2017_2018学年高中数学阶段质量检测一推理与证明北师大版选修2_2

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2017_2018学年高中数学学业分层测评2含解析北师大版选修2_120171003212

学业分层测评(二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的()A．充分条件B．必要条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【解析】∵－2＜x＜1 x＞1或x＜－1，且x＞1或x＜－1 －2＜x＜1，∴“－2＜x＜1”是“x＞1或x＜－1”的既不充分，也不必要条件．【答案】 C2．a＜0，b＜0的一个必要条件为()A．a＋b＜0B．a－b＞0a aC. ＞1 D．＜－1b b【解析】a＋b＜0 a＜0，b＜0，而a＜0，b＜0⇒a＋b＜0.【答案】 A3．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】ab≠0，即Error!，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.【答案】 C4．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是() A．a≤0B．a＞0C．a＜－1 D．a＜11 【解析】∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．∴x1x2＜0.即＜0⇔aa＜0，本题要求的是充分条件．由于{a|a＜－1}⊆{a|a＜0}，故答案应为C.【答案】 C1π5．设0＜x＜，则“x sin2x＜1”是“x sin x＜1”的()2A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件π【解析】因为0＜x＜，所以0＜sin x＜1.由x·sin x＜1知x sin2x＜sin x＜1，因此21 1必要性成立．由x sin2x＜1得x sin x＜，而＞1，因此充分性不成立．sin x sin x【答案】 B二、填空题16．满足sin α＝的一个充分条件是α＝____(填一角即可)．2π 1【解析】∵α＝⇒sin α＝，6 21 π∴sin α＝的一个充分条件可以是α＝.2 6π【答案】637．已知“x＞k”是“＜1”的充分条件，则k的取值范围是________．x＋1【导学号：32550004】3【解析】解不等式＜1得，x＜－1或x＞2，x＋1∵x＞k⇒x＞2或x＜－1∴k≥2.【答案】[2，＋∞)8．已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．若p是綈q的充分条件，则实数m的取值范围是________．【解析】∵A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}，∴∁R B＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}．∵p是綈q的充分条件，∴A⊆∁R B，∴m－2＞3或m＋2＜－1，∴m＞5或m＜－3.【答案】(－∞，－3)∪(5，＋∞)三、解答题9．分别判断下列“若p，则q”命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)p：sin θ＝0，q：θ＝0；(2)p：θ＝π，q：tan θ＝0；(3)p：a是整数，q：a是自然数；(4)p：a是素数，q：a不是偶数．2【解】(1)由于p：sin θ＝0⇐q：θ＝0，p：sin θ＝0 q：θ＝0，所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件．(2)由于p：θ＝π⇒q：tan θ＝0，p：θ＝π⇐/ q：tan θ＝0，所以p是q的充分条件，p是q的不必要条件．(3)由于p：a是整数q：a是自然数，p：a是整数⇐q：a是自然数，所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件．(4)由于p：a是素数⇔/ q：a不是偶数，所以p是q的不充分条件，p是q的不必要条件．10．已知p：4x＋k≤0，q：x2－x－2＜0，且p是q的必要条件，求k的取值范围．k【解】由4x＋k≤0，得x≤－；4由x2－x－2＜0，得－1＜x＜2.设A＝Error!，B＝{x|－1＜x＜2}，由p是q的必要条件，得A⊇B.k ∴－≥2，4∴k≤－8.即k的取值范围为(－∞，－8]．[能力提升]11．不等式1－＞0成立的充分条件是()xA．x＞1 B．x＞－1C．x＜－1或0＜x＜1 D．x＜0或x＞11 【解析】x＞1⇒1－＞0，故选A.x【答案】 A2．设a，b为向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝|a||b|，∴cos 〈a，b〉＝1，3∴〈a，b〉＝0，∴a·b＝|a||b|⇒a∥b.而∵a∥b夹角可为π，∴a·b＝－|a||b|，∴a·b＝|a||b|⇐/ a∥b，故选A.【答案】 A3．(2016·长春高二检测)如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．【解析】否命题为真，则逆命题为真．∴“若B，则A”为真，∴B⇒A，而原命题为假设A B，∴A是B的必要条件．【答案】必要4．已知p：x2－2x－3＜0，若－a＜x－1＜a是p的一个必要条件但不是充分条件，求使a ＞b恒成立的实数b的取值范围．【解】由于p：x2－2x－3＜0⇔－1＜x＜3，－a＜x－1＜a⇔1－a＜x＜1＋a(a＞0)．依题意，得{x|－1＜x＜x|1－a＜x＜1＋a}(a＞0)，所以Error!解得a＞2，则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，即(－∞，2]．4。

高中数学选修2-2推理与证明类比推理

以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
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例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度实数的加法
实数的乘法
运算结果若a,b∈R,则a+b∈R
若a,b∈R,则ab∈R
运算律 (交换律和结合律)
逆运算
Hale Waihona Puke a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
(2)从已知的相似性质中推出一种明确体现的普通性命题(猜想).
3
从一种传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩晦气事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
它也能够是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
学数学、用数学，完善数学的对的数学意识。
二、教学重点：理解类比推理的含义，能运用类比进行简朴
的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。
三、教学办法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
2
复习
1.什么是归纳推理?
部分
整体
特殊
一般
2.归纳推理的普通环节:
(1)通过观察个别状况发现某些相似性质;
C
结
论 pa pb pc 1
ha hb hc
空间中
A
P
B
D
C
pa pb pc pd 1 ha hb hc hd
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合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，通过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。

2017-2018学年高中数学选修2-2：阶段质量检测二推理与证明含解析精品

阶段质量检测(二)推理与证明[考试时间：120分钟试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________．2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理②演绎推理得到的结论一定是正确的③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关4．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________________________________．5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．6．(陕西高考)观察分析下表中的数据：．7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．8．已知x，y∈R＋，当x2＋y2＝________时，有x1－y2＋y1－x2＝1.9．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1；③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，则当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤中错误的是________．10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若 OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，则14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若 OP ＝m OA ＋nOB (m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．11．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.12．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋ax n ≥n ＋1，则a 的值为________．13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中共有________个顶点．14．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫15n (n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5n a n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．17．(本小题满分14分)观察 ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．18．(本小题满分16分)已知实数a 、b 、c 满足0<a ，b ，c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不可能同时大于1.19.(本小题满分16分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)． (2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n与1的大小，并说明理由．答案1．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A2．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积．故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．形对角线互相垂直且平分5．解析：V 1V 2＝13S 1h113S 2h 2＝⎝⎛⎭⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶86．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝27．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心 8．解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1，只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2，即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2. 只需使(1－x 2－y )2＝0，即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：19．解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误．答案：③10．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由 OP ＝m OA ＋n OB 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝(m －n )a ，y ＝(m ＋n )b ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝⎛⎭⎫22n ，故a 7＝2×⎝⎛⎭⎫226＝14.答案：1412．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n nx n ≥n＋1，故a ＝n n .答案：n n13．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点，则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6. 答案：n 2＋5n ＋614．解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 00015．证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝⎛⎭⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立，又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥4. ⎝⎛⎭⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 16．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，①所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n ，②由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n＝1＋15×5＋⎝⎛⎭⎫152×52＋…＋⎝⎛⎭⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n ＝n ＋a n ·5n ，所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n .17.解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α ＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α＝1－cos 2α4＋1＋cos (60°＋2α)2＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α ＝34. 18．证明：假设(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1，则三式相乘：(2－a )b (2－b )c (2－c )a >1① 而(2－a )a ≤⎝⎛⎭⎫2－a ＋a 22＝1，同理，(2－b )b ≤1，(2－c )c ≤1，即(2－a )b (2－b )c (2－c )a ≤1，显然与①矛盾，所以原结论成立．19．解：(1)由S n ＝2n －a n ，得，a 1＝2－a 1，即a 1＝1. S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，解得a 2＝32.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，解得a 3＝74.S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，解得a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，则a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k ＝2k ＋1－12(k ＋1)－1，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①和②，可知猜想对任何n ∈N *都成立，即a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)．20．解：(1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即a k ≥2k －1；那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立，综上所述，命题成立．(2)∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n ，∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.。

北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测卷(包含答案解析)

一、选择题1．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（） A ．28B ．76C ．123D ．1992．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于23．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -4．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得（） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立D ．当9n =时该命题成立5．用反证法证明“若x y <，则33x y <”时，假设内容应是（） A ．33x y = B ．33x y > C ．33x y =或33x y > D ．33x y =或33x y < 6．已知一列数按如下规律排列，1，3，-2，5，-7，12，-19，31，…，则第9个数是( )A ．50B ．42C ．-50D ．-427．数列0，75-，135，6317-，…的一个通项公式是( ) A ．()312111n n n +--+ B ．()32111nn n --+C ．()312111n n n ---- D ．()32111nn n ---8．利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232n f n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项9．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯10．下列推理属于演绎推理的是（） A ．由圆的性质可推出球的有关性质B ．由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C ．某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分D ．金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电11．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D ．若，则复数.类比推理：“若，则”二、填空题13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*()n n S n a n N =-∈，猜想n a =__________．14．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 15．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为22n n+，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：211(,3)22N n n n =+；正方形数：2(,4)N n n =；五边形数：231(,5)22N n n n =-；六边形数：2(,6)2N n n n =-，…，由此推测(8,8)N =__________．16．研究cos n α的公式，可以得到以下结论：2cos )22cos )32cos )42cos )22cos )52cos )32cos )62cos )42cos )22cos )72cos )52cos )32cos 2(2,2cos3(3(2cos ),2cos 4(4(2,2cos5(5(5(2cos ),2cos 6(6(9(2,2cos 7(7(14(7(2cos ααααααααααααααααααααα=-=-=-+=-+=-+-=-+-),以此类推：422cos8(2cos )(2cos )(2cos )16(2cos )m p n q r ααααα=++-+，则m n p q r ++++=__________．17．已知结论“1a ，*2R a ∈，且121a a +=，则12114a a +≥；若1a 、2a 、*3R a ∈，且1231a a a ++=，则1239111a a a ++≥”，请猜想若1a 、2a 、…、*R n a ∈，且121n a a a +++=，则12111na a a +++≥__________． 18．观察下面一组等式：11S =，22349S =++=， 33456725S =++++=， 44567891049S =++++++=，......根据上面等式猜测()()2143n S n an b -=-+，则22a b += __________．19．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为，若31241234a a a a k ====，则12342234Sh h h h k+++=．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则1234234H H H H +++等于_____________． 20．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖__________________块.三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 都满足()21n n n S a S -=．（1）求1S ，2S ，3S 的值，猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 的表达式的正确性． 22．设数列{}n x 各项均为正数，且满足()22221222,n x x x n n n N ++++=+∈，（1）求数列{}n x 的通项公式n x ；（2）已知122311113n n x x x x x x ++++=+++，求n ；（3）试用数学归纳法证明：2122312(1)1n n x x x x x x n +⎡⎤+++<+-⎣⎦．23．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，()4521S a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11b =-，()*11n n n b T T n N ++=∈.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）记n c =，*n N ∈，证明：()12214n c c c n +++<+. 24．已知数列{}n a 中，12a a =．()2122,n n a a a n n a *-=-≥∈N . （1）写出2a 、3a 、4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明．25．已知函数()()211xx f x a a x -=+>+. （1）判断()f x 在()1,-+∞上的单调性并证明；（2）用适当的方法证明方程()0f x =没有负根.26．证明：223333(1)1234n n n ++++⋯+=，其中*n N ∈.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.2．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.3．C解析：C 【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时， ()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(有答案解析)(4)

