图论模型-Floyd算法
matlab的floyd算法
matlab的floyd算法Floyd算法，是一种图论算法，用于在加权图中求解最短路径。
它是以发明者之一、罗伯特·弗洛伊德的名字命名的。
这个算法同样被用于对于任意两点之间的最长路径（所谓的最短路径问题）进行求解。
算法描述给定一个带权的有向图G=(V,E)，其权值函数为w，下面我们定义从顶点i到顶点j的路径经过的最大权值为dist(i,j)。
特别地，当i=j时，dist(i,j)=0。
为了方便描述算法，我们用D(k,i,j)表示从顶点i到顶点j且路径中的所有顶点都在集合{1,2,⋯,k}中的所有路径中，最大边权值的最小值。
则从顶点i到顶点j的最短路径的边权值就是 D(n,i,j)，其中n是图中顶点的数量。
算法思想：建立中间顶点集合算法是通过不断地扩充中间顶点集合S，来求解任意两点之间的最短路径。
具体来说，设S={1, 2, ⋯, k}，其中k是整数。
Floyd算法的基本思想是，依次考察所有可能的中间顶点x（即所有S中的顶点），对于每个中间顶点x，若从i到x再到j的路径比已知的路径更短，则更新dist(i,j)为更小的值D(k,i,j)。
最终，在S={1, 2, ⋯, n}的情况下，所得到的D(n,i,j)就是顶点i到顶点j之间的最短路径的长度。
Floyd算法的核心是一个三重循环，在每一轮循环中，枚举S中所有的中间顶点x，通过动态规划计算出从i到j的最短路径长度D(k,i,j)。
这一过程可表述为：for k = 1 to nfor i = 1 to nfor j = 1 to nif D(k,i)+D(j,k) < D(k,i,j)D(k,i,j) = D(k,i)+D(j,k)其中D(0,i,j)即为dist(i,j)，若i和j不连通，则D(0,i,j)=+Inf。
算法实现function D = Floyd(adjmat)% adjmat为邻接矩阵邻接矩阵adjmat的定义为：- 若两个顶点之间有边相连，则对应位置为该边的边权值；- 若两个顶点之间没有边相连，则对应位置为0。
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法（Floyd算法）是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法，以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
该算法的基本思想是通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引入一个矩阵S，矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i（第i个顶点）到顶点j（第j个顶点）的距离。
具体步骤如下：
1.初始化S。
矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。
实际上，就是将图的原始矩阵复制到S中。
2.以顶点A（第1个顶点）为中介点，若a[i][j]>a[i][0]+a[0][j]，则设置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
请注意，在具体使用中，可能需要根据问题的具体情况对该算法进行适当的调整。
Floyd算法
Floyd算法Floyd算法是一种经典的图论算法，用于求解带权有向图中任意两个顶点之间的最短路径问题。
该算法由美国数学家罗伯特·弗洛伊德（Robert Floyd）于1962年提出，因此得名为Floyd算法。
Floyd算法是一种动态规划算法，它采用了“分治”的思想，将问题分解为更小的子问题，然后逐步解决子问题，最终得到解决整个问题的结果。
本文将从算法的背景、基本思想、实现方法及优缺点等方面对Floyd 算法进行详细阐述和分析。
一、算法的背景在讲Floyd算法之前，我们先来了解一下最短路径问题。
顾名思义，最短路径问题就是在给定图中找到两个给定节点之间的一条最短路径，也就是路径上各边权值之和最小的路径。
这个问题在现实生活中有很多应用，比如网络路由、地图路径规划、航线安排等等。
在数学和计算机科学领域中，我们可以通过图论的方法来描述和解决这个问题。
一般来说，给定一张带权有向图G=(V, E)，其中V表示节点的集合，E表示边的集合。
每条边E(i,j)的权重为w(i,j)，表示从节点i到节点j的距离或成本。
那么最短路径问题就是在图中找到从节点s到节点t的一条最短路径P，并且P上的边权之和最小。
最初求解的思路是按照类似深度优先搜索的方式，逐个遍历所有路径，然后依次比较它们的距离，找到最短路径。
但这种方式显然是不可行的，因为它的时间复杂度非常高。
所以，我们需要设计一种更高效的算法，以求得最短路径问题的最优解。
二、算法的基本思想Floyd算法就是一种高效地解决最短路径问题的方法。
它采用了“动态规划”的思想，通过逐步求解子问题，最终得到完整的最短路径。
而解决子问题的方式则是采用了“分治”的思想，将问题分解为更小的子问题，然后逐步解决。
具体地说，Floyd算法采用了“中转节点”的概念，我们可以将问题转化为这样一个子问题：对于每个节点i和节点j，假设我们已经知道了它们之间的最短路径长度为d[i][j]，那么考虑一下节点k作为中转节点，它可以为i和j之间的路径P提供一个“中转服务”，将P拆分为两条路径：i-->k和k-->j。
v 弗洛伊德算法
v 弗洛伊德算法弗洛伊德算法（Floyd’s algorithm），又称为插点法，是一种通过动态规划求解最短路径问题的算法。
该算法在图论中有着广泛的应用，能够快速求解出两点之间的最短路径。
本文将为大家介绍弗洛伊德算法的原理以及实际应用。
1. 算法原理弗洛伊德算法的核心思想是利用中间点来更新起点到终点的距离。
假设图中任意两点之间的距离都为$d[i][j]$，则我们假设存在一个中间点$k$，可以将起点$i$和终点$j$之间的最短路径分成两部分，即起点到中间点的路径$d[i][k]$和中间点到终点的路径$d[k][j]$。
所以我们可以得到如下的状态转移方程：$$d[i][j]=\min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])$$通过不断地更新所有点之间的最短路径，我们最终可以得到所有节点之间的最短路径。
