人教版九年级上册数学课件21.2.2 公式法(2)
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21.2.2-一元二次方程的解法(2)公式法
(2) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
b c x x （2）方程两边同除以a，得 a a
2
.
b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a ∵a≠0, 4a2>0,
b 2 4ac 0, 2 ∴当b2－4ac≥0时， 4a
b b2 4ac ∴ x . 2a 2a
b b2 4ac x . 2a
2
2 0 a 0）. 对于方程 ax bx c （
2 ax bx c . （1）将常数项移到方程的左边，得
b 2 ( ) 2a ，得 （3）方程两边同时加上_______ b b 2 c b 2 2 x x( ) ( ) . a 2a a 2a 左边写成完全平方式，右边通分，得 b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a （4）开平方…
（3）
（ 4）
六、拓展练习 提升新知
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有 两个实数根，则m的取值范围是 （ D ）
A 、 m ﹥0 C 、 m ﹥ 0 且m≠1 B、 m≥0 D m ≥0且m≠1
解：由题意，得 m-1≠0① ⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0② 解之得，m﹥0且m≠1，故应选D
解 a 1, b 4, c 7
△ b 2 4ac 4 4 1 (7) 44 0.
2
方程有两个不相等的实数根： b b 2 4ac x 2a 4 44 4 2 11 . 2 1 2 2 11
21.2.2 公式法第2课 根的判别式-九年级数学上册课件(人教版)
2
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
解得 m≥ 且 m≠1.
3
不解方程，判断关于 x 的方程 x 2 2 2kx k 2
解： Δ ＝( 2 2 k )2 − 4×1×k2 = 4k2.
∵ k2≥0，
∴ 4k2≥0，
即 Δ≥0.
∴ 原方程有两个实数根．
0 根的情况.
在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程
（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9，
∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0.
∴ 方程有两个相等的实数根．
（3）方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5，
∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0.
课堂练习
1.已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B )
A. 该方程有两个相等的实数根
B. 该方程有两个不相等的实数根
C. 该方程无实数根
D. 该方程根的情况不确定
2.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范
围是（ D ）
A．m≥1
B．m≤1
C．m＞1
则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是( B )
课堂小结
根的情况
判别式的情况
Δ= b2 − 4ac > 0
两个不相等的实数根
Δ= b2 − 4ac = 0
两个相等的实数根
Δ = b2 − 4ac< 0
没有实数根
两个实数根
Δ= b2 − 4ac≥0
注意：1.一元二次方程化为一般式
21.2.2 公式法 课件 人教版数学九年级上册
感悟新知
知2－讲
(2)用求根公式解一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化成一般形式； ②确定公式中 a， b， c 的值； ③求出 b2－4ac 的值，判断根的情况； ④把 a， b 及 b2－4ac 的值代入求根公式求解 .
感悟新知
例3 用公式法解下列方程： (1) x2 － 2x+3=0. (2) 2x2 － 7x+4=0； (3) 3x2 － 2 3 x= － 1；
感悟新知
3-2.用公式法解下列方程： (1) y2 － 2y － 2=0； (2) 3x2 － 2x=4； (3) x2+6=2 ( x+1 ) ； (4) 5x2 － 2 5 x+1=0.
知2－练
感悟新知
解：(1)a＝1，b＝－2，c＝－2.
知2－练
Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－2)＝12>0.
方程有两个不等的实数根
字母值是负数，则需将
x=
－
(－ 7 ) ± 2×2
17 ，
即
x1=
7+ 4 17，
x2=
7－ 4
17.
其用括号括起来，不能 漏掉“-”号.
感悟新知
(3)方程化为 3x2－2 3 x+1=0. a=3， b=－2 3 ， c=1. Δ = ( －2 3 ) 2－4× 3× 1=0. 方程有两个相等的实数根
课堂小结
公式法
用公式法 关键 根的
解一元二
判别式
次方程
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根
感悟新知
知2－讲
2. 公式法 (1) 定义： 解一个具体的一元二次方程时，把各系数
直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得 出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法 .
九年级数学上册 21.2.2 公式法课件 (新版)新人教版
合作探究
2．用公式法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－x－＝0； (3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x； (5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋2x＋10＝0.