一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．如图，第(1)个图案由1个点组成，第(2)个图案由3个点组成，第(3)个图案由7个点组成，第(4)个图案由13个点组成，第(5)个图案由21个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律,第50个图形由多少个点组成（）A ．2450B ．2451C ．2452D ．2453 3．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（）A ．28B ．76C ．123D ．1994．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a+（） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于25．下面几种推理过程是演绎推理的是（）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 6．期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格. 乙：丁肯定能及格. 丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁7．设函数()nf x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )xf x e x x =+，01()()2f x f x '=，12()(),2f x f x '=，*1()()()2n n f x f x n N '+=∈，则2018()f x =（） A ．(cos sin )x e x x + B ．(cos sin )x e x x - C ．(cos sin )x e x x -+D ．(cos sin )x e x x --8．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确9．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（） A ．3B ．2C ．1D ．010．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12511．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为0022Ax By c d A B++=+,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___.14．如图所示为计算机科学中的蛇形模型，则第20行从左到右第4个数字为__________．15．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，……循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第100个括号内的数为_________．16．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．17．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖块.18．研究问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(1,2)，解关于x 的不等式20cx bx a -+>”，有如下解法：由22110()()0ax bx c a b c x x-+>⇒-+>，令1y x=，则1(,1)2y ∈，所以不等式20cx bx a -+>的解集为1(,1)2，类比上述解法，已知关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为(2,1)(2,3)--⋃，则关于x 的不等式1011kx bx ax cx -+<--的解集为__________.19．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．20．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．三、解答题21．在数列{}n a 中，11a =，()*121n n n a a n N n++=+∈. （1）求2a 、3a 、4a 的值；（2）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明. 22．将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++= ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立．（ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即 123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++= ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立． 23．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式.25．已知,a b ∈R ，且1a b +=求证：()()2225222a b +++≥. 26．已知数列{}11,2n a a =，133n n n a a a +=+. （1）求2345,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，（2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．B解析：B 【解析】【分析】设第n 个图案的点的个数为n a ，由图归纳可得()121,1n n a a n n --=--个式子相加,由等差数列的求和公式可得结果. 【详解】设第n 个图案的点的个数为n a ，由题意可得123451,3,7,13,21a a a a a =====，故213243542,4,6,8,...a a a a a a a a -=-=-=-=，由此可推得()121n n a a n --=-，以上1n -个式子相加可得：()()()()()2132431...246...21n n a a a a a a a a n --+-+-++-=++++-,化简可得()()()1222112n n n a n n -+--==-，故()11n a n n =-+，故50504912451a =⨯+=，即第50个图形由2451个点组成，故选B . 【点睛】本题主要考查归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.3．C解析：C 【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.4．D解析：D 【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案. 详解:因为1116a b c b c a+++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.5．C解析：C 【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C.点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.6．A解析：A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙，丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾，故甲预测错误. 故选A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．7．B解析：B 【解析】分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f1（x ）'f x x cosx ，∴f1′（x ）x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x ）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f3（x ）=x sinx ， ∴f3′（x ）=x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ， ∴f5（x ）=x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin xe x x -，故选：B ．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.8．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误，故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题9．B解析：B 【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=，则在①、②中，当13a b c ===时，满足1a b c ++=，所以命题不正确；对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的；对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于14，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于14，所以是正确的；综上可知，正确的命题由两个，故选B.点睛：本题主要考查了命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.10．C解析：C 【解析】设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C11．C解析：C 【详解】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符；若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符；当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符. 故选C.点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.12．B解析：B 【分析】数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M ，由此可得结论．【详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1，从右到左第2行的第一个数为：3×20，从右到左第3行的第一个数为：4×21， …从右到左第n 行的第一个数为：（n+1）×2n ﹣2，第2017行只有M ，则M=（1+2017）•22015=2018×22015 故答案为：B ．【点睛】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离2d ==，故答案是2.点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.14．194【解析】由题意得前行共有个数第行最左端的数为第行从左到右第个数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数列的特征进而判断出该数列的解析：194 【解析】由题意得，前19行共有19(119)1902+=个数，第19行最左端的数为190，第20行从左到右第4个数字为194.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式求解，体现了用方程的思想解决问题.15．392【解析】由题意可得将三个括号作为一组则由第50个括号应为第17组的第二个括号即50个括号中应有两个数因为每组中有6个数所以第48个括号的最后一个数为数列的第项第50个括号的第一个数为数列的第项解析：392 【解析】由题意可得，将三个括号作为一组，则由501632=⨯+，第50个括号应为第17组的第二个括号，即50个括号中应有两个数，因为每组中有6个数，所以第48个括号的最后一个数为数列{}21n -的第16696⨯=项，第50个括号的第一个数为数列{}21n -的第166298⨯+=项，即2981195⨯-=，第二个数是2991197⨯-=，所以第50个括号内各数之和为195197392+=16．11【解析】A 到E 的时间为2+4=6小时或5小时A 经C 到D 的时间为3+4=7小时故A 到F 的最短时间就为9小时则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时即组装该产品所需要的最短时间是11小时解析：11 【解析】A 到E 的时间，为2+4=6小时，或5小时， A 经C 到D 的时间为3+4=7小时，故A 到F 的最短时间就为9小时，则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时，即组装该产品所需要的最短时间是11小时17．4n+2【解析】解：观察分析图案得到规律第1个第2个第3个…个图案有白色地板砖分别是61014…个组成一个公差是4首项为6的等差数列因此第n 个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4【解析】解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个公差是4，首项为6的等差数列．因此第n个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2．故答案为：4n+2．18．【解析】解析：111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】关于x的不等式111kx bxax cx-+<--可化为111bk xa cx x-+<--，则由题设中提供的解法可得：1111(2,1)(2,3)(,)(,1)232xx-∈--⋃⇒∈--⋃，则关于x的不等式111kx bx ax cx -+< --的解集为111(,)(,1)232--，应填答案111(,)(,1)232--．19．1和3【详解】根据丙的说法知丙的卡片上写着和或和；（1）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；所以甲的说法知甲的卡片上写着和；（2）若丙的卡片上写着和根据乙的说法知乙的卡片上写着和；又加解析：1和3.【详解】根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；所以甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；所以甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；所以甲的卡片上的数字是1和3.20．丙【详解】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用解析：丙【详解】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．考点：反证法在推理中的应用.21．（1）24a =，39a =，416a =；（2）2n a n =，证明见解析.【分析】（1）根据数列递推关系，把1n =、2、3分别代入，求出2a 、3a 、4a 的值；（2）先假设n k =时，2k a k =成立，再证明1n k =+时，猜想也成立.【详解】（1）11a =，1n a +21n n a n+=+，22314a a ∴=+=，32219a a =+=，4351163a a =+=；（2）由（1）猜想2n a n =，用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，11a =，猜想显然成立； ②设n k =时，猜想成立，即2k a k =，则当1n k =+时，()22121211k k k a a k k k k++=+=++=+，即当1n k =+时猜想也成立，由①②可知，猜想成立，即2n a n =. 【点睛】运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.22．①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【分析】根据数学归纳法的定义依次填空得到答案. 【详解】123219++++=，123432116++++++=，由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =++++-++-++++=，下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立．（ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即2123(1)(1)321k a k k k k =++++-++-++++=．当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=++++-+++++-++++()2211k k a k +=+=+，等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立. 故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ； ⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力. 23．见解析. 【解析】分析：直接利用数学归纳法的证明步骤证明不等式，（1）验证1n =时不等式成立；（2）假设当()*,1n k k N k =∈≥时成立，利用放缩法证明1n k =+时，不等式也成立．详解：证明：①当1n =时，左边111224=>，不等式成立. ②假设当()*,1n k k N k =∈≥时，不等式成立，即11111112324k k k k k +++⋅⋅⋅+>++++，则当1n k =+时，111112322122k k k k k ++⋅⋅⋅+++++++ 11111232k k k k =+++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 111112421221k k k >++-+++， ∵11121221k k k +-+++ ()()()()()21212212121k k k k k +++-+=++()()102121k k =>++，∴11111232k k k k +++⋅⋅⋅++++ 11121221k k k ++-+++ 1111111242122124k k k >++->+++， ∴当1n k =+时，不等式成立.由①②知对于任意正整数n ，不等式成立.点睛：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意不等式的证明方法，放缩法的应用，考查逻辑推理能力．24．（I ）()541f =；（II ）()2221f n n n =-+.【解析】试题分析：（I ）先用前几项找出规律()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯,可知()5254441f =+⨯=；（II ）由（I ）知()()14f n f n n +-=,然后利用累加法求出()2221f n n n =-+.试题解：（I ）()11f =，()25f =，()313f =，()425f =，∴()()21441f f -==⨯，()()32842f f -==⨯，()()431243f f -==⨯，()()541644f f -==⨯∴()5254441f =+⨯=．（II ）由上式规律得出()()14f n f n n +-=．∴()()2141f f -=⨯，()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋅⋅⋅，()()()1242f n f n n ---=⋅-，()()()141f n f n n --=⋅-∴()()()()()14122121f n f n n n n ⎡⎤-=++⋅⋅⋅+-+-=-⋅⎣⎦， ∴()2221f n n n =-+．考点：1.合情推理与演绎推理；2.数列累加法求通项公式. 25．见解析. 【分析】将代数式()()2222a b +++展开，利用基本不等式()2222a b a b ++≥可证出所证的不等式. 【详解】222a b ab +≥，()()2222222a babab a b ∴+≥++=+，则()222122a b a b ++≥=，()()()222212522484822a b a b a b ∴+++=++++≥++=，当且仅当12a b ==时，等号成立，因此，()()2225222a b +++≥. 【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，解题的关键就是对基本不等式进行变形，再对所证不等式进行配凑得到，考查计算能力，属于中等题． 26．（1）237a =，338a =，439a =，5310a =.（2）证明见解析. 【分析】利用递推式直接求2a 、3a 、4a 、5a ，猜想数列{}n a 的通项公式为35n a n =+()*n N ∈用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由112a =，133n n n a a a +=+，得121333213732a a a ===++，232933733837a a a ===++，444933833938a a a ===++， 5559339331039a a a ===++. （2）由（1）猜想35n a n =+，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，131152a ==+猜想成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即35k a k =+. 则当n ＝k ＋1时，133335331535k k k a k a a k k +⨯+===+++++，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立，由①②知，对n ∈N *，35n a n =+都成立．【点睛】本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值0n 并验证真假；②“假设n k =时命题正确”并写出命题形式；③分析“1n k =+时”命题是什么，并找出与“n k =”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.。

2017_2018学年高中数学时期质量检测一推理与证明北师大版选修2_2

3．因为奇函数的图像关于原点对称(大前提)，而函数f(x)＝是奇函数(小前提)，因此f(x)的图像关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的缘故是
( )
A．大前提错致使结论错B．小前提错导致结论错
C．推理形式错致使结论错D．大前提和小前提都错导致结论错
4．某同窗在电脑上打出如下假设干个“★”和“ ”：★★★★★★……依此规律继续打下去，那么在前2 014个图形中的“★”的个数是
13．观看以劣等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….依照上述规律，第五个等式为________________________．
14．(福建高考)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且以下三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0 有且只有一个正确，那么100a＋10b＋c等于________．
时期质量检测(一) 推理与证明
[考试时刻：90分钟试卷总分：120分]
题号
一
二
三
总分
15
16
17
18
得分
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)
1．数列3,5,9,17,33，…的通项an＝( )
A．2nB．2n＋1
14．解析：可分以下三种情形：(1)假设只有①正确，那么a≠2，b≠2，c＝0，因此a＝b＝1与集合元素的互异性相矛盾，因此只有①正确是不可能的；(2)假设只有②正确，那么b＝2，a＝2，c＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，因此只有②正确是不可能的；(3)假设只有③正确，那么c≠0，a＝2，b≠2，因此b＝0，c＝1，因此100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.

