高考复习难点：抛体运动的规律研究

抛体运动的规律研究-----抛体中的2π现象 一．从抛物线的几何性质看抛体运动的射程问题1、 在水平地面某处，以相同的速率0v 用不同的抛射角抛射小球，求当抛射角为何值时，它的射程最大，最大射程是多少？不考虑空气阻力。

2、 大炮在山脚下对着倾角为α的山坡发射炮弹，炮弹初速度大小为0v ，要在山坡上达到尽可能远的射程，则大炮的瞄准角为多少？最远的射程为多少？不考虑空气阻力。

3、 在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h ，若出手时的速度大小为0v ，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程是多少？不考虑空气阻力。

二．解答与分析1、 第一个问题当抛射角为045时射程最大，最大射程是2v g2、 第二个问题分别将0,v g 按沿斜面方向和垂直斜面方向正交分解得，当0v 方向沿斜面和竖直线夹角的角平分线时，即抛射角为42πα-时，射程最大，最大射程为2021sin cos v g αα- 3、 第三个问题做铅球的速度矢量如图1其中0v 为初速度，t v ，,θ夹角，g 为重力加速度，t 为运动时间，x 为水平射程。

由上式可知，当2παθ+=时，x θ为三．三个问题归纳为一个问题1、 抛物线上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离相等，即在图2中，线段AM AN =2、 由抛物线的焦点发出的光，经其表面反射后，反射光线平行于其主轴，在图2中，法线AQ 平分角MAB ，且AM 、AB 与切线AP 所成的角也相等。

在问题3中，建立如图3所示的坐标系，则抛体运动的参数方程为020cos 1sin x v t y v t αα==图1消去t 得到物体运动的轨迹方程2220tan 2cos gy x x v αα=-+ 以上为一簇经过O 的抛物线，其焦点坐标为2200(sin 2,cos 2)22v v g g αα-，准线方程为202v y g=。

可以看出，虽然抛射角α不同时，不同抛物线的焦点坐标不同，但所有的抛物线有着相同的准线，对于上述所有抛射角度的抛物线而言，抛出点和落地点到准线的距离分别为一定值。

在图4中，由于两条抛物线共享一条准线，则OC 1=OP ，A 1C 1=A 1M 1，OC 2=OP ，A 2C 2=A 2M 2，且OC 1+A 1C 1=OC 2+A 2C 2=2v h g+，其中O 为抛出点，A 1，A 2分别为为两条抛物线对应的落地点，C 1，C 2分别为两条抛物线对应的焦点。

O 和落地点A 2做抛物线的切线，所示。

设OQ 与OC 2夹角为θ，由抛物线的性质得，θ，从而OC 2与竖直线夹角为2θ，同理，A 2C 22222OC A C OA +>，即202vh OA g+>，易知6所示），即当/2θγπ+=时（OQ 与 取到最大值20v h g +α题2与问题3在本质上也为同一类问题。

