《高考领航》2018-2019高三数学(文)(北师大版)一轮复习课件：第4章-第4课时 数系的扩充与复数的引入
2020高考数学一轮总复习课件(北师大版)：第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形-4
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高考目标导航
3 课堂典例讲练
课前自主导学
4 课后强化作业
第四章 第四节
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第四章 第四节
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考纲要求 1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出 y＝Asin(ωx ＋φ)的图像，了解参数 A、ω、φ 对图像变化的影响． 2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会 用三角函数解决一些简单实际问题.
个关键点，如下表所示.
x
____ π2－φ ____ 32π－φ ____
ω
ω
ωx＋φ
0 ____ π ____ 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
第四章 第四节
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3.函数 y＝sinx 的图像变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 的图像的步骤
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∴π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z， 即 φ＝6π＋2kπ，k∈Z， 又∵|φ|<π2，∴φ＝π6， ∴f(x)＝2sin(2x＋6π)＋1.
第四章 第四节
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(2)由 2x＋π6＝2π＋kπ(k∈Z)得 x＝6π＋12kπ，k∈Z， ∴f(x)＝2sin(2x＋6π)＋1 的对称轴方程为： x＝6π＋12kπ，k∈Z.
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北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
《高考领航》2018-2019高三数学(文)(北师大版)一轮复习课件：第7章-第6课时 空间直角坐标系
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2．空间两点间的距离公式
设 P1(x1，y1，z1)和 P2(x2，y2，z2)是空间任意两点，则这两点的距离公式 为 |P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
2 2 2 x ＋ y ＋ z 特殊地，点 P(x，y，z)与原点 O(0,0,0)之间的距离为|OP|＝ .
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【基础自测】
1．(教材改编题)已知 M(2，－3,1)，N(－3,1,5)，则线段 MN 的中点坐标 是( )
图片显/隐
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考点突破 题型透析
考点一 求空间点的坐标
解
同理，点 A′的坐标为(6,0,5)． 点 B′在 xOy 平面内的射影是点 B，因此它的横坐标 x 与纵坐标 y 同 点 B 的横坐标 x 与纵坐标 y 相同， 在 xOy 平面上， 点 B 的横坐标 x＝6， 纵坐标 y＝8，点 B′在 z 轴上的射影是点 D′，它的竖坐标与点 D′ 的竖坐标相同，点 D′的竖坐标 z＝5，所以点 B′的坐标是(6,8,5)．
6 . 2
A
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教材梳理 B(10，－1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形是( A．等腰直角三角形 C．直角三角形 B．等边三角形 D．无法判断
2020高考数学一轮总复习课件(北师大版)：第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形-3
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[解析] ∵0<x≤3π， ∴π3<x＋3π≤23π， 又 y＝cosx 在[0，π]上是减少的， ∴cos23π≤cos(x＋π3)<cos3π， 即－12≤y<12.
第四章 第三节
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6．函数 y＝lgsinx＋ cosx－12的定义域为________． [答案] {x|2kπ<x≤π3＋2kπ，k∈Z}
[思路分析]
(1)第(1)小题实际就是求使
2sinx－1>0 1－2cosx≥0
的 x 值，可用图像或三角函数线解决；
(2)第(2)小题解不等式组2＋log12x≥0 ，然后利用数轴求 tanx≥0
解．
第四章 第三节
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[规范解答] (1)要使原函数有意义，必须有：
第四章 第三节
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[答案] 1.(0,0) 2π，1 (π，0) 32π，－1 (2π，0)
2
．
x
＝
kπ
＋
π 2
(k
∈
Z)
(kπ ， 0)(k ∈ Z)
x ＝ kπ(k ∈ Z)
kπ＋π2，0(k∈Z) k2π，0(k∈Z) 2kπ－π2 ， 2kπ＋π2(k∈Z)
∴该函数值域为－1，12＋
2.
第四章 第三节
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[方法总结] 求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解 法为：
1．y＝asinx＋bcosx 型可引用辅助角化为 y＝ a2＋b2sin(x＋φ)(其中 tanφ＝ba)． 2．y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x 型可通过降次整理化为 y ＝Asin2x＋Bcos2x. 3．y＝asin2x＋bcosx＋c 型可利用公式转化为二次函数．
《高考领航》2019届高三数学(文)(北师大版)一轮复习课件：第7章-第4课时 空间中的平行关系
如图(1)，取 PA 的中点 H，连接 EH，DH. 因为 E 为 PB 的中点， 1 所以 EH∥AB，EH＝ AB. 2 1 又 AB∥CD，CD＝ AB， 2 所以 EH∥CD，EH＝CD.
图形 语言 l 符号 语言
b α⇒l∥α l∥b
α
l β ⇒b∥l α∩β＝b
l ∥α
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【知识梳理】
2.平面与平面平行的判定与性质 判定定理 如果一个平面内有两条相交直 性质定理
AM AN 由 ＝ 得 MN∥BD，又 MN 平面 BDC，BD 平面 BDC，所以 MN∥ MB ND 平面 BDC.
平行
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考点突破 题型透析
考点一 线面平行的判定及性质
审题视点 证明
(2013· 高考山东卷改编)如图，四棱锥 P－ABCD 中， AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N 分别为 PB，AB，BC，PD，PC 的中点． (1)求证：MN∥AB；
高三总复习.新课标数学（文）
第七章 第4课时
立体几何
空间中的平行关系
考 点
考点一 线面平行的判定及性质 考点二 平面与平面平行的判定与性质
考点三 平行关系中的计算问题 规范答题•系列 指点迷津•展示
2020高考数学一轮总复习课件(北师大版)：第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形-7
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∴AB＝BEtan30°＝130(3－ 3)(m)． 故所求的塔高为130(3－ 3)m.
