分析化学2.1.1.3 准确度与精密度的关系
采制化系列课程之精密度与准确度
采制化系列课程之精密度与准确度精密度和准确度是科学中常用的两个概念，用于描述实验测量结果的质量和可靠性。
精密度指的是测量结果的重复性，即同一个实验或测量在相同条件下重复多次所得的结果之间的一致程度。
准确度则是指测量结果与真实值（或准确值）之间的接近程度，即测量结果的偏差。
在科学研究中，精密度与准确度是两个相互关联但又有所区别的概念。
精密度往往与观察仪器的测量能力有关。
如果一个实验仪器或测量方法的精密度较高，那么在相同条件下进行多次实验或测量时，结果之间的差异较小，即测量值的重复性较好。
反之，如果仪器或方法的精密度较低，那么多次实验或测量结果之间的差异较大，即测量值的重复性较差。
准确度则与测量结果与真实值之间的偏差有关。
一个准确的实验或测量结果应该与真实值接近，即测量结果的偏差应该较小。
如果一个实验或测量结果的准确度很高，那么该结果对于描述真实情况或推断科学规律的能力较强。
反之，如果实验或测量结果的准确度较低，那么该结果对于描述真实情况或推断科学规律的能力较弱。
在实际科学研究中，精密度和准确度往往是通过统计学方法来评估和描述的。
其中，精密度通常使用标准差或方差等指标来度量，准确度通常使用偏差、误差或相关系数等指标来度量。
为了提高实验测量结果的精密度和准确度，科学家们通常会采取一系列措施，比如使用更精密的仪器、提高操作技能、增加样本量等。
此外，还可以通过校准仪器、进行重复实验、进行数据分析等方法来评估和提高测量结果的精密度和准确度。
总之，精密度和准确度是科学研究中非常重要的概念，它们用于评估实验测量结果的质量和可靠性。
一个好的实验测量结果应该既具有较高的精密度，即结果重复性好，也具有较高的准确度，即结果与真实值接近。
通过合理的测量方法和数据分析，科学家们可以提高实验测量结果的精密度和准确度，从而有效地推动科学研究的发展和进步。
准确度和精密度以及提高准确度办法
绝对偏差(d)=x－x ＿
x-x 相对偏差(d%)= —— ×100%
＿ x
绝对偏差：单项测定与平均值的差值。 相对偏差：绝对偏差在平均值所占百分率或千分 率。
2022/3/24
大量资料 天天更新
二、精密度与偏差
2.算术平均偏差
＿
＿ 算术平均偏差d
=
∑ | xi－x | ——————
(
大量资料 天天更新
二、精密度与偏差
精密度：相同条件下几次重复测定结 果彼此相符合的程度。
精密度大小由偏差表示。 偏差愈小，精密度愈高。
2022/3/24
大量资料 天天更新
二、精密度与偏差
偏差 算术平均偏差 偏差的表示 标准偏差 极差 公差
2022/3/24
大量资料 天天更新
二、精密度与偏差
2022/3/24
大量资料 天天更新
二、精密度与偏差
在一般分析中，通常多采用平均偏差来表示测 量的精密度。
对于一种分析方法所能达到的精密度的考察， 一批分析结果的分散程度的判断以及其它许多 分析数据的处理等，最好采用相对标准偏差等 理论和方法。
用标准偏差表示精密度，可将单项测量的较大 偏差和测量次数对精密度的影响反映出来。
实验数据分析结果: 第一组：精密度很高，但平均值与标准样品数值相
差很大，说明准确度低。 第二组：精密度不高，准确度也不高。 第三组：精密度高，准确度也高。
2022/3/24
大量资料 天天更新
三、准确度与精密度的关系
准确度高必须精密度高， 精/24
大量资料 天天更新
4.极差 R=测定最大值-测定最小值
＿
相对极差=（R / x）×100%
分析办法的准确度和精密度
分析办法的准确度和精密度要分析一种方法的准确度和精密度，我们需要先了解这两个概念的含义。
