【全国市级联考】河北省唐山市2017届高三上学期第一次调研统考文数(解析版)

河北省唐山市2017届高三上学期第一次调研统考文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量)1,2(),,1(-==t ，若∥，则=t （ ） A.2- B.21- C.2 D.21 【答案】D考点：两个向量平行．2.已知集合{}{}5,4,3,2,12,1⊆⊆A ，则满足条件的集合A 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8 【答案】B 【解析】 试题分析：因为{}{}1,2,31,2A =，所以A 中有1,2没有3，故可能性有{}{}{}{}1,21,2,41,2,51,2,4,5共四种.考点：子集，交集．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.3.在等比数列{}n a 中，13524621,42a a a a a a ++=++=，则=9S （ ）A.255B.256C.511D.512 【答案】C【解析】 试题分析：依题意2461352a a a q a a a ++==++，2413511121a a a a a q a q ++=++=，解得11a =，故991251112S -==-.考点：等比数列基本性质．4.设函数R x x f y ∈=),(，“)(x f y =是偶函数”是“)(x f y =的图像关于原点对称”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：函数的奇偶性，充要条件．5.要得到函数R x x x f ∈=,2sin )(，只需将函数R x x x g ∈=,2cos )(的图像（ ） A ．向右平移4π个单位 B ．向右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向左平移2π个单位 【答案】A 【解析】试题分析：()sin 2f x x =，()cos 2sin 2sin 224g x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以只需向右平移4π个单位.考点：三角函数图象变换．6.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+≥+-,01,02,03y x y x y x 则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A.3B.0C.3-D.5- 【答案】C 【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点()2,1-处取得最小值为3-.考点：线性规划．7.已知21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且 9021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积为（ ）A ．1B ．25C ．2D ．5 【答案】A考点：双曲线焦点三角形．8.执行如图所示的程序框图，若输入2,1==b a ，则输出的=x （ ）A ．25.1B ．375.1C ．4375.1D ．40625.1【答案】C考点：算法与程序框图． 9.设0x 是方程x x =)31(的解，则0x 所在的范围是（ ）A ．)31,0( B ．)1,32( C ．)32,21( D ．)21,31( 【答案】D 【解析】试题分析：令()13xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11321110333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11221110232f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以零点在区间)21,31(.考点：函数的图象与性质，二分法．10.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．3B ．38 C ． 6226++ D ．226+【答案】B 【解析】试题分析：该几何体是上面一个三棱锥，下面一个三棱柱，故体积为11182212212323⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=. 考点：三视图．11.在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，⊥PA 底面ABCD ，H F E AB PA ,,,4==分 别是棱PD BC PB ,,的中点，过H F E ,,的平面分别交直线CD PA ,于N M ,两点，则=+CN PM （ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】CNHF EBDAP JM考点：立体几何，空间点线面位置关系．【思路点晴】本题主要考查立体几何点线面的位置关系，考查多点共面的证明方法，考查空间想象能力，考查动手能力.先画出题目给定的四棱锥，标出中点,,E F H ，并将三点连接起来，然后在几何体中平移,,EF EH HF 到四棱锥的表面.利用中位线将EF 平移到HN ，由此可得//EH FN .现将//HF JB ，然后将//JB EM ，经过以上步骤，就将平面扩展到几何体的表面了，进而得出截面.12.设函数a ax x x x f -+--=53)(23，若存在唯一的正整数0x ，使得0)(0<x f ，则a 的取值范 围是（ ）A ．)31,0(B ．]45,31(C ．]23,31(D ．]23,45( 【答案】B 【解析】试题分析：当32a =时，3237()322f x x x x =--+，()()20,30f f <<，不符合题意，故排除C ，D.当54a =时，32515()344f x x x x =--+，()()()()10,20,30,40f f f f ><=>，故54a =符合题意，选B.考点：函数导数，函数图象与性质．【思路点晴】本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存 在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.选择题可以采用代入法的策略，选项中的特殊值代入，验证来得出结果.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知复数z 满足i z i 4)1(=-，则=z _______.