2014最新经典相似三角形练习题
相似三角形性质的练习题
相似三角形性质的练习题相似三角形的性质是指两个三角形的对应角度相等，对应边长成比例。
本题考查的是对相似三角形的判断，需要根据勾股定理求出各个三角形的边长，然后比较是否成比例，最终得出相似的三角形是①和③。
2．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB解答】解：根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，则对应角度相等，对应边长成比例。
因此，我们只需要判断哪个条件不满足这个性质即可。
A选项∠B=∠C，这个条件是成立的，因为它是由题目中给出的△ABC是等腰三角形推出的。
B选项∠ADC=∠AEB，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的CD与BE相交于点O推出的。
C选项BE=CD，AB=AC，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O推出的。
D选项AD：AC=AE：AB，这个条件不成立，因为题目中没有给出这个条件，也无法由其他条件推出。
因此，选D。
3．下列说法中，错误的是（）A．两个全等三角形一定是相似形 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个等腰直角三角形一定相似解答】解：A选项两个全等三角形一定是相似形是正确的，因为全等三角形的对应角度和对应边长都相等，符合相似三角形的定义。
B选项两个等腰三角形一定相似也是正确的，因为等腰三角形的底角相等，而顶角也相等，符合相似三角形的定义。
C选项两个等边三角形一定相似也是正确的，因为等边三角形的三个角都相等，而三个边长也相等，符合相似三角形的定义。
D选项两个等腰直角三角形一定相似是错误的，因为等腰直角三角形的底角相等，但是顶角不相等，不符合相似三角形的定义。
因此，选D。
4．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A． B． C．AC2=AD•AB D．CD2=AD•BD解答】解：根据相似三角形的定义，△ACD和△ABC相似需要满足两个条件：对应角度相等，对应边长成比例。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典练习题相似三角形(附答案) .解答题(共30小题)1.如图，在△A中Q DE// BC, EF // AB，求证：△ ADE EFC .2 .如图，梯形ABCD中，AB // CD, 点F在BC上，连 DF与AB的延长线交于点 G.(1 )求证：△CDFBGF;(2)当点F是BC的中点时，过 F作EF // CD交AD于点E,若AB=6cm , EF=4cm，求CD的长.3.如图，点 D , E在 BC 上，且 FD // AB, FE // AC.求证：△ ABC s\ FDE .4.如图，已知 E是矩形 ABCD的边CD上一点，BF丄AE于F,试说明：△ ABF s\ EAD .5.已知：如图①所示，在△和念BCD中，AB=AC , AD=AE，/ BAC= / DAE ,且点3, A , D在一条直线上，连接 BE, CD, M , N分别为BE, CD的中点.(1 )求证：①BE=CD :②厶 A是等腰三角形；(2 )在图①的基础上，将△绕点DE按顺时针方向旋转180。
，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直接写出(1 )中的两个结论是否仍然成立；(3)在(2 )的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证：△ PBDAMN.图①6.如图，E是？ABCD的边BA延长线上一点，连接 EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明.7.如图，在4 X3的正方形方格中，△和A B CDE的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空：/ ABC=(2)判断△ ABC^ DE是否相似，并证明你的结论.8.如图，已知矩形 ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻，动点M从A点出发沿 AB方向以1cm/s(1)经过多少时间，△的面积等于矩形ABCD面积的十的速度向B点匀速运动；同时，动点 N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：(2)是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△相似D若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.9 .如图，在梯形 ABCD中，若AB // DC, AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1 )列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形，并给出证明.•4E10 .如图△ABC, D 为 AC 上一点，CD=2DA，/ BAC=45。
经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)
实用标准文案相似三角形一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q 作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB 上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC 交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．解答：（1）证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵M、N分别是BE，CD的中点，∴BM=CN．又∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．（2）解：（1）中的两个结论仍然成立．（3）证明：在图②中正确画出线段PD，由（1）同理可证△ABM≌△ACN，∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE，∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，∴△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= 135°°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA 方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，则有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．（8分）9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④（2分）其中有两组（①③，②④）是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=（4分）证明：（2）选择①、③证明．在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD（8分）选择②、④证明．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴在△DAB与△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB（8分）．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．解答：解：（1）AD=DE，AE=CE．∵CE⊥BD，∠BDC=60°，∴在Rt△CED中，∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．（2）图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，∴△ADE∽△AEC；（3）作AF⊥BD的延长线于F，设AD=DE=x，在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：本题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定及三角形面积的求法等，范围较广．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．解答：解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ 是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．解答：证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q 作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴S ABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t ，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C ∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8（不合题意舍去）∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC 相似？解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．15．如图，在△ABC 中，AB=10cm ，BC=20cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问经过几秒钟，△PBQ 与△ABC 相似． 解答： 设经过秒后t 秒后，△PBQ 与△ABC 相似，则有AP=2t ，BQ=4t ，BP=10﹣2t ， 当△PBQ ∽△ABC 时，有BP ：AB=BQ ：BC ， 即（10﹣2t ）：10=4t ：20，解得t=2.5（s ）（6分）当△QBP ∽△ABC 时，有BQ ：AB=BP ：BC ， 即4t ：10=（10﹣2t ）：20，解得t=1．所以，经过2.5s 或1s 时，△PBQ 与△ABC 相似（10分）．解法二：设ts 后，△PBQ 与△ABC 相似，则有，AP=2t ，BQ=4t ，BP=10﹣2t分两种情况：（1）当BP 与AB 对应时，有=，即=，解得t=2.5s （2）当BP 与BC 对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s 或2.5s 时，以P 、B 、Q 三点为顶点的三角形与△ABC 相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似． 解答： 解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：1） 当Rt △ABC ∽Rt △ACD 时， 2） 有=，∴AB==3；3） 当Rt △ACB ∽Rt △CDA 时， 4） 有=，∴AB==3．故当AB 的长为3或3时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，M 是AD 的中点，能否在边AB 上找一点N （不含A 、B ），使得△CDM 与△MAN 相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．解答： 证明：分两种情况讨论：①若△CDM ∽△MAN ，则=．∵边长为a ，M 是AD 的中点， ∴AN=a ．②若△CDM ∽△NAM ，则．∵边长为a，M 是AD的中点，∴AN=a，即N点与B重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似．当AN=a时，N点的位置满足条件．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．（3分）（1）当时，，∴x=；（4分）（2）当时，，∴x=．（5分）所以，经过秒或秒后，两三角形相似．（6分）点评：本题综合考查了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法．19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．解答：解：（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC 交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．解答：证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，（4分）而∠MBE=∠ECN=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）与（1）同理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）则△ECN与△MEN中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．（12分）21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似．解答：解：以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，①当△ABC∽△PAQ 时，，所以，解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时，，所以，解得：t=；③当△AQP∽△BAC时，=，即=，所以t=；④当△AQP∽△BCA时，=，即=，所以t=30（舍去）．故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．解答：解：（1）皮尺，标杆；（2）测量示意图如图所示；（3）如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．（7分）24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）解答：解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC ∽△DEF．∴，即，（2分）∴DE=1200（cm）．所以，学校旗杆的高度是12m．（3分）（2）解法一：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．（5分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴（7分），又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8，∴，解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）解法二：与①类似得：，即，∴GN=208．（4分）设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（5分）则∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，（6分）∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）在Rt△OMN中，根据勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3（不合题意，舍去），∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）25．（2007•白银）阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．解答：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m．点评：此题基本上难度不大，利用相似比即可求出窗口底边离地面的高．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答：解：（1）由已知：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．（2）∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．（3）根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长（如图）．由（1）可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性质得：，当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1；（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3；（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．解答：解：∵△ABC ∽△ADE，∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=（AB+BD）：AB，∴AE：9=（15+5）：15．∴AE=12．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．解答：解：（1）Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC==5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴==，==，∴BD=，CD=；（2）在Rt△BDC中，S△BDC=BE•CD=BD•BC，∴BE===3．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．解：（1）设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，∴6k+20k﹣6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，则，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm。
相似三角形经典题型
相似三角形经典题型一、相似三角形的判定定理相关题型1. 题目已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = 50°，AB = 3cm，AC = 4cm，∠A'= 50°，A'B'= 6cm，A'C' = 8cm。
判断这两个三角形是否相似。
解析根据相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(3)/(6)=(1)/(2)，(AC)/(A'C')=(4)/(8)=(1)/(2)，且∠A = ∠A' = 50°。
所以△ABC∽△A'B'C'。
2. 题目如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠ACD，AB = 6，BC = 4，AC = 5，CD=(7)/(2)，求AD的长。
解析因为∠B = ∠ACD，且(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AC)/(AD)未知。
又因为(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，不满足三边对应成比例。
但是由∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，可以尝试证明△ABC和△ACD相似。