从图6结合性质2还可以很容易看出，为何在向上坡抛物体时，当0v 方向（即A 3Q 方向）沿斜面和竖直线夹角的角平分线时，射程最大。

例1 沿斜面上升方向抛物体如图1所示，用初速度0→v 在倾角为θ的斜面上某一处沿斜面上升方向抛物体，抛射角为α（抛射方向与斜面间的夹角），物体沿两方向的运动方3）、（4）联立解出:)5( 202v g利用式（4）、（5）可以联立解出射程 最佳抛射角 最大射程这种抛射，抛体所受合力即为重力，方向竖直 向下. 如果我们将抛射点和落地点所在的平面叫做抛射面，在图1中，要让抛射面与抛体所受合力方向垂直，需将抛射面顺时针转θ角，这个角正好就是式（6）中的θ角. 亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上逆时针转θ角时，最佳抛射角在450的基础上减小2θ角.例2 沿斜面下降方向抛物体如图2所示，若用初速度0→v 在倾角为θ的斜面上某一处沿斜面下降方向抛物体，抛射角为α（抛射方向与斜面间的夹角），物体沿两方向的运动方 程为式（8）直线OA A 10）、（11）联立解出: 所以经计算，物体沿斜边的射程为 最佳抛射角为 最.在图2中，要让抛射面与抛体所受合力方向垂直，需将抛射面逆时针转θ角，这个角正好就是式（12）中的θ角. 亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上顺时针转θ角时，最佳抛射角在450的基础上增加2θ角.例3 在水平面上“顺场抛射”物体如图3所示，在竖直平面内存在水平向右的匀强电场，有一带正电小球自坐标原点0以抛射角α抛出，不计空气阻力.小球抛出后，受重力和电场力两个力的作用，运动规律为 a 为小球沿水平方向向右的加速度.将式（14）两边乘以g ，式（15）两边乘以a ，再相加，求出t : 将式（14）两边乘以αsin ，式（15）两边乘以αcos ，再相减，求出2t : 结合式（16）、（17）两式得 整理该式得220()2(cos sin )(sin cos )gx ay v g a x y αααα+=+- （18）式（18）就是复合场内带电小球作“顺场抛射”时的运动轨道方程.在式（18）中，若令y =0得 进一步整理，其中θsin 1120+⋅=g v s )7(=x y )10()12(x =-x显然，当0902=-θα时x 最大，即“顺场抛射”的最大射程“顺场抛射”的最佳抛射角 其中 这种抛射，抛体所受的力为重力与电场力的合力，方向朝右下方，与竖直方向的夹角为 )/arctan(11arccos22g a ga =+=θ，要让抛射面与合力方向垂直，需将抛射面逆时针转θ角，这个角正好就是式（20）中的θ角.亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上顺时针转θ角时，最佳抛射角在450的基础上增加2θ角.例4 在水平面上“逆场抛射”物体若在竖直平面内存在水平向左的匀强电场，将带正电的小球自坐标原点0以抛射角α抛出，不计空气阻力，小球抛出后，受重力和电场力两个力的作用，运动规律为，用同样的方法可以求得式（24）就是复合场内带电小球作“逆场抛射”时的运动轨道方程.在式（24）中，若令y =0得进一步整理，其中显然，当0902=+θα时x 最大，即“逆场抛射”的最大射程 “逆场抛射”的最佳抛射角其中这种抛射，抛体所受的力为重力与电场力的合力，方向朝左下方，与竖直方向的夹角为 )/arctan(11arccos22g a ga =+=θ，要让抛射面与合力方向垂直，需将抛射面顺时针转θ角，这个角正好就是式（26）中的θ角.亦即，当抛射面在垂直于质点所受合力方向上逆时针转θ角时，最佳抛射角在450的基础上减小2θ角.小结：1．当抛体所受合力方向发生变化时，最佳抛射角也跟着变化.物体仅受重力作用在水平面上抛射时，重力方向与抛射面垂直，最佳抛射角为450.相对于抛射面而言，当物体所受合力方向沿着抛体前进一方与竖直方向偏离θ角时，最佳抛射角在450的基础上增加2θ角；当物体所受合力方向沿着抛体前进的反方向与竖直方向偏离θ角时，最佳抛射角在450的基础上减小2θ角。

2．以上问题可转化为一簇有着相同约束的抛物线上求解两点之间距离的最大值问题，其本质上为同一个问题，即当初、末速度互相垂直时，抛点、落点、焦点三点共线，此时的射程最大，最大射程为抛点和落点到准线的距离之和。

)1(2220max g a g a g v x ++=)19(2211arccos ga +=θ)21(2211arccosga +=θ)27(2211cos ga +=θ第二节：抛体运动的规律研究-----抛体中的12与13现象一．抛体运动中的几个12现象 1、 平抛的抛物线在某一点位移方向和末速度方向分别与初速度方向的夹角的正切值为12。

