高中数学排列组合问题的几种基本方法.
探析排列组合常见的十六种解题方法
探析排列组合常见的十六种解题方法ʏ福建省泉州市第七中学 彭耿铃高考排列组合试题能有效地考查同学们的阅读判断能力㊁转化与化归处理能力及应用意识㊂这类试题新颖别致,联系社会实际,贴近生活,反映了排列组合应用领域的广阔,体现了数学的应用价值㊂本文特精选一些排列组合例题予以分类探析,旨在探究题型及解题方法,希望同学们能决胜于高考㊂求解排列㊁组合问题的常见方法有以下几种㊂(1)限制条件排除法:先求出不考虑限制条件的个数,然后排除不符合条件的个数,相当于减法原理;(2)相邻问题捆绑法:在特定条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整个问题排好之后再考虑它们 内部 的排列数,主要用于解决相邻问题;(3)插空法:先把不受限制的元素排列好,然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中;(4)特殊元素㊁位置优先安排法:对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列,然后排列其他一般元素或位置;(5)多元问题分类法:将符合条件的排列分为几类,根据分类计数原理求出排列总数;(6)元素相同隔板法:若把n 个不加区分的相同元素分成m 组,可通过n 个相同元素排成一排,在元素之间插入m -1块隔板来完成分组,此法适用于同元素分组问题;(7) 至多 ㊁ 至少 间接法: 至多 ㊁ 至少 的排列组合问题,需分类讨论且一般分类的情况较多,所以通常用间接法,即排除法,它适用于反面明确且易于计算的问题;(8)选排问题先取再排法:选排问题很容易出现重复或遗漏的错误,因此常先取出元素(组合)再排列,即先取再排;(9)定序问题消序法:甲㊁乙㊁丙顺序一定,采用消序法,即除法,用总排列数除以顺序一定的排列数;(10)有序分配逐分法:有序分配是指把元素按要求分成若干组,常采用逐分的方法求解㊂一㊁定位问题优先法(特殊元素和特殊位置优先考虑)例1 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数?解析:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置㊂先排末位共有C 13种方法;然后排首位共有C 14种方法;最后排其他位置共有A 34种方法㊂由分步计数原理得,有C 14C 13A 34=288(个)满足要求的数㊂例2 6个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )㊂A.192种 B .216种C .240种D .288种解析:若最左端排甲,其他位置共有A 55=120(种)排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有A 44=24(种)排法㊂所以共有120+4ˑ24=216(种)排法,选B ㊂小结:位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其他元素㊂若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置㊂若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件㊂二㊁相邻元素捆绑法例3 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法?解析:可先将甲乙两个元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其他元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排㊂由分步计数原理可得,共有A55A22A22=480(种)不同的排法㊂例4某人射击了8枪,命中4枪,4枪命中且恰好有3枪连在一起的情形共有种㊂解析:命中的3枪捆绑在一起,与命中的另一枪插入到未命中4枪形成的5个空位,共有A25=20(种)情况㊂小结:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决㊂即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起进行排列,同时要注意合并元素内部也必须排列㊂三㊁不相邻问题插空法例5某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()㊂A.72B.120C.144D.168解析:歌舞类节目设为a1,a2,a3,小品类节目设为b1,b2,相声类节目设为c㊂先排a1,a2,a3不相邻,顺序如ˑb1ˑb2ˑcˑ,共A33A34种方法,b1b2相邻前提下,ˑb1b2ˑcˑ插空法共A22A33A22种方法,所以同类节目不相邻的排法种数为A33A34-A22A33A22=A33㊃(A34-4)=6ˑ20=120,选B㊂例66把椅子摆成一排,3人随机就座,任何2人不相邻的坐法种数为()㊂A.144B.120C.72D.24解析:先把3把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把3人带椅子插放在四个位置,共有A34=24(种)方法,故选D㊂例7(2022年新高考Ⅱ卷)有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有()种㊂A.12B.24C.36D.48解析:因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看作一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有A33种排列方式㊂为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式㊂注意到丙丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有A33ˑ2ˑ2=24(种)不同的排列方式,选B㊂小结:元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队,再把不相邻元素插入中间和两端㊂四㊁定序问题除序(去重复)㊁空位㊁插入法例87人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少种不同的排法?解析:法一(除序法):对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是A77A33=840㊂法二(空位法):设想有7把椅子,让除甲乙丙以外的4人就座共有A47种方法,其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法,则共有1ˑA47=840(种)方法㊂法三(插入法):先选三个座位让甲乙丙三人坐下,共有C37种方法,余下4个空座位让其余四人就座,共有A44种方法,则共有C37A44=840(种)方法㊂小结:定序问题可以用除序法,还可转化为空位法㊁插入法㊂五㊁重排问题求幂法例9把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法?