中微观题目答案

第一讲：偏好、效用与消费者的基本问题 5、常见的常替代弹性效用函数形式为 ()ρρραα1221121),(x x x x u +=请证明：5.1当1=ρ，该效用函数为线性． 证明：当1=ρ时，效用函数为221121),(x x x x u αα+=，此时，函数u 是线性的．5.2 当0→ρ时，该效用函数趋近于212121),(ααx x x x u =说明：如果121≠+αα，该效用函数在时发散，如果121=+αα，那么函数在0→ρ时极限为2121ααx x ． 5.3 当-∞→ρ时，该效用函数趋近于},m in{),(2121x x x x u = 证明：令2111αααβ+=，121ββ-=．则u 的一个单调变换结果是ρρρββ12211)(x x t += ．当21x x <时，111211121lim ),(lim x x x x x x t =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-∞→-∞→ρρρρββ； 同理，当21x x >时，有221),(lim x x x t =-∞→ρ．当21x x =时，有2121),(x x x x t =≡．综上所述，当-∞→ρ时，原效用函数描述的偏好关系趋近于},m in{),(2121x x x x u =所描述的偏好关系．如果1α与2α满足121=+αα，那么当-∞→ρ时，同时有效用函数()ρρραα1221121),(x x x x u +=，趋近于以下效用函数},m in{),(2121x x x x u =．10、一个人的效用函数为αα-=12121),(x Ax x x u ，这里10<<α，0>A ．假定存在内点解，请导出其马歇尔效用函数．解：本题的最大化问题为yx p x p t s x Ax x x =+-2211121,..max 21αα其拉格朗日函数为)(),;(221112121x p x p y x Ax x x L --+=-λλαα．使)(⋅L 最大化的1x ，2x ，λ满足一阶条件：0112111=-=∂∂--p x Ax x L λααα， （1）0)1(2212=--=∂∂-p x Ax x L λααα， （2）02211=--=∂∂p x p x y Lλ． （3） 将1式除以2式，得21121p p x x =-αα，即αα-=12112p p x x ； （4）代4式入3式，得11p yx α=； （5）代5式入4式，得22)1(p yx α-=． （6） 5与6式即为1x 与2x 的马歇尔需求函数． 第二讲 间接效用函数与支出函数 3、考虑下列间接效用函数()2121,,p p mm p p v +=，这里m 表示收入，问：什么是该效用函数所对应的马歇尔需求函数),,(21*1m p p x 与),,(21*2m p p x解：根据罗尔恒等式，可以得到这个效用函数所对应的马歇尔需求函数：()2121221111p p m p p p p myv p vx +=++--=∂∂∂∂-=，()2121221121p p m p p p p myv p vx +=++--=∂∂∂∂-=． 9、下列说法对吗？为什么？函数21)(),(u p u p x x x h j+=可以作为某种商品的希克斯需求函数．答：不对．因为这个函数中，希克斯替代效应()02121>+=∂∂-u p p x j jh j10、下列函数能成为一个马歇尔需求函数吗？为什么？()222,,yx x y x p p I p I p p x +=这里，x 与y 是两种商品，I 为收入．答：要具体分析．一般要求马歇尔需求函数满足（1）y =⋅x p ，以及（1）函数是p 和y 的零次齐次函数．很明显，该需求函数满足第二个条件．考虑第一个条件，如果能将()y x ,定义在2R 上，那么该函数能对于所有的价格向量成为一个马歇尔需求函数；如果只能将()y x ,定义在2+R 上，那么它只能对于满足y x p p <的价格向量成为一个马歇尔需求函数． 第三讲 价格变化对消费者配置效应与福利效应4、 某个消费者的效用函数为22121),(x x x x u =．令1p ，2p 与m 分别表示商品1的价格、商品2的价格和收入．4.1 如果24=m ，11=p ，12=p ，现在1p 上升为2，求此消费者关于商品1的斯拉茨基替代效应和收入效应．解：令1x 为商品1价格变化前的消费量，1x '为变化后的消费量．有：163211==p m x ，83211='='p mx ．令1x ''为调整收入以保持购买力条件下，对商品1的消费量．m ''为为保持购买力对收入进行调整后得到的收入．有：4016)12(24)(111=⨯-+=-'+=''x p p m m ，3403211='''=''p m x ． 其中，斯拉茨基替代效应sx ∆为381634011-=-=-''x x ， 收入效应mx ∆为316340811-=-=''-'x x ． 