第四章 第七节
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[方法总结] (1)处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角 (视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关 键．
第四章 第七节
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[解析] 在△ABC 中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC ＝4002＋6002－2×400×600×cos60°＝280 000， ∴AB＝200 7，∴DE＝200 7－120(m)．
第四章 第七节
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2
第四章 第七节
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4．(教材改编题)有一长为 1 的斜坡，它的倾斜角为 20°，
现高不变，将倾斜角改为 10°，则斜坡长为( )
A．1
B．2sin10°
C．2cos10° D．cos20°
[答案] C
第四章 第七节
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2．方位角 指从____方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点 的方位角为 α(如图②)． 3．方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)
第四章 第七节
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①北偏东 α°：指北方向顺时针旋转 α°到达目标方向． ②东北方向：指北偏东 45°或东偏北 45°. ③其他方向角类似．
6．海上有 A，B，C 三个小岛，测得 A，B 两岛相距 10 海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则 B，C 间的距离是________ 海里．
《高考领航》2019届高三数学(文)(北师大版)一轮复习课件：第8章-第8课时 圆锥曲线的综合问题
－4
高三总复习.新课标数学（文）
第八章 第8课时
平面解析几何
圆锥曲线的综合问题
考 点
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 考点二 圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题
考点三 定值(定点)问题 创新探究•系列 指点迷津•展示
考纲·点击
1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2．掌握与圆锥曲线有关的最值、定值(点)、参数范围等问题．
3 3 A. － ， 3 3 3 3 C.－ ， 3 3
)
B．(－ 3， 3) D．[－ 3， 3]
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【基础自测】
x2 y2 3 由 － ＝1 可得双曲线的渐近线方程为 y＝± x，过点 F 分别作两条渐 12 4 3 近线的平行线 l1 和 l2，由图形得知，符合题意的直线斜率的取值范围为
3 4
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【基础自测】
5． 抛物线 y2＝4x 被直线 y＝2x＋k 截得的弦长为 3 5， 则 k 值为________．
直线方程与抛物线方程联立，消去 y 得：4x2－4(1－k)x＋ k2＝0， k2 所以 x1＋x2＝1－k， x1x2＝ . 4 依题意得：3 5＝ 1＋22|x1－ x2|， 即 9＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(1－ k)2－k2，解得：k＝－4.
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[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第4章 平面向量、数系的扩
![[推荐学习]2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第4章 平面向量、数系的扩](https://img.taocdn.com/s3/m/1d491845a45177232f60a28b.png)
第二节 平面向量基本定理及坐标表示[考纲传真] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(对应学生用书第59页)[基础知识填充]1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，由于a 与数对(x ，y )是一一对应的，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )． 3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的．( )(3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,3)，那么|a ＋b |等于 ( ) A ．5 B ．13 C ．17D ．13B [因为a ＋b ＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a ＋b |＝32＋22＝13.]3．(2018·洛阳模拟)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)D ．(1,4)A [AB →＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 故选A ．]4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. －6 [∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ， ∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6.]5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． (1,5) [设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )， 即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.](对应学生用书第60页)(1)12面内所有向量的一组基底的是 ( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2 D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1(2)(2018·太原模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________. 【导学号：00090130】(1)D (2)43 [(1)选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．(2)选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.][规律方法] 1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．[变式训练1] 如图421，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD与BC 的中点．设BA →＝a ，BC →＝b ，则EF →＝________，DF →＝________，CD →＝________(用向量a ，b 表示)．图42113b －a 16b －a a －23b [EF →＝EA →＋AB →＋BF →＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF →＝DE →＋EF →＝－16b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13b －a ＝16b －a ，CD →＝CF →＋FD →＝－12b －⎝ ⎛⎭⎪⎫16b －a ＝a －23B ．]已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点．∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．[规律方法] 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解．2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．[变式训练2] (2017·合肥三次质检)已知a ＝(1，t )，b ＝(t ，－6)，则|2a ＋b |的最小值为________．25 [由条件得2a ＋b ＝(2＋t,2t －6)，所以|2a ＋b |＝＋t2＋t －2＝t －2＋20，当t ＝2时，|2a ＋b |的最小值为2 5.]已知a(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值.【导学号：00090131】[解] (1)k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝m λ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， BC →＝a ＋m b ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →∥BC →. ∴8m －3(2m ＋1)＝0，即2m －3＝0， ∴m ＝32.[规律方法] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λA ．2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解．[变式训练3] (1)(2017·郑州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________.(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．(1)π4 (2)k ≠1 [(1)由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，所以cos θ＝22或－22，又θ为锐角，所以θ＝π4. (2)若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．因为AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， 所以1×(k ＋1)－2k ≠0， 解得k ≠1.]。
《高考领航》2018-2019高三数学(文)(北师大版)一轮复习课件：第8章-第2课时 两条直线的位置关系
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3．距离公式
(3)两条平行线间的距离
|C1－C2| 2 2 两平行线 l1： Ax＋By＋C1＝0 和 l2： Ax＋By＋C2＝0 间的距离为 d＝ A ＋B .
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【基础自测】
1． (教材改编题)直线 ax＋2y－1＝0 与直线 2x－3y－1＝0 垂直， 则 a 的值 为( A．－3 ) 4 B．－3 C．2 D．3
由 2a＋2×(－3)＝0，得 a＝3.
D
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②点 P(x0， y0)到 x 轴的距离为 d＝|y0| ； 点 P(x0， y0)到 y 轴的距离为d＝|x0| ； 点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a 的距离是d＝|y0－a|；点 P(x0，y0)到 与 y 轴平行的直线 x＝b 的距离是 d＝|x0－b|.