解析:完成此事共分六步,把第一名实习生分配到车间有7种分法,把第二名实习生分配到车间也有7种分法, ,由分步计数原理知共有76种不同的分法㊂小结:允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置㊂一般地,n个不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为m n ㊂六㊁环排问题线排法例10 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解析:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定1人并从此位置把圆形展成直线,其余7人共有(8-1)!=7!=5040(种)排法㊂小结:一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n -1)!种排法㊂如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列,共有1nA mn ㊂七㊁排列组合混合问题先选后排法例11 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少种不同的装法解析:第一步从5个球中选出2个组成复合元素,共有C 25=10(种)方法;再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内,有A 44=24(种)方法㊂根据分步计数原理,装球的方法共有C 25A 44=240(种)㊂例12 (2021年全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰㊁短道速滑㊁冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )㊂A.60种 B .120种C .240种D .480种解析:根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人组成一个小组,有C 25种选法;然后连同其余3人,看成4个元素,4个项目看成4个不同的位置,4个不同的元素在4个不同的位置的排列方法数为A 44㊂根据乘法原理,完成这件事共有C 25ˑA 44=240(种)不同的分配方案,选C ㊂例13 (2020年全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种㊂解析:因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,所以先取2名同学看作一组,选法有C 24种㊂现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有A 33种㊂根据分步乘法原理,可得不同的安排方法有C 24A 33=6ˑ6=36(种)㊂小结:解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想,此法与相邻元素捆绑策略相似㊂八㊁元素相同问题隔板法例14 有10个运动员名额,分给7个班,每班至少1人,有多少种分配方案?解析:10个名额没有差别,把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空隙㊂在9个空隙中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法,共有C 69=84(种)分法㊂小结:将n 个相同的元素分成m 份(n ,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用m -1块隔板,插入n 个元素排成一排的n -1个空隙中,所有分法数为C m -1n -1㊂九㊁正难则反总体淘汰法例15 从1,3,5,7,9这5个数中,每次取出2个不同的数分别记为a ,b ,共可得到l g a -l gb 的不同值的个数是( )㊂A.9 B .10 C .18 D .20解析:l g a -l g b =l gab,从1,3,5,7,9中任取2个数分别记为a ,b ,共有A 25=20(种)结果㊂其中l g13=l g 39,l g 31=l g 93,故共可得到不同值的个数为20-2=18,选C ㊂例16 某学校安排甲㊁乙㊁丙㊁丁4位同学参加数学㊁物理㊁化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲㊁乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有种㊂解析:把4位同学分成3组,有C 24=6(种)方法,然后进行全排列,即有C 24A 33=36(种)方法,去掉甲㊁乙在一个组的情况,当甲㊁乙在一个组时,参加的方法有A 33=6(种)㊂故符合题意的安排方法有36-6=30(种)㊂小结:有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰㊂十㊁平均分组问题除法例17将5名同学分到甲㊁乙㊁丙3个小组,若甲小组至少2人,乙㊁丙组至少1人,则不同的分配方案种数为()㊂A.80B.120C.140D.50解析:先将5名同学分成3组,有两种分配方案,一是3组人数分别为2,2,1,分组方法有C25C23C11A22=15(种),然后将有2人的两组分给甲㊁乙或甲㊁丙,分配方法是15ˑ(A22+ A22)=60(种);二是3组人数分别为3,1,1,分组方法有C35C12C11A22=10(种),然后将有1人的两组分给乙㊁丙两组,分配方法有10ˑA22 =20(种)㊂共有60+20=80(种)方案,选A㊂小结:平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A n n(n为平均分的组数)避免重复计数㊂十一㊁合理分类与分步法例18甲㊁乙两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()㊂A.10种B.15种C.20种D.30种解析:由题意知比赛局数至少为3局,至多为5局㊂当局数为3局时,情况为甲或乙连赢3局,共2种㊂当局数为4局时,若甲赢,则前3局中甲赢2局,最后一局甲赢,共有C23=3(种)情况㊂同理,若乙赢,也有3种情况,共有3+3=6(种)情况㊂当局数为5局时,前4局,甲㊁乙各赢2局,最后1局胜出的人赢,共有2C24=12(种)情况㊂综上可知,共有2+6+12=20(种)情况㊂选C㊂十二㊁构造模型法例19马路上有编号为1,2,3,4,5, 6,7,8,9的9盏路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种㊂解析:把此问题当作一个排队模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯有C35 =10(种)㊂小结:一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决㊂十三㊁分解与合成法例2030030能被多少个不同的偶数整除?