2. 算法实现弗洛伊德算法的实现中，最重要的一步就是更新状态转移方程。
具体来说，我们需要使用三层循环嵌套遍历所有点，将当前节点到所有其他节点的最短距离更新一遍即可。
下面就是使用 Python 语言实现弗洛伊德算法的代码片段：```pythonn = len(graph)for k in range(n):for i in range(n):for j in range(n):graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k] +graph[k][j])```在这段代码中，$graph$是一个$n \times n$的矩阵，表示所有节点之间的距离。
其中$n$是节点的数量。
3. 算法应用弗洛伊德算法的主要应用是求解带权图中各个节点之间的最短路径。
在实际生活中，我们可以将节点看作是城市，将距离看作是两个城市之间的道路距离。
这样，就可以使用弗洛伊德算法来计算任意两座城市之间的最短路程，帮助人们规划出更加便捷的旅行路线。
另外，在计算机网络中，弗洛伊德算法也被广泛应用于路由协议的设计中。
弗洛伊德（Floyd）算法
弗洛伊德（Floyd）算法最短路径问题：从某个顶点出发到达另外⼀个顶点的所经过的边的权重和最⼩的⼀条路径弗洛伊德算法解决最短路径问题1.基本思想（1）计算图中各个顶点之间的最短路径，每⼀个顶点都是出发访问点，所以需要将每⼀个顶点看做被访问顶点，求出从每⼀个顶点到其他顶点的最短路径（2）所有顶点都作为中间节点遍历⼀次，每次遍历将各个顶点经过中间节点到另⼀个节点的距离，与不经过该节点的距离相⽐较，若经过中间节点的距离更⼩，就更新距离表与前驱关系（3）时间复杂度O(n3)，所有顶点作为出发点、中间节点、终点，每个顶点都要遍历3次2.步骤（1）设置顶点 a 到顶点 b 的最短路径已知为 L ab，顶点 b 到 c 的最短路径已知为 L bc，顶点 a 到 c 的路径为 L ac，则 a 到 c 的最短路径为：min ( ( L ab + L bc ), L ac )，b 的取值为图中所有顶点，则可获得 a 到 b 的最短路径（2）⾄于 a 到 b 的最短路径 L ab或者 b 到 c 的最短路径 L bc，是以同样的⽅式获得（3）三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点代码实现import java.util.Arrays;public class Floyd {//弗洛伊德算法解决最短路径问题public static final int BLOCK = 65535;//表⽰顶点之间不直接连通public static void main(String[] args) {char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//顶点到⾃⾝距离为0int[][] matrix = {{0, 5, 7, BLOCK, BLOCK, BLOCK, 2},{5, 0, BLOCK, 9, BLOCK, BLOCK, 3},{7, BLOCK, 0, BLOCK, 8, BLOCK, BLOCK},{BLOCK, 9, BLOCK, 0, BLOCK, 4, BLOCK},{BLOCK, BLOCK, 8, BLOCK, 0, 5, 4},{BLOCK, BLOCK, BLOCK, 4, 5, 0, 6},{2, 3, BLOCK, BLOCK, 4, 6, 0}};Graph graph = new Graph(matrix, vertex);graph.floyd();graph.result();}}//带权⽆向图class Graph {public char[] vertex;//存放顶点public int[][] matrix;//保存各个顶点到其它顶点的距离，初始为直接连接的距离，算法计算后为最短距离public int[][] relay;//保存中间结点//构造器public Graph(int[][] matrix, char[] vertex) {this.vertex = vertex;this.matrix = matrix;this.relay = new int[vertex.length][vertex.length];//三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {Arrays.fill(relay[i], i);//初始中间顶点为⾃⾝}}//显⽰算法结果public void result() {for (int k = 0; k < vertex.length; k++) {for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {System.out.println(vertex[k] + " 到 " + vertex[i] +" 最短路径 " + matrix[k][i] +" 中间结点 " + vertex[relay[k][i]]);}System.out.println();}}//弗洛伊德算法public void floyd() {int temp;//保存i到j的距离for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {//出发点ifor (int j = 0; j < matrix.length; j++) {//中间顶点jfor (int k = 0; k < matrix.length; k++) {//终点ktemp = matrix[i][j] + matrix[j][k];//求从i出发，经过k，到达j的距离 if (temp < matrix[i][k]) {matrix[i][k] = temp;//更新距离relay[i][k] = relay[j][k];//更新中间顶点}}}}}}。
floyd算法原理
floyd算法原理Floyd算法原理。
Floyd算法，又称为插点法，是一种用于寻找图中所有点对之间最短路径的算法。
