弹塑性力学第十一章

（2）梁弹塑性弯曲时的变形
在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系 M M=EI ( M Me ), 或 EI
My 将应力与弯矩关系式 代入上式,可得 I

Ey
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§11-2 一维问题弹塑性分析 在弹塑性阶段，由于梁弯曲 y 0 时截面仍然保持平面，可得 y0 y y + s x s s y0 或 Ey0
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
2. 金属受静水压力和拉压联合作用与金属单 独受拉压作用比较，发现静水压力对初始屈 服应力 s没有影响。
结论：静水压力与塑性变形无关。
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§11-2 一维问题弹塑性分析 1.拉压杆的弹塑性问题
图示为两端固定的等 截面杆(超静定杆)，
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s
-
§11-2 一维问题弹塑性分析
s
y0 y0
s
+ h/2
s y x s y0
+
y
弹塑性阶段：Mp M Me 弯矩继续增大，截面上塑性区域向中间扩展， 塑性区域内的应力保持不变，截面上弯矩为
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s
-
§11-2 一维问题弹塑性分析
s
y0 y0
y s s x s y 0 h2 y0 y M x ydA 2b s ydy s ydy A 0 y0 y 0
a 或 N 2 N1 b 由于b a，所以 N1 N2 ，将 N 2 N1 a b
N 1a N 2 b 0 EA EA
代入平衡方程。
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§11-2 一维问题弹塑性分析 得
N1 P /(1 a b)
N 2 ( P a b) (1 a b)
最大弹性荷载 Pe N1 (1 a b) s A(1 a b) 力P 作用点的伸长为 Pe a sa N1a e EA (1 a ) EA E b
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o
p
e
p e
p e
O’
合金钢 -

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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段 应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足 屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变 形存在。卸载按线性弹性。

s
o
A
B
C
’s s A
4 截面弯矩达到极限弯矩时，其附近无限靠 近的相邻两截面可发生有限相对转角，该截面 称为塑性铰。 对于静定梁，截面弯矩达到极限弯矩时， 结构变成机构，承载力已无法增加。这种状态 称为极限状态。
bh Me s 6
2
M Mp
s bh
2
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§11-2 一维问题弹塑性分析
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§11-2 一维问题弹塑性分析
(2)弹塑性解Pp P Pe :
P = Pe 后，P 可继续增大，而 N1=sA 不增加 （a段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性） N2=P- N1=P-sA
力 P 作用点的伸长取决于b 段杆的变形
N 2 b ( P s A)b b EA EA
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§11-2 一维问题弹塑性分析
(3)塑性解：
N1=sA , N2=sA
则最大荷载 Pp=2sA ——极限荷载
Pp
Pe
P
e

这时杆件变形显著增加，丧失承载能力
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§11-2 一维问题弹塑性分析
作业：图示桁架各杆截面面积为 A , 材料为理 想弹塑性 ,求荷载 P 与 C 点竖向位移 关系。
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s
+
+
=
-
+
y y0 y0 y y0 y y0
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§11-2 一维问题弹塑性分析
2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
M y x M h
+
2 h 2 y0 b s 4 3 h 2 h 2 bh 2 当y0=h/2时： M M e b s s 4 12 6 ——最大弹性弯矩
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+ h/2
y
s
-
§11-2 一维问题弹塑性分析

s
o A B C
软钢 -
’s s A
o
B
C
pe p e
p e
O’
合金钢 -

当应力－应变曲线在OA范围内变化，材料 为弹性变化。当应力达到 s时（软钢有明显 屈服发生(AB段），合金钢无明显屈服发生） 将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的 条件为
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’s s A
o
B C
p e
O’
- ’s=0——后继屈服函数 ’s=’s( p)

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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型 当卸载后，反向加载时，有些金属材料反 映出反向加载的屈服极限 ’’s s —— 称为 包辛格效应（Bauschinger. J. 德国人）。
B C
包辛格效应
’s
A
ห้องสมุดไป่ตู้
s
o
O’
’
s’’
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
小结： （1）在弹性阶段（ s）： = e 应力应变关系 一一对应。 （2）当应力达到初始屈服条件（ =s时），材料 进入弹塑性阶段， = e+ p，应力－应变关系不再 是一一对应关系，而要考虑加载变形历史。 （3）对于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料， 屈服条件采用初始屈服条件。对于无明显屈服流 动且强化阶段较高的材料，将有后继屈服函数产生。 （4）有些强化材料具有包辛格效应。
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.3金属材料在静水压力实验：
前人（Bridgman）对大量金属进行水压力实验 及拉压和静水压力联合实验，得到下列结果：
1. 在静水压力(高压) p 作用下, 金 属 体 积 应 变 e=V/V=p/k成正比，当p达到或超过金属材料 的 s时，e与p 仍成正比；并且除去压力后， 体积变化可以恢复，金属不发生塑性变形。
s
y0 y0
s
-
s
+ h/2
s
+
y
y x s y0
+
s
h2 y0 y M x ydA 2b s ydy s ydy A 0 y0 y 0 2 h 2 y0 b s 4 3
( M Me )

(3) 梁弹塑性弯曲时的卸载：
卸载是以线弹性变化，卸载后梁截面的弯 矩M=0, 但截面内的应力不为零，有残余 应力存在。以矩形截面为例：
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§11-2 一维问题弹塑性分析
s
+
+
-
M y s I M s x y y I y0 M y s I
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§11-2 一维问题弹塑性分析
N 2 b ( P s A)b b EA EA
Pe s A(1 a b)
s A Pe (1 a b)
P Pe
(1 a b)b Pa ( P Pe )b EA EA(1 a b)
N1 a
EA P x b
N2
设材料为理想弹塑性材料， 在x = a 处（b a）作用一 s 逐渐增大的力P。
平衡条件 : N1+N2=P 变形协调条件：a+b=0
o s

理想弹塑性模型
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§11-2 一维问题弹塑性分析
（1）弹性解：
当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为 N1a N 2b a b EA EA 代入变形协调方程为
1
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
1.1 单 向 拉 压 实 验 ： 不同材料在单向拉压实验中，有不同的 应力－应变曲线。

A B C
s
o
’s s A
o
B
C
pe p e
p e
O’

软钢 -
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合金钢 -
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
f () = - s = 0 初始屈服条件（函数） 当软钢应力达到A点后，软钢有明显屈服 （塑性流动）阶段。 经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为 强化阶段，BC段），但强化阶段 增幅较少。
s
A
B
C
’s s A
o
B
C
软钢 -
o
B
C
pe p e
p e
O’

软钢 -
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合金钢 -
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§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
而对于合金钢，无明显屈服，当 s时进 入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变 形，卸载按线弹性。对于强化特性明显的材料， 由O’点继续加载，在O’B段又是线性弹性变化， 当 达到B点再次发生塑性变形，