解析:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2ˑ3ˑ5ˑ7ˑ11ˑ13,依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,所有的偶因数有C05+C15+C25+C35+C45+C55=32(个)㊂例21正方体的8个顶点可连成多少对异面直线解析:我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四面体,共有C48-12=58(个),每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3ˑ58=174(对)异面直线㊂例22从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60ʎ的共有()㊂A.24对B.30对C.48对D.60对解析:(1)方法一:与正方体的一个面上的一条对角线成60ʎ角的对角线有8条,故共有8对,正方体的12条面对角线共有8ˑ12 =96(对),且每对均重复计算一次,故共有962 =48(对)㊂选C㊂方法二:正方体的面对角线共有12条,两条为一对,共有C212=66(对)㊂同一个面上的对角线不满足题意,对面中的对角线也不满足题意,一组平行平面共有6对不满足题意的对角线对数,所以不满足题意的共有3ˑ6=18(对)㊂从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60ʎ的共有66-18=48(对)㊂选C㊂小结:分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略㊂十四㊁复杂问题化归法例2325人排成5ˑ5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?解析:将这个问题退化成9人排成3ˑ3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少种选法㊂这样每行必有1人,从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去㊂从3ˑ3方队中选3人的方法有C13C12C11=6(种)㊂再从5ˑ5方阵选出3ˑ3方阵便可解决问题㊂从5ˑ5方队中选取3行3列,有C35C35=100(种)选法,所以从5ˑ5方阵选不在同一行也不在同一列的3人,有C35C35C13C12C11=600(种)选法㊂例24用a代表红球,b代表蓝球,c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+a b表示出来,如: 1 表示一个球都不取㊁ a 表示取出一个红球,而 a b 表示把红球和蓝球都取出来㊂以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球㊁5个无区别的蓝球㊁5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()㊂A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)㊃(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)㊃(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)解析:分三步:第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个, ,5个,则有(1+a+ a2+a3+a4+a5)种不同的取法;第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1+b5)种不同的取法;第三步,5个有区别的黑球看作5个不同色,从5个不同色的黑球任取0个,1个, ,5个,有(1+c)5种不同的取法㊂所以所求的取法种数为(1+a+a2+ a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5,选A㊂小结:处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简单的问题,通过先解决这个简单问题,从而下一步解决原来的问题㊂十五㊁数字排序问题查字典法例25用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()㊂A.144个B.120个C.96个D.72个解析:首位填4时,比40000大的偶数有2ˑ4ˑ3ˑ2=48(个);首位填5时,比40000大的偶数有3ˑ4ˑ3ˑ2=72(个)㊂故共有48+72=120(个)数满足题意,选B㊂小结:数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数㊂十六㊁住店法例267名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数为㊂解析:因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将7名学生看作7家 店 ,五项冠军看作5名 客 ,每个 客 有7种住宿法,由乘法原理知有75种可能㊂小结:解决 允许重复排列问题 要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作 客 ,能重复的元素看作 店 ,再利用乘法原理直接求解㊂排列组合历来是高中学习中的难点,同学们只要对基本的解题策略熟练掌握,就可以选取不同的技巧来解决问题㊂对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用,把复杂的问题简单化㊂请同学们对以上排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固,能举一反三,触类旁通,进而为后续的概率学习打下坚实的基础㊂(责任编辑徐利杰)。
排列组合常用几种基本方法
例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球, 其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9＝135种.
C62 15
2020/5/24
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∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
A53 1 A53
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6
特级教师王新敞
4.消序法(留空法)
解: 如图所示
B
变式：如下图所示,有5横8竖构成的 方格图,从A到B只能上行或右行共有 多少条不同的路线?
也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,①,②,
③,④顺序一定的排列，有
ห้องสมุดไป่ตู้
解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球 的放法种数问题.
将16个小球串成一串，截为4段有 种截断法，对应放到4个盒子里.
C135 455
因此，不同的分配方案共有455种 .
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8
特级教师王新敞
5.剪截法：
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放 法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：
⑴先将四项工程分为三“堆”，有
C42C21C11 6 A22
种分法；
⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，
有3!＝6种给法.
∴共有6×6＝36种不同的发包方式.