它的提出者是罗伯特·弗洛伊德（Robert W. Floyd），于1962年发表在《计算机杂志》上。
Floyd算法的时间复杂度为O(n^3)，适用于有向图或无向图，可以处理有负权边但不能处理有负权回路的情况。
Floyd算法的原理非常简单，其核心思想是动态规划。
它通过遍历所有顶点，以每个顶点作为中间节点，更新任意两点之间的最短路径。
具体来说，Floyd算法通过一个二维数组来记录任意两点之间的最短路径长度，然后通过不断更新这个数组来求解最短路径。
假设有一个图G，其中顶点集合为V，边集合为E，顶点个数为n。
我们可以用一个n×n的矩阵D来表示任意两点之间的最短路径长度，其中D[i][j]表示顶点i到顶点j的最短路径长度。
初始时，我们可以将D的值初始化为图G中各条边的权值，若i到j有边，则D[i][j]为边的权值，否则为无穷大。
接下来，我们开始进行动态规划的更新过程。
对于任意的顶点k，我们遍历所有的顶点对i和j，如果D[i][k] + D[k][j] <D[i][j]，则更新D[i][j]为D[i][k] + D[k][j]。
这样，经过n次遍历之后，我们就可以得到任意两点之间的最短路径长度了。
Floyd算法的伪代码如下：```python。
for k in range(n):for i in range(n):for j in range(n):if D[i][k] + D[k][j] < D[i][j]:D[i][j] = D[i][k] + D[k][j]```。
在实际应用中，Floyd算法可以用于解决许多实际问题，比如路由算法、网络传输等。
它的时间复杂度虽然较高，但对于小规模的图来说，其性能表现仍然是可接受的。
另外，Floyd算法还可以用于检测图中是否存在负权回路，如果经过Floyd算法的更新过程后，仍然存在D[i][i] < 0的情况，则说明图中存在负权回路。
弗洛伊德算法实用技巧
弗洛伊德算法实用技巧弗洛伊德算法（Floyd's Algorithm），又称为最短路径算法，是一种用于求解图中各顶点之间最短路径的算法。
它以其简洁高效的特点而被广泛应用于图论和网络优化领域。
本文将介绍弗洛伊德算法的原理及其在实际问题中的应用技巧。
一、弗洛伊德算法原理弗洛伊德算法的核心思想是采用动态规划的方法，通过逐步更新每一对顶点之间的最短路径长度，直到得到所有顶点之间的最短路径。
具体步骤如下：1. 初始化最短路径矩阵：以邻接矩阵的形式表示图的边权重，初始化一个大小为n×n的矩阵D，其中n为顶点个数。
若顶点i和顶点j之间存在边，则D[i][j]的值为边的权重；若不存在边，则D[i][j]的值为一个较大的数（如∞）。
2. 进行顶点中转：对于每一对顶点i和j，以顶点k作为中转点，更新D[i][j]的值，使其等于D[i][k] + D[k][j]和D[i][j]中的较小值。
即，若通过顶点k的路径更短，则更新D[i][j]的值。
3. 重复进行中转：依次选择每一个顶点作为中转点，进行步骤2的操作。
当所有顶点均作为中转点完成一次中转后，得到的矩阵D即为最终的最短路径矩阵。
二、弗洛伊德算法应用技巧1. 求解最短路径：弗洛伊德算法可以用于求解有向图或无向图中任意两点之间的最短路径。
通过获取最短路径矩阵D，即可得到任意一对顶点之间的最短路径长度。
2. 检测负权回路：在求解最短路径的过程中，若在最终的最短路径矩阵D中存在D[i][i]为负数的情况，则说明图中存在负权回路，即图中存在一个环路，其权重之和为负数。
该特性可用于识别图中是否存在负权回路。
3. 网络拓扑排序：弗洛伊德算法可以用于进行网络拓扑排序。
在求解最短路径的过程中，通过检测矩阵中的负权回路，可以得到顶点的拓扑排序结果。
拓扑排序用于评估任务执行的顺序，从而实现任务的优化调度。
4. 交通网络优化：弗洛伊德算法可以用于优化交通网络的设计。
通过将道路或路径作为图中的边，顶点表示城市或路口，权重表示通行距离或时间，利用最短路径矩阵D，可以评估不同路径的通行效率，从而优化道路规划和交通流量调度。
图论论文迪杰斯特拉(Dijkstra)-弗罗伊德(Floyd)算法
摘要：主要介绍最短路的两种算法，迪杰斯特拉(Dijkstra)以及算法在实际问题中的应用。
关键字：图论，最短路径，树，生成树，迪杰斯特拉(Dijkstra)，弗罗伊德(Floyd)算法1 引言最短路问题是图论理论的一个经典问题。
寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。
最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。
最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。
经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。
2最短路定义①1若图G=G(V,E)中各边e 都赋有一个实数W(e),称为边e 的权,则称这种图为赋权图,记为G=G(V,E,W)。
定义②2若图G=G(V,E)是赋权图且()0W e ≥,()e E G ∈,若u 是i v 到j v 的路()W u 的权,则称()W u 为u 的长,长最小的i v 到j v 的路()W u 称为最短路。
3、Dijkstra 算法基本步骤③： 令：{}{}_23,1,,,,i n s v i s v v v ===并令：{()()10,j j W v T v v s-==∞∈1、 对j v s -∈，求()(){}()min ,j i ij j T v W v w T v +=。
2、 求(){}min j jv sT v ∈得()kT v ，使()kT v =(){}min j jv sT v ∈令()()k k W v T v =3、若k n v v =则已找到1v 到n v 的最短路距离()k W v ，否则令i k =从s -中删去i v 转1 这样经过有限次迭代则可以求出1v 到n v 的最短路线，可以用一个流程图来表示：第一步 先取()10W v =意即1v 到1v 的距离为0,而()j T v 是对()j T v 所赋的初值。
迪杰斯特拉和弗洛伊德算法
迪杰斯特拉和弗洛伊德算法1. 简介迪杰斯特拉（Dijkstra）算法和弗洛伊德（Floyd）算法是图论中两个重要的最短路径算法。