2017_2018学年高中数学学业分层测评1含解析北师大版选修2_12017100321

学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列语句不是命题的有()①《非常学案》是最畅销的教辅材料吗？②2x－1＞3.③7＋6＝14.④两直线平行内错角相等．A．①②B．①③C．②④D．①②③【答案】 A2．若命题p的逆命题是假命题，则下列判断一定正确的是()A．命题p是真命题B．命题p的否命题是假命题C．命题p的逆否命题是假命题D．命题p的否命题是真命题【解析】一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题，故它们同真假，故选B.【答案】 B3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形【解析】此命题可改为“若一个四边形是平行四边形则它的对角线互相平分，也互相垂直”，故结论为选项C.【答案】 C4．在下列命题中，真命题是()A．“x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．若x∈R，则x2＋3＜0D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题【解析】“相似三角形的对应角相等”是真命题，又因为原命题与逆否命题为等价命题，故选D.1【答案】 D5．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0【解析】易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．【答案】 C二、填空题6．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的________命题．【导学号：32550002】【解析】根据四种命题的关系，易知s是t的否命题．【答案】否7．把下列不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数f(x)＝3＋log2x的图像与g(x)的图像关于________对称，则函数g(x)＝________.(填上你认为可以成为真命题的一种情况既可)【解析】该题将函数的图像和性质与命题综合在一起，要综合利用各部分的知识．部分可能情况有：x轴，－3－log2x；y轴，3＋log2(－x)；原点，－3－log2(－x)；直线y＝x,2x－3等．【答案】x轴－3－log2x8．给定下列命题：①“若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．【解析】①Δ＝4＋4k∵k＞0，∴Δ＞0方程有实根，故①为真命题．②，④易判断为真命题．③对角线相等的四边形有可能是梯形．【答案】①②④三、解答题9．将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)偶数能被2整除；(2)奇函数的图像关于原点对称．【解】(1)若一个数是偶数，则它能被2整除．真命题．2(2)若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称．真命题．10．分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；(2)四条边相等的四边形是正方形．【解】找出原命题的条件和结论，依照定义写出另外三种命题．(1)逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0；否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除；逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.逆命题和否命题是假命题，原命题和逆否命题是真命题．(2)原命题可以改写成：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等．原命题和逆否命题是假命题，逆命题和否命题是真命题．[能力提升]1．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④【解析】①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题是“若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等”，是假命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”，是真命题；④“不等边三角形的三个内角相等”是假命题，其逆否命题是假命题．【答案】 C2．若命题p的逆否命题是q，q的逆命题是r，则p与r是() A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定【解析】p，q互为逆否命题，又q的逆命题是r，故p、r为互否命题．3【答案】 B3．下列说法正确的是________．①“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”的否命题为“若x2＋y2≠0，则x，y全不为零”．②“正多边形都相似”的逆命题是真命题．1③“若x－3 是有理数，则x是无理数”的逆否命题是真命题．2【解析】①中否命题：“若x2＋y2≠0则x，y不全为0”，故是错误的．②中逆命题：“若两个多边形相似，则这两个多边形是正多边形”，是假命题，故此说法错误．1③中逆否命题：“若x不是无理数，则x－3 不是有理数”，是真命题，故说法正确．2【答案】③14．若方程x2＋2px－q＝0(p，q是实数)没有实数根，则p＋q< .4(1)判断上述命题的真假，并说明理由．(2)试写出上述命题的逆命题，并判断真假，说明理由．【解】(1)上述命题是真命题，由题意，得方程的判别式Δ＝4p2＋4q<0，得q<－p2，1 1 1(p－2 )2＋≤，∴p＋q<p－p2＝－4 41∴p＋q< .41(2)逆命题：如果p，q是实数，p＋q< ，则方程x2＋2px－q＝0没有实数根．逆命题是假41命题，如当p＝1，q＝－1时，p＋q< ，但原方程有实数根x＝－1.44。

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2练习：学业分层

学业分层测评(十) (建议用时：45分钟)一、选择题1.下列结论不正确的是( ) A.若y ＝3，则y ′＝0B.若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C.若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D.若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x【解析】 D 中，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 【答案】 D2.若对任意实数x ，恒有f ′(x )＝5x 4，f (1)＝－1，则此函数为( ) A.f (x )＝－1＋x 5B.f (x )＝x 5－2 C.f (x )＝x 4－2D.f (x )＝x 5＋1【解析】由f (1)＝－1，排除A ，D ；又对任意实数x ，恒有f ′(x )＝5x 4，则f (x )＝x 5＋c ，故排除C ，选B.【答案】 B3.曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( ) A.(1，0) B.(2，8)C.(1，0)和(－1，－4)D.(2，8)和(－1，－4)【解析】 ∵f (x )＝x 3＋x －2，∴f ′(x )＝3x 2＋1，设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.故P 0点坐标为(1，0)或(－1，－4). 【答案】 C 4.设曲线f (x )＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A.2 B.12 C.－12D.－2【解析】 ∵f (x )＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴f ′(x )＝－2（x －1）2，∴f ′(3)＝－12，∴－a ＝2，即a ＝－2. 【答案】 D5.已知函数f (x )＝12x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A.C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，133D.(－∞，4)【解析】 f ′(x )＝x ＋4x，当1≤x 0≤3时，f ′(x 0)∈，又k ＝f ′(x 0)＝m ，所以m ∈. 【答案】 B 二、填空题 6.函数y ＝sin x1＋sin x的导数是________.【导学号：94210046】【解析】 f ′(x )＝cos x （1＋sin x ）－sin x cos x （1＋sin x ）＝cos x（1＋sin x ）.【答案】cos x（1＋sin x ）27.已知f (x )＝x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝________.【解析】 ∵f (x )＝x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x ，∴f ′(x )＝2x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝23.【答案】 238.某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是s ，s 的单位是m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________.【解析】 ∵s ′＝2t －3t2，∴v ＝s ′(4)＝8－316＝71316 m/s.【答案】 71316 m/s三、解答题9.点P 是曲线y ＝f (x )＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离.【解】根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线f (x )＝e x相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图.则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即f ′(x 0)＝1.∵f ′(x )＝(e x )′＝e x，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入f (x )＝e x，得y 0＝1，即P (0，1). 则点P 到直线y ＝x 的最小距离为d ＝|0－1|2＝22.10.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值.【解】因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1，1)，所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a ＋b ＝1. 又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a ，b ，c 的值分别为3，－11，9.1.函数f (x )＝x ＋x ln x 在(1，1)处的切线方程为( ) A.2x ＋y －1＝0B.2x －y －1＝0C.2x ＋y ＋1＝0D.2x －y ＋1＝0【解析】 ∵f ′(x )＝(x ＋x ln x )′ ＝1＋x ′ln x ＋x (ln x )′ ＝1＋ln x ＋1＝2＋ln x ， ∴f ′(1)＝2＋ln 1＝2，∴函数f (x )在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.【答案】 B2.曲线f (x )＝x 2＋bx ＋c 在点(1，2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )A.24B.22C.322D. 2【解析】因为曲线过点(1，2)，所以b ＋c ＝1，又f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，所以b ＝－1，c ＝2，所以所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.故两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0的距离为d ＝|1＋2|2＝322.【答案】 C3.若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【导学号：94210047】【解析】设P (x 0，y 0).∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x .∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标是(e ，e). 【答案】 (e ，e) 4.已知函数f (x )＝axx 2＋b，且f (x )的图像在x ＝1处与直线y ＝2相切.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图像上的任意一点，直线l 与f (x )的图像相切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围.【解】 (1)对函数f (x )求导，得f ′(x )＝a （x 2＋b ）－ax ·2x （x 2＋b ）2＝ab －ax 2（x 2＋b ）2.因为f (x )的图像在x ＝1处与直线y ＝2相切.所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f （1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －a ＝0，1＋b ≠0，a 1＋b ＝2，所以a ＝4，b ＝1，所以f (x )＝4xx 2＋1. (2)因为f ′(x )＝4－4x2（x 2＋1）2，所以直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4 x 20（x 20＋1）2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x 20＋1）2－1x 20＋1，令t ＝1x 20＋1，t ∈(0，1]，则k ＝4(2t 2－t )＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－12，所以k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，4.。