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根据两条直线的位置关系列方程(组)求解．
(1)由已知可得 l2 的斜率必存在，∴k2＝1－a. 若 k2＝0，则 1－a＝0，a＝1，∵l1⊥l2，直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b ＝0.
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2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 第4章 重点强化课2 平面向量学案
重点强化课(二) 平面向量(对应学生用书第65页)[复习导读] 从近五年全国卷高考试题来看，平面向量是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算、平面向量数量积及其应用、平面向量共线与垂直的充要条件．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用，注重数形结合，向量具有“形”与“数”两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．重点1 平面向量的线性运算 (1) (2018·深圳模拟)如图1，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若＝λ＋μAC → AM→ ，则λ＋μ＝( )BD→图1A ．B ．4353C ．D ．2158(2)在▱ABCD 中，AB ＝a ，＝b,3＝，M 为BC 的中点，则＝________.(用a ，b 表AD → AN → NC → MN→ 示)(1)B (2)－a －b [(1)因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ3414AC → AM → BD → AB → BM → BA → AD→＋μ(－＋)＝(λ－μ)·＋，所以Error!得Error!所以(AB → ＋12AD → )AB → AD → AB → (12λ＋μ)AD → λ＋μ＝，故选B ．53(2)如图所示，＝＋MN → MC → CN→＝＋12AD → 34CA → ＝＋(＋)12AD → 34CB → CD →＝＋(＋)12AD → 34DA → BA → ＝b －b －a ＝－a －B ．]1234343414[规律方法] 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．2．用几个基本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．3．O 在AB 外，A ，B ，C 三点共线，且＝λ＋μ，则有λ＋μ＝1.OA → OB → OC→ [对点训练1] 设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且＋＋2＝0，则△ABC 的面积OA → OB → OC→ 与△AOC 的面积的比值为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．6B [因为D 为AB 的中点，则＝(＋)，OD → 12OA → OB →又＋＋2＝0，OA → OB → OC→ 所以＝－，所以O 为CD 的中点．OD → OC→ 又因为D 为AB 的中点，所以S △AOC ＝S △ADC ＝S △ABC ，1214则＝4.]S △ABCSAOC 重点2 平面向量数量积的综合应用 (2018·杭州模拟)已知两定点M (4,0)，N (1,0)，动点P 满足||＝2||.PM → PN→ (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点G (a,0)是轨迹C 内部一点，过点G 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，令f (a )＝·，求f (a )的取值范围. 【导学号：00090144】GA → GB→ [解] (1)设P 的坐标为(x ，y )，则＝(4－x ，－y )，＝(1－x ，－y )．PM → PN→∵动点P 满足||＝2||，∴＝2，PM → PN→ 4－x 2＋y 2 1－x 2＋y 2整理得x 2＋y 2＝4.4分(2)(a)当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x ＝a ，不妨设A 在B 的上方，直线方程与x 2＋y 2＝4联立，可得A (a ，)，B (a ，－)，∴f (a )＝·＝(0，4－a 24－a 2GA → GB→ )·(0，－)＝a 2－4；6分4－a 24－a 2(b)当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －a )，代入x 2＋y 2＝4，整理可得(1＋k 2)x 2－2ak 2x ＋(k 2a 2－4)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，2ak 21＋k 2k 2a 2－41＋k 2∴f (a )＝·＝(x 1－a ，y 1)·(x 2－a ，y 2)＝x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＋k 2(x 1－a )(x 2－a )GA → GB→ ＝a 2－4.由(a)(b)得f (a )＝a 2－4.10分∵点G (a,0)是轨迹C 内部一点，∴－2<a <2，∴0≤a 2<4，∴－4≤a 2－4<0，∴f (a )的取值范围是[－4,0).12分[规律方法] 1.本题充分发挥向量的载体作用，将平面向量与解析几何有机结合，通过平面向量数量积的坐标运算进行转化，使问题的条件明晰化．2．利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题．[对点训练2] (1)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A ．－1 B ．22C ．＋1D ．＋222(2)(2016·四川成都模拟)已知菱形ABCD 的边长为2，∠B ＝，点P 满足π3AP ＝λ，λ∈R ，若·＝－3，则λ的值为( ) 【导学号：00090145】AB → BD → CP→ A ．B ．－1212C ．D ．－1313(1)C (2)A [(1)∵a ，b 是单位向量，且a ·b ＝0，∴|a |＝|b |＝1，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2，∴|a ＋b |＝.又|c －a －b |＝1，2∴|c |－|a ＋b |≤|c －a －b |＝1.从而|c |≤|a ＋b |＋1＝＋1，2∴|c |的最大值为＋1.2(2)法一：由题意可得·＝2×2cos 60°＝2，BA → BC→ ·＝(＋)·(－)BD → CP → BA → BC → BP → BC → ＝(＋)·[(－)－]BA → BC → AP → AB → BC → ＝(＋)·[(λ－1)·－]BA → BC → AB → BC → ＝(1－λ)2－·＋(1－λ)·－2BA → BA → BC → BA → BC → BC→ ＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3，∴λ＝，故选A ．12法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，)，D (－1，)．33令P (x,0)，由·＝(－3，)·(x －1，－)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3，得x ＝1.BD → CP→ 33∵＝λ，∴λ＝.AP → AB→12故选A ．]重点3 平面向量与三角函数的综合应用 (2017·合肥二次质检)已知m ＝，n ＝(cos x,1)．(sin (x －π6)，1)(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调增区间．[解] (1)由m ∥n 得sin－cos x ＝0，3分(x －π6)展开变形可得sin x ＝cos x ，3即tan x ＝.5分3(2)f (x )＝m ·n ＝sin＋，7分12(2x －π6)34由－＋2k π≤2x －≤＋2k π，k ∈Z 得π2π6π2－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z .10分π6π3又因为x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为和.12分[0，π3][5π6，π][规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[对点训练3] 已知O 为坐标原点，向量＝(3sin α，cos α)，＝(2sin α，5sin OA → OB→α－4cos α)，α∈，且⊥，则tan α的值为( )(3π2，2π)OA → OB→ A ．－ B ．－ 4345C ． D ．4534A [由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcosα－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tanα－4＝0，由于α∈，(3π2，2π)则tan α<0，解得tan α＝－，故选A ．]S43。
高考数学(北师大版)一轮复习讲义：选修4-4坐标系与参数方程(共46张)讲课文档
(5)抛物线 y2＝2px(p＞0)的参数方程为xy＝＝22pptt2 (t 为参数)． (6)圆的渐开线的参数方程为xy＝＝rrscionsθθ－＋θθcsoinsθθ (θ 为参数)． (7)平摆线的参数方程为xy＝＝rr1θ－－csoinsθθ (θ 为参数).
