北京交通大学2010-2013第一学期概率论与数理统计期中试题答案
概率论与数理统计试题期中考试-答案
概率论与数理统计课程期中考试考试时间：90分钟姓名：班级：学号：一、单项选择题（本大题共有5个小题，每小题4分，共20分）1,设..~(100,0.1)R V X B，1..~()2R V Yπ，且X和Y相互独立，令72+-=YXZ，则D(Z)=（D ）。
A:7 B:8 C:10 D:11 2,若P(A)=1/2,P(B|A)=1/3,则P(AB)=（ B ）A:1/2 B: 1/3 C: 5/6 D:1/63,设X的概率密度函数为30()xke xf x-⎧>=⎨⎩其它，则=k( C )A:1/3 B:1/9 C: 3 D: 94, 如果X,Y为两个随机变量，满足COV(X,Y)=0,下列命题中正确的是( A )。
A：X,Y不相关B：X,Y相互独立C：D(XY) =D(X)+D(Y) D：D(X-Y) =D(X)-D(Y)5，在8片药中有4片是安慰剂，从中任取3片，则取到2片是安慰剂的概率为（ B ）A：1/4 B ：3/7 C：1/2 D：6/7二、填空题（本大题共有6个小题，每空2分，共20分）4 A,B为两个随机事件，若P(A)=0.4，P(B)=0.6，P(B A)=0.2.则P(AB)= 0.4 ,P(AB)= 0.25 甲乙两人独立射击，击中目标的概率分别为0.8,0.7，现在两人同时射击同一目标，则目标被击中的概率为 0.946．若某产品平均数量为73，均方差为7，利用切比雪夫不等式估计数量在52~94之间的概率为 8/97.在8件产品中有2件次品。
从中随机抽取2次，每次抽取一件，做不放回抽取。
则两次都是正品的概率为 15/28 抽取的产品分别有一正品和一件次品的概率为 3/7 ，第二次取出的产品为次品的概率为 1/48若X~N(2,1)，Y~U[1,4]，X,Y互相独立，则E(X+2Y-XY+2)= 4 ，D(X-2Y+3)=49 设D(X)=D(Y)=2，0.3XY ρ=,则D(X-Y)= 2.8三、解答题（本大题共有3个小题，共32分）10（7分）病树主人外出，委托邻居浇水。
北交《概率论与数理统计》复习题一答案
北交《概率论与数理统计》复习题一一、 填空题1. 题在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，则选中的书都是科技书的概率为______ 1/15_____． 考核知识：古典概型。
2. 设随机事件A 与B 相互独立，且5.0)(=A P ，3.0)(=B A P ，则=)(B P ___0.4________．考核知识点：事件的独立性。
3. 设A ,B 为随机事件，5.0)(=A P ，4.0)(=B P ，8.0)|(=B A P ，则=)|(A B P __0.64_____．考核知识点：条件概率。
4. 设袋中有2个黑球、3个白球，有放回地连续取2次球，每次取一个，则至少取到一个黑球的概率是____16/25_______．5.考核知识点：古典概型。
6. 设随机变量X 的分布律为：则=≥}1{X P ___0.7________． 考核知识点：离散型随机变量。
7. 设二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，其中20,20:≤≤≤≤y x D ．记),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则=)1,1(f ____1/4_______． 考核知识点：概率密度函数。
8. 设),(Y X 的分布律为X Y0 1 2 0 0.3 0.1 0.2 10.10.3则==}{Y X P ____0.4_______． 考核知识点：二维离散型随机变量。
9. 设二维随机变量),(Y X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>--=--其他,00,0),1)(1(),(y x e e y x F yx ，则=≤≤}1,1{Y X P ___________．考核知识点：二维连续型随机变量。
10. 设总体X ～)1,(μN ，21,x x 为来自总体X 的一个样本，估计量2112121ˆx x +=μ，2123231ˆx x +=μ，则方差较小的估计量是___________． 考核知识点：估计量的有效性。
概率论期中考试题目与答案
北方工业大学 《概率论与数理统计II 》课程试卷答案及评分标准A 卷2013年春季学期开课学院： 理学院考试方式：闭卷考试时间：120 分钟班级 姓名 学号 注意事项：最后一页可以撕下作稿纸，但不能把试卷撕散，撕散试卷作废。
一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X 服从正态分布()211,σμN ，Y 服从正态分布()222,σμN ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则 ( C )（A ）21μμ<（B ）21μμ>（C ）21σσ<（D ）21σσ>2. 随机变量)4,1(~),1,0(~N Y N X 且相关系数1=XY ρ则（D ）（A ）{}112=--=X Y P （B ）{}112=-=X Y P （C ）{}112=+-=X Y P （D ）{}112=+=X Y P 3. 设在一次试验中事件A 发生的概率为p,现重复进行n 次独立试验,则事件A 至多发生一次的概率为(D)A.np -1B. npC. np )1(1--D. 1)1()1(--+-n n p np p4. （13）设随机变量()Y X ,的概率分布为：已知随机事件{}0=X 与{}1=+Y X 相互独立，则（B ）订线装（A ） 3.0,2.0==b a （B ） 1.0,4.0==b a （C ） 2.0,3.0==b a . （D ） 4.0,1.0==b a5. 设两个随机变量X 和Y 的标准差分别为3和2，且它们的相关系数为0.1，则随机变量Y X 34-的方差是(C )（A ） 36 （B ） 144.6 （C ） 165.6 （D ） 180二、填空题（每空3分，共15分）1. 设事件B A ,至少发生一个的概率为0.7，且P(A)+P(B)=1.2，则B A ,至少有一个不发生的概率为___ 0.5____.2. 某人投篮命中率为54，直到投中为止，所用投球数为4的概率为 4/625 。
试题
北京交通大学2012-2013第一学期随机数学期中试题班级 学号 姓名 成绩1.（6分）设1.0)(=A P ，9.0)|(=A B P ，2.0)|(=A B P ，求|(B A P .2. (12分)设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。
随机的取一个地区的报名表，从中先后抽取两份。
(1)求先抽到的一份是女生表的概率；(2)已知后抽到的一份表是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。
3.(10分)甲、乙、丙三人独立的向同一飞行目标各射击一次，击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。
如果只有一人击中，则目标被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则目标被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则目标一定被击落。
求目标被击落的概率。
的分布律。
并求试确定常数且的分布函数为分）设离散型随机变量X b a XP x b a x a x a x x F X ,,,21}2{.2,,21,32,11,,1,0)(10.(4==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=5.(4分)已知盒子里有10张卡片，上面分别标有号码（1号～10号），从中抽取5次，每次随机地取一张，观察其上的号码后放回．设X 表示观察到奇数号码的次数，则随机变量X 服从什么分布（指出其参数）.6.（8分）随机变量X 与Y 相互独立, 且均服从区间[]0,3上的均匀分布, 试求P {min (X ,Y )1≤}和P {max (X ,Y )>1}.7.(14分)设随机变量X服从标准正态分布(已知977.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ)。
(1)写出X 的概率密度)(x f X ；(2)随机变量2X Y =，求Y 的概率密度)(y f Y ；(3)随机变量⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≤-≤≤-=其它或,32112,211,1X X X Z , 求Z 的分布律.8．(12分)设二维随机变量 (X ,Y ) 在 D ={(x ,y ) | 1≤ x ≤ 3, 1≤ y ≤ x } 上服从均匀分布。
北京交通大学 概率论与数理统计习题4答案
1 ， 4
P{Z1 1} P{max{ X , Y } 1} P{ X 0, Y 1} P{ X 1, Y 0} P{ X 1, Y 1} ，
1 1 1 1 1 1 3 P{ X 0} P{Y 1} P{ X 1} P{Y 0} P{ X 1} P{Y 1} ， 2 2 2 2 2 2 4
3 1 x 1 0 1 0 0 1
3 5 1 5
E Y 2
y p x,
2
y dxdy 3 xdx y 2 dy x 4 dx y dxdy 3 x 2 dx ydy
0 0 0 1 0 0 x 1
x
E XY
V 0
dx
1 . n 1
9. 将 n 个球随机的放入 N 个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数 X 的数 学期望.
1 解：引入随机变量 X i 0
若第i个盒子中有球 若第i个盒子中无球
i 1 , 2 , , N ，
每个随机变量 X i 都服从两点分布， i 1, 2 ,, N ，
0 0
4 , 3 e 4 X ] E ( X 2 ) 2 E ( Xe2 X ) E (e4 X )
xe 2 x e x dx e 4 x e x dx
1 1 2 2 x 3e 3 x dx 5e 5 x dx 3 0 5 0 2 1 1 109 2 3 3 5 45 29 所以 D(Y ) E (Y 2 ) E 2 (Y ) , 45
解: E ( X )
xf ( x) dx x xdx x (2 x) dx
北京交通大学-学年概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案.doc
北 京 交 通 大 学2009~2010学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案一．（本题满分8分）某城市有汽车100000辆，牌照编号从00000到99999．一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率． 解：设事件{}8汽车牌照号中含有数字=A ，所求概率为()A P ．…………….2分()()40951.01091155=-=-=A P A P ．…………….6分二．（本题满分8分）设随机事件A ，B ，C 满足：()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ，()()161==BC P AC P ．求随机事件A ，B ，C 都不发生的概率． 解：由于AB ABC ⊂，所以由概率的非负性以及题设，得()()00=≤≤AB P ABC P ，因此有()0=ABC P ．…………….2分所求概率为()C B A P ．注意到C B A C B A ⋃⋃=，因此有…………….2分 ()()C B A P C B A P ⋃⋃-=1…………….2分()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P -+++---=1 83016116104141411=-+++---=．…………….2分 三．（本题满分8分）某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为p ，()10<<p ．求此人第6次射击时恰好第2次命中目标的概率． 解：{}次命中目标次射击时恰好第第26P{}次射击时命中目标次目标，第次射击中命中前615P =…………….2分 {}{}次射击时命中目标第次目标次射击中命中前615P P ⋅=…………….2分()()424115151p p p p p C -=⋅-=．…………….4分四．（本题满分8分）某种型号的电子元件的使用寿命X （单位：小时）具有以下的密度函数：()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=1000100010002x x x x p ．⑴ 求某只电子元件的使用寿命大于1500小时的概率（4分）；⑵ 已知某只电子元件的使用寿命大于1500小时，求该元件的使用寿命大于2000小时的概率（4分）． 解：⑴ 设{}小时于电子元件的使用寿命大1500=A ，则(){}()321000100015001500150021500=-===>=+∞+∞+∞⎰⎰x dx x dx x p X P A P ．…………….4分 ⑵ 设{}小时于电子元件的使用寿命大0002=B ，则所求概率为()A B P ． ()()(){}(){}()A P X P A P X X P A P AB P A B P 20002000,1500>=>>==．…………….2分而 {}()211000100020002000200022000=-===>+∞+∞+∞⎰⎰x dx x dx x p X P ， 所以， (){}()4332212000==>=A P X P A B P ．…………….2分五．（本题满分8分）设随机变量X 服从区间[]2,1-上的均匀分布，而随机变量⎩⎨⎧≤->=0101X X Y ． 求数学期望()Y E ． 解：(){}(){}1111-=⨯-+=⨯=Y P Y P Y E …………….2分 {}(){}0101≤⨯-+>⨯=X P X P …………….2分()()⎰⎰⎰⎰-∞-+∞-=-=0120003131dx dx dx x p dx x p X X313132=-=．…………….4分 六．（本题满分8分）设在时间t （分钟）内，通过某路口的汽车数()t X 服从参数为t λ的Poisson （泊松）分布，其中0>λ为常数．已知在1分钟内没有汽车通过的概率为2.0，求在2分钟内至少有1辆汽车通过的概率． 解：()t X 的分布列为(){}()tk e k t k t X P λλ-==!，()Λ,2,1,0=k ．…………….2分因此在1=t 分钟内，通过的汽车数为 (){}λλ-==e k k X P k!1，()Λ,2,1,0=k ．由题设，(){}2.001===-λe X P ，所以5ln =λ．…………….3分因此，(){}(){}()252425111!0521021125ln 220=-=-=⋅-==-=≥--e e X P X P λ．…………….3分 七．（本题满分8分） 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<<=其它020,101,xy x y x f 求：⑴ 随机变量Y 边缘密度函数()y f Y （4分）；⑵ 方差()Y D （4分）． 解：⑴ ()()⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ,．因此，当0≤y 或者2≥y 时，()0=y f Y ．…………….1分 当20<<y 时，()()2,2y dx dx y x f y f y Y ===⎰⎰∞+∞-． 所以， ()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它202y y y f Y ．