解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；
2＋ 3
2－ 3
(2)x 1＝ 2 ，x 2＝ 2 ；
第二十一章：一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法
学习目标
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了 解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式的推导．
学前准备
用配方法解方程： (1)x2＋3x＋2＝0； 解：x1＝－2，x2＝－1； (2)2x2－3x＋5＝0. 解：无解．
(3)没有实数根？
解：(1)m＜
1 4
Hale Waihona Puke ；(2)m＝；14
(3)m＞ .
1 4
合作探究
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋ mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0. 对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1 ＝0， Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0， ∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 根((，45))也由一可求般能根地有，公式式可子个知b12实，－根一4a或元c叫者二做次方方实程程没根a最x有．2多＋有bx＋c2个 ＝实数 0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2 －4ac.
公式法解一元二次方程课件-人教版九年级上册数学
解：∵a = 1, b = -4, c = -7
△ b2 4ac 42 41 (7) 44 0.
∴方程有两个不相等的实数根：
x b b2 4ac 2a
4
44 4 2 11 .
2 1
2
2 11
x1 2 11; x2 2 11
例题
例2 用公式法解方程： 2x 2 2 2x 1 0
应用拓展
3．在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方 程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
解：由Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝b2＋8b－20＝0， 解得b＝2或b＝－10(不合题意，舍去)， ∴b＝2 (1)当c＝b＝2时，b＋c＝4＜5，不合题意； (2)当c＝a＝5时，周长为a＋b＋c＝12
解：(1)a＝1，b＝1，c＝－6.
Δ＝b2－4ac＝12－4×1×(－6)＝25＞0.
方程有两个不等的实数根 x＝
1 25 ，
21
即x1＝2，x2＝－3.
课堂练习
(2)a＝1，b＝－ 3，c＝－14.
Δ＝b2－4ac＝(－
3
)2－4×1×－1
4
＝4＞0.
方程有两个不等的实数根x＝( 3 ) 4 ，
再见
21.2.2 公式法解一元二 次方程
九年级上册
学习目标
1、掌握公式法解一元二次方程的推导过程。
2、掌握用公式法解一元二次方程的公式并能够使用公式法解 一元二次方程。 3、求根判别公式的应用。
学习重难点 重点 使用公式法解一元二次方程。 难点 公式法解一元二次方程的推导过程及其求根判别公式的应用。
应用拓展
4．对于实数m，n，定义一种运算“ ”：m n＝mn＋n. (1)求2 5与2 (－5)的值； 解：2 5＝2×5＋5＝15； 2 (－5)＝2×(－5)＋(－5)＝－15.
人教版九年级数学上册课件：21.2.2公式法
21.2.2 公式法
(2)方程整理，得 x2－2 5x＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝(－2 5)2－4×1×10＝－20<0，∴此方程无实数根．
(3)方程整理，得 x2＋4x－2＝0.∵a＝1，b＝4，c＝－2，
∴b2－4ac＝16＋8＝24>0，∴x＝－42±×1 24，
∴x1＝－2＋ 6，x2＝－2－ 6. (4)原方程可化为 x2－9x＋2＝0.∵a＝1，b＝－9，c＝2，
1)·(－2)＝9＋8(a－1)≥0，且 a－1≠0，即得 a≥－81且 a≠1.
21.2.2 公式法
13．已知等腰三角形的腰长为 x，周长为 20，则方程 x2－ 12x＋31＝0 的根为___6＋___5__．
【解析】由方程 x2－12x＋31＝0 得 a＝1，b＝－12，c＝31，b2－4ac＝(－12)2 12± 20
(2)方程的根为 x＝ ，即 x ＝2，x ＝k＋1.∵方程总有一个根 艰闹群垛漆除蛾多悠纷铝终锰炕毅贞绵粳压谣灸艇磁诧酱述凶妖喧朝芋疡人教版九年级数学上册课件：211.
2
2 2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
馏亥磨甩僵钾河纪灿翼大实刃昂拎赣崇捍您戌登棺秤渣肃例笆荚弗窿鼻冗人教版九年级数学上册课件：21.
2公式法作业本人教版九年级数学上册课件：21.
【解析】∵点 P(a，c)在第二象限，∴a＜0，c＞0， 第二十一章 一元二次方程
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
敞憨厦打员寨玩缠厦驰农头宗怂在例沫呢蒲绥河谣泞躲结旧双峻饯喘兽纸人教版九年级数学上册课件：21.
