九年高考(2010-2018高考)理科数学真题分类训练 专题六 数列 第十六讲 等比数列(附详解)

专题六 数列第十六讲 等比数列一、选择题1．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于f ，则第八个单音的频率为A B C ． D ．2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >3．（2017新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．（2015新课标Ⅱ）等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．845．（2014重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是A ．139,,a a a 成等比数列B ．236,,a a a 成等比数列C ．248,,a a a 成等比数列D ．269,,a a a 成等比数列6．（2013新课标Ⅱ）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =A ．13B ．13-C ．19D ．19- 7．（2012北京） 已知{}n a 为等比数列．下面结论中正确的是A ．1322a a a +…B ．2221322a a a +…C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a >8．（2011辽宁）若等比数列{}n a 满足116n n n a a +=，则公比为A ．2B ．4C ．8D ．169．（2010广东）已知数列{}n a 为等比数列，n S 是是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S = A ．35 B ．33 C ．3l D ．2910．（2010浙江）设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S = A ．－11 B ．－8 C ．5 D ．11 11．（2010安徽）设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是A ．2X Z Y +=B ．()()Y Y X Z Z X -=-C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X -=-12．（2010北京）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m =A ．9B ．10C ．11D ．1213．（2010辽宁）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =A ．3B ．4C ．5D ．614．（2010天津）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为 A ．158或5 B ．3116或5 C ．3116 D ．158二、填空题15．（2017新课标Ⅲ）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a = _______．16．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a = ．17．（2017北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==， 则22a b =_____． 18．（2016年全国I ）设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 .19．（2016年浙江）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则 1a = ，5S = ．20．（2015安徽）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14329,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 ．21．（2014广东）等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________．22．（2014广东）若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= ．23．（2014江苏）在各项均为正数的等比数列}{n a 中，,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 ．24．（2013广东）设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= ．25．（2013北京）若等比数列{}n a 满足24a a +=20，35a a +=40，则公比q = ；前n项和n S = ．26．（2013江苏）在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a ．则满足 n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ．27．（2012江西）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比不为1。

若11a =，且对任意的n N +∈都有2120n n n a a a +++-=，则5S =_________________．28．（2012辽宁）已知等比数列}{n a 为递增数列，若01>a ，且125)(2++=+n n n a a a ，则数列{}n a 的公比=q ．29．（2012浙江）设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2232S a =+，4432S a =+，则q = ．30．（2011北京）在等比数列{}n a 中，112a =，44a =-，则公比q =_____ _________； 12...n a a a +++=____________．三、解答题31．（2018全国卷Ⅲ）等比数列{}n a 中，11a =，534a a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．32．（2017山东）已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，322x x -=．（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点11(,1)P x ，22(,2)Px ，…，11(,1)n n P x n +++得到折线1P 2P …1n P +，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成的区域的面积n T ．33．（2016年全国III 高考）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若53132S =，求λ． 34．（2014新课标）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+． （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+． 35．（2014福建）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .36．（2014江西）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n n n S n ，232． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列．37．(2013四川) 在等比数列{}n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和。