最短路径问题是图论中的经典问题之一，它的目标是找到两个节点之间的最短路径。
迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出的，用于解决带权有向图中的单源最短路径问题。
它采用了贪心策略，通过逐步扩展已找到的最短路径来逐步确定最短路径。
弗洛伊德算法是由美国计算机科学家Robert W. Floyd于1962年提出的，用于解决带权有向图中的多源最短路径问题。
它采用了动态规划的思想，通过逐步更新所有节点之间的最短路径来求解最短路径问题。
2. 迪杰斯特拉算法2.1 算法思想迪杰斯特拉算法通过维护一个距离数组和一个已访问数组来求解最短路径。
距离数组用于记录源节点到其他节点的最短距离，已访问数组用于标记已经确定最短路径的节点。
算法的基本思想是从源节点开始，每次选择一个距离最小且未访问过的节点，将其标记为已访问，并更新与其相邻节点的最短距离。
重复这个过程，直到所有节点都被标记为已访问。
2.2 算法步骤迪杰斯特拉算法的具体步骤如下：1.创建一个距离数组dist[]，用于记录源节点到其他节点的最短距离。
初始时，将源节点到其他节点的距离都设置为无穷大，将源节点的距离设置为0。
2.创建一个已访问数组visited[]，用于标记已经确定最短路径的节点。
初始时，将所有节点的已访问状态都设置为false。
3.重复以下步骤，直到所有节点都被标记为已访问：–选择一个距离最小且未访问过的节点u。
–将节点u标记为已访问。
–更新与节点u相邻节点v的最短距离：•如果通过节点u可以获得比dist[v]更短的距离，则更新dist[v]为新的最短距离。
4.最终，距离数组dist[]中记录的就是源节点到其他节点的最短距离。
2.3 算法示例假设有一个带权有向图如下所示：2(1)-->--(3)| / |4 | / | 1| / |(0)-->--(2)3源节点为节点0，我们希望求解源节点到其他节点的最短路径。
FLOYD算法
FLOYD算法的实现
Hale Waihona Puke • 初始化：FOR I：=1 TO N DO FOR J：=1 TO N DO IF I=J THEN DIS[I，J]：=0 ELSE DIS[I，J]：=MAXINT； 读入： FOR I：=1 TO M DO BEGIN READ（X，Y，DIS[X，Y]）； DIS[Y，X]：=DIS[X，Y]；END；
题解
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
这道题没什么好说的，大家一眼就能看出这是最短路，就是字符串处理麻烦了些， 如果理解了题意，应该能写出来。 程序： var f:array[0..1000,0..1000]of longint; a,s:array[0..100000]of string; s1:string; m,i,l,p,j,v,x,k,max,maxj:longint; f1:boolean; begin readln(m); for i:=1 to m do readln(s[i]); l:=0; for i:=1 to m do begin p:=pos(' ',s[i]);s1:=copy(s[i],1,p-1); f1:=false;for j:=1 to l do if a[j]=s1 then begin f1:=true;break;end; if not f1 then begin inc(l);a[l]:=s1;end; s1:=copy(s[i],p+1,length(s[i])-p);p:=pos(' ',s1);s1:=copy(s1,1,p-1); f1:=false;for j:=1 to l do if a[j]=s1 then begin f1:=true;break;end; if not f1 then begin inc(l);a[l]:=s1;end; end; for i:=1 to l do for j:=1 to l do if i=j then f[i,j]:=0 else f[i,j]:=999999; for i:=1 to l-1 do for j:=i+1 to l do if a[i]>a[j] then begin s1:=a[i];a[i]:=a[j];a[j]:=s1;end; for i:=1 to m do begin p:=pos(' ',s[i]);s1:=copy(s[i],1,p-1); for j:=1 to l do if a[j]=s1 then break; s1:=copy(s[i],p+1,length(s[i])-p);p:=pos(' ',s1);s1:=copy(s1,1,p-1);p:=pos(' ',s[i]); for k:=1 to l do if a[k]=s1 then break; s1:=copy(s[i],p+1,length(s[i])-p);p:=pos(' ',s1);s1:=copy(s1,p+1,length(s1)-p);val(s1,v,x); if S1[P+1]='-' then f[j,k]:=9999 else f[j,k]:=v; end; for k:=1 to l do for i:=1 to l do for j:=1 to l do if (f[i,j]>f[i,k]+f[k,j])and((f[i,k]<>9999)and(f[k,j]<>9999))then f[i,j]:=f[i,k]+f[k,j] else if (f[i,j]=999999)and(f[i,j]>f[i,k]+f[k,j]) then f[i,j]:=9999; for i:=1 to l do if a[i]='ZMC' then break; max:=0; for j:=1 to l do if f[j,i]>max then begin max:=f[j,i];maxj:=j;end; write(a[maxj],' '); if max=999999 then write(-2) else if max=9999 then write(-1) else write(max); end.