21.2.2 公式法
14．用公式法解下列方程：
人教新课标版数学九年级上册21.2.2-一元二次方程的解法-公式法(2)课件
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注对意吗二？次
项系数
2、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.
例: k取何值时一元二次方程kx2-2x+3=0有实
数解根：∵. 一元二次方程kx2-2x+3=0有实数根.
∴ k≠0， b2 4ac 0
凡形先如把方a程x2+的c常=0数(项a≠移0到, a方c<程0的) 右边，再把左边配成一
个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接
开平方法或来求a出(x+它p的)2解+q.=0 (a≠0, aq<0)
的公一式元二法次是方解程一都元可二用次直接方开程平的方通法法解..
一般形式
ax2 bx c 0(a 0)
解：∵ b2 4ac (m 5)2 4 2(m 1)
把判别式配方 m2 10m 25 8m 8
m2 2m 17
(m 1)2 16 >0
∴方程有两个不相等的实数根；
典型例题解析
【例5】 已知：a、b、c是△ABC的三边，若方程
解 : a 1, b 2m 1, c m2 4, b2 4ac (2m 1)2 4(m2 4) 4m2 4m 1 4m2 16 4m 17
由4m 17 0, 得m 17 . 4
当m 17 时,b2 4ac 0, 4
（3） x2 x 1 0
（4） x2 x 1 0
（5） 2x2 x 3 0 （6）2x2 x 3 0
21.2.2公式法解一元二次方程(两课时)
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数 值代入公式计算; 5.定根:写出原方 程的根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 = b 4ac 的值，
2
特别注意:当
=
b 4ac 0
2
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
b 而x取任何实数都不可能使 ( x ) 2a
因此方程无实数根
4ac b (3) b 4ac 0, 这时 0 4a
9 ∴m＞ 8 9 2 （2）若方程有两个相等的实数根，则b -4ac=0即8m+9=0 ∴m= 8
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0 （3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴当m＞
9 方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根 8
2
0
，
一般地，式子b 4 ac 叫做方程
2
根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即
ax bx c 0
2
△＝ b 4ac
2
心动
2
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当 b 4ac 0时, 它的根是 :
21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(公式法)PPT课件
第二十一章 一元二次方程
21.2.2 解一元二次方程
——公式法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。
2.引导学生熟记求根公式，并理解公式中的条件。
3.使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程
重点难点
重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程。
解:(3)移项得， 5x2-4x-1=0
a=5,b=- 4,c=-1
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0
方程有两个不相等的实数根
=
−± 2 −4 4±6
=
2
2×5
1
即x1=1,x2=5
课堂练习
公式法的应用
例：用公式法解下列方程:
(1)x2-4x-7=0;
解:(4)移项得， x2-8x+17=0
(4) 程 2 − 2 + = 0 有两个实根，则m的取值范围是
_________ .
解： 2 − 4 = (−2)2 − 4 × 1 × = 4 − 4 ≥ 0
则 ≤ 1
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等
2 −4
42
将①直接开平方，得
>0
=±
方程有两个不相等的实数根
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1
, x2
;
2a
2a
新知探究
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论：
（2）若b2﹣4ac=0
将①直接开平方，得
21.2.2 解一元二次方程
——公式法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.使学生理解一元二次方程的求根公式的推导过程。
2.引导学生熟记求根公式，并理解公式中的条件。
3.使学生能熟练地运用求根公式解一元二次方程
重点难点
重点：掌握一元二次方程的求根公式，并熟练地运用求根公式求解一元二次方程。
解:(3)移项得， 5x2-4x-1=0
a=5,b=- 4,c=-1
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0
方程有两个不相等的实数根
=
−± 2 −4 4±6
=
2
2×5
1
即x1=1,x2=5
课堂练习
公式法的应用
例：用公式法解下列方程:
(1)x2-4x-7=0;