第十六页，共46页。
第十二页，共46页。
(2)圆的参数方程 圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 的参数方程为
xy＝＝yx00＋＋rrscionsθθ (θ 为参数 0≤θ≤2π)．
(3)椭圆的参数方程
①椭圆ax22＋yb22＝1(a＞b＞0)的参数方程为xy＝＝bascionsθθ (θ 为参数
0≤θ≤2π)；
②
第二十五页，共46页。
题型四 参数方程与普通方程的互化 例 4.将参数方程xy＝＝s2i＋n2θsin2θ (θ 为参数)化为普通方程．
解析 将 sin2θ＝y 代入 x＝2＋sin2θ 得 x＝2＋y，即 x－y－2＝0. ∵sin2θ∈[0,1]， ∴x∈[2,3]，y∈[0,1]， ∴普通方程为 x－y－2＝0，x∈[2,3].
第二十八页，共46页。
解析
(1)直线 l 的参数方程为x＝1＋2t
y＝2＋
3 2t
(t 为参数)．
(2)将xy＝＝21＋＋2t23t
代入 x2＋y2＝9，
得：t2＋(1＋2 3)t－4＝0，
∴t1t2＝－4. 由参数 t 的几何意义得直线 l 和圆 x2＋y2＝9 的两个交点到点 A
第九页，共46页。
5．圆锥曲线的极坐标方程 设定点 F 到定直线 l 的距离为 p，e 为离心率，则 圆锥曲线的极坐标方程是 ρ＝1－eepcosθ. 当 0＜e＜1 时，方程 ρ＝1－eepcosθ表示椭圆； 当 e＝1 时，方程 ρ＝1－pcosθ表示抛物线； 当 e＞1 时，方程 ρ＝1－eepcosθ表示双曲线，其中 ρ∈R.
《高考领航》2018-2019高三数学(文)(北师大版)一轮复习课件：第9章-第2课时 古典概型
1 4
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考点一 简单的古典概型
(2015· 辽宁省大连市调研)某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一 部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为 (3.9,4.2] ， (4.2,4.5] ，„， (5.1,5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表： 分组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] (5.1,5.4] 合计
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【基础自测】
3．下列对古典概型的说法中正确的是(
)
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能 性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件总数为 n，随机 k 事件 A 若包含 k 个基本事件，则 P(A)＝n. A．②④ B．①③④ C．①④ D．③④
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频数 3 6 25 y 2 n
频率 0.06 0.12 x z 0.04 1.00
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考点一 简单的古典概型
解
(1)求频率分布表中未知量 n，x，y，z 的值；
(1)由频率分布表可知，样本容量为 n， 2 由n＝0.04，得 n＝50. 25 y 14 ∴x＝50＝0.5，y＝50－3－6－25－2＝14，z＝n＝50＝0.28.
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《高考领航》2018-2019高三数学(文)(北师大版)一轮复习课件：第3章-第5课时 三角函数的图像和性质
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【基础自测】
4．(教材改编题)y＝1＋cos x，x∈[0,2π] 的图像与 y＝0 的交点的个数为 ________．
画出 y＝1＋cos x，x∈[0,2π] 的图像可知．
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【基础自测】
3．函数 f(x)＝sin x－cos x 的最大值为( A．1 C. 3 B. 2 D．2
)
π 因为 f(x)＝ 2sinx－4≤ 2，故选 B.
B
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2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
值域
[ －1,1]
π π 2kπ－ ，2kπ＋ 2 2
[－1,1]
R
(k∈Z)上递增， 单调性
[2kπ－π，2kπ] (k∈ Z)上递增，
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2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质
对称中心 (kπ，0)，k∈Z 对称性 对称轴 l π x＝kπ＋2，k∈Z 周期 2π
对称中心
π kπ＋ ，0，k∈Z 2
Hale Waihona Puke 对称中心kπ ，0 2 ，k∈Z
《高考领航》2018-2019高三数学(文)(北师大版)一轮复习课件：第5章-第4课时 数列求和
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【知识梳理】
4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从 而求得其和． 5．分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组 成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．
(n－1)2n＋1＋2
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【基础自测】
5．数列{an}的通项公式是 an＝ 项数为________．
∵an＝ ＝ n＋1－ n n＋ n＋1 1
1 n＋ n＋1
，若数列的前 n 项和为 10，则
∴Sn＝( 2－1)＋( 3－ 2)＋…＋( n＋1－ n)＝ n＋1－1 令 n＋1－1＝10 得 n＝120.
