000.360; ⨯=（2）由样本的频率分布直方图知成绩在80分以上(含80分)的频率为2805a =，依题意,24,5X B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()04042381055625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()31423216155625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()22423442321623962,35562555625P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()4442316455625P X C α⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为X0 1 2 34P816252166252166259662516625所以X 的数学期望为()28455E X =⨯=.。

2020年高考数学(文数)解答题强化专练——概率与统计解析版

（文数）解答题强化专练——概率与统计一、解答题（本大题共10小题，共120.0分）1.党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长．“少年强则国强”，青少年身心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步的标志，是国家综合实力的重要方面．全面实施《国家学生体质健康标准》，把健康素质作为评价学生全面健康发展的重要指标，是新时代的要求．《国家学生体质健康标准》有一项指标是学生体质指数（BMI），其计算公式为：，当BMI＞23.5时认为“超重”，应加强锻炼以改善BMI．某高中高一、高二年级学生共2000人，人数分布如表（a）．为了解这2000名学生的BMI指数情况，从中随机抽取容量为160的一个样本．性别男生女生合计年级高一年级5506501200高二年级425375800合计97510252000表（a）（1）为了使抽取的160个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽样方案，并确定每层应抽取出的学生人数；（2）分析这160个学生的BMI值，统计出“超重”的学生人数分布如表（b）．性别男生女生年级高一年级46高二年级24表（b）（i）试估计这2000名学生中“超重”的学生数；（ii）对于该校的2000名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量比年级变量与“是否超重”关联性更强．应用卡方检验，可依次得到K2的观察值k1，k2，是判断k1和k2的大小关系．（只需写出结论）2.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自已能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．考试后对部分考生考试成绩进行抽样分析，得到频率分布直方图如下：试结合此频率分布直方图估计：（1）此次考试的中位数是多少分（保留为整数）？（2）若考生甲的成绩为280分，能否被录取？若能被录取，能否获得高薪职位？（分数精确到个位，概率精确到千分位）3.纪念币是一个国家为纪念国际或本国的政治、历史，文化等方面的重大事件、杰出人物、名胜古迹、珍稀动植物、体育赛事等而发行的法定货币．我国在1984年首次发行纪念币，目前已发行了115套纪念币，这些纪念币深受邮币爱好者的喜爱与收藏.2019年发行的第115套纪念币“双遗产之泰山币”是目前为止发行的第一套异形币，因为这套纪念币的多种特质，更加受到爱好者追捧．某机构为调查我国公民对纪念币的喜爱态度，随机选了某城市某小区的50位居民调查，调查结果统计如下：喜爱不喜爱合计年龄不大于40岁24年龄大于40岁20合计2250（Ⅰ）根据已有数据，把表格数据填写完整，判断能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关？（Ⅱ）已知在被调查的年龄不大于40岁的喜爱者中有5名男性，其中3位是学生，现从这5名男性中随机抽取2人，求至多有1位学生的概率．附：，n=a+b+c+d．P（K2≥k）0.1000.0500.0250.010k 2.706 3.841 5.024 6.6354.某市一水电站的年发电量y(单位：亿千瓦时)与该市的年降雨量x(单位：毫米)有如下统计数据：2013年2014年2015年2016年2017年降雨量x (毫米) 1 500 1 400 1 900 1 600 2 100发电量y (亿千瓦7.4 7.0 9.2 7.9 10.0时)(1)若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率；(2)由表中数据求得线性回归方程为＝0.004x＋，该水电站计划2019年的发电量不低于8.6 亿千瓦时，现由气象部门获悉2019年的降雨量约为1 800 毫米，请你预测2019年能否完成发电任务？5.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数a（a的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5，7，5），[7.5，8.5）的学生中抽取9名参加座谈会．（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时理工类专业4060非理工类专业附：．临界值表：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.8286.2017年3月郑州市被国务院确定为全国46个生活垃圾分类处理试点城市之一，此后由郑州市城市管理局起草公开征求意见，经专家论证，多次组织修改完善，数易其稿，最终形成《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》（以下简称《办法》）．《办法》已于2019年9月26日被郑州市人民政府第35次常务会议审议通过，并于2019年12月1日开始施行．《办法》中将郑州市生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的学生人数；（Ⅲ）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率是多少？7.某汽车公司生产新能源汽车，2019年3-9月份销售量（单位：万辆）数据如表所示：月份x3456789销售量y（万辆） 3.008 2.401 2.189 2.656 1.665 1.672 1.368（1）某企业响应国家号召，购买了6辆该公司生产的新能源汽车，其中四月份生产的4辆，五月份生产的2辆，6辆汽车随机地分配给A，B两个部门使用，其中A 部门用车4辆，B部门用车2辆．现了解该汽车公司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回．求该企业B部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率；（2）经分析可知，上述数据近似分布在一条直线附近．设y关于x的线性回归方程为，根据表中数据可计算出，试求出的值，并估计该厂10月份的销售量．8.某商家在某一天统计前5名顾客扫微信红包所得金额分别为5.9元，5.7元，4.7元，3.3元，2.1元，商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送礼品．（Ⅰ）求获得礼品的3人中恰好有2人的红包超过5元的概率；（Ⅱ）商家统计一周内每天使用微信支付的人数x与每天的净利润y（单位：元），得到如表：x12162225262930y60100210240150270330根据表中数据用最小二乘法求y与x的回归方程=（，的计算结果精确到小数点后第二位）并估计使用微信支付的人数增加到36人时，商家当天的净利润为多少（计算结果精确到小数点后第二位）？参考数据及公式：①=22.86，=194.29；=268.86；=3484.29，②回归方程：=（其中=，=-）9.某医学院欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，该院派出研究小组分别到气象局与某医院，抄录了1到6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到数据资料见表：月份123456昼夜温差（℃）1011131286就诊人数（个）232630271713该研究小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻的两个月的概率；（2）已知选取的是1月与6月的两组数据．（i）请根据2到5月份的数据，求就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程：（ii）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该研究小组所得的线性回归方程是否理想？（参考公式==，=-）10.某学校有40名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩（单位：分）分组如下：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100），得到频率分布直方图如图所示．（1）根据频率分布直方图估计成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用分层抽样的方法从成绩在第3，4，5组的高中生中6名组成一个小组，若6人中随2人担任小组负责人，求这2人来自3，4组各1人的概率．答案和解析1.【答案】解：（1）考虑到BMI应与年龄或性别均有关，最合理的分层应为以下四层：高一男生、高一女生、高二男生、高二女生；则高一男生抽取×160=44（人），高一女生抽取×160=52（人），高二男生抽取×160=34（人），高二女生抽取×160=30（人）；（2）（i）160人中，“超重”人数为4+6+2+4=16（人），“超重”发生的频率为0.1，用样本的频率估计总体的频率，估计这2000名学生中“超重”的学生数为2000×0.1=200（人）；（ii）应用独立性检验的知识，分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强，得出K2的观察值k1，k2，则k1和k2的大小关系为k1＞k2．【解析】（1）考虑到BMI与年龄或性别均有关，最合理的分层为高一男生、女生，高二男生、女生；分别求出每层所抽取的人数即可；（2）（i）计算样本中“超重”的人数和频率，用样本的频率估计总体的频率，计算即可；（ii）应用独立性检验的知识分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强，得出K2的观察值k1应大于k2．本题考查了分层抽样原理与独立性检验的问题，也考查了用样本估计总体的问题，是基础题．2.【答案】解：（1）设（0.002+0.0029+x）×100=0.5，解得：x=0.0001．∴可得其中位数为：200+×（300-200）≈202．（2）300～400分的人数为：0.001×100×2000=200．280～300分的人数为：0.0041×100×2000×=164．而164+200＞300．∴考生甲的成绩为280分，不能被录取．【解析】（1）设（0.002+0.0029+x）×100=0.5，解得：x．可得其中位数．（2）300～400分的人数为：0.001×100×2000=200.280～300分的人数为：0.0041×100×2000×=164．进而判断出结论．本题考查了频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】解：（1）根据题意，设表中数据为喜爱不喜爱合计年龄不大于40岁a b24年龄大于40岁20c d 合计e2250则有e+22=50，则e=28；24+d=50，则d=26，a+20=e=28，则a=8，a+b=24，则b=16，b+c=22，则c=6；故列联表为：喜爱不喜爱合计年龄不大于40岁81624年龄大于40岁20626合计282250则有≈9.623＞6.635．故能在犯错误的概率不超过1%的条件下认为不同年龄与纪念币的喜爱无关．（2）根据题意，记不大于40岁的5位喜爱者中的3位学生记为a，b，c，非学生记为A，B，则从5人中任取2人，共有（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B）10种结果．其中至多有1位学生的有7种，∴至多有1位学生的概率．【解析】（1）根据题意，由列联表的结构分析可得其他数据，即可完善列联表，进而计算K2的值，据此分析可得答案；（2）根据题意，记不大于40岁的5位喜爱者中的3位学生记为a，b，c，非学生记为A，B；由列举法分析“从这5名男性中随机抽取2人”和“至多有1位学生”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．本题考查独立性检验的应用，涉及古典概型的计算，属于基础题．4.【答案】解：（1）从统计的5年发电量中任取2年，基本事件为：（7.4，7.0}，{7.4，9.2}，{7.4，7.9}，{7.4，10.0}，{7.0，9.2}，{7.0，7.9}，{7.0，10.0}，{9.2，7.9}，{9.2，10.0}，{7.9，10.0}，共10个；其中这2年的发电量都高于7.5亿千瓦时的基本事件为：{9.2，7.9}，{9.2，10.0}，{7.9，10.0}，共3个．所以这2年的发电量都高于7.5亿千瓦时的概率为．（2）因为．，又直线过点，所以，解得，所以．当x＝1800时，．所以预测该水电站2019年能完成发电任务．【解析】本题考查回归直线方程，概率中的基本事件，属于中档题.（1）确定从统计的5年发电量中任取2年的基本事件、2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件，即可求出这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（2）先求出线性回归方程，再令x=1800，即可得出结论．5.【答案】解：（1）该组数据的平均数因为0.03+0.1+0.2+0.35=0.68＞0.5，所以中位数a∈[8.5，9.5），由0.03+0.1+0.2+（a-8.5）×0.35=0.5，解得；（2）（i）每周阅读时间为[6，5，7.5）的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5，8.5）的学生中抽取6名．理由：每周阅读时间为[6，5，7.5）与每周阅读时间为[7.5，8.5）是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1：2进行名额分配．（ii）由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200×（0.03+0.1+0.2）=66人，超过8.5小时的共有200-66=134人．于是列联表为：阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时理工类专业4060非理工类专业2674K2的观测值，所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．【解析】本题主要考查独立性检验的应用，根据数据计算出K2的观测值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．（1）根据平均数，中位数的定义进行求解即可,（2）完成列联表，计算K2的观测值，结合独立性检验的性质进行判断即可.6.【答案】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为：（0.02+0.04+0.02）×10=0.8，所以样本中分数高于60的概率为0.8．故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8．（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为：（0.01+0.02+0.04+0.02）×10=0.9，分数在区间[40，50）内的人数为100-100×0.9-5=5，所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为500×=25，（Ⅲ）设3名男生分别为A，B，C，2名女生分别为1，2，则从这5名同学中选取2人的结果为：{A，B}，{A，C}，{A，1}，{A，2}，{B，C}，{B，1}，{B，2}，{C，1}，{C，2}，{1，2}共10种情况．其中2人中男女同学各1人包含结果为：{A，1}，{A，2}，{B，1}，{B，2}，{C，1}，{C，2}，共6种，设事件A={抽取的2人中男女同学各1人}，则P（A）=，所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是．【解析】（1）由直方图求出分数高于60的频率，计算出分数高于60的概率，（2）先计算出分数不小于50的频率，再算出分数在区间[40，50）内的人数，再估算出总体中分数在区间[40，50）内的人数．（3）先计算出从这5名同学中选取2人的事件，再算出抽取的2人中男女同学各1人的事件，再求抽取的2人中男女同学各1人的概率．本题考查频率直方图，通过频率估算整体，以及求频率，属于基础题．7.【答案】解：（1）设某企业购买的6辆新能源汽车，4月份生产的4辆车为C1，C2，C3，C4；5月份生产的2辆车为D1，D2，6辆汽车随机地分配给A，B两个部门．B部门2辆车可能为（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C1，D1），（C1，D2），（C2，C3），（C2，C4），（C2，D1），（C2，D2），（C3，C4），（C3，D1），（C3，D2），（C4，D1，（C4，D2），（D1，D2）共15种情况；其中，至多有1辆车是四月份生产的情况有：（C1，D1），（C1，D2），（C2，D1），（C2，D2），（C3，D1），（C3，D2），（C4，D1），（C4，D2），（D1，D2）共9种，所以该企业B部门2辆车中至多有1辆车被召回的概率为；（2）由题意得，．因为线性回归方程过样本中心点，所以，解得．当x=10时，，即该厂10月份销售量估计为1.151万辆．【解析】（1）用列举法，求出个数，根据概率公式求出即可；（2）求出线性回归方程过样本中心点，代入求出a，再代入x=10即可．考查古典概型求概率，线性回归方程的性质及其应用，中档题．8.【答案】解：（Ⅰ）记“5名顾客扫微信红包所得金额超过5元的2人”为A1，A2，“不超过5元的3人”为B1，B2，B3，“获得礼品的3人中恰好有2人的红包超过5元”为事件M，则所有的基本事件有：A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3共10种，其中事件M包含的基本事件有共3种，为A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，∴P（M）=；（Ⅱ）∵==，∴=-=194.29-12.9622.86=-101.98.∴y与x的回归方程为=12.96x-101.98，当x=36时，.故估计使用微信支付的人数增加到36人时，商家当天的净利润约为364.58元．【解析】（Ⅰ）利用古典概型的概率公式求获得礼品的3人中恰好有2人的红包超过5元的概率；（Ⅱ）利用最小二乘法求y与x的回归方程为=12.96x-101.98，把x=36代入方程，即可得解．本题考查古典概型的概率的计算，考查线性回归方程的求法，考查利用回归方程进行预测，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力，是中档题．9.【答案】解：（1）设选取的2组数据恰好是相邻两个月为事件A，因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中选取的2组数据恰好是相邻两个月的情况有5种，所以P（A）=，（2）=（11+13+12+8）=11，=（26+30+27+17）=25，===，=-=25-=，得到y关于x的回归直线方程为y=（2）当x=10时，y=同样，当x=6时，y=，估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，∴该小组所得线性回归方程是理想的．【解析】（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有15种情况，满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，根据古典概型的概率公式得到结果．（2）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数a，b，写出线性回归方程；（3）将x的值代入回归方程检验即可．考查古典概型求概率，求线性回归方程和应用，考查运算能力，中档题．10.【答案】解：（1）因为（0.01+0.07+0.06+x+0.02）×5=1，所以x=0.04，所以成绩的平均值为+0.10×=87.25；（2）第3组学生人数为0.06×5×40=12，第4 组学生人数为0.04×5×40=8，第5组学生人数为0.02×5×40=4，所以抽取的6人中第3，4，5组的人数分别为3，2，1．第3组的3人分别记为A1，A2，A3，第4 组的2人分别记为B1，B2，第5 组的1 人记为C，则从中选出2人的基本事件为共15个，记“从这6人中随机选出2人担任小组负责人，这2人来自第3，4组各1人”为事件M ，则事件M包含的基本事件为（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），共6个，所以P（M）=．【解析】（1）根据频率分布直方图求出x的值，再利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表估计平均数即可；（2）先求出抽取的6人中第3，4，5组的人数，再利用古典概型的概率公式求解即可．本题考查由频数分布直方图，以及古典概型，属于基础题．。