解:(4)移项得， x2-8x+17=0
(4) 程 2 − 2 + = 0 有两个实根，则m的取值范围是
_________ .
解： 2 − 4 = (−2)2 − 4 × 1 × = 4 − 4 ≥ 0
则 ≤ 1
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等
2 −4
42
将①直接开平方，得
>0
=±
方程有两个不相等的实数根
b b 2 4ac
b b 2 4ac
x1
, x2
;
2a
2a
新知探究
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值不确定，需分情况讨论：
（2）若b2﹣4ac=0
将①直接开平方，得
人教版九年级上册数学精品教学课件 第21章 一元二次方程 降次 —— 一元二次方程的解法 公式法
A. k > −1
B. k > −1 且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
分析：方程有两个不等的实数根 (-2)2 + 4k > 0 k > −1
二次项系数不为 0 k≠0
且 k≠0
归纳 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注 意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
化为一般式，得 3x2 - 7x + 8 = 0， a = 3，b = -7，c = 8，
∴ Δ = b2 - 4ac = (-7 )2 – 4×3×8 = 49–96 = - 47 < 0，
∴ 原方程没有实数根.
4. 解方程：2x2 - 3 3 x + 3 = 0. 解： a = 2，b = − 3 3，c = 3 . ∴ Δ = b2 - 4ac = 27 - 4×2×3 = 3 > 0 ，
典例精析
b b2 4ac
x
例4 用公式法解下列方程：
2a
(1) x2 − 4x − 7 = 0； 解：a = 1，b = −4，c = −7.
Δ = b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0.
方程有两个不等的实数根
x b
b2 4ac (4)
44 2
11 ，
2a
21
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
解：移项，得 ax2 bx c.
பைடு நூலகம்
方程两边都除以 a，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a
2 解一元二次方程 公式法PPT课件(人教版)
12．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b－1＝0有两个相等的实数 根，则b 的值是__2__．
13．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足的条件是 _a_≥_－__5_____．
14．用公式法解下列方程： (1)x(2x－4)＝5－8x；
解：原方程整理为 2x2＋4x－5＝0，∴b2－4ac＝16＋4×2×5＝ 56，∴x＝－24×±256，即 x1＝－2＋2 14，x2＝－2－2 14
练习1：对一元二次方程x2－2x＝1，b2－4ac＝__8__． 2．式子____b_2_－__4_a_c___叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别 式，常用Δ表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __有__两__个__不__等__的__实__数__根_______；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 __两__个__相__等__的__实__数__根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____无__实__数__根__． 练习2：(202X·长沙)若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个 不相等的实数根，则实数m的取值范围是_____m_＞__－__4____．
8．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝__2_5___，可得x1＝ __3__，x2＝__－__2__．
(91．)x用2－公3x式－法2＝解0下；列方解程：：x1＝3＋2 17，x2＝3－2 17 (2)8x2－8x＋1＝0；
解：x1＝2＋4 2，x2＝2－4 2
(3)2x2－2x＝5. 解：x1＝1＋2 11，x2＝1－2 11
知识点1：根的判别式 1．(202X·邵阳)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的根的情况是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．(202X·丽水)下列一元二次方程没有实数根的是( B ) A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
初中数学九年级上册(人教版)精品课件-21.2.2公式法.ppt
a 1、 b -2 3、 c 3.
Q b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0，
x （-2 3）
ห้องสมุดไป่ตู้
0 2
3
3.
21
2
即 ：x1 x2 3.
b b2 4ac x
2a
例3 解方程：x2 x 1 0（精确到0.001）.
解： a 1,b 1,c 1,
b2 4ac 12 41 (1) 5 0
x 1 5 2
用计算器求得： 5 2.2361
x1 0.618, x2 1.618.
例4 解方程：4x2-3x+2=0 解： Q a 4,b 3,c 2. b2 4ac (3)2 4 4 2 9 32 23 0.
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点） 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
导入新课
复习引入
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1× （-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根， 故选B.
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，
要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
•b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
人教版九年级数学上册公式法2(根的判别式)课件
∆=b2-4ac =4-4×（k-1）=8-4k ∵方程有实数解 ∴8-4k≥0,k≤2 又k-1≠0，∴k≤2且k≠1
有实数解，则k
跟踪练习
1.关于x的方程
有两个相等
的实数根，则m的值为（ D ）
A．2 B．-2 C．0 D．±2
跟踪练习
2.关于x的方程x2＋2x－a=0没有实数根，则a的
值可能是( A )
的根的情况是（C ）
D．无法判定
跟踪练习
3.已知关于x的一元二次方程2x2−(m＋n)x＋mn＝0， 其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方
程的根的情况是（ B ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
能力提升
已知关于x的一元二次方程
(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根； (1)证:A=a-1,B=2a+1,C=2
跟踪练习
1.探讨关于x的一元二次方程
总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：
甲：a，b同号； 乙：
丙：
其中符合条件的是（ B ）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
新知探究 根据根的判别式求字母系数的取值范围
已知一元二次方程
的取值范围是
.