数学北师大版高中选修2-2第一章推理与证明练习题

第一章推理与证明练习题1．“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的．”此推理方法是：；2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为：；3．证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n<n ＋1(n >1)，当n ＝2时，中间式等于：；4．否定结论“至多有两个解”的说法是：；5．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为：；6．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法……则他从平地上到第n 级(n ≥3)台阶时的走法f (n )等于：；7．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值一定：；8．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013等于：；9．一个数列{a n }的前n 项为35，12，511，37，717，….则猜想它的一个通项公式为a n ＝________.10．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形．图111．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为________．12．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：________________.13．已知a ＋b ＋c ＝0，比较ab ＋bc ＋ca 的大值与0的大小；14．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，….根据上述规律，第五个等式为________________________．15．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1,2，…)．(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .16．(2014·银川模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N ＋)B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N ＋)C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N ＋)D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋)17．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72.推测：当n ≥2时，有____________．18．(2014·陕西文，14)已知f (x )＝x1＋x，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2014(x )的表达式为________．19．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图2为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图2(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f ＋1f －1＋1f －1＋…＋1f n －1的值．20．(本小题满分14分)函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x2(x >0)，f n ＋1(x )＝f 1[f n (x )]．(1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明．21．已知数列{a n }，a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．22．(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．[解析] (1)解：因为对任意n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r均为常数)的图像上，所以S n ＝b n＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r )＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1，又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1， b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ，则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式：32·54·76…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1.则当n ＝k ＋1时，左边＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝k ＋2k ＋＝k ＋2＋k ＋＋1k ＋＝k ＋＋1＋1k ＋>k ＋＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可得，不等式对任何n ∈N ＋都成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1恒成立．【解】 (1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由以上规律，可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ，因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，所以f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)]＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f n －1＝12n n －＝12(1n －1－1n)，所以1f ＋1f －1＋1f －1＋…＋1f n －1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋12(1－1n )＝32－12n.18．(本小题满分14分)函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x2(x >0)，f n ＋1(x )＝f 1[f n (x )]．(1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明．解：(1)f 1(x )＝x1＋x2(x >0)，f 2(x )＝x1＋x21＋x 21＋x 2＝x1＋2x 2，f 3(x )＝x1＋2x 21＋x 21＋2x2＝x 1＋2x 2＋x 2＝x1＋3x 2. (2)猜想f n (x )＝x1＋nx2，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，命题显然成立．②假设当n ＝k 时，f k (x )＝x1＋kx2，那么f k ＋1(x )＝x1＋kx 21＋x21＋kx2＝x1＋kx 2＋x2＝x 1＋k ＋x 2.这就是说，当n ＝k ＋1时命题成立．由①②，可知f n (x )＝x1＋nx2对所有n ∈N ＋均成立．20．已知数列{a n }，a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．[分析] 利用不完全归纳法猜想归纳出a n ，然后用数学归纳法证明．解题的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k ＋1和S k 与S k ＋1之间的关系．[解析] (1)由已知，得a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a3＝5＋5＋10＝20，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5×2n －2n .(2)①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，表达式成立．当n ＝1时显然成立，下面用数学归纳法证明n ≥2时结硫化亦成立．②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时表达式成立，即a k ＝5×2k －2，则当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2＝5＋－2k －11－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故当n ＝k ＋1时，表达式也成立．由①②可知，对一切n (n ≥2，n ∈N ＋)都有a n ＝5×2n －2.[点评] 本题先用不完全归纳法猜想出通项，然后用数学归纳法证明，考查了由特殊到一般的数学思想，也考查了数列知识，在高考中这类题往往是压轴题．解决方法是观察与分析法，也就是说解决这类题要注意观察数列中各项与其序号的变化关系，归纳出构成数列的规律，同时还要注意第一项与其他各项的差异，从而发现其中的规律．21．(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．[解析] (1)解：因为对任意n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x＋r (b >0且b ≠1，b ，r均为常数)的图像上，所以S n ＝b n＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r )＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1，又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1， b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ，则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式：32·54·76…·2n ＋12n>n ＋1.①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1.则当n ＝k ＋1时，左边＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝k ＋2k ＋＝k ＋2＋k ＋＋1k ＋＝k ＋＋1＋1k ＋>k ＋＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可得，不等式对任何n ∈N ＋都成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1恒成立．第一章推理与证明 (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的．”此推理方法是( )A ．演绎推理B ．归纳推理C ．类比推理D ．以上都不对【解析】由部分推断全体，是归纳推理．【答案】 B2．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( ) A ．25 B ．6 C ．7 D ．8【解析】将数列分组得(1)，(2,2)，(3,3,3)，(4,4,4,4)，…，这样每一组的个数为1,2,3,4，…；其和为n n ＋2，令n ＝6，则有6×72＝21，所以第25项在第7组，因此第25项是7.【答案】 C3．证明n ＋22<1＋12＋13＋14＋…＋12n<n ＋1(n >1)，当n ＝2时，中间式等于( )A ．1B ．1＋12C ．1＋12＋13D ．1＋12＋13＋14【解析】中间的式子共有2n 项，故n ＝2时，中间的式子等于1＋12＋13＋14.【答案】 D4．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A ．有一个解 B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解【解析】 “至多有两个解”包含有两解，仅有一解，和无解，故其否定为至少有三个解．【答案】 C5．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定【解析】 a ＝1c ＋1＋c ，b ＝1c ＋c －1，显然a <b .【答案】 B6．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)【解析】设△ABC 的内心为O ，连接OA ，OB ，OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .【答案】 C 7．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法……则他从平地上到第n 级(n ≥3)台阶时的走法f (n )等于( )A ．f (n －1)＋1B ．f (n －2)＋2C ．f (n －2)＋1D ．f (n －1)＋f (n －2)【解析】要到达第n 级台阶有两种走法：(1)在第n －2级的基础上到达；(2)在第n －1级的基础上到达．【答案】 D8．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值一定( )A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．正负都可能【解析】 f (x )＝x 3＋x 是奇函数且在R 上是增函数，由a ＋b >0，得a >－b ，故f (a )>f (－b )，可得f (a )＋f (b )>0.同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0.所以f (a )＋f (b )＋f (c )>0.【答案】 A9．(2012·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199【解析】记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.【答案】 C10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013等于( )A.12B ．－1C ．2D ．3【解析】 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)∴a 2 013＝a 3＋3×670＝a 3＝2. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上)11．一个数列{a n }的前n 项为35，12，511，37，717，….则猜想它的一个通项公式为a n ＝________.【解析】数列可写成35，48，511，614，717，….猜想通项公式a n ＝n ＋23n ＋2.【答案】 n ＋23n ＋212．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有________个小正方形，第n 个图中有________个小正方形．图1【解析】根据规律和第6个图形中有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.第n 个图形中有1＋2＋…＋(n ＋1)＝n ＋n ＋2.【答案】 28 n ＋n ＋213．用反证法证明命题“若x 2－(a ＋b )x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时，应假设为________．【解析】就x 是否等于a ，b 而言有四种情形：①x ＝a ，x ≠b ；②x ≠a ，x ＝b ；③x ＝a ，x ＝b ；④x ≠a ，x ≠b .故应假设x ＝a 或x ＝b . 【答案】 x ＝a 或x ＝b14．已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论：________________.【解析】根据等差、等比数列中运算的性质知：在等比数列{b n }中会有10a 11·a 12·…·a 20＝30a 1·a 2·…·a 30.【答案】 10a 11·a 12·…·a 20＝30a 1·a 2·…·a 30三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)用反证法证明：如果x >12，那么x 2＋2x －1≠0.【证明】假设x 2＋2x －1＝0，则解得x 1＝2－1，x 2＝－2－1.又x 1<12，x 2<12，这与已知x >12矛盾．故假设不成立，x 2＋2x －1≠0成立．16．(本小题满分12分)试比较2n 与n 2(n ∈N *)的大小关系，并用数学归纳法证明．【证明】当n ＝1时，21>12，即2n >n 2，当n ＝2时，22＝22，即2n ＝n 2，当n ＝3时，23<32，即2n <n 2，当n ＝4时，24＝42，即2n ＝n 2，当n ＝5时，25>52，即2n >n 2，当n ＝6时，26>62，即2n >n 2， …猜测，当n ≥5时，2n >n 2.下面用数学归纳法证明猜测成立． ①当n ＝5时，由上可知猜测成立．②设n ＝k (k ≥5)时，命题成立，即2k >k 2. ∴2k ＋1＝2·2k >2k 2＝k 2＋k 2>k 2＋(2k ＋1)＝(k ＋1)2，即n ＝k ＋1时命题也成立．由①和②可得，n ≥5时，2n >n 2(n ∈N *)．17．(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图2为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．图2(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f ＋1f －1＋1f －1＋…＋1f n －1的值．【解】 (1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由以上规律，可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ，因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，所以f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)]＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f n －1＝12n n －＝12(1n －1－1n)，所以1f ＋1f －1＋1f －1＋…＋1f n －1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1－1n)＝1＋12(1－1n)＝32－12n.18．(本小题满分14分)已知a、b、c＞0，求证：a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．【证明】∵a、b、c＞0，∴a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，∴a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2，∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2，将三式相加得，2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2.∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．∴a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为(1,2)n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为(1,2,1)m =--的平面的方程为（） A ．220x y z +--= B ．220x y z ---= C ．220x y z ++-=D ．220x y z +++=2．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -3．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得（） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立D ．当9n =时该命题成立4．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确5．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 6．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为A ．528B ．1032C ．1040D ．20647．袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A ．一定有3号球B ．一定没有3号球C ．可能有5号球D ．可能有6号球8．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( ) A ．12B ．14C ．16D ．189．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12510．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（）19211⨯+=1293111⨯+= 123941111⨯+=12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -二、填空题13．已知数列{},{}n n a b 的通项公式分别为*31,2,nn n a n b n N =-=∈，将{}n a 与{}n b 中的各项混合，并按照从小到大的顺序排成一个新数列（相同元素以一个计）：2,4,5,8,11,，记新的数列为{}n c ，若2021n c =，则n =___________.14．我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=，333388=，44441515=，55552424=，…．按照以上规律，若11111111n n=具有“穿墙术”，则n =_______． 15．观察下列等式：请你归纳出一般性结论______.16．点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022d A B=+，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(0,1,3)到平面2330x y z +++=的距离为__________． 17．研究cos n α的公式，可以得到以下结论：2cos )22cos )32cos )42cos )22cos )52cos )32cos )62cos )42cos )22cos )72cos )52cos )32cos 2(2,2cos3(3(2cos ),2cos 4(4(2,2cos5(5(5(2cos ),2cos 6(6(9(2,2cos 7(7(14(7(2cos ααααααααααααααααααααα=-=-=-+=-+=-+-=-+-),以此类推：422cos8(2cos )(2cos )(2cos )16(2cos )m p n q r ααααα=++-+，则m n p q r ++++=__________．18．已知结论“1a ，*2R a ∈，且121a a +=，则12114a a +≥；若1a 、2a 、*3R a ∈，且1231a a a ++=，则1239111a a a ++≥”，请猜想若1a 、2a 、…、*R n a ∈，且121n a a a +++=，则12111na a a +++≥__________． 19．观察下列等式：（1）24sin sin 033ππ+= （2）2468sin sin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sinsin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．20．甲、乙、丙、丁四人分别去买体育彩票各一张，恰有一人中奖．他们的对话如下，甲说：“我没中奖”；乙说：“我也没中奖，丙中奖了”；丙说：“我和丁都没中奖”；丁说：“乙说的是事实”．已知四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，由此可判断中奖的是__________．三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 都满足()21n n n S a S -=．（1）求1S ，2S ，3S 的值，猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 的表达式的正确性． 22．已知函数2()1f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2425()n n S n n f a +=+．（1）求1234,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明．23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20S =，()*2n n S n na n N +=∈.（1）试写出数列{}n a 的任意前后两项（即n a 、1n a +）构成的等式；（2）用数学归纳法证明：()*23n a n n N =-∈.24．数列{}n a 满足2(n n S n a n =-∈N *）. （1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.25．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中11a =.（1）求证：135,,a a a 成等差数列；（2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n b 满足()121nb nn N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立. 26．给出下面的数表序列：其中表()1,2,3,...n n =有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表()3n n ≥（不要求证明）（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3），利用平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1），即可求得结论．【详解】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3）∵平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1）， ∴﹣（x ﹣1）﹣2×（y ﹣2）+1×（z ﹣3）＝0 ∴x +2y ﹣z ﹣2＝0，故选A ．【点睛】本题考查了类比推理，考查了空间向量数量积的坐标运算，由于平面向量与空间向量的运算性质相似，利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解问题，属于中档题．2．C解析：C 【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时， ()1?f k = + 1111123212221k k k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

2017-2018学年高中数学选修2-2教材用书：第二章推理与证明阶段质量检测 A卷学业水平达标含答案精品

(A 卷学业水平达标) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.n n －4＋8－n－n －4＝2B.n ＋1n ＋－4＋n ＋＋5n ＋－4＝2 C.n n －4＋n ＋4n ＋－4＝2D.n ＋1n ＋－4＋n ＋5n ＋－4＝2解析：选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8. 2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R)是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R)是周期函数． A ．①②③ B ．②①③ C ．②③① D ．③②①解析：选B 按“三段论”的模式，排列顺序正确的是②①③.3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：选C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．4．(山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：选A 因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( ) ①a·b ＝b·a ；②(a·b )·c ＝a·(b·c )；③a·(b ＋c )＝a ·b ＋a·c ；④由a·b ＝a·c (a≠0)，可得b ＝c .则正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：选B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b ＝a·c (a≠0)得a·(b －c)＝0，从而b －c ＝0或a⊥(b －c)，故④错误．6．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3k ＋1解析：选B 增乘的代数式为k ＋1＋k k ＋1＋k ＋k ＋1＝2(2k ＋1)．7．已知a ，b ∈R ，m ＝6a36a ＋1＋1，n ＝13b 2－b ＋56，则下列结论正确的是( )A ．m ≤nB ．m ≥nC ．m >nD ．m <n解析：选A m ＝6a36a ＋1＋1＝6a62a ＋2＋1＝1626a ＋6－a ≤1262＝112，n ＝13b 2－b ＋56＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋112≥112，所以n ≥m ，故选A. 8．用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2解析：选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.9．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析：选C 记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.10．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 017等于( )A.12 B.－1 C ．2 D ．3解析：选A ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)， ∴a 2 017＝a 1＋3×672＝a 1＝12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．设函数f (x )＝12x＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．解析：∵f (x )＝12x ＋2，f (1－x )＝121－x＋2＝2x2＋2·2x＝12·2x2＋2x.∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x2＋2x ＝22，发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值， ∴2S ＝22×12，∴S ＝3 2. 答案：3 2 12．已知 2＋23＝2 23， 3＋38＝338， 4＋415＝4 415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，请推测a ＝________，b ＝________. 解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋ab中：a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3513．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n≤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数．现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)，所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．观察下图：12 3 43 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …则第________行的各数之和等于2 0152.解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为S n ＝(2n －1)n ＋n －n －2＝(2n －1)n ＋(2n －1)·(n －1)＝(2n －1)2，令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 008三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤．)15．(本小题满分12分)观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？证明你的猜想．解：猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋1＋＋2α2＋12＝1＋＋2α－cos 2α2＋12sin(2α＋30°)－14＝34＋12＋12sin(2α＋30°) ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2α＋32sin 2α＋12sin(2α＋30°) ＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34，即sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，若1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a 与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角．解：(1) b a ＜ cb.证明如下：要证b a＜ c b ，只需证b a ＜c b. ∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac .∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c≥21ac，∴b 2≤ac .又∵a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac ，故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac＞0，这与cos B ＜0矛盾，故假设不成立，所以角B 不可能是钝角．法二：假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c＞1b＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立，所以角B 不可能是钝角．17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)：(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x .(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f x1－f x ，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解：(1)根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x ，即tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证． (2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．证明：因为f (x ＋2a )＝f ((x ＋a )＋a )＝1＋fx ＋a 1－fx ＋a ＝1＋1＋f x 1－f x 1－1＋f x1－f x ＝－1f x，所以f (x ＋4a )＝f ((x ＋2a )＋2a )＝－1fx ＋2a＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数．18．(本小题满分14分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n ＞0，所以a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 3＋1a3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12k －k －1＋1k －k －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.。