2020/5/24
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高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
解排列组合问题的几种方法
解排列组合问题的几种方法郑勇山东省济宁市微山县第三中学272195排列组合问题是高中数学的重点和难点之一，也是新教材中学习概率的基础，是近年高考必考内容。
排列组合是研究计数问题的策略学，首先根据题意弄清是排列还是组合问题以及排列组合混合问题，抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则。
分析计数原理满足两个条件，①类与类互斥，②总类完备。
分步计数原理的特征是，分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。
这是解决排列组合问题的最基本的方法手段。
具体的题中，这两种原理交叉结合来解决问题。
下面谈一些粗浅的认识及常用的方法，仅供参考。
1、特殊元素·优先法对于有要求的特殊元素，特殊位置要优先安排，在做题时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
合理分配，准确分步是确保解决问题的前提。
例1 ，0、3、5、6、8这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数有几个？分析：这里百位及个位是特殊位置，0是特殊元素，若以“元素优先”考虑，则先对0分两类。
第一类：这三位数中含有0 ，再分两类：①0在个位上分两步，（首先个位安排0，百位十位从4个元素中任取2个排序有A24）有A11A24个。
②0不在个位上分三步（首先安排0在十位上，再安排好个位，从两个偶数中取一个有A12，最后安排百位有A13）有A11A12A13个；第二类：这三位数不含有０，此时只有个位是特殊位置分两步（先安排个位有A12再安排十位百位有A23）有A12A23。
由分类计数原理偶数共有（A11A24+A11A12A13）+A12A23=30个，若从“位置优先”考虑，可分0再个位和0不再个位两类：①0在个位有A24,②0 不在个位有A12A13A13，由分类计数原理得偶数共有A24+A12A13A13=30个。
2、间接法对含有否定字眼的问题可以从总体中把不符合要求的删去，此时注意既不能多减又不能少减。
例2，7人按甲不在排头，乙不在排尾站成一排，有多少种排列方法。
高中数学排列组合难题十一种方法
高考数学排列组合难题解决方法1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得练习题:7种不同的花种在排成一列的xx,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的xx ，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有种不同的排法乙甲丁丙练习题1.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？ 解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法.1524位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
排列组合问题的基本解法
第 1 页 共 7 页排列组合问题的基本解法江苏省梁丰高级中学 (215600) 张伟新 排列组合问题主要依据分类计数原理和分步计数原理，其本身应用的知识并不多，但 由于题目灵活多样，在各级各类考试中经常出现，在数学竞赛活动中尤其突出。
其解题方法 也多种多样，归纳起来，我们一般可用下面的方法来解决。
一、列举法：例1、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的 偶数，不同的取法有 。
（1998年全国高中数学联赛）解：从10个数中取出3个数，使其和为偶数，则这三个数都为偶数或一个偶数二个奇数。
当三个数都为偶数时，有35C 种取法；当有一个偶数二个奇数时，有15C 25C 种取法。
要使其和为不小于10的偶数。
我们把和为小于10的偶数列举出来，有如下9种不同取法： （0，1，3），（0，1，5），（0，1，7），（0，3，5），（0，2，4），（0，2，6），（1，2，3），（1，2，5），（1，3，4）。
因此，符合题设要求的取法有35C +15C 25C －9=51种。
例2、设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。
若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也 停止跳动。
那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种。
（1997年全国高中数学联赛）解：如图：青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D 点。
故青蛙的跳法只有下列两种：（1）青蛙跳3次到达D 点，有ABCD ，AFED 两种跳法。
（2）青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定 不到达D ，只能到达B 或F ，则共有AFEF ，AFAF ，ABAF ，ABCB ， ABAB ，AFAB 这6种跳法。
随后的两次跳法各有四种，比如由F 出发的有：FEF ，FED ，FAF ，FAB 共四种。
因此这5次跳法共有 6⨯4=24种不同跳法。
高中数学排列组合几种基本方法
2015年12月23日
1.捆绑法
相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排 法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然 后再进行整体排列.
例1 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻，有多少种不的
排法？
特殊元素优先考虑
♀♀♀♀♀♀
解：（1）分两步进行：
第一步，把甲乙排列(捆绑)：有A22＝2种捆法
♀ ♀♀ ♀ ♀♀♀
↑↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例2 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同 的排法？
解：分两步进行：
第1步，把除甲乙外的人排列： 有 A55=120种 排 法
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插空)：
有 A62=30种 插 入 法
几个元素不能相邻时,
共 有 1 2 0 3 0 ＝ 3 6 0 0 种 排 法 先特排殊一元般素元插素空，. 再让
解法1：要完成承包这件事，可以分为两个步骤：
⑴先将四项工程分为三“堆”，有
C
2 4
C
1 2CΒιβλιοθήκη 1 1A2 2
6
种分法；
⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，
有3!＝6种给法.
∴共有6×6＝36种不同的发包方式.
解法2：
23 CA
43
5.隔板法（剪截法）：
n个 相同小球放入m (m ≤ n)个盒子里，要求每个盒 子里至少有一个小球的放法 （等价于 n个相同小球串成 一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.）
线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标
原点的直线有_________条.