因为∠B = ∠ACD，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，这里我们重新计算(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)是错误的，应该是(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)，(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(6)/(5)，(BC)/(CD)=(4)/(frac{7){2}}=(8)/(7)(AB)/(AC)=(BC)/(CD)所以△ABC∽△DCA。
相似三角形30道经典题
相似三角形30道经典题英文回答：1. Theorem: If two triangles are similar, then their corresponding sides are proportional.2. Corollary: If two triangles have two pairs of corresponding sides proportional, then they are similar.3. Theorem: If two triangles have three pairs of corresponding angles congruent, then they are similar.4. Corollary: If two triangles have two pairs of corresponding angles congruent, then the third pair is also congruent, and the triangles are similar.5. Theorem: The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of any two corresponding sides.6. Corollary: The ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of any two corresponding altitudes.7. Theorem: If a line parallel to one side of a triangle divides another side into two segments, then the ratio of the lengths of the segments is equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.8. Corollary: If a line parallel to the base of a triangle divides the other two sides into segments, then the ratios of the lengths of the segments are equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.9. Theorem: If a line parallel to one side of a triangle divides the area of the triangle into two parts, then the ratio of the areas of the parts is equal to the ratio of the corresponding sides of the triangle.10. Corollary: If a line parallel to the base of a triangle divides the area of the triangle into two parts, then the ratios of the areas of the parts are equal to theratio of the corresponding sides of the triangle.11. Theorem: The sum of the interior angles of a triangle is 180 degrees.12. Corollary: The sum of the exterior angles of a triangle is 360 degrees.13. Theorem: The Pythagorean Theorem: For a right triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides.14. Corollary: The converse of the Pythagorean Theorem: If the square of one side of a triangle is equal to the sum of the squares of the other two sides, then the triangle is a right triangle.15. Theorem: The Law of Cosines: For any triangle, the square of one side is equal to the sum of the squares of the other two sides minus twice the product of the other two sides and the cosine of the included angle.16. Corollary: The Law of Sines: For any triangle, the ratio of the sine of one angle to the length of theopposite side is equal to the ratio of the sine of anyother angle to the length of its opposite side.17. Theorem: The area of a triangle is equal to halfthe product of the base and height.18. Corollary: The area of a triangle is equal to half the product of two sides and the sine of the included angle.19. Theorem: The perimeter of a triangle is equal tothe sum of the lengths of its three sides.20. Corollary: The perimeter of a triangle is equal to the sum of the lengths of two sides plus the length of the third side.21. Theorem: If a triangle is equilateral, then its angles are all equal to 60 degrees.22. Corollary: If a triangle has two sides equal, thenits angles opposite the equal sides are equal.23. Theorem: If a triangle has two angles equal, thenits sides opposite the equal angles are equal.24. Corollary: If a triangle has three equal sides,then its angles are all equal to 60 degrees.25. Theorem: If a triangle has a right angle, then its other two angles are acute.26. Corollary: If a triangle has an obtuse angle, then its other two angles are acute.27. Theorem: If a triangle has two adjacent sides equal, then the angle opposite the equal sides is greater than the other angles.28. Corollary: If a triangle has two adjacent sides unequal, then the angle opposite the greater side isgreater than the angle opposite the smaller side.29. Theorem: If a triangle has two adjacent angles equal, then the sides opposite the equal angles are equal.30. Corollary: If a triangle has two adjacent angles unequal, then the side opposite the greater angle isgreater than the side opposite the smaller angle.中文回答：1. 定理，如果两个三角形相似，那么它们对应边的比值相等。
经典相似三角形练习题(附参考答案) 1 打印
相似三角形（附答案）经典练习题
一．解答题
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．
2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．
3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．
4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，B F⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．( 2(2) CD=BG=2cm)
6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．(7、∠ABC=135°°，BC= ；8（1）1秒或2秒(2) 过秒或秒)
7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；
（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．。
相似三角形经典题75题
相似三角形：填空：1. 如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为，面积为．2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AE=3，BD=4，则AC= ．3. 五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，∠A=120°，∠B′=130°，∠C=105°，∠D′=85°，则∠E=．4. 如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，∠AED=∠C，AB=6，AD=4，AC=5，则AE= ．5. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，0），C（6，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小，位似比为1：2，则线段AC中点P变换后对应点的坐标为．6. 从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可以给人一种协调的美感．某女老师上身长约61.80cm，下身长约93.00cm，她要穿约cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（精确到0.01cm）．7. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点D为AC的黄金分割点（AD＞CD），AC=6，则CD= ．8．如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1S2．（填“＞”“=”或“＜”）9．如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（）10．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=BC．图中相似三角形共有（）对11．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在CB，CD上滑动，当CM= 时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．12．如图，C是AB的黄金分割点，BG=AB，以CA为边的正方形的面积为S1，以BC、BG为边的矩形的面积为S2，则S1S2（填“＞”“＜”“=”）．13．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC 于点N，则MN等于（）14．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列说法正确的有（填序号）．①AC•BC=AB•CD；②AC2=AD•DB；③BC2=BD•BA；④CD2=AD•DB．15．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，EF交AC于点G，则的值是．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC= ．17．如图，在△ABC中，BC=a．若D1，E1分别是AB，AC的中点，则D1E1=；若D2，E2分别是D1B，E1C的中点，则D2E2=…若D n E n分别是D n﹣1B，E n﹣1C的中点，则D n E n的长是多少（n＞1，且n为整数，结果用含a，n的代数式表示）？18．如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后，得到△AB′C′，且C′为BC的中点，则C′D：DB′=（）19．如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点．如果AD=1，那么当AE= 时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．20．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）21．如图，▱ABCD中，E、F分别为AD、BC上的点，且DE=2AE，BF=2FC，连接BE、AF交于点H，连接DF、CE交于点G，则= ．22．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB交AC 于点D，EF∥AC交AB于点F，得到四边形EDAF，它的面积记做S1，取BE边中点E1，作E1D1∥FB交EF于点D1，E1F1∥EF交AB于点F1，得到四边形E1D1FF1，它的面积记做S2．照此规律作下去，则S2013= ．解答：1．已知：如图所示，D是AC上一点，BE∥AC，AE分别交BD，BC于点F，G，∠1=∠2．则证明BF2=FG•EF．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE 相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF．4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．5．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM 交AC于F，ME交BC于G．写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从B出发沿BC 以2cm/s的速度向C移动，点Q从C出发，以1cm/s的速度向A移动，若P、Q分别从B、C同时出发，设运动时间为ts，当为何值时，△CPQ与△CBA相似？7．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，P是AB上一点，PE∥BC交CD于点E．若AD=2，BC=，则点P在何处时，PE把梯形ABCD分成两个相似的小梯形？9．如图，已知线段AB，P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），点O是AB的中点，P2是P1关于点O的对称点．求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项．10．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，设S△ABC=S，S△ABC=S1，S△ECF=S2，请验证．11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．（1）求AE的长度；（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB 两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B．试在y轴上找一点P，使△AOP与△AOB相似，你能找出几个这样的点（点P与点B不重合）？分别求出对应AP的长度．13．如图，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，点P在AC上（与点A，C不重合），点Q在BC上．（1）△CPQ的边PQ上的高为时，求△CPQ的周长；（2）当△CPQ的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．14．阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比（a：b）．设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则==（）2又设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则==（）3（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（A）A．两个球体B．两个锥体C．两个圆柱体D．两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于；②相似体表面积的比等于；③相似体体积比等于．（3）假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）15．△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2cm．长为1cm的线段MN在△ABC 的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．（1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？16．定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．探究：（1）如图甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为S N．①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜S n＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）②当n＞1时，请写出一个反映S n﹣1，S n，S n+1之间关系的等式．（不必证明）17．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．18．