北师大数学选修22配套作业：第一章推理与证明学业质量标准检测含解析

第一章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表述正确的是(D)①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤[解析]由推理的特征知，归纳推理是由特殊到一般的推理，所以②不正确．类比推理是由特殊到特殊的推理．2．(2019·全国Ⅱ卷文，5)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(A)A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙[解析]由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误. 综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( B )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)[解析] 依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知，第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对．这样前n 组一共有n (n ＋1)2个整数对．注意到10×(10＋1)2<60<11×(11＋1)2.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置，为(5,7)．故选B.4．(2019·蚌埠期末)用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0(a ，b ∈R )，则a ，b 全为0”，其反设正确的是( B )A ．a ，b 至少有一个为0B ．a ，b 至少有一个不为0C ．a ，b 全部为0D ．a ，b 中只有一个为0[解析] 由于“a 、b 全为0(a 、b ∈R )”的否定为：“a 、b 至少有一个不为0”，故选B. 5．(2017·全国Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( D )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩[解析] 由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.6．如图，在所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性，应为( A )[解析] 每一行三个图形的变化规律：第一个图形逆时针旋转90°得到第二个图形，第二个图形上下翻折得到第三个图形，所以选A.7．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( C )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q[解析] p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln (ab )；q ＝f (a ＋b 2)＝ln a ＋b 2；r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln (ab )，因为a ＋b2＞ab ，由f (x )＝ln x 是个递增函数，f (a ＋b2)＞f (ab )，所以q ＞p ＝r ，故答案选C.8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号 12345678910立定跳远 (单位：米) 1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳 (单位：次)63 a 75 60 63 72 70 a －1 b 65赛的有6人，则( B )A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛[解析] 由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1～8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a,60,63，a －1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1号，5号学生必进入30秒跳绳决赛．故选B.9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( D ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.10．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则P ＝ac ＋bd ，Q ＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)的大小关系为( D ) A ．P ≥Q B ．P >Q C ．Q >PD ．Q ≥P [解析] Q 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2) ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2＝(ac ＋bd )2＋(ad －bc )2≥(ac ＋bd )2＝P 2，又∵Q ≥0，∴Q ≥P .11．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( C )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 12．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平面上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法，……则他从平地上到第n (n ≥3)级台阶时的走法f (n )等于( D )A ．f (n －1)＋1B ．f (n －2)＋2C ．f (n －2)＋1D ．f (n －1)＋f (n －2)[解析] 到第n 级台阶可分两类：从第n －2级一步到第n 级有f (n －2)种走法，从第n －1级到第n 级有f (n －1)种走法，共有f (n －1)＋f (n －2)种走法．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72.推测：当n ≥2时，有f (2n )＞n ＋22. [解析] 由前几项的规律可得答案．14．现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个正方形的某顶点在另一个正方形的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24，类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为a 38.[解析] 通过类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.15．已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2017(x )的表达式为x1＋2017x.[解析] f 1(x )＝f (x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝11＋2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1＋21＋x 1＋2x ＝x 1＋3x ，…，f 2017(x )＝x1＋2017x.应寻求规律，找出解析式． 16．一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1 101 101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于5.[解析] 根据题意，列出检验方程组， ⎩⎪⎨⎪⎧1⊕1⊕0⊕1＝1，1⊕0⊕0⊕1＝0，1⊕0⊕1⊕1＝1，显然第一个式子和第三个式子错误，第二个式子没有影响，所以错误的应该出现在第一个式子和第三个式子都有而第二个式子没有的码元，只有x 5，验证一下把x 5换成0，上式检验方程组都成立，所以x 5出错了，即k ＝5.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2019·泉州高二检测)已知a >0，b >0，求证：a b ＋ba≥a ＋b . [证明] 证法一：(综合法) ∵a >0，b >0， ∴a b ＋b ≥2a ，当且仅当a ＝b 时取等号，同理：ba＋a ≥2b ，当且仅当a ＝b 时取等号．∴a b ＋b ＋ba ＋a ≥2a ＋2b ，即a b ＋ba≥a ＋b . 证法二：(分析法) 要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证：a a ＋b b ≥a b ＋b a ，只需证：a a ＋b b －a b －b a ≥0，而a (a －b )－b (a －b )＝(a ＋b )(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a b ＋ba≥a ＋b . 证法三：(反证法) 假设当a >0，b >0时，a b ＋ba<a ＋b . 由a b ＋b a <a ＋b ，得a b ＋ba －a －b <0，即a a ＋b b －a b －b aa b＝a (a －b )－b (a －b )a b＝(a ＋b )(a －b )2a b<0，当a >0，b >0时，显然不成立，∴假设不成立．故a b ＋ba≥a ＋b . 18．(本小题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．19．(本小题满分12分)(2019·常州高二检测)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解析] (1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)推广后的三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 20．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根；(2)试比较1a 与c 的大小；(3)证明：－2<b <－1.[解析] (1)∵f (x )的图像与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的一个根．又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c .由1a >0，当0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0，与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a>c .(3)由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0， ∴b ＝－1－ac . 又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图像的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a <1a .又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.21．(本题满分12分)椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2为定值．那么对于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则有命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，猜想k OM ·k AB的值，并证明．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.k OM ＝y 0x 0＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，即k OM ·k AB ＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝y 21－y 22x 21－x 22. 将A 、B 坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1中可得：x 21a 2－y 21b 2＝1 ① x 22a 2－y 22b2＝1②①－②得：x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b 2，∴y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a2，即k OM ·k AB ＝b 2a 2.22．(本题满分12分)(2019·马鞍山高二检测)已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N * .猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论．[解析] 由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n ，得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321，由x 2>x 4>x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明： (1)当n ＝1时，已证命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝11＋x 2k ＋2－11＋x 2k(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3)＝x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0，即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2，也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．结合(1)和(2)知命题成立．。