2020年高考数学(理)必刷试卷8(解析版)

2020年高考必刷卷08数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】【分析】求出集合A ，然后利用交集的定义可求出集合A B I . 【详解】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( )A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x xx=+的形式，该函数为()0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7c =+，令()11,011x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小. 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p【答案】B 【解析】令i(,)z a b a b =+∈R ，则由2211i i a b R z a b a b-==∈++得0b =，所以z R ∈，故1p 正确；当i z =时，因为22i 1z R ==-∈，而i z R =∉知，故2p 不正确；当12i z z ==时，满足121z z R ⋅=-∈，但12z z ≠，故3p 不正确；对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（）A ．2.55尺B ．4.55尺C ．5.55尺D ．6.55尺【答案】B 【解析】【分析】将问题三角形问题，设出另一直角边，则可求出斜边的长，最后利用勾股定理可求出另一直角边. 【详解】已知一直角边为3尺，另两边和为10尺，设另一直角边为x 尺，则斜边为10x -尺，由勾股定理可得：()222310x x +=-，可得 4.55x =尺. 故选：B【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力.5．函数22()11xf x x=-+在区间[4,4]-附近的图象大致形状是（） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】通过求特殊点的坐标，结合函数值的正负判断，即可得出结论. 【详解】22()11xf x x=-+过点()10，，可排除选项A ，D .又()20f <，排除C . 故选:B 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于基础题.6．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一门被选中的概率是（） A ．16B ．12C ．23D ．56【答案】D 【解析】【分析】本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案. 【详解】设{A =两门至少有一门被选中}，则{A =两门都没有选中}，A 包含1个基本事件，则2411()6P A C ==，所以15()166P A =-=，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．若向量,a b r r 满足||1,||2a b ==r r ，且||3a b -=r r，则向量,a b r r 的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】B 【解析】【分析】由||3a b -=r r ,平方求出a b ⋅r r,代入向量夹角公式,求出,a b r r 的夹角余弦值,即可得结果.【详解】设,a b r r的夹角为θ||3,a b -=r r 2222||()2523,a b a b a a b b a b -=-=-⋅+=-⋅=r r r r r r r r r r11,cos ,0,23a b a b ab πθθπθ⋅⋅=∴==≤≤∴=r rr r r r故选:B 【点睛】本题考查向量的模长和向量的夹角计算,着重考查计算能力,属于基础题.8．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?， 100n >?D ．n 是奇数?，100n >?【答案】D 【解析】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，1,0;2,2;3,4;n s n s n s ====== 22991100...;99,100,;22n s n s -====101100n =>结束，所以第二个框应该填100n >，故选D.9．以n S ?,?T n 分别表示等差数列{}{}n ,?b n a 的前n 项和，若S 73n n n T n =+，则55a b 的值为 A ．7 B ．214C ．378D ．23【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和的性质，当n 为奇数时，12n n s na +=，即可把55a b 转化为99S T 求解.【详解】因为数列是等差数列，所以211(21)n n S n a ++=+，故55955997921==9934a a Sb b T ⨯==+,选B. 【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和的性质，属于中档题.10．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若223AF BF =，125BF BF =，则C 的方程为（）.A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得2a =，1b =，可得椭圆的方程．【详解】解：22||3||AF BF =Q ，2||4||AB BF ∴=，又125BF BF =，又12||||2BF BF a +=，23||aBF ∴=， 2||AF a ∴=，1||53BF a =，12||||2AF AF a +=Q ，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt △2AF O 中，21cos AF O a∠=，在△12BF F 中，由余弦定理可得222154()()33cos 223a a BF F a +-∠=⨯⨯，根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得21320a a a-+=，解得22a =， 222211b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为：2212x y +=．故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆的定义及余弦定理，属中档题．11．设函数431,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()22()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 A ．(23－2，32⎤⎥⎦B ．(－23－2，23－2)C ．(32，＋∞) D ．(23－2，＋∞)【答案】A 【解析】【分析】画出()f x 的图像，利用()f x 图像，利用换元法，将方程()()22()30fx a f x -++=恰好有六个不同的实数解的问题，转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同的实数根，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】画出()f x 的图像如下图所示，令()f x t =，则方程()()22()30fx a f x -++=转化为()2230t a t -++=，由图可知，要使关于x 的将方程()()22()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解，则方程()2230t a t -++=在(]1,2内有两个不同的实数根，所以()()()222212021221213022230a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪<<⎪⎨⎪-+⨯+>⎪-+⨯+≥⎪⎩，解得32322a -<≤. 故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数根于判别式，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且AB 、AC 、AD 两两夹角都为60︒，若2BD =，则该球的体积为（）A ．32πB ．233π C ．34π D ．22π 【答案】A 【解析】【分析】根据题意可分析四面体A BCD -是正四面体，各条棱长均为2，依据正四面体外接球半径的求法即可得解. 【详解】由题：在四面体A BCD -中，,60AB AC AD BAC BAD CAD ==∠=∠=∠=o，所以,,BAC BAD CAD ∆∆∆均为等边三角形，且边长均为2，所以四面体A BCD -是正四面体，棱长为2，如图：根据正四面体特征，点A 在底面正投影1O 是底面正三角形的中心，外接球球心O 在线段1AO 上，设外接球半径为R ，取CD 中点E 过点,,B C D 的截面圆的半径1223623323r O B BE ===⨯⨯=，在△1O AB 中，2211223233O A BA BO =-=-=，则球心到截面BCD 的距离1233d OO R ==- 在△1O OB 中，22211O B OO OB +=，22262333R R ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，解得32R =，所以球的体积3433322V ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查求正四面体外接球的体积，通过几何体的特征，确定一个截面，寻找球心，根据三角形关系求出半径即可求解，平常的学习中有必要积累常见几何体外接球半径的求法.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

概率与统计(选择题、填空题)—高考真题文科数学分项汇编(解析版)

其中恰有 2只做过测试的取法有{a,b, A},{a,b,B},{a,c, A},{a,c,B}, {b,c, A},{b,c,B}，共 6种，所以恰有 2只做过测试的概率为 6 3，故选 B．
10 5
【名师点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度
1 【答案】 9 【解析】根据题意可得基本事件数总为66 36个.
5
点数和为 5的基本事件有1,4，4,1，2,3，3,2共
4个.
∴出现向上的点数和为
5的概率为
P
4 36
1求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．【2020年高考天津】从一批零件中抽取 80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为 9组：
则n 61，符合题意；若815 610n，则n 80.9，不合题意．故选 C．
7．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有 5只兔子，其中只有 3只测量过某项指标，若从这 5只兔子
中随机取出 3只，则恰有 2只测量过该指标的概率为
2 A． 3
3 B． 5
3
2 C． 5
【答案】B
1 D． 5
【分析】首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式
即可求解．
【解析】设其中做过测试的 3只兔子为a,b,c，剩余的 2只为 A,B，则从这 5只中任取 3只的所有取法有{a,b,c},{a,b, A},{a,b,B},{a,c, A},{a,c,B},{a, A,B},{b,c, A}，
{b,c,B},{b, A,B},{c, A,B}，共 10种．