解：a=k-1，b=2，c=1
A．－2 B．－1 C．0
D．2
本课小结
1.知道根的判别式的是b2-4ac并会求它的准确值 2.根据根的判别式判断方程根的情况 3.根据根的判别式求字母的取值范围.
当堂检测
1．下列一元二次方程有两个相等的实数根
的是（ ）
A．x2+2x=0 B．（x﹣1）2=0
有实数解，则k
跟踪练习
1.关于x的方程
有两个相等
的实数根，则m的值为（ D ）
A．2 B．-2 C．0 D．±2
跟踪练习
2.关于x的方程x2＋2x－a=0没有实数根，则a的
值可能是( A )
的根的情况是（C ）
D．无法判定
跟踪练习
3.已知关于x的一元二次方程2x2−(m＋n)x＋mn＝0， 其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方
程的根的情况是（ B ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定
能力提升
已知关于x的一元二次方程
(1)求证：此方程一定有两个不相等的实数根； (1)证:A=a-1,B=2a+1,C=2
跟踪练习
1.探讨关于x的一元二次方程
总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：
甲：a，b同号； 乙：
丙：
其中符合条件的是（ B ）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
新知探究 根据根的判别式求字母系数的取值范围
已知一元二次方程
的取值范围是
.
解：a=k-1，b=2，c=1
A．－2 B．－1 C．0
D．2
本课小结
1.知道根的判别式的是b2-4ac并会求它的准确值 2.根据根的判别式判断方程根的情况 3.根据根的判别式求字母的取值范围.
当堂检测
1．下列一元二次方程有两个相等的实数根
的是（ ）
A．x2+2x=0 B．（x﹣1）2=0
最新人教版初中九年级上册数学【21.2.2公式法(2)】教学课件
b2 4ac 42 4 1 (2) 24 0 .
方程有两个不等的实数根
24 2 6
x b b2 4ac 4 24 2 6 ,
2a
21
即 x1 2 6 , x2 2 6 .
例1 用公式法解下列方程： (3) x 2 17 8x . 解：方程化为 x2 8x 17 0 .
解: a 2, b 2 2, c 1 .
b2 4ac 2
2
2 4 21 0 .
方程有两个相等的实数根
x1
x2
b 2a2 2 222. 2例1 用公式法解下列方程：
(2) x(x 4) 2 8x ;
解：方程化为 x2 4x 2 0 .
a 1, b 4, c 2 .
x b b2 4ac ,求出方程的根 . 2a
当b2 4ac 0时,方程无实数根 . ⑤结果化成最简形式 .
小结2: 关于x的一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0) 实数根的情况 ① 当b2 4ac 0 时, 方程有两个不等实数根 ;
② 当b2 4ac 0 时, 方程有两个相等实数根 ;
a 1 , b 8 , c 17 . b2 4ac (8)2 4 117 4 0 .
方程无实数根 .
小结1：用公式法解一元二次方程的一般步骤 ①化为“一般形式”. ②确定a、b、c ③计算 b2 4ac 的值 . ④当b2 4ac 0时 ,将a、b、c及 b2 4ac代入公式
4 2(m 2)
2 m2
.
运用公式
例1 用公式法解下列方程： (1) 2x 2 2 2x 1 0 ; (2) x(x 4) 2 8x ;
(3) x2 17 8x .
例2 用公式法解关于x的方程： (1) x 2 mx m2 0 ; (2) mx 2 (m 2)x2 (m 2) .
人教版九年级数学上册公式法课件
x （-2 3）
0 2
3
3.
21
2
即 ： x1 x2 3.
b b2 4ac x
2a
例3 解方程： x2 x 1 0 （精确到0.001）. 解： a 1,b 1, c 1,
b2 4ac 12 41 (1) 5 0
x 1 5 2
用计算器求得： 5 2.2361
1.化为一般式，确定a,b,c的值.
2.计算 的值，确定 的符号.
3.判别根的情况，得出结论.