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案

北师大版高中数学选修2-2测试题全套及答案模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝()A.－1B.1C.－2D.2【解析】z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.【答案】B2.已知复数z＝11＋i，则z·i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】∵z＝11＋i＝1－i2，∴z＝12＋12i，∴z·i＝－12＋1 2i.【答案】B3.观察：6＋15<211， 5.5＋15.5<211，4－2＋17＋2<211，……，对于任意的正实数a，b，使a＋b<211成立的一个条件可以是()A.a＋b＝22B.a＋b＝21C.ab＝20D.ab＝21【解析】由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.【答案】B4.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝()A.－eB.－1C.1D.e【解析】∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.【答案】B5.由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图像是一条直线；③一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()A.②①③B.③②①C.①②③D.③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图像是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图像是一条直线(结论).【答案】D6.已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图1所示，则( )图1A.函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B.函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C.函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D.函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查f ′(x )的零点左右值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这个点处不是极值.由此可见，x 2是函数f (x )的极大值点，x 3是极小值点，x 1，x 4不是极值点. 【答案】 A7.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.94e 2 B.2e 2C.e 2D.e 22【解析】 ∵f ′(x )＝e x ，∴曲线在点(2，e 2)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝e 2，切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即e 2x －y －e 2＝0，切线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为A (1，0)，B (0，－e 2)，则切线与坐标轴围成的△OAB 的面积为12×1×e 2＝e 22.【答案】 D8.已知数列1，a ＋a 2，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5＋a 6，…，则数列的第k 项是( ) A.a k ＋a k ＋1＋…＋a 2k B.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －1 C.a k －1＋a k ＋…＋a 2k D.a k －1＋a k ＋…＋a 2k －2【解析】由归纳推理可知，第k 项的第一个数为a k －1，且共有k 项.故选D. 【答案】 D9.函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1C.a <2D.a ≤13 【解析】由题意可知f ′(x )＝3ax 2－1≤0在R 上恒成立，则a ≤0. 【答案】 A10.设a ＝⎠⎛10x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( ) A .a>b>c B.b>a>c C .a>c>b D.b>c>a【解析】由题意可得a ＝⎠⎛01x －13dx ＝32x 23⎪⎪⎪10＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12dx ＝1－23x 32⎪⎪⎪10＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3dx ＝x 44⎪⎪⎪1＝14.综上，a >b >c . 【答案】 A11.在数学归纳法的递推性证明中，由假设n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立时，f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1增加的项数是( )A.1B.2k ＋1C.2k －1D.2k【解析】 ∵f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1，又f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.从f (k )到f (k ＋1)是增加了(2k ＋1－1)－2k ＋1＝2k 项.【答案】 D12.已知函数f (x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )，则对于任意实数a ，b (a ＋b ≠0)，则f （a ）＋f （b ）a ＋b的值为( )A.恒正B.恒等于0C.恒负D.不确定【解析】可知函数f (x )＋f (－x )＝x 3－ln (x 2＋1－x )＋(－x )3－ln (x 2＋1＋x )＝0，所以函数为奇函数，同时， f ′(x )＝3x 2＋1x 2＋1>0，f (x )是递增函数，f （a ）＋f （b ）a ＋b＝f （a ）－f （－b ）a －（－b ），所以f （a ）＋f （b ）a ＋b>0，所以选A .【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.复数3＋ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________. 【解析】 ∵3＋ii 2＝－3－i ，∴其实部为－3.【答案】－314.观察下列等式：13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第五个等式为________.【解析】第n 个等式左边为1到n ＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n ＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝21215.曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12围成的封闭图形的面积为__________.【解析】由于曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝12的交点的横坐标分别为x ＝π6及x ＝5π6，因此所求图形的面积为⎠⎜⎛π65π6⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －12dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x －12x ⎪⎪⎪⎪5π6π6＝3－π3.【答案】3－π316.已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.【解析】设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x . ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝e x －1＋x . ∵当x ＞0时，f ′(x )＝e x －1＋1， ∴f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为 y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.【答案】 2x －y ＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设复数z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i，若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值.【解】 z ＝（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝（3－i ）（2－i ）5＝5－5i5＝1－i .因为z 2＋az ＋b ＝(1－i )2＋a (1－i )＋b ＝－2i ＋a －ai ＋b ＝(a ＋b )－(2＋a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－（2＋a ）＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围. 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数；当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数.(2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.19.(本小题满分12分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即 S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3，S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由.【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2，2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列；当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1（2n －1－1）2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0， S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N ＋，{S n }成等比数列.综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.20.(本小题满分12分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0，所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0，1，2. 而m ＝0，2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时， f (x )＝x 4是偶函数，所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根. 为使g (x )仅在x ＝0处有极值，必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2，2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2，2].21.(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1，因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N ＋).证明：①当n ＝1时， a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时， a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ，即a k ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立. 则①②知，n ∈N ＋，a n ＝n －n －1.22.(本小题满分12分)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b ex －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bx e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x ).所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e . 综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.章末综合测评(一) 推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下面四个推理不是合情推理的是()A.由圆的性质类比推出球的有关性质B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C.某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理.【答案】C2.用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线.则正确的序号顺序为()A.①②③B.③①②C.①③②D.②③①【解析】结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.【答案】B3.下列推理是归纳推理的是()A.A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C.由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.【答案】B4.用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是()A.假设a，b，c都小于0B.假设a，b，c都大于0C.假设a，b，c中都不大于0D.假设a，b，c中至多有一个大于0【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立.而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，故选C.【答案】C5.用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为()A.(5k－2k)＋4·5k－2kB.5(5k－2k)＋3·2kC.(5－2)(5k－2k)D.2(5k－2k)－3·5k【解析】5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.【答案】B6.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n＋2＋1n＋4＋…＋12n时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立.()A.k＋1B.k＋2C.2k＋2D.2(k＋2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.【答案】B7.已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1·b2·b3·b4·b5·b6·b7·b8·b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A.a1a2a3…a9＝29B.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝29C.a1a2a3…a9＝2×9D.a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9【解析】根据等差、等比数列的特征知，a1＋a2＋…＋a9＝2×9.【答案】D8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样多，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机.③和④对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上，选B.【答案】 B9.在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19且n ∈N ＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 11＝1，则有( )A.b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 19－nB.b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 21－nC.b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 19－nD.b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 21－n 【解析】令n ＝10时，验证即知选B. 【答案】 B10.将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5，9，14，20，…为“梯形数”.根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝( )图1 A.2 018×2 014 B.2 018×2 013 C .1 010×2 012 D.1 011×2 013【解析】 a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个.∴a n －5＝（n －1）（n ＋6）2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011. 【答案】 D11.在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A.1 006B.1 007C.1 008D.1 009【解析】依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.【答案】 C12.记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104|a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )A.710＋9102＋8103＋4104B.510＋5102＋7103＋2104C.510＋5102＋7103＋3104D.710＋9102＋9103＋1104【解析】因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104 ＝1104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________.【解析】圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.【答案】经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14.观察下列等式： 13＝1， 13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100， ……照此规律，第n 个等式可为__________.【解析】依题意，注意到13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×1×（1＋1）2，13＋23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2×（2＋1）2＝9，13＋23＋33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3×（3＋1）2＝36，……，照此规律，第n 个等式可为13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n （n ＋1）2. 【答案】 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n （n ＋1）2 15.当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________.【解析】根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N＋时，左边第二个因式可知为a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n，那么对应的表达式为(a －b)·(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋1.【答案】(a－b)(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋116.如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋n（n－3）2＝n（n＋1）2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋n（n－3）2·(n－2)＝n（n－1）（n－2）2.【答案】n（n＋1）212n（n－1）（n－2）2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b>0，则lg a＋b2≥lg a＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】(1)当a，b>0时，有a＋b2≥ab，∴lg a＋b2≥lg ab，∴lg a＋b2≥12lg ab＝lg a＋lg b2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立.18.(本小题满分12分)观察以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝3 4，sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.【解】猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋ 32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α ＝34.19.(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.【解】 (1)证明：因为PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM ∩PN ＝P ，所以BB 1⊥平面PMN ，所以BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，所以CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2S BCC 1B 1S ACC 1A 1cos α. 其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角. 证明如下：因为CC 1⊥平面PMN ，所以上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，因为PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN · MN cos ∠MNP ，所以PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ，由于S BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，所以S 2 ABB 1A 1＝S 2 BCC 1B 1＋S 2 ACC 1A 1－2S BCC 1B 1·S ACC 1A 1·cos α.20.(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点.已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.求证：图4(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⊆/平面DEF ，DE 平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC . 因为AC ∩EF ＝E ，AC 平面ABC ，EF 平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC . 又DE 平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .21.(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝（n －1）a n n －a n(n ≥2).(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1，求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋.下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1，2，3，4时，结论成立， ②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝（k －1）a kk －a k＝（k －1）×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1（3k ＋1）（k －1）＝13k ＋1＝13（k ＋1）－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立.(2)证明：b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1＝13n ＋1＋3n －2＝13(3n ＋1－3n －2)，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)] ＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n ＋1⇔0<23n (显然成立)，所以对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.22.(本小题满分12分)记U ＝{1，2，…，100}，对数列{a n }(n ∈N ＋)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝at 1＋at 2＋…＋at k .例如：T ＝{1，3，66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N ＋)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2，4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1，2，…，k }，求证：S T <a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D .【解】 (1)由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N ＋.于是当T ＝{2，4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N ＋.(2)证明：因为T ⊆{1，2，…，k }，a n ＝3n －1>0，n ∈N ＋，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k .因此，S T <a k ＋1.(3)证明：下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集. 令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ，则E ≠∅，F ≠∅，E ∩F ＝∅.于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D 得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l . 由(2)知，S E <a k ＋1.于是3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k ，所以l －1<k ，即l ≤k . 又k ≠l ，故l ≤k －1.从而S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1，即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1. 综合①②③得，S C ＋S C ∩D ≥2S D .章末综合测评(二) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某质点沿直线运动的位移方程为f (x )＝－2x 2＋1，那么该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( )A.－4B.－5C.－6D.－7【解析】Δy Δx ＝f （2）－f （1）2－1＝（－2×22＋1）－（－2×12＋1）1＝－6.【答案】 C2.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( )A.1B.12C.－12 D.－1【解析】 y ′＝2ax ，于是切线斜率k ＝f ′(1)＝2a ，由题意知2a ＝2，∴a ＝1. 【答案】 A3.下列各式正确的是( ) A.(sin α)′＝cos α(α为常数) B.(cos x )′＝sin xC.(sin x)′＝cos xD.(x－5)′＝－15x－6【解析】由导数公式知选项A中(sin α)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x －5)′＝－5x－6.【答案】C4.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a等于()【解析】令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－1x＋1.由导数的几何意义可得在点(0，0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2.∴a＝3.【答案】D5.已知二次函数f(x)的图像如图1所示，则其导函数f′(x)的图像大致形状是()图1A B C D【解析】由图像知f(x)＝ax2＋c(a<0)，∴f′(x)＝2ax(a<0)，故选B.【答案】B6.已知函数y＝x－1，则它的导函数是()A.y′＝12x－1 B.y′＝x－12（x－1）C.y′＝2x－1x－1 D.y′＝－x－12（x－1）【解析】u＝x－1，y′＝(u)′·u′＝12u＝12x－1＝x－12（x－1）.【答案】B7.若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A.4x－y－3＝0B.x＋4y－5＝0C.4x－y＋3＝0D.x＋4y＋3＝0【解析】切线l的斜率k＝4，设y＝x4的切点的坐标为(x0，y0)，则k＝4x30＝4，∴x0＝1，∴切点为(1，1)，即y－1＝4(x－1)，∴4x－y－3＝0.【答案】A8.设函数f (x )＝x m＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和是( )A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 【解析】 ∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴1f （n ）＝1n 2＋n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）(n ∈N ＋)的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.故选A.【答案】 A9.如图2，下列图像中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图像，则f (－1)等于( )图2A.－13B.13C.73D.－13或73【解析】 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)＝[x ＋(a －1)][x ＋(a ＋1)].显然(2)(4)不符合，若(1)是f ′(x )的图像，则有a ＝0，与已知矛盾，故(3)是f ′(x )的图像，∴a ＝－1.∴f (－1)＝－13－1＋1＝－13.【答案】 A10.过点(－1，0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A.2x ＋y ＋2＝0 B.3x －y ＋3＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)，则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0，1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0. 【答案】 D11.点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2)B.22(1＋ln 2) C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋ln 2D.12(1＋ln 2)【解析】 y ′＝2x －1x ＝－1⇒x ＝12⇒y ＝14＋ln 2，所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2，切点到直线的距离就是两平行线间的距离，由点到直线的距离公式求得d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋ln 2＋142＋42＝22(1＋ln 2)，故选B.【答案】 B12.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】因为y ＝4e x＋1，所以y ′＝－4e x（e x ＋1）2＝－4e xe 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1e x≥2，所以y ′∈[－1，0)，所以tan α∈[－1，0).又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.设函数y ＝f (x )是一次函数，若f (1)＝－1，且f ′(2)＝－4，则f (x )＝________. 【解析】 ∵y ＝f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b ， ∴f ′(x )＝a ，则f (1)＝a ＋b ＝－1，又f ′(2)＝a ＝－4.即a ＝－4，b ＝3，∴f (x )＝－4x ＋3. 【答案】－4x ＋314.若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________.【解析】 ∵y ′＝2x －1， ∴当x ＝－2时，y ′＝－5. 又P (－2，6＋c )， ∴6＋c －2＝－5，∴c ＝4. 【答案】 415.设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′（a ）＋bf ′（b ）＋cf ′（c ）＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝(x －b )(x －c )＋(x －a )·(x －c )＋(x －a )·(x －b )， ∴f ′(a )＝(a －b )(a －c )，同理f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )，代入原式中得值为0. 【答案】 016.设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝____. 【解析】 f ′(x )＝－sin (3x ＋φ)·(3x ＋φ)′＝－3sin (3x ＋φ)，∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋φ＋π3，当f (x )＋f ′(x )为奇函数时，φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π6.【答案】 π6三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)求下列函数的导数. (1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝tan x x ；(3)y ＝x 2－2x ＋5x 3.【解】 (1)y ′＝(3x 2)′＋(x cos x )′ ＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′ ＝6x ＋cos x －x sin x .(2)法一：y ′＝（tan x ）′·x －tan xx 2＝xcos 2x －tan x x 2＝x －cos 2x ·tan x x 2cos 2x ＝x －sin x cos x x 2cos 2x .法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x cos x ′＝（sin x ）′x cos x －sin x （x cos x ）′x 2cos 2x＝x cos 2x －sin x （cos x －x sin x ）x 2cos 2x＝x －sin x cos x x 2cos 2x .(3)∵y ＝1x －2x 2＋5x 3＝x －1－2x －2＋5x －3，∴y ′＝－x －2－2×(－2)x －3＋5×(－3)x －4＝－1x 2＋4x 3－15x 4.18.(本小题满分12分)已知曲线y ＝f (x )＝x 3－8x ＋2. (1)求曲线在点(0，2)处的切线方程；(2)过原点作曲线的切线l ：y ＝kx ，求切线l 的方程.【解】 (1)∵f (x )＝x 3－8x ＋2，∴f ′(x )＝3x 2－8，则f ′(0)＝－8，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y －2＝－8(x －0)，即8x ＋y －2＝0.(2)设切点为P (a ，a 3－8a ＋2)，切线斜率k ＝3a 2－8，则切线方程y －(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(x －a )，又因为切线过原点，所以0－(a 3－8a ＋2)＝(3a 2－8)(0－a )，即2a 3－2＝0，所以a ＝1，即切线l 斜率为k ＝－5，切线l 方程为y ＝－5x ，即5x ＋y ＝0.19.(本小题满分12分)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限.(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程.【解】 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知得3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又因为点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4).(2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14，因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.20.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)求过点(2，f (2))且与切线y ＝(e －1)x ＋4垂直的直线方程l .【解】 (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知k l ＝11－e ，且f (2)＝2e ＋2， ∴y －(2e ＋2)＝11－e(x －2).即所求直线l 的方程为y ＝11－e x ＋21－e ＋2e ＋2.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2. (1)若a ＝1，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)对于任意x ≥2使得f ′(x )≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2，则f ′(x )＝1x ＋2x ，故在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝3，又f (1)＝1，即切点为(1，1)，故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)当x ≥2时，f ′(x )≥x ，即ax ＋2x ≥x (x ≥2)恒成立，即a ≥－x 2在x ∈[2，＋∞)上恒成立. 令t ＝－x 2，当x ∈[2，＋∞)时，易知t max ＝－4，为使不等式a ≥－x 2恒成立，则a ≥－4，故实数a 的取值范围为[－4，＋∞).22.(本小题满分12分)已知两曲线f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝ax 2＋bx ＋c 都经过点P (1，2)，且在点P 有公切线.(1)求a ，b ，c 的值；(2)设k (x )＝f （x ）g （x ），求k ′(－2)的值.【解】 (1)依题意，⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝2，a ＋b ＋c ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋c ＝1.故f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋bx ＋1－b ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，g ′(x )＝2x ＋b ，由于两曲线在点P (1，2)处有公切线，故f ′(1)＝g ′(1)，即4＝2＋b ，所以b ＝2. 故c ＝1－b ＝－1.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝x 2＋2x －1，故k (x )＝f （x ）g （x ）＝x 3＋x x 2＋2x －1，故k ′(x )＝（x 3＋x ）′（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（x 2＋2x －1）′（x 2＋2x －1）2＝（3x 2＋1）（x 2＋2x －1）－（x 3＋x ）（2x ＋2）（x 2＋2x －1）2＝x 4＋4x 3－4x 2－1（x 2＋2x －1）2. 故k ′(－2)＝16－32－16－1（4－4－1）2＝－33.章末综合测评(三) 导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.物体运动的方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为( ) A.5 B.25 C.125 D.625【解析】 ∵v ＝s ′＝t 3，∴t ＝5时的瞬时速度为53＝125. 【答案】 C2.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，＋∞)【解析】 f ′(x )＝(x －2)e x ，由f ′(x )>0，得x >2，所以函数f (x )的单调递增区间是(2，＋∞). 【答案】 D3.函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是( ) A.a ≥0 B.a >0 C.a ≤0 D.a <0 【解析】 f ′(x )＝3ax 2＋1，当a ＝0时，f ′(x )＝1>0，f (x )单调增加，无极值；当a ≠0时，只需Δ＝－12a >0，即a <0即可. 【答案】 D4.函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图1所示，那么f (x )的图像最有可能的是( )图1A B C D【解析】数形结合可得在(－∞，－2)，(－1，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )是减函数；在(－2，－1)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数，从而得出结论.【答案】 B5.若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( )A.a >0B.－1<a <0C.a >1D.0<a <1【解析】依题意得y ′＝a (3x 2－1)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞，∴a >0.【答案】 A6.若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )>0，则( ) A.3f (1)<f (3) B.3f (1)>f (3) C.3f (1)＝f (3) D.f (1)＝f (3) 【解析】由于f (x )>xf ′(x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝f ′（x ）x －f （x ）x 2<0恒成立，因此f （x ）x 在R 上是单调递减函数，∴f （3）3<f （1）1，即3f (1)>f (3)，故选B.【答案】 B7.若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )A.－5B.7C.10D.－19【解析】 ∵f (x )′＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x ＋1)(x －3)，所以函数在[－2，－1]内单调递减，所以最大值为f (－2)＝2＋a ＝2， ∴a ＝0，最小值为f (－1)＝a －5＝－5. 【答案】 A8.函数y ＝12x －2sin x 的图像大致是( )【解析】因为y ′＝12－2cos x ，所以令y ′＝12－2cos x >0，得cos x <14，此时原函数是增函数；令y ′＝12－2cos x <0，得cos x >14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C 正确.【答案】 C9.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A.[－1，＋∞)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1]D.(－∞，－1)【解析】 f ′(x )＝－x ＋bx ＋2，由题意知f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2＋2x 在(－1，＋∞)上恒成立，即b ≤(x ＋1)2－1，则b ≤－1，故选C.【答案】 C10.已知y ＝f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)＝1，f ′(x )>1，则f (x )>x 的解集是( ) A.(0，1) B.(－1，0)∪(0，1) C.(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】不等式f (x )>x 可化为f (x )－x >0，设g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f (x )′－1，由题意g ′(x )＝f ′(x )－1>0，∴函数g (x )在R 上单调递增，又g (1)＝f (1)－1＝0， ∴原不等式⇔g (x )>0⇔g (x )>g (1)，∴x >1，故选C. 【答案】 C11.当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[－5，－3]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C.[－6，－2]D.[－4，－3] 【解析】当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R . 当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0，∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min . 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0.当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值. 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2. 【答案】 C12.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥0 B.a <－4 C.a ≥0或a ≤－4 D.a >0或a <－4【解析】 f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，x ∈(0，1)， ∵f (x )在(0，1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0，1)上恒成立，∴2x ＋2＋a x ≥0或2x ＋2＋ax ≤0在(0，1)上恒成立，即a ≥－2x 2－2x 或a ≤－2x 2－2x 在(0，1)上恒成立.设g (x )＝－2x 2－2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋12，则g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )max ＝g (0)＝0，g (x )min ＝g (1)＝－4.∴a ≥g (x )max ＝0或a ≤g (x )min ＝－4.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上) 13.已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________. 【解析】因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ，所以f ′(0)＝3e 0＝3. 【答案】 314.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________.【解析】 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ′(x )＝e x cos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12e π2.【答案】 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，12e π2 15.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝1时有极值10，则a ＋b ＝________. 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝2a ＋b ＋3＝0，f (1)＝a 2＋a ＋b ＋1＝10，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，a 2＋a ＋b ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，当a ＝－3时，x ＝1不是极值点，a ，b 的值分别为4，－11，∴a ＋b ＝－7.【答案】－716.周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.【解析】设矩形的长为x ，则宽为10－x (0<x <10)，由题意可知所求圆柱的体积V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3，∴V ′(x )＝20πx －3πx 2.由V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，x ＝203，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )取得最大值为4 00027π cm 3.【答案】 4 00027π三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.【解】 ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8>0，解得a >2或a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性.【解】 (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3) ＝3(x ＋1)(x －3).令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)和x ∈(3，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－1，3)时，f (x )是减函数.。