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙．（1）甲生的方案：如图①，根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距离为3m的小视力表．如果大视力表中“E”的高是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的高是多少？（2）乙生的方案：使用平面镜来解决房间小的问题．如图②，若使墙面镜子能呈现完整的视力表，由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MM′的上下边沿反射后射人人眼C处．如果视力表的全长为0.8m，请计算出镜长至少为多少米．19．在直角边分别为5cm和12cm的直角三角形中作菱形，使菱形的一个内角恰好是三角形的一个角，其余顶点都在三角形的边上，求所作菱形的边长．20．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．21．如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．（1）若BK=KC，求的值；（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD 三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．22．如图，已知△ABC是面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于（结果保留根号）．23．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由．24．在左图的方格纸中有一个Rt△ABC（A、B、C三点均为格点），∠C=90°（1）请你画出将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后所得到的Rt△A′B′C′，其中A、B的对应点分别是A′、B′（不必写画法）；（2）设（1）中AB的延长线与A′B′相交于D点，方格纸中每一个小正方形的边长为1，试求BD的长（精确到0.1）．25．如图，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，D是BC上一点，DE⊥AB，垂足为E，CD=DE，AC+CD=9．求BC的长．26．如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．27．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=5，AD=3，∠BAE=30°，求BF的长．28．如图，AB与CD相交于E，AE=EB，CE=ED，D为线段FB的中点，CF 与AB交于点G，若CF=15cm，求GF之长．29．如图，AF⊥CE，垂足为点O，AO=CO=2，EO=FO=1．（1）求证：点F为BC的中点；（2）求四边形BEOF的面积．30．E、F为平行四边形ABCD的对角线DB上三等分点，连AE并延长交DC 于P，连PF并延长交AB于Q，如图①（1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表：（长度单位：cm）；（2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？（3）若将平行四边形ABCD改为梯形（AB∥CD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）31．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B的坐标是（0，2），过点B作BC⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F，若EA=3AC．（1）求证：△CBA∽△EDC；（2）请写出点A，点C的坐标（解答过程可不写）；（3）求出线段EF的长．32．Ⅰ．如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．求证：；Ⅱ．如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连结AG，AF，分别交DE于M，N两点．（1）如图②，若AB=AC=1，直接写出MN的长；（2）如图③，探究DM，MN，EN之间的关系，并说明理由．33．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．34．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C 作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．（1）若BD是AC的中线，求的值；（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．35．已知抛物线y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣1，0）、B（m，0）（m＞0），且与y轴交于点C．（1）求a、b的值（用含m的式子表示）；（2）如图所示，⊙M过A、B、C三点，求阴影部分扇形的面积S（用含m的式子表示）；（3）在x轴上方，若抛物线上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC 相似，求m的值．36．如图，点D，E分别在△ABC的边BC，BA上，四边形CDEF是等腰梯形，EF∥CD．EF与AC交于点G，且∠BDE=∠A．（1）试问：AB•FG=CF•CA成立吗？说明理由；（2）若BD=FC，求证：△ABC是等腰三角形．37．如图，在▱ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）试说明：AE⊥BF；（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．38．如图①、②在▱ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD 两侧的延长线（或线段CD）相交于点F、G，AF与BG相交于点E．（1）在图①中，求证：AF⊥BG，DF=CG；（2）在图②中，仍有（1）中的AF⊥BG、DF=CG．若AB=10，AD=6，BG=4，求FG和AF的长．39．已知，如图，AD为Rt△ABC斜边BC上的高，点E为DA延长线上一点，连接BE，过点C作CF⊥BE于点F，交AB、AD于M、N两点．（1）若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2﹣2mx+n2﹣mn+m2=0的两个实数根，求证：AM=AN；（2）若AN=，DN=，求DE的长；（3）若在（1）的条件下，S△AMN：S△ABE=9：64，且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2﹣16ky+10k2+5=0的两个实数根，求BC的长．40．把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE 与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP•CQ=；（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP•CQ的值是否改变？说明你的理由；（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）41．（Ⅰ）如图1，点P在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交AD，CD于点R，T．求证：PQ•PR=PS•PT；（Ⅱ）如图2，图3，当点P在平行四边形ABCD的对角线BD或DB的延长线上时，PQ•PR=PS•PT是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；（Ⅲ）如图4，ABCD为正方形，A，E，F，G四点在同一条直线上，并且AE=6cm，EF=4cm，试以（Ⅰ）所得结论为依据，求线段FG的长度．42．取一副三角板按图①拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示．试问：（1）当α为多少度时，能使得图②中AB∥DC；（2）当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比；（3）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．43．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a．（1）求证：△ADE∽△BEC；（2）当点E为AB边的中点时（如图2），求证：①AD+BC=CD；②DE，CE 分别平分∠ADC，∠BCD；（3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．44．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．45．等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）②探究2：连接EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由；③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S．46．如图：在平行四边形ABCD中，E是AD上的一点．求证：．47．（1）如图1所示，在等边△ABC中，点D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE∥BC；（2）如图2所示，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，请问仍有AE∥BC？证明你的结论．48．如图，△ABC内接于⊙O，直径CD⊥AB，垂足为E，弦BF交CD于点M，交AC于点N，且BF=AC，连接AD、AM．求证：（1）△ACM≌△BCM；（2）AD•BE=DE•BC；（3）BM2=MN•MF．49．操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系，并结合图2加以证明；（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由；（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图4加以证明．50．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB 的中点．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长．51．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；（2）求AE的长．52．如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，（1）若AB=6，求线段BP的长；（2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论．53．已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．（1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；（2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是；（3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是．对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明．解析：填空：1．解：设较大三角形的其他两边长为a，b．∵由相似三角形的对应边比相等∴解得：a=15，b=36，则较大三角形的周长为90，面积为270．故较大三角形的周长为90，面积为270．∴，∵AD=2，AE=3，BD=4，∴，∴CE=6，∴AC=AE+EC=3+6=9．故答案为：9．∴∠B=∠B′=130°，∠D=∠D′=85°，又∵五边形的内角和为540°，∴∠E=540°﹣∠A﹣∠B﹣∠C﹣∠D=100°，故答案为：100°．∵∠A=∠A，∠AED=∠C，∴△AED∽△ACB．∴，∴，∴AE=．故答案为：．5．解：如图，∵A（2，2），C（6，4），∴点P的坐标为（4，3），∵以原点为位似中心将△ABC缩小位似比为1：2，∴线段AC的中点P变换后的对应点的坐标为（﹣2，﹣）或（2，）．故答案为：（﹣2，﹣）或（2，）．xcm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果．根据题意，得=≈0.618，解得x≈7.00故答案为：7.00．∴AD=AC═×6=3﹣3，∴CD=AC﹣AD=6﹣（3﹣3）=9﹣3．故答案为9﹣3．8．解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2=PB•AB，又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB•AB，∴S1=S2．故答案为：=．9．解：∵∠A=∠A∴①∠ACP=∠B，②∠APC=∠ACB时都相似；∵AC2=AP•AB∴AC：AB=AP：AC∴③相似；④此两个对应边的夹角不是∠A，所以不相似．所以能满足△APC与△ACB相似的条件是①②③．10．解：图中相似三角形共有3对．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，∵DE=CE，FC=BC，∴DE：CF=AD：EC=2：1，∴△ADE∽△ECF，∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF，∴AE：EF=AD：DE，即AD：AE=DE：EF，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠CEF+∠AED=90°，∴∠AEF=90°，∴∠D=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．11. 解：设CM的长为x．在Rt△MNC中∵MN=1，∴NC= ，①Rt△AED∽Rt△CMN时，则，即，解得x=或x=（不合题意，舍去），②Rt△AED∽Rt△CNM时，则，即，解得x=或（不合题意，舍去），综上所述，当CM=或时，△AED与以M，N，C为顶点的三角形相似．故答案为：或．12．解：由题意得：===1．即：S1=S2．13．解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM===4，又S△AMC=MN•AC=AM•MC，∴MN==．14．解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC•BC=AB•CD，即∴AC•BC=AB•CD，故①正确；∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∴BC2=BD•BA，故③正确；∴△ACD∽△CBD，∴，∴AC2=AD•AB，CD2=AD•DB，故②错误，④正确．故答案为：①③④．15．解答：解：连接BD，与AC相交于O，∵点E、F分别是AD、AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥DB，且EF=DB，∴△AEF∽△ADB，∴，∴，∴，∴AG=GO，又OA=OC，∴AG：GC=1：3．故答案为：．16．解答：解：根据题意，AD∥BC∴△AOD∽△COB ∵S△AOD：S△COB=1：9∴=则S△AOD：S△DOC=1：3所以S△DOC：S△BOC=3：9=1：3．17．解答：解：在△ABC中、BC=a，若D1、E1分别是AB、AC的中点，根据中位线定理得D1E1==a，∵D2、E2分别是D1B、E1C的中点，∴D2E2=（+a）=a=a，∵D3、E3分别是D2B、E2C的中点，则D3E3=（a+a）=a，…根据以上可得：若Dn、En分别是D n﹣1B、E n﹣1C的中点，则DnEn=a，即D n E n的长是a．18．解答：解：根据旋转的性质可知：AC=AC′，∠AC′B′=∠C=60°，∵旋转角是60°，即∠C′AC=60°，∴△ACC′为等边三角形，∴BC′=CC′=AC，∴∠B=∠C′AB=30°，∴∠BDC′=∠C′AB+∠AC′B′=90°，即B′C′⊥AB，∴BC′=2C′D，∴BC=B′C′=4C′D，∴C′D：DB′=1：3．19．解答：解：根据题意得：AD=1，AB=3，AC==6，∵∠A=∠A，∴若△ADE∽△ABC时，，即：，解得：AE=2，若△ADE∽△ACB时，，即：，解得：AE=，∴当AE=2或时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．故答案为：2或．20．解答：解：∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，∴OE=x﹣3，PF=x﹣4，∴（x﹣3）：4=3：（x﹣4），∴（x﹣3）（x﹣4）=12，即x2﹣4x﹣3x+12=12，∴x=0（不符合题意，舍去），x=7．21解答：解：∵DE=2AE，BF=2FC，∴BF=2AE，ED=2CF，即有△AHE∽△FHB，△CFG∽△EGD，则=，同理=∴S△BFH=S△ABF=×××S▱ABCD，S△CFG=S△CFD=×S▱ABCD，故S四边形EHFG=S△BCE﹣S△BFH﹣S△CFG=S▱ABCD﹣S▱ABCD S▱ABCD=S▱ABCD．故答案为：22．解答：解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，∴△ABC的高=AB•sinA=1×=，∵DE、EF是△ABC的中位线，∴AF=，∴S1=××=；同理可得，S2=×；…∴S n=×（）n﹣1；∴S2013=×（）2012=．故答案为：．解答：1．解答：答：BF是FG，EF的比例中项．证明：∵BE∥AC，∴∠1=∠E，∵∠1=∠2，∴∠2=∠E，∴△BFG∽△EFB，∴=，即BF2=FG•EF，2解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又∵F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）3．解答：证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．∴∠BDE=∠CED，∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE；（2）由△DEF∽△BDE，得．∴DE2=DB•EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴，∴DE2=DG•DF，∴DG•DF=DB•EF．4．解答：（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．5．解答：解：图中的相似三角形有：△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM （3分）以下证明△AMF∽△BGM．∵∠AFM=∠DME+∠E（外角定理），∠DME=∠A=∠B（已知），∴∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B，∴△AMF∽△BGM．（7分）6．解答：解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，=，即=，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，=，即=，解得t=．综上所述，当t=4.8秒或秒时，△CPQ与△CBA相似．7．解答：解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴=，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，即树高5.5m．