解：所有这样的直线共有 A73 210 条，
排列组合问题常用的解题方法含答案
高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组( 看作一个元素 ) 参加摆列．例 1: 五人并排站成一排，假如甲、乙一定相邻且乙在甲的右侧，那么不一样的排法种数有种。
二、相离问题插空法元素相离 ( 即不相邻 ) 问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两头．例 2：七个人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样排法的种数是。
三、定序问题缩倍法在摆列问题中限制某几个元素一定保持必定次序，可用减小倍数的方法．例 3： A、 B、 C、 D、 E 五个人并排站成一排，假如 B 一定站 A 的右侧 (A、 B 可不相邻 ) ，那么不一样的排法种数有。
四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的地点上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，这样持续下去，挨次即可达成．例 4：将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、 2、 3、 4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不同样的填法有。
五、有序分派问题逐分法有序分派问题是指把元素按要求分红若干组，可用逐渐下量分组法。
例 5：有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人肩负，乙丙各需 1 人肩负，从 10 人中选出 4 人肩负这三项任务，不一样的选法总数有。
六、多元问题分类法元素多，拿出的状况也有多种，可按结果要求，分红不相容的几类状况分别计算，最后总计。
例 6：由数字 0 ，1，2，3，4，5 构成且没有重复数字的六位数，此中个位数字小于十位数字的共有个。
例 7：从 1，2，3， 100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法 ( 不计次序 ) 共有多少种？例 8：从 1，2， 100 这 100 个数中，任取两个数，使其和能被 4 整除的取法( 不计次序 ) 有多少种？七、交错问题会合法某些摆列组合问题几部分之间有交集，可用会合中求元素个数公式n( A B) n( A) n(B) n( A B) 。
(好)高中数学排列组合问题常用的解题方法
排列组合常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．例1五人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么例外的排法种数有种。
分析：把甲、乙视为一人，并且乙不变在甲的右边，则本题相当于4人4的全排列，A424种。
二、相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么例外排法的种数是。
52分析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A652种，例外的排法种数是A5A63600种。
三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法．例3 A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边(A、B 可不相邻)，那么例外的排法种数有。
分析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即15A560种。
2四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成．例4将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。
分析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法。
五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法。
例5有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，例外的选法总数有。
分析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，例外的选法共211有C10C8C72520种。
高中数学排列组合技巧
高中数学排列组合技巧方法(一)插空法同学们要理解插空法的使用条件，插空法要求一些元素不能排放在一起对其他元素没有限制的情况，应对这种问题时，首先要把没有要求的元素排好，然后再把不能排放在一起的元素插到没有任何要求的元素中间。
例如，有3个大小不一的黑球和2个颜色不同的花球，要求花色球不能排在一起，问有多少种排法题目的要求与插入法的使用条件彻底符合，可以使用插入法进行处理。
先把没有要求的黑球排好，共有A33种方法。
3个黑球的中间加上两端共有四个位置可以摆放花球，从四个位置选择两个摆放花球，有A24种，因此按照题目要求共有A33某A24种排法。
(二)插板法转变思维方式在排列组合问题中起着至关要的作用，有时候顺着题目要求很难解出题目，尤其是对那些非常抽象的问题更是如此。
同学们不能坠入思维定式的误区，换一种思绪，或许就能将许多繁琐的问题用简单的方式加以解决。
例如，某个班级共有6个小组，请求选出9人去参加拔河，并且每一个小组最少要有一个人加入，问有多少种选择方式顺着出题人的思路去解答问题很抽象，很难快速的解答，不妨换一种思维方式。
首先把问题做一下类比，把题目类比为将9个苹果分成6份，有多少方法这就转化成我们熟悉的插板问题，将9个苹果依次排开，共有8个空隙，在空隙中装入6块板，总共有C69种方法。
(三)捆绑法捆绑法的应用极其简单，判断捆绑法的类型也十分容易。
倘若题目出现某些元素必须排放在一起的时候，就要用到捆绑法。
可是应用捆绑法时要注意一些细节，要把有要求的元素放在一块儿而作为一个团体，再与其他元素组合排列。
如若遇到较为复杂的情况，在整体的内部还要对个体进行排列组合。
例如，4名男同学和5名女同学照结业照，女生请求站在一块儿，问有多少种站法这是经典的捆绑问题，解法如下：5名女生作为不同的元素有A55种，把她们捆绑在一起看作一个团体再和4名男生进行全排，有A55种，综上，按照题目所述总共有A55某A55种站法。
1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
高三数学排列组合的几种方法总结
排列组合方法总结1、【特殊元素、特殊位置】优先法在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求。
例：有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（ ）解析：五位奇数的末尾必须是奇数，还有首位不能为0，都应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置，先安排末位共有13C ；然后排首位共计有14C ；最后排其他位置共计有34A ；由分步计数原理得.288341413=A C C2、【相邻问题】捆绑法题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 例：,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有（ ）解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，3、【相离问题】插空法元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例：七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数有（ ）解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种4、【选排问题】先选后排法从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法. 例：四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？解析：先取:四个球中选两个为一组(捆绑法)，其余两个球各自为一组的方法有24C 种，再排：在四个盒中每次排3个有34A 种，故共有2344144C A =种.5、【相同元素分配问题】隔板法将n 个相同的元素分成m 份(m,n 均为正整数)，每份至少一个元素，可以用 m-1块隔板插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为:11--m n C 。
例：（1）10个三好生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案故共有不同的分配方案为为6984C =种（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要消除顺序（除以nn A ，n 为均分的组数），避免重复计数。
高中数学排列组合几种基本方法
例6 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、 C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.
解：所有这样的直线共有
A 条， 3 7
210
其中不过原点的直线有
A61条，A62 180
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.
甲乙
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
有A55＝120种排法
几个元素必须相邻时，先捆绑成一 个元素，再与其它的进行排列.
共有2 120＝240种排法
2.插空法：
解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”
元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.
♀ ♀♀ ♀ ♀♀♀
↑↑
↑
↑
↑↑
例2 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
A.6
B.12
C.72
D.144
C 3. 5个人排成一排，其中甲、乙相邻的排法种数是（ ）
A.72
B.42
C.48
D.56
34.. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调 查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有（ A ）
A.