2、 若在某一段时间内水平竖直两个分位移相等，则水平初速度与竖直速度之比为12。

3、 若在某一时刻水平速度与竖直速度大小相等，则竖直分位移与水平分位移之比为12。

4、 在地面上任意一点沿任意方向抛出一点物体，若物体到达某一平面的时间为1t ，则当物体距离这个平面最远的时间为2t ，则2112t t = 5、 物体由某一点平抛一个物体，某一时刻速度方向与位移方向夹角正弦值的最大值为13二．相关证明过程（性质1、2、3略去）1．性质4的证明过程如下如下图所示，以某一初速度0v 在斜面上A 点以与斜面成α的方向斜抛一个物体，最终物体落在倾角为θ的斜面上B 点，设物体运动的总时间为t ，则有运动的合成与分解知识可得21010012sin(90)sin sin(90)gt v t AB θαθα==-+- 联立以上式子可求得012sin cos v t g αθ=02sin cos 0v g t αθ-⋅=，求得02sin cos v t g αθ=过程也具有可逆性） 2．性质5的证明过程如下： 方法一：（不等式法）设某一时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则速与位移的夹角为βθα=-，根据性质1可知tan 2tan θα=，则有，所以1sin 3β≤ AB 图7方法二：（数形结合法）如下图8所示，设小球从O 点平抛在某一段时间内物体由O 点运动到A 点，由中点弦性质可知，速度方向反向延长线过OB 的点，OO 2=O 2O 1，以OO 1为直径再做一个辅助圆，当CA 与圆O 2相切时，β有最大值1sinβ≤。

（物理通报2019年第12期P 28）例1 ，在障碍物左边地面度的大小与方向。

v ，则由机械能守恒定律可知v =由抛物线的知识可知，0，抛物线过障碍物则有220120202h g v =-联立以上式子得v ==由不等式的性质可知当0/v s =时，v 有最小值/s此时抛射解恰好为060，抛射点到障碍物左边的距离为1)m ，012v v =。

例2 包络面中的12现象 在水平地面以某一初速率沿不同方向抛一个物体，求所形成的包络面的形状。

解析：设2010/,10/g m s v m s ==，当抛角不同时的运动轨迹如下图所示通过分析可以看出来，这些弹道的包络面是一个抛物线，最高点是202v h g=，水平射程20v x g =，其中最高点与最远距离之比为12，则有抛物线方程22020122v x y g g v =-，在这条抛物线的右边都是打不到的区域！ 方法1(包络线定律法)图 例1图设2220(,,)tan()02cos (,,)gx F x y x y v F x y θθθθθ=--=∂=∂由第二方程可得20tan v gx θ=，代入原方程消去θ得22020122v x y g g v =-前面形象地给出了包络的概念，下面我们给出包络的一个数学定义.对于曲线系M ：(,,)0(F x y t t =为参数），如果存在一曲线S ，使S 与曲线系M 中的每一曲线相切于点P （切于一点或几点），且{}(,)|S x y P =全部切点，我们称曲线S 为曲线系M 的包络.记关于t 的函数(,,)F x y t 的导数为(,,)t F x y t '.由包络定义，包络存在时，曲线系M ：(,,)0(F x y t t =为参数）的包络曲线S 上的每一点(,)x y 都属于曲线系，满足(,,)0F x y t =；在点(,)x y 中的x 的y 可表示成(),()x t y t φϕ==，由此对t 的全微分和包络与曲线(,,)0F x y t =相切时的切线方程相同，可得(,,)0t F x y t '=.因此，包络上的每一点满足：(,,)0,(1)(,,)0.(2)t F x y t F x y t =⎧⎪⎨'=⎪⎩如果包络存在，则消去（1）（2）中的参数t 就可求到包络所满足的方程(,)0G x y =. 值得注意的是，方程(,)0G x y =可能就是包络的方程，也可能不是.当(,)0G x y =可分解为两个或更多的曲线方程时，甚至一部分是包络的方程而另一部分不是包络的方程，因为(),()x t y t φϕ==是否有实数解决定了(,)0G x y =中,x y 的取值范围，因此求得方程(,)0G x y =后应进行适当的验证.方法二(判别式法)可以将原方程整理为2222200tan 2tan (2)0gx v x v y gx θθ-++=这是一个关于tan θ的一元二次方程， tan θ有唯一解则0=，化简得22020122v x y g g v =-思考题：1．图中是一个半径为2R 的四分之一轨道与半径为R 的半圆形轨道相切，大致情景是一个小球从四分之一圆轨道的起点由静止释放，不计摩擦，不计空气阻力。