8．解答：解：∵PE把梯形ABCD分成两个相似的小梯形，∴梯形ADEP∽梯形PECB，∴，∵AD=2，BC=，∴PE=3，∴相似比为：，∴AP=AB．9．解答：证明：设AB=2，∵P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），∴AP1=×2=﹣1，∴P1B=2﹣（﹣1）=3﹣，∵点O是AB的中点，∴OB=1，∴OP1=1﹣（3﹣）=﹣2，∵P2是P1关于点O的对称点，∴P1P2=2（﹣2）=2﹣4，∴P2B=2﹣4+3﹣=﹣1，∵P1B2=（3﹣）2=14﹣6，P2B•P1P2=（﹣1）（2﹣4）=14﹣6，∴P1B2=P2B•P1P2，∴P1B是P2B和P1P2的比例中项．10．解答：证明：∵DE∥BC，EF∥AB∴四边形DBFE是平行四边形，∴BD=EF，∵相似三角形的面积比等于对应边的平方比，∴，即=1∴．11．解答：解：（1）在Rt△ABC中，由AB=1，BC=，得AC==，∵以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E∴BC=CD，AE=AD，∴AE=AC﹣CD=；（2）∠EAG=36°，理由如下：∵FA=FE=AB=1，AE=，∴=，∴△FAE是黄金三角形，∴∠F=36°，∠AEF=72°，∵AE=AG，∴∠EAG=∠F=36°．12．解答：解：∵当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣2，∴OA=2，OB=1，∵∠AOB=∠AOP=90°，∴当OA：OB=OP：OA时，△AOP与△AOB相似，∴2：1=OP：2，解得OP=4，故有2个这样的P点为：（0，﹣4）或（0，4），AP==2．若△AOP≌△AOB，则AP=．解答：解：（1）∵AB=5，BC=3，AC=4，∴BC2+AC2=AB2，∴∠C=90°，设AB边上的高为h，则×3×4=×5h，∴h=，∵PQ∥AB，∴△CQP∽△CBA，∴====，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴CQ=，CP=1，PQ=，∴△CPQ的周长CQ+CP+PQ=+1+=3；（2）∵△CPQ的周长与四边形PABQ的周长相等，∴CP+CQ+PQ=BQ+PQ+PA+AB=（AB+BC+AC）=6，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴CP+CQ=3﹣CQ+4﹣CP+5，2CQ+2CP=12，CQ+CP=6，∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．∴=，即=，解得：CP=．解答：解：（1）A；（2分）（2）①相似比②相似比的平方③相似比的立方；（每空（2分），共6分）（3）由题意知他的体积比为；又因为体重之比等于体积比，若设初三时的体重为xkg，则有=解得x==60.75．答：初三时的体重为60.75kg．（2分）15．解答：解：（1）当点P在AC上时，∵AM=t，∴PM=AM•tan60°=t．∴y=t•t=t2（0≤t≤1）．当点P在BC上时，PM=BM•tan30°=（4﹣t）．y=t•（4﹣t）=﹣t2+t（1≤t≤3）．（2）∵AC=2，∴AB=4．∴BN=AB﹣AM﹣MN=4﹣t﹣1=3﹣t．∴QN=BN•tan30°=（3﹣t）．由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PM=QN，即t=（3﹣t），∴t=．∴当t=s时，四边形MNQP为矩形．（3）由（2）知，当t=s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．除此之外，当∠CPQ=∠B=30°时，△QPC∽△ABC，此时=tan30°=．∵=cos60°=，∴AP=2AM=2t．∴CP=2﹣2t．∵=cos30°=，∴BQ=（3﹣t）．又∵BC=2，∴CQ=2．∴，．∴当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．解答：解：（1）如图：割线CD就是所求的线段．理由：∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°，∴△BCD∽△ACB．（2）①△DEF经N阶分割所得的小三角形的个数为，∴S n=．当n=5时，S5=≈9.77，当n=6时，S6=≈2.44，当n=7时，S7=≈0.61，∴当n=6时，2＜S6＜3．②S n2=S n﹣1×S n+1．17．解答：解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1，即S1=S2+S3．（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1∴S1=S2+S3；（4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3．解答：解：（1）∵FD∥BC∴△ADF∽△ABC．∴=．∴=．∴FD=2.1（cm）．答：小视力表中相应“E”的长是2.1cm；（2）解：作CD⊥MM′，垂足为D，并延长交A′B′于E，∵AB∥MM′∥A′B′，∴CE⊥A′B′，∴△CMM′∽△CA′B′，∴=，又∵CD=CE﹣DE=5﹣3=2，CE=5，A′B′=AB=0.8，∴=，∴MM′=0.32（米），∴镜长至少为0.32米．19．解答：解：∵AC=12，BC=5，∴AB=13，如图1所示：设DE=x，∵四边形ADEF是菱形，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴=，即=，解得x=cm；如图2所示，同上可知△CEF∽△CAB，设EF=x，∴=，解得x=cm；如图3所示，同理△AEF∽△ABC，∴=，即=，解得x=cm．故所作菱形的边长为：cm、cm、cm．。
相似三角形经典题(含答案)
相似三角形经典题(含答案)相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEFS，求CDFS∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D点是ABC∆的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在ABC∆的一个顶点组成∆的边上，并且点D、点E和ABC的小三角形与ABC∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明ACDC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使BCAB⊥，然后再选点E，使BCBD米，=EC⊥，确定BC与AE的交点为D，测得120 EC米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？=60DC米，50=例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F 处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC的边AB＝32，AC＝2，BC边上的高AD＝3．（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似 例2． 解 ABCD Θ是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3．又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDFAEF S SS，∴)cm (542=∆CDFS．例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证． 证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠． 又DAC BAD BAC ∠+∠=∠Θ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同．（3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ， 则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b aa '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆．（4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆． 答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GF EC DF =，从而可以求出BC 的长． 解ECDF EC AE //,⊥Θ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =．又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//，∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =． 又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米．例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆． 所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）．说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度． 解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ，又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆；（2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆． 例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等；（5）ABD ∆∽ACB ∆两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36Θ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD Θ平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CDAB BC⋅=2，∴CDAC AD⋅=2．说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bca=2，一般都是证明比例式，b d c a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB +=Θ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ，又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ． 例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F 作ABFG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求． 解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米）所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB Θ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米．例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4．如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB，162=BC ，∴222BC AC AB=+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴ACFCAB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形．如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1，∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵xxx -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。
相似三角形专题练习及答案
相似三角形专题练习及答案一、单选题1．以下条件不可以判定与相似的是（）A．B．，且’C．’，’D．，且’2．如图，中，、分别为边、上的点，且，下列判断错误的是（）A． B． C． D．3．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）A． B． C． D．4．如图，下列能判断的条件是（）A． B． C． D．5．若两个相似三角形对应边上的高线之比为3：1，则对应角的平分线之比为（）A． 9：1 B． 6：1 C． 3：1 D．：16．若两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应边的比为（）A． 4:1 B． 1:4 C． 2:1 D． 16:17．如图，在△ABC中，AB=9，BC=18，AC=12，点D在边AC上，且CD=4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（）A． 12 B． 16 C． 12或16 D．以上都不对8．中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，经过（）秒钟与相似？（）A． 2.5 B． 3.5 C． 1和2.5 D． 1和3.59．如图，是直角三角形的斜边上异于、的一点，过点作直线截三角形，使截得的三角形于三角形相似，则过点满足这样条件的直线最多有（）条．A． 1 B． 2 C． 3 D． 410．如图，是的边上异于、一点，过点作直线截得的三角形与相似，那么这样的直线可以作的条数是（）A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条二、填空题11．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则=________．12．如图，中，为上一点，连接，请添加一个条件，使，你添加的条件是________．13．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，对角线AC，BE相交于点M．若AB=1，则BM的长为_____．14．如图，在直角坐标系中，为直角三角形，，，点A坐标为，AB 与x轴交于点C，则AC：BC的值为______．15．如图，一条宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为________．16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P为平面上任意一点，PB=2，则PD﹣PC的最大值为_____．三、解答题17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若△CEF与△ABC相似，且当AC=BC=2时，求AD的长；（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC=3，BC=4时，求AD的长；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．18．如图，已知中，，，．如果点由出发沿方向点匀速运动，同时点由出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为（单位：）．解答下列问题：当为何值时平行于；当为何值时，与相似？是否存在某时刻，使线段恰好把的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．19．如图三角形中，有一内接矩形，为边上的高，，，矩形面积为，与交于，设为，为．求与的函数关系式．当取何值时，有最大值，最大值是多少？20．已知：如图，在中，点，分别在边，上，求证：；如果，求证：．21．如图，在中，是角平分线，点在上，且．求证：：已知，，求长．22．在的方格纸中，每个小格的顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图的方格纸中，画一个格点三角形，使与一个格点三角形相似（相似比不为）．请你在图的方格纸中，画一个格点三角形，使与一个格点三角形相似，面积最大，并求最大值是多少．与的相似比不是的格点三角形共有几个（相似比相同时只算个）？23．如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．（1）若∠F=30°，请证明E是的中点；（2）若AC=，求BE•EF的值．24．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点E在BC上，以CE为直径的⊙O交AB于点F，AO∥EF （1）求证：AB是⊙O的切线；（2）如图2，连结CF交AO于点G，交AE于点P，若BE=2，BF=4，求的值．参考答案1．D2．B3．C4．C5．C6．C7．A8．C9．C10．D【详解】（1）如图1，作PE∥BC，则△AEP∽△ACB；（2）如图2，作PE∥AC，则△BPE∽△BAC；（3）如图3，作PE，使AE：AB=AP：AC，则△AEP∽△ABC；（4）如图4，作PE，使BP：CB=BE：AB，则△BEP∽△BAC．故选D．11．12．或或13．．【详解】设BM=x，∵ABCDE是正五边形，∴∠BAE=108°，∠AEB=∠ABE=36°，∴∠EAM=∠AME=72°，∴ME=AE，∵∠BAE=∠AMB，∠BAM=∠AEB∠ABM=∠ABE，∴△ABM∽△ABE，∴即，解得（舍去），，故答案为：14．【详解】如图所示：作轴，垂足为D，作轴，垂足为E．，．，，．，，，又，∽，，即，解得：．：：：：．故答案为：．15．【详解】如图，作DE⊥AC于点E，∵道路的宽为4m，∴DE=4米，∴AE=3m，∵∠DAE+∠BAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAE=∠ADE，∴△DAE∽△ACB，∴ DE：AB = AE：BC，即4：AB = 3：12，解得：AB=16（cm），∴道路的面积为AD×AB=5×16=80（m2），故答案为：80.【点睛】16．5详解：如图1中，在BC上取一点G，使BG=1., ,.∵∠PBG=∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴,∴,∴PD﹣PC=PD-PG.∵PD-PG≤DG，∴当点P在DG的延长线上时PD﹣PC的值最大，如图2.∵,∴PD﹣PC的值最大值是5.故答案为：5.17．(1);(2) 1.8或2.5;(3) 当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由见解析.解：（1）如答图1．∵△CEF∽△ABC，∴=，又∵AC=BC=2，∴CE=CF，由翻折性质得CE=DE,CF=DF，∴四边形CEDF是菱形，∴∠ACD=∠BCD，又∵AC=BC，∴AD=BD=AB=×=.（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC=3，BC=4时，有两种情况：①当△CEF∽△CAB时，如答图2．此时∠CEF=∠A，∴EF∥BC．由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=5，∴cosA=．∴在Rt△ACD中，AD=AC•cosA=3×=1.8；②当△CEF∽CBA时，如答图3．此时∠CEF=∠B．由折叠性质可知，∠CQE=90°，∴∠CEF+∠ECD=90°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．