例5:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( B )
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5
导入新课
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解， 大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解 的情况，你想知道她是如何判断的吗？
讲授新课
合作探究
求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以写成一般情势
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般情势的一元二次方程
例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，
则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0， 即 (2)2 4k 0 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
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时要注意二次项系数不为0这一隐含条件.
能力提升
1.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，
其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两 个相等的实数根，求△ABC 的周长. 解：∵关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的 实数根， ∴ Δ=（b＋2）2－4（6－b）=b2+8b－20=0. 解得b=－10或b=2. ∵b>0， ∴b=2 当c=a=5时，5，5，2能构成三角形，则 △ABC 的周长为12 当c=b=2时，2 , 2 , 5不能构成三角形 ∴△ABC 的周长为12
由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 求根公式 可知： b b2 4ac
x 2a .
（1）当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根， 即： （2）当∆=0时，方程有两个相等的实数根， 即 x1 x 2 b ; 2a （3）当∆＜0时，方程无实数根。
根的判别式的运用
判别式的情况
这个隐含条件！
【解析】由题意知方程(k－1)x2+4x+1=0有两个不
相等的实数根，所以有
ห้องสมุดไป่ตู้
k 1 0, 0,
故选B.
k 1 0, 即 2 4 4k 1 0
∴ k＜5且k≠1
练习
1 1. 若关于x的一元二次方程 ax bx 0 4
2
有两个 相等的实数根，写一组满足条件的实数a、b 的值：a＝_____，b=_____. 2. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2+(2k－1)x+k+1=0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______. 3. (达州中考）若关于x的方程
典例精析 例3（北京中考）已知关于x的一元二次方程
mx2－(m+2)x+2=0
（1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值. （1）证明：∆＝(m+2)2－4×m×2 ＝m2+4m+4－8m＝m2－4m+4 ＝(m－2)2≥0 ∴该方程有两个实数根.
典例精析 例3（北京中考）已知关于x的一元二次方程
1 (m 2) x 3 m x 0 4
2
有两个实数根，则m的取值范围为______.
典例精析 例2（泰州中考）已知关于x的一元二次方程 x2+2mx+m2－1=0 （1）不解方程，判断方程根的情况； （2）若方程有一根为3，求m的值.
解： （1）∵a ＝1，b=2m，c＝m2－1
又∵m是正整数，∴m=1或2
练习 （2017北京中考）已知关于x的一元二次方程
x2－(k+3)x+2k+2=0
（1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于1，求k的取值范围.
课堂总结
1.抓住∆与0的大小关系推出一元二次方程根
的三种不同情况是解题的关键；
2.利用根的判别式确定字母系数的值或范围
4.
5.（2018南平期末）已知关于x的一元二次方程
kx2+(k+3)x +3=0（k≠0）
（1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值.
∴∆＝b2－4ac=(2m)2－4×1×(m2－1)=4>0
∴该方程有两个不相等的实数根.
（2）∵方程有一根为3 ∴32+2m ×3+m2－1=0 解得m1=－4，m2=－2
练习 （2017九江期末）已知关于x的一元二次方程 1 2 mx mx m 1 0 有两个相等的实数根. 2 （1）求m的值； （2）解原方程.
mx2－(m+2)x+2=0
（1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值. （2）解： m 2 ( m 2 ) ∵ 2m
m2m2 ∴ x1 1 2m
2 m
m2m2 2 x2 2m m
∵方程的两个实数根都是整数， ∴ 是整数， ∴ m 1或 2
第二十一章 一元二次方程
21.2.2 公式法（2）
高安市瑞阳实验学校
学习目标
1.会用判别式判断或证明一元二次方程的根的情况. （重点） 2.会根据方程根的情况，确定一元二次方程系数中 字母的取值范围.(难点） 3.会根据一元二次方程的特点选用合适的解法. （重点）
复习
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情 况取决于求根公式 ∆= b2-4ac的符号.