…………….3分⑵ ()()34621203202====⎰⎰+∞∞-y dy y dy y yf Y E Y ． ()()2821242322====⎰⎰∞+∞-ydy y dy y f y Y E Y …………….2分所以， ()()()()929162342222=-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=Y E Y E Y D ．…………….2分八．（本题满分8分）现有奖券10000张，其中一等奖一张，奖金1000元；二等奖10张，每张奖金200元；三等奖100张，每张奖金10元；四等奖1000张，每张奖金2元．而购买每张奖券2元，试计算买一张奖券的平均收益． 解：设X ：购买一张奖券所得的奖金． 则X 的分布律为所以，…………….2分 ()531000010002100001001010000102001000011000=⨯+⨯+⨯+⨯=X E …………….4分 再令Y 表示购买一张奖券的收益，则2-=X Y ，因此 ()()572532-=-=-=X E Y E （元）．…………….2分 九．（本题满分8分）两家电影院竞争1000名观众，假设每位观众等可能地选择两个电影院中的一个，而且互不影响．试用中心极限定理近似计算：甲电影院应设多少个座位，才能保证“因缺少座位而使观众离去”的概率不超过1%？附：标准正态分布()1,0N 的分布函数()x Φ的某些数值表解：设甲电影院应设N 个座位才符合要求．设1000名观众中有X 名选择甲电影院，则⎪⎭⎫⎝⎛21,1000~B X ．…………….1分 由题意，{}99.0≥≤N X P ．而 ()500211000=⨯=X E ，()25021211000=⨯⨯=X D ．…………….2分 所以，{}()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=≤250500250500N X P X D X E N X D X E X P N X P99.0250500≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈N …………….3分查表得33.2250500≥-N ，所以有 84.53625033.2500=⨯+≥N ． 所以，应至少设537个座位，才符合要求．…………….2分十．（本题满分8分） 设总体X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<=其它0102x x x f ， ()n X X X ,,,21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本．令()()n n X X X X ,,,max 21Λ=，试求()n X 的密度函数()()x f n ． 解：总体X 的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111002x x x x x F ．…………….3分 因此()n X 的密度函数为()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<⋅==--其它102121x x x n x f x F n x f n n n …………….4分⎩⎨⎧<<=-其它010212x nx n ．…………….1分十一．（本题满分12分） 设总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+ααβαβαββx x x x f 01，； ，其中1,0>>βα为参数，()n X X X ,,,21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本．⑴ 当1=α时，求未知参数β的矩估计量M βˆ（6分）；⑵ 当1=α时，求未知参数β的最大似然估计量Lβˆ（6分）． 解：⑴ 当1=α时，密度函数为()⎩⎨⎧≤>=--10111x x x x f βββ，； ， 所以，()()1111-==⋅==⎰⎰⎰+∞-+∞--+∞∞-βββββαββdx x dx xx dx x xf X E ，； ．…………….2分解方程：()1-=ββX E ，得解：()()1-=X E X E β．…………….2分 将()X E 替换成X ，得未知参数β的矩估计量为1ˆ-=X X Mβ．…………….2分 ⑵ 当1=α时，密度函数为()⎩⎨⎧≤>=--10111x x x x f βββ，； ， 所以，似然函数为()()()111+-===∏ββββi n ni i x x f L ，；，()()n i x i ,,1,1Λ=>．…………….2分所以，()()()n x x x n L Λ21ln 1ln ln +-=βββ．对β求导，得()n x x x nL Λ21ln ln -=∂∂ββ．…………….2分 令0ln =∂∂βL ，得方程()0ln 21=-n x x x nΛβ． 解得 ()n x x x nΛ21ln =β．因此，β的最大似然估计量为 ()n X X X nΛ21ln ˆ=β．…………….2分十二．（本题满分8分） 设总体()2,~σμN X ，()n X X X ,,,21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本．X 与2S 分别表示样本均值与样本方差．令nS X T 22-=，求()T E ，并指出统计量T 是否为2μ的无偏估计量．解：()μ=X E ，()nX D 2σ=，…………….2分由 ()()()()22X E X E X D -=，得 ()()()()2222μσ+=+=nX E X D XE ．…………….2分又 ()22σ=S E ，所以有…………….1分()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n S E X E n S X E T E 2222()2222μμσ=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n S E n ．…………….2分 这表明nS X T 22-=是2μ的无偏估计量．…………….1分北 京 交 通 大 学2010~2011学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参 考 答 案一．（本题满分8分） 在正方形(){}1,1,≤≤=q p q p D ：中任取一点()q p ,，求使得方程02=++q px x 有两个实根的概率． 解：设=A “方程02=++q px x 有两个实根”，所求概率为()A P ． 设所取的两个数分别为p 与q ，则有11<<-p ，11<<-q ． 因此该试验的样本空间与二维平面点集(){}11,11,<<-<<-=q p q p D ：中的点一一对应．…………………………………2分随机事件A 与二维平面点集(){}04,2≥-=q p q p D A ：，即与点集()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=q p q p D A 4,2：…………………2分中的点一一对应．所以， ()241312412214113112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==--⎰p p dp p D D A P A的面积的面积．…………………4分 二．（本题满分8分）从以往的资料分析得知，在出口罐头导致索赔的事件中，有%50是质量问题；有%30是数量短缺问题；有%20是产品包装问题．又知在质量问题的争议中，经过协商解决的占%40；在数量短缺问题的争议中，经过协商解决的占%60；在产品包装问题的争议中，经过协商解决的占%75．如果在发生的索赔事件中，经过协商解决了，问这一事件不属于质量问题的概率是多少？解：设=1A “事件属于质量问题”，=2A “事件属于数量短缺问题”， =3A “事件属于产品包装问题”．=B “事件经过协商解决”．所求概率为()B A P 1．…………………2分 由Bayes 公式，得 ()()()()()()()()()332211111A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P ++=…………………2分37735849.075.02.060.03.040.05.040.05.0=⨯+⨯+⨯⨯=．…………………2分所以，()()62264151.037735849.01111=-=-=B A P B A P ．…………………2分三．（本题满分8分）设随机事件A 满足：()1=A P ．证明：对任意随机事件B ，有()()B P AB P =． 解：因为()1=A P ，所以，()()0111=-=-=A P A P ．…………………2分 所以，对任意的随机事件B ，由A B A ⊂，以及概率的单调性及非负性，有 ()()00=≤≤A P B A P ， 因此有()0=B A P ．…………………2分所以，对任意的随机事件B ，由B A AB B ⋃=，以及AB 与B A 的互不相容性，得 ()()()()()()AB P AB P B A P AB P B A AB P B P =+=+=⋃=0．………………4分四．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<+=其它0102x bx ax x p ，并且已知()21=X E ，试求方差()X D ． 解：由()1=⎰+∞∞-dx x p 及()()21==⎰+∞∞-dx x xp X E ，得()()32112ba dx bx ax dx x p +=+==⎰⎰+∞∞-，…………………2分 ()()432112ba dx bx ax x dx x xp +=+==⎰⎰+∞∞-．…………………2分由此得线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2143132b a ba ．解此线性方程组，得6,6-==b a ．…………………2分 所以，()()()1035164166612222=⋅-⋅=-==⎰⎰+∞∞-dx x x x dx x p x XE ，所以，()()()()20121103222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D ．…………………2分 五．（本题满分8分）经验表明，预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为%20．某餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，问到时顾客来到该餐厅而没有座位的概率是多少？ 解：设X 表示52位预订了座位的顾客中来就餐的顾客数，则()8.0,52~B X ．…………1分 则所求概率为()50>X P ．…………………2分 ()()()525150=+==>X P X P X P …………………2分052525215151522.08.02.08.0⋅⋅+⋅⋅=C C 9330001278813.0=．…………………3分六．（本题满分10分）将一颗均匀的骰子独立地掷10次，令X 表示这10次出现的点数之和，求()X E （5分）与()X D （5分）． 解：设k X 表示第k 次出现的点数，()10,,2,1Λ=k ． 则1021,,,X X X Λ相互独立，而且∑==101k k X X ．而k X 的分布列为 ()61==j X P k ，()6,,2,1Λ=j ．…………………2分 所以，()()∑∑==⋅==⋅=616161j j k k j j X P j X E2721616161=⨯==∑=j j ， ()10,,2,1Λ=k ．…………………2分所以，由数学期望的性质，得()()35102727101101101=⨯===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===k k k k k X E X E X E ．…………………2分()()∑∑==⋅==⋅=612612261j j k kj j X P jXE691916161612=⨯==∑=j j ， ()10,,2,1Λ=k ．…………………2分所以，由1021,,,X X X Λ的相互独立性，及数学期望的性质，得()()345510691691101101101=⨯===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===k k k k k X D X D X D ．…………………2分七．（本题满分10分）设随机变量()1,0~N X ，求随机变量122+=X Y 的密度函数．解：由题意，随机变量X 的密度函数为()2221x X e x p -=π，()+∞<<∞-x ．………1分设随机变量122+=X Y 的分布函数为()y F Y ，则有()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤=≤+=≤=211222y X P y X P y Y P y F Y ，…………………2分所以，当1≤y 时，()0=y F Y ；…………………1分 当1>y 时，()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤≤--=⎪⎭⎫⎝⎛-≤=2121212y X y P y X P y F Y⎰⎰------==210221212222221y x y y x dx edx eππ…………………2分因此有 ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>=⎰--112221022y y dxey F y x Y π ，…………………2分 所以，随机变量122+=X Y 的密度函数为()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫⎝⎛-⋅='=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1121212122212212y y y ey F y p y Y Y π ()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=--10112141y y e y y π ．…………………2分八．（本题满分10分） 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<=其它0103,x y x y x p ， 求X 与Y 的相关系数Y X ,ρ． 解：()()4333,13102====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dxdy y x xp X E x ， ()()83233,103100====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x ydy xdx dxdy y x yp Y E x，…………………2分()()5333,141322====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dxdy y x p x X E x，()()513,1410222====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y xdx dxdy y x p y Y E x ，…………………2分()()103233,1041002====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x ydy dx x dxdy y x xyp XY E x ，所以有 ()()()()16038343103,cov =⨯-=-=Y E X E XY E Y X ，…………………2分 ()()()()8034353222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D ， ()()()()320198351222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y D ，…………………2分 因此，有()()()573320198031603,cov ,=⋅==Y D X D Y X Y X ρ．