同理可得CD=BD，∴AD=AB=×5=2.5．综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5．（3）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下：如答图4，连接CD，与EF交于点Q．∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B. 由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，又∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，又∵∠ECF=∠BCA，∴△CEF∽△CBA.18．解:∵，，，∴，∵、的运动速度为，∴，则，当时，则，即，解得，即当时；∵为直角三角形，∴当和相似时，必有一个角为直角，当时，则，由可知，当时，则，即，解得，∴当为或时和相似；不存在．理由如下：当线段恰好把的周长平分时，则有，即，整理得，显然不成立，∴不存在使把周长平分的；存在．如图，过作于点，则，∴，即，解得，∴，且，当线段恰好把的面积平分时，则有，即，整理可得，解得（舍去）或，∴当时，线段恰好把的面积平分．19．∵矩形，，∴，∴，，∴，∵，，为，为．∴，∵，∴，∴；∵•，∴，∴，∴当时，的值最大．20证明：∵，∴，又∵，∴，∴，∴；∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴．21．证明：∵是角平分线，∴，∵，∴，∴，∴；解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．22．如图所示：如图所示：最大格点三角形三边分别为：，，；根据相似比为：，∴三角形面积比为：，∴最大值为：．根据三角形最大边长以及最小边长即可得出答案：个．23．（1）证明：连接OE，如图1所示．∵CF⊥AB，∴∠FCB=90°．∵∠F=30°，∴∠OBE=60°．∵OB=OE，∴△OBE为等边三角形，∴∠OEB=∠BOE=60°．∵OD∥BF，∴∠DOE=∠BEO=∠BOE=60°，∴=．（2）过点Q作OM⊥BE于M，如图2所示．∵OB=OE，∴BE=2BM．∵OD∥BF，∴∠COD=∠B．在△OBM和△DOC中，∴△OBM≌△DOC（AAS），∴BM=OC=2﹣=，∴BE=2OC=3．∵OD∥BF，∴△COD∽△CBF，∴=，即=，∴BF=，∴EF=BF﹣BE=﹣3=，∴BE•EF=3×=5．24．（1）连接OF，如图1，∵OA∥EF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵OE=OF，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△AOC和△AOF中，，∴△AOC≌△AOF，∴∠ACO=∠AFO=90°，∴OF⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）如图2，在Rt△OFB中，设OE=OF=r，∵OF2+BF2=OB2，∴r2+42=（r+2）2，解得r=3，∴OB=5，设AC=AF=t，则AB=4+t，在Rt△ACB中，t2+82=（t+4）2，解得t=6，即AC=6，∴AO=，∵∠CAO=∠GAO，∠ACO=∠AGC=90°，∴△ACO∽△AGO，∴AC：AO=AG：AC，∴AC2=AO•AG，∴AG=，∴AO=AG，∵OA∥EF，∴△BEF∽△BOA，∴，∴，∴，∵EF∥GA，∴△PEF∽△PAG，∴=2．。
相似三角形练习题(答案)
相似三角形练习题一、填空题：1、若b m m a 2,3==，则_____:=b a 。
2、已知653zy x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。
3、在Rt △ABC 中，斜边长为c ，斜边上的中线长为m ，则______:=c m 。
4、反向延长线段AB 至C ，使AC ＝21AB ，那么BC ：AB ＝ 。
5、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为3：2，若它们的周长的差为40厘米，则 △A ′B ′C ′的周长为 厘米。
6、如图，△AED ∽△ABC ，其中∠1＝∠B ，则()()()AB BC AD_________==。
第6题图 第7题图7、如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若∠A ＝30°，则BD ：BC ＝ 。
若BC ＝6，AB ＝10，则BD ＝ ，CD ＝ 。
8、如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝2cm ，AB ＝3.5cm ，且MN ∥PQ ∥AB ， DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝ ，PQ ＝ 。
第8题图 第9题图9、如图，四边形ADEF 为菱形，且AB ＝14厘米，BC ＝12厘米，AC ＝10厘米，那BE ＝ 厘米。
10、梯形的上底长1.2厘米，下底长1.8厘米，高1厘米，延长两腰后与下底所成的三角形的高为 厘米。
二、选择题：11、下面四组线段中，不能成比例的是（ ）A 、4,2,6,3====d c b aB 、3,6,2,1====d c b a C 、10,5,6,4====d c b a D 、32,15,5,2====d c b aEAD C 1C BD AD CM P N Q AB12、等边三角形的中线与中位线长的比值是（ ）A 、1:3B 、2:3C 、23:21 D 、1：3 13、已知754zy x ==，则下列等式成立的是（ ） A 、91=+-y x y x B 、167=++z z y x C 、38=-+++z y x z y x D 、x z y 3=+14、已知直角三角形三边分别为b a b a a 2,,++，()0,0>>b a ，则=b a :（ ） A 、1：3 B 、1：4 C 、2：1 D 、3：115、△ABC 中，AB ＝12，BC ＝18，CA ＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是（ ）A 、27B 、12C 、18D 、2016、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么c b a h h h ::等于（ ）A 、4：5：6B 、6：5：4C 、15：12：10D 、10：12：15 17、一个三角形三边长之比为4：5：6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm ，则原三角形最大边长为（ ）A 、44厘米B 、40厘米C 、36厘米D 、24厘米 18、下列判断正确的是（ ）A 、不全等的三角形一定不是相似三角形B 、不相似的三角形一定不是全等三角形C 、相似三角形一定不是全等三角形D 、全等三角形不一定是相似三角形 19、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，EF ∥BC ，则图中与△ADC 相似的三角形共有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、多于3个第19题图 第20题图20、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的点，若BE ：EC ＝4：5，AE 交BD 于F ，则BF ：FD 等于（ ）A 、4：5B 、3：5C 、4：9D 、3：8 三、解答题：21、已知()3:2:=-y y x ，求yx yx 2352-+的值。
相似三角形练习题(含解析)
相似三角形练习题一、选择题一、下列各组图形中不是位似图形的是（）A．B．C．D．二、若2：3=7：x，则x=（）A．2B．3C．3.5D．10.53、两个相似三角形的一组对应边别离为5cm和3cm，若是它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是（）A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm2 4、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1）五、如图，已知点A在反比例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为( )A .8B .12C .16D .20六、如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴别离交于点B和点A，与反比例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2B．-2C．3D．-37、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )A .6B .5C .9D .八、如图，已知在△ABC中，点D、E、F别离是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( )A .5∶8B .3∶8C .3∶5D .2∶5九、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=；④=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )A .1B .2C .3D .410、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，动点P从点B动身，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM=x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．B．C．D．1一、在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M，N，直线m运动的时间为t（秒）．设△OMN的面积为S，则能反映S与t之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．1二、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，若是对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积别离记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1=S3B．S2=2S4C．S2=2S1D．S1•S3=S2•S4二、填空题13、如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 __________ cm．14、如图，在△PMN中，点A、B别离在MP和NP的延长线上，==，则= __________ ．三、解答题1五、已知=,求下列算式的值．（1）;（2）1六、如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，极点E、H别离在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积。
经典相似三角形练习题(附参考答案)1
相似三角形一. 解答题（共30小题）1．如图, 在△ABC中, DE∥BC, EF∥AB, 求证：△ADE∽△EFC．2. 如图, 梯形ABCD中, AB∥CD, 点F在BC上, 连DF与AB的延长线交于点G. （1）求证: △CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时, 过F作EF∥CD交AD于点E, 若AB=6cm, EF=4cm, 求CD的长．3. 如图, 点D, E在BC上, 且FD∥AB, FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE.4. 如图, 已知E是矩形ABCD的边CD上一点, BF⊥AE于F, 试说明: △ABF∽△EAD.5. 已知: 如图①所示, 在△ABC和△ADE中, AB=AC, AD=AE, ∠BAC=∠DAE, 且点B, A, D在一条直线上, 连接BE, CD, M, N分别为BE, CD的中点.（1）求证: ①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上, 将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°, 其他条件不变, 得到图②所示的图形. 请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下, 请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6. 如图, E是▱ABCD的边BA延长线上一点, 连接EC, 交AD于点F. 在不添加辅助线的情况下, 请你写出图中所有的相似三角形, 并任选一对相似三角形给予证明.7. 如图, 在4×3的正方形方格中, △ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空: ∠ABC=_________°, BC=_________；（2）判断△ABC与△DEC是否相似, 并证明你的结论．8. 如图, 已知矩形ABCD的边长AB=3cm, BC=6cm.某一时刻, 动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时, 动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动, 问:（1）经过多少时间, △AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t, 使以A, M, N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在, 求t的值；若不存在, 请说明理由．9. 如图, 在梯形ABCD中, 若AB∥DC, AD=BC, 对角线BD.AC把梯形分成了四个小三角形.（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况, 并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意: 全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形, 并给出证明．10. 如图△ABC中, D为AC上一点, CD=2DA, ∠BAC=45°, ∠BDC=60°, CE⊥BD 于E, 连接AE.（1）写出图中所有相等的线段, 并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有, 请写出一对；若没有, 请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比.11. 如图, 在△ABC中, AB=AC=a, M为底边BC上的任意一点, 过点M分别作AB.AC的平行线交AC于P, 交AB于Q.（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时, 四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12. 已知: P是正方形ABCD的边BC上的点, 且BP=3PC, M是CD的中点, 试说明: △ADM∽△MCP.13. 如图, 已知梯形ABCD中, AD∥BC, AD=2, AB=BC=8, CD=10.（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发, 以1cm/s的速度, 沿B⇒A⇒D⇒C方向, 向点C运动；动点Q从点C出发, 以1cm/s的速度, 沿C⇒D⇒A方向, 向点A运动, 过点Q作QE⊥BC 于点E. 若P、Q两点同时出发, 当其中一点到达目的地时整个运动随之结束, 设运动时间为t秒. 问:①当点P在B⇒A上运动时, 是否存在这样的t, 使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在, 请求出t的值；若不存在, 请说明理由；②在运动过程中, 是否存在这样的t, 使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在, 请求出所有符合条件的t的值；若不存在, 请说明理由；③在运动过程中, 是否存在这样的t, 使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在, 请求出所有符合条件的t的值；若不存在, 请说明理由．14. 已知矩形ABCD, 长BC=12cm, 宽AB=8cm, P、Q分别是AB.BC上运动的两点. 若P自点A出发, 以1cm/s的速度沿AB方向运动, 同时, Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动, 问经过几秒, 以P、B.Q为顶点的三角形与△BDC相似？15. 如图, 在△ABC中, AB=10cm, BC=20cm, 点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动, 点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动, 如果P、Q分别从A.B同时出发, 问经过几秒钟, △PBQ与△ABC相似.16. 如图, ∠ACB=∠ADC=90°, AC= , AD=2. 问当AB的长为多少时, 这两个直角三角形相似.17. 已知, 如图, 在边长为a的正方形ABCD中, M是AD的中点, 能否在边AB上找一点N（不含A.B）, 使得△CDM与△MAN相似？若能, 请给出证明, 若不能, 请说明理由．18. 如图在△ABC中, ∠C=90°, BC=8cm, AC=6cm, 点Q从B出发, 沿BC方向以2cm/s 的速度移动, 点P从C出发, 沿CA方向以1cm/s的速度移动. 若Q、P分别同时从B.C出发, 试探究经过多少秒后, 以点C.P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19. 如图所示, 梯形ABCD中, AD∥BC, ∠A=90°, AB=7, AD=2, BC=3, 试在腰AB 上确定点P的位置, 使得以P, A, D为顶点的三角形与以P, B, C为顶点的三角形相似.20. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形, ∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.（1）如图1, 设DE与AB交于点M, EF与AC交于点N, 求证: △BEM∽△CNE；（2）如图2, 将△DEF绕点E旋转, 使得DE与BA的延长线交于点M, EF与AC交于点N, 于是, 除（1）中的一对相似三角形外, 能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21. 如图, 在矩形ABCD中, AB=15cm, BC=10cm, 点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动. 如果P、Q同时出发, 用t（秒）表示移动的时间, 那么当t为何值时, 以点Q、A.P为顶点的三角形与△ABC相似.22. 如图, 路灯（P点）距地面8米, 身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点, 沿OA所在的直线行走14米到B点时, 身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23. 阳光明媚的一天, 数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达, 顶部不易到达）, 他们带了以下测量工具: 皮尺, 标杆, 一副三角尺, 小平面镜. 请你在他们提供的测量工具中选出所需工具, 设计一种测量方案.（1）所需的测量工具是: _________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x, 请用所测数据（用小写字母表示）求出x.24. 