清华大学电路原理课件-17

割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质： （1）把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分； （2）保留Q 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。
例
②
②
1
①
2 5 4
③
1
①
2 5
③
3
④
4
3
④
6 Q2: { 2, 3 , 6 }
②
6 Q3: { 1, 4, 5}
②
1
①
2 5 4 3
④ ③ ①
u1 u2 u3 u4 u5 u6
A un u
T
二、基本回路矩阵（fundamental loop matrix）B 用矩阵形式描述基本回路和支路的关联性质
B = { b ij} lb
基本回路数 支路数 约定： （1） 回路电流的参考方向取连支电流方向。 （2）支路排列顺序为先树(连)支后连(树)支。 1 支路j与回路i关联，方向一致 -1 支路j 与回路i关联，方向相反 0 支路j 不在回路 i 中
1 5 4
2
③
3
④
6 Q4: { 1 , 2 , 5 }
6
Q4: {1 , 5，3，6 }
单树支割集（基本割集(fundamental cut set ） 每个割集中只包含一个树支， 其余均为连支。 选1，2，4为树支的基本割集
②
② ②
1
①
2 5 4 3
④
③ ①
1 5 4
2
③ ①
1 5 4
2
③
3
④
un1 un un 2 un 3
②
Ai =
2
③
1
①
1 0 0 -1 0 1 -1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1
5
4
④
3
6
i1 i4 i6 0 i i i 1 2 5 i 2 i 3 i6
Q = { q i j } n-1 b
基本割集数
支路数
约定： （1） 割集方向与树支方向相同。 （2） 支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。 1 j支路与割集 i 方向一致
qij =
-1 j支路与割集 i 方向相反 0 j 支路不在割集 i 中
4 3 2
1
5
选 4、5、6为树支，连支为1、2、3。 Q1:{1,2,4} Q2:{1,2,3,5} Q3:{2,3,6}
t l
矩阵形式的KCL
Qi =0
矩阵形式的KCL的另一种形式
Qi =0 可写成
it it [Qt Ql ] [1 Ql ] 0 il il
it Ql il
用回路矩阵表示时
用连支电流表示树支电流
it B i
T t l
可见，回路矩阵和割集矩阵有
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17.2
一、回路（loop）
回路
树
割集
回路L是连通图G的一个子图。 具有下述性质 （1）连通； （2）每个节点关联支路数恰好为2。
1 2 3 7 5 6 8 4 图G
2
3
1
7
2 8
5 9
5 回路
不是回路
二、树 （tree）
树T是连通图G的一个子图，具有下述性质： （1） 连通； （2） 包含G的所有节点； （3） 不包含回路。
连支电压
树支电压
4 3 2
1
矩阵形式的KCL 5
BT il = i
6
i4 i i 1 2 1 1 0 i i i i5 1 1 1 1 2 3 i1 i6 i i 2 3 0 1 1 i 2 i1 i1 1 0 0 i 3 i2 0 1 0 i2 i i 3 0 1 3 0
②
1
①
2 5
③
4
④
3
6 按行列写 支 1 2 3 4 节 1 1 0 0 -1 -1-1 0 0 Aa= 2 0 1 1 0 3 4 0 0-1 1
按列列写 支 1 节 1 1 Aa= 2 -1 3 0 4 0
2 0 -1 1 0
3 0 0 1 -1
4 -1 0 0 1
5 0 1 0 -1
6 1 0 -1 0
矩阵形式的KCL
设 支路电流 支路电压 节点电压
i1 i 2 i3 i i4 i5 i6
u1 u 2 u3 u u4 u5 u6
基本回路和基本割集关系 1 5 4 3 {1，2，3，4} {1，4，5} {1，5，3，6} {2，3，6} 6 1，2，4 树支 2 基本回路
基本割集
{1，2，6}
{3，4，5}
对同一个树 （1）由某个树支bt确定的基本割集应包含那些连支，每个 这种连支构成的单连支回路中包含该树支bt 。
例 由树支4确定的基本割集包含连支3、5 ，则连支3、 5 构成的单连支回路中一定包含树支4 。
[i ] [i4 i5 i6 i1 i2 i3 ]T
it il
矩阵形式的KVL
Bu = 0
Bu = 0 可写成另一种形式
ut [ Bt 1 ] 0 ul
Bt ut + ul = 0 ul = - Btut 用树支电压表示连支电压。
u1 ul u 2 u3 u4 ut u 5 u6
第17章 网络图论基础
本章重点 17.1 网络的图
17.2 回路 树 割集
17.3 图的矩阵表示和KCL， KVL方程的矩阵形式 17.4 节点电压法 17.5 含VCCS电路的节点分析 17.6 割集法 17.7 回路法
17.8 改进节点法 17.9 表格法
本章重点
. . . .