C142
C84
C
4 4
种
B.3
C142 C 84
C
4 4
种
C.
C142
C
4 8
A33
种
D.
C142C84 A33
C44
种
直接法： 2
A 30 6
7.错位法：
编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里，每个盒子放一个小球.要 求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列.
排列组合问题常用的解题方法含答案
高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组<当作一个元素>参与排列．例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。
二、相离问题插空法元素相离<即不相邻>问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。
三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边<A、B可不相邻>.那么不同的排法种数有。
四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成．例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。
五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。
例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。
六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。
例6：由数字 0.1.2.3.4.5组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。
例7：从1.2.3.…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法<不计顺序>共有多少种？例8：从1.2.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法<不计顺序>有多少种？七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式⋃=+-⋂。
n A B n A n B n A B()()()()例9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法某个<或几个>元素要排在指定位置.可先排这个<几个>元素.再排其他元素。
122高中数学排列组合问题的几种基本方法汇编
A55 A22
543
A53
解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，
有 A53 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A53 1 A53
2020/2/28
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5.插板法（剪截法）：
2020年2月28日星期五
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1
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1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①无序不等分；
②无序等分；③无序局部等分；(④有序不等分； ⑤有序等分；⑥有序局部等分.)
①若干个不同的元素“等分”为 ｍ个堆,要将
选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的处理问题的原则：
例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有____种.
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 C62 15
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9＝135种.
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解：要完成发包这件事，可以分为两个步骤：
⑴先将四项工程分为三“堆”，有
C42C21C11 6 A22
种分法；
⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，
有3!＝6种给法.
∴共有6×6＝36种不同的发包方式.
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2.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一
变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.
排列组合基本方法
排列组合基本方法排列组合基本方法是数学中常见的一种计算方法，用于求解在一定条件下物体的排列和组合问题。
在实际生活中，排列组合方法被广泛运用于统计学、概率论、组合数学等领域，具有重要的理论意义和实际应用价值。
首先，我们来了解一下排列和组合的概念。
排列指的是将一组物体按照一定的顺序进行排列，而组合则是从一组物体中选择若干个物体，不考虑顺序。
下面分别介绍排列和组合的基本方法：一、排列的计算方法：1. 全排列：全排列是指将一组不同的物体按照一定的顺序进行排列，不允许重复。
全排列的计算方法是通过阶乘来求解，即n个物体的全排列数为n!，其中n表示物体的个数。
2. 循环排列：循环排列是指将一组物体按照一定的顺序排列，允许循环移位。
循环排列的计算方法是通过n个物体的全排列数除以n，即n!/n。
3. 有重复元素的排列：当一组物体中有重复的元素时，排列的计算方法需要考虑重复的情况。
此时，排列数为n!/n1!n2!...nk!，其中n为总的物体数，n1、n2、...、nk为重复元素的个数。
二、组合的计算方法：1. 组合的定义：组合是指从一组物体中选择若干个物体，不考虑顺序。
组合的计算方法是通过组合数的公式来求解，即C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示物体的总数，m表示选择的物体数。
2. 组合的性质：组合数具有一些重要的性质，如C(n,0)=1，C(n,n)=1，C(n,1)=n，C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)等。
3. 组合的应用：组合数在概率计算、组合数学、排列组合等领域有着广泛的应用，如二项式定理、二项分布、组合恒等式等。
总的来说，排列组合的基本方法是数学中重要的计算工具，能够帮助我们解决各种实际问题。
通过掌握排列组合的基本概念和计算方法，我们能够更好地理解和运用数学知识，提高解决问题的能力和效率。
排列组合方法的应用不仅局限于数学领域，还可以在生活和工作中帮助我们进行合理的组合和排列，提高工作效率和创造力。
解高中排列组合题的常用方法