问题背景在某次活动课中, 甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量. 下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组: 如图1, 测得一根直立于平地, 长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组: 如图2, 测得学校旗杆的影长为900cm. 丙组：如图3, 测得校园景灯（灯罩视为球体, 灯杆为圆柱体其粗细忽略不计）的高度为200cm,影长为156cm. 任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3, 设太阳光线NH与⊙O相切于点M. 请根据甲、丙两组得到的信息, 求景灯灯罩的半径. （友情提示: 如图3, 景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25. 阳光通过窗口照射到室内, 在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）, 已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m, 窗口高AB=1.8m, 求窗口底边离地面的高BC.26. 如图, 李华晚上在路灯下散步. 已知李华的身高AB=h, 灯柱的高OP=O′P′=l, 两灯柱之间的距离OO′=m.（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a, 求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走, 则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走, 试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27. 如图①, 分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆, 其面积分别用S1, S2, S3表示, 则不难证明S1=S2+S3.（1）如图②, 分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形, 其面积分别用S1, S2, S3表示, 那么S1, S2, S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③, 分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形, 其面积分别用S1.S2.S3表示, 请你确定S1, S2, S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形, 其面积分别用S1, S2, S3表示, 为使S1, S2, S3之间仍具有与（2）相同的关系, 所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1）, （2）, （3）的结论, 请你总结出一个更具一般意义的结论．28. 已知: 如图, △ABC∽△ADE, AB=15, AC=9, BD=5. 求AE.29. 已知: 如图Rt△ABC∽Rt△BDC, 若AB=3, AC=4.（1）求BD.CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E, 求BE的长．30. （1）已知, 且3x+4z﹣2y=40, 求x, y, z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10, 且这两个三角形的周长差为560cm, 求它们的周长．一. 解答题（共30小题）2. 如图, 梯形ABCD中, AB∥CD, 点F在BC上, 连DF与AB的延长线交于点G.5. 已知: 如图①所示, 在△ABC和△ADE中, AB=AC, AD=AE, ∠BAC=∠DAE, 且点B, A, D在一条直线上, 连接BE, CD, M, N分别为BE, CD的中点.件不变, 得到图②所示的图形. 请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下, 请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：△PBD ∽△AMN ． 解答：（3）证明: 在图②中正确画出线段PD, 由（1）同理可证△ABM ≌△ACN, ∴∠CAN=∠BAM ∴∠BAC=∠MAN. 又∵∠BAC=∠DAE, ∴∠MAN=∠DAE=∠BAC. ∴△AMN, △ADE 和△ABC 都是顶角相等的等腰三角形. ∴△PBD 和△AMN 都为顶角相等的等腰三角形, ∴∠PBD=∠AMN, ∠PDB=∠ANM, ∴△PBD ∽△AMN ． ∴∠PBD=∠AMN ，∠PDB=∠ANM ，∴△PBD ∽△AMN. ∴∠PBD=∠AMN ，∠PDB=∠ANM ，∴△PBD ∽△AMN ． 6. 如图, E 是▱ABCD 的边BA 延长线上一点, 连接EC, 交AD 于点F. 在不添加辅助线的情况下, 请你写出图中根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF ∽△BEC ；△AEF ∽△DCF ；△BEC ∽△DCF. 所有的相似三角形, 并任选一对相似三角形给予证明. 分析：解答： 解: 相似三角形有△AEF ∽△BEC ；△AEF ∽△DCF ；△BEC ∽△DCF. （3分）如: △AEF ∽△BEC. 在▱ABCD 中, AD ∥BC, ∴∠1=∠B, ∠2=∠3．（6分） ∴△AEF ∽△BEC. （7分）7. 如图, 在4×3的正方形方格中, △ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空: ∠ABC= 135° °, BC= ； （2）判断△ABC 与△DEC 是否相似, 并证明你的结论． 解答： 解: （1）∠ABC=135°, BC= ； （2）相似； ∵BC= , EC= = ； ∴ , ； ∴；又∠ABC=∠CED=135°, ∴△ABC ∽△DEC. ∴△ABC ∽△DEC ．8. 如图, 已知矩形ABCD 的边长AB=3cm, BC=6cm. 某一时刻, 动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时, 动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动, 问: （1）经过多少时间, △AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t,使以A,M, N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在,求t的值；若不存在, 请说明理由解: （1）设经过x秒后, △AMN的面积等于矩形ABCD面积的,则有: （6﹣2x）x= ×3×6,即x2﹣3x+2=0, （2分）解方程, 得x1=1, x2=2, （3分）经检验, 可知x1=1, x2=2符合题意,所以经过1秒或2秒后, △AMN的面积等于矩形ABCD面积的. （4分）（2）假设经过t秒时, 以A, M, N为顶点的三角形与△ACD相似,由矩形ABCD, 可得∠CDA=∠MAN=90°,因此有或（5分）即①, 或②（6分）解①, 得t= ；解②, 得t= （7分）经检验, t= 或t= 都符合题意,所以动点M, N同时出发后, 经过秒或秒时, 以A, M, N为顶点的三角形与△ACD相似．（8分）所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似. （8分）所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．（8分）（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况, 并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意: 全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形, 并给出证明．解答：解: （1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:①②, ①③, ①④, ②③, ②④, ③④（2分）其中有两组（①③, ②④）是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=（4分）证明: （2）选择①、③证明.在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA, ∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD（8分）选择②、④证明.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC, ∠DAB=∠CAB, AB=AB,∴△DAB≌△CBA, （6分）∴∠ADO=∠BCO.又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB（8分）.∴△DOA∽△COB（8分）．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能, 而且这些事件的可能性相同, 其中事件A出现m种结果, 那么事件A的概率P（A）= , 即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10. 附加题: 如图△ABC中, D为AC上一点, CD=2DA, ∠BAC=45°, ∠BDC=60°, CE ⊥BD于E, 连接AE. （2）图中有无相似三角形？若有,请写出一对；若没有, 请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比.解答：解: （1）AD=DE, AE=CE.∵CE⊥BD, ∠BDC=60°,∴在Rt△CED中, ∠ECD=30°.∴CD=2ED. ∵CD=2DA,∴AD=DE, ∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE.（2）图中有三角形相似, △ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE, ∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC；（3）作AF⊥BD的延长线于F, 设AD=DE=x, 在Rt△CED中,可得CE= , 故AE= ．∠ECD=30°.在Rt△AEF中, AE= , ∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF= ,∴AF=AE•sin∠AEF= .∴．点评：本题主要考查了直角三角形的性质, 相似三角形的判定及三角形面积的求法等, 范围较广．11. 如图, 在△ABC中, AB=AC=a, M为底边BC上的任意一点, 过点M分别作AB.AC 的平行线交AC于P, 交AB于Q.（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M解: （1）∵AB∥MP, QM∥AC,位于BC 的什么位置时, 四边形AQMP 为菱形并证明你的结论. 解答： ∴四边形APMQ 是平行四边形, ∠B=∠PMC, ∠C=∠QMB.∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠PMC=∠QMB ．∴BQ=QM, PM=PC ． ∴四边形AQMP 的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.（2）∵PM ∥AB, ∴△PCM ∽△ACB, ∵QM ∥AC, ∴△BMQ ∽△BCA ； （3）当点M 中BC 的中点时, 四边形APMQ 是菱形, ∵点M 是BC 的中点, AB ∥MP, QM ∥AC, ∴QM, PM 是三角形ABC 的中位线．∵AB=AC, ∴QM=PM= AB= AC ． 又由（1）知四边形APMQ 是平行四边形, ∴平行四边形APMQ 是菱形．又由（1）知四边形APMQ 是平行四边形，∴平行四边形APMQ 是菱形. 又由（1）知四边形APMQ 是平行四边形，∴平行四边形APMQ 是菱形． 12. 已知: P 是正方形ABCD 的边BC 上的点, 且BP=3PC, M 是CD 的中点, 试说明: △ADM ∽△MCP. 解答：证明: ∵正方形ABCD, M 为CD 中点, ∴CM=MD= AD. ∵BP=3PC,∴PC= BC= AD= CM. ∴．∵∠PCM=∠ADM=90°, ∴△MCP ∽△ADM. ∴△MCP ∽△ADM ． 13. 如图, 已知梯形ABCD 中, AD ∥BC, AD=2, AB=BC=8, CD=10. （1）求梯形ABCD 的面积S ； （2）动点P 从点B 出发, 以1cm/s 的速度, 沿B ⇒A ⇒D ⇒C 方向, 向点C 运动；动点Q 从点C 出发, 以1cm/s 的速度, 沿C ⇒D ⇒A 方向, 向点A 运动, 过点Q 作QE ⊥BC 于点E. 若P 、Q 两点同时出发, 当其中一点到达目的地时整个运动随之结束, 设运动时间为t 秒. 问:①当点P 在B ⇒A 上运动时, 是否存在这样的t, 使得直线PQ 将梯形ABCD 的周长平分？ 若存在, 请求出t 的值；若不存在, 请说明理由； ②在运动过程中, 是否存在这样的t, 使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与△CQE 相似？ 若存在, 请求出所有符合条件的t 的值；若不存在, 请说明理由；③在运动过程中, 是否存在这样的t, 使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在, 请求出所有符合条件的t 的值；若不存在, 请说明理由．解答： 解: （1）过D 作DH ∥AB 交BC 于H 点,∵AD ∥BH, DH ∥AB, ∴四边形ABHD 是平行四边形. ∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10, ∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°. ∠B=∠DHC=90°. ∴梯形ABCD 是直角梯形.∴SABCD= （AD+BC ）AB= ×（2+8）×8=40. （2）①∵BP=CQ=t, ∴AP=8﹣t, DQ=10﹣t, ∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ, ∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t.∴t=3＜8．∴当t=3秒时, PQ 将梯形ABCD 周长平分． ②第一种情况: 0＜t ≤8若△PAD ∽△QEC 则∠ADP=∠C∴tan ∠ADP=tan ∠C==∴ = , ∴t=若△PAD ∽△CEQ 则∠APD=∠C ∴tan ∠APD=tan ∠C= = , ∴ = ∴t=第二种情况: 8＜t ≤10, P 、A.D 三点不能组成三角形；第三种情况: 10＜t ≤12△ADP 为钝角三角形与Rt △CQE 不相似； ∴t= 或t= 时, △PAD 与△CQE 相似.③第一种情况：当0≤t ≤8时. 过Q 点作QE ⊥BC, QH ⊥AB, 垂足为E 、H. ∵AP=8﹣t, AD=2,∴PD= = .∵CE= t, QE= t, ∴QH=BE=8﹣t, BH=QE= t.∴PH=t﹣t= t. ∴PQ= = , DQ=10﹣t.Ⅰ：DQ=DP, 10﹣t= , 解得t=8秒.Ⅱ：DQ=PQ, 10﹣t= ,化简得: 3t2﹣52t+180=0解得：t= , t= ＞8（不合题意舍去）∴t=第二种情况: 8≤t≤10时. DP=DQ=10﹣t.∴当8≤t＜10时, 以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况: 10＜t≤12时. DP=DQ=t﹣10.∴当10＜t≤12时, 以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.综上所述, t= 或8≤t＜10或10＜t≤12时, 以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14. 已知矩形ABCD, 长BC=12cm,宽AB=8cm, P、Q分别是AB.BC上运动的两点. 若P自点A出发, 以1cm/s的速度沿AB方向运动, 同时, Q自点B 出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒, 以P、B.Q为顶点的三角形与△BDC相似？解答：解: 设经x秒后, △PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°,（1）当∠1=∠2时, 有：,即；（2）当∠1=∠3时, 有: ,即，∴经过秒或2秒, △PBQ∽△BCD.15. 如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动, 点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动, 如果P、Q分别从A.B同时出发, 问经过几秒钟,解: 设经过秒后t秒后, △PBQ与△ABC相似, 则有AP=2t, BQ=4t,BP=10﹣2t,当△PBQ∽△ABC时, 有BP: AB=BQ: BC,即（10﹣2t）：10=4t：20,解得t=2.5（s）（6分）当△QBP∽△ABC时, 有BQ: AB=BP: BC,即4t: 10=（10﹣2t）: 20, 解得t=1.所以, 经过2.5s或1s时, △PBQ与△ABC相似（10分）.解法二：设ts后, △PBQ与△ABC相似, 则有, AP=2t, BQ=4t,BP=10﹣2t分两种情况:（1）当BP与AB对应时, 有= , 即= , 解得t=2.5s（2）当BP与BC对应时, 有= , 即= , 解得t=1s所以经过1s或2.5s时, 以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似.所以经过1s或2.5s时，以P、B.Q三点为顶点的三角形与△ABC△PBQ 与△ABC 相似. 解答： 相似． 所以经过1s 或2.5s 时，以P 、B 、Q 三点为顶点的三角形与△ABC 相似． 16. 如图, ∠ACB=∠ADC=90°, AC= , AD=2. 问当AB 的长为多少时, 这两个直角三角形相似. 解答：解: ∵AC= , AD=2, 1） ∴CD= = . 要使这两个直角三角形相似, 有两种情况: 2） 当Rt △ABC ∽Rt △ACD 时, 3） 有 = , ∴AB= =3； 4） 当Rt △ACB ∽Rt △CDA 时, 有 = , ∴AB= =3 ． 故当AB 的长为3或3 时, 这两个直角三角形相似． 故当AB 的长为3或3 时，这两个直角三角形相似. 故当AB 的长为3或3时，这两个直角三角形相似． 17. 已知, 如图, 在边长为a 的正方形ABCD 中, M 是AD 的中点, 能否在边AB 上找一点N（不含A.B ）, 使得△CDM 与△MAN 相似？ 若能,证明: 分两种情况讨论:①若△CDM ∽△MAN, 则 = . ∵边长为a, M 是AD 的中点, ∴AN= a.②若△CDM ∽△NAM, 则 . ∵边长为a, M 是AD 的中点,∴AN=a, 即N 点与B 重合, 不合题意． 所以, 能在边AB 上找一点N （不含A 、B ）, 使得△CDM 与△MAN 相似．当AN= a 时, N 点的位置满足条件． 所以，能在边AB 上找一点N （不含A 、B ），使得△CDM 与△MAN 相似. 当AN= a 时，N 点的位置满足条件. 所以，能在边AB 上找一点N （不含A.B ），使得△CDM 与△MAN 相似．当AN= a时，N 点的位置满足条件． 所以，能在边AB 上找一点N （不含A 、B ），使得△CDM 与△MAN 相似．当AN=a时，N 点的位置满足条件． 请给出证明, 若不能, 请说明理由. 