…………………2分 九．（本题满分10分）一生产线生产的产品成箱包装，假设每箱平均重kg 50，标准差为kg 5．若用最大载重量为kg 5000的汽车来承运，试用中心极限定理计算每辆车最多装多少箱，才能保证汽车不超载的概率大于977.0（设()977.02=Φ，其中()x Φ是标准正态分布()1,0N 的分布函数）．解：若记i X 表示第i 箱的重量，()n i ,,2,1Λ=．则n X X X ,,,21Λ独立同分布，且()()25,50==i i X D X E ， ()n i ,,2,1Λ=．…………………2分再设n Y 表示一辆汽车最多可装n 箱货物时的重量，则有 ∑==ni i n X Y 1．由题意，得 ()977.010100055050005505000>⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤n n n n n n Y P Y P n n ．…………4分查正态分布表，得 2101000>-=nnx ，…………………2分 当99=n 时，2005.1<=x ；98=n 时，202.2>=x ，故取98=n ，即每辆汽车最多装98箱货物．…………………2分十．（本题满分8分）设总体()1,0~N X ，()621,,,X X X Λ是取自该总体中的一个样本．令()()26542321X X X X X X Y +++++=，试确定常数c ，使得随机变量cY 服从2χ分布． 解：因为()1,0~N X i ，()6,,1Λ=i ，而且61,,X X Λ相互独立，所以()3,0~321N X X X ++，()3,0~654N X X X ++．…………………2分因此()1,0~3321N X X X ++，()1,0~3654N X X X ++．…………………2分 而且3321X X X ++与3654X X X ++相互独立．因此由2χ分布的定义，知 ()2~33226542321χ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++X X X X X X ，…………………2分即()()()2~3226542321χX X X X X X +++++． 取31=c ，则有()2~2χcY ．…………………2分十一．（本题满分12分） 设总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它；0101x xx f θθθ ，其中0>θ为参数，()n X X X ,,,21Λ是从总体X 中抽取的一个简单随机样本．⑴ 求参数θ的矩估计量Mθˆ（6分）；⑵ 求参数θ的最大似然估计量L θˆ（6分）． 证明：⑴ ()()11101+==⋅==⎰⎰⎰-+∞∞-θθθθθθθdx x dx xx dx x xf X E ；，…………………3分因此，得方程 ()1+=θθX E ，解方程，得 ()()21⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=X E X E θ，将()X E 替换成X ，得参数θ的矩估计量为21ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X X M θ．…………………3分 ⑵ 似然函数为 ()()∏∏=-===ni i n ni i x x f L 1121θθθθ；，…………………2分取对数，得 ()()∑=-+=ni ix nL 1ln 1ln 2ln θθθ，对θ求导，得 ()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∑∑==ni i ni i x n x n L d d 11ln 21ln 212ln θθθθθθ，所以，得似然方程 0ln 211=⎪⎭⎫⎝⎛+∑=ni i x n θθ，…………………2分 解似然方程，得21ln ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i x n θ， 因此，参数θ的最大似然估计量为 21ln ˆ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i L X n θ．…………………2分北 京 交 通 大 学2010~2011学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案一．（本题满分8分）一间宿舍内住有6位同学，求这6位同学中至少有2位的生日在同一个月份（不考虑出生所在的年份）的概率． 解：设=A “6位同学中至少有2位的生日在同一个月份”． 所求概率为()A P ．…………………………..1分 考虑事件A 的逆事件：=A “6位同学的生日各在不同的月份”．…………………………..1分()()777199074.02985984665280112116612=-=-=-=P A P A P ． ……..2分 …..2分 …………..2分二．（本题满分8分）有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是3.0，1.0，4.0和2.0．如果他乘火车、轮船、汽车、飞机来的话，迟到的概率分别为31、72、52、61，结果他未迟到，试问他乘火车来的概率是多少？ 解：设=B “朋友来访迟到”，=1A “朋友乘火车来访”， =2A “朋友乘轮船来访”，=3A “朋友乘汽车来访”， =4A “朋友乘飞机来访”．……..1分 所求概率为()B A P 1，由Bayes 公式得 ……..1分 ()()()()()()()()()()()44332211111A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B A P +++=…..2分⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=6112.05214.07211.03113.03113.0 ……..2分652.0534.0751.0323.0323.0⨯+⨯+⨯+⨯⨯=1050.29494382356==． ……………..2分三．（本题满分8分）设随机变量X 的密度函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=其它010525525025x x x xx f试求随机变量X 的分布函数()x F ． 解：当0<x 时， ()()00===⎰⎰∞-∞-xx dt dt t f x F ； …….1分当50<≤x 时，()()50250200x dt t dt dt t f x F xx=+==⎰⎰⎰∞-∞-；……..2分当105<≤x 时，()()255055015212552250x x dt t dt t dt dt t f x F xx -+-=⎪⎭⎫⎝⎛-++==⎰⎰⎰⎰∞-∞-；……..2分当10≥x 时，()()102552250105505=+⎪⎭⎫⎝⎛-++==⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-xx x dt dt t dt t dt dt t f x F ．……..2分因此，随机变量X 的分布函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=10110550152150500022x x xx x x x x F ．……..1分四．（本题满分8分）试决定常数C ，使得!k C p kk λ=，()Λ,2,1=k 为某一离散型随机变量X 的分布列，其中0>λ为参数． 解：若使!k Cp kk λ=，()Λ,2,1=k 是某一随机变量X 的分布列，当且仅当0!≥=k Cp kk λ，()Λ,2,1=k ，而且11=∑∞=k k p ， ……..2分因此有()11111!!kkk k k k p CC C e k k λλλ∞∞∞=======-∑∑∑，……..4分所以有 11C e λ=-．……..2分 五．（本题满分8分）设U 与V 分别是掷一颗均匀的骰子两次先后出现的点数．试求一元二次方程02=++V Ux x有两个不相等的实数根的概率． 解：一元二次方程02=++V Ux x 有两个不相等的实数根的充分必要条件是042>-V U ，或者V U 42>．……..2分又()V U ,的联合分布列为()361,===j V i U P ，()6,,2,1,Λ=j i ．……..2分 所以，一元二次方程02=++V Ux x 有两个不相等的实数根的充分必要条件是()V U ,的取值应为下列情形之一：()1,3，()2,3，()1,4，()2,4，()3,4，()1,5，()2,5，()3,5，()4,5，()5,5，()6,5，()1,6，()2,6，()3,6，()4,6，()5,6，()6,6．……..2分()361702==++有两个不相等的实数根一元二次方程V Ux x P ．……..2分 六．（本题满分8分）设随机变量X 服从区间()1,2-上的均匀分布，试求随机变量2X Y =的密度函数()y f Y ． 解：随机变量X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它01231x x p X ．……..1分设2X Y =的分布函数为()y F Y ，则有 ()()()y X P y Y P y F Y ≤=≤=2．……..1分 当0≤y 时，()0=y F Y ；当40≤<y 时，()()()()()y F y F y X y P y X P y F XX Y --=≤≤-=≤=2；当4>y 时，()1=y F Y ．……..1分综上所述，得随机变量2X Y =的分布函数为()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤=11400y y y F y F y y F XXY ．……..1分 因此，随机变量2X Y =的密度函数为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-+='=其它04021y y p y p y y F y p XXY Y ．……..1分当10<<y 时，10<<y ，01<-<-y ，于是有()31=y p X，()31=-y p X，因此有()()()()yy y p y p y y p XXY 3131312121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=； 当41<<y 时，21<<y ，12-<-<-y ，于是有()0=y p X，()31=-y p X， 因此有()()()()yy y p y p y y p XXY 613102121=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=．……..2分 因此，随机变量2X Y =的密度函数为()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<≤<=其它41611031y y y y y p Y ．……..1分七．（本题满分8分）试解释“在大量独立重复试验中，小概率事件几乎必然发生”的确切意思． 解：设A 是一随机事件，其概率()10<<A P ．……..1分现独立重复做试验，则在n 次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为()()nA P --11．……..2分令∞→n ，则有()()()()()11lim 111lim =--=--∞→∞→nn nn A P A P ．……..2分这表明，只要试验次数n 充分大，不管随机事件A 的概率多么小，随机事件A 在n 次独立重复试验中至少发生一次的概率与1可以任意接近，即随机事件A 在n 次独立重复试验中至少发生一次是几乎必然的．……..3分八．（本题满分8分）一公寓有200户住户，一户住户拥有汽车辆数X 的分布列为试用中心极限定理近似计算，至少要设多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为95.0？（设：()95.0645.1=Φ，其中()x Φ是()1,0N 的分布函数．） 解：设需要的车位数为n ，i X 表示第i 个住户需要的车位数，()200,,2,1Λ=X ．则随机变量20021,,,X X X Λ独立同分布，而且()2.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=i X E ，()8.13.026.011.002222=⨯+⨯+⨯=i X E ，……..2分 于是有()()()()36.02.18.1222=-=-=i i i X E X E X D ．……..1分由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑∑∑∑======200120012001200120012001i i i i i i i i i i i i X D X E n X D X E X P n X P ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑===36.02002.1200200120012001n X D X E X P i i i i i i⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈72240n ．……..3分由题设，95.072240≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φn ，因此得645.172240≥-n ， 所以有 9583.25372645.1240=⨯+≥n ．因此至少需要254个车位，才能满足题设要求．……..2分九．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从参数为λ的指数分布，令Y X V Y X U +=-=3,34，试求二维随机变量()V U ,的相关系数V U ,ρ． 解：因为X 与Y 都服从参数为λ的指数分布，所以()()λ1==Y E X E ，()()21var var λ==Y X ．……..1分于是有()()()()λλλ113143434=⋅-⋅=-=-=Y E X E Y X E U E ，()()()()λλλ411333=+⋅=+=+=Y E X E Y X E V E ．再由X 与Y 的相互独立性，得()()()()2222519116var 9var 1634var var λλλ=⋅+⋅=+=-=Y X Y X U ，()()()()22210119var 93var var λλλ=+⋅=+=+=Y E X Y X V ． ……..3分()()()[]()223512334Y XY X E Y X Y X E UV E --=+-= ()()()223512Y E XY E X E --=()()()()()()()()()()22var 35var 12Y E Y Y E X E X E X +⋅-⋅-+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅-⋅⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=22221131151112λλλλλλ2222136524λλλλ=--=．……..2分所以有()()()()2294113,cov λλλλ=⋅-=-=V E U E UV E V U ．