120
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考点一 分组转化法与公式法求和
审题视点 解
(2015· 包头模拟)已知数列{xn}的首项 x1＝3，通项 xn＝2np＋nq(n∈ N＋，p，q 为常数)，且 x1，x4，x5 成等差数列．求： (1)p，q 的值；
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【知识梳理】
6．并项求和法 一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 an ＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如：Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋… ＋(2＋1)＝5 050.
《高考领航》2018-2019高三数学(文)(北师大版)一轮复习课件：第8章-第6课时 抛物线
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1．抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条直线 l(l 不过 F)的距离相等 的点的集合叫作抛 物线． 这个定点 F 叫作抛物线的焦点， 这条定直线 l 叫作抛物线的 准线 ．
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高三总复习.新课标数学（文）
第八章
平面解析几何 抛物线
第6课时
考 点
考点一 抛物线的定义及其应用 考点二 抛物线的标准方程与几何性质
考点三 直线与抛物线的位置关系 创新探究•系列 指点迷津•展示
考纲·点击
1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．理解数形结合的思想．
3．了解抛物线的简单应用，了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画 现实世界和解决实际问题中的作用．
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2．抛物线的标准方程与几何性质
顶点 对称轴 焦点 离心率 准线 方程 y＝0
p F 2，0
O(0,0) x＝0
p F 0，－2
p p － ，0 0， F 2 F 2
e＝1
p x＝－2
A(－1,0)，直线 l 的方程为 y＝x＋1，渐近线方程为 y＝－bx 或 y＝bx，它 －1 b 1 b 2 们联立得 B( ， )，C( ， )，又|AB|＝|BC|，则－ ＝－1 1＋b 1＋b b－1 b－1 1＋b 1 ＋ ，求得 b＝3，则双曲线 M 的离心率为 10. b－1
10
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)
|1＋1＋1| 配方得(x－1) ＋(y＋1) ＝1，圆心(1，－1)到直线的距离 d＝ ＝ 2
2 2
3 2 2 ，故选 D. D
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【基础自测】
2．若原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝2 的内部，则实数 m 的取值范围是 ( A．(0,1) C．(－ 2， 2) B．(－1,1) D．[－1,1] )
2 2 2 ( x － a ) ＋ ( y － b ) ＜ r 0 0 (3)点在圆内： .
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【基础自测】
1．圆 x2＋y2－2x＋2y＋1＝0 的圆心到直线 x－y＋1＝0 的距离是( 1 A.2 2 C. 2 3 B.2 3 2 D. 2
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)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意知 a＝0，b＝1，r＝2，故 选 C.
C
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【基础自测】
4．已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为 ________．
标准方程，只需知道圆心和半径即可，常采用的方法是待定系数法 ． (3)点和圆的位置关系有三种：点在圆上，满足的条件是点到圆心的距离
等于半径；点在圆内，满足的条件是点到圆心的距离 小于 半径；点在圆
最新高考一轮北师大版数学(文)北师大附中专用第四章 4.6
1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．【知识拓展】 1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( × ) (5)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( √ )(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )1．(2016·天津)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A. 2．(教材改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( ) A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6答案 C解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即1032＝c 22，∴c ＝1063.3．在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 2A2，且sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 答案 D解析 sin B ·sin C ＝1＋cos A2，∴2sin B ·sin C ＝1＋cos A ＝1－cos(B ＋C )， ∴cos(B －C )＝1，∵B 、C 为三角形的内角，∴B ＝C ， 又sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，∴b 2＋c 2＝a 2， 综上，△ABC 为等腰直角三角形．4．(2016·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝. 答案2π3解析 因为3sin A ＝5sin B ， 所以由正弦定理可得3a ＝5b . 因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3.5．(2016·济南模拟)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C＝π6，则b ＝. 答案 1解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin2π3＝b 12，解得b ＝1.(2)(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .①证明：sin A sin B ＝sin C ； ②若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .①证明 根据正弦定理，可设 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ．所以sin A sin B ＝sin C . ②解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A 或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．(1)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A＝2a ，则ba 等于( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝b ，且sin(A －C )＝2cos A sin C ，则b 等于( ) A ．6 B ．4 C ．2D ．1答案 (1)D (2)C 解析 (1)(边化角)由a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 及正弦定理，得 sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A ＝ 2.故选D.(2)(角化边)由题意，得sin A cos C －cos A sin C ＝2cos A sin C ， 即sin A cos C ＝3cos A sin C ， 由正弦、余弦定理，得 a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3c ·b 2＋c 2－a 22bc ，整理得2(a 2－c 2)＝b 2，① 又a 2－c 2＝b ，②联立①②得b ＝2，故选C. 题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332 D ．3 3答案 C解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 (1)A (2)B解析 (1)由c b <cos A ，得sin Csin B <cos A ，所以sin C <sin B cos A ， 即sin(A ＋B )<sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0， 即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形． (2)由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．引申探究1．例3(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos B sin A ， ∴sin(A －B )＝0，又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．例3(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形． 命题点2 求解几何计算问题例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin Bsin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 又由(1)知AB ＝2AC ，所以解得AC ＝1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a－b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是．答案 (1)D (2)(6－2，6＋2) 解析 (1)∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形． (2)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin75°＝2sin30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.二审结论会转换典例 (12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．(1)求cos A ―――――→根据余弦定理求三边a ，b ，c 的长或长度问题-a c →已有利用正弦定理将sin B ＝6sin C 化为b ＝6c(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6―→求cos2A ，sin2A ―→ 求sin A ，cos A ―――――→第(1)问已求出cos A 根据同角关系求sin A 规范解答解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C及sin B ＝6sin C ， 可得b ＝6c ，[2分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.[7分] (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.[8分] 于是，cos2A ＝2cos 2A －1＝－14，[9分] sin2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[10分] 所以，cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos2A cos π6＋sin2A sin π6＝⎝⎛⎭⎫－14×32＋154×12＝15－38.