>0 =0 <0 ≥0
根的情况
两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根
典例精析 例1（桂林中考） 若关于x的一元二次方程 (k－1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值 范围是（ B ） 注意一元二次方程二次项系数不为 0 A. k＜5 B.k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5
2.（2018•包头中考）已知关于x的一元二次方程 x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方 程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和 为（ B ） A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
3．（2018•泰安中考）一元二次方程（x+1） D （x﹣3）=2x﹣5根的情况是（ ） A．无实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
能力提升
1.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，
其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6－b=0有两 个相等的实数根，求△ABC 的周长. 解：∵关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的 实数根， ∴ Δ=（b＋2）2－4（6－b）=b2+8b－20=0. 解得b=－10或b=2. ∵b>0， ∴b=2 当c=a=5时，5，5，2能构成三角形，则 △ABC 的周长为12 当c=b=2时，2 , 2 , 5不能构成三角形 ∴△ABC 的周长为12
由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 求根公式 可知： b b2 4ac
x 2a .
（1）当∆＞0时，方程有两个不相等的实数根， 即： （2）当∆=0时，方程有两个相等的实数根， 即 x1 x 2 b ; 2a （3）当∆＜0时，方程无实数根。
根的判别式的运用
判别式的情况
这个隐含条件！
【解析】由题意知方程(k－1)x2+4x+1=0有两个不
相等的实数根，所以有
ห้องสมุดไป่ตู้
k 1 0, 0,
故选B.
k 1 0, 即 2 4 4k 1 0
∴ k＜5且k≠1
练习
1 1. 若关于x的一元二次方程 ax bx 0 4
2
有两个 相等的实数根，写一组满足条件的实数a、b 的值：a＝_____，b=_____. 2. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2+(2k－1)x+k+1=0 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______. 3. (达州中考）若关于x的方程
典例精析 例3（北京中考）已知关于x的一元二次方程
mx2－(m+2)x+2=0
（1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值. （1）证明：∆＝(m+2)2－4×m×2 ＝m2+4m+4－8m＝m2－4m+4 ＝(m－2)2≥0 ∴该方程有两个实数根.
典例精析 例3（北京中考）已知关于x的一元二次方程
1 (m 2) x 3 m x 0 4
2
有两个实数根，则m的取值范围为______.
典例精析 例2（泰州中考）已知关于x的一元二次方程 x2+2mx+m2－1=0 （1）不解方程，判断方程根的情况； （2）若方程有一根为3，求m的值.
解： （1）∵a ＝1，b=2m，c＝m2－1
又∵m是正整数，∴m=1或2
练习 （2017北京中考）已知关于x的一元二次方程
x2－(k+3)x+2k+2=0
（1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于1，求k的取值范围.
课堂总结
1.抓住∆与0的大小关系推出一元二次方程根
的三种不同情况是解题的关键；
2.利用根的判别式确定字母系数的值或范围
4.
5.（2018南平期末）已知关于x的一元二次方程
kx2+(k+3)x +3=0（k≠0）
（1）求证：方程一定有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值.
∴∆＝b2－4ac=(2m)2－4×1×(m2－1)=4>0
∴该方程有两个不相等的实数根.
（2）∵方程有一根为3 ∴32+2m ×3+m2－1=0 解得m1=－4，m2=－2
练习 （2017九江期末）已知关于x的一元二次方程 1 2 mx mx m 1 0 有两个相等的实数根. 2 （1）求m的值； （2）解原方程.
mx2－(m+2)x+2=0
（1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值. （2）解： m 2 ( m 2 ) ∵ 2m
m2m2 ∴ x1 1 2m
2 m
m2m2 2 x2 2m m
∵方程的两个实数根都是整数， ∴ 是整数， ∴ m 1或 2
第二十一章 一元二次方程
21.2.2 公式法（2）
高安市瑞阳实验学校
学习目标
1.会用判别式判断或证明一元二次方程的根的情况. （重点） 2.会根据方程根的情况，确定一元二次方程系数中 字母的取值范围.(难点） 3.会根据一元二次方程的特点选用合适的解法. （重点）
复习
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情 况取决于求根公式 ∆= b2-4ac的符号.
>0 =0 <0 ≥0
根的情况
两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根
典例精析 例1（桂林中考） 若关于x的一元二次方程 (k－1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值 范围是（ B ） 注意一元二次方程二次项系数不为 0 A. k＜5 B.k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5
2.（2018•包头中考）已知关于x的一元二次方程 x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方 程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和 为（ B ） A． 6 B． 5 C． 4 D． 3
3．（2018•泰安中考）一元二次方程（x+1） D （x﹣3）=2x﹣5根的情况是（ ） A．无实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3