2020高考数学(文)专项复习《概率统计》含答案解析

概率统计统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供依据．概率是研究随机现象规律的学科，为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法．统计一章介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用．概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型等内容，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识．§10－1 概率(一)【知识要点】1．事件与基本事件空间：随机事件：当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，随机事件简称为事件．基本事件与基本事件空间：在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事件称为基本事件．所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间，常用表示．2．频率与概率频率：在相同的条件S 下，重复n 次试验，观察某个事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 的出现次数m 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例nm 为事件A 出现的频率．概率：一般的，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率nm ，当n 很大时总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做P (A )．显然有0≤P (A )≤1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在(0，1)之间．3．互斥事件的概率加法公式事件的并：由事件A 或B 至少有一个发生构成的事件C 称为事件A 与B 的并，记做C ＝A ∪B ．互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．互斥事件加法公式：如果事件A 、B 互斥，则事件A ∪B 发生的概率等于这两个事件分别发生的概率和，即P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．如果A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么事件A 1∪A 2∪…∪A n 发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率和，即P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作A ，满足P (A )＝1－P (A )．概率的一般加法公式(选学)：事件A 和B 同时发生构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(积)，记作D ＝A ∩B ．在古典概型中，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．4．古典概型古典概型：一次试验有下面两个特征：(1)有限性，在一次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这个试验为古典概型．古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的n 个基本事件为A 1，A 2，…，A n ，则有P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝1且⋅=nA P i 1)( 概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n (Ω )，随机事件A 包含的基本事件数为n (A)，则p (A)＝试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A ，即⋅=)()()(Ωn A n A P 5．几何概型几何概型：一次试验具有这样的特征：事件A 理解为区域Ω的一个子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，这样的试验称为几何概型．几何概型的特点：(1)无限性：一次试验中可能出现的结果有无穷多个；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性相等．几何概型中事件A 的概率定义：ΩA A P μμ=)(，其中μ Ω 表示区域Ω 的几何度量，μ A 表示子区域A 的几何度量．随机数：就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会均等．计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力物力．【复习要求】1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．3．理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．4．了解随机数的意义，了解几何概型的意义．【例题分析】例1 国家射击队的某队员射击一次，命中7－10环的概率如下表：求该队员射击一次，(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．【分析】射击运动员一次射击只能命中1个环数，命中不同的环数是互斥事件，射中9环或10环的概率等于射中9环与射中10环的概率和．命中不足8环所包含的事件较多，而其对立事件为“至少命中8环”，可先求其对立事件的概率，再通过P (A )＝1－P (A )求解．解：设事件“射击一次，命中k 环”为事件A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，则P (A )＝P (A 10)＋P (A 9)＝0.60．(2)记“射击一次，至少命中8环”为事件B ，则P (B )＝P (A 10)＋P (A 9)＋P (A 8)＝0.78．(3)“射击一次，命中不足8环”为事件B 的对立事件，则P (B )＝1－P (B )＝0.22．【评析】解决概率问题时，要先分清所求事件由哪些事件组成，分析是否是互斥事件，再决定用哪个公式．当用互斥事件的概率加法公式解题时，要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件，要善于用对立事件解题．例2 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(Ⅰ)求A 1被选中的概率；(Ⅱ)求B 1和C 1不全被选中的概率．【分析】本题是一个古典概型的问题，可以直接用概率公式)()()(Ωn A n A P =求解．解：(Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝｛(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}事件M 由6个基本事件组成，因而⋅==31186)(M P (Ⅱ)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件N 由3个基本事件组成，所以61183)(==N P ，由对立事件的概率公式得⋅=-=-=65611)(1)(N P N P 【评析】古典概型解决概率问题时，选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要的一步．本题中选定“从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果”为基本事件空间，计算时采用列举法，也可以利用乘法计数原理计算3×3×2＝18．本题第一问还可以选定“从通晓日语的3人中选出1人的可能结果”为基本事件空间，共有3个基本事件，选出A 1只有一种可能，故所求概率为⋅31例3 (1)两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是______．(2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约好先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去．则两人能会面的概率是______．(3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为______．【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解．分别转化为线段长度、图形面积、几何体体积问题求解．解：(1)本题可转化为：“在长为6m 的线段上随机取点，恰好落在2m 到4m 间的概率为多少?” 易求得⋅=31P (2)本题可转化为面积问题：即“阴影部分面积占总面积的多少?”，解得⋅=167)(A P (3)本题可转化为体积问题：即“内切球的体积与正方体体积之比是多少?”．解得⋅=6πP 【评析】几何概型也是一种概率模型，它具有等可能性和无限性两个特点．解题的关键是要建立模型，将实际问题转化为几何概率问题．基本步骤是：把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω；把随机事件A 转化为与之对应的区域A ；利用概率公式)()()(ΩA A P μμ=计算．常用的几何度量包括：长度、面积、体积．例4 设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0．(Ⅰ)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(Ⅱ)若a 是从区间[0，3］任取的一个数，b 是从区间[0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【分析】本题第一问是古典概型问题，第二问由于a 、b 在实数区间选取，可以转化为几何概型问题求解．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b ．(Ⅰ)基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为⋅==43129)(A P (Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b ｝．所以所求的概率为⋅=⨯⨯-⨯=3223221232 【评析】几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的，只是几何概型的基本事件有无限个，而古典概型的基本事件有有限个．在具体问题中，不能因为古典概型的基本事件的个数多而误认为是几何概型．练习10－1一、选择题1．下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的( )A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定2．从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球，都是白球B ．至少有一个白球，至少有一个红球C ．恰有一个白球，恰有两个白球D ．至少有一个白球，都是红球3．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A ．751B ．752C ．753D ．754 二、填空题4．甲、乙二人掷同一枚骰子各一次．如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为______．5．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中概率为______．三、解答题6．已知集合A ＝{－4．－2，0，1，3，5｝，在平面直角坐标系中点M (x ，y )的坐标满足x ∈A ，y ∈A ．计算：(1)点M 恰在第二象限的概率；(2)点M 不在x 轴上的概率；(3)点M 恰好落在区域⎪⎩⎪⎨⎧>>>-+0008y x y x 上的概率．§10－2 统计【知识要点】1．随机抽样总体、个体、样本：把所考察对象的某一个数值指标的全体构成的集合看成总体，构成总体的每一个元素称为个体，从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本．随机抽样：抽样时，保证每一个个体都可能被抽到，且每个个体被抽到的机会均等，满足这样条件的抽样为随机抽样．简单随机抽样：从元素个数为N 的总体中，不放回的抽取容量为n 的样本，如果每一次抽样时，总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫简单随机抽样．系统抽样：当总体个数很大时，可将总体分成均匀的若干部分，然后按照预先制定的规则从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样的方式叫做系统抽样．分层抽样：当总体由有明显差异的几部分组成时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．三种抽样方法的比较常用频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图等统计图表来表示样本数据，观察样本数据的特征，从而估计总体的分布情况．频率分布(表)直方图的画法步骤：(1)计算极差(用样本数据的最大值减去最小值)(2)决定组数与组距(组数×组距＝极差)(3)决定分点(4)列频率分布表(5)绘制频率分布直方图易见直方图中各个小长方形面积等于相应各组的频率，所有小长方形面积之和等于1．频率分布折线图：连结频率分布直方图各个长方形上边的中点，就得到频率分布折线图．总体密度曲线：随着样本容量的增加，分组的组距不断缩小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．