数学建模_ 图论模型_
图论中最短路算法与程序实现图论中的最短路问题(包括无向图和有向图)是一个基本且常见的问题。
主要的算法有Dijkstra 算法和Floyd 算法。
Dijkstra 算法是求出指定两点之间的最短路，算法复杂度为 Floyd 算法是求出任意两点之间的最短路，算法复杂度为 2()O n 3()O n1.Dijkstra算法2. Floyd算法算法程序(Matlab)为：for k=1:nfor i=1 :nfor j=1:nt=B(i,k)+B(k,j);if t<B(i,j) B(i,j)=t; end endendend起点终点距离起点终点距离起点终点距离12400718160151725013450892001617140243008152851618130221230910180172724024714010111501819204346001015160182518045210111214019201404193101114130192417556230121320020211805720013344002024190673201415190212230068340142619021232707817015161702147350表1 各点距离(m)实例：已知50个点之间相互连接信息见表1及续表。
求最短距离矩阵续表1 各点距离(m)起点终点距离起点终点距离起点终点距离22441602229313640190 22452702230313738135 22481802230423839130 23242402330433941310 23292102331324041140 23302902331364050190 23441502331504250200 24251702432334344260 24281302432354345210 26271402632364546240 26343202633344648280 27281902735374849200 2829260283639n=50; %Matlab实现的Floyd算法A=zeros(n,n);for i=1:nfor j=1:nif(i==j) A(i,j)=0;else A(i,j)=100000;endendend %赋直接距离信息A(1,2)=400;A(1,3)=450; A(2,4)=300;A(2,21)=230; A(2,47)=140;A(3,4)=600;A(4,5)=210;A(4,19)=310;A(5,6)=230;A(5,7)=200; A(6,7)=320; A(6,8)=340;A(7,8)=170;A(7,18)=160;A(8,9)=200;A(8,15)=285; A(9,10)=180; A(10,11)=150; A(10,15)=160; A(11,12)=140; A(11,14)=130; A(12,13)=200; A(13,34)=400;A(14,15)=190;A(14,26)=190; A(15,16)=170; A(15,17)=250; A(16,17)=140;A(16,18)=130; A(17,27)=240; A(18,19)=204; A(18,25)=180; A(19,20)=140; A(19,24)=175; A(20,21)=180; A(20,24)=190; A(21,22)=300; A(21,23)=270; A(21,47)=350;A(22,44)=160;A(22,45)=270;A(22,48)=180;A(23,24)=240; A(23,29)=210;A(23,30)=290;A(23,44)=150;A(24,25)=170;A(24,28)=130; A(26,27)=140;A(26,34)=320;A(27,28)=190;A(28,29)=260;A(29,31)=190; A(30,31)=240;A(30,42)=130;A(30,43)=210;A(31,32)=230;A(31,36)=260; A(31,50)=210;A(32,33)=190;A(32,35)=140;A(32,36)=240;A(33,34)=210; A(35,37)=160;A(36,39)=180;A(36,40)=190;A(37,38)=135;A(38,39)=130; A(39,41)=310;A(40,41)=140;A(40,50)=190;A(42,50)=200;A(43,44)=260; A(43,45)=210;A(45,46)=240;A(46,48)=280;A(48,49)=200;for j=1:nfor i=1:j-1A(j,i)=A(i,j); %使矩阵对称endendB=A;%利用Floyd算法计算最短距离矩阵for k=1:nfor i=1 :nfor j=1:nt=B(i,k)+B(k,j);if t<B(i,j) B(i,j)=t; endendendend %输出距离矩阵到文件fid=fopen('distance.txt','w'); for i=1:nfor j=1:nfprintf(fid,'%4d ',B(i,j)); endfprintf(fid,'\n');endfclose(fid);。
图论-floyd算法-python实现
图论-floyd算法-python实现 这⾥我写了floyd算法以及求图的中点，中⼼，直径，需要的⾃取1.算法：import numpy as npa = float("inf") #⽆穷⼤w0 = [[0,1,a,1],\[a,0,1,a],\[a,a,0,1],\[a,a,a,0]]length = len(w0)r0_arr = np.zeros((length,length),dtype = "float32")w0_arr = np.array(w0)#算r0_arrfor i in range(length):for j in range(length):if w0_arr[i][j] == a:r0_arr[i][j] = 0elif w0_arr[i][j] == 0:r0_arr[i][j] = 0else:r0_arr[i][j] = j + 1#floyd算法for k in range(length):print("k = {}：".format(k))print("w{} = ".format(k))print(w0_arr)print("r{} = ".format(k))print(r0_arr)print("\n")for i in range(length):for j in range(length):if w0_arr[i][j] > w0_arr[i][k] + w0_arr[k][j]:w0_arr[i][j] = w0_arr[i][k] + w0_arr[k][j]r0_arr[i][j] = r0_arr[i][k]print("k = {}：".format(length))print("w{} = ".format(length))print(w0_arr)print("r{} = ".format(length))print(r0_arr)print("\n")'''w0 = [[0,a,a,1.2,9.2,a,0.5],\[a,0,a,5,a,3.1,2],\[a,a,0,a,a,4,1.5],\[1.2,5,a,0,6.7,a,a],\[9.2,a,a,6.7,0,15.6,a],\[a,3.1,4,a,15.6,0,a],\[0.5,2,1.5,a,a,a,0]]w0 = [[0,9,1,3,a,a],\[1,0,4,a,7,a],\[2,a,0,a,1,a],\[a,a,5,0,2,7],\[a,6,2,8,0,5],\[7,a,2,a,2,0]]p143 127'''2.