解答： 18. 如图在△ABC 中, ∠C=90°, BC=8cm, AC=6cm, 点Q 从B 出发, 沿BC 方向以2cm/s 的速度移动, 点P 从C 出发, 沿CA 方向以1cm/s 的速度移动. 若Q 、P 分别同时从B.C 出发, 试探究经过多少秒后, 以点C.P 、Q 为顶点的三角形与△CBA 相似？解答： 解: 设经过x 秒后, 两三角形相似, 则CQ=（8﹣2x ）cm, CP=xcm, （1分）∵∠C=∠C=90°,∴当 或 时, 两三角形相似. （3分） （1）当 时, , ∴x= ；（4分） （2）当 时, , ∴x= ．（5分）所以, 经过 秒或 秒后, 两三角形相似．（6分） 所以，经过 秒或 秒后，两三角形相似. （6分）所以，经过秒或秒后，两三角形相似．（6分）点评： 本题综合考查了路程问题, 相似三角形的性质及一元一次方程的解法．19. 如图所示, 梯形ABCD 中, AD ∥BC, ∠A=90°, AB=7, AD=2, BC=3, 试在腰AB 上确解: （1）若点A, P, D 分别与点B, C, P 对应, 即△APD ∽△BCP, ∴ = , ∴ = , ∴AP2﹣7AP+6=0, ∴AP=1或AP=6,检测: 当AP=1时, 由BC=3, AD=2, BP=6, ∴ = , 又∵∠A=∠B=90°, ∴△APD ∽△BCP. 当AP=6时, 由BC=3, AD=2, BP=1, 又∵∠A=∠B=90°, ∴△APD ∽△BCP.（2）若点A, P, D 分别与点B, P, C 对应, 即△APD ∽△BPC. ∴ = , ∴ = , ∴AP= .检验: 当AP= 时, 由BP= , AD=2, BC=3, ∴ = , 又∵∠A=∠B=90°, ∴△APD ∽△BPC ．定点P 的位置, 使得以P, A, D为顶点的三角形与以P, B, C 为顶点的三角形相似. 解答： 因此, 点P 的位置有三处, 即在线段AB 距离点A 的1、 、6处．因此，点P 的位置有三处，即在线段AB 距离点A 的1、 、6处. 因此，点P 的位置有三处，即在线段AB 距离点A 的1. 、6处． 因此，点P 的位置有三处，即在线段AB 距离点A 的1、、6处．20. △ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形, ∠A=∠D=90°, △DEF 的顶点E 位于边BC 的中点上.（1）如图1, 设DE 与AB 交于点M, EF 与AC 交于点N, 求证: △BEM ∽△CNE ； （2）如图2, 将△DEF 绕点E 旋转, 使得DE 与BA 的延长线交于点M, EF 与AC 交于点N, 于是, 除（1）中的一对相似三角形外, 能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．解答： 证明: （1）∵△ABC 是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°, ∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF 是等腰直角三角形, ∴∠DEF=45° ∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC, （4分） 而∠MBE=∠ECN=45°, ∴△BEM ∽△CNE ．（6分）（2）与（1）同理△BEM ∽△CNE,∴ . （8分）又∵BE=EC, ∴ , （10分）则△ECN与△MEN中有, 又∠ECN=∠MEN=45°,∴△ECN∽△MEN. （12分）∴△ECN∽△MEN．（12分）21. 如图, 在矩形ABCD中, AB=15cm, BC=10cm, 点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动. 如果P、Q同时出发, 用t（秒）表示移动的时间, 那么当t为何值时, 以点Q、A.P为顶点的三角形与△ABC相似.解答：解: 以点Q、A.P为顶点的三角形与△ABC相似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ时,, 所以, 解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时, , 所以, 解得: t= ；③当△AQP∽△BAC时, = , 即= , 所以t= ；④当△AQP∽△BCA时, = , 即= , 所以t=30（舍去）．故当t=6或t= 时, 以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．故当t=6或t= 时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.故当t=6或t= 时，以点Q、A.P为顶点的三角形与△ABC相似．故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22. 如图, 路灯（P 点）距地面8米, 身高1.6米的小明从距路灯的底部（O 点）20米的A 点, 沿解: ∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP.∴, 即,解得, MA=5米；同理, 由△NBD∽△NOP, 可求得NB=1.5米,∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米.OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答：23. 阳光明媚的一天, 数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达, 顶部不易到达）, 他们带了以下测量工具: 皮尺, 标杆, 一副三角尺, 小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具, 设计一种测量方案.（1）所需的测量工具是: ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x, 请用所测数据（用小写字母表示）求出x.解答：解: （1）皮尺, 标杆；（2）测量示意图如图所示；（3）如图, 测得标杆DE=a, 树和标杆的影长分别为AC=b, EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴, ∴, ∴．（7分）24. 问题背景在某次活动课中, 甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量. 下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组: 如图1, 测得一根直立于平地, 长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组: 如图2, 测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3, 测得校园景灯（灯罩视为球体, 灯杆为圆柱体, 其粗细忽略不计）的高度为200cm, 影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3, 设太阳光线NH与⊙O相切于点M. 请根据甲、丙两组得到的信息, 求景灯灯罩的半径. （友情提示: 如图3, 景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）解答：解: （1）由题意可知: ∠BAC=∠EDF=90°, ∠BCA=∠EFD.∴△ABC∽△DEF.∴, 即, （2分）∴DE=1200（cm）.所以, 学校旗杆的高度是12m．（3分）（2）解法一:与①类似得: , 即, ∴GN=208. （4分）在Rt△NGH中, 根据勾股定理得: NH2=1562+2082=2602,∴NH=260. （5分）设⊙O的半径为rcm, 连接OM,∵NH切⊙O于M, ∴OM⊥NH. （6分）则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴（7分）,又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8,∴，解得: r=12.∴景灯灯罩的半径是12cm. （8分）解法二：与①类似得: ,即，∴GN=208. （4分）设⊙O的半径为rcm, 连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH. （5分）则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN.∴，即, （6分）∴MN= r,又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8. （7分）在Rt△OMN中, 根据勾股定理得:r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0,解得：r1=12, r2=﹣3（不合题意, 舍去）,∴景灯灯罩的半径是12cm. （8分）∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）25.（2007•白银）阳光通过窗口照射到室内, 在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）, 已解: ∵AE∥BD,∴△ECA∽△DCB,∴．∵EC=8.7m, ED=2.7m,∴CD=6m.∵AB=1.8m,∴AC=BC+1.8m,∴，∴BC=4, 即窗口底边离地面的高为4m．知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m, 窗口高AB=1.8m, 求窗口底边离地面的高BC. 解答：∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m. ∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m ． 点评： 此题基本上难度不大, 利用相似比即可求出窗口底边离地面的高．26. 如图, 李华晚上在路灯下散步. 已知李华的身高AB=h, 灯柱的高OP=O ′P ′=l, 两灯柱之间的距离OO ′=m.（1）若李华距灯柱OP 的水平距离OA=a, 求他影子AC 的长；（2）若李华在两路灯之间行走, 则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC ）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A 朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走, 试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答： 解: （1）由已知: AB ∥OP,∴△ABC ∽△OPC.∵，∵OP=l, AB=h, OA=a, ∴ , ∴解得： ．（2）∵AB ∥OP, ∴△ABC ∽△OPC, ∴ , 即 , 即 .∴ ．同理可得: , ∴ = 是定值.（3）根据题意设李华由A 到A', 身高为A'B', A'C'代表其影长（如图）. 由（1）可知 , 即 , ∴ ,同理可得: , ∴ , 由等比性质得: ,当李华从A 走到A'的时候, 他的影子也从C 移到C', 因此速度与路程成正比 ∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为 .27．如图①, 分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆, 其面积分别用S1, S2, S3表示, 则不难证明S1=S2+S3. （1）如图②, 分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形, 其面积分别用S1, S2, S3表示, 那么S1, S2, S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③, 分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形, 其面积分别用S1.S2.S3表示, 请你确定S1, S2, S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个一般三角形, 其面积分别用S1, S2, S3表示, 为使S1, S2, S3之间仍具有与（2）相同的关系, 所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1）, （2）, （3）的结论, 请你总结出一个更具一般意义的结论．解: 设直角三角形ABC 的三边BC.CA.AB 的长分别为a 、b 、c, 则c2=a2+b2 （1）S 1=S 2+S 3；（2）S1=S2+S3. 证明如下: 显然, S1= , S2= , S3= ∴S 2+S 3==S 1；（3）当所作的三个三角形相似时, S1=S2+S3. 证明如下: ∵所作三个三角形相似 ∴∴=1 ∴S 1=S 2+S 3；（4）分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形, 其面积分别用S1、S2、S3表示, 则S1=S2+S3．（4）分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1=S2+S3.（4）分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1.S2、S3表示，则S1=S2+S3．（4）分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2.S3表示，则S1=S2+S3．（4）分别以直角三角形ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则S 1=S 2+S 3．28. 已知: 如图, △ABC ∽△ADE, AB=15, AC=9, BD=5.解: ∵△ABC ∽△ADE, ∴AE: AC=AD: AB.∵AE: AC=（AB+BD ）: AB, ∴AE ：9=（15+5）：15. ∴AE=12. ∴AE=12． 求AE. 解答：29. 已知: 如图Rt △ABC ∽Rt △BDC, 若AB=3, AC=4. （1）求BD.CD 的长；（2）过B 作BE ⊥DC 于E, 求BE 的长． 解答： 解: （1）Rt △ABC 中, 根据勾股定理得: BC= =5,∵Rt △ABC ∽Rt △BDC, ∴ = = , = = , ∴BD= , CD= ； （2）在Rt △BDC 中,S △BDC= BE •CD= BD •BC, ∴BE= = =3.∴BE===3．30. （1）已知 , 且3x+4z ﹣2y=40, 求x, y, z 的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10, 且这两个三角形的周长差为560cm, 求它们的周长． 解: （1）设 =k, 那么x=2k, y=3k, z=5k,由于3x+4z ﹣2y=40, ∴6k+20k ﹣6k=40, ∴k=2, ∴x=4, y=6, z=10. （2）设一个三角形周长为Ccm, 则另一个三角形周长为（C+560）cm, 则 , ∴C=240, C+560=800, 即它们的周长分别为240cm, 800cm 则，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm ，800cm。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)一、题目描述在初中数学中，相似三角形是一个非常重要的概念。
本文为您提供一些经典的相似三角形练习题，通过解答这些练习题可以提高学生的解题能力和对相似三角形的理解。
本文附有详细的参考答案，供学生进行自我检测和复习。
二、练习题1. 已知△ABC和△DEF相似，AB = 6cm，BC = 8cm，AC = 10cm，DE = 9cm，计算EF的长度。
2. △ABC与△DEF相似，AB = 2cm，BC =3.5cm，AC = 4cm，EF= 7cm，求DE的长度。
3. 在△ABC中，角A的度数为50°，角B的度数为70°，BC = 8cm。
若与△ABC相似的三角形的边长分别为10cm和12cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。
4. 在△ABC中，∠B = 90°，AC = 10cm，BC = 12cm。
若与△ABC相似的三角形的第二边为16cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。
5. 已知△ABC与△DEF相似，AB = 6cm，AC = 8cm，DE = 12cm，若EF = 18cm，求BC的长度。
6. 高度为5cm的小树和高度为12cm的大树的影子长度之比为2:3。
如果小树的影子长度为10cm，求大树的影子长度。
7. 一个航拍无人机垂直飞行，发现自己离地面的垂直距离与航拍无人机的长度（包括机身和旋翼）的比例为3:2。
如果航拍无人机的长度为120cm，求离地面的垂直距离。
8. 在一个旅游小组中，由5名成年人和7名儿童组成，其平均年龄为30岁。
如果另一个旅游小组由2名成年人和3名儿童组成，其平均年龄为24岁。
求这两个旅游小组的总年龄之比。
三、参考答案1. 根据相似三角形的性质可知，EF与AC的比例应与DE与BC的比例相等。
即 EF/AC = DE/BC。
代入已知值，得 EF/10 = 9/8。
相似三角形经典练习题及答案
相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4，则它们的周长之比为（）A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案：A解析：相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比。
因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4，所以相似比为 1∶2，那么它们的周长之比为 1∶2。
2、如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，若 AD∶DB ＝ 1∶2，则下列结论中正确的是（）A AE∶EC ＝ 1∶2B AE∶EC ＝ 1∶3 C DE∶BC ＝ 1∶2 DDE∶BC ＝ 1∶3答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。
因为 AD∶DB ＝1∶2，所以 AD∶AB ＝ 1∶3。
因为相似三角形对应边成比例，所以AE∶AC ＝ AD∶AB ＝ 1∶3，所以 AE∶EC ＝ 1∶2。
3、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3∶4，△ABC 的周长为 6，则△A'B'C'的周长为（）A 8B 7C 9D 10答案：A解析：因为相似三角形周长的比等于相似比，所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。
设△A'B'C'的周长为x，则6∶x ＝3∶4，解得 x ＝ 8。
4、如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且DE∥BC，如果 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，AE ＝ 15cm，则 EC ＝（）A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案：B解析：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以 AD∶AB ＝AE∶AC。
因为 AD ＝ 2cm，DB ＝ 1cm，所以 AB ＝ 3cm。
所以 2∶3＝ 15∶（15 ＋ EC)，解得 EC ＝ 1cm。
5、下列各组图形一定相似的是（）A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案：B解析：等边三角形的三个角都相等，都是 60°，所以两个等边三角形一定相似。
相似三角形经典题（含答案）（Si...