因此有()()()105910259var var ,cov 222,===λλλρV U V U VU ．……..2分 十．（本题满分8分）设总体X 存在二阶矩，总体期望()μ=X E ，总体方差()2σ=X D ，()n X X X ,,,21Λ是从中抽取的一个样本，X 是样本均值，2S 是样本方差．⑴ 计算方差()X D （4分）；⑵ 如果()2,~σμN X ，计算方差()2S D （4分）．解：⑴ ()()n n n n X D n X n D X D n i n i i n i i 2221221211111σσσ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===．……..4分⑵ 因为总体()2,~σμN X ，()n X X X ,,,21Λ是取自总体X 中的一个样本，所以()()1~1222--n S n χσ．……..2分所以，()()()()()()12121111142422242222-=-⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=n n n S n D n S n n D S D σσσσσσ．……..2分十一．（本题满分10分）设()10<<B P ，证明：随机事件A 与B 相互独立的充分必要条件是()()1=+B A P B A P ．证明：必要性：设随机事件A 与B 相互独立，所以随机事件A 与B 也相互独立．因此有()()A P B A P =， ()()A P B A P =，……..3分因此有()()()()1=+=+A P A P B A P B A P ．……..2分 充分性：由于 ()()1=+B A P B A P ， 所以有 ()()()B A P B A P B A P =-=1．因此有()()()()()()()()()B P AB P A P B P AB A P B P B A P B P AB P --=--==11．……..3分 由()10<<B P ，得()01>-B P ，因此有 ()()()()()()()AB P A P B P B P AB P -=-1．整理，得 ()()()()()()()B P AB P B P A P AB P B P AB P -=-． 即得 ()()()B P A P AB P =．这表明随机事件A 与B 相互独立．……..2分十二．（本题满分10分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3，Λ，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21Λ是取自该总体中的一个样本．试求N 的最大似然估计量．（7分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的最大似然估计值．（3分） 解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1Λ=． 所以似然函数为 (){}nni i i N x X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1Λ=≤≤．……..3分当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1Λ=≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21Λ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ．……..4分 ⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ．……..3分北 京 交 通 大 学2012~2013学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参 考 答 案某些标准正态分布的数值其中()x Φ是标准正态分布的分布函数． 一．（本题满分5分）口袋中有10个球，分别标有号码1到10，从中任意取出4个球．求最小号码是5的概率． 解：设=A “取出4个球，最小号码是5”．10个球取出4个球，有取法410C 种．………….2分若最小号码是5，有取法35C 种，因此()2112101041035===C C A P ．………….3分二．（本题满分5分）一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有两位的生日在同一个月份的概率． 解：设=A “5位同学至少有两位的生日在同一月份”．5位同学，每一位在12个月份中任意选择，共有512种可能．………….2分 考虑A 的逆事件A ，它表示5位同学中，没有两位的生日是同一月份的．则 ()()6181.012115512=-=-=PA P A P ．………….3分三．（本题满分8分），已知男人中%5的是色盲患者，女人中色盲患者占%25.0，今从男女比例为21:22的人群中随机地挑选一人，发现是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 解：设=A “任选一人为男性”，=B “任选一人是色盲患者”． 所求概率为()B A P ．由Bayes 公式，得 ()()()()()()()A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=………….3分9544.00025.0432105.0432205.04322=⨯+⨯⨯=．………….5分 四．（本题满分8分）在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要维修的概率分别是9.0，8.0和85.0，而且这三台机床是否需要维修是相互独立的．求在一小时内⑴ 至少有一台机床不需要维修的概率；（4分） ⑵ 至多只有一台机床需要维修的概率．（4分） 解：设{}甲机床需要维修=A ，{}乙机床需要维修=B ，{}丙机床需要维修=C ．则 ⑴ {}()()C B A P C B A P P ⋃⋃-=⋃⋃=1维修至少有一台机床不需要…….2分 ()()()388.085.08.09.011=⨯⨯-=-=C P B P A P ．………….2分⑵ {}()C B A C B A C B A C B A P P ⋃⋃⋃=修至多有一台机床需要维………….2分 ()()()()C B A P C B A P C B A P C B A P +++=()()()()()()()()()()()()C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P +++=059.085.02.01.015.08.01.015.02.09.015.02.01.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．…….2分五．（本题满分8分）试确定常数a ，b ，c ，d 的值，使得函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤++<=e x d e x d cx x bx x ax F 1ln 1为一连续型随机变量的分布函数． 解：因为连续型随机变量的分布函数()x F 是连续函数，因此函数()x F 在分段点1=x 及e x =处连续，所以有()()()10101F F F =+=-，即有d c a +=．………….2分 ()()()e F e F e F =+=-00，即有d d ce be =++．………….2分 又分布函数()x F 必须满足：()0lim =-∞→x F x ，()1lim =+∞→x F x ．因而有()0lim ==-∞→x F a x ，()1lim ==+∞→x F d x ．………….2分由此得方程组 ⎩⎨⎧=++=+1101ce be c ，解此方程组，得1,1,1,0=-===d c b a ．………….2分六．（本题满分8分）某地区成年男子的体重X （以kg 计）服从正态分布()2,σμN ．若已知()5.070=≤X P ，()25.060=≤X P ，⑴ 求μ与σ的值；⑵ 如果在该地区随机抽取5名成年男子，求至少有两个人的体重超过kg 65的概率． 解：⑴ 由已知()5.0707070=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P ，()25.0606060=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤σμσμσμX P X P ………….2分 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ75.025.016015.070σμσμ ．即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ75.0605.070σμσμ ，查正态分布表，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-675.060070σμσμ ，解方程组，得70=μ，81.14=σ．………….2分⑵ 设=A “从该地区任意选取一名成年男子，其体重超过kg 65”．则()()⎪⎭⎫⎝⎛-≤--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--=≤-=>3376.081.1470181.14706581.1470165165X P X P X P X P ()()6631.03376.03376.01=Φ=-Φ-=．………….2分 设X ：该地区随机抽取的5名成年男子中体重超过kg 65的人数． 则 ()6631.0,5~B X ．设=B “5人中至少有两人的体重超过kg 65． 则 ()()()()()101112===-=≤-=≥=X P X P X P X P B P9530.03369.06631.03369.06631.0141155005=⨯⨯-⨯⨯-C C ． （已知()75.0675.0=Φ，()6631.034.0=Φ）………….2分七．（本题满分8分） 设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧-<<+=其它01045,22x y y x y x f求：随机变量Y 的边缘密度函数()y f Y ． 解：当10<<y 时， ()()()()⎰⎰⎰----+∞∞-+=+==yyyY dx y xdx y x dx y x f y f 1021122545,………….3分()()()6211511312531252123103y y y y y xy x yx +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=-=．…….3分所以，随机变量Y 的边缘密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<+-=其它01062115y y y y f Y ．………….2分 八．（本题满分10分） 设n X X X ,,,21Λ是n 个独立同分布的随机变量，1X 服从参数为λ的指数分布．令{}n X X X T ,,,m in 21Λ=，求随机变量T 的密度函数． 解：对于任意的实数x ，随机变量T 的分布函数为 ()(){}()x X X X P x T P x F n T ≤=≤=,,,m in 21Λ{}()x X X X P n >-=,,,m in 121Λ()x X x X x X P n >>>-=,,,121Λ …………………….2分()()()x X P x X P x X P n >>>-=Λ211()()()()()()()()nX n x F x X P x X P x X P --=≤-≤-≤--=11111121Λ．………….3分所以，随机变量T 的密度函数为()()()()()x f x F n x F x f X n X T T 11--='=． ………….2分如果1X 服从参数为λ的指数分布，则1X 的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0x x e x f xX λλ ． 分布函数为()()⎩⎨⎧≤>-==-∞-⎰0001x x e dt t f x F xxX X λ ．………….1分 因此此时{}n X X X T ,,,m in 21Λ=的密度函数为()()()()()x n x n xX n X T e n e e n x f x F n x f λλλλλ-----=⋅⋅=-=111，()0>x ．………….2分九．（本题满分8分） 设随机向量()321,,X X X 间的相关系数分别为312312,,ρρρ，且，()()()0321===X E X E X E ，()()()02321>===σX D X D X D ．令：211X X Y +=，322X X Y +=,133X X Y +=．证明：321,,Y Y Y 两两不相关的充要条件为1312312-=++ρρρ．证明：充分性：如果1312312-=++ρρρ，则有01312312=+++ρρρ．而 ()()322121,cov ,cov X X X X Y Y ++= ()()()()32223121,cov ,cov ,cov ,cov X X X X X X X X +++=()()()()()()()3223231132112var X D X D X X D X D X D X D ⋅++⋅+⋅=ρρρ ()0121323122232213212=+++=+++=σρρρσρσσρσρ………….3分 这说明随机变量1Y 与2Y 不相关．同理可得 ()0,cov 32=Y Y ，()0,cov 13=Y Y ，这就证明了随机变量321,,Y Y Y 两两不相关． ………….1分必要性：如果随机变量321,,Y Y Y 两两不相关，则有()0,cov 21=Y Y ，()0,cov 32=Y Y ，()0,cov 13=Y Y而由上面的计算，得()()01,cov 213231221=+++=σρρρY Y ， ………….3分由于02>σ，所以1132312+++ρρρ，即1132312-=++ρρρ． ………….1分十．（本题满分8分） 设总体X 的密度函数为()⎩⎨⎧<<-=其它若011x xx f()5021,,,X X X Λ是从X 中抽取的一个样本，X 与2S 分别表示样本均值与样本方差．求()X E ，()X D ，()2S E ．解：因为()()011=⋅==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E ，()()2121311222==⋅==⎰⎰⎰-+∞∞-dx x dx x xdx x f x XE ， 所以，()()()()2122=-=X E X E X D ． 所以，()()0==X E X E ，………….2分()()10015021===n X D X D ，………….3分 ()()212==X D S E ．………….3分十一．（本题满分8分） 设总体()4,0~N X ，()921,,,X X X Λ是取自该总体中的一个样本．求系数a 、b 、c ，使得统计量()()()298762543221X X X X c X X X b X X a T ++++++++=服从2χ分布，并求出自由度． 解：因为()921,,,X X X Λ是取自总体()4,0N 中的简单随机样本，所以()4,0~N X i ，()9,,2,1Λ=i而且921,,,X X X Λ相互独立．所以()8,0~21N X X +，()12,0~543N X X X ++，()16,0~9876N X X X X +++．…….2分所以，()1,0~821N X X +，()1,0~12543N X X X ++，()1,0~169876N X X X X +++．