【答案】考点：复数运算． 14.若21tan =θ，则=θ2cos _______. 【答案】35【解析】试题分析：222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===++. 考点：三角恒等变换．15.已知抛物线y x 42=与圆)0()2()1(:222>=-+-r r y x C 有公共点P ，若抛物线在P 点处的 切线与圆C 也相切，则=r ______. 【答案】2 【解析】试题分析：设切点为2,4a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，导数为'2x y =，故切线的斜率为2a ，连接圆心和切点，两条直线垂直，斜率相乘等于1-，即224112a a a -⋅=--，解得2a =，半径r ==.考点：抛物线与圆．【思路点晴】本题考查圆和抛物线的位置关系，考查圆锥曲线的切线.由题意可知，两条曲线相交于切点，对于抛物线来说，先设出切点，就可以利用导数求得切线的斜率和切线方程，对于圆来说，圆心和切点的连线是和切线垂直的，转化为数学的式子就是两直线斜率乘积等于1-，解方程就可以求出切点坐标，然后利用两点间的距离公式求出半径.16.如图，在平面四边形ABCD 中， 150,60,33,5,8=∠=∠===D A CDAD AB ，则=BC ____.【答案】7ABCD考点：解三角形．【思路点晴】本题主要考查解三角形、数形结合的数学思想方法.利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图，结合示意图构造三角形，然后转化为解三角形的问题进行求解．本题由于涉及角度都是特殊角，所以可以建立平面直角坐标系来求，也就是在A 点建立坐标系，然后求出想关点的坐标，最后利用两点间的距离公式来求.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，240,1101510==S S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令211-+=++n nn n n a a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）n a n2=；（2）1n nT n =+. 试题解析：（1）设公差为d ，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=⨯+.2402141515,11029101011d a d a 解得21==d a ，所以n a n 2=. （2）1112112222222+-=-+++=-+++=n n n n n n n n n n b n ， 111141313121211+=+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n nn n T n . 考点：数列的基本概念，裂项求和法． 18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，PB BC ⊥，PC 与平面ABCD 所成角的正切值为22，BCD ∆为等边三角形，AD AB PA ==,22，E 为PC 的中点. （1）求AB ；（2）求点E 到平面PBD 的距离.【答案】（1）2；（2）2=h .【解析】试题分析：（1）连接AC ，因为⊥PA 底面ABCD ，所以PCA ∠即为直线PC 与平面ABCD 所成的角.所以22,22tan ===∠PA AC PA PCA ，得4=AC .因为⊥PA 底面ABCD 所以BC PA ⊥.因为PB BC ⊥所以⊥BC 平面PAB ，所以BC AB ⊥，因为 30=∠ACB ，4=AC ，所以230sin == AC AB ；（2）由（1）可知，32=====CD BC BD PD PB ，所以BCD PBD S S ∆∆=.由BCD P PBD C V V --=得PA S h S BCD PBD ⋅=⋅∆∆31231，解得2=h .（2）由（1）可知，32=====CD BC BD PD PB ，∴BCD PBD S S ∆∆=. 设点E 到平面PBD 的距离为h ，∵E 为PC 中点，∴点C 到平面PBD 的距离为h 2. 由BCD P PBD C V V --=得PA S h S BCD PBD ⋅=⋅∆∆31231，解得2=h . 考点：立体几何求线段长度、求体积． 19.（本小题满分12分）某班一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为]150,130[),130,110[),110,90[),90,70[，已知成绩大于等于90分的人数为36人，现采用分层抽样的方式抽取一个容量为10的样本.（1）求每个分组所抽取的学生人数；（2）从数学成绩在)150,110[的样本中任取2人，求恰有1人成绩在)130,110[的概率.【答案】（1）2,3,4,1；（2）35.试题解析：（1）由频率分布直方图可知，数学成绩在]150,130[),130,110[),110,90[),90,70[内的频率分别为2.0,3.0,4.0,1.0. ∴成绩在]150,130[),130,110[),110,90[),90,70[内的人数之比为2:3:4:1，∴采用分层抽样的方式抽取一个容量为10的样本，成绩在]150,130[),130,110[),110,90[),90,70[内所抽取的人数分别为2,3,4,1.（2）由（1）可知，从]150,130[),130,110[两组抽取人数分别为3人和2人，记从)130,110[中抽取的3人分别为321,,A A A ，从]150,130[中抽取的2人分别为21,B B ，从这5个人中任取2人，有{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}21231322123221113121,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B B B A B A B A B A A A B A B A A A A A ， 共计10种等可能的结果，其中恰有1人成绩在)130,110[包含{}{}{}{}{}{}231322122111,,,,,,,,,,,B A B A B A B A B A B A ，共计6种等可能的结果，∴抽取的2人中恰有1人成绩在)130,110[的概率53106==P . 考点：频率分布直方图，古典概型． 20.（本小题满分12分）如图，过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 上一点P 向x 轴作垂线，垂足为左焦点F ，B A ,分别为E 的右顶点，上顶点，且OP AB ∥，12+=AF .