图的中点，中⼼，直径import numpy as npa = float("inf") #⽆穷⼤w0 = [[0,a,a,1.2,9.2,a,0.5],\[a,0,a,5,a,3.1,2],\[a,a,0,a,a,4,1.5],\[1.2,5,a,0,6.7,a,a],\[9.2,a,a,6.7,0,15.6,a],\[a,3.1,4,a,15.6,0,a],\[0.5,2,1.5,a,a,a,0]]length = len(w0)r0_arr = np.zeros((length,length),dtype = "float32")w0_arr = np.array(w0)#算r0_arrfor i in range(length):for j in range(length):if w0_arr[i][j] == a:r0_arr[i][j] = 0elif w0_arr[i][j] == 0:r0_arr[i][j] = 0else:r0_arr[i][j] = j + 1#floyd算法for k in range(length):for i in range(length):for j in range(length):if w0_arr[i][j] > w0_arr[i][k] + w0_arr[k][j]:w0_arr[i][j] = w0_arr[i][k] + w0_arr[k][j]r0_arr[i][j] = r0_arr[i][k]w_length = w0_arr #输出的最终wmax_w = [] #存储各⾏的最⼤值sum_w = [] #存储各⾏的和for i in range(length):max_w.append(max(w_length[i]))sum_w.append(sum(w_length[i]))print(max_w)print(sum_w)network_center = max_w.index(min(max_w)) + 1 #⽹的中⼼network_point = sum_w.index(min(sum_w)) + 1 #⽹的中点network_diameter = max(max_w) #⽹的直径print("network_center:",network_center)print("network_point:",network_point)print("network_diameter:",network_diameter)。
Floyd算法
Floyd 算法4.1 Floyd 算法简介Floyd 算法又称为弗洛伊德算法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法[8]。
算法思想旨在通过对 Floyd 算法进行改进，从而更加简便有效地计算不含负回路网络中任意两节点之间的最短路。
初始权矩阵可由网络图直接得到，由计算时，中的元素是经过多次经转后得到的最短路长，即经过该次迭代计算出的最短路径可以经过多个中间节点。
在此基础上计算(2)(3)(),,...,k D D D ， 当算出第k +1 个矩阵时， 如果 ，那么()D k 中的元素就是对应的节点对之间的最短路长值。
在计算权矩阵时，有时插入的中间节点与源点、汇点均不直接相连，因此计算出来的最短路长值不会改变，故这些点可以不参与计算。
另外，在计算最短路长前，先将待插入节点进行路长比较，若()()k k lj ij d d ≥或()()k k il ij d d ≥，则表明插入该节点后，不会使原来的路长变短，无需再计算 (1)k ij d + (因为 (1)()k k ij ijd d +=)， 接着对下一个节点进行搜索。
文中采用下标直接标注的方法来标注最短路径， 当插入某个节点l v 后， 如果计算出来的最短路长值不会比原来的短， 那么就将该节点的下标l 直接标注在权矩阵中对应的元素的右下角， 表明最短路径经过该节点。
在不含负回路的网络中[9]， 有节点12,,...,n v v v ，用ij w 表示节点 v i 和节点v j 之间的连线长，用ij d 表示从节点v i 出发到节点v j 时的路长。
Floyd 算法通常情况下也被人们称之为插点法，Floyd 算法是一种利用加权图进而进一步找到多源点之间最短路径问题的一种方法。
由于发明这种算法的最重要的人就是著名科学家罗伯特·弗洛伊德，因此这种算法就是用弗洛伊德的名字来命名的。
他在1978年的时候，依然在斯坦福大学计算机科学系担任教授的时候发明的这么一种最短路径算法。
最短路径算法floyd代码
最短路径算法floyd代码1.引言1.1 概述最短路径算法是图论中一个重要的问题，它的目标是找到两个节点之间最短的路径。
在实际生活中，最短路径算法被广泛应用于交通规划、物流配送、通信网络等领域。
针对不同类型的图，有不同的最短路径算法可供选择，其中Floyd算法是一种被广泛使用的算法之一。
Floyd算法是一种动态规划算法，它通过逐步优化图中各个节点之间的最短路径长度来求解最短路径。
其基本思想是通过计算任意两个节点之间的中间节点，以确定最短路径的中间节点集合。
通过反复迭代更新中间节点集合，最终可以得到节点之间的最短路径长度。
本文将介绍Floyd算法的原理和实现代码。
首先，我们将详细解释Floyd算法的原理，包括其计算最短路径的思路和步骤。
接着，我们将给出Floyd算法的代码实现，通过具体的编程示例来展示算法的具体实现过程和运行结果。
本文的目的是帮助读者了解Floyd算法，并通过实例代码帮助读者理解算法的具体实现步骤。
读者可以通过学习和实践运用Floyd算法，为实际问题寻找最短路径提供一种有效的解决方案。
此外，本文还将总结Floyd 算法的优缺点，以及对该算法在实际应用中的一些考虑和限制。
通过阅读本文并实践代码，读者将能够更好地理解Floyd算法的原理和实现方法，并在实际问题中灵活运用该算法来解决最短路径问题。
无论是对于图论的研究者还是对于应用场景中的实际需求，本文都将提供一些有价值的参考和启示。
在接下来的章节中，我们将逐步介绍Floyd算法的详细原理和代码实现。
让我们一起开始这段有趣的学习之旅吧！文章结构（Article Structure）本篇文章主要围绕最短路径算法Floyd展开讨论，按照以下结构进行阐述。
1. 引言1.1 概述：对最短路径算法的背景和应用进行简要介绍，强调其在网络通信、路线规划和图论等领域的重要性。
1.2 文章结构：本节内容。
1.3 目的：明确本文旨在通过介绍Floyd算法的原理和代码实现，帮助读者理解和应用该算法。
图论-floyd算法
Dijkstra算法是求源点到其它顶点的最短路径。 怎样求任意两个顶点之间的最短路径？我们可以把 Dijkstra算执行n次，每次从不同的顶点开始，则算 法时间复杂度为O（n3）。
Floyd弗洛伊德给出了另一个算法，时间复杂 度也是O（n3），但是形式上简单些。
从演示中看算法思想 一个简单的图及其邻接矩阵如下：
D(0)
a a (aa,0) b (ba,6) c (ca,3)
b (ab,4) (bb,0)
c (ac,11)
(cc,0)
6 b
4 a
11
3
c
D(-1)