[12分]1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )A ．135°B ．105°C ．45°D ．75°答案 C解析 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin60°， 所以sin A ＝22，又由题知，BC <AB ，∴A ＝45°. 2．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b 等于( ) A.2B.3C ．2D ．3答案 D解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去，故选D. 3．(2016·西安模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 D解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ，在三角形中sin A ≠0，∴sin A ＝1，∴A ＝90°，由sin 2B ＝sin 2C ，知b ＝c ，综上可知△ABC 为等腰直角三角形．4．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定答案 C解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin C c ＝40×3220＝3>1. ∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B，则B 等于( ) A.π6B.π4C.π3D.3π4答案 C解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a c ＋b ， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 故B ＝π3，故选C. 6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2B.3＋1 C ．23－2D.3－1答案 B解析 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4. 由正弦定理b sin B ＝c sin C， 得c ＝b sin C sin B ＝2×2212＝22，A ＝π－(π6＋π4)＝712π， ∴sin A ＝sin(π4＋π3)＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1. 7．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝.答案 2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为．答案 π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ， 结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 9．(2016·昆明检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋a sin A的值等于． 答案 16 2解析 依题可得sin B ＝35， 又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14. 故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62，所以b ＋a sin A ＝b ＋b sin B＝16 2. *10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为．答案 12解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B， 可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A .又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3.∵0<A <π，∴A ＝π3. 由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3(b ＋c 2)2， 则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)，∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.11．(2015·湖南)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C . (1)证明 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得sin A ＝sin B ·sin A cos A，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0， ∴1＝sin B cos A，即sin B ＝cos A . (2)解 由sin C －sin A cos B ＝34知， sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34. 由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角， 故A ∈⎝⎛⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6. sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 12．(2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)方法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而由a ＝7，b ＝2，A ＝π3， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 方法二 由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ， 从而sin B ＝217， 又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277， 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332. *13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B＝cos 2C 2，BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32， 又0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2C 2， 得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6， 则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6. (2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a 2)2－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2， 故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。
精选2019届高考数学北师大版一轮复习讲义：第4讲二次函数的再研究与幂函数
§2.4二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图像和性质2.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常量．(2)常见的5种幂函数的图像(3)常见的5种幂函数的性质知识拓展1．幂函数的图像和性质(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数．2．若f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0时恒有f(x)>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0时，恒有f(x)<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b]的最值一定是4ac －b24a.( × )(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( × )(3)在y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中，a 决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ ) (4)函数y ＝122x 是幂函数．( × )(5)如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (6)当n<0时，幂函数y ＝x n是定义域上的减函数．( × ) 题组二 教材改编2．已知幂函数f(x)＝k·x α的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析 由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k·⎝ ⎛⎭⎪⎫12α.∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3．已知函数f(x)＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内是减少的，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＜－3 D ．a ≤－3答案 D解析 函数f(x)＝x 2＋4ax 的图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内是减少的可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D. 题组三 易错自纠 4．幂函数f(x)＝21023a a x－＋(a ∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2， f(x)＝2(5)2a x －－(a ∈Z)为偶函数， 且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.5．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )答案 D解析 由a ＋b ＋c ＝0和a>b>c 知，a>0，c<0， 由c<0，排除A ，B ，又a>0，排除C.6．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是______． 答案 －1解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图像的对称轴为x ＝32>1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上是减少的，∴y min ＝2－6＋3＝－1.题型一 求二次函数的解析式典例 (1)已知二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为__________________． 答案 f(x)＝12x 2－2x ＋1解析 依题意可设f(x)＝a(x －2)2－1， 又其图像过点(0,1)，∴4a －1＝1，∴a ＝12，∴f(x)＝12(x －2)2－1＝12x 2－2x ＋1.(2)已知二次函数f(x)与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f(x)＝ax(x ＋2)， 所以f(x)＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1，得a ＝1，所以f(x)＝x 2＋2x. 思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练 (1)已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R 且a ≠0)，x ∈R ，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.(2)若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.