准确度是指测量值与真实值之间的接近程度。
在实际应用中，我们难以获得真实值，因此准确度通常是通过与已知参考值的比较来评估的。
准确度高表示测量值与真实值非常接近，准确度低则表示相差较大。
精密度是指测量结果的重复性和一致性。
换句话说，对于相同样本进行重复测量，如果结果非常接近，则意味着具有高精密度。
精密度高的方法可以得到稳定的、可重复的结果，精密度低则表示结果的波动范围较大。
为了评估一个方法的准确度和精密度，以下是一些可以采取的具体步骤：1.确定测试目标：首先需要明确要测试的目标是什么，是其中一种物理量、化学成分、数据模型等等。
2.确定参考值：如果有已知的参考值可用，可以将该值作为真实值来评估方法的准确度。
如果无法获得参考值，则可以考虑与其他已发布的相似方法进行比较。
3.设计实验：选取一组样本，根据方法的要求进行测试，记录每次测试的结果。
4.分析数据：根据实验结果，计算方法的平均值和标准偏差。
平均值反映了方法的准确度，标准偏差则用于评估方法的精密度。
5.与参考值比较：如果有参考值可用，将实验结果与参考值进行比较。
可以计算偏差或误差来衡量方法的准确度。
对于物理量或化学成分，还可以计算百分比误差。
6.重复性测试：对同一组样本进行多次测试，计算结果的标准偏差。
标准偏差越小，说明方法的精密度越高。
7.讨论结果：根据分析的结果，对方法的准确度和精密度进行评估。
如果准确度和精密度都达到要求，则可以认为该方法是可靠和精确的。
需要注意的是，仅仅通过准确度和精密度的分析来评估方法的优劣可能不够全面。
还需要考虑实际应用的要求、成本效益等因素来综合评估。
此外，在分析准确度和精密度时，还要注意排除实验误差和人为因素对结果的影响。
总之，通过以上步骤的分析，可以评估出一个方法的准确度和精密度，并据此判断其可靠性和适用性。
误差-准确度-精密度和不确定度的定义以及它们之间的关系
误差\准确度\精密度和不确定度的定义以及它们之间的关系在产品质量检验的实际工作中，时常会遇到误差值、准确度、精确度和不确定度问题。
特别是一次性的检验活动中，如食品、酒类样品的分析；建筑材料（水泥、砖、钢筋）的检验；轻纺产品的检测等等，都离不开这些定义的运用与归纳。
因此，作为检验、检测的技术机构应充分掌握和理解它们之间的关系，并在实际检验工作中运用好准确度与误差值、精密度和不确定度之间的关系。
对正确判定检验结论有很大的帮助。
1误差的定义误差是指测定的数值或其他近似值与真值的差。
例如：以0. 33代替1/3，其绝对误差就是1/300；相对误差就是l%。
2准确度的定义准确度是指测量值与真实值之间相符合的程度。
准确度的高低常以误差的大小来衡量。
即误差越小，准确度越高；误差越大，准确度越低。
为了说明一些仪器测量的准确度，常用绝对误差来表示。
如：分析天平的称量误差是±0.0002g；常量滴定管的读数误差是±0. 01ml等等。
3精密度的定义精密度是指在相同条件下，n次重复测量结果彼此相符合的程度。
精密度的大小，常用偏差表示，偏差越小，说明精密度越高。
为能准确衡量精密度，一般用标准偏差来表示。
其数学公式为：样本标准偏差S= [∑(Xi - X)2/（n-1）] 。
4不确定度的定义在《国际计量学基本和通用术语词汇表》中不确定度的定义为：表征合理地赋予被测量之值的分散性与测量结果相联系的参数。
在实际工作中，结果的不确定度，可能有很多来源。
如定义不完整，取样、基体效应和干扰，环境条件，质量和容量仪器的不确定度，参考值，测量方法和程序中的估计和假定以及随机变化等。