…….2分 因此，()()()()3~161282298762543221χX X X X X X X X X ++++++++．…….2分因此，当161,121,81===c b a 时，统计量()()()()3~161282298762543221χX X X X X X X X X T ++++++++=，自由度为3．………….2分十二．（本题满分8分）一家有500间客房的旅馆的每间客房装有一台kW 2（千瓦）的空调机，该旅馆的开房率为%80．求需要多少电力，才能有%99的可能性保证有足够的电力使用空调机． 解：设X ：该旅馆开房数目，则()8.0,500~B X ．………….2分a ：向该旅馆供应的电力．则若电力足够使用空调机，当且仅当a X ≤2．因此()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φ≈⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤2.08.05008.050022.08.05008.050022.08.05008.050022a a X P a X P a X P ． 由题设，99.02.08.05008.05002≥⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φa ，………….3分 查表，得33.22.08.05008.05002≥⨯⨯⨯-a，………….1分 所以有 ()68.8412.08.050033.28.05002=⨯⨯⨯+⨯⨯≥a ．即至少向该旅馆供电842千瓦，才能保证该旅馆的空调机正常使用．………….2分十三．（本题满分8分） 设总体X 的密度函数为()()⎩⎨⎧≤>=+-cx cx x c x f 01θθθ． 其中0>c 是已知常数，而1>θ是未知参数．()n X X X ,,,21Λ是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估计量． 解：似然函数为()()()()()121111+-=+-====∏∏θθθθθθθn n n ni i n i i x x x c x c x f L Λ………….2分所以，()()∑=+-+=ni i x c n n L 1ln 1ln ln ln θθθθ．所以，()∑=-+=ni i x c n nL d d 1ln ln ln θθθ．………….2分 令：()0ln =θθL d d，即0ln ln 1=-+∑=ni i x c n n θ，………….2分得到似然函数的唯一驻点cn x nni iln ln 1-=∑=θ．所以参数θ的最大似然估计量为cn Xnni iln ln ˆ1-=∑=θ．………….2分。
《概率论与数理统计》期中考试试题汇总,DOC
《概率论与数理统计》期中考试试题（一）一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分）1．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（ ）A ．A 1A 2B ．21A AC ．21A AD ．21A A2345C 68．将3个球放入5个盒子中，则3个盒子中各有一球的概率为=________.9．从a 个白球和b 个黑球中不放回的任取k 次球，第k 次取的黑球的概率是=.10．设随机变量X ～U (0，5)，且21Y X =-，则Y 的概率密度2f Y (y )=________.11．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度f (x ,y )=⎩⎨⎧≤≤≤≤，y x ，其他,0,10,101则P {X +Y ≤1}=________. 12．设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是40.50.59⎛⎫ ⎪⎝⎭，则相关系数,X Y ρ=________. 13.二维随机变量(X ，Y )(1,3,16,25,0.5)N -，则X ;Z X Y =-+.（-1，31），（2，0），且取这些值的概率依次为61，a ，121，125. 求（1）a =？并写出(X ，Y )的分布律；（2）(X ，Y )关于X ，Y 的边缘分布律；问X ，Y 是否独立;（3）{0}P X Y +<;(4)1X Y =的条件分布律；（5）相关系数,X Y ρ18．(8分)设测量距离时产生的随机误差X ～N (0,102)(单位：m)，现作三次独立测量，记Y 为三次测量中误差绝对值大于19.6的次数，已知Φ(1.96)=0.975.(1)求每次测量中误差绝对值大于19.6的概率p ;(2)问Y 服从何种分布，并写出其分布律；求E (Y ).1取出的3件中恰有一件次品的概率为（ ）A ．601B ．457C ．51D ．157 2．下列选项不正确的是（）A ．互为对立的事件一定互斥B ．互为独立的事件不一定互斥C ．互为独立的随机变量一定是不相关的D ．不相关的随机变量一定是独立的3．某种电子元件的使用寿命X （单位：小时）的概率密度为42100,100;()0,100,x p x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩任取一只电子元件，则它的使用寿命在150小时以内的概率为（ ）A ．41B ．31C ．21D ．32 4．若随机变量,X Y 不相关，则下列等式中不成立的是．A5A 6A 79.设随机变量X ～E (1)，且21Y X =-，则Y 的概率密度f Y (y )=________.10.设随机变量X ～B (4,32),则{}1P X <=___________. 11.已知随机变量X 的分布函数为0,6;6(),66121,6,x x F x x x ≤-⎧⎪+⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎩，则X 的概率密度p (x )=______________.12．设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是90.60.625⎛⎫⎪⎝⎭，则相关系数,X Y ρ=________. 13.二维随机变量(X ，Y )(2,3,9,16,0.4)N -，则X;Z X Y =-+. 14.随机变量X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，Y 的概率密度函数为1,12()3Y y f y ⎧-<<⎪=⎨，,X Y 相互独立，且Z X Y =+的概率密度函数为()z f z = 试求：（1）常数α，β；（2）(X ，Y )关于X ，Y 的边缘分布律；问X ，Y 是6否独立;（3）X 的分布函数F(x)；（4）{1}P X Y +<;(5)1X Y =的条件分布律；（6）相关系数,X Y ρ18．（8分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （单位：分钟）具有概率密度()3103x e x p x -⎧>⎪=⎨，；某顾客在窗口等待服务，若超过9分钟，他就离视机，厂方获得利润50万元，但如果因销售不出而积压在仓库里，则每一万台需支付库存费10万元，问29寸彩色电视机的年产量应定为多少台，才能使厂方的平均收益最大?《概率论与数理统计》期中试卷试题（五）一、选择题（共5题，每题2分，共计12分）1．下列选项正确的是（）A．互为对立事件一定是互不相容的B．互为独立的事件一定是互不相容的C．互为独立的随机变量一定是不相关的 D．不相关的随机变量不二、填空题：（每小题2分，共18分）7.同时扔4枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为________.8．将3个球放入6个盒子中，则3个盒子中各有一球的概率为=________.89．从a 个白球和b 个黑球中不放回的任取3次球，第3次取的黑球的概率是=.10.公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到站，乘客到站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为 (1,2,9,16,0)N -;2Z X =-. 率密度函数51,050,0x e x x ->≤的概率密，(,)X Y 相互独立，且X Y +的概率密度函数为(z f 在某区域有一架飞机，雷达以99%的概率探测到并报警。
2010年4月《概率论与数理统计》试题和参考答案解析
概率论与数理统计（经管类）真题试卷及答案全国2010年4月高等教育自学考试一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A 与B 是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（ D ） A ．P (A )=1-P (B ) B ．P (A -B )=P (B ) C ．P (AB )=P (A )P (B )D ．P (A -B )=P (A )2．设A ，B 为两个随机事件，且0)(,>⊂B P A B ，则P (A |B )=（ A ） A ．1 B ．P (A ) C ．P (B )D ．P (AB )3．下列函数中可作为随机变量分布函数的是（ C ） A ．⎩⎨⎧≤≤=.,0;10,1)(1其他x x F 1B ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<-=.1,1;10,;0,1)(2x x x x x FC ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(3x x x x x FD ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,2;10,;00,0)(4x x x x F4．设离散型随机变量X 的分布律为P{-1<X ≤1}=（ C ）A ．0.3 C ．0.65．设二维随机变量(X ，Y)且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是（ C ） A ．a =0.2，b =0.6 B ．a =-0.1，b =0.9 C ．a =0.4，b =0.4D ．a =0.6，b =0.26．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f (x ，y )=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<,,0;20,20,41其他y x则P{0<X <1，0<Y <1}=（ A ）A ．41B ．21 C ．43 D ．17．设随机变量X 服从参数为21的指数分布，则E (X )=（ C ） A ．41 B ．21 C ．2 D ．48．设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N (0，9)，Y ～N (0，1)，令Z =X -2Y ，则D (Z )=（ D ）A ．5B ．7C ．11D ．139．设(X ，Y )为二维随机变量，且D (X )>0，D (Y )>0，则下列等式成立的是（ B ） A ．)()()(Y E X E XY E ⋅= B ．)()(Cov Y D X D (X,Y)XY ⋅⋅=ρ C ．)()()(Y D X D Y X D +=+D ．),(Cov 2)2,2(Cov Y X Y X =10．设总体X 服从正态分布N(2,σμ)，其中2σ未知．x 1，x 2，…，x n 为来自该总体的样本，x 为样本均值，s 为样本标准差，欲检验假设H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，则检验统计量为（ B ）A ．σμ0-x nB ．sx nμ- C ．)(10μ--x n D ．)(0μ-x n二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
《概率论与数理统计》期中考试试题汇总
系数 X ,Y
18．(8 分) 设测量距离时产生的随机误差 X～N(0,102)(单位：m)，现作三次独 立测量，记 Y 为三次测量中误差绝对值大于 19.6 的次数，已知Φ(1.96)=0.975.
(1)求每次测量中误差绝对值大于 19.6 的概率 p; (2)问 Y 服从何种分布，并写出其分布律；求 E(Y).
fY
( y)
1
2
, 1
y
1 ， (X ,Y )
相互独立，且
Z
X
Y
的概率密度函数为
fz (z)
0, others
15. 设 随 机 变 量 X , E(X ) 3, D(X ) 1 ， 则 应 用 切 比 雪 夫 不 等 式 估 计 得 3
P{| X 3|1}
三、计算题（本题共 5 小题，共 70 分）
2
D． 2
3
4．若随机变量 X ,Y 不相关，则下列等式中不成立的是
．
A． D(X Y ) DX DY
B. Cov(X ,Y ) 0
C. E(XY ) EX EY
D. D(XY ) DX DY
5．设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 服从参数 1 为的泊松分布，Y～B(6，1 )，则 D(X-Y)=( )
pY ( y) , X 与 Y 是否独立;(4) 概率 P{Y X} ， (5)求 Z X Y 的概率密度; (6)相关系数 X ,Y
20.(10 分)假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量 X 盒，它服从区间[200， 400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得 1 元，但假如销售不出而 屯积于冰箱，则每盒赔 3 元。问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大？
概率论与数理统计考试试卷(附答案)
概率论与数理统计考试试卷（附答案）一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分） 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分。
把答案填在题中横线上） 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球，3个白球，2个黑球，任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量，设E (X )=33, D (X )=4，10个这种动物的平均体重记作Y ，则D (Y )＝_____________________ _______三、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。
《概率论与数理统计》期中考试试习题汇总