答案 (1)x 2＋2x ＋1 (2)－2x 2＋4解析 (1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a ， 由已知f(x)＝ax 2＋bx ＋1，∴a ＝1， 故f(x)＝x 2＋2x ＋1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y 轴对称，∴－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a b ，即b ＝－2，∴f(x)＝－2x 2＋2a 2，又f(x)的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4，故f(x)＝－2x 2＋4.题型二 二次函数的图像和性质命题点1 二次函数的图像典例两个二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 与g(x)＝bx 2＋ax ＋c 的图像可能是( )答案 D解析 函数f(x)图像的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g(x)图像的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b 2a 与－a2b同号，故两个函数图像的对称轴应该在y 轴的同侧．只有D 满足． 命题点2 二次函数的单调性典例函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是减少的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]答案 D解析 当a ＝0时，f(x)＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f(x)的对称轴为x ＝3－a 2a， 由f(x)在[－1，＋∞)上是减少的知⎩⎪⎨⎪⎧a<0，3－a2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]． 引申探究若函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1的递减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知f(x)必为二次函数且a<0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3. 命题点3 二次函数的最值典例已知函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 解 f(x)＝a(x ＋1)2＋1－a.(1)当a ＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a ＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a ＜0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.引申探究将本例改为：求函数f(x)＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解 f(x)＝(x ＋a)2＋1－a 2，∴f(x)的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a.(1)当－a ＜12即a ＞－12时，f(x)max ＝f(2)＝4a ＋5，(2)当－a ≥12即a ≤－12时，f(x)max ＝f(－1)＝2－2a ，综上，f(x)max＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题典例 (1)已知函数f(x)＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－1)解析 f(x)>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m>0， 令g(x)＝x 2－3x ＋1－m ，要使g(x)＝x 2－3x ＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上是减少的， ∴g(x)min ＝g(1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．(2)已知a 是实数，函数f(x)＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析 2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a<32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，∴a<12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.思维升华解决二次函数图像与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域． 跟踪训练 (1)设abc ＞0，二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )答案 D解析 由A ，C ，D 知，f(0)＝c ＜0，从而由abc ＞0，所以ab ＜0，所以对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f(0)＝c ＞0，所以ab ＞0，所以x ＝－b2a＜0，B 错误．(2)已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －1或3解析 由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)， 所以f(x)min ＝1.又f(x)＝(x －a)2－a 2＋2a ＋4， 当x ∈R 时，f(x)min ＝f(a)＝－a 2＋2a ＋4＝1， 即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f(x)＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x<4的一切x 值都有f(x)>0，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 由题意得a ＞2x －2x 2对1＜x ＜4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14＜1x ＜1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a ＞12.题型三 幂函数的图像和性质1．已知点⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f(x)的图像上，则f(x)是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数答案 A解析 设f(x)＝x α，由已知得⎝⎛⎭⎪⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f(x)＝x －1，易知该函数为奇函数． 2．若四个幂函数y ＝x a，y ＝x b，y ＝x c，y ＝x d在同一坐标系中的图像如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d ＞c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞c ＞dC ．d ＞c ＞a ＞bD ．a ＞b ＞d ＞c答案 B解析 由幂函数的图像可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图像越接近x 轴，由题图知a ＞b ＞c ＞d ，故选B.3．若a<0，则0.5a，5a，5－a的大小关系是( )A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a<5－a<5aD ．5a<5－a<0.5a答案 B解析 5－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15a ，因为a<0时，函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减少的，且15<0.5<5，所以5a <0.5a <5－a.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用典例 (12分)设函数f(x)＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f(x)的最小值．思想方法指导研究二次函数的性质，可以结合图像进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图像的影响，进行分类讨论． 规范解答解 f(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图像的对称轴为x ＝1.[2分] 当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[t ，t ＋1]上为减函数， 所以最小值为f(t ＋1)＝t 2＋1；[5分]当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图像如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；[8分]当t ＞1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间[t ，t ＋1]上为增函数， 所以最小值为f(t)＝t 2－2t ＋2.[11分] 综上可知，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.[12分]1．若函数f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上( ) A ．先减少后增加 B ．先增加后减少 C ．是减少的 D ．是增加的答案 D2．(2018·江西九江七校联考)若幂函数f(x)＝(m 2－4m ＋4)·268m m x －＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3 D ．2答案 B解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8＞0， 解得m ＝1.3．已知函数f(x)＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，120 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>0，1－20a<0，得a>120. 4．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案 C解析 由题意可知函数f(x)的图像开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f(a)≥f(0)，从图像观察可知0≤a ≤4.5．已知二次函数f(x)＝2ax 2－ax ＋1(a<0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f(x 1)与f(x 2)的大小关系为( ) A ．f(x 1)＝f(x 2) B ．f(x 1)>f(x 2) C ．f(x 1)<f(x 2) D ．与a 值有关答案 C解析 该二次函数的图像开口向下，对称轴为直线x ＝14，又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0， ∴当x 1，x 2在对称轴的两侧时， 14－x 1>x 2－14，故f(x 1)<f(x 2)． 当x 1，x 2都在对称轴的左侧时， 由单调性知f(x 1)<f(x 2)． 综上，f(x 1)<f(x 2)．6．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6)答案 A解析 不等式x 2－4x －2－a ＞0在区间(1,4)内有解等价于a ＜(x 2－4x －2)max ， 令f(x)＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)， 所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a ＜－2. 7．已知P ＝322－，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________．(用“>”连接) 答案 P ＞R ＞Q 解析 P ＝322－＝⎝⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q. 8．已知幂函数f(x)＝12x －，若f(a ＋1)<f(10－2a)，则a 的取值范围为________．答案 (3,5)解析 ∵幂函数f(x)＝12x－是减少的，定义域为(0，＋∞)，∴由f(a ＋1)<f(10－2a)，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a>0，a ＋1>10－2a ，解得3<a<5.9．