茎叶图：茎指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．在样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好．它的突出优点是：统计图中没有原始数据的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；茎叶图可随时记录，方便表示．3．用样本的数字特征估计总体的数字特征样本数据的平均数：如果有n 个数x 1，x 2，…，x n ，那么nx x x x n +++=Λ21叫做这n 个数的平均数．标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，其中nx x x x x x s n 22221)()()(-++-+-=Λ．方差：标准差的平方s 2叫做方差．⋅-++-+-=n x x xx x x s Zn )()()(22212￢Λ 4．两个变量间的关系散点图：两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来，这些点对应的图形叫做散点图．线性相关：若两个变量的散点图中所有点看上去都在一条直线附近波动，则这两个变量可近似看成具有线性相关关系．回归直线方程：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心一条直线附近，则这条直线叫做这些数据点的回归直线方程，记作yˆ＝bx ＋a ，其中b 叫回归系数．最小二乘法：假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数组),(11y x ，),(22y x ，…，),(33y x ，求得,)()()(ˆ2211211x n x y x n y x x x y y x x b in i i i n i ini i in i --=---=∑∑∑∑====⋅⋅⋅ x b y a ˆˆ-=，这时离差211)(2i i bx a y n Q --==最小，所求回归直线方程是a x b y ˆˆˆ+=.这种求回归直线的方法称为最小二乘法．【复习要求】1．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法．2．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．3．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算样本数据平均数、标准差，并给出合理解释．4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．5．会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．【例题分析】例1 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组(1－5号，6－10号，…，196－200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是______，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取______人．【分析】由已知系统抽样的组距为5，所以相邻组间的号码相差5；由饼形图可知200名职工中，50岁以上人数：40－50岁人数：40岁以下人数＝2∶3∶5，总样本为40人，分层抽样抽取每层人数比例为2∶3∶5．解：37；20【评析】系统抽样的特征是等距，也就是只要在一组内选定号码，其余各组的号码随之选定，所选相邻号码的间隔为组距．分层抽样的特征是按比例抽取，也就是每一层所选人数占总选出人数的比例与每层人数占总人数的比例相等．抽样是统计分析的重要部分，最常用的抽样方法是简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，抽样时每个个体被抽到的可能性相等．简单随机抽样常用抽签法和随机数表法．例2 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命(h) [100，200) [200，300) [300，400) [400，500) [500，600)个数(个) 20 30 80 40 30(2)画出频率分布直方图；(3)估计电子元件寿命在[100，400)以内的概率；(4)估计电子元件寿命在400h以上的概率．【分析】按要求列表、绘图，并用样本的分布估计总体的分布．解：(1)频率分布表(2)(画图)；(3)P＝0.10＋0.15＋0.40＝0.65；(4)P＝1－0.65＝0.35．寿命(h) 频数频率[100，200) 20 0.10［200，300) 30 0.15[300，400) 80 0.40[400，500) 40 0.20[500，600) 30 0.15合计200 1.00【评析】频率分布表和频率分布直方图是用统计的方法对样本数据加以概括和总结．列频数分布表时，要区分频数和频率的意义，画频率分布直方图时要注意横、纵坐标代表的意义和单位．频率分布指的是一个样本数据在各拿小范围内所占比例的大小，常用样本数据落在某个范围的频率估计总体落在这个范围的概率．频率分布直方图中众数是最高矩形中点的横坐标，中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．例3 (海南)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位：mm)，结果如下：甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：①___________________________________________________________________________________________________________________________________________________；②___________________________________________________________________________________________________________________________________________________．【分析】抽样数据比较分散，很难观察数据的分布特征，通过茎叶图展现了样本数据的分布．通过茎叶图可观察出平均数、众数、中位数，数据分布的对称性等等，由于茎叶图保留了原始数据，还可计算平均数、方差、标准差．解：(可任选两个作答)(1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度；(2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中)；(3)甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm；(4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近)，甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外，也大致对称，其分布较均匀；【评析】茎叶图是统计图表的一种，它具有统计图表的一般功能：通过样本的数据分布推断总体的分布，通过样本的数字特征估计总体的数字特征．本题中的统计结论，是指用样本的特征估计总体特征得到的结论．例4图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A m(如A2表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是______．图1 图2【分析】条形图的横坐标是身高，纵坐标为每个身高区间内的人数．条形图没有提供具体的数据信息．程序框图的算法含义是统计[160，180)内学生人数，即求A 4＋A 5＋A 6＋A 7的和．解：i ＜8或i ≤7．【评析】设计算法利用计算机完成数据的统计工作，是实际统计工作中经常应用的．除了可以完成计数工作外，还可排序、求最值，利用公式进行各种计算等等．将算法和统计一起考查是新课程的一个特色．例5 甲乙两位运动员在相同的条件下分别射击10次，记录各次命中环数如下：甲：8，8，6，8，6，5，9，10，7，4乙：9，5，7，8，7，6，8，6，8，7(1)分别计算他们射击环数的平均数及标准差；(2)判断他们设计水平谁高，谁的射击情况更稳定?【分析】平均数、标准差分别反映了两个选手的射击水平和稳定程度，平均数越高说明选手射击水平越高，标准差越小说明选手发挥越稳定．解：(1)甲的平均数为7.1，标准差为1.758；乙的平均数为7.1，标准差为1.136；(2)从平均值上看，两人的水平相当；从标准差上看，乙的情况更稳定．【评析】平均数反映的是平均水平的高低，方差和标准差反映的是数据的离散程度．如果样本数据中每个数都增加数a ，则它的平均数也增加a ，但是它的标准差不变，因为数据的离散程度没有变化．由于方差与原始数据的单位不同，而且可能夸大了偏离程度，实际解决问题中常采用标准差．例6 假定关于某设备的使用年限x 和所支出费用y (万元)，有如下的统计资料使用年限x2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0(1)请画出上表数据的散点图；(2)根据上表数据，用最小二乘法求出线性回归方程a x by ˆˆ+=； (3)估计使用10年时，维修费用是多少?【分析】利用描点法画出散点图，用公式x by axn x yx n yx bi n i ii ni ˆˆ,ˆ2211＝-=--=∑∑=⋅⋅求得回归直线方程，取x ＝10求得结果．解：(1)散点图如图(2)y ＝0.08＋1.23x (3)12.38【评析】判断两个变量有无相关关系时，散点图直观简便，这是一道应用问题，通过回归直线方程分析使用年限和维修费用的关系．例7 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A 类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人)，现用分层抽样方法(按A 类、B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．(Ⅰ)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A 类工人，乙为B 类工人； (Ⅱ)从A 类工人中的抽查结果和从B 类工人中的抽查结果分别如下表1和表2．生产能力分组 [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150)人数 48x 5 3表2生产能力分组[110，120)[120，130)[130，140)[140，150)人数6y3618(i )先确定x ，y ，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A 类工人中个体间的差异程度与B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图(ii )分别估计A 类工人和B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．【分析】(1)相互独立事件同时发生的概率用乘法公式(2)画出直方图，从图中分析数据信息．解：(Ⅰ)甲乙被抽到的概率都是101，而且事件“甲工人被抽到”与“乙工人被抽到”相互独立，所以甲、乙两工人都被抽到的概率⋅=⨯=1001101101pA 类工人中和B 类工人中分别抽查25名和75名．(Ⅱ)(i)由4＋8＋x ＋5＋3＝25，得x ＝5；6＋y ＋36＋18＝75，得y ＝15．频率分布直方图如下图1 A 类工人生产能力的频率分布直方图图2 B 类工人生产能力的频率分布直方图从直方图可以判断：B 类工人中个体间的差异程度更小．,123145253135255125255115258105254)ii (=⨯+⨯+⨯⋅+⨯+⨯=A x ,8.133145751813575361257515115756=⨯+⨯+⨯+⨯=B x1.1318.1331007512310025=⨯+⨯=x . A 类工人生产能力的平均数，B 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1．【评析】本题是一道综合应用题，通过语言叙述和图表给出信息．频率分布直方图反映了数据分布的情况，数据的差异大小及数据的方差大小．练习10－3一、选择题1．(08重庆)某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( ) A ．简单随机抽样法 B ．抽签法 C ．随机数表法 D ．分层抽样法2．从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，若采用系统抽样法，则抽样间隔为( ) A ．nN B ．n C ．][nN D ．1][+nN3．(08山东)下图是根据《山东统计年整2007》中的资料做成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为( )A ．304.6B ．303.6C ．302.6D ．301.6 4．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩乙的成绩丙的成绩环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 55 5 5频数 6446频数 46641，2，3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( ) A ．s 3＞s 1＞s 2 B ．s 2＞s 1＞s 3 C ．s 1＞s 2＞s 3 D ．s 2＞s 3＞s 1二、填空题 5．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001，002，……800，利用随机数表抽取样本，从第7行第1个数开始，依次向右，再到下一行，继续从左到右．请问选出的第七袋牛奶的标号是______． (为了便于说明，下面摘取了随机数表的第6行至第10行)．16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28。