4.2 请根据计算，验证恩格尔加总规则．解：由4.1知321=S ，312=S ，1162432111=⨯=∂∂=x y y x η，182431222=⨯=∂∂=x y y x η． 因此12211=+ηηS S ，恩格尔加总规则成立．8 判断下述论断是否正确，并给出理由：8.1 如果需求曲线是一条直线，则直线上各点的需求价格弹性是一样的． 判断：并不是所有直线上的弹性都是一样的．理由：一类线性需求曲线可以由b ap q +-=，0>a ，0>b 来表示，它的弹性bap apq p dp dq E +-==即，弹性E 是价格p 的函数，也就是说，这样的直线上需求价格弹性是随价格变化，不是一样的． 但考虑与x 轴垂直的需求曲线)0(=a ，它的弹性就是不变的．最后考虑与x 轴水平的需求曲线，它们的弹性均为无穷大，无法比较．8.2 如果对X 的需求是由X 的价格、Y 的价格和收入决定的，则当X 的价格、Y 的价格和收入都上涨一倍时，对X 的需求不变． 判断：正确理由：考虑典型的预算约束表达式m y p x p y x =+，其中x p 、y p 和m 分别为X 、Y 的价格和收入．在这样的预算约束和一定的偏好下，消费者将选择一定的X 和Y 的消费量．消费者的选择变化无非基于两个条件的变化，这两个条件就是选择集－预算约束和偏好．当X 的价格、Y 的价格和收入都上涨一倍时，其预算约束为()()m y p x p y x 222=+，它与m y p x p y x =+表示的是同样的选择集，在偏好不变的情况下（这是“如果对X 的需求是由X 的价格、Y 的价格和收入决定的”的含义），消费者的选择将不会发生变化，也就是说，对X 的需求不变． 9、 判断对错并简要说明理由：1x 和2x 是一个消费者消费的两种物品，我们说1x 是2x 的替代品，如果021>∂∂p x ，2p 为2x 的价格．如果1x 是2x 的替代品，则2x 也是1x 的替代品． 答：按照替代品的定义，第一句正确．第二句错误．用斯勒兹基恒等式来分析，记ij s 为i x 对j x 的替代效应，m 为收入，有 211221x m x s p x ∂∂+=∂∂，122112x mxs p x ∂∂+=∂∂ 12s 和21s 符号均为负，但每个式子中的收入效应是不确定的．因此021>∂∂p x ，并不意味着012>∂∂p x 一定成立．11、判断对错并简要说明理由：11.1 如果消费者是一个理性的效用最大化者，那么他对某种商品的斯拉茨基替代效应必定是负的． 错．考虑完全互补偏好，相对价格变化的斯拉茨基替代效应为零．11.2假设某消费者的效用函数是βαy x y x u =),(，则他关于x 的需求对y 价格的交叉价格弹性为零． 对．他关于x 的需求为()xp mx βαα+=，其中m 为收入，x p 为x 的价格．从需求函数与y 的价格y p 无关可以得到0=∂∂y p x，由此可以得到0=∂∂=xp p x E y y xy ． 12、下面的说法对吗？为什么？某个消费者将他的全部收入花在两种商品上，其中一种商品是吉芬商品．如果吉芬商品的价格上升，那么他对另外一种商品的需求必定下降．对．如果吉芬商品价格上升，消费量增大，另一种商品的预算份额下降，在价格不变的前提下，需求必定下降． 14、我们观察到，一个消费者在21=p ，62=p 时，购买的201=x ，102=x ；当价格为31=p ，52=p 时，购买的181=x ，42=x ．他的行为符合显示性偏好的弱公理吗？ 答：符合．如果要符合显示性偏好弱公理，因为6046182100106202=⨯+⨯≥=⨯+⨯所以必然应当预测到45183105203⨯+⨯≥⨯+⨯ 而后一个等式确实是成立的（74110≥），符合预测．因此他的行为符合显示性偏好的弱公理． 第五讲 风险规避、风险投资和跨期决策4在固定收益率为r 的资产上投资w 美元，可以在两种状态时获得)1(r w +；而在风险资产上的投资在好日子收益为)1(*g r w +，在坏日子为)1(*b r w +，其中b g r r r >>．通过上述假定，风险资产上的投资就可以在状态偏好的框架中被加以研究．4.1请画出两种投资的结果．4.2请说明包含无风险资产与风险资产的“资产组合”这样可以在你的图中得到显示．你怎样说明投资在风险资产中的财富比例？4.3请说明个人对于风险的态度会怎样的决定它们所持有的无风险资产与风险资产的组合．一个人会在什么情况下不持有风险资产？7、 一个人拥有固定财富w ，并把它分配在两时期的消费中，个人的效用函数由),(21c c u 给出，预算约束为rc c w ++=121，这里r 是单期利率． 7.1证明如果个人在此预算约束下要最大化其效用，则它应当选择r MRS +=12,1时1c 与2c 的组合． 证明：他的最大化问题是wrc c c c u c c =++1 s.t.),(max 2121,10 一阶条件为 λ=1MUrMU +⋅=112λ 其中，λ为拉格朗日乘子．