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套模块综合检测含解析精品

阶段质量检测(六) 模块综合检测 [考试时间：90分钟试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝(1＋i)(－2＋3i)(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－5＋i D ．－5－i2．用反证法证明命题：“若直线AB ，CD 是异面直线，则直线AC ，BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A ，B ，C ，D 四点共面，所以AB ，CD 共面，这与AB ，CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC ，BD 也是异面直线； ③假设直线AC ，BD 是共面直线．则正确的序号顺序为( )A ．①→②→③B ．③→①→②C ．①→③→②D ．②→③→①3．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出一般结论为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n2n ＋14．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A.π2B ．0C ．－1D ．15．(新课标全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题：p 1：|z |＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 46．已知函数y ＝x ln x ，则这个函数的图像在点x ＝1处的切线方程是( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝2x ＋2C ．y ＝x －1D ．y ＝x ＋17．(湖北高考)若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛1－1f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．38．已知函数f(x)(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1<0，则不等式f (x 2)<x 2＋1的解为( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2)9．如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋1与直线y ＝1形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A ．1 B.43C. 3D ．210．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．下图中实心点的个数5,9,14,20，…被称为梯形数．根据图形的构成，记第2 014个梯形数为a 2 014，则a 2 014＝( )A ．2 015×2 013B ．2 015×2 014C ．2 015×1 008D ．2 015×1 009答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．在周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是____________________________________________________________________.12．已知1＋2ia ＋b i＝1＋i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则ab ＝________.13．若函数f (x )的导函数f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (1＋x )的单调减区间是________． 14．将正偶数按下表排成5列：那么三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.16．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，n ∈N ＋，猜想这个数列的通项公式，试证明这个猜想．17．(本小题满分12分)设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)设g (x )＝f ′(x )e －x ，求函数g (x )的极值．18．(本小题满分14分)(安徽高考)设实数c >0，整数p >1，n ∈N *. (1)证明：当x >－1且x ≠0时，(1＋x )p >1＋px ； (2)数列{a n }满足a 1>c 1p，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－pn. 证明：a n >a n ＋1>c 1p.答案1．选D z ＝(1＋i)(－2＋3i)＝(－2－3)＋(－2＋3)i ＝－5＋i ，∴z ＝－5－i. 2．选B 反证法的步骤是：反设—归谬—结论．结合本题，故选B. 3．选C4．选B ∵f (x )＝x sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝x cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π2cos π2＝0.故选B. 5．选C ∵复数z ＝2－1＋i ＝－1－i ，∴|z |＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题． 6．选C 当x ＝1时，y ＝0；y ′＝ln x ＋1，k ＝1，所以切线方程为y ＝x －1.7．选C 对于①，⎠⎛1－1sin 12x cos 12x d x ＝⎠⎛1－112sin x d x ＝0，所以①是一组正交函数；对于②，⎠⎛1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛1－1(x 2－1)d x ≠0，所以②不是一组正交函数；对于③，⎠⎛1－1x·x 2d x ＝⎠⎛1－1x 3d x ＝0，所以③是一组正交函数．选C .8．选C 令g(x)＝f(x)－x ，则g ′(x)＝f ′(x)－1<0，∴g(x)在R 上单调递减，∵f (x 2)<x 2＋1，∴f (x 2)－x 2<1，即g (x 2)<1. 又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2)<g (2)，∴x 2>2，即x >2或x <－ 2.9．选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，y ＝－x 2＋2x ＋1，知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. 故所求面积S ＝∫20(－x 2＋2x ＋1)d x －∫201 d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋x ⎪⎪⎪ 20－x ⎪⎪⎪20＝43. 10．选D 5＝2＋3＝a 1,9＝2＋3＋4＝a 2,14＝2＋3＋4＋5＝a 3，…，a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝(n ＋1)(2＋n ＋2)2＝12(n ＋1)(n ＋4)，由此可得a 2 014＝2＋3＋4＋…＋2 016＝12×2 015×2018＝2 015×1 009.故选D.11．在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大12．解析：∵1＋2ia ＋b i＝1＋i ，∴1＋2i ＝(a ＋b i)(1＋i)＝(a －b )＋(a ＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，∴⎩⎨⎧a ＝32b ＝12，∴ab ＝34.答案：3413．解析：由f ′(x )＝x 2－4x ＋3<0得1<x <3，即函数f (x )的单调减区间为(1,3)，又∵函数f (1＋x )的图像是由f (x )的图像向左平移1个单位得到， ∴函数f (1＋x )的单调减区间为(0,2)．答案：(0,2)14．解析：从2数起，2到16一组，一组两行，一行4个，也就是8个连贯偶数一组，所以从2数起，到2 014共有1 007(2 014除以2等于1 007)个偶数．然后1 007除以4等于251余3.也就说明2 014为第252行从右往左数第3个数，就是一组里第2行的最左边第二个，即2 014在第252行第2列．答案：252 215．解：(1)依题意知函数f (x )的定义域为{x |x >0}，∵f ′(x )＝x ＋1x ，故f ′(x )>0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．(2)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )>g (1)＝16>0，∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.16．解：在数列{a n }中，∵a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，……，∴猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 证明如下：∵a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n ＝1a 1＋n －12＝n ＋12，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1. 17．解：(1)因f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，故f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，由已知f ′(1)＝2a ，因此3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3.又令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b ，由已知f ′(2)＝－b ，因此12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.因此f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，从而f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2×⎝⎛⎭⎫－32＝－3，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝⎛⎭⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.(2)由(1)知g (x )＝(3x 2－3x －3)e －x ，从而有g ′(x )＝(－3x 2＋9x )e －x .令g ′(x )＝0，得－3x 2＋9x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )＜0，故g (x )在(－∞，0)上为减函数；当x ∈(0,3)时，g ′(x ) ＞0，故g (x )在(0,3)上为增函数；当x ∈(3，＋∞)时，g ′(x )＜0，故g (x )在(3，＋∞)上为减函数；从而函数g (x )在x 1＝0处取得极小值，g (0)＝－3，在x 2＝3处取得极大值g (3)＝15e －3.18．证明：(1)用数学归纳法证明：①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )·(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .所以p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p. ①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立．由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p ＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1p >1＋p ·1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p.所以n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p均成立．再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n <1，即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，并且f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p⎝⎛⎭⎫1－c x p >0，x >c 1p . 由此可得，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫c 1p ，＋∞上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .①当n ＝1时，由a 1>c 1p>0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而a 1>a 2>c 1p.故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式a k>a k＋1>c 1p成立，则当n＝k＋1时，f(a k)>f(a k＋1)>f(c 1p)，即有ak＋1>a k＋2>c1p.所以n＝k＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式a n>a n＋1>c 1p均成立.。

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2练习：学业分层

学业分层测评(十四) (建议用时：45分钟)一、选择题1.函数f (x )＝x 3－3x (x <1)( ) A.有最大值，无最小值 B.有最大值、最小值 C.无最大值、最小值 D.无最大值，有最小值【解析】 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1(舍). 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1，1)时，f ′(x )<0. 从而函数f (x )有最大值，无最小值，故选A. 【答案】 A2.一物体沿直线运动的方程为s (t )＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为0的时刻为(s 单位：m ，t 单位：s)( )A.1 sB.0 sC.4 sD.0 s ，1 s ，4 s【解析】 s ′(t )＝t 3－5t 2＋4t ，根据导数的意义可知v ＝s ′(t )，令t 3－5t 2＋4t ＝0，解得t ＝0或t ＝1或t ＝4.【答案】 D3.函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A.0≤a <1 B.0<a <1 C.－1<a <1D.0<a <12【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，则f ′(x )＝0有解，可得a ＝x 2. 又∵x ∈(0，1)，∴0<a <1.故选B. 【答案】 B4.已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.m ≥32B.m >32C.m ≤32D.m <32【解析】令f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0，得x ＝0或x ＝3. 经检验，知x ＝3是函数的最小值点，所以函数f (x )的最小值为f (3)＝3m －272.因为不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32，故选A.【答案】 A5.做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( ) A.6 m B.8 m C.4 mD.2 m【解析】设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0，得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m).【答案】 C 二、填空题6.当x ∈时，函数f (x )＝x 2ex 的值域是__________.【导学号：94210065】【解析】 ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2e x ′＝2x ·e x －x 2·e x （e x ）2＝2x －x 2e x ，x ∈. 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去). ∵f (－1)＝e ，f (0)＝0，f (1)＝1e ，∴函数f (x )＝x 2e x ，x ∈的值域为.【答案】7.若函数f (x )＝xx 2＋a(a >0)在1.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q 与零售价p 有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A.30元B.60元C.28 000元D.23 000元【解析】设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去). 此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.【答案】 D2.已知函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x ＋a ，若存在x 0∈，使f (x 0)＝2a 成立，则实数a 的取值范围是( )【导学号：94210066】A.2≤a ≤52B.－232≤a ≤52C.2≤a ≤16D.－232≤a ≤16【解析】 ∵f (x 0)＝2a ，即x 30－92x 20＋6x 0＋a ＝2a ，可化为x 30－92x 20＋6x 0＝a ，设g (x )＝x 3－92x 2＋6x ，则g ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －1)(x －2)＝0，得x ＝1或x ＝2.∴g (1)＝52，g (2)＝2，g (－1)＝－232，g (4)＝16.由题意，g (x )min ≤a ≤g (x )max ，∴－232≤a ≤16.【答案】 D3.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h 时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为__________km/h.【解析】设轮船的速度为x km/h 时，燃料费用为Q 元，则Q ＝kx 3(k ≠0).因为6＝k ×103，所以k ＝3500，所以Q ＝3500x 3.所以行驶每千米的费用总和为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3500x 3＋96·1x ＝3500x 2＋96x (x >0).所以y ′＝3250x －96x2.令y ′＝0，解得x ＝20. 因为当x ∈(0，20)时，y ′<0，此时函数单调递减；当x ∈(20，＋∞)时，y ′>0，此时函数单调递增，所以当x ＝20时，y 取得最小值，即此轮船以20 km/h 的速度行驶时，每千米的费用总和最小. 【答案】 204.设函数f (x )＝αcos 2x ＋(α－1)·(cos x ＋1)，其中α>0，记|f (x )|的最大值为A .(1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明：|f ′(x )|≤2A .【解】 (1)f ′(x )＝－2αsin 2x －(α－1)sin x .(2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos 2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0).故A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)cos x －1.设t ＝cos x ，则t ∈令g (t )＝2at 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得最小值，最小值为g ⎝⎛⎭⎪⎫1－α4α＝－（α－1）28α－1 ＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α>15.①当0<α≤15时，g (t )在(－1，1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|＜|g (1)|，所以A ＝2－3α.②当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)＞g (1)>g ⎝⎛⎭⎪⎫1－α4α.又⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α－|g (－1)|＝（1－α）（1＋7α）8α＞0，所以A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α＝α2＋6α＋18α. 综上，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3α，0＜α≤15，α2＋6α＋18α，15＜α＜1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin 2x －(α－1)·sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α＜2(2－3α)＝2A .当15<α＜1时，A ＝α8＋18α＋34>1，所以|f ′(x )|≤1＋α＜2A .当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A . 所以|f ′(x )|≤2A .。