2020高考数学刷题首秧单元测试八概率与统计文含解析

单元质量测试(八) 时间：120分钟　满分：150分第Ⅰ卷　(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( )A ．“至少有1枚正面”与“最多有1枚正面”B ．“最多有1枚正面”与“恰有2枚正面”C ．“至多有1枚正面”与“至少有2枚正面”D ．“至少有2枚正面”与“恰有1枚正面”答案　C解析　两个事件是对立事件必须满足两个条件：①不同时发生，②两个事件的概率之和等于1．故选C ．2．某小学共有学生2000人，其中一至六年级的学生人数分别为400，400，400，300，300，200．为做好小学放学后“快乐30分”的活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为( )A ．120B ．40C ．30D ．20答案　B解析　∵一年级学生共400人，∴抽取一个容量为200的样本，用分层抽样的方法抽取的一年级学生人数为×200＝40．选B ．40020003．(2018·合肥质检一)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是( )A ．B ．C ．D ．1141121716答案　D解析　我们研究在一个小时内的概率即可，不妨研究在一点至两点之间听到新闻的时间段．由题可知能听到新闻的时间段为1点到1点5分，以及1点30分到1点35分，总计10分钟的时间可以听到新闻，故能听到新闻的概率为＝．故选D ．1060164．(2018·湖南邵阳二模)假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表如下： YX y 1y 2总计x 1a10a ＋10x 2c30c ＋30总计6040100对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为( )A ．a ＝45，c ＝15 B ．a ＝40，c ＝20C ．a ＝35，c ＝25 D ．a ＝30，c ＝30答案　A解析　根据2×2列联表与独立性检验可知，当与相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，即a ，c 相差越大，与aa ＋10cc ＋30a a ＋10相差越大．故选A ．c c ＋305．(2018·河南安阳二模)已知变量x 与y 的取值如下表所示，且2．5<n <m <6．5，则由该数据算得的线性回归方程可能是( )x 2345y6．5m n2．5A ．＝0．8x ＋2．3B ．＝2x ＋0．4y ^ y ^C ．＝－1．5x ＋8D ．＝－1．6x ＋10y ^ y ^答案　D解析　由2．5<n <m <6．5，可得为负相关，排除A ，B ；由题意，知＝3．5，＝×(6．5＋mx － y － 14＋n ＋2．5)∈(3．5，5．5)，分别代入选项C ，D ，可得D 满足．故选D ．6．(2018·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－B ．C ．D ．1－π4π12π4π12答案　A解析　鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－．故选A ．π47．(2018·佛山质检)已知袋中有5个球，其中红球3个，标号分别为1，2，3；蓝球2个，标号分别为1，2．从袋中任取2个球，则这2个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为( )A ．B ．C ．D ．3102535710答案　A解析　从这5个球中取出2个，有如下情况：(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)，共10种，其中2个球颜色不同且标号之和不小于4的有(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，共3种，所以所求概率为，故选A ．3108．(2018·衡阳三模)若在边长为a 的正三角形内任取一点P ，则点P 到三角形三个顶点的距离均大于的概率是( )a2A ．－B ．1－11123π63π6C ．D ．1314答案　B解析　如图，正三角形ABC 的边长为a ，分别以它的三个顶点为圆心，以为半径，在△ABCa2内部画圆弧，得三个扇形，依题意知点P 在这三个扇形外，因此所求概率为＝1－．故选B ．34a 2－12×π×a 2234a 23π69．10枚均匀的骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一点的概率是( )A ．1－105 B ．1－6105656C ．1－1－510 D ．1－1－1051616答案　D解析　一次同时掷出10枚均匀的骰子，10枚骰子全部出现一点的概率等于10，故1016枚骰子没有全部出现一点的概率等于1－10．事件“掷5次，至少有一次10枚骰子全部出16现一点”的对立事件为“掷5次，每次掷出的10枚骰子中，至少有一枚没有出现一点”，故至少有一次10枚骰子全部出现一点的概率等于1－1－105．故选D ．1610．(2018·广东广州海珠区综合测试)下列说法中正确的是( )①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r |越接近于1，相关性越弱；②回归直线＝x ＋一定经过样本点的中心(，)；y ^ b ^ a ^x y ③回归模型中残差是实际值y i 与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明y ^模型拟合精度越高；④相关指数R 2用来刻画回归的效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好．A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③答案　D解析　①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r |越接近于1，则相关性越强，错误；②回归直线＝x ＋一定经过样本点的中心(，)，正确；③由残差的定义y ^ b ^ a ^x y 和残差图的绘制可知正确；④相关指数R 2用来刻画回归的效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越不好，错误．所以正确的有②③．故选D ．11．(2018·南昌摸底)甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是( )A ．B ．C ．D ．133102534答案　C解析　用枚举法列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有(2，2，5)，(2，3，4)，(2，4，3)，(2，5，2)，(3，2，4)，(3，3，3)，(3，4，2)，(4，2，3)，(4，3，2)，(5，2，2)，共有10种可能性．而丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的情况有(2，4，3)，(2，5，2)，(3，3，3)，(3，4，2)，共计4种，故所求概率为＝．故选C ．4102512．(2018·郑州质检)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则＋的最小值为( )1a 4bA ．B ．2C ．D ．94994答案　C解析　甲班学生成绩的中位数为80＋x ＝81，得x ＝1．由茎叶图可知，乙班学生的总分为76＋80＋82＋(80＋y )＋91＋93＋96＝598＋y ＝7×86，所以y ＝4．若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则a ＋b ＝2G ，xy ＝G 2，所以a ＋b ＝4，所以＋＝(a ＋b )1a 4b 14＋＝5＋＋≥5＋2＝×9＝，当且仅当b ＝2a ＝时，＋取得最小值．故1a 4b 14b a 4a b 14b a ·4a b 1494831a 4b 选C ．第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2018·广东华南师大附中测试)已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为________．答案　36解析　由题意得阴影部分的面积约为×60＝36．600100014．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．答案　45解析　该题为长度型几何概型，所以概率P ＝＝．17－1318－134515．(2018·青岛质检)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：x 24568y3040506070根据上表可得回归方程＝x ＋，其中＝7，据此估计，当投入10万元广告费时，销y ^ b ^ a ^ b ^售额为________万元．答案　85解析　＝＝5，＝＝50，又因为回归直线过样本中x 2＋4＋5＋6＋85y 30＋40＋50＋60＋705心点，所以＝－＝50－7×5＝15．所以回归方程为y ＝7x ＋15，当x ＝10时，y ＝85，a ^ yb ^x 所以当投入10万元广告费时，销售额为85万元．16．(2018·乌鲁木齐一诊)A ，B ，C ，D 四名学生按任意次序站成一排，则A 或B 在边上的概率为________．答案　56解析　A ，B ，C ，D 四名学生按任意次序站成一排，基本事件数共24种，如下图所示．A ，B 都不在边上共4种，所以A 或B 在边上的概率为P ＝1－＝．42456三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(2018·广东华南师大附中综合测试三)(本小题满分10分)《汉字听写大会》不断创收视率新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试．现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164)，第二组[164，168)，……，第六组[180，184)，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2)已知第5，6两组市民中有3名女性，组织方要从第5，6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．解　(1)被采访人恰好在第1组或第4组的频率为(0．05＋0．02)×4＝0．28，∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0．28．(2)第5，6两组[176，184)的人数为(0．02＋0．01)×4×50＝6，∴第5，6两组中共有6名市民，其中女性市民有3名，记第5，6两组中的3名男性市民分别为A ，B ，C ，3名女性市民分别为x ，y ，z ，从第5，6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，共有15个基本事件，列举如下：AB ，AC ，Ax ，Ay ，Az ，BC ，Bx ，By ，Bz ，Cx ，Cy ，Cz ，xy ，xz ，yz ，至少有1名女性的事件有Ax ，Ay ，Az ，Bx ，By ，Bz ，Cx ，Cy ，Cz ，xy ，xz ，yz ，共12个，∴从第5，6两组中随机抽取2名市民组成宣传队，至少有1名女性市民的概率为＝．12154518．(2018·济南模拟)(本小题满分12分)2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．表　设备改造后的样本的频数分布表质量指标值[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)[40，45)频数4369628324(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；设备改造前设备改造后合计合格品不合格品合计(2)根据上图和上表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；(3)根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？附：P (K 2≥k 0)0．1500．1000．0500．0250．010k 02．0722．7063．8415．0246．635K 2＝，n ＝a ＋b ＋c ＋d ．n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解　(1)根据题图和题表得到2×2列联表如下：设备改造前设备改造后合计合格品172192364不合格品28836合计200200400将2×2列联表中的数据代入公式计算得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝≈12．210，400×(172×8－28×192)2200×200×364×36∵12．210>6．635，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．(2)根据题图和题表可知，设备改造后产品为合格品的概率约为＝，19220096100设备改造前产品为合格品的概率约为＝，17220086100即设备改造后合格率更高，因此设备改造后性能更好．(3)用频率估计概率，1000件产品中大约有合格品×1000＝960件，不合格品1000－192200960＝40件，180×960－100×40＝168800元，故该企业大约能获利168800元．19．(2018·江西摸底)(本小题满分12分)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：一次购物款(单位：元)[0，50)[50，100)[100，150)[150，200)[200，＋∞)顾客人数m 2030n10统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场的销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率)(1)试确定m ，n 的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；(2)为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：一次购物款(单位：元)[0，50)[50，100)[100，150)[150，200)返利百分比6%8%10%请估计该商场日均让利多少元？解　(1)由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n ＋10＋30＝100×60%，解得n ＝20，∴m ＝100－80＝20．故该商场每日应准备纪念品的数量约为5000×＝3000(件)．60100(2)设一次购物款为a 元，当a ∈[50，100)时，顾客有5000×20%＝1000(人)，当a ∈[100，150)时，顾客有5000×30%＝1500(人)，当a ∈[150，200)时，顾客有5000×20%＝1000(人)，当a ∈[200，＋∞)时，顾客有5000×10%＝500(人)，∴估计该商场日均让利为75×6%×1000＋125×8%×1500＋175×10%×1000＋30×500＝52000(元)．∴估计该商场日均让利为52000元．20．(2018·广东三校联考)(本小题满分12分)在某城市气象部门的数据中，随机抽取了100天的空气质量指数的监测数据如表：(1)该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y 与当天的空气质量t (t 取整数)存在如下关系y ＝Error!且当t >300时，y >500，试用频率估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率；(2)若在(1)中，当t >300时，y 与t 的关系拟合于曲线＝＋ln t ，现已取出了10对y ^ a ^ b ^样本数据(t i ，y i )(i ＝1，2，3，…，10)，且ln t i ＝70，y i ＝6000， (y i ln t i )＝42500，∑10i ＝1∑10i ＝1∑10i ＝1 (ln t i )2＝500，求拟合曲线方程．∑10i ＝1附：线性回归方程＝＋x 中，＝，＝－．y ^ a ^ b ^ b ^∑ni ＝1x i y i －n x － y － ∑ni ＝1x2i －nx 2a ^ y －b ^x 解　(1)令y >200得2t －100>200，解得t >150，∴当t >150时，病人人数超过200人．由频数分布表可知100天内空气质量指数t >150的天数为25＋15＋10＝50．∴估计病人人数超过200人的概率为P ＝＝．5010012(2)令x ＝ln t ，则与x 线性相关，y ^ ＝＝7，＝＝600，x ∑10 i ＝1ln t i 10y ∑10 i ＝1yi 10∴＝＝50，＝600－50×7＝250，b ^ 42500－10×7×600500－10×49a ^ ∴拟合曲线方程为＝50x ＋250＝50ln t ＋250．y ^21．(2018·江西重点盟校联考一)(本小题满分12分)微信是当前主要的社交应用之一，有着几亿用户，覆盖范围广，及时快捷．作为移动支付的重要形式，微信支付成为人们支付的重要方式和手段．某公司为了解人们对“微信支付”的认可度，对[15，45]年龄段的人群随机抽取n 人进行了一次“你是否喜欢微信支付”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求n ，a ，p 的值；(2)在第四、五、六组“喜欢微信支付”的人中，用分层抽样的方法抽取7人参加“微信支付日鼓励金”活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数；(3)在(2)中抽取的7人中随机选派2人做采访嘉宾，求所选派的2人没有第四组人的概率．解　(1)补全频率分布直方图，如图所示．由统计表中第四组数据可知，第四组总人数为＝150，再结合频率分布直方图，600.4可知n ＝＝1000，1500.03×5所以a ＝0．04×5×1000×0．5＝100．因为第二组的频率为0．3，所以p ＝＝0．65．195300(2)因为第四、五、六组“喜欢微信支付”的人数共有105人，由分层抽样原理可知，第四、五、六组分别抽取的人数为4人、2人、1人．(3)设抽取的第四组的4人为A 1，A 2，A 3，A 4，第五组的2人为B 1，B 2，第六组的1人为C 1，则从7人中随机抽取2人的所有可能的结果为A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 1B 1，A 1B 2，A 1C 1，A 2A 3，A 2A 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2C 1，A 3A 4，A 3B 1，A 3B 2，A 3C 1，A 4B 1，A 4B 2，A 4C 1，B 1B 2，B 1C 1，B 2C 1，共21种，其中恰好没有第四组人的所有可能结果为B 1B 2，B 1C 1，B 2C 1，共3种，所以所选派的2人没有第四组人的概率为P ＝＝．3211722．(2018·安徽合肥模拟)(本小题满分12分)某公司共有10条产品生产线，不超过5条生产线正常工作时，每条生产线每天纯利润为1100元，超过5条生产线正常工作时，超过的生产线每条纯利润为800元，原生产线利润保持不变．未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共100元．用x 表示每天正常工作的生产线条数，用y 表示公司每天的纯利润．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并求出纯利润为7700元时工作的生产线条数；(2)为保证新开的生产线正常工作，需对新开的生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数＝14，标准差s ＝2，绘制x如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估计值．为检测该生产线生产状况，现从加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率)：x x①P(－s<X<＋s)≥0．6826；x x②P(－2s<X<＋2s)≥0．9544；x x③P(－3s<X<＋3s)≥0．9974．评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线．试判断该生产线是否需要检修．解　(1)由题意知，当x≤5时，y＝1100x－100×(10－x)＝1200x－1000；当5<x≤10时，y＝1100×5＋800×(x－5)－100×(10－x)＝900x＋500；∴y＝Error!当y＝7700时，900x＋500＝7700，x＝8，即8条生产线正常工作．x(2)＝14，s＝2，由频率分布直方图得，P(12<X<16)＝(0．29＋0．11)×2＝0．8>0．6826，P(10<X<18)＝0．8＋(0．04＋0．03)×2＝0．94<0．9544，P(8<X<20)＝0．94＋(0．015＋0．005)×2＝0．98<0．9974，∵不满足至少两个不等式，∴该生产线需要检修．。