解高中排列组合题的常用方法排列组合是高中数学的重点和难点之一,也是高考必考的内容.学好排列组合对同学有两方面的益处,一方面为同学进一步学好概率知识打下坚实的基础;另一方面使同学进一步理解和掌握分类讨论思想、转化思想和对称思想等数学思想.由于排列组合问题不仅内容抽象,题型多样,解法灵活,而且解题过程中极易出现重复或者遗漏的错误,针对这些问题,下文介绍了八种解排列组合题的常用方法,并且结合一些2009年数学高考题来阐述一下这些方法的具体运用.一、分类法(分类问题)对于可分成若干类完成的排列组合问题,把问题分成若干类(使得每类不重不漏),分别计算出每类的排列组合数,再根据加法原理把各类的排列组合数相加即可.例1 甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A. 150种B. 180种C. 300种D. 345种解析此问题可分为两类,第一类是:由甲组中选出一名女生,有C15•C13•C26=225种选法,第二类是:由乙组中选出一名女生,有C25•C16•C12=120种选法,从而共有225+120=345种选法,故选D.例2用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个.(用数字作答)解析此问题可分为两类,第一类是:个位、十位和百位上的数字都是偶数的四位数有C23A33C14+A33C13=90个,第二类是:个位、十位和百位上的数字为1个偶数和2个奇数的四位数有C23A33C14+C13C23A33C13=234个,故个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有90+234=324个.评注对于分类问题,关键是正确地分类和准确地计算出每类的排列组合数.练习在11名同学中,有5人只会打篮球,4人只会打乒乓球,另外2人既会打篮球也会打乒乓球,现从11人中选4人打篮球,4人打乒乓球,问共有多少种不同的选法?(答案:185)二、分步法(分步问题)对于可分成若干步完成的排列组合问题,把问题分成若干步,分别计算出每步的排列组合数,再根据乘法原理把各步的排列组合数相乘即可.例3 从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有()A. 120种B. 96种C. 60种D. 48种解析此问题可分为四步完成,第一步是:5人中选4人共有C45种,第二步是:星期五选一人有C14种,第三步是:星期六选两人有C23种,第四步是:星期日选一人有C11种,则不同的选派方法共有C45C14C23C11=60种,故选C.例4 甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答).解析此问题可分为两步完成,第一步是:先排甲有7种情况,第二步是:再排乙、丙,此步又分为两类,第一类是:当乙和甲站在同一个台阶有1种情况时,丙站在其它六个台阶之一有6种情况,第二类是:当乙站在其它六个台阶其中之一有6种情况时,丙可以任意站有7种情况,则第二步有1×6+6×7=48种情况,故不同的站法种数是7×48=336种.评注对于分步问题,关键是正确地分步和准确地计算出每步的排列组合数.练习n+1本不同的书分给n个人,每人至少一本,问有多少种不同的分法?(答案:C2n+1Ann)三、排除法/间接法(限制条件问题)对于关于有限制条件的排列组合问题,首先求出不加限制条件的排列组合数,然后减去其中不符合条件的排列组合数.例5 甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A. 6种B. 12种C. 30种D. 36种解析两人各选2门的情况有C24C24种,两人所选两门都不相同的情况有C24C22种,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法有C24C24-C24C22=36-6=30种,故选C.例6 某地政府召集5家企业人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A. 14B. 16C. 20D. 48解析不考虑是否来自同一企业的种数是C36,而3人有来自同一企业的种数是C22C14,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为C36-C22C14=20-4=16,故选B.评注对于有限制条件或出现“至少”“至多”之类字眼的题目适合用排除法,就是让不考虑限制条件得到的总排列组合数减去不符合题中限制条件的排列组合数.练习某班有10名中共党员,其中4名男同学,6名女同学,要从这10人中评选出3名“三好学生”,并且至少有1名男同学,问有多少种选法?(答案:100)四、优先法(指定位置问题)对于某几个元素要排在指定位置的排列组合问题,一般应先考虑这些特殊元素,再考虑其他元素.例7 从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为()A. 432B. 288C. 216D. 108解析由于是奇数,优先考虑末尾数字从1,3,5,7中取,有种情况;再从剩余三个奇数中选取一个,有C13种情况;从2,4,6三个偶数中选取两个,有C23种情况,再进行十位、百位和千位三个位置的全排列,有A33种情况,则共有C14C13C23A33=216个,故选C.评注上题中要求的是奇数,所以优先考虑末尾数字,再考虑其他位置的数字.练习广东宏远篮球队的10名队员中有3名主力球员,派5名参加比赛,3名主力球员安排在中锋、组织后卫和进攻后卫位置上,从其余7名球员中选2名排在小前锋和大前锋位置,那么不同的出场顺序有多少种?(答案:252)五、插空法(不相邻问题)对于某几个元素不相邻的排列组合问题,可先将其它元素排好,再将这些不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙中插入.例8 5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有种.解析除甲乙外先排其他三人有A33种情况,再将甲乙二人插入前三人形成的四个空隙中有A24种情况,故甲、乙两不相邻的排法有A33A24=72种.评注上题中由于甲、乙不相邻,所以先排其他人,再把甲和乙插进去.练习n个男生要m(m≤n)和个女生合影,要求m个女生两两不相邻,问有多少种不同的排法?(答案:AnnAmn+1)六、捆绑法(相邻问题)对于某几个元素相邻的排列组合问题,可将相邻的元素捆绑在一起,看作一个整体元素与其它元素排列组合,然后再在这个整体元素内部进行排列组合.例9 2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()A. 60B. 48C. 42D. 36解析有两位女生相邻可从名女生中任取人捆绑在一起记作a,(a共有C23A22=6种不同排法),剩下一名女生记作b,两名男生分别记作甲、乙,则男生甲必须在a、b之间(若甲在a、b两端,则为使a、b不相邻,只有把男生乙排在a、b之间,此时就不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6×2=12种排法(a左b右和a右b左)最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,则共有12×4=48种不同排法,故选B.评注上题中由于有两名女生相邻,所以要把这两名相邻女生捆绑在一块看成一个整体.练习5名同学要和2名校长合影,要求排成一排,2名校长相邻且不排在两端,问有多少种不同的排法?(答案:960)七、集合法(交叉问题)对于某些排列组合部分之间有交集的排列组合问题,可用集合中求元素个数公式Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)-Card(A ∩B)来求解.例10 50名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项,参加甲项的学生有30名,参加乙项的学生有25名,则仅参加了一项活动的学生人数为()A. 50B. 45C. 40D.35解析由公式Card(A∪B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∩B),得两项都参加的学生人数为:Card(A∩B)=Card(A)+Card(B)-Card(A∪B)=30+25-50=5,则仅参加了一项活动的学生人数为:50-5=45,故选B.评注关键是把公式中的每个量准确地求出来.练习从6名运动员中选出4名参加4×100m接力赛,其中甲不跑第二棒,乙不跑第三棒,共有多少种不同的参赛方法?(答案:252)八、概率法(概率问题)对于几种情况出现概率相同的排列组合问题,只要求出其中一种情况排列组合数,乘以情况总数就可得到总体情况排列组合数;或者只要求出总体情况排列组合数,除以情况总数就可得到每种情况排列组合数.例11 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有种(用数字作答).解析由于三个乡镇甲、乙、丙都有可能得到两名大学生,这三种情况出现的概率相同,从而我们不妨只考虑乡镇甲分到两名大学生,乡镇乙、丙各分到一名大学生的情况,这种分配方案有C24C12C11=12种,故总的分配方案有3C24C12C11=3×12=36种.评注关键是搞清楚每种情况发生的概率,再选其中一类特殊情况进行讨论.练习由数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数,其中个位数小于十位数的共有多少个?(答案:2160) 解排列组台题的方法很多,以上只是对常用方法进行了分析,这里只起抛砖引玉的作用,望大家解题时不断积累经验,总结解题规律,掌握方法和技巧,最终达到灵活运用.责任编校徐国坚。