例如，对二等铂铑10 ——铂热电偶标准装置不确定度的评定，当在800℃点时，校准证书上表明，修正值为0.6℃，测得的平均值是800. 2℃，则实际结果为：t= 800.2℃+0. 6℃=800.80℃，其中不确定度U95=1.5℃（置信概率95%时，则KP =2）。
1.3.3测量的精密度、准确度和精确度
>>1.精密度
对同一被测量进行多次测量所得的测定值重复一致的程度，或者说测定值分布的密集程度，称为被测量的精密度。精密度反映随机误差的影响，随机误差愈小，精密度愈高。
>>2.准确度
对同一被测量进行多次测量，测定值偏离被测量真值的程度称为测量的准确度。准确度反映了系统误差的影，系统误差愈小，准确度愈高。
>>3.精确度
精密度和准确度的综合指标称为精确度，或称精度。
分析化学2020春期末考试复习资料
第二章1.在定量分析中，精密度与准确度之间的关系是（）精密度是保证准确度的前提2.下列各项定义中不正确的是（）总体平均值就是真值3.以下关于偶然误差的叙述正确的是（）正负误差出现的几率相等4.可用下列何种方法减免分析测试中的系统误差（）进行仪器校正5.有关提高分析准确度的方法，以下描述正确的是（）增加平行试验的次数6.下列哪种方法可以减小分析测定中的偶然误差（）作空白试验可以估算出试剂不纯带来的误差7.2.050×10-2是几位有效数字（）四位8.按有效数字修约的规则，以下测量值中可修约为2.01的是（）2.0069.试述精密度和准确度的关系。
测定结果的精密度高，不能说明其准确度也高，因为可能有系统误差存在。
但精密度是保证准确度的先决条件，因此，只有精密度与准确度都高的测量值才最为可取，结果才准确。
准确度表示测量的正确性，精密度表示测量结果的重现性。
由于真值通常未知，只有在消除了系统误差后，精密度高的多次测量的平均值才接近真值，这时，才可用测量结果的精密度来衡量结果是否可靠。
10.提高分析准确度的方法有哪些？1.选择适当的分析方法。
2.减小测量的误差。
3.减小偶然误差的影响。
4.消除测量中的系统误差。
11.根据有效数字运算法则计算下列各式的结果。
（1）5.3 + 6.45；（2）35.8 + 26.9 + 12.8 － 20.50；（3）8.3×12.50×18.6；（4）88.9×0.00237 + 25.64（5）（456.4 －23.58）/0.359；（6）1.78×104 － 2.013×103；（7）（5.257×10-4）×（3.9×10-6）（8）3.546×10-7/1.9×10-3（1）11.8（2）55.0（3）1929.8（4）25.85（5）1205.6（6）1.58X104（7）0.0（8）0.012.计算下列各组数据的平均值，偏差，平均偏差，相对平均偏差，标准偏差和相对标准偏差。
准确度、正确度和精密度试验间的区别与关系
第３ 期
煤 质 技 术
２０ 年 ５月 ０８
准确 度 、正确 度 和 精 密 度试 验 间 的 区别 与关 系
袁晓鹰，周尊英
（ 照 出 入 境 检 验 检 疫 局 ， 山 东 日 照 ２ ６ ２ ） 日 ７ ８ ６
摘 要 ：介 绍 了准确度 、正确度 和精 密度概 念 ，并对该 三 者试验 间的 区别和 关 系进 行 了探 讨 ， 以便 煤炭 实验 室人 员进 一步理 解上述 概念 。
度 ）组 成 。
存在一 些模 糊的认 识 ，经 常把 正确 度当作 准确度 来
使用 ，因此 该文对 准确 度 、正 确度 、精密度 试验 的
区别和 关系进 行一 些探 讨 。