2020年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练及答案解析

2020年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练【题型归纳】题型一古典概型与几何概型例1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 . 【答案】【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为. 例2、市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度，随机抽取了100名市民，统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数，统计结果如下表所示：(1)用样本估计总体的思想比较该市月收入低于20(百元)和不低于30(百元)的两类人群在该项措施的态度上有何不同；(2)现从样本中月收入在)20,10[和)70,60[的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查，求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率．【答案】（1）详见解析；（2）2011. 【解析】(1)由表知，样本中月收入低于20(百元)的共有5人，其中持赞成态度的共有2人，故赞成人数的频率为52，月收入不低于30(百元)的共有75人，其中持赞成态度的共有64人，故赞成人数的频率为7564， ∵527564>，∴根据样本估计总体的思想可知月收入不低于30(百元)的人群对该措施持赞成态度的比月收入低于20(百元)的人群持赞成态度的比例要高．(2) 将月收入在)20,10[内，不赞成的3人记为321,,a a a ，赞成的2人记为54,a a ，将月收入在)70,60[内，不赞成的1人记为1b ，赞成的3人记为,,,432b b b 从月收入在)20,10[和)70,60[内的人中各随机抽取1人，基本事件总数20=n ，其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有5840155408-=),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(1514433323423222413121b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 共11个，∴抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率2011=P . 【易错点】求解古典概型问题的关键：先求出基本事件的总数，再确定所求目标事件包含基本事件的个数，结合古典概型概率公式求解．一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时，可以考虑其对立事件的概率，从而简化运算．【思维点拨】1. 求复杂互斥事件概率的方法一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式()()1P A P A ＝－，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．2.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数；求出事件A 包含的基本事件个数；代入公式，求出()P A ；几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比. 题型二统计与统计案例例1、某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：],90,80[,),40,30[),30,20[Λ并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间)50,40[内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】（Ⅰ）4.0；（Ⅱ）20；（Ⅲ）2:3.【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为6.010)04.002.0(=⨯+，所以样本中分数小于70的频率为4.06.01=-.（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为.所以总体中分数在区间内的人数估计为. （Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为6010010)04.002.0(=⨯⨯+，所以样本中分数不小于70的男生人数为302160=⨯.所以样本中的男生人数为60230=⨯，女生人数为4060100=-，男生和女生人数的比例为2:340:60=，所以根据分层抽样的原理，总体中男生和女生人数的比例估计为2:3. 【易错点】求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个．【思维点拨】1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 4．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中： (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 5.求回归直线方程的关键①正确理解计算^^,a b 的公式和准确的计算．②在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=[40,50)1001000.955-⨯-=[40,50)540020100⨯=系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． 6.独立性检验的关键①根据22⨯列联表准确计算2K ，若22⨯列联表没有列出来，要先列出此表． ②2K 的观测值k 越大，对应假设事件0H 成立的概率越小，0H 不成立的概率越大．题型三概率、随机变量及其分布例1、“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为； ②若，则，．【答案】(1) (2) （3）的分布列为；．【解析】（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为A x Z ()2,N μσZ ()14.55,38.45()10,30X X 11.95σ=≈()2~,Z N μσ()0.6826P Z μσμσ-<≤+=(22)0.9544P Z μσμσ-<≤+=26.5x =0.6826X ()2E X =x．（2）①∵服从正态分布，且，，∴， ∴落在内的概率是． ②根据题意得，；；；；． ∴的分布列为∴． 50.1150.2250.3350.25450.1526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Z ()2,N μσ26.5μ=11.95σ≈(14.5538.45)(26.511.9526.511.95)0.6826P Z P Z <<=-<<+=Z ()14.55,38.450.68261~4,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()404110216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()41411124P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()42413228P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()43411324P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()444114216P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X ()1422E X =⨯=【思维点拨】1.条件概率的两种求解方法: (2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件A 包含的基本事件数)(A n ,再求事件AB 所包含的基本事件数()AB n ,得)()()|(A n AB n A B P =. 2.判断相互独立事件的三种常用方法:(1)利用定义,事件B A ,相互独立⇔)()()(B P A P AB P ⋅=.（2）利用性质,A 与B 相互独立,则A 与A B ,与B ,B A 与也都相互独立. (3)具体背景下,①有放回地摸球,每次摸球的结果是相互独立的. ②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.3. 求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率.4. 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足公式k n k k n p p C k X P --==)1()(的三个条件:(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ;(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.5. 求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量X 的均值、方差,求X 的线性函数b aX Y +=的均值、方差,可直接用均值、方差的性质求解,即b X aE b aX E +=+)()(,)()(2X D a b aX D =+(b a ,为常数).(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布,可直接利用它们的均值、方差公式求解,即若X 服从两点分布,则p X E =)(,)1()(p p X D -=;若),(~p n B X ，则np X E =)(，)1()(p np X D -=.【巩固训练】题型一古典概型与几何概型1.已知，，则函数在区间上为增函数的概率是（）A .B .C .D . {}0 1 2a ∈，，{}1 1 3 5b ∈-，，，()22f x ax bx =-()1 +∞，512131416【答案】A【解析】①当时，，情况为符合要求的只有一种； ②当时，则讨论二次函数的对称轴要满足题意则产生的情况表示：，8种情况满足的只有4种; 综上所述得：使得函数在区间为增函数的概率为：1251214=+=P .2.在区间上任取一数，则的概率是（）A ．B ．C .D ．【答案】C【解析】由题设可得,即;所以,则由几何概型的概率公式.故应选C .(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．【答案】(1) 0.4；(2) 45；（3）74. 【解析】(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为0a =()2f x bx =- 1 1 3 5b =-，，，1b =-0a ≠22b b x a a -=-=1ba≤() a b ，()()()1 1 1 1 1 3-，，，，，()()()()()1 5 2 1 2 1 2 3 2 5-，，，，，，，，，()22f x ax bx =-()1 +∞，()0,4x 1224x -<<12131434211<-<x 32<<x 4,1==D d 41=P考向二统计与统计案例1.为考查某种疫苗预防疾病的效果,进行动物实验,得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只, （Ⅰ）求列联表中的数据,,,的值；（Ⅱ）绘制发病率的条形统计图,并判断疫苗是否有效？（Ⅲ）能够有多大把握认为疫苗有效？22⨯x y A B【答案】（Ⅰ）,,,；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）至少有%9.99的把握认为疫苗有效.【解析】（Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只,取到“注射疫苗”动物”为事件A, 由已知得,所以,,,．发病率的条形统计图如图所示,由图可以看出疫苗影响到发病率．10y =40B =40x =60A =302()1005y P A +==10y =40B =40x =60A =未注射注射．所以至少有%9.99的把握认为疫苗有效.2.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在市的区开设分店．为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格．记表示在各区开设分店的个数，表示这个分店的年收入之和．（Ⅰ）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（Ⅱ）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与之间的关系为，请结合（Ⅰ）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大？参考公式：，，．【答案】（1）；（2）公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．【解析】（1）10085)())(()(,4,42112121^=---=--===∑∑∑∑====x x y yx x x n xyx n yx b y x ni ini iini ini iiΘ，6.0^^=-=x b y a ， ∴y 关于x 的线性回归方程6.085.0+=x y .（2），区平均每个分店的年利润，∴时，取得最大值，故该公司应在区开设4个分店，才能使区平均每个分店的年利润最大．10000005016.6710.8285020603=≈>⨯⨯S A x y x y x y x A z ,x y 20.05 1.4z y x =--A A y b x a ∧∧∧=+1221ni i i nii x y nxyb x nx ∧==-==-∑∑()()()121niii n ii x x y y x x ==---∑∑a y b x ∧∧=-0.850.6y x =+A A 20.05 1.4z y x =--=20.050.850.8x x -+-A 0.80.050.85z t x x x ==--+800.0150.85x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭4x =t A A3. 某商场对商品30天的日销售量y (件)与时间t (天)的销售情况进行整理，得到如下数据，经统计分析，日销售量y (件)与时间t (天)之间具有线性相关关系．(1)请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y 关于t 的线性回归方程a t b y +=. (2)已知商品30天内的销售价格z (元)与时间t(天)的关系为,),200(,20),3020(,100⎩⎨⎧∈<<+∈≤≤+-=N t t t N t t t z 根据(1)中求出的线性回归方程，预测t 为何值时，商品的日销售额最大．参考公式：2121^)(t n tyt n yt b ni ini ii--=∑∑==，t b y a ^^-=.【答案】(1)40^+-=t y ；(2)预测当20=t 时，商品的日销售额最大，最大值为1600元．【解析】(1)根据题意，6)108642(51=++++⨯=t ，34)3033323738(51=++++⨯=y ， 980301033832637438251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑=i i i y t ，22010864222222512=++++=∑=i i t ，所以回归系数为1652203465980)(22121^-=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==t n tyt n yt b ni ini ii，406)1(34^^=⨯--=-=t b y a ，故所求的线性回归方程为40^+-=t y . （2）由题意得日销售额为,,3020),40)(100(,200),40)(20(⎩⎨⎧∈≤≤+-+-∈<<+-+=Nt t t t Nt t t t L当N t t ∈<<,200时，900)10(80020)40)(20(22+--=++-=+-+=t t t t t L ，所以当;90010max ==L t 时，当N t t ∈≤≤,3020时，900)70(4000140)40)(100(22--=+-=+-+-=t t t t t L ，所以当.160020max ==L t 时，综上所述，预测当20=t 时，A 商品的日销售额最大，最大值为1600元. 题型三概率、随机变量及其分布A A A A1.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者654321,,,,,A A A A A A 和4名女志愿者4321,,,B B B B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含的频率。

2020年高考数学理科热点题型：概率与统计含参考答案

概率与统计热点一常见概率模型的概率几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列.解依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥，∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.(3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4.且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥. 则P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0＋A 4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1781.所以ξ的分布列是【类题通法】(1)本题4由独立重复试验，4人中恰有i 人参加甲游戏的概率P ＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i ，这是本题求解的关键.(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把ξ＝0，2，4的事件转化为相应的互斥事件A i 的概率和. 【对点训练】甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求ξ＝2的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率. 解 (1)ξ＝2，则甲队有两人答对，一人答错，故P (ξ＝2)＝34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124；(2)设甲队和乙队得分之和为4为事件A ，甲队比乙队得分高为事件B .设乙队得分为η，则η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23.P (ξ＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＝14，P (ξ＝3)＝34×23×12＝14，P (η＝1)＝C 13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (η＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝49，P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，∴P (A )＝P (ξ＝1)P (η＝3)＋P (ξ＝2)P (η＝2)＋P (ξ＝3)·P (η＝1) ＝14×827＋1124×49＋14×29＝13， P (AB )＝P (ξ＝3)·P (η＝1)＝14×29＝118， ∴所求概率为P (B|A )＝P （AB ）P （A ）＝11813＝16.热点二离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例2】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望).解用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1，2，3，4，5. (1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)·P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681.(2)X 的可能取值为2，3，4，5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)·P (B 2)＝59，P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881. 故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×81＋5×81＝81. 【类题通法】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.【对点训练】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为1 2 .②依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X＝60)＝12，P(X＝20)＝C23C24＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×2＋60×12＝40(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X 1的数学期望为E(X1)＝20×6＋60×3＋100×6＝60(元)，X 1的方差为D(X1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X 2的数学期望为E(X2)＝40×6＋60×3＋80×6＝60(元)，X 2的方差为D(X2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.热点三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[75，80)，第2组[80，85)，第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率；②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为5×0.06×40＝12.第4组的人数为5×0.04×40＝8.第5组的人数为5×0.02×40＝4.(2)利用分层抽样，在第3组，第4组，第5组中分别抽取3人，2人，1人.①设“甲或乙进入第二轮面试”为事件A，则P(A)＝1－C310C312＝511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为5 11 .②X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝C24C26＝25，P(X＝1)＝C12C14C26＝815，P(X＝2)＝C22C26＝115.所以X的分布列为X 01 2P 25815115E(X)＝0×25＋1×815＋2×15＝15＝3.【类题通法】本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X服从超几何分布.【对点训练】某公司为了解用户对某产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C＝CB1CA1∪C B2C A2.P(C)＝P(CB1CA1∪C B2C A2)＝P(C B1C A1)＋P(C B2C A2)＝P(C B1)P(C A1)＋P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1620，420，1020，820，即P(C A1)＝1620，P(CA2)＝420，P(C B1)＝1020，P(C B2)＝820，故P(C)＝1020×1620＋820×420＝0.48.热点四统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例4】从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i(单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝，a ^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n∑ni ＝1x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑ni ＝1y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑ni ＝1x 2i －n x 2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关. (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).【类题通法】(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用b ^，a ^的公式进行准确的计算.【对点训练】4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？(2)1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成2×2列联表如下：K 2＝100×（40×25－15×20）260×40×55×45≈8.249＞6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率P ＝25.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，P (X ＝i )＝C i 3⎝ ⎛⎭⎪⎫25i ⎝ ⎛⎭⎪⎫353－i(i ＝0，1，2，3).X 的分布列为均值E (X )＝np ＝3×5＝5，方差D (X )＝np (1－p )＝3×25×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝1825。

2020高考数学刷题首选卷第八章概率与统计考点测试57排列与组合理(含解析)