38． (2013天津)已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N ， 且234,2,4S S S -成等差数列．(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N ． 39．（2011新课标）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．40．（2011江西）已知两个等比数列{},{}n n a b ，满足(),,a a a b a 111=>0-=1,b a b a 2233-=2-=3．（Ⅰ）若a =1，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ ）若数列{}n a 唯一，求a 的值．41．（2011安徽）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan ,n n n b a a += 求数列{}n b 的前n 项和n S ．专题六 数列第十六讲 等比数列答案部分1．D 【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为{}n a ，则第八个单音频率为818a f -=⋅=，故选D ．2．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++ 1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <． 若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<， 所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<， 所以13a a >，24a a <，故选B ．3．B 【解析】设塔顶共有灯1a 盏，根据题意各层等数构成以1a 为首项，2为公比的等比数列，∴77171(12)(21)38112a S a -==-=-，解得13a =．选B ． 4．B 【解析】由于241(1)21a q q ++=，13a =，所以4260q q +-=，所以22q =(23q =-舍去)，所以36a =，512a =，724a =，所以35742a a a ++=．5．D 【解析】由等比数列的性质得，23960a a a ⋅=≠，因此269,,a a a 一定成等比数列．6．C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵32110S a a =+，∴1232110a a a a a ++=+，即319a a =，∴29q =，由59a =，即419a q =，∴119a =． 7．B 【解析】取特殊值可排除A 、C 、D ，由均值不等式可得2221313222a a a a a +⋅=…． 8．B 【解析】由116n n n a a +=，得11216n n n a a +++=，两式相除得1121161616n n n n n n a a a a ++++==， ∴216q =，∵116n n n a a +=，可知公比q 为正数，∴4q =．9．C 【解析】设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =．由4a 与27a 的等差中项为54知，475224a a +=⨯， 7415(2)24a a ∴=⨯-14=．∴37418a q a ==，即12q =．3411128a a q a ==⨯=， 116a ∴=，55116(1)231112S -==-． 10．A 【解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =－2，所以5522113211114S q S q -+===---． 11．D 【解析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足．12．C 【解析】2341010123451m a a a a a a q q q q q a q ==⋅⋅⋅==，因此有11m =．13．B 【解析】两式相减得， 3433a a a =-，44334,4a a a q a =∴==．14．C 【解析】显然q ≠1，所以3639(1)1=1211q q q q q q--⇒+⇒=--，所以1{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 前5项和5511()31211612T -==-． 15．8-【解析】设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以1121113a a q a a q +=-⎧⎨-=-⎩， 解得112a q =⎧⎨=-⎩ ，则3418a a q ==-． 16．32【解析】设{}n a 的公比为q ，由题意1q ≠，由636331191S q q S q-==+=-，所以2q =，由313(1)714a q S q -==-，得114a =，所以77581122324a a q ==⨯==． 17．1【解析】设{}n a 的公差为d ，{}nb 的公比为q ，由题意3138d q -+=-=，所以3d =，2q =-，所以22131(2)a b -+==--． 18．64【解析】设{}n a 的公比为q ，由1310a a +=，245a a +=得118,2a q ==， 则24a =，32a =，41a =，512a =，所以12123464n a a a a a a a ⋅⋅⋅=…． 19．1 121 【解析】由于1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，解得11a =，由1121n n n n a S S S ++=-=+， 所以1113()22n n S S ++=+，所以1{}2n S +是以32为首项，3为公比的等比数列， 所以113322n n S -+=⨯，所以5121S =． 20．21n -【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---．21．5【解析】由等比数列的性质可知215243a a a a a ==，于是，由154a a =得32a =，故1234532a a a a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a 2123452log ()log 325a a a a a ==．22．50【解析】因{}n a 是等比数列，∴1201011912a a a a a a ==，由512911102e a a a a =+得 ∴5120a a e =，∴1220ln ln ln a a a +++= 101220120ln()ln()a a a a a ⋅⋅⋅==50． 23．4【解析】 设等比数列}{n a 的公比为q ，0q >．则8642a a a =+，即为424442a q a q a =+，解得22q =（负值舍去），又21a =，所以4624a a q =． 24．15【解析】12341,2,4,8a a a a ==-==-，∴ 1234||||a a a a +++=15．25．12,22n +-【解析】由35a a +=()24q a a +得2q =；()()3241a a a q q +=+=20， 得12a =；∴()12122212n n n S +-==--．26．12【解析】设正项等比数列}{n a 首项为1a ，公比为q ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a ，得：1a ＝132，q ＝2，62n n a -=．记521212-=+++=n n n a a a T ， 2)1(212nn n n a a a -==∏ ．n n T ∏>，则2)1(52212n n n ->-， 化简得：5211212212+->-n n n ，当5211212+->n n n 时，12212113≈+=n ． 当n ＝12时，1212∏>T ，当n ＝13时，1313∏<T ，故max 12n =． 27．11【解析】由2120n n n a a a +++-=，可得220n n n a q a q a +-=，由11a =可知0,1n a q ≠≠，求得公比2q =-，可得5S =11． 28．2【解析】222112()5,2(1)5,2(1)5,22n n n n n a a a a q a q q q q q +++=∴+=∴+===解得或 因为数列为递增数列，且10,1,2a q q >>∴=所以．29．32【解析】依题意可得，2112111443311111(1)32232201(1)23220321a q a q a q a q a q q a q a q a q a q a q q ⎧-=+⎪⎧-++-=-⎪⎪⇒⎨⎨--++-=⎪⎪⎩=+⎪-⎩两式相减可得423111122330a q a q a q a q --+=，即42322330q q q q --+=，解得1q =±（舍）或0q =或32q =。