正确度 （ｒ ｅ ｅｓ 是 由大 量 测 试结 果得 到 的 ｔ ｎ ｓ） ｕ 平 均数 与接 受参照 值 间的一 致程 度 。正 确度度 量通 常 以 偏倚表 示 ，偏倚 小则说 明正 确度高 ，偏倚 大则 说 明 正确度 低 。在 检验 中大 都用标 准方 法 、标 准物 质 、回收率 、偏倚 试验 等验 证正 确度的 高低 。 精 密度 （ ｒｃｓ ｎ ｐｅ ｉ ｏ ）是在 规 定条 件 下 ，独立 测 ｉ
试结果 间的 一致程 度 。精密 度仅仅 依赖 于随机 误差
的分 布而与 真值或 接受 参照值 无 关 。通 常用偏 差衡 量 精 密 度 的 高 低 ，最 常 用 的是 标 准 差 。精 密 度 越 低 ，标 准差越 大 。在检 验 中大 都用 室 内重复性 、中
确定值 ；②基 于一 些国 家或 国际组 织的实验 工作 的 指 定值或 认证 值 ；③基于 科学或 工程 组织赞 助下 合
ＹＵＡ Ｎ ａ — ｎ ＺＨ ０Ｕ ｎ ｙｉ Ｘｉ ｏ ｙｉ ｇ． Ｚｕ — ｎｇ
准确度与精密度
1. 绝对误差 绝对误差(E): 表示测量值与真实值 之差,简称误差 简称误差。 之差 简称误差。
E = 0.2898 − 0.2902 = −0.0004 0.0004 RE = − ×100% = −0.14% 0.2902
结论: 和 都有正负之分 都有正负之分。 结论 E和RE都有正负之分。正值表 示分析结果偏高,负值表示分析结果 示分析结果偏高 负值表示分析结果 偏低。其中RE能反映误差在真实结 偏低。其中 能反映误差在真实结 果中所占的比例,这对于比较在各种 果中所占的比例 这对于比较在各种 情况下测定结果的准确度更为方便， 情况下测定结果的准确度更为方便， 所以分析结果的准确度用RE表示更 所以分析结果的准确度用 表示更 具实际意义。 具实际意义。
相对平均偏差( 相对平均偏差 Rd ): 为平均偏差与平 均值之比,常用百分率表示 常用百分率表示。 均值之比 常用百分率表示。
d Rd = ×100% X
例如,一组重复测定值为 例如 一组重复测定值为15.67, 15.69， 一组重复测定值为 ， 16.03, 15.89。则 。
15.67 + 15.69 + 16.03 + 15.89 X = = 15.82 4 0.15 + 0.13 + 0.21 + 0.07 d = = 0.14 4 0.14 Rd = × 100 % = 0.89% 15.82
前述两组数据的标准偏差分别是 甲组 2
2 2
分析化学重点
分析化学重点1.准确度是指测定值与真实值接近的程度。
2.精密度是指一组平行测定的各测量值（实验值）之间相互接近的程度。
3.准确度与精密度之间的关系（理解）定量分析的误差来自系统误差和偶然误差，这两种误差都直接影响分析结果的准确度，而分析结果的精密度仅受偶然误差的影响。
精密度是保证准确度的前提条件，没有好的精密度就不可能有好的准确度。
在消除系统误差的前提条件下，测定越精密，偶然误差越小，测定结果越接近真实值，在这种情况下，精密度好准确度就高，担不是在所有情况下精密度好就是准确度高，因为准确度是由系统误差和偶然误差两者决定的，只有在系统误差和偶然误差都很小的情况下，准确度才高。
4.系统误差和偶然误差（会判断）系统误差又称可测误差。
它是由于分析过程中某些确定因素所造成的，特点是其大小、正负可以测定，具有重复性和单向性。
即：在同一条件下进行测定，会重复出现，使测定结果总是偏高或偏低。
根据系统误差产生的来源可分为：方法误差、仪器和试剂误差、操作误差。
偶然误差又称随机误差或不可定误差，它是由某些不确定的偶然因素所致。