考点测试57 排列与组合高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1．理解排列、组合的概念2．理解排列数公式、组合数公式3．能利用公式解决一些简单的实际问题一、基础小题1．4×5×6·…·(n －1)·n ＝( )A ．A 4nB ．A n －1nC ．n ！－4!D ．A n －3n答案 D解析原式可写成n ·(n －1)·…·6×5×4，故选D ．2．甲、乙两人计划从A ，B ，C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有( )A ．3种B ．6种C ．9种D ．12种答案 B解析甲、乙各选两个景点有C 23C 23＝9种方法，其中，入选景点完全相同的有3种．∴满足条件要求的选法共有9－3＝6(种)，故选B ．3．某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．3种B ．6种C ．9种D ．18种答案 C解析解法一：A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，共有C 12C 23＝6(种)不同的选法；A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，共有C 22C 13＝3(种)不同的选法，所以两类课程中各至少选一门，不同的选法共有6＋3＝9(种)．故选C ．解法二：从5门课中选3门，共有C 35种不同的选法，当在两类课中，有一类不选时，即B 类选修课选3门，共有C 33种不同的选法，所以两类课程中各至少选一门，不同的选法共有C 35－C 35＝9(种)．故选C ．4．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( )A．34种 B．48种 C．96种 D．144种答案 C解析程序A有A12＝2(种)结果，将程序B和C看作元素集团与除A外的元素排列有A22A44＝48(种)，∴由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96(种)方法．5．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A．16种 B．36种 C．42种 D．60种答案 D解析解法一(直接法)：若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法．由分类加法计数原理知共A34＋C23A24＝60(种)方法．解法二(间接法)：先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求，共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60种．6．六个人排成一排，甲、乙两人中间至少有一个人的排法种数为( )A．480 B．720 C．240 D．360答案 A解析6个人任意排列，共有A66种排列方法，甲、乙站在一起的排列方法有A22A55种，则结果有A66－A22A55＝480(种)．故选A．7．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A．144 B．120 C．72 D．24答案 D解析3把椅子形成四个间隔，3人从4个间隔任选3个即可，故坐法总数为A34＝24．故选D．8．将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案种数是( )A．C28C26C24A44A44 B．A28A26A24A44C．C28C26C24A44 D．C28C26C24答案 C解析(分组分配法)将8名售票员平均分为4组，分配到4辆车上，有C28C26C24种，再分配司机有A44种，故共有方案数C28C26C24A44种．故选C．9．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有( )A．30种 B．90种 C．180种 D．270种答案 B解析由每班至少1名，最多2名，知分配名额为1，2，2，∴分配方案有C 15·C 24A 22·A 33＝90(种)．故选B ．10．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种答案 B解析先放1、2的卡片有C 13种，再将3、4、5、6的卡片平均分成两组再放置，有C 24A 22·A 22种，故共有C 13·C 24＝18(种)．故选B ．11．5名同学分配到3个不同宣传站做宣传活动，每站至少1人，其中甲、乙两名同学必须在同一个宣传站，则不同的分配方法的种数是________(用数字作答)．答案 36解析将5名同学分成三组，要求甲、乙在同一组的方法数为C 23＋C 13＝6，将这三组分配到不同的宣传组的方法数为A 33＝6，故所有的分配方法数为6×6＝36．12．将5名志愿者分成4组，其中一组为2人，其余各组各1人，到4个路口协助交警执勤，则不同的分配方法有________种．(用数字作答)答案 240解析假设4个路口分别为A ，B ，C ，D ，如果A 路口有2人，则共有C 25·C 13·C 12·C 11种选派方法，同理若B ，C ，D 路口有2人，则每种情况共有C 25·C 13·C 12·C 11种选派方法，故总的选派方法有4C 25·C 13·C 12·C 11＝240(种)．二、高考小题13．(2016·四川高考)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．48C ．60D ．72答案 D解析奇数的个数为C 13A 44＝72．故选D ．14．(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个答案 C解析当m ＝4时，数列{a n }共有8项，其中4项为0，4项为1，要满足对任意k ≤8，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数，则必有a 1＝0，a 8＝1，a 2可为0，也可为1．(1)当a 2＝0时，分以下3种情况：①若a 3＝0，则a 4，a 5，a 6，a 7中任意一个为0均可，则有C 14＝4种情况；②若a 3＝1，a 4＝0，则a 5，a 6，a 7中任意一个为0均可，有C 13＝3种情况；③若a 3＝1，a 4＝1，则a 5必为0，a 6，a 7中任一个为0均可，有C 12＝2种情况；(2)当a 2＝1时，必有a 3＝0，分以下2种情况：①若a 4＝0，则a 5，a 6，a 7中任一个为0均可，有C 13＝3种情况；②若a 4＝1，则a 5必为0，a 6，a 7中任一个为0均可，有C 12＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14(个)．故选C ．15．(2018·浙江高考)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)答案 1260解析若不取零，则排列数为C 25C 23A 44，若取零，则排列数为C 25C 13A 13A 33，因此一共有C 25C 23A 44＋C 25C 13A 13A 33＝1260个没有重复数字的四位数．16．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字填写答案)．答案 16解析根据题意，没有女生入选有C 34＝4种选法，从6位学生中任意选3人有C 36＝20种选法，故至少有1位女生入选的不同选法共有20－4＝16种．17．(2017·天津高考)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)答案 1080解析 ①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为C 35·C 14·A 44＝960． ②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为A 45＝120．故符合题意的四位数一共有960＋120＝1080(个)．18．(2017·浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)答案 660解析解法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C 12种方法；再选3名男生，有C 36种方法；然后排队长、副队长位置，有A 24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C 12C 36A 24＝480(种)选法．有2名女生时，再选2名男生，有C 26种方法；然后排队长、副队长位置，有A 24种方法．由分步乘法计数原理，知共有C 26A 24＝180(种)选法．所以依据分类加法计数原理知共有480＋180＝660(种)不同的选法．解法二：不考虑限制条件，共有A 28C 26种不同的选法，而没有女生的选法有A 26C 24种．故至少有1名女生的选法有A 28C 26－A 26C 24＝840－180＝660(种)．三、模拟小题19．(2018·汉口模拟)某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有( )A ．16种B ．18种C ．24种D ．32种答案 C解析将4个连在一起的空车位“捆绑”，作为一个整体，则所求即4个不同元素的全排列，有A 44＝24(种)不同的停放方法．故选C ．20．(2018·武汉调研)A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A ．60种B ．48种C ．30种D ．24种答案 B解析由题知，不同的座次有A 22A 44＝48(种)．故选B ．21．(2019·长春高三质量监测一)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A ，B ，C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A 班的分法种数为( )A ．6B ．12C ．24D ．36答案 B解析甲和另一个人一起分到A 班有C 13A 22＝6种分法，甲一个人分到A 班的方法有C 23A 22＝6种分法，共有12种分法．22．(2019·贵州遵义航天高级中学模拟)将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本至多两本，则不同的分法种数是( )A ．60B ．90C ．120D ．180答案 B解析根据题意，分2步进行分析：①5本不同的书分成3组，一组一本，剩余两个小组每组2本，则有C 15C 24C 22A 22＝15种分组方法；②将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙三人，则有A 33＝6种情况．则有15×6＝90种不同的方法．故选B ．23．(2018·湖南岳阳一中一模)某高铁站B 1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有________种( )A ．24B ．36C ．42D ．60答案 D解析若三名同学从3个不同的检票通道口进站，则有A 33＝6种；若三名同学从2个不同的检票通道口进站，则有C23C23A22A22＝36种；若三名同学从1个不同的检票通道口进站，则有C13A33＝18种；综上，这3个同学的不同进站方式有60种，故选D．24．(2018·湖南三湘名校教育联盟第三次联考)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )A．360种 B．480种 C．600种 D．720种答案 C解析从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有C45A55＝600，故选B．25．(2018·广东珠海质量检测)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有________种( )A．480 B．360 C．240 D．120答案 C解析解法一：第一步：先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球，有4种选法；第二步：从5个球里选出两个球放在刚才的盒子里，有C25种选法；第三步：把剩下的3个球全排列，有A33种排法，由乘法分步原理得不同方法共有4C25A33＝240种，故选C．解法二：根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必有2个小球放入1个小盒，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①先将5个小球分成4组，有C25＝10种分法；②将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A44＝24种情况，则不同放法有10×24＝240种．故选C．26．(2018·广州一调)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A．36种 B．24种 C．22种 D．20种答案 B解析第一类：男生分为1，1，1，女生全排，男生全排得A33A22＝12，第二类：男生分为2，1，所以男生两堆全排后女生全排C23A22A22＝12，不同的推荐方法共有12＋12＝24，故选B．27．(2018·湖南、江西等十四校第二次联考)甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A，B，C，D四类课外书(每类课外书均有若干本)，已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A类课外书，则不同的借阅方案种类为( ) A．48 B．54 C．60 D．72答案 C解析分两类：乙、丙、丁、戊四位同学A，B，C，D四类课外书各借1本，共A44＝24种方法；乙、丙、丁、戊四位同学B，C，D三类课外书各借1本，共有C24A33＝36种方法，故方法总数为60种．故选C．28．(2018·辽宁朝阳一模)从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议，规定男女同学至少各有1人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：①C120C130C248；②C450－C420－C430；③C120C330＋C220C230＋C320C130．则其中正确算式的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析①错误，计算有重复；②正确，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况；③正确，分类，即1男3女，2男2女，3男1女，所以选C．29．(2018·山西康杰质检)由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有________个．答案120解析1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有A33A34＝144(个)，4在第四位，则前3位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有2C13C12A22＝24(个)，所以所求六位数共有144－24＝120(个)．30．(2018·长春质检)20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．答案120解析先在编号为2，3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有C216＝120(种)方法．本考点在近三年高考中未涉及此题型．。

2020高考真题汇编9：概率与统计(文)

2020高考真题汇编9：概率与统计一、选择题1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A ．15B ．25C ．12D ．452．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10x n 的方差为( )A ．0.01B ．0.1C ．1D ．104．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%5．【2020年高考天津】从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为( )A ．10B ．18C ．20D ．36二、填空题6．【2020年高考江苏】已知一组数据4,2,3,5,6a a 的平均数为4，则a 的值是____________．7．【2020年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.8.【2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．三、解答题9．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?10．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i=1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201))800ii ix y x y =--=∑（（．（1）求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；（2）求样本(x i ，y i )(i=1，2，…，20)的相关系数(精确到0.01)；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数r(())niix y x y --∑．11．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828参考答案1．答案：A解析：如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有：{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C ，{,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D ，{,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=. 故选A.2．答案：D解析：由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选：D. 3．答案：C解析：因为数据(1,2,,)i ax b i n +=，的方差是数据(1,2,,)i x i n =，的方差的2a 倍，所以所求数据方差为2100.01=1⨯ 故选：C 4．答案：C解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-= 所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选：C.5．答案：B解析：根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=，则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518⨯=. 故选：B. 6．答案：2解析：∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4 ∴4235620a a ++-++=，即2a =. 故答案为：2. 7．答案：19解析：根据题意可得基本事件数总为6636⨯=个.点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个. ∴出现向上的点数和为5的概率为41369P ==. 故答案为：19. 8. 答案：16 23解析：甲、乙两球落入盒子的概率分别为11,23，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为111236⨯=，甲、乙两球都不落入盒子的概率为111(1)(1)233-⨯-=，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为23. 故答案为：16；23. 9．解析：（1）由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=；乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100=. （2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=.比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 10．解析：（1）由己知得样本平均数20160120i iy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000．（2）样本(,)i i x y (1,2,,20)i =的相关系数20))0.943iix y r x y --===≈∑（（．（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样．理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．11．解析：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=．（3）根据所给数据，可得22⨯列联表：根据列联表得22100(3382237) 5.82055457030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于5.820 3.841>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．12．解析：（1）根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数为32186864+++=,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率的估计值为640.64100=．（2）根据抽查数据，可得22⨯列联表：（3）根据（2）的列联表得22100(64101610)7.48480207426K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于7.484 6.635>，故有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关．。