由此得到r MU MU c c MRS +==1),(21212,1．结论得证．7.2证明02≥∂∂r c ，但是rc∂∂1的符号不确定． 证明：借用斯勒茨基恒等式来分析．r 的上升等价于第二期消费价格下降，其收入效应和替代效应均倾向增加第二期消费；但对第一期，收入效应倾向增加消费，替代效应倾向减少第一期消费，所以对第一期消费的影响不确定．具体来说r p c w c p h r c d d 222222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂ 其中2h 是第二期消费的希克斯需求，rp +=112为第二期的消费价格．在上式中，022<∂∂p h ，02>∂∂w c ，()011d d 2<+-=r r p 2，所以02>∂∂r c ．同样可以分析r c ∂∂1． 题目应有一个关键假设使得结论成立，任何一期消费的收入效应为正．也许是因为在实际生活中，消费的收入效应很少为负，所以题目省略了这一点．在后面的解答中我仍认定消费的收入效应为正．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11.消费者的效用函数为()6.024.0121,c c c c u =，在第一期和第二期的收入分别为100元和180元，利率为r ．求：11.1第一期和第二期的消费分别是多少？ 解：最大化问题是()21,max c c ur r c c ++=++11801001.s.t 21解得rc ++=172401，()1081602++=r c ． [注] 假定消费者能自由借贷．11.2 r 取什么值时，该消费者在第一期储蓄、贷款或不借贷？解：当期消费小于收入则储蓄．令100172401<++=rc ，则该消费者在第一期储蓄．解得2.0>r ． 同理，令100172401=++=r c ，得2.0=r 时，消费者不借贷；令100172401>++=rc ，得2.0<r 时，消费者贷款．11.3当利率变化对1c 和2c 的影响是什么？ 解：由()0172d d 21<+-=r r c ，得第一期的消费额变动与利率变动方向相反． 由060d d 2>=rc ，得第二期的消费额变动与利率变动方向相同． 第六讲 生产函数与规模报酬5判断下列结论是否正确，并说明理由：5.1 边际产出大于零，则总产量将随着投入的增加而上升，平均产量则不一定上升．答：边际产出大于零，即多增加一个单位的投入，总产出的增量为正，即总产量将随着投入的增加而上升．如果多增加一个单位的投入，总产量的增量高于平均产量，那么平均产量在增加该单位的投入后将上升，但是，也可能出现总产量增量在为正的同时低于平均产量的情况（因为平均产量严格大于零），那么平均产量在增加该单位的投入时将下降．5.2 如果生产是有效率的，生产的可能性边界一定是外凸的．答：假设一个经济生产的产品包括1q ，2q ，利用唯一的生产要素x ；生产可能性边界可以表述为()21,q q h x =如下图，尽管A 点是有效率的，但是，它所在的生产可能性边界不是外凸的．即，生产有效率并不是一定意味着生产可能性边界外凸．15、 生产函数形式如下2121L K q =．15.1劳动和资本的平均生产力是多少？解：21⎪⎭⎫ ⎝⎛=L K AP L ，21⎪⎭⎫⎝⎛=K L AP K ． 15.2图示当K 等于100时的L AP 曲线．解：这里没有办法标出点（word 技术问题），边际产出为红线（或灰线，如果黑白打印的话）．1q15.3证明L L AP MP 21=，K K AP MP 21=．运用这一信息，加一个L MP 函数到2图中，这一曲线有何特别的地方？ 解：L L AP L K L q MP 212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂=，同理K K AP MP 21=． 15.4画出10=q 时的等产量线．解：见上图． 15.5运用3的结果，在点10==L K ，25=K ，4=L 及4=K ，25=L 处，10=q 上的等产量线上的MRTS 是多少？这一函数呈现边际技术替代率递减吗？解：事实上可以利用12题第3问的结论．在三个点，边际技术替代率（L 对K ）分别为1，25/4和4/25，这个函数呈现边际技术替代率递减．第七讲 要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数 3、下列说法对么？为什么？函数π(p)= p 0.5 可以成为一个利润函数．答：不对．因为该函数对p 不是一次齐次函数，因此它不可以成为一个利润函数．9.一个富有进取心的企业家购买了两个工厂以生产装饰品.每个工厂生产相同的产品且每个工厂的生产函数都是q=(K i L i ) 1/2（i=1,2）,但是K 1=25， K 2=100，K 与L 的租金价格由w=r=1元 给出。