5. 沉淀重量法对沉淀形式的要求1）沉淀的溶解度必须小2）沉淀的纯度要高3）沉淀形式要易于过滤、洗涤4）易于转变为称量形式6. 同离子效应当沉淀反应达到平衡后，若向溶液中加入含有某一构晶离子（成电离子）的试剂或溶液，可降低沉淀的溶解度。
7．异离子效应在难容化合物的饱和溶液中，加入易容的强电解质，会使难容化合物的溶解度比同温度时在纯水中的溶解度大的现象。
（盐效应）8.晶形沉淀的条件1）在适当稀的溶液中进行沉淀2）在不断搅拌下缓慢加入沉淀剂3）在热溶液中进行沉淀4）熟化9.非晶形沉淀的条件1)浓溶液中进行沉淀2）在热溶液中进行沉淀3）加入适当的电解质以破坏胶体4）不必熟化，沉淀完毕后，立即趁热过滤洗涤10.化学计量点当加入标准溶液与待测组分按反应式的化学计量点关系恰好反应完全时，反应达到了化学计量点。
分析化学 第二章 定量分析中的误差和数据处理
s
(x x)
i
2
n 1
相对标准偏差(RSD, sr):
sr
教材p42 例2
s 100% x
2.1.4 误差产生原因和减免方法 根据误差来源和性质的不同，定量分析中 的误差分为系统误差和随机误差。
1. 系统误差（可测误差） 由某种固定的原因引起的误差。
系统误差产生的原因： （1）方法误差
思考题: 下列数据各有几位有效数字? (1)0.0330
(2)10.030
(3)89.6 (6)pH=10.2
(4)3.30×10-2 (5)pKa=4.74
2.2.1 有效数字(significant figure)
1. 有效数字为分析中能实际测量到的数字 有效数字位数=所有准确数字 + 一位可疑数字 例：滴定读数20.30mL，最多可以读准前3位 第4位为估读数(可疑数字), 有±1个单位的误差 2. 数字零在数据中有双重作用： （1）若只起定位作用，不是有效数字。 例: 0.0318 为3位有效数字 （2）若作为普通数字使用，为有效数字。 例: 0.03180 为 4位有效数字 3．单位变换不影响有效数字位数 例：10.00(mL)→0.001000(L) 均为4位有效数字
特点： （1）对分析结果的影响比较恒定（单向性）； （2）多次测定时重复出现（重复性）； （3）影响准确度，不影响精密度； （4）可以校正消除。
（2）仪器和试剂误差 （3）操作误差 （4）主观误差
（1）方法误差：方法选择不合适 例：重量分析中，沉淀不完全或沉淀溶解损失 指示剂选择不当 （2）仪器和试剂误差： 仪器不符合要求(如，天平砝码质量、仪表 刻度、容量器皿刻度不准确等） 所用试剂纯度不够(去离子水不合格、试剂级 别不合适等 )
分析化学第二章 误差及分析数据的处理
性质 影响 消除或减 小的方法
重现性、单向性 、可测 服从概率统计规律、
性
准确度 校正
不可测性
精密度 增加测定的次数
六、提高分析结果准确度的Байду номын сангаас法
1. 选择恰当的分析方法 2. 减小测量误差
与经典方法进行比较 校准仪器 4. 消除测量中的系统误差 空白试验 对照试验 回收试验
3. 减小偶然误差
1．选择合适的分析方法
系统误差 产生的原因
a.方法误差——选择的方法不够完善
例：重量分析中沉淀的溶解损失；
滴定分析中指示剂选择不当。 b.仪器误差——仪器本身的缺陷 例： 天平两臂不等，砝码未校正； 滴定管，容量瓶未校正。
c.试剂误差——所用试剂有杂质
例：去离子水不合格； 试剂纯度不够（含待测组份或干扰离子）。 d.操作误差——操作人员主观因素造成 例：对指示剂颜色辨别偏深或偏浅； 滴定管读数不准
d
i 1
n
i
n
0.11% 0.14% 0.16% 0.04% 0.09% 0.11% 5
相对平均偏差
d 0.11% d r 100% 100% 0.29% x 37.34%
标准偏差