欢迎阅读《概率论与数理统计》期中考试试题（一）一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分）1．某射手向一目标射击两次，A i 表示事件“第i 次射击命中目标”，i =1，2，B 表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B =（ ）A ．A 1A 2B ．21A AC ．21A AD ．21A A2．某人每次射击命中目标的概率为p (0<p <1)，他向目标连续射击，则第一次未中第二次命中的概率为（ ） A ．p 223．已知A ．0 4率为（A ．0.25A C 6．A ．1- 7．8．将39．从a 10．11．12．设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是40.50.59⎛⎫⎪⎝⎭，则相关系数,X Y ρ= ________.13. 二维随机变量(X ，Y )(1,3,16,25,0.5)N -，则X;Z X Y=-+ .14. 随机变量X 的概率密度函数为51,0()50,0x X e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，Y 的概率密度函数为1,11()20,Y y f y others ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，(,)X Y相互独立，且Z X Y =+的概率密度函数为()z f z =15. 设随机变量X , 1()3,()3E X D X ==，则应用切比雪夫不等式估计得{|3|1}P X -≥≤三、计算题（本题共5小题，共70分）16．（8分）某物品成箱出售，每箱20件，假设各箱含0，1和2件次品的概率分别是0.7，0.2和0.1，顾客在购买时，售货员随机取出一箱，顾客开箱任取4件检查，若无次品，顾客则买下该箱物品，否则退货.试求：(1) 顾客买下该箱物品的概率；(2) 现顾客买下该箱物品，问该箱物品确实17．(20求（1）a （3）{P X Y +18．(8为三次(1)(2)19．（24求: (1) ;(4) 概率{P Y 20.(101．一批产品共10件，其中有2件次品，从这批产品中任取3件，则取出的3件中恰有一件次品的概率为（ ） A ．601 B ．457 C ．51 D ．157 2．下列选项不正确的是（ ） A ．互为对立的事件一定互斥B ．互为独立的事件不一定互斥C ．互为独立的随机变量一定是不相关的D ．不相关的随机变量一定是独立的3．某种电子元件的使用寿命X （单位：小时）的概率密度为2100,100;()0,100,x p x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ 任取一只电子元件，则它的使用寿命在150小时以内的概率为（ ） A ．41 B ．31 C ．21 D ．324．若随机变量,X Y 不相关，则下列等式中不成立的是 ． A ．DY DX Y X D +=+)( B. 0),(=Y X Cov C. (E 5．A ．1-6．则常数x A ．7．8. 将29. 10. 11. 已密度p (x 12．13. 二维随机变量(X ，Y )(2,3,9,16,0.4)N -，则X;Z X Y=-+ .14. 随机变量X 的概率密度函数为,0()0,0x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，Y 的概率密度函数为1,12()30,Y y f y others⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，,X Y 相互独立，且Z X Y =+的概率密度函数为()z f z =15. 设随机变量X,1()1,()3E X D X==，则应用切比雪夫不等式估计得{13}P X-<<≥三、计算题（本大题共5小题，共70分）16．（8分）据市场调查显示，月人均收入低于1万元，1至3万元，以及高于3万元的家庭在今后五年内有购置家用高级小轿车意向的概率分别为 0.1，0.2 和 0.7.假定今后五年内家庭月人均收入X 服从正态分布N (2, 0.82 ).试求：(1) 求今后五年内家庭有购置高级小轿车意向的概率；(2) 若已知某家庭在今后五年内有购置高级小轿车意向，求该家庭月人均收入在1至3万元的概率.17（1），Y)关问X，Y）相关18{X>9}(1)X Y的条件概率密度函数；（5）相关系数,X Yρ20．（10分）设市场上每年对某厂生产的29寸彩色电视机的需求量是随机变量X（单位：万台），它均匀分布于[10，20].每出售一万台电视机，厂方获得利润50万元，但如果因销售不出而积压在仓库里，则每一万台需支付库存费10万元，问29寸彩色电视机的年产量应定为多少台，才能使厂方的平均收益最大?《概率论与数理统计》期中试卷试题（五）一、选择题（共5题，每题2分，共计12分）1．下列选项正确的是（）A ．互为对立事件一定是互不相容的B ．互为独立的事件一定是互不相容的C ．互为独立的随机变量一定是不相关的D ．不相关的随机变量不一定是独立的2. 设事件B A ,两个事件，111(),(),()2310P A P B P AB ===，则()P A B = 。
2010-2011第一学期北语期中概率试题
北京语言文化大学2011-2012学年度第一学期概率论与数理统计期中试题学院 班级 学号 姓名一．填空题（本题共15分，每小题3分）1．在一个四重贝努利试验中，每次试验成功的概率为p ，如果四次都成功与四次都失败的概率相等，那么=p ．3设二维随机变量(X,Y)的概率密度为⎩⎨⎧<<<<+=其它10,10,),(y x y x y x f , 则当10≤≤y 时,(X,Y)关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =_______.4同时掷三枚均匀硬币,则至多有一枚硬币正面朝上的概率为______. 5.设随机变量(X,Y)的概率密度为22,3(,)0,c x y f x y ⎧+≤=⎨⎩其它; 则常数c=_______.二．选择题（本题共15分，每小题3分） 1．若()0=P AB ，则必有 ．【A 】()()()⋃=+P A B P A P B 【B 】()=0P A 或()=0P B 【C 】,A B 是不相容事件 【D 】,A B 是对立事件2．设()2~,μσX N ，则随σ的增大，{1-<μP X 【A 】单调增大 【B 】单调减小 【C 】不变 【D 】非单调变化3．8.设A,B 表示任二随机事件,则下面错误的是( )互不相容与A A A .)()(.A P A A PB =⋃ 都不发生AB C .)()()()()(,1)(0.B A P B P B A P B P A P B P D +=<<则若4．设,X Y 为相互独立的随机变量，并且()21~,μσX N ，()22~,μσY N ，则下面结论正确的是【A 】()~,++μμσ212X Y N 【B 】()~,--μμσ212X YN【C 】()~,++μμσ2122X Y N 【D 】()~,-+μμσ2122X Y N5．甲乙两人独立地对同一目标进行射击，其命中率分别为0.8和0.5，两人同时对一个目标【A 】0.8 【B 】0.85 【C 】0.875 【D 】0.9 三．（本题10分）装有5个白球和5个黑球的罐子中失去一球，但是不知道是什么颜色。
北京交通大学概率论与数理统计习题答案
习题4 答案1. 略.2. 设随机变量X 服从几何分布，其分布律为()1()1,1,2,,k P X k p p k -==-=其中01p << 为常数，求)(X E 和)(X D .解：设1q p =-，则1{},(1,2,)k P X k pq k -=== ，由121111()()1(1)k k kk k k x S x kx x x x x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'===== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 1121111(){}(1)k k k k k p E X kP X k kpqp kq q p ∞∞∞--=========-∑∑∑ 21112311111()()(1)(1)k k k k k k k k x x S x k x kx kx x kx x x ∞∞∞∞--===='''⎛⎫+⎛⎫⎛⎫'====== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑由 ， 232(1)2()(1)p q pE X q p +-==- ， 所以22222211()()()p pD XE X E X p p p ⎛⎫--=-=+= ⎪⎝⎭.3. 设连续型随机变量X 的概率密度,01,()2,12,0,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它试求)(X E 和)(X D .解: 1201()()(2)E X xf x dx x xdx x x dx +∞-∞==⋅+⋅-⎰⎰⎰ 131312132103=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x ⎰⎰⎰-⋅+==+∞∞-21210222)2()()(dx x x xdx x dx x f x X E 674132412143104=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x 所以22271()()()166D XE X E X =-=-=.4. 设随机变量X 的概率密度为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞，求)(X E ,)(X D .解: 1() e d 02xE X x x +∞--∞==⎰, 2e 2 e d 2d e 2e e d d e d e 21 )(02020222=-=-=+-=-===∞+--∞+-∞+∞+--+∞-+∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰⎰xxx xxxx x x x x x x x x x X E故22()()(())2D X E X E X =-=5. 已知随机变量X 服从参数为1的指数分布，X e X Y 2-+=，试求)(Y E ，)(Y D ，),(Y X Cov 及XY ρ.解：22()()()()X X E Y E X e E X E e --=+=+34102=⋅+=⎰+∞--dx e e x x ,22222422422403500()()[2]()2()()()()211223535211109233545X X X X X x xx x xx E Y E X e E X Xe e E X E Xe E e D X E X xee dx e e dxx e dx e dx-----+∞+∞----+∞+∞--=+=++=++=+++=+⨯⋅+=+⨯+=⎰⎰⎰⎰所以2229()()()45D YE Y E Y =-=,又因)]([)(2X e X X E Y X E -+=⋅22119()()299X E X E Xe -=+=+=, 所以7(,)()()()9Cov X Y E XY E X E Y =-=，29537)()(),(==Y D X D Y X Cov XY ρ. 6. 略.7. 设随机变量),(Y X 的概率密度函数为301,0(,)0xx y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其它, 求)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，XY ρ .解：()()112303,334x E X xf x y dxdy dx x dy x dx +∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰ ()()11300033,328xE Y yf x y dxdy xdx ydy x dx +∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰()()1122340003,335xE X x p x y dxdy dx x dy x dx +∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰()()1122240001,35xE Y y p x y dxdy xdx y dy x dx +∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰()()112400033,3210xE XY xyp x y dxdy x dx ydy x dx +∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰所以有()()()()3333cov ,1048160X Y E XY E X E Y =-=-⨯= ()()()()2223335480D X E X E X ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭， ()()()()222131958320D YE Y E Y ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 因此，有,3cov ,X Y X Y ρ===.8. (1) 设相互独立的两个随机变量X 和Y 具有同一分布且1(1,2X b ，求[max{,}]E X Y 与[min{,}]E X Y .(2) 设随机变量12,,...n X X X 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，求12max{,,...}n U X X X =和12min{,,...}n V X X X =的数学期望.解：(1) 随机变量X 和Y 均服从两点分布（离散），设1max{,}Z X Y =，则1Z 可能取值为0，1， 且11{0}{max{,}0}{0,0}{0}{0}4P Z P X Y P X Y P X P Y ========⋅==， 1{1}{max{,}1}{0,1}{1,0}{1,1}P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ======+==+==， 1111113{0}{1}{1}{0}{1}{1}2222224P X P Y P X P Y P X P Y ==⋅=+=⋅=+=⋅==⨯+⨯+⨯=，因此1Z 的分布律为因此1133[max{,}]()01444E X Y E Z ==⨯+⨯=，同理设2min{,}Z X Y =，2Z 的分布律为因此2311[min{,}]()01444E X Y E Z ==⨯+⨯=. (2)由题意(1,2,,)i X i n = 的密度函数为()1010X x f x <<⎧=⎨⎩其它，分布函数为00()0111i X x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩(){}{}()i n12n X i 100F P U P X ,X ,X F 0111n U x x x x x x x x x x =<⎧⎪=≤=≤≤≤==≤≤⎨⎪>⎩∏ ，因此随机变量12max{,,...}n U X X X =的概率密度函数为()()()()1101n n U X X nx x f x n F x f x --⎧<<==⎨⎩其它， 得()()1101n U nE U xf x dx x nx dx n +∞--∞==⋅=+⎰⎰， (){}{}()()i n12n X i 100F P 1P X ,X ,X 11-F 1(1)0111n V x x V x x x x x x x x =<⎧⎪=≤=->>>=-=--≤≤⎨⎪>⎩∏ ， 因此随机变量12min{,,...}n V X X X =的概率密度函数为()()()()11(1)0110n n V X X n x x f x n F x f x --⎧-<<=-=⎨⎩其它， 得()()1101(1)1n V E V xf x dx x n x dx n +∞--∞==⋅-=+⎰⎰.9. 将n 个球随机的放入N 个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X 的数学期望. 