对于任意实数x ，函数f(x)＝(5－a)x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是__________． 答案 (－4,4)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a>0，Δ＝36－4(5－a )(a ＋5)<0，解得－4<a<4.10．若f(x)＝－x 2＋2ax 与g(x)＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________． 答案 (0,1]解析 由f(x)＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g(x)＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a>0， 故0<a ≤1.11．已知函数f(x)＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________． 答案 －1或2解析 f(x)＝－(x －a)2＋a 2－a ＋1， 当a ≥1时，f(x)max ＝f(1)＝a ＝2，即a ＝2；当0<a<1时，f(x)max ＝f(a)＝a 2－a ＋1＝2，此时无解； 当a<0时，f(x)max ＝f(0)＝1－a ＝2， ∴a ＝－1.综上，a ＝－1或a ＝2.12．已知函数f(x)＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f(x)＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]， ∴f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f(x)max ＝f(3)＝15， ∴函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f(x)max ＝f(3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意； ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f(x)max ＝f(－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.13．已知函数f(x)＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 A 解析 由题意知f(x)＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24， f(x)min ＝－b 24，令t ＝x 2＋bx ≥－b 24， 则f(f(x))＝f(t)＝t 2＋bt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋b 22－b 24， 当b ＜0时，f(f(x))的最小值为－b 24，所以“b ＜0”能推出“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”； 当b ＝0时，f(f(x))＝x 4的最小值为0，f(x)的最小值也为0，所以“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出“b ＜0”，选A.14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－5]解析 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx<－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立， 即m<－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立， 令y ＝x ＋4x ，则函数y ＝x ＋4x 在x ∈(1,2)上是减函数．∴4<y<5，∴－5<－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x <－4，∴m ≤－5. 方法二 设f(x)＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，由f(x)<0恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.15．若函数f(x)＝x 2－a|x －1|在[0，＋∞)上是增加的，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－ax ＋a ，x ∈[1，＋∞)，x 2＋ax －a ，x ∈(－∞，1)，当x ∈[1，＋∞)时，f(x)＝x 2－ax ＋a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a －a 24， 当x ∈(－∞，1)时，f(x)＝x 2＋ax －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a －a 24. ①当a 2>1，即a>2时，f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，a 2上是减少的，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上是增加的，不合题意； ②当0≤a 2≤1，即0≤a ≤2时，符合题意； ③当a 2<0，即a<0时，不符合题意． 综上，a 的取值范围是[0,2]．16．已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1，F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )，x>0，－f (x )，x<0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1， 解得a ＝1，b ＝2，∴f(x)＝(x ＋1)2.∴F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x ＋1)2，x>0，－(x ＋1)2，x<0.∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得，f(x)＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立． 又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2. ∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。
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ac＋bd bc－ad z1 a＋bi a＋bic－di ＋ i ④除法：z ＝ ＝ ＝ c2＋d2 c2＋d2 (c＋di≠0)． c＋di c＋dic－di 2
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【知识梳理】
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【知识梳理】
3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； ③乘法：z1· z2＝(a＋bi)· (c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
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【知识梳理】
内容 共轭 复数
意义
a＝c a＋bi与c＋di共轭⇔ d＝－b (a，b，c，d∈R)
备注
建立平面直角坐标系来表示复 复平面 数的平面，叫做复平面．x轴 实轴 ，y轴叫做______ 叫做 _____ 虚轴 → 复数 向量 OZ 的模r叫作复数z＝a＋ 的模 bi的模
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【基础自测】
5．已知复数 z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足 z<0，则 m＝________.
m2－1＝0 ∵z<0，∴ ， m <0
∴m＝－1.
－1
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3．会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的 几何意义．
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【知识梳理】
1．复数的有关概念 内容 意义 备注 若b＝0 ， 则 a＋bi 为实数， 复数的 形如 a＋bi (a， b∈R)的数叫做复 若 a＝0且b≠0 ，则 a＋bi 概念 数，其中实部为 a ，虚部为 b 为纯虚数 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔ a＝c且b＝d (a、 b、c、d∈R)
实轴上的点都表示实数 ；除了原点外，虚轴上 的点都表示纯虚数 |z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2
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【知识梳理】
2.复数的几何意义 → 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点 Z(a，b) 与平面向量OZ是一一对 应的关系．
(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1、z2、z3∈C，都有 z1＋z2 ＝ z2＋z1 ，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3)． (3)乘法的运算律
z1 (交换律)， z1· z2＝ z2·
(z2· z3) (结合律)， (z1· z2)· z3＝ z1·
z1(z2＋z3)＝ z1z2＋z1z3 (乘法对加法的分配律．)
(1)A
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【基础自测】
－i 2．(教材改编题)复数 (i 是虚数单位)的实部是( 1＋2i 1 A.5 1 B．－5 1 C．－5i 2 D．－5
)
－i －i×1－2i －i－2 2 1 2 ＝ ＝ ＝－5－5i，实部为－5. 1＋2i 1＋2i1－2i 1＋4
D
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【基础自测】
5＋3i 3．i 是虚数单位，复数 ＝( 4－i A．1－i B．－1＋i
) C．1＋i D．－1－i
5＋3i 5＋3i4＋i ＝ ＝1＋i.故选 C. 4－i 4－i4＋i
高三总复习.新课标数学（文）
第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4课时 数系的扩充与复数的引入
考 点
考点一 复数的有关概念 考点二 复数的运算
考点三 复数的几何意义 易错警示•系列 指点迷津•展示
考纲·点击
1．理解复数的基本概念，理解
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考点一 复数的有关概念
审题视点
(1)(2014· 高考重庆卷)复平面内表示复数 i(1－2i)的点位于( A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限
)
把条件化简，将所求复数写成 a＋bi，再求解相应问题． (1)i(1－2i)＝2＋i，在复平面内对应点的坐标为(2,1)，位于第一象限．
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【知识梳理】
(4)正整数指数幂的运算律
mn m＋n z z · z＝ ，(zm)n＝ z ，
m
n
z2 (m，n∈N＋)． (z1z2)n＝ z1·
n
n
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C
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【基础自测】
4．若|log3m＋4i|＝5，则实数 m＝________.
2 由 log2 3m＋16＝25，∴log3m＝9，
1 ∴log3m＝3 或－3，∴m＝27 或27.
1 27 或27
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【基础自测】
1．若复数 z＝1＋i，i 为虚数单位，则(1＋z)· z＝( A．1＋3i B．3＋3i C．3－i D．3
)
(1＋z)· z＝(2＋i)(1＋i)＝2＋3i＋i2＝1＋3i.
A
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