（1）求椭圆E 的方程；（2）D C ,为E 上的两点，若四边形ACBD D B C A ,,,(逆时针排列)的对角线CD 所在直线的斜率为1， 求四边形ACBD 面积S 的最大值.【答案】（1）1222=+y x ；（2）2.试题解析：（1）由题意可得),(2a b c P -，所以abk ac b k AB OP -=-=,2.由OP AB ∥得abac b -=-2，解得c a c b 2,==，由12+=+=c a AF ，得2,1===a c b ，椭圆E 的方程为1222=+y x .考点：直线与圆锥曲线位置关系．【方法点晴】直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 21.（本小题满分12分） 已知函数xx x f 1ln )(+=. （1）求)(x f 的最小值；（2）若方程a x f =)(有两个根)(,2121x x x x <，证明：221>+x x . 【答案】（1）1；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求得定义域为0x >，求导得22111()(0)x f x x x x x-'=-=>，所以)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，故)(x f 的最小值为1)1(=f ；（2）若方程a x f =)(有两个根)0(,2121x x x x <<，则22111ln 1ln x x x x +=+，即0ln 122112>=-x xx x x x .要证221>+x x ，需证122112ln 2x x x x x x >-，令)1(12>=t t x x，构造函数t t t t g ln 21)(--=，()0g t '>，所以)(t g 在),1(+∞上单调递增，0)1()(=>g t g ，即t tt ln 21>-，故221>+x x . 试题解析： （1）)0(,111)(22>-=-='x xx x x x f ， 所以)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，故)(x f 的最小值为1)1(=f .考点：函数导数与不等式．【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，求极值和最值，构造函数证明不等式.第一问是一个常见的求导后求单调区间、极值和最值的题目，求解过程注意定义域必须先求出来.第二问是极点偏移问题.先用分析法分析，然后构造函数()g t 后，利用导数求得函数()g x 是一个增函数，然后根据单调性就可以证明原不等式成立.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆与ABD ∆都是以AB 为斜边的直角三角形，O 为线段AB 上一点，BD 平分ABC ∠，且BC OD ∥.（1）证明：D C B A ,,,四点共圆，且O 为圆心；（2）AC 与BD 相交于点F ，若62==CF BC ，求D C ,之间的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）试题解析：（1）因为ABC ∆与ABD ∆都是以AB 为斜边的直角三角形， 所以D C B A ,,,四点都在以AB 为直径的圆上.因为BD 平分ABC ∠，且BC OD ∥，所以OD OB ODB CBD OBD =∠=∠=∠,. 又90,90=∠+∠=∠+∠ODB ODA OBD OAD ，所以OD OA ODA OAD =∠=∠,. 所以OB OA =，O 是AB 的中点，O 为圆心. （2）由62==CF BC ，得53=BF ， 由BCF RT ADF RT ∆∆~得2==CFBCDF AD . 设x DF AD 22==，则x AF 5=，由BD 平分ABC ∠得2==CFBCDA BD ，所以2253=+xx，解得5=x ，即52=AD ， 连接CD ，由（1），52==AD CD . 考点：几何证明选讲．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程是2=ρ.矩形ABCD 内接于 曲线1C ，B A ,两点的极坐标分别为)6,2(π和)65,2(π.将曲线1C 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为 原来的一半，得到曲线2C .（1）写出D C ,的直角坐标及曲线2C 的参数方程；（2）设M 为2C 上任意一点，求2222MD MC MB MA +++的取值范围. 【答案】（1）)1,3(),1,3(---D C ,曲线2C 的参数方程为θθθ(sin ,cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数)；（2）]32,20[.试题解析：（1）由)1,3(),1,3(-B A 得)1,3(),1,3(---D C ， 曲线2C 的参数方程为θθθ(sin ,cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数).（2）设)sin ,cos 2(θθM ，则2222MDMC MB MA +++22222222(2cos (sin 1)(2cos (sin 1)(2cos (sin 1)(2cos (sin 1)θθθθθθθθ=+-++-+++++++20cos 1216sin 4cos 16222+=++=θθθ，则所求的取值范围是]32,20[. 考点：坐标系与参数方程．24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数11)(-++=mx x x f .（1）若1=m ，求)(x f 的最小值，并指出此时x 的取值范围； （2）若x x f 2)(≥，求m 的取值范围.【答案】（1）)(x f 的最小值为2，此时x 的取值范围是]1,1[-；（2）),1[]1,(+∞--∞.试题解析：（1）2)1()1(11)(=--+≥-++=x x x x x f ， 当且仅当0)1)(1(≤-+x x 时取等号，故)(x f 的最小值为2，此时x 的取值范围是]1,1[-. （2）0≤x 时，x x f 2)(≥显然成立，所以此时R m ∈；0>x 时，由x mx x x f 211)(≥-++=，得11-≥-x mx .由1-=mx y 及1-=x y 的图象可得1≥m 且11≤m， 解得1≥m 或1-≤m .综上所述，m 的取值范围是),1[]1,(+∞--∞ . 考点：不等式选讲．：。