高中数学阶段质量检测(一)推理与证明北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题

阶段质量检测（一）推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把a (b ＋c )与ax ＋y类比，则有ax ＋y＝a x ＋a yD ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有(xy )z ＝x (yz ) 解析：选D (xy )z ＝x (yz )是乘法的结合律，正确．2．用反证法证明命题“若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈Z)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是奇数B ．假设a ，b ，c 都不是奇数C ．假设a ，b ，c 至多有一个奇数D ．假设a ，b ，c 至多有两个奇数解析：选B 命题“a ，b ，c 中至少有一个是奇数”的否定是“a ，b ，c 都不是奇数”，故选B.3．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．上述证明过程应用了( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项解析：选D 当n ＝k 时，不等式左边的最后一项为12k －1，而当n ＝k ＋1时，最后一项为12k ＋1－1＝12k －1＋2k ，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( )A ．各正三角形内的任一点B ．各正三角形的中心C ．各正三角形边上的任一点D ．各正三角形的某中线的中点解析：选B 正三角形类比正四面体，正三角形的三边类比正四面体的四个面，三边的中点类比正三角形的中心．6．已知函数f (x )＝5x，则f (2 019)的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D ．8 125解析：选D 因为f (5)＝55＝3 125的末四位数字为3 125，f (6)＝56＝15 625的末四位数字为5 625，f (7)＝57＝78 125的末四位数字为8 125，f (8)＝58＝390 625的末四位数字为0 625，f (9)＝59＝1 953 125的末四位数字为3 125，故周期T ＝4.又由于2 019＝504×4＋3，因此f (2 019)的末四位数字与f (7)的末四位数字相同，即f (2 019)的末四位数字是8 125.7．用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋)”时，第一步应验证( )A ．1＋12≤12＋1B ．1≤12＋1C ．1＋12＋13＋14≤12＋2D ．1＜12＋1解析：选A 当n ＝1时不等式左边为1＋12，右边为12＋1，即需要验证：1＋12≤12＋1.8．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙解析：选A (1)若甲预测正确，则乙、丙预测错误，即①甲的成绩比乙高；②丙的成绩不是最高的；③丙的成绩比乙低．由①②③可得甲、乙、丙成绩由高到低的顺序为甲、乙、丙，A 正确．(2)若乙预测正确，则甲、丙预测错误，即①乙的成绩比甲高；②丙的成绩最高；③丙的成绩比乙低．由上可知②③相矛盾，故此情况不成立．(3)若丙预测正确，则甲、乙预测错误，即①乙的成绩比甲高；②丙的成绩不是最高的；③丙的成绩比乙高．由①③得成绩由高到低的顺序为丙、乙、甲，与②相矛盾，此情况不成立．故选A. 9．对于函数f (x )，g (x )和区间D ，如果存在x 0∈D ，使|f (x 0)－g (x 0)|≤1，则称x 0是函数f (x )与g (x )在区间D 上的“友好点”．现给出下列四对函数：①f (x )＝x 2，g (x )＝2x －3； ②f (x )＝x ，g (x )＝x ＋2； ③f (x )＝e －x，g (x )＝－1x；④f (x )＝ln x ，g (x )＝x －12.其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④解析：选C 对于①，|f (x )－g (x )|＝|x 2－(2x －3)|＝|(x －1)2＋2|≥2，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上不存在“友好点”，故①错，应排除A 、D ；对于②，|f (x )－g (x )|＝|x －(x ＋2)|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋74≥74，所以函数f (x )与g (x )在区间(0，＋∞)上也不存在“友好点”，故②错，排除B ；同理，可知③④均正确．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2n n ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85.由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1.11．已知f (x )＝x 3＋x ，若a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( )A ．一定大于0B ．一定等于0C ．一定小于0D ．正负都有可能解析：选 A ∵f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )在R 上是增函数．又a ＋b >0，∴a >－b ，∴f (a )>f (－b )．又f (x )＝x 3＋x 是奇函数，∴f (a )>－f (b )，即f (a )＋f (b )>0.同理，f (b )＋f (c )>0，f (c )＋f (a )>0，∴f (a )＋f (b )＋f (c )>0，故选A.12．下面的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的．第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第4个数(从左往右数)为( ) A.1360 B.1504 C.1840 D.11 260解析：选C 依题意，结合所给的数阵，归纳规律可知第8行的第一个数、第二个数分别等于18，17－18，第9行的第一个数、第二个数、第三个数分别等于19，18－19，⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18－⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19，第10行的第一个数、第二个数、第三个数、第四个数分别等于110，19－110，⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19－⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110，⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18－⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19－⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110＝1840. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)13．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.解析：∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋12n ＋1.答案：12n ＋12n ＋114．已知点A (x 1，3x 1)，B (x 2，3x 2)是函数y ＝3x的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论3x 1＋3x 22>3x 1＋x 22成立．运用类比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <0的图像上任意不同两点，则类似地有____________________成立．解析：因为y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <0图像是上凸的，因此线段AB 的中点的纵坐标tan x 1＋tan x 22总是小于函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <0图像上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，tan x 1＋x 22的纵坐标，即有tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 22成立．答案：tan x 1＋tan x 22<tan x 1＋x 2215．观察下列等式： (1＋1)＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5. ……照此规律，第n 个等式为________．解析：从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n 个等式可为(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)．答案：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1) 16.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38.答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2. 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ，∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lga ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b2. (2)要证 6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以原不等式成立．18.(本小题满分12分)如图所示，设SA ，SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点，求证：AC 与平面SOB 不垂直．证明：假设AC ⊥平面SOB ，因为直线SO 在平面SOB 内，所以SO ⊥AC ，因为SO ⊥底面圆O ，所以SO ⊥AB . 因为AB ∩AC ＝A ，所以SO ⊥平面SAB .所以平面SAB ∥底面圆O ，这显然与平面SAB 与底面圆O 相交矛盾，所以假设不成立，即AC 与平面SOB 不垂直．19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.证明：假设(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 都大于14.因为0<a <1,0<b <1,0<c <1，所以1－a >0.由基本不等式，得 (1－a )＋b2≥(1－a )b >14＝12.同理，(1－b )＋c 2>12，(1－c )＋a 2>12. 将这三个不等式两边分别相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2>12＋12＋12，即32>32，这是不成立的，故(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能都大于14.20．(本小题满分12分)用数学归纳法证明11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝n2n ＋1(n∈N ＋)．证明：①当n ＝1时，左边＝11×3＝13，右边＝12×1＋1＝13，左边＝右边．所以当n ＝1时等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即 11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)×(2k ＋1)＝k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，左边＝11×3＋13×5＋…＋1(2k －1)×(2k ＋1)＋1(2k ＋1)×(2k ＋3)＝k 2k ＋1＋1(2k ＋1)×(2k ＋3)＝k (2k ＋3)＋1(2k ＋1)×(2k ＋3)＝(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋1)×(2k ＋3)＝k ＋12(k ＋1)＋1＝右边．所以当n ＝k ＋1时等式也成立．根据①和②可知，等式对任何n ∈N ＋都成立．21．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．22．(本小题满分12分)是否存在二次函数f (x )，使得对于任意n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n2n＝f (n )成立，若存在，求出f (x )；若不存在，说明理由．解：假设存在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n2n＝f (n )成立．当n ＝1时，a ＋b ＋c ＝1，① 当n ＝2时，4a ＋2b ＋c ＝12＋222，②当n ＝3时，9a ＋3b ＋c ＝12＋22＋323，③联立①②③式得a ＝13，b ＝12，c ＝16，则由以上可假设存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n2n＝f (n )成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，121＝1，f (1)＝13＋12＋16＝1，所以121＝f (1)成立；(2)假设当n ＝k 时，12＋22＋32＋…＋k2k＝f (k )成立，那么，当n ＝k ＋1时， 12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2k ＋1＝12＋22＋32＋…＋k2k ·kk ＋1＋(k ＋1)＝f (k )·k k ＋1＋(k ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12k ＋16·k k ＋1＋(k ＋1)＝(k ＋1)(2k ＋1)6·kk ＋1＋(k ＋1)＝k (2k ＋1)6＋(k ＋1)＝k 23＋76k ＋1 ＝13(k ＋1)2＋12(k ＋1)＋16 ＝f (k ＋1)，故当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2k ＋1＝f (k ＋1)也成立．由(1)(2)知，对于∀n ∈N ＋，12＋22＋32＋…＋n2n＝f (n )都成立．即存在二次函数f (x )＝13x 2＋12x ＋16，使得对于∀n ∈N ＋，都有12＋22＋32＋…＋n2n ＝f (n )成立．。

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阶段质量检测(一) 推理与证明
[考试时间：90分钟试卷总分：120分]
第Ⅰ卷 (选择题)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列3,5,9,17,33，…的通项a n ＝( ) A ．2n
B ．2n
＋1 C ．2n －1
D ．2
n ＋1
2．用反证法证明命题“若关于x 的方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈Z )有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是奇数”时，下列假设正确的是( )
A ．假设a ，b ，c 都是奇数
B ．假设a ，b ，c 都不是奇数
C ．假设a ，b ，c 至多有一个奇数
D ．假设a ，b ，c 至多有两个奇数
3．因为奇函数的图像关于原点对称(大前提)，而函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x x ＋1 ， x >0，0， x ＝0，
x x －1 ， x <0
是奇函数(小前提)，所以f (x )的图像关于原点对称(结论)．上面的推理有错误，其错误的原因是
( )
A ．大前提错导致结论错
B ．小前提错导致结论错
C ．推理形式错导致结论错
D ．大前提和小前提都错导致结论错
4．某同学在电脑上打出如下若干个“★”和“ ”：★ ★ ★ ★ ★ ★……依此规律继续打下去，那么在前2 014个图形中的“★”的个数是
( )
A ．60
B ．61
C ．62
D.63
5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是( )
A ．各正三角形内的任一点
B ．各正三角形的中心
C ．各正三角形边上的任一点
D ．各正三角形的某中线的中点
6．已知函数f (x )＝5x
，则f (2 014)的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625 D ．8 125
7．用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n ≤1
2
＋n (n ∈N ＋)”时，第一步应验证
( )
A ．1＋12≤1
2＋1
B ．1≤12＋1
C ．1＋12＋13＋14≤1
2
＋2
D ．1＜12
＋1
8．用数学归纳法证明等式：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n
·1·3·…·(2n －1)，从k 到
k ＋1，左边需要增乘的代数式为( )
A ．2k ＋1
B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1 D.2k ＋3
k ＋1
9．对于函数f (x )，g (x )和区间D ，如果存在x 0∈D ，使|f (x 0)－g (x 0)|≤1，则称x 0是函数f (x )与g (x )在区间D 上的“友好点”．现给出下列四对函数：
①f (x )＝x 2
，g (x )＝2x －3； ②f (x )＝x ，g (x )＝x ＋2； ③f (x )＝e －x
，g (x )＝－1x ； ④f (x )＝ln x ，g (x )＝x －12.
其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④ 10．已知f (x )＝x 3
＋x ，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值一定( ) A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零 D ．正负都有可能
答题栏
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1
2n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.
12．已知点A (x 1，3x 1)，B (x 2，3x 2)是函数y ＝3x
的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图像的上方，因此有结论3x 1＋3x 22>3x 1＋x 2
2
成立．运用类
比思想方法可知，若点A (x 1，tan x 1)，B (x 2，tan x 2)是函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2<x <0的图像上
任意不同两点，则类似地有____________________成立．
13．观察下列等式：13
＋23
＝32,13
＋23
＋33
＝62,13
＋23
＋33
＋43
＝102
，….根据上述规律，第五个等式为________________________．
14．(福建高考)已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③
c ≠0 有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n
1＋a n (n ＝1,2，…)．
(1)求证：a n ＋1≠a n ；
(2)令a 1＝1
2，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n .
16.(本小题满分12分)已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明B 为锐角．
17．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ∈(0,1)．。

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