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单元质量测试(八)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( ) A ．“至少有1枚正面”与“最多有1枚正面” B ．“最多有1枚正面”与“恰有2枚正面” C ．“至多有1枚正面”与“至少有2枚正面” D ．“至少有2枚正面”与“恰有1枚正面” 答案 C解析两个事件是对立事件必须满足两个条件：①不同时发生，②两个事件的概率之和等于1．故选C ．2．某小学共有学生2000人，其中一至六年级的学生人数分别为400，400，400，300，300，200．为做好小学放学后“快乐30分”的活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为( )A ．120B ．40C ．30D ．20 答案 B解析 ∵一年级学生共400人，∴抽取一个容量为200的样本，用分层抽样的方法抽取的一年级学生人数为4002000×200＝40．选B ．3．(2018·合肥质检一)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是( )A ．114B ．112C ．17D ．16 答案 D解析我们研究在一个小时内的概率即可，不妨研究在一点至两点之间听到新闻的时间段．由题可知能听到新闻的时间段为1点到1点5分，以及1点30分到1点35分，总计10分钟的时间可以听到新闻，故能听到新闻的概率为1060＝16．故选D ．4．(2018·湖南邵阳二模)假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表如下：对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为( ) A ．a ＝45，c ＝15 B ．a ＝40，c ＝20 C ．a ＝35，c ＝25 D ．a ＝30，c ＝30 答案 A解析根据2×2列联表与独立性检验可知，当a a ＋10与c c ＋30相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，即a ，c 相差越大，aa ＋10与cc ＋30相差越大．故选A ．5．(2018·河南安阳二模)已知变量x 与y 的取值如下表所示，且2．5<n <m <6．5，则由该数据算得的线性回归方程可能是( )A ．y ^＝0．8x ＋2．3B ．y ^＝2x ＋0．4C ．y ^＝－1．5x ＋8D ．y ^＝－1．6x ＋10 答案 D解析由2．5<n <m <6．5，可得为负相关，排除A ，B ；由题意，知x －＝3．5，y －＝14×(6．5＋m ＋n ＋2．5)∈(3．5，5．5)，分别代入选项C ，D ，可得D 满足．故选D ．6．(2018·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )A ．1－π4B ．π12C ．π4D ．1－π12答案 A解析鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4．故选A ．7．(2018·佛山质检)已知袋中有5个球，其中红球3个，标号分别为1，2，3；蓝球2个，标号分别为1，2．从袋中任取2个球，则这2个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为( )A ．310B ．25C ．35D ．710 答案 A解析从这5个球中取出2个，有如下情况：(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)，共10种，其中2个球颜色不同且标号之和不小于4的有(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，共3种，所以所求概率为310，故选A ．8．(2018·衡阳三模)若在边长为a 的正三角形内任取一点P ，则点P 到三角形三个顶点的距离均大于a2的概率是( )A ．1112－3π6B ．1－3π6C ．13D ．14 答案 B解析如图，正三角形ABC 的边长为a ，分别以它的三个顶点为圆心，以a2为半径，在△ABC 内部画圆弧，得三个扇形，依题意知点P 在这三个扇形外，因此所求概率为34a 2－12×π×a 2234a 2＝1－3π6．故选B ． 9．10枚均匀的骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一点的概率是( )A ．1－56105B ．1－56610C ．1－1－16510D ．1－1－16105答案 D解析一次同时掷出10枚均匀的骰子，10枚骰子全部出现一点的概率等于1610，故10枚骰子没有全部出现一点的概率等于1－1610．事件“掷5次，至少有一次10枚骰子全部出现一点”的对立事件为“掷5次，每次掷出的10枚骰子中，至少有一枚没有出现一点”，故至少有一次10枚骰子全部出现一点的概率等于1－1－16105．故选D ．10．(2018·广东广州海珠区综合测试)下列说法中正确的是( )①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r |越接近于1，相关性越弱； ②回归直线y ^＝b ^x ＋a ^一定经过样本点的中心(x ，y )；③回归模型中残差是实际值y i 与估计值y ^的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；④相关指数R 2用来刻画回归的效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好． A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③ 答案 D解析 ①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r |越接近于1，则相关性越强，错误；②回归直线y ^＝b ^x ＋a ^一定经过样本点的中心(x ，y )，正确；③由残差的定义和残差图的绘制可知正确；④相关指数R 2用来刻画回归的效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越不好，错误．所以正确的有②③．故选D ．11．(2018·南昌摸底)甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群聊“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是( )A ．13B ．310C ．25D ．34 答案 C解析用枚举法列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有(2，2，5)，(2，3，4)，(2，4，3)，(2，5，2)，(3，2，4)，(3，3，3)，(3，4，2)，(4，2，3)，(4，3，2)，(5，2，2)，共有10种可能性．而丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的情况有(2，4，3)，(2，5，2)，(3，3，3)，(3，4，2)，共计4种，故所求概率为410＝25．故选C ．12．(2018·郑州质检)我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则1a ＋4b的最小值为( )A ．49B ．2C ．94 D ．9 答案 C解析甲班学生成绩的中位数为80＋x ＝81，得x ＝1．由茎叶图可知，乙班学生的总分为76＋80＋82＋(80＋y )＋91＋93＋96＝598＋y ＝7×86，所以y ＝4．若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则a ＋b ＝2G ，xy ＝G 2，所以a ＋b ＝4，所以1a ＋4b＝14(a ＋b )1a ＋4b ＝145＋b a ＋4a b ≥145＋2b a ·4a b ＝14×9＝94，当且仅当b ＝2a ＝83时，1a ＋4b取得最小值．故选C ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2018·广东华南师大附中测试)已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为________．答案 36解析由题意得阴影部分的面积约为6001000×60＝36．14．某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________．答案 45解析该题为长度型几何概型，所以概率P ＝17－1318－13＝45．15．(2018·青岛质检)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝7，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为________万元．答案 85解析 x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋50＋60＋705＝50，又因为回归直线过样本中心点，所以a ^＝y －b ^x ＝50－7×5＝15．所以回归方程为y ＝7x ＋15，当x ＝10时，y ＝85，所以当投入10万元广告费时，销售额为85万元．16．(2018·乌鲁木齐一诊)A ，B ，C ，D 四名学生按任意次序站成一排，则A 或B 在边上的概率为________．答案 56解析 A ，B ，C ，D 四名学生按任意次序站成一排，基本事件数共24种，如下图所示．A ，B 都不在边上共4种，所以A 或B 在边上的概率为P ＝1－424＝56．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(2018·广东华南师大附中综合测试三)(本小题满分10分)《汉字听写大会》不断创收视率新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试．现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164)，第二组[164，168)，……，第六组[180，184)，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2)已知第5，6两组市民中有3名女性，组织方要从第5，6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．解(1)被采访人恰好在第1组或第4组的频率为(0．05＋0．02)×4＝0．28，∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0．28．(2)第5，6两组[176，184)的人数为(0．02＋0．01)×4×50＝6，∴第5，6两组中共有6名市民，其中女性市民有3名，记第5，6两组中的3名男性市民分别为A，B，C，3名女性市民分别为x，y，z，从第5，6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，共有15个基本事件，列举如下：AB，AC，Ax，Ay，Az，BC，Bx，By，Bz，Cx，Cy，Cz，xy，xz，yz，至少有1名女性的事件有Ax，Ay，Az，Bx，By，Bz，Cx，Cy，Cz，xy，xz，yz，共12个，∴从第5，6两组中随机抽取2名市民组成宣传队，至少有1名女性市民的概率为1215＝45．18．(2018·济南模拟)(本小题满分12分)2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[20，40)内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表．表设备改造后的样本的频数分布表(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；(2)根据上图和上表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；(3)根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利180元，一件不合格品亏损100元，用频率估计概率，则生产1000件产品企业大约能获利多少元？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，n＝a＋b＋c＋d．解(1)根据题图和题表得到2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝400×(172×8－28×192)2200×200×364×36≈12．210，∵12．210>6．635，∴有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关． (2)根据题图和题表可知，设备改造后产品为合格品的概率约为192200＝96100，设备改造前产品为合格品的概率约为172200＝86100，即设备改造后合格率更高，因此设备改造后性能更好．(3)用频率估计概率，1000件产品中大约有合格品192200×1000＝960件，不合格品1000－960＝40件，180×960－100×40＝168800元，故该企业大约能获利168800元．19．(2018·江西摸底)(本小题满分12分)某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场的销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品(每人一件)．(注：视频率为概率)(1)试确定m ，n 的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；(2)为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：请估计该商场日均让利多少元？解 (1)由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n ＋10＋30＝100×60%，解得n ＝20，∴m ＝100－80＝20．故该商场每日应准备纪念品的数量约为5000×60100＝3000(件)．(2)设一次购物款为a 元，当a ∈[50，100)时，顾客有5000×20%＝1000(人)，当a ∈[100，150)时，顾客有5000×30%＝1500(人)，当a ∈[150，200)时，顾客有5000×20%＝1000(人)，当a ∈[200，＋∞)时，顾客有5000×10%＝500(人)，∴估计该商场日均让利为75×6%×1000＋125×8%×1500＋175×10%×1000＋30×500＝52000(元)．∴估计该商场日均让利为52000元．20．(2018·广东三校联考)(本小题满分12分)在某城市气象部门的数据中，随机抽取了100天的空气质量指数的监测数据如表：(1)该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y 与当天的空气质量t (t 取整数)存在如下关系y ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤100，2t －100，100＜t ≤300，且当t >300时，y >500，试用频率估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率；(2)若在(1)中，当t >300时，y 与t 的关系拟合于曲线y ^＝a ^＋b ^ln t ，现已取出了10对样本数据(t i ，y i )(i ＝1，2，3，…，10)，且∑10i ＝1ln t i ＝70，∑10i ＝1y i ＝6000，∑10i ＝1(y i ln t i )＝42500，∑10i ＝1(ln t i )2＝500，求拟合曲线方程．附：线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中，b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x －y －∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ^＝y －－b ^x ．解 (1)令y >200得2t －100>200，解得t >150，∴当t >150时，病人人数超过200人．由频数分布表可知100天内空气质量指数t >150的天数为25＋15＋10＝50．∴估计病人人数超过200人的概率为P ＝50100＝12． (2)令x ＝ln t ，则y ^与x 线性相关， x ＝∑10i ＝1ln t i 10＝7，y ＝∑10i ＝1y i 10＝600， ∴b ^＝42500－10×7×600500－10×49＝50，a ^＝600－50×7＝250， ∴拟合曲线方程为y ^＝50x ＋250＝50ln t ＋250．21．(2018·江西重点盟校联考一)(本小题满分12分)微信是当前主要的社交应用之一，有着几亿用户，覆盖范围广，及时快捷．作为移动支付的重要形式，微信支付成为人们支付的重要方式和手段．某公司为了解人们对“微信支付”的认可度，对[15，45]年龄段的人群随机抽取n 人进行了一次“你是否喜欢微信支付”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求n ，a ，p 的值；(2)在第四、五、六组“喜欢微信支付”的人中，用分层抽样的方法抽取7人参加“微信支付日鼓励金”活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数；(3)在(2)中抽取的7人中随机选派2人做采访嘉宾，求所选派的2人没有第四组人的概率．解 (1)补全频率分布直方图，如图所示．由统计表中第四组数据可知，第四组总人数为600.4＝150，再结合频率分布直方图，可知n ＝1500.03×5＝1000，所以a ＝0．04×5×1000×0．5＝100．因为第二组的频率为0．3，所以p ＝195300＝0．65． (2)因为第四、五、六组“喜欢微信支付”的人数共有105人，由分层抽样原理可知，第四、五、六组分别抽取的人数为4人、2人、1人．(3)设抽取的第四组的4人为A 1，A 2，A 3，A 4，第五组的2人为B 1，B 2，第六组的1人为C 1，则从7人中随机抽取2人的所有可能的结果为A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 1B 1，A 1B 2，A 1C 1，A 2A 3，A 2A 4，A 2B 1，A 2B 2，A 2C 1，A 3A 4，A 3B 1，A 3B 2，A 3C 1，A 4B 1，A 4B 2，A 4C 1，B 1B 2，B 1C 1，B 2C 1，共21种，其中恰好没有第四组人的所有可能结果为B 1B 2，B 1C 1，B 2C 1，共3种，所以所选派的2人没有第四组人的概率为P ＝321＝17． 22．(2018·安徽合肥模拟)(本小题满分12分)某公司共有10条产品生产线，不超过5条生产线正常工作时，每条生产线每天纯利润为1100元，超过5条生产线正常工作时，超过的生产线每条纯利润为800元，原生产线利润保持不变．未开工的生产线每条每天的保养等各种费用共100元．用x 表示每天正常工作的生产线条数，用y 表示公司每天的纯利润．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并求出纯利润为7700元时工作的生产线条数；(2)为保证新开的生产线正常工作，需对新开的生产线进行检测，现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数x ＝14，标准差s ＝2，绘制如图所示的频率分布直方图，以频率值作为概率估计值．为检测该生产线生产状况，现从加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X ，依据以下不等式评判(P 表示对应事件的概率)：①P (x －s <X <x ＋s )≥0．6826；②P (x －2s <X <x ＋2s )≥0．9544；③P (x －3s <X <x ＋3s )≥0．9974．评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线．试判断该生产线是否需要检修．解 (1)由题意知，当x ≤5时，y ＝1100x －100×(10－x )＝1200x －1000；当5<x ≤10时，y ＝1100×5＋800×(x －5)－100×(10－x )＝900x ＋500；∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1200x －1000(x ≤5且x ∈N ＋)，900x ＋500(5<x ≤10且x ∈N ＋)，当y ＝7700时，900x ＋500＝7700，x ＝8，即8条生产线正常工作．(2)x ＝14，s ＝2，由频率分布直方图得，P (12<X <16)＝(0．29＋0．11)×2＝0．8>0．6826，P(10<X<18)＝0．8＋(0．04＋0．03)×2＝0．94<0．9544，P(8<X<20)＝0．94＋(0．015＋0．005)×2＝0．98<0．9974，∵不满足至少两个不等式，∴该生产线需要检修．。