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有A =30种插入法
共有120 30＝3600种排法
2019/4/15
2 6
几个元素不能相邻 时,先排一般元素， 再让特殊元素插空.
3
变 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。 8个学生，4个老师，要求老师在学生之间，且老师互不 相邻，共有多少种不同的坐法？
分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊 的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待. 所涉及问题是排列问题. 8 A 解 先排学生共有 8 种排法,然后把老师插入学生 之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共 4 8 4 有 A7 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 A8 A7 种. 结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 2019/4/15 4 的空档之中即可 .
2019/4/15 7
变式：如下图所示,有5 B 横8竖构成的方格图,从 A到B只能上行或右行 共有多少条不同的路线? 也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B A ④顺序一定的排列， 将一条路经抽象为如下的一个 11 A11 有 排法(5-1)+(8-1)=11格:
A 种排法 . 其中必有四个↑和七个→组成! 所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经, 51 4 所以从A到B共有 C(51)(81) C11 条不同的路径.
201盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 变式： 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 解： 问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个， 再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子 至少有一个小球的放法种数问题. 3 将10个小球串成一串，截为4段有 C9 84 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有84种 .
2019/4/15
解: 如图所示
4 7 A4 A7
→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → → 1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7
8
4. 隔板法： n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例4. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种. 解： 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 3 将16个小球串成一串，截为4段有 C15 455 种截断法，对应放到4个盒子里. 因此，不同的分配方案共有455种 .
1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合.
m 3.排列数公式: An n(n 1)(n 2) (n m 1)
2.捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的 排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素， 然后再进行整体排列.
例2 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? 解：（1）分两步进行： 第一步，把甲乙排列(捆绑)： ♀♀♀♀♀♀ 甲乙 2
有A2＝2种捆法
第二步，甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队：
结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问 题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合 并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意 合并元素内部也可以作排列.
2019/4/15 6
3.除法消序法(留空法) 几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再 消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置 排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少 种站法？ 5 种站法， 解法1：将5个人依次站成一排，有 A5 2 5 然后再消去甲乙之间的顺序数 A2 A5 3 5 4 3 A 5 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A2 2 解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好， 3 有 A5 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法 3 3 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A5 1 A5
高二 荆亮
1.插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排“一 般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以 解决. ♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例1 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？ 解：分两步进行： 第1步，把除甲乙外的一般人排列： 有A5 =120种排法 第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插空)：
有A ＝120种排法
共有2 120＝240种排法
2019/4/15
5 5
几个元素必须相邻时,先 捆绑成一个元素，再与 其它的进行排列.
5
变 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法? 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限 制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此 可以将她们看成是一个元素来解决问题. 解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是 6 A 一个人,与5个男生作全排列,有 6 种排法,其中女生内 3 6 3 部也有A3种排法,根据乘法原理,共有A6 种不同的排 A3 法.
n! (n m)! m An n( n 1)(n 2) ( n m 1) m C 4.组合数公式: n m m! Am
n! m!( n m)!
排列与组合的区别与联系:与顺序有关的 2019/4/15 为排列问题 ,与顺序无关的为组合问题.
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排列组合综合问题