相似三角形经典题(含答案)（Similar triangle classic questions(including answers)）Similar triangle classical exercisesExample 1. Choose a similar triangle from the following trianglesExample 2 is known: as in figure ABCD, the ratio of the perimeter to the sum if...Figure 3 cases, known to, to prove that.Example 4 which of the following statements are true and which ones are wrong?(1) all right triangles are similar. (2) all isosceles triangles are alike(3) all isosceles right triangles are similar. (4) all equilateral triangles are alikeFigure 5 example, D is a point on the AC, D DE E the dotted line, in the side, the small triangle and point D, point E and a vertex with similar composition. Draw as much as possible to meet the conditions of the graphics, and that of line DE painting.Figure 6 cases, a person holding a small scale paintings engraved with cm, standing about 30 meters away from the poles, the arm straight forward, small scale vertical ruler, see about 12 paintings just over the poles, the known arm length of about60 cm high, for the wire rod.Figure 7 cases, in order to measure a high-rise MN Xiaoming, put a mirror in the A from N 20m, NA back to C along the Xiao Ming, just from the mirror to see the roof of M, if m, his eyes from the ground height of 1.6m, please help you calculate Xiaoming the height of the building (accurate to 0.1M).The two triangles in the 8 lattice diagram are similar triangles, and the reasons are givenExample 9 determines whether the case is similar and explains the reasons for the following groups of conditions:(1)(2)(3)Example 10. In the following graph, there is no similar triangle. If it exists, show them in letters, and briefly explain the basis for identificationExample 11 is known: as in Fig., in the case of angular bisector, try using a triangle similar relation descriptionExample 12, the known three side length is 5, 12 and 13, and its similar maximum length is 26, the area of S.13 cases in a mathematics activity class, the teacher let thestudents to the playground to measure the height of the flagpole, and then come back to AC measurement method for their measurement is. Xiaofang: take a 3.5 meter high pole upright in the 27 meters away from the flagpole at C (pictured), then walk along the BC direction D, the top of the flagpole and pole top A visual E is in the same line, C D, and measured the distance between two points is 3 meters, Xiaofang mesh is 1.5 meters high, so that you can know the high flagpole. Do you think this measurement method is feasible? Please explain the reasonFigure 14. cases, in order to estimate the width of the river on the other side of the river, we can select a target as A, on this side of the river and then points B and C, so, then choosing E, BC and AE to determine the intersection point is D, measured in meters, meters, meters, you can find the distance between the two sides of AB roughly?Figure 15. cases, in order to find the island peak height of AB, DC and FE to establish a benchmark in D and F, the benchmark is 3 feet high, separated by 1000 step (step 1 is equal to 5 feet), and AB, CD and EF in the same plane, from the G DC benchmark back the 123 step, can see peaks A and C benchmark top end in a straight line, from the H FE benchmark 127 steps back, can see peaks A and E benchmark top on a straight line. How much is the horizontal distance BD AB and its peak height and benchmark CD? (ancient problems)Figure 16 example, known Delta ABC boundary AB = AD, AC = 2, BC = high on the side.(1) seeking the length of BC;(2) if there is a square edge on AB, the other two vertices are on AC, BC, respectively, and the area of this square is calledSimilar triangle classic Exercises answer1. cases of the solution, five and six, and the similar, similar, three or four, and similar2. solution is a parallelogram, so, l ~,Again, so, and the perimeter of the perylene ratio is 1:3.Again, dry.3 cases analysis, so as to, if further proof, the problem must pass.To prove dreams, *.Again, l,Star.To dreams, *.In dreams, and in R ~Case 4. analysis (1) is incorrect, because in the right triangle, the size of the two angles is uncertain, so the shape of the right triangle is different(2) not correct either,The vertices of an isosceles triangle are not of definite size, so the shape of an isosceles triangle is also different(3) right. There are isosceles right triangle ABC and, among them,Then,The three sides are a, B, and C, and the edges are,Then,So, l ~.(4) is correct, and is an equilateral triangle, the corresponding angles are equal, the corresponding edge is proportional to it.Answer: (1) and (2) incorrect. (3) and (4) correctExample 5. solutions:Painting slightly.The analysis of 6. cases of the narrative can draw the geometry as shown below, the CM cm m, m, m, and BC. ~ ~ because, again, so, so you can find the BC long.So, l ~ solution. Hence.Again, l,So, l ~ *,.And cm cm meters, meters, meters, meters. The pole star is 6 meters high.Example 7. analysis according to the law of Physics: the incident angle of light is equal to the angle of reflection, so that the similarity relation is clearBecause the solution, so so.So, that is. So (m)This shows that this is a practical application, the method seems simple, but in fact it is very clever, saving the use of instrumentation to measure the troubleExample 8.. It is impossible to judge these two graphs if they are not painted in the grid. In fact, the lattice virtually adds to the condition the length and the angleThe solution is in the grid, so..,Again. So. So ~.Explain the problems encountered in the grid point, we must fully find the various conditions, do not make omissionsIn 9. cases (1) because the solution to it;(2) because the two triangles only, the other two are not equal, and not so similar;(3) because, so it is similarIn 10. cases (1) and two equal solution; (2) to two equal;(3) to two equal; (4) to both sides proportionally equal angles;(5) to both sides proportionally equal angles; (6) to both sides proportionally equal angles.Analysis of 11. cases with a 65 degree angle of the isosceles triangle, the angle is 72 degrees, and BD is the bisector of the corner, so, you can launch to, and then by the similar triangle corresponding edge is proportional to the ratio between the line launched.That star.But equally, dry.And so, so, so, so, L.That (1) has two angles equal, then the two triangles are similar, this is the judgment of two triangles. The most commonly used method, and according to the equal angle position, can determine which side is the corresponding edge.(2) to explain the product of a line, or the square formula, usually to prove the scaling formula, or, again, to derive the product formula or the square formula according to the basic nature of the proportionBy the analysis of 12 cases of the three sides can be judged as a right triangle, and because it is also a right triangle, so, then by the maximum edge length is 26, can calculate the similarity ratio, two right angle side to calculate, and obtain the area.The solution of a three side in order,,, L.And to dreams, *,Again, *. *.13. cases analysis method to judge whether it is feasible, should consider the use of this method combined with our existing knowledge can be obtained according to the flagpole high. This measuring method, F to G, CE to H, so that, and GF, HF, EH and AG, this can be obtained, so the AB can be obtained. The flagpoleThe solution is feasible. The reasons are as follows:The flagpoles high. F for G, CE H (pictured). So ~.Because, soSo, that is, by, so the solution (m)So the height of the flagpole is 21.5 metersIt shows that the method should be practical and feasible in concrete measurementExample 14. solutions:,L ~, (m), a: between the two sides of AB is roughly 100 meters away.Example 15. answer: rice, step, (Note:.)16. cases analysis: BC long, need to draw solution, because AB and AC are higher than AD, so there are two kinds of situations, namely D in BC or D in the BC extension line, so long for the BC to two to discuss the situation. For the area of a square key is the length of the side for a square.Solution: (1) as above, by the AD BC group, by the Pythagorean theorem BD = 3, DC = 1, BC = so BDDC = 3 + 1 = 4.As follows, BD = 3, DC = 1, so BC = BD = CD = 3-1 = 2.(2) as shown by the graph, BC = 4, and so is ABC. Hence, the right triangle.The AEGF is a square, set GF = x, FC = 2x,GF "AB dreams, so, that is. So, dry.As follows, when BC = 2,AC = 2, Delta ABC is an isosceles triangle, as an CP AB in P, AP = r,In Rt APC, by the Pythagorean theorem CP = 1,Dreams GH / / AB, R ~ Delta CGH Delta CBA, dreams, RTherefore, the square has an area of orThird (lower) similar triangleFirst pages, 6 pages(similarity triangle's nature and application) practice rollFill in the blanks1. When the similarity ratio between two similar triangles is 3, their perimeter ratio is..;2, if the delta delta A to ABC 'B' C ', and the perimeter of delta ABC is 12cm, then the perimeter of delta A' B 'C' for;3, as shown in Figure 1, in ABC, BE, CD line intersect at point G, then the delta GED:S Delta GBC= = S;4, as shown in Figure 2, the ABC / B= / AED, AB=5, AD=3, CE=6, AE=;5, as shown in Figure 3, ABC, M AB is the midpoint of the N on BC, BC=2AB / BMN= / C, is a ~ Delta, similarity ratio =;6, as shown in Figure 4, the trapezoidal ABCD, AD / / BC S, Delta ADE:S Delta BCE=4:9, Delta ABD:S Delta ABC= S;The perimeter of 7 and two similar triangles are 5cm and 16cm, respectively, and the ratio of the bisector of their corresponding angles is;8, as shown in Figure 5, the BC=12cm in ABC, D, and F are three points AB, E, G is three points AC, DE+FG+BC=;The ratio of the area of the two and the 9 triangles is 2:3, and the ratio of them to the angle is equal to the ratio of the height of the opposite side;10, it is known that there are two triangles similar, one side length is 2, 3 and 4 respectively, and the other side length is x, y and 12 respectively. Then the values of X and y are respectively;Two, multiple-choice questions11, the following polygon must be similar to (), A, two rectangles, B, two diamond, C, two squares, D, two parallelogramIn 12, ABC, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, the shortest edge of another and it is similar to the triangle is 5cm, is the longestside (18cm) is A, B, 21cm C, 24cm D, 19.5cm13, as shown in ABC, BD, CE to the high point of O, the following conclusion is wrong ()A, CO, CE=CD, CA, B, OE, OC=OD, OBC, AD, AC=AE, AB, D, CO, DO=BO, EO14, known in ABC / ACB=900, CD, AB in group D, if BC=5, CD=3, AD (long)A, 2.25 B, 2.5 C, 2.75 D, 315, as shown in figure ABCD, the edge of square BC is on the bottom QR of the isosceles right triangle PQR,The other two vertices, A and D, are on PQ and PR, and PA:PQ equals ()A, 1:B, 1:2, C, 1:3, D, 2:316, as shown in figure D, and E are Delta ABC edge AB and AC point, ==3,And / AED= / B, Delta AED and delta ABC is the area ratio is ()A, 1:2, B, 1:3, C, 1:4, D, 4:9Three, answer questions17, figure, known in the delta ABC, CD=CE / A= / ECB, CD2=AD - BE test.18, known as shown in ABC, DE, BC, AD=5, BD=3, S and delta ADE:S Delta ABC value.19, known square ABCD, C straight line, respectively, AD, AB extension line at points E, F, and AE=15, AF=10, square ABCD for the length of the side.20, known as shown in the equilateral Delta CDE and B respectively, A ED, DE extension line, DE2=AD and EB, and the degree of angle ACB.21, known as shown in ABC / C=600, AD, BC in D group, BE group AC E, Delta CDE Delta CBA to explain.22, known, as shown in figure F, ABCD edge, DC extension of the line point, link AF, pay BC at G, hand in BD at E, try to explain AE2=EG EF24. ABC, D, E / C=900, respectively AB, AC on AD, AB=AE AC, ED AB (13) to verify the aboveIn 25, ABC, M and AC is the midpoint, side of the AE=BA connection EM, and extend the BC line to D, verify the BC=2CDAB=AC, the 26 known isosceles triangle ABC, AD, BC in group D, CG, AB, AD, AC BG respectively in E, F, BE2=EF and EG prove:27, known in ABC, AD / BAC=900 BC in D P group, AD midpoint, BP extension line AC to E EF BC in F, an EF2=AE AC confirmation:28., as shown in the parallelogram,1. APD ~ CDQTwoMap your own painting, with a triangle of 30 degrees can be drawn outDreams of an isosceles triangle ABC / ABC = 120 DEGL / DAP= / DCQ=30 / CDQ / PDA=150 ~ * ~ / ADP / APD=150 degrees and dreamsL / CDQ= / APD / DAP= / QCD and dreamsStar delta APD Delta CDQ ~ AP/CD=PD/DQ frequencyD is the midpoint of AC AD=DC dreams AP/DP=AD/DQ AP/AD=PD/QD perylene perylene perylene / PDQ= / PAD dreamsStar delta APD to DPQ3. a triangle has 1 angles of 30, and the other has 2 30 degrees angles, in favor of the 155| review (6)(1) dreams / ABC=120 / A= / L degrees, C=30 degrees,Dreams / ADP+ / APD=150 / ADP+ / QDC=150 degrees degrees,L / APD= / CDQ,Star delta APD to CQD(2) set up; as shownDreams / ADP+ / APD=150 / ADP+ / QDC=150 degrees, degrees, R / APD= / CDQ / A= / C, andStar delta APD to CQD / A= / C only, the other corresponding angle are not equal, therefore, Delta APD and delta DPQ is similar;(3), two triangle into a more general condition, but the ABC must be an isosceles triangle, and / EDF= / A, otherwise it is not established.。
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一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s 的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、B），使得△CDM与△MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．（1）所需的测量工具是：_________ ；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的长；（2）过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．考点：相似三角形的判定；平行线的性质。
专题：证明题。
分析：根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．考点：相似三角形的判定；三角形中位线定理；梯形。
专题：几何综合题。
分析：（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．（2）根据点F是BC的中点这一已知条件，可得△CDF≌△B GF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题．解答：（1）证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）点评：本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，比较复杂．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．考点：相似三角形的判定。