2
a a (aa,0) b (ba,6) c (ca,3)
b (ab,4) (bb,0) (cb, ∞)
c (ac,11) (bc,2) (cc,0)
(bb,0) (bc,2)
(cab,
c
D(0)
2
a a (aa,0) b (ba,6) c (ca,3)
b (ab,4) (bb,0) (cab,7)
c (ac,11) (bc,2) (cc,0)
D[a][b]+D[b][c]= 6<D[a][c]，所以 如果从b绕，更 近，那么应该更 新。
D(-1)
6 b
4
a
2
11
3
c
a a (aa,0)
b (ba,6)
c (ca,3)
b
c
(ab,4) (ac,11)
(bb,0) (bc,2)
(cb, ∞) (cc,0)
从上面的D（-1）开始，对于每两个顶点u、v，在 D（-1）中存储着一条路径u…v。现在我们考察， 试着把a加到u、v的路径上能否，得到一条更短 的路径，即如果u…a+a…v<u…v的话，能够找 到一条更短的路径。
floyd用法
floyd用法摘要：1.Floyd 算法简介2.Floyd 算法的基本思想3.Floyd 算法的适用场景4.Floyd 算法的计算步骤5.Floyd 算法的示例正文：1.Floyd 算法简介Floyd 算法是一种用于寻找加权图中所有顶点之间最短路径的算法，也被称为Floyd-Warshall 算法。
该算法由Robert C.Floyd 于1968 年提出，是图论领域中一种非常重要的算法。
2.Floyd 算法的基本思想Floyd 算法的基本思想是动态规划。
算法通过计算每个顶点之间的路径长度，然后利用这些信息来更新其他顶点之间的路径长度，最终得到所有顶点之间的最短路径。
3.Floyd 算法的适用场景Floyd 算法适用于存在负权边的图，并且可以处理边权值为负数的情况。
同时，Floyd 算法可以处理所有顶点之间的最短路径问题，无论是单源最短路径还是多源最短路径。
4.Floyd 算法的计算步骤Floyd 算法的计算步骤如下：(1) 初始化邻接矩阵dist，dist[i][j] 表示顶点i 到顶点j 的边的权值。
如果两个顶点之间没有边，可以将dist[i][j] 设为一个较大的值，如正无穷。
(2) 对于所有顶点k，计算dist[i][j] += dist[i][k] * dist[k][j]，其中i、j、k 为顶点标号。
这一步的目的是通过累积每个顶点之间的路径长度来更新其他顶点之间的路径长度。
(3) 遍历所有顶点对(i, j)，如果dist[i][j] 的值小于0，则说明在顶点i 到顶点j 的路径中存在一个环。
此时，可以将dist[i][j] 设为一个较大的值，如正无穷，以表示不存在从顶点i 到顶点j 的路径。
5.Floyd 算法的示例假设有一个图，顶点有A、B、C、D、E 五个，边的权值分别为1、2、3、1、4。
现在需要求解所有顶点之间的最短路径。
floyd算法求解邻接矩阵的最短距离矩阵
文章编号：001主题：探讨floyd算法求解邻接矩阵的最短距离矩阵在计算机算法中，图论一直是一个重要的研究领域。
而其中，最短路径算法一直是图论中的热门话题之一。
在众多的最短路径算法中，floyd算法因其简洁高效的特点而备受青睐。
本文将深入探讨floyd算法在求解邻接矩阵的最短距离矩阵中的应用，并分析其实现原理及优缺点。
一、floyd算法简介Floyd算法是一种用于寻找加权图中顶点之间最短路径的动态规划算法。
它的基本思想是每次引入一个新的顶点，看看这个新顶点能不能对原来两个顶点之间的距离产生改变，如果可能，就进行更新。
通过多次迭代，最终得到所有顶点之间的最短路径。
二、floyd算法的实现步骤1. 初始化邻接矩阵在使用floyd算法求解最短路径时，首先需要初始化邻接矩阵。
邻接矩阵的每个元素代表图中两个顶点之间的距禋，如果两个顶点之间没有直接连接，则距离设为无穷大。
如果两个顶点直接相连，则距离设为两个顶点之间的权值。
2. 动态规划求解最短路径接下来，利用动态规划的思想，通过逐渐引入新的顶点，不断更新已有的最短路径。
具体做法是，对于每对顶点i和j，检查它们之间是否存在顶点k，使得从i到j的最短路径可以经过顶点k。
如果存在这样的顶点k，那么更新i到j的最短路径为i到k和k到j的距离之间的较小值。
3. 递推过程重复上述步骤，通过逐渐引入新的顶点k，直到遍历完所有顶点，就可以得到最终的最短距离矩阵。
三、floyd算法的优缺点1. 优点floyd算法可以求解任意两点之间的最短路径，且适用于有向图和无向图。
并且可以方便地求出最短路径的具体路径。
算法简单易懂，实现起来也比较容易。
2. 缺点floyd算法的时间复杂度较高，为O(n^3)，当n较大时，计算量会非常庞大。
另外，在处理稀疏图时，可能会造成大量的计算浪费，因为floyd算法会对所有的顶点对进行遍历，而对于稀疏图来说，很多顶点对之间并不存在直接连接的边。
四、个人观点和理解在实际应用中，floyd算法通常适用于节点数量不是特别大，但边的数量非常大或者需要求解任意两点之间最短路径的情况。
【图论入门】——弗洛伊德算法（Floyd）——注意事项
【图论⼊门】——弗洛伊德算法（Floyd）——注意事项 1174 - CommandosTime Limit: 2 second(s)Memory Limit: 32 MBA group of commandos were assigned a critical task. They are to destroy an enemy head quarter. The enemy head quarter consists of several buildings and the buildings are connected by roads. The commandos must visit each building and place a bomb at the base of each building. They start their mission at the base of a particular building and from there they disseminate to reach each building. The commandos must use the available roads to travel between buildings. Any of them can visit one building after another, but they must all gather at a common place when their task in done. In this problem, you will be given the description of different enemy headquarters. Your job is to determine the minimum time needed to complete the mission. Each commando takes exactly one unit of time to move between buildings. You may assume that the time required to place a bomb is negligible. Each commando can carry unlimited number of bombs