2 ( x i x ) i 1 n
s
n 1
(0.11%) 2 (0.14%) 2 (0.16%) 2 (0.04%) 2 (0.09%) 2 0.13% 5 1
回收率越接近100%，方法准确度越高
方法误差 仪器误差 系统误差 试剂误差 操作误差
选择适当的分析方法 校正仪器 空白实验 对照实验
误差
分析测试中，一般对同一试样平行 偶然误差 测定 3~4 次，精密度符合要求即可。
分析化学 第二章 定量分析中的误差及数据处理
相对平均偏差：
特点：简单
缺点：大偏差得不到应有反映
2. 标准偏差
标准偏差的计算分两种情况：
(1) 当测定次数趋于无穷大时： 总体标准偏差 ：
X
2
/n
μ 为无限多次测定 的平均值（总体平均值）, 即 1 n lim xi n n i 1 当消除系统误差时，μ即为真值。
思考题：
1．下列叙述错误的是： A．方法误差属于系统误差 B．系统误差包括操作误差
C．系统误差又称可测误差
D．系统误差呈正态分布 E. 系统误差具有单向性 Ans:D
2．下列论述中正确的是： A．准确度高，一定需要精密度高 B．进行分析时, 过失误差不可避免 C. 精密度高，准确度一定高
D．精密度高，系统误差一定小
3．改变单位不改变有效数字的位数：
例: 19.02 mL, 19.0210-3 L
（二）有效数字的运算规则
1. 加减运算： 结果的位数取决于绝对误差最大的那个数据。
例： 0.0122 25.64 1.051 25.7032
Ans: 25.70
绝对误差：0.0001 0.01 0.001
2. 乘除运算： 结果的有效数字的位数取决于有效数字位数最少 的那个数，即相对误差最大的那个数。 例：(0.0325 5.103 60.0)/139.8 = 0.0711791 0.0325 ±0.0001/0.0325 100%=±0.3%
离群值的 取舍 精密度显著性 检验 准确度或系统误 差显著性检验
五、有效数字及其运算规则
思考题:
下列数据各包括了几位有效数字?
(1)0.0330 (7)3.3×10-2
准确度和精密度以及提高准确度方法
读数误差？
2021/1/18
二、提高分析结果准确度的方法
例7：分析天平的称量误差在±0.0001 克，如使测量 时的相对误差在0.1%以下，试样至少应该称多少克？
解：
绝对误差(E) 相对误差(RE) = ——————
试样重
× 100%
E 0.0002g
试样重 = —— = ———— = 0.2g E% 0.1%
对于一种分析方法所能达到的精密度的考察， 一批分析结果的分散程度的判断以及其它许多 分析数据的处理等，最好采用相对标准偏差等 理论和方法。
用标准偏差表示精密度，可将单项测量的较大 偏差和测量次数对精密度的影响反映出来。
2021/1/18
三、准确度与精密度的关系
例6：现有三组各分 析四次结果的数 据如表所示
定量分析中的误差及 有效数字
2021/1/18
教学指导
学习误差及偏差的概念、种类和计算方法。 明确准确度、精密度的概念及实际应用中
两者间的关系。 学习分析检验过程中误差产生的原因及特
点。 了解提高分析结果准确度的方法。 掌握有效数字及运算规则。
2021/1/18
第一节 准确度和精密度
准确度与误差 精密度与偏差 准确度与精密度的关系
一、产生误差的原因
2021/1/18
3.过失误差
由操作不正确，粗心
大意引起的误差。
舍 去 所 得 结
二、提高分析结果准确度的方法
1．选择合适的分析方法 化学分析：滴定分析，重量分析灵敏度不
高，高含量较合适。 仪器分析：微量分析较合适。
2021/1/18