回路，树， 割集 关联矩阵A， 基本回路矩阵B， 基本割集矩阵Q 矩阵形式的KCL，KVL 节点法列写电路方程
基本回路 1 5 4
基本割集 {1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
2 3
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
6 1，2，4 树支
（2) 由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每 个这种树支所构成的基本割集中含有bl 。
例
由连支6确定的单连支回路包含树支1，2 ，则由树支1，
Ql BtT 的关系。
4 3 2 1
5
矩阵形式的KVL
QTut=u
6
u4 0 0 u4 1 u 0 u5 1 0 5 u4 u6 0 1 u6 0 u5 1 1 u4 u5 u1 0 u6 u4 u5 u6 u2 1 1 1 u u u 0 1 1 3 5 6
16个 图G 树支（tree branch）：属于树的支路。 树T1 树T2 树不唯一
连支（link）： 属于G而不属于T的支路。
树支数 bt= n-1 连支数 bl = b-(n-1)
单连支回路（基本回路（fundamental loop））：每个 回路中只包含一个连支，其余均为树支。
4
1
2 3 7
5
6
单连支回路
单连支回路
以2，3，6，7为树支， 树支数 4 分别加入1，4，5形成 三个单连支回路 连支数 3 4 1 6 5 3 独立回路 2 独立回路 7
三、割集（cut set） 例
②
②
1
①
2 5 4
③
2
5 4
①
1
③
3
④
3
④
6 闭合面与支路 2，5，4，6相交
6 移去支路 2，5，4，6
图分成两个 分离部分
3
④
6 Q1: { 2 , 3 , 6 }
6
6
Q2: { 3 , 4 , 5}
Q3: { 1 , 3 ,5 , 6 }
单树支割集
单树支割集
独立割集
独立割集
{ 1，2，3，4 }是否组成割集？
例1 1 3
2
4
三个分离部分 { 1，2，3，4 } 割集
例2 1 2
3
4
4 保留4支路，图不连通的。
{ 1，2，3，4 } 割集
5 6 0 1 1 0 0 -1 -1 0
支 节 1 A= 2 3
1 1 -1 0
2 3 4 0 0 -1 -1 0 0 1 1 0
5 6 0 1 1 0 0 -1
称A为降阶关联矩阵(reduced 各行不独立 incidence matrix) (n-1)b ， 设④为参考节点，划去第4行 表征独立节点与支路的关联性质
2所构成的基本割集中一定含有连支6。
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17.3
图的矩阵表示和KCL，KVL方程的矩阵形式
一、节点关联矩阵（node incidence matrix）A 用矩阵形式描述节点和支路的关联性质
关联矩阵
Aa={aij}n b
节点数 1 支路数 有向支路 j 背离 i 节点
aij =
-1 0
有向支路 j 指向 i 节点 i节点与 j 支路无关
支路 6
割集 Q1 Q = Q2 Q3
4 5
1 0 0
6
1
2
3
设
0 0 -1 -1 0 1 0 1 1 -1 0 1 0 -1 1 Ql Qt