and there is an unlimited supply of commando troops for the mission.InputInput starts with an integer T (≤50), denoting the number of test cases.The first line of each case starts with a positive integer N (1 ≤ N ≤ 100), where N denotes the number of buildings in the head quarter. The next line contains a positive integer R, where R is the number of roads connecting two buildings. Each of the next R lines contain two distinct numbers u v (0 ≤ u, v < N), this means there is a road connecting building u to building v. The buildings are numbered from 0 to N-1. The last line of each case contains two integers s d (0 ≤ s, d < N). Where s denotes the building from where the mission startsand d denotes the building where they must meet. You may assume that two buildings will be directly connected by at most one road. The input will be given such that, it will be possible to go from any building to another by using one or more roads.OutputFor each case, print the case number and the minimum time required to complete the mission.Sample Input Output for SampleInput2 43 0 1 2 1 1 3 0 3 2 10 11 0Case 1: 4 Case 2: 1题意：特⼯队去炸碉堡，要求每个都炸掉，⽽且只能⾛给出的道路。
数学模型floyd算法
选址问题--中心问题
例 2 某城市要建立一个消防站，为该市所属的七个区服务， 如图所示．问应设在那个区，才能使它至最远区的路径最短．
（1）用 Floyd 算法求出距离矩阵 D=(dij ) ．
（2） 计算在各点vi 设立服务设施的
最大服务距离S (vi ) ．
S (vi
)
max{d
1 j
ij
}
i 1,2,
m =132 78 70 92 70 106 130 ans =70
Tsinghua University
Uncertainty Theory Laboratory
14
实验八、最佳灾情巡视路线（节选部分）
实验内容： 求出下图中O到其它各点的最短路线（要求求
出最短路线及其最短距离） （节选了教材上337面图中的16个点：即15、
[d,r]=floyd(w)
S=max(d’) %求矩阵各列的最大值
s=min(S)
0 3 5 10 7 5.5 7 3 0 2 7 4 2.5 4
5
2
0
5
2
4.5
6
D 10 7 5 0 3 7 8.5
7
4
2
3
0
4
5.5
5.5 2.5 4.5 7 4 0 1.5
7
4
6
8.5 5.5 1.5
Uncertainty Theory Laboratory
2
算法的基本思想
直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法
依次构造出 个矩阵 最后得到的矩阵 D(
D(1)、 D(2)、… 、D( )，使
)成为图的距离矩阵，同时也
求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径．
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Floyd算法思想
1)算法思想原理： Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语 言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短 路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标 重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的 精华所在） 从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能， 1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我 们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于 每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j) 是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到 j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)， 这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的 便是i到j的最短路径的距离。
D便是最廉价的航费表， 要求飞行路线，由path矩 阵可以得到，比如2到5的Байду номын сангаас路线：path(2,5)=4, path(4,5)=5,因此，应为 2→4 →5
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输出结果分析
运行输出结果： D = 0 35 45 35 25 10 path = 1 6 5 5 1 1 6 2 2 2 4 2 5 3 3 3 3 4 5 4 4 4 4 4 5 4 5 5 5 1 6 6 4 6 1 6 35 0 15 20 30 25 45 15 0 10 20 35 35 20 10 0 10 25 25 30 20 10 0 35 10 25 35 25 35 0
图论模型-Floyd算法
主讲人：泰山教育 小石老师
引例
某公司在六个城市C1,C2,C3,C4,C5,C6都有分公司， 公司成员经常往来于它们之间，已知从Ci到Cj的直达航 班票价由下述矩阵的第i行，第j列元素给出（∞表示无 直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最 廉价路线航费表。
0 50 ∞ 40 25 10 40 25 10 0 15 20 ∞ 25 15 0 10 20 ∞ 20 10 0 10 25 ∞ 20 10 0 55 25 ∞ 25 55 0 50 ∞