二、提高分析结果准确度的方法
2．减小测量误差
分析结果的准确性和精密度
回收率＝(V2c2-V1c1)×100％/V0c0
其中：c2：加标样品测试值，ug/mL V2：加标样品体积，mL c1：未加标样品测试值，ug/mL V1：未加标样品体积，mL c0：加入标准溶液的浓度，ug/mL V0：加入标准溶液体积，mL
本计算公式是基于加标样品和未加标样品的质量一致的前提，如两者不 一致，则应折算为一致的质量。
则个别绝对误差（di)是各次测定值（xi）与他们的平均值之差。
di = xi - x 平均偏差(d)是各次测定的个别绝对偏差的绝对值的平均值，即
分析结果的精密度可以用单次测量结果的平均偏差表示。平均偏差没有 正负号。用这种方法求得的平均偏差成为算术平均偏差。
平均偏差的另一种表示方式为标准偏差。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相对标准偏差(RSD)，也称为变异系数，可按下式计算：
PS:一般进行某种试验以阐明一定因素对一个对象的影响和处理效应或意 义时，除了对试验所要求研究因素或操作处理外，其他因素都保持一致， 并把试验结果进行比较，这种试验为对照试验。 指不做任何实验处理的对象组。例如，在“生物组织中可溶性还原糖的 鉴定”的实验中，向甲试管溶液加入试剂，而乙试管溶液不加试剂，一 起进行沸水浴，比较它们的变化。这样，甲为实验组，乙为对照组，且 乙为典型的空白对照。空白对照能明白地对比和衬托出实验的变化和结 果，增强了说服力。
回收率的范围一般控制为70％－90％，根据项目的不同，由实验室技术 指导进行适当调整。回收率的测定结果记录在《回收率测定记录表》中。
8.标准曲线的回归
目的是为了确定未知浓度，其原理是测量值与标准值成比例，可构造二 元一次方程。
做回收实验在检测的样品中添加一定量的标准物质测试添加进去的标准物质的回收率可以衡量前处理或测试过程中的基体干扰样品的交叉污染样品损失仪器性能等故回收率试验一直是化学实验室质量控制中重要的手段之一
分析化学
di xi x (i 1,2,3...,n)
（2）相对偏差 绝对偏差在平均值里所占的百分比称~。
di%
di x
100%
2. 平均偏差和相对平均偏差
（1）平均偏差
d d1 d2 dn 1
n
n
di
式中n为测量次数。由于各测量值的 绝对偏差有正有负，取平均值时会相互抵 消。只有取偏差的绝对值的平均值才能正 确反映一组重复测定值间的符合程度。
σ:对无限次数测定而言，表示各测量值对 总体平均值的偏离。
(2)标准偏差常用来衡量数据的波动性，由于 将各测量值与的偏差进行了平方，即强调了 大偏差数据的作用，所以，它比平均偏差更能 表现出测定结果的精密程度。
例1：
一组重复测定值为15.67, 15.69, 16.03, 15.89。 求15.67这次测量值的绝对偏差和相对偏差， 这组测量值的平均偏差、相对平均偏差、标 准偏差及相对标准偏差。
( xi x)2 0.0008 0.014
n1
4
结果表明：二人测定结果的 d 相同，看不出谁的 精密度好，但用 s比较，s乙>s甲，说明甲的精密度 好。
说明：用标准偏差来表示精密度，能将较大的偏
差更显著地表现出来。
4. 平均值的标准偏差
如果从同一总体中随机抽出容量相 同的数个样本，由此可以得到一系 列样本的平均值 x1, x2,, xn 。实践 证明，这些样本平均值也并不完全 一致，它们的精密度可以用平均值 的标准偏差来衡量。
解：
x
15.67
15.69
16.03
15.89
15.82
4
di xi x 15.67 15.82 0.15