解：引入随机变量11,2,,0i i X i N i ⎧==⎨⎩ 若第个盒子中有球若第个盒子中无球，每个随机变量i X 都服从两点分布，1,2,,i N = ，1Ni i X X ==∑，因此1Ni i EX EX ==∑，因为每个球落入每个盒子是等可能的均为1N，所以对第i 个盒子，没有一个球落入这个盒子内的概率为11N -，故，n 个球都不落入这个盒子内的概率为11nN ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此11{0}(1,{1}1(1,1,2,,.n n i i P X P X i N N N==-==--= 11(1),1,2,,n i EX i N N =--= ，1211()()()1(1).N n i N i EX EX E X E X E X N N =⎡⎤==+++=--⎢⎥⎣⎦∑10.请看PPT.11.解：由[10,30],[10,20]X U Y U ，得随机变量X 和Y 的概率密度函数分别为()11030200X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，()11020100Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它， 又X 和Y 相互独立，11030,1020(,)200x y f x y ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其它，则()32001200(),44001200,(,)32002000,52002000,y x y x y y x x yZ g x y x y x x y x y x y --≥-≥⎧⎧===⎨⎨--<-<⎩⎩()()[(,)](,),3.67.EZ E g x y E X g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞====⎰⎰万元12.设~(0,4),~(0,4)X N Y U ，且X ，Y 相互独立，求：(),(23),(23)E XY D X Y D X Y +-.解：()0,()4E X D X ==， 40()22E Y +==，244()123D Y ==，0xy ρ=， ()0E XY =, 416(23)(23)4()9()44933D X Y D X Y D X D Y +=-=+=⨯+⨯=.13.设X 与Y 相互独立，()()0,()()1E X E Y D X D Y ====，求2[(2)]E X Y +. 解：22222[(2)](44)()4()4()E X Y E X XY Y E X E XY E Y +=++=++ [][]{}22()()4()()4()()D X E X E X E Y D Y E Y =++++1004(10) 5.=++++=14.请看PPT.15.解：因X 服从均匀分布，因此21()()=3=,()2312a bb a E X D X +-==， 解得2, 4.a b == 因此(2,4)X U ，其概率密度函数为()12420X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，因此()331211{13}22X P X f x dx dx <<===⎰⎰.16.设随机变量X的概率密度为221()xx f x -+-=，则EX = ，DX = .解：若随机变量服从2()N μσ，分布，则其概率密度应为221)2()xf xμσ--=因此把所给密度函数变形为2211)121()1xf x e--⋅=即1(1,)2X N，因此1()1,()2E X D X==.17.18. 19. 20. 略.21.331(1),1,1,(,)40,,x y xy x yf x y⎧-+<<⎪=⎨⎪⎩其他，证X，Y不相关，但不相互独立.解： 1133111()(,)(1)04E X xf x y dxdy dx x x y xy dy+∞+∞-∞-∞--==-+=⎰⎰⎰⎰()0E Y=，()(,)0E XY xyf x y dxdy==⎰⎰()()()E XY E X E Y X Y∴=即，，不相关.但1,11()(,)20,Xxf x f x y dy+∞-∞⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其他1,11()(,)20,Yyf y f x y dx+∞-∞⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其他()()(,)X Yf x f y f x y∴≠(1,1)x y<<，X Y即，不相互独立.22. 设随机变量(,)X Y的分布律为求证YX,不相关，但,X Y不相互独立.解：3333()(1)010,()(1)0108888E X E Y=-⨯++⨯==-⨯++⨯=,811181)1(1811)1(81)1()1()(=⨯⨯++⨯-⨯++⨯⨯-++⨯-⨯-=XYE所以 cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y=-=故,X Y 不相关.又 1133, 88p p ∙∙==， 8111=p所以 1111p p p ≠∙∙, 故Y X ,不相互独立.23. 略。
北交《概率论与数理统计》在线作业一答案
北交《概率论与数理统计》在线作业一-0003试卷总分:100 得分:0一、单选题(共30 道试题,共75 分)1.现有一批种子，其中良种占1/6，今任取6000粒种子，则以0.99的概率推断，在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差是（）A.0.0124B.0.0458C.0.0769D.0.0971正确答案:A2.假设事件A和B满足P(A∣B)＝1，则A.A、B为对立事件B.A、B为互不相容事件C.A是B的子集D.P(AB)=P(B)正确答案:D3.设X与Y是相互独立的两个随机变量，X的分布律为：X=0时，P=0.4；X=1时，P=0.6。
Y 的分布律为：Y=0时，P=0.4，Y=1时，P=0.6。
则必有（）A.X=YB.P{X=Y}=0.52C.P{X=Y}=1D.P{X#Y}=0正确答案:B4.设g(x)与h(x)分别为随机变量X与Y的分布函数，为了使F（x)=ag(x)+bh(x)是某一随机变量的分布函数，在下列各组值中应取（）A.a=3/5 b=-2/5B.a=-1/2 b=3/2C.a=2/3 b=2/3D.a=1/2 b=-2/3正确答案:A5.设随机变量X~N(0,1)，Y=3X+2,则Y服从（）分布。
A.N(2,9)B.N(0,1)C.N(2,3)D.N(5,3)正确答案:A6.参数估计分为(）和区间估计A.矩法估计B.似然估计C.点估计D.总体估计正确答案:C7.设A,B为任意两事件，且A包含于B（不等于B），P(B)≥0,则下列选项必然成立的是A.P(A)=P(A∣B)B.P(A)≤P(A∣B)C.P(A)>P(A∣B)D.P(A)≥P(A∣B)正确答案:B8.在区间（2,8）上服从均匀分布的随机变量的数学期望为（）A.5B.6C.7D.8正确答案:A9.事件A与B相互独立的充要条件为A.A+B=ΩB.P(AB)=P(A)P(B)C.AB=ФD.P(A+B)=P(A)+P(B)正确答案:B10.假设一厂家一条自动生产线上生产的每台仪器以概率0.8可以出厂，以概率0.2需进一步调试，经调试后，以概率0.75可以出厂，以概率0.25定为不合格品而不能出厂。
北京交通大学2010-2011第一学期期中考试随机数学试题答(精)
十(满分 10 分产品的某种性能指标的测量值 X 是随机变量,设 X 的概率密度为2 −1 x ⎧⎪ xe 2 , x > 0, f X ( x = ⎨⎪⎩ 0, 其他．测量误差Y~U( − ε , ε ,X,Y 相互独立,求 Z=X+Y 的概率密度 f Z ( z ,并验证P{Z > ε } = 解 (1Y 的概率密度为1 2ε ∫ 2ε 0 e −u 2 /2 du ⎧⎪ 1 , − ε < y < ε， f Y ( y = ⎨ 2ε 其他．⎪⎩ 0, 故 Z=X+Y 的概率密度为f Z ( z = ∫ f X ( x f Y ( z − xdx −∞ +∞ ——2 分仅当⎨ x>0 x>0 ⎧即⎨时上述积分的⎩−ε < z − x < ε ⎩ z − ε < x < z + ε ⎧ x x=z+ε O x=z+ε 图4 y 被积函数不等于零,参考图 4,即得⎧1 z +ε − 12 x 2 ⎪ 2ε ∫0 xe dx, − ε < z < ε，⎪ f Z ( z = ⎨ 1 z +ε − 1 x2 2 xe dx, z ≥ ε，⎪ 2ε ∫z −ε ⎪其他， 0, ⎩ −1 ( z +ε 2 ⎧1 2 − ε < z < ε， ], ⎪ 2ε [1 − e ⎪⎪1 −1 ( z −ε 2 − 1 ( z +ε 2 −e 2 [e 2 ], =⎨ z ≥ ε，——4 分2 ε ⎪其他，⎪ 0, ⎪⎩11(2 P{Z > ε } = = ∫ε ∞ f Z ( z dz ∞ − 1 ( z +ε 2 1 ∞ − 12 ( z −ε 2 [∫ e dz − ∫ e 2 dz ] ε 2ε ε 记成 1 [Ⅰ+Ⅱ] 2ε 其中Ⅰ= ∫ε ∞ e −1 ( z −ε 2 dz 2 令z − ε = u ∫ ∞ 0 e u2 −1 2 du, u2 −1 2 Ⅱ= − ∫ε ∞ e −1 ( z +ε 2 2 dz 令z + ε = u −∫ e 2ε ∞ du 于是P{Z > ε } = 1 1 [Ⅰ+Ⅱ]= 2ε 2ε ∫ 2ε 0 e −1 u2 2 du ——4 分θˆ = x − x1 12十一.（满分 6 分）已知离散型随机变量 X 的可能取值为− 2 , 0 , 2 , 5,相应的概率依次为解：P { X ≤ 2 X = P { X 1 3 5 7 , , , , 试求概率P { X ≤ 2 X ≥ 0} . a 2a 4a 8a P { X ≤ 2, X ≥ 0} P { X ≥ 0} 5 } ≥ 0} = P { X = 0} + P { X = 2} = 0} + P { X = 2} + P { X = ----4 分 3 5 + 22 2a 4a = = . 3 5 7 29 + + 2a 4a 8a ----2 分 13十二（满分 8 分）设随机事件 A, B ,C 满足 C ⊃ AB , C ⊃ A B. 证明 : AC = C B ∪ AB. 解：由于 C ⊃ AB, 故 C ⊂ A ∪ B, 从而 C B ⊂ ( A ∪ B B = AB, -----2 分C A B = C B ∩ A B = C B, ACB = C ∩ AB = AB, 故 AC = AC ( B ∪ B = ACB ∪ AC B -----4 分 = C B ∪ AB. -----2 分 14。
2012-2013(1)概率论与数理统计期中考试答案
Y
0 0.2 0.2 0.4
1 0.2 0.1 0.3
2 0.1 0.2 0.3
x C 0
0 x 1 ，且随机变量Y 2 X 3, 其他
求Y的概率密度fY y .
（概率论与数理统计期中试卷）第 5 页 共 4度的性质
+ -
f x dx 1,得：
P A2 B P B P A3 B P B
P A2 P B A2 P B P A3 P B A3 P B
0.2 0.03 3 ; 0.026 13 0.6 0.04 6 . 0.026 13
故若接到次品的投诉，C厂最该为此事负责。
解： （1）根据所有概率之和是 1，得到 a =0.2.
p
i
i
1, 0.2 a 0.1 0.2 0.1 0.2 1 a 0.2
P{X=xi} 0.5 0.5 1
(2) X 与 Y 的边缘分布律见下表： X 0 1 P{Y=yj} (3) X 与Y 不独立。
） ．
（B） P A P B P A P B
（概率论与数理统计期中试卷）第 1 页 共 4 页
北京联合大学
基础部
（C） 1 P A B
（D） 1 P A P B
2 a 4
． 1 ，其分布函数为 F ( x) ，则正确的是（ B ） 2 （D） F
6．某人独立射击时中靶率为
2 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为 4 的概率是（ C ） ． 3
3
（A）
2 3
3
（B）
北交《概率论与数理统计》在线作业一答案
北交《概率论与数理统计》在线作业一-0003试卷总分:100 得分:0一、单选题(共30 道试题,共75 分)1.现有一批种子，其中良种占1/6，今任取6000粒种子，则以0.99的概率推断，在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差是（）A.0.0124B.0.0458C.0.0769D.0.0971正确答案:A2.假设事件A和B满足P(A∣B)＝1，则A.A、B为对立事件B.A、B为互不相容事件C.A是B的子集D.P(AB)=P(B)正确答案:D3.设X与Y是相互独立的两个随机变量，X的分布律为：X=0时，P=0.4；X=1时，P=0.6。
Y 的分布律为：Y=0时，P=0.4，Y=1时，P=0.6。
则必有（）A.X=YB.P{X=Y}=0.52C.P{X=Y}=1D.P{X#Y}=0正确答案:B4.设g(x)与h(x)分别为随机变量X与Y的分布函数，为了使F（x)=ag(x)+bh(x)是某一随机变量的分布函数，在下列各组值中应取（）A.a=3/5 b=-2/5B.a=-1/2 b=3/2C.a=2/3 b=2/3D.a=1/2 b=-2/3正确答案:A5.设随机变量X~N(0,1)，Y=3X+2,则Y服从（）分布。
A.N(2,9)B.N(0,1)C.N(2,3)D.N(5,3)正确答案:A6.参数估计分为(）和区间估计A.矩法估计B.似然估计C.点估计D.总体估计正确答案:C7.设A,B为任意两事件，且A包含于B（不等于B），P(B)≥0,则下列选项必然成立的是A.P(A)=P(A∣B)B.P(A)≤P(A∣B)C.P(A)>P(A∣B)D.P(A)≥P(A∣B)正确答案:B8.在区间（2,8）上服从均匀分布的随机变量的数学期望为（）A.5B.6C.7D.8正确答案:A9.事件A与B相互独立的充要条件为A.A+B=ΩB.P(AB)=P(A)P(B)C.AB=ФD.P(A+B)=P(A)+P(B)正确答案:B10.假设一厂家一条自动生产线上生产的每台仪器以概率0.8可以出厂，以概率0.2需进一步调试，经调试后，以概率0.75可以出厂，以概率0.25定为不合格品而不能出厂。
【北交大】2009-2010学年第一学期概率统计期中试题(有答案)
北 京 交 通 大 学2009-2010学年第一学期《概率论与数理统计（B ）》期中考试试题答案 学院 专业 班级学号 姓名注意：本试卷共11道题，如有不对，请与监考老师调换1.（ 本题满分10分，每小题5分）(1) P(A)=0.25, P(B|A)=0.4, P(A|B)=0.5, 试求 P(A B U ).(2) 事件,,A B C 相互独立, 证明事件A B U 与事件C 也相互独立.解：(1) ()P BA (A)0.4P(A)P B ==, ()0.25P A = 则 ()0.1P AB = ——2分又 ()P BA ()0.5P(B)P A B ==，则 ()0.2P B =， ——2分因此 ()P(A)P(B)P(AB)0.35.P A B =+-=U ——1分 (2) 证明：由于事件,,A B C 相互独立，所以()()()()P ABC P A P B P C =，()()()P AB P A P B =，()()()P AC P A P C =，()()()P BC P B P C =，——2分所()()()PA B C P AC BC =U U()()()P AC P BC P ABC =+-()()()()()()()P A P C P B P C P A P B P C =+- ()()()()()()()P A P B P A P C P A P B P C =+-()()P A B P C =U ——2分即()()PA B C U ()()P A B P C =U ,所以事件A B U 与C 也相互独立。
——1分2. （本题满分10分）两个箱子中都有10个球，其中第一箱中4个白球，6个红球，第二箱中6个白球，4个红球，现从第一箱中任取2个球放入第二箱中，再从第二箱中任取1个球，(1) 求 从第二箱中取 的球为白球的概率；(2) 若从第二箱中取的球为白球，求从第一箱中取的2个球都为白球的概率.解: 设A 表示“从第二箱中取的球为白球” ，i B 分别表示“从第一箱中取的2个球都为白球,1白1红，2个球都为红球” 1,2,3i =，则()1P B =24210C C =2/15，()2P B =1146210C C C =8/15，()3P B =26210C C =1/3，——2分 ()1|P A B =2/3，()2|P A B =7/12，()3|P A B =1/2， ——2分由全概率公式得：()()()31|iii P A P A B P B ===∑17/30， ——2分由贝叶斯公式得：()()()111||()P A B P B P B A P A ==8/51 ——4分 3．（本题满分10分）已知随机变量X 的密度为,01()0,ax b x f x +<<⎧=⎨⎩其它,且{1/2}5/8P x >=,求: (1) 常数,a b 的值; (2) 随机变量X 的分布函数()F x . 解: (1) 由 1()/2f x dx a b +∞-∞==+⎰, ——2分和 {}1/25/81/2()3/8/2P X f x dx a b +∞=>==+⎰解得1,1/2a b == ——2分(2) 0.5,01()0,x x f x +<<⎧=⎨⎩其它,当0x <时, (){}0F x P X x =≤=， ——2分 当01x ≤<时, (){}()()200.5/2xF x P X x x dx x x =≤=+=+⎰, ——2分 当1x ≥时, ()1F x =， 所以()()20,0/2,011,1x F x x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪≥⎩ ——2分4．（本题满分8分）设随机变量X 与Y 同分布，X 的概率密度为()f x =230280,x x ⎧<≤⎪⎨⎪⎩，其它 ，事件{}A X a =>与事件{}B Y a =>相互独立，且()34P A B =U ，求常数a 的值。
北京交通大学 第一学期概率论与数理统计期中试题答案
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
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北京交通大学2012-2013第一学期 概率论与数理统计期中试题答案1.（6分）设1.0)(=A P ，9.0)|(=A B P ，2.0)|(=A B P ，求)|(B A P . 解：()0.09P AB =，………………2分()()()(|)0.2()1()P BA P B P AB P B A P A P A -===-，()0.27P B = ………………2分 )|(B A P =31.………………2分2. (12分) (12分)设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。
随机的取一个地区的报名表，从中先后抽取两份。
(1)求先抽到的一份是女生表的概率；(2)已知后抽到的一份表是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。
解：记i H ={抽到第i 地区考生的报名表},i=1,2,3. j A ={第j 次抽到的报名表是男生的},j=1,2.………………2分………………2分又因为;107)();3,2,1(31)(11===H A P i H P i 则有.2520)(;158)(3121==H A P H A P 由全概率公式知)1(∑===3111)()()(i i i H A P H P A P p ⎪⎭⎫⎝⎛++=25515710331.9029=,)()()()2(22121A P A A P A A P q ==由全概率公式得∑==312121)()()(i i i H A A P H P A A P ,)(313121∑==i i H AA P ,30797103)(121=⨯=H A A P………………2分………………2分………………2分………………2分3、(10分) 甲、乙、丙三人独立的向同一飞行目标各射击一次，击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。
如果只有一人击中，则目标被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则目标被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则目标一定被击落。
求目标被击落的概率。
解：设A 表示“目标被击落”，321,,B B B 依次表示“甲、乙、丙击中目标”，i C 表示“有i 个人击中目标”，i =1，2，3。
则有题设有：7.0)(,5.0)(,4.0)(321===B P B P B P3213213211B B B B B B B B B C =)()()()(3213213211B B B P B B B P B B B P C P ++=)()()()()()()()()(321321321B P B P B P B P B P B P B P B P B P ++=36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ……2分3213213212B B B B B B B B B C = 同理 41.0)(2=C P ……2分,308148157)(221=⨯=H A A P .3052420255)(321=⨯=H A A P ,9230530830731)(21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=A A P 所以)()()(2312i i i H A P H P A P ∑==而∑==312)(31i i H AP ,9061252015810731=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)()(221A P A A P q =所以.6120906192==3213B B B C = 14.0)(3=C P ……2分由全概率公式得：∑==30)|()()(i i i C A P C P A P ……2分458.0114.06.041.02.036.0=⨯+⨯+⨯= ………………2分解……2分知}2{21==X P322-+=b a……3分……1分:)(的性质利用分布函数x F ),0()(}{--==i i i x F x F x X P ,1)(=+∞F )32()(a b a --+=.1=+b a 且.65,61==b a 由此解得的分布律。
并求试确定常数且的分布函数为分）设离散型随机变量X b a X P x b a x a x a x x F X ,,,21}2{.2,,21,32,11,,1,0)(10.(4==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=……4分5、(4分)已知盒子里有10张卡片，上面分别标有号码（1号～10号），从中抽取5次，每次随机地取一张，观察其上的号码后放回．设X 表示观察到奇数号码的次数，则随机变量X 服从什么分布（指出其参数）.答：(4分)b(5,0.5).仅说明分布，没有写出参数2分 6、（8分）随机变量X 与Y 相互独立, 且均服从区间[]0,3上的均匀分布, 试求P {min (X ,Y )1≤}和P {max (X ,Y )>1}.(8分)5/9,8/9. 解：P {X 1>}=3113dx ⎰=23……2分P {min (X ,Y )1≤}=1- P {min (X ,Y )1>}= 1- P {X 1>,Y 1>}=1- P {X 1>}P {Y 1>}=1-2233⋅=5/9 ……3分X 211-213161P⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=.2,1,21,21,11,61,1,0)(x x x x x F 因此有P {max (X ,Y )>1}= 1-P {max (X ,Y )≤1}=1-P {X 1≤,Y 1≤}= 1-P {X 1≤}P {Y 1≤} =1-1133⋅=8/9……3分7、(14分)设随机变量X 服从标准正态分布(已知9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ)。
(1)写出X 的概率密度)(x f X ；(2)随机变量2X Y =，求Y 的概率密度)(y f Y ；(3)随机变量⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<≤-≤≤-=其它或,32112,211,1X X X Z , 求Z 的分布律.解：(1) 2221)(x Xe xf -=π,∞<<∞-x……2分(2) ).(),(y F x F Y X Y X 的分布函数分别为和设}{}{)(2y X P y Y P y F Y ≤=≤= ……1分 .0)(0=<y F y Y 时，当)()(}{)(0y F y F y X y P y F y X X Y --=≤≤-=≥时，当)()(y F y f Y Y '= ……2分⎪⎩⎪⎨⎧≥=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+=-其它其它 ,00,21 ,00)],()([21)(2y e yy y f y f y y f y X X Y π……3分(3) (1)0.8413,(2)0.9772Φ=Φ={1}{11}(1)(1)2(1)120.841310.68262{2}{21}{12}2[(2)(1)]2(0.97720.8413)0.27182{3}1{1}{2}10.68260.27180.0456P Z P X P Z P X P X P Z P Z P Z ==-≤≤=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=⋯⋯==-≤<-+<≤=Φ-Φ=⨯-=⋯⋯==-=-==--=分分|1 2 3|0.68260.27180.0456Z P ……2分8、(12分)设二维随机变量 (X ,Y ) 在 D ={(x ,y ) | 1≤ x ≤ 3, 1≤ y ≤ x } 上服从均匀分布。
(1) 求(X ,Y ) 的联合密度f (x ,y )； (2) 判断X 与Y 是否独立? 给出理由； (3) 求Z=X+Y 密度函数.解：(1) D 的面积m(D) = 2, 所以, (X,Y) 的联合密度f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧∈.0,),(21其它D y x ……………………+4(2) 设X 与 Y 的边际密度函数分别为f X (x) 和f Y (y),f X (x)=⎰+∞∞-dy y x f ),(=dy x⎰121=)1(21-x , (13≤≤x ).f Y (y)=⎰+∞∞-dx y x f ),(=dx y ⎰321=)3(21y -, (13≤≤y ).……3分因为 f(x,y)≠ f X (x)f Y (y) , 所以 X 与Y 不独立。
………1分（3） ()(),ZX f z f x z x dx +∞-∞=-⎰……1分非零区域131x z x x ≤≤⎧⎨≤-≤⎩⎩⎨⎧≤≤+≤≤⇒x z x x 21,31 当24z ≤<时，()1212z z Z f z dx -=⎰142z =-当46z ≤≤时，()3212z Z f z dx =⎰ 342z =-+其它，()0Zf z =()1,24423,46420,Z z z z f z z ⎧-≤<⎪⎪⎪∴=-+≤≤⎨⎪⎪⎪⎩其它……………3分9、（10分）某箱装100件产品，其中一、二和三等品分别为80，10和10件.现从中随机取一件，定义三个随机变量123,,X X X 如下：⎩⎨⎧=其它等品抽到,0,1i X i 1,2,3i =试求： （1） 随机变量1X 与2X 的联合分布律；（2） 随机变量 2132X X -的分布律。
解：(1)∵()1~1,0.8X B ， ()2~1,0.1X B ……2分 则 ()12,X X 的联合分布律为如 ()12801,00.8100P X X ==== ……3分 （2）2132X X-的分布律为……5分10、 解……3分得由,1d d ),()1(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-y x y x f xcx y yy d e d 10⎰⎰-+∞=,)3(2d e 202c c y y c y =Γ==⎰+∞-.1=⇒c y y x f x f X d ),()()2(⎰+∞∞-=⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e x x x x ⎧-12y ⎩⎨⎧+∞<<<=-.,0,0,e ),( ),(14(其他的联合概率密度为分）设随机变量y x cx y xf Y X y }.21{},21{)4();(),()3(??)2(;)1(=<<<Y X P Y X P x y f y x f Y X c X Y Y X 求求为什么是否独立与求常数……3分……3分……3分……2分xy x f y f Y d ),()(⎰+∞∞-=,)()(),(,0y f x f y x f y x YX ⋅≠+∞<<<上由于在(,)(3)0,()()X Y Y f x y y f x y f y >=⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<<=.,0,0,22其他y x y x (,)0,()()Y X X f x y x f y x f x >=⎩⎨⎧+∞<<<=-.,0,0,e 其他y x yx }21{)4(<<Y X P }2{}2,1{<<<=Y P Y X P ⎰⎰⎰∞-∞-∞-=212d )(d d ),(yy f y x y x f Y ⎰⎰⎰--=202102d e 21d e d yy y x x yxy.e 51e 21e 21221------=又由条件密度的性质知,d )2(}21{1x x f Y X P Y X ⎰∞-==<⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0,20,2)2(其他而x x x f Y X x x Y X P d 2}21{10⎰==<.41=北 京 交 通 大 学2011-2012学年第二学期《概率论与数理统计（B ）》期中考试试卷（A ）学院_____________ 专业___________________ 班级____________学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共十三大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一（满分8分）已知,.)(30=A P ,.)(40=B P ..)|(50=B A P 求),(AB P ),(B A P ⋃),|(A B P ).(A B P -解 由概率乘法公式....)|()()(205040=⨯==B A P B P AB P ----2分由概率加法公式.....)()()()(50204030=-+=-+=⋃AB P B P A P B A P ----2分...)()()|(323020===A P AB P A B P ----2分....)()()(102030=-=-=-AB P B P A B P ----2分二（满分10分）高射炮向某飞机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立)，设每发炮弹击中飞机的概率均为0.3，又知若飞机中一弹，其坠落的概率为0.2；若飞机中两弹，其坠落的概率为0.6；若中三弹则必然坠落. (1) 